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Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 1 ____________________________________________________________________________________________________
DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNVERSIDAD
1. Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad
La siguiente relación de objetivos, contenidos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de la Prueba de Acceso a la Universidad de la materia Matemáticas II. Esta relación se adapta al currículo de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar con cierto detalle algunos aspectos de los apartados del curriculo dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría
ANÁLISIS 1. Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites
laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales. 2. Saber aplicar el concepto de límite de una función en ±∞ para estudiar la existencia de asíntotas
horizontales y oblicuas.
3. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes:
∞−∞∞⋅∞
∞e0,
0
0, (se excluyen los de la forma 0,1 ∞
∞ y 00 ) y técnicas para resolverlas.
4. Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un
punto.
5. Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función.
6. Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto
7. Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable
en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable.
8. Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos.
9. Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
10. Conocer la regla de L’Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.
11. Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o
puntos de inflexión.
12. Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos.
13. Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma )(xfy = indicando:
dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad ( 0)´´( <xf ) y de convexidad ( 0)´´( >xf ) y
puntos de inflexión.
14. Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.)
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 2 ____________________________________________________________________________________________________
15. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.
16. Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función.
17. Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.
18. Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son
reales.
19. Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.
20. Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas.
21. Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto tanto al integrando como al
intervalo de integración.
22. Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.
23. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores).
24. Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la
regla de Barrow.
25. Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.
ÁLGEBRA LINEAL
26. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar,
transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto.
27. Conocer la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y,
en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 33× )
28. Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3.
29. Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.
30. Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero.
31. Resolver problemas que puedan plantearse mediante un sistema de ecuaciones
32. Saber calcular el rango de una matriz.
33. Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz
ampliada del mismo.
34. Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles.
35. Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo.
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 3 ____________________________________________________________________________________________________
GEOMETRÍA
36. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio 37. Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente
dependientes.
38. Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra.
39. Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo:
el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.)
40. Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos
como sistemas de ecuaciones lineales.
41. Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta.
42. Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
43. Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (Por
ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.)
44. Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular
a otros dos y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos.
45. Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.
2. ESTRUCTURA DE LA PRUEBA DE “MATEMÁTICAS II” EN LA SELECTIVIDAD. Fase general: Cada estudiante recibirá dos exámenes -etiquetados Opción A y Opción B- y tendrá que elegir uno de ellos sin que pueda mezclar ejercicios de una opción con ejercicios de la otra opción. Cada examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual. Fase específica: Cada estudiante recibirá un único examen, sin opciones. EL examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual. Los exámenes de selectividad se pueden encontrar en la dirección de INTERNET:
http://www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm En la siguiente dirección están resueltos los exámenes de selectividad: http://www.iespadremanjon.com/ En la parte inferior central busca Exámenes de Selectividad de Matemáticas
• Libro 1º de Matemáticas
• Libro 2º de Matemáticas
• Libro 3º de Matemáticas
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 4 ____________________________________________________________________________________________________ 3. INSTRUCCIONES PERTINENTES AL DESARROLLO DE LA PRUEBA. 3.1 De carácter general
� En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. � Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.
3.2 Materiales permitidos en la prueba � Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad de
almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados
� Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.
4. CRITERIOS GENERALES DE CORRECCION (es imprescindible concretar las valoraciones que se harán en cada apartado y/o aspectos a tener en cuenta).
Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no será suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente:
a) En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.
b) Los estudiantes pueden utilizar calculadora que no sea programable, gráficas ni con capacidad de almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados indicando los pasos mas relevantes del procedimiento utilizado
c) Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.
d) Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio, excepto los siguientes errores que se penalizarán con el valor total de la pregunta o apartado:
1) No saber despejar en una ecuación de la forma ax=b. 2) Sumar fracciones quitando denominadores. 3) No saber que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. 4) Realizar: a2 + b2 = c2 ⇒ a + b = c 5) Realizar: ( ) 222
baba +=+ ; ( ) 222baba −=−
6) Realizar: baba +=+22 , es decir, 235925 =−=−
e) De igual manera, se penalizarán con un máximo del 10% la redacción incorrecta o el uso
inadecuado de símbolos Ejemplo: Si se pregunta “distancia de Linares a Madrid”, dar como solución x=305 se dará por mal, x=305 Km se dará por regular y dar como solución “la distancia de Linares a Madrid es de 305 Km.” se dará por buena.
f) La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. g) Si el alumno tiene que elegir entre los ejercicios de la opción A o los de la opción B, y se realizan
ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.
5.- INSTRUCCIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS PRUEBAS ESCRITAS.
a) Para la resolución de los ejercicios no será necesario utilizar calculadoras. No obstante, no se prohibirá su uso y podrán utilizarse calculadoras científicas (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos). En cualquier caso, se advierte que durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.
b) El examen no se puede hacer con lápiz. c) En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. d) Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico. e) Cada ejercicio llevará, de forma explícita, los puntos que vale, y si tiene varios apartados, la
puntuación de cada uno. De no ser así, se sobreentiende que todos los ejercicios valen igual y que, dentro de cada ejercicio, todos los apartado valen igual
Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 5 ____________________________________________________________________________________________________ 6. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN.
Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no será suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente:
� En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.
� Puedes usar calculadoras científicas (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
� Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.
� Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizarán la redacción incorrecta o el uso incorrecto de símbolos.
� La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. � Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que
el primero que aparezca físicamente en el papel de examen. INSTRUMENTOS PARA PUNTUAR LAS EVALUACIONES.
A) Bloque de observación colectiva: Dos exámenes por trimestre, conteniendo el segundo toda la materia vista en ese período (incluyendo la del primer examen) y obteniendo la nota media ponderada. (El segundo examen puntúa el doble que el primero). Esta nota representará el 80% de la calificación de evaluación.
B) Bloque de observación individual: representará el 20 % de la calificación de evaluación, las llamaré CL1, CL2 y Cl3 para cada trimestre, y constará de:
a) Observación en el aula b) Asistencia y comportamiento a clase. c) Trabajo en casa. d) Controles escrito de clase, ...
FORMA DE LLEGAR A LA CALIFICACIÓN DE CADA TRIMESTRE Y LA FINAL: PRIMER TRIMESTRE: Llamaremos: EX1 y EX2 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl1 a la calificación del bloque de observación individual; Ev1 a la calificación de la primera evaluación; Ex3 a la calificación del examen de recuperación y Tr1 a la calificación del 1er trimestre
Media ponderada: 3
221
ExExM
⋅+= ; calificación 1ª evaluación:
10
12181
CLMEV
⋅+⋅=
Los alumnos con calificación Ev1 menor de cinco, y los que quieran subir nota, realizarán el examen de recuperación, con la misma materia que el EX2.
Calificación 1er trimestre: a) Si Ex3 > Ev1, 3
3211
ExEvTr
⋅+= ; b) Si Ex3 < Ev1, Tr1 = EV1
SEGUNDO TRIMESTRE: Llamaremos: EX4 y EX5 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl2 a la calificación del bloque de observación individual; Ev2 a la calificación de la segunda evaluación; Ex6 a la calificación del examen de recuperación y Tr2 a la calificación del 2º trimestre
Media ponderada: 3
5242
ExExM
⋅+= ; calificación 2ª evaluación:
10
22282
CLMEV
⋅+⋅=
Los alumnos con calificación Ev2 menor de cinco, y los que quieran subir nota, realizarán el examen de recuperación, con la misma materia que el EX5.
Calificación 2º trimestre: a) Si Ex6 > Ev2, 3
6222
ExEvTr
⋅+= ; b) Si Ex6 < Ev2, Tr2 = EV2
TERCER TRIMESTRE: Llamaremos: EX7 y EX8 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl3 a la calificación del bloque de observación individual; Tr3 a la calificación del 3er trimestre
Media ponderada: 3
8273
ExExM
⋅+= ; calificación 3er trimestre:
10
32383
CLMTr
⋅+⋅=
Calificación global del curso: 3
123 TrTrTrFinal
++=
Los alumnos con calificación final menor de cinco realizarán un examen de suficiencia.
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº6
REGLAS DE DERIVACIÓN -1
1 Dk = 0 SIENDO k UN NÚMERO REAL CUALQUIERA
2 Dx = 1 SIENDO x LA VARIABLE INDEPENDIENTE
a) DE FUNCIONES SIMPLES b) DE FUNCIONES COMPUESTAS
3 1−⋅=
nn xnDx ( ) DwwnwD nn⋅⋅=
−1
4 x
DxxD2
12
1
== Dww
DwwD ⋅==2
12
1
5 n n
nn
xnDxxD
1
11
−⋅
== Dwwn
wDwDn n
nn ⋅⋅
=
=
−1
11
6 x
DLx1
= Dww
DLw ⋅=1
7 xLa
xD a
11log ⋅= Dw
wLawD a ⋅⋅=
11log
8 Dex = ex [ ] DweeD ww⋅=
9 [ ] LaaaD xx⋅= [ ] DwLaaaD ww
⋅⋅=
10 D(sen x) = cos x DwwwDsen ⋅= )cos()(
11 D(cos x) = -sen x DwwsenwD ⋅−= )()cos(
12 )(sec)( 2 xxDtg = DwwwDtg ⋅= )(sec)( 2
13 )()sec()sec( xtgxxD ⋅= DwwtgwwD ⋅⋅= )()sec()sec(
14 )(cot)(cos)(cos xgxecxecD ⋅−= DwwgwecwecD ⋅⋅−= )(cot)(cos)(cos
15 )(cos)(cot 2 xecxgD −= DwwecwgD ⋅−= )(cos)(cot 2
16 [ ] ( )LxxLxxxxxD xxxx+⋅=⋅+⋅=
− 11 [ ] LuDvuDuuvuD vvv⋅⋅+⋅⋅=
−1
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº7
REGLAS DE DERIVACIÓN - 2
a) DE FUNCIONES SIMPLES b) DE FUNCIONES COMPUESTAS
17 x-
= xsenarcD
21
1 [ ] Dw
w- = wsenarcD ⋅
21
1
18 x-
- =xarcD
21
1cos [ ] Dw
w- = warcD ⋅
−
21
1cos
19 21
1
x+ = xtgarcD [ ] Dw
w+ = wtgarcD ⋅
21
1
20 21
1
x+ = xctgarcD
− [ ] Dw
w+ = wgarcD ⋅
−21
1cot
21 1
1sec
2 - xx =xarcD [ ] Dw
ww = warcD ⋅
−1
1sec
2
22 1
1cos
2 - xx
- =xecarcD [ ] Dw
ww = wecarcD ⋅
−
−
1
1cos
2
23 Suma / resta de dos funciones: [ ] DgDfgfD +=+ ; [ ] DgDfgfD −=−
24 Suma o resta de mas de dos funciones:
Es la suma o la resta de la derivada de cada sumando
[ ] DzDgDfzgfD +++=+++ ..........
25 Producto de un número y una función
[ ] DfkfkD ⋅=⋅
26 Producto de dos funciones [ ] DvuDuvvuD ⋅+⋅=⋅
27 Producto de tres funciones [ ] DzvuDvzuDuzvzvuD ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅
28 Cociente de dos funciones 2v
DvuDuv
v
uD
⋅−⋅=
29 Cociente de una función y un número k
DfDf
kk
fD ==
1
30 Cociente de un número y una función 2f
Dfk
f
kD
⋅−=
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº8 Ejercicios de derivadas resueltos Consejos para calcular la derivada de una función:
1) Saberse las reglas de derivación y ponerlas. 2) Saber que regla de derivación hay que aplicar. 3) Es un cero poner y=f(x)= y aquí poner su derivada, Ej: Poner )4cos(284)4cos(7)4sen(7)4sen(7 xxxDxy ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= en lugar de
)4cos(284)4cos(7)4sen(7);4sen(7 xxxDDyxy ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=
4) La mayoría de las veces, simplificar consiste en calcular ,...;2054 −=⋅−+=⋅
5) Cuando hay un cociente, v
uy = , y el denominador, v, es una potencia hay que simplificar
obligatoriamente. Para ello cuando se calcula Dv no se quitan paréntesis, se saca factor común en el numerador y se simplifica, quedando en el denominador una potencia con la misma base y su exponente una unidad más.
6) Al derivar )(sen 2 u o )(cos 2 u hay que simplificar con la fórmula: )cos()sen(2)2sen( ααα ⋅⋅=
Ejemplo: [ ] DuuDuuuuD ⋅−=⋅−⋅⋅= )2sen()sen()cos(2)(cos 2
1.- Calcula la derivada de la función 2
2
)53(
853
−
+−=
x
xxy → Derivada de un cociente, con una potencia
en el denominador. HAY QUE SACAR FACTOR COMÚN y SIMPLIFICAR
( )
−=−=⋅−⋅==−=
−=+−=⇒
⋅−⋅=
422
2
253);53(63)53(2;)53(
;56;853
xvxxDvxv
xDuxxu
v
DvuDuv
v
uD
[ ]
33
22
3
2
2
2
)53(
2315
)53(
483018254518
)53()53(
)53(6)853()56()53(
)53(
853'
−
−−=
−
−+−+−=
=−⋅−
−⋅+−−−⋅−=
−
+−=
x
x
x
xxxx
xx
xxxxx
x
xxDy
NOTA: Si al calcular Dv quito paréntesis no se puede simplificar.
2.- Calcula las derivadas: a)
−
−−6
2
)12(
352
x
xxD ; b) ( ))3(4 45 xLxD ⋅ ; c) ( ))5cos(34 xeD x
⋅+−
a) Derivada de un cociente, con una potencia en el denominador: [ ]
7
2
7
22
57
52
6
2
)12(
414616
)12(
3660245148
)12()12(
)12(12)352()54()12(
)12(
352
−
++−=
−
++−+−==
−⋅−
−⋅−−−−⋅−=
−
−−
x
xx
x
xxxx
xx
xxxxx
x
xxD
( )
−=−=−=
−=−−=⇒
⋅−⋅=
12256
2
212;)12(12;)12(
;54;352
xvxDvxv
xDuxxu
v
DvuDuv
v
uD
b) Derivada del producto de dos funciones.
[ ]x
xx
DvxLvxDuxuDvuDuvvuD4
123
1);3(;20;4 3
4
445=⋅====⇒⋅+⋅=⋅
( ) [ ]43(5416)3(20)3(44444445
+⋅⋅=+⋅=⋅ xLxxxLxxLxD
c) Derivada de una suma: ( ) )5sen(154)5cos(3)5cos(3444
xexDDexeDxxx
−⋅−=+=⋅+−−−
3.- Calcula la derivada primera de las funciones 3 56) += xya ; 4 12) xyb = ; 532)2
−−= xxyc
3 23 2
3
)56(
26
)56(3
156´)
+=⋅
+=+=
xxxDya ;
==+=⇒⋅=−
3;6;561
1nDuxuDu
unuD
n n
n
3 33 3
4
1728
312
)12(4
112´)
xxxDyb =⋅== ;
===⇒⋅=−
4;12;121
1nDuuDu
unuD
n n
n
5322
34)34(
5322
1532´)
22
2
−−
−=−⋅
−−=−−=
xx
xx
xxxxDyc
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº9
−=−−=⇒= 34;5322
1 2 xDuxxuDuu
uD
4.- Calcula la derivada primera de la función )6(4 45 xLxy ⋅= → Derivada del producto de dos
funciones: [ ]x
xx
DvxLvxDuxuDvuDuvvuD4
246
1);6(;20;4 3
4
445=⋅====⇒⋅+⋅=⋅
( ) [ ]4)6(5416)6(20)6(44444445
+⋅⋅=+⋅=⋅= xLxxxLxxLxDDy
5.- Calcula )2cos(43 xey x⋅+=
− → Derivada de una suma
[ ])2cos(43 xDDeDy x⋅+=
− )2(83)2cos(4 33 xsenexDDe xx−⋅−=+=
−−
6.- Calcula 123
1342
2
−−
+−=
xx
xxy =
−−
−⋅+−−−⋅−−=⇒
22
22
)123(
)26()134()38()123(
xx
xxxxxxDy
22
2
22
2323
)123(
514
)123(
2122624322524
−−
+−=
−−
+−+−+−−=
xx
xx
xx
xxxxxx
( )
−−=−=−−=
−=+−=⇒
⋅−⋅=
2222
2
2 123;26;123
;38;134
xxvxDvxxv
xDuxxu
v
DvuDuv
v
uD
NOTA: como v no es una potencia, no se puede que sacar factor común en el numerador.
7.- Calcula la derivada primera de la función 2
242 78)3(cos
xexxy x
−⋅−=−
3
2423
2
242 141632)6sen(3
7)(8))3((cos
xexexx
xDexDxDDy xxx
+⋅+⋅−⋅−=−⋅−=−−−
)6sen(33))3sen(()3cos(2))3((cos 2 xxxxD ⋅−=⋅−⋅⋅=
( ) xxxxx exexexexexD 2424242324 1632)2(48)(8 −−−−−⋅−⋅=−⋅⋅+⋅=⋅
334
2
2
14142707
xxx
x
x
xx
xD −=
⋅
−=
⋅−⋅=
8.- Calcula la derivada primera de la función )5cos(7)4(52 44 xxLxxy ⋅+⋅−= , simplificando el resultado al máximo
)5sen(355)4(2082
1)5cos(7))4((5)2( 33
4 3
44 xxxLxx
xDxLxDxDDy −−⋅−=⋅+⋅−=
9.- Calcula la derivada primera de la función 745 +⋅= xxy , simplificando el resultado al máximo. → Derivada del producto de dos funciones:
[ ]74
24
742
1;74;5;5
+=⋅
+=+===⇒⋅+⋅=⋅
xxDvxvDuxuDvuDuvvuD
( )74
3530
74
103520
74
10745
74
10745
2
+
+=
+
++=
+
++⋅=
+++⋅=⇒
x
x
x
xx
x
xx
x
xxDy
10.- Calcula la derivada primera de la función xex
xy 5
3
4 7
6
−−+= , simplificando el resultado al
máximo. DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES.
xx ex
xDex
DDxDy 5
4
35
3
4 521
3
27
6
1 −−⋅+−=−+=
424
2
4
23
3
21213707
xxx
x
x
xx
xD −=
⋅
−=
⋅−⋅=⇒
11.- Dada la función y=x4- 24x2- 64x+8, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=3.
a) Compruebo que x=3 pertenece al dominio → f(3) = 319 (HAZLO). Sí pertenece b) Calculo Df(x) → Df(x)=4x3- 48x- 64, y Df(3) = 108 – 144- 64 = -100 = m (pendiente) c) Recta tangente : A=(3,319) ; 100)3( −== Dfm . d) Ecuación de la recta tangente: y-319 =-100(x-3)
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº10
Ejercicio 1: Calcula la derivada primera de las siguientes funciones, escribiendo la fórmula que aplicas, simplificando al máximo el resultado y sacando factor común.
1º) 3
3 12)3cos(4)5(8
xexxtgy x
++−=−
La derivada de una suma es la suma de las derivadas
( ) ( ) =+⋅+⋅−⋅=−
3
3 12))3cos(4()5(8
xDeDxDxtgDDy x
4
222 34)4(12)5(sec40
xxxLxx −−⋅−⋅=
( ) )5(sec405)5(sec8)5(8)5(822xxxDtgxtgD ⋅=⋅⋅=⋅=⋅
( ) )3(123)3(4)3cos(4))3cos(4( xsenxsenxDxD ⋅−=⋅−⋅=⋅=⋅
( ) xxxxeeDeeD3333
6322)2(−−−−
⋅−=−⋅⋅=⋅=⋅ ; 46
2
3
331
xx
x
xD −=
−=
2º) 45 )1()2( −⋅+= xxy Derivada de un producto:
( )( ) ( )
( ) ( )
−=−=
+=+=⇒⋅+⋅=⋅
34
45
14;1
25;2
xDvxv
xDuxuDvuDuvvuD
)39()1()2()2(5)1()1(4)2( 344435+⋅−⋅+=+⋅−+−⋅+= xxxxxxxDy
3º) 64
72
−
+=
x
xy Derivada de un cociente
−=−
=−=
=+=
⇒⋅−⋅
=
64;64
2;64
2;72
22 xvx
Dvxv
Duxu
v
DvuDuv
v
uD
( ) ( ) 6432
132
6464
264
1
64:
64
264
64
64
144642
−−
−=
−⋅−
−=
−
−
−=
−
−
+−−
=xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
Dy
( )64
264
64
144128
64
)144(642
64
144642
2
−
−=
−
−−−=
−
+−−=
−
+−−
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº11
4º) 5
2
)32(
452
+
−−=
x
xxy
¿El denominador es una potencia? Sí � Al calcular Dv no quito paréntesis � Antes de hacer las operaciones del numerador, se saca factor común y se
simplifica con el denominador � El denominador final de la derivada es (x+3)6
Fórmula:
( ) ( ) ( )
+=+⋅=⋅+⋅=+=
−=−−=⇒
⋅−⋅=
102445
2
232;32102325;)32(
54;452
xvxxDvxv
xDuxxu
v
DvuDuv
v
uD
[ ]
=+⋅+
+⋅⋅−−−−⋅+=
46
42
)32()32(
)32(10)452()54()32(
xx
xxxxxDy
6
2
6
22
)32(
255212
)32(
4050201528
+
++−=
+
++−−+=
x
xx
x
xxxx
5º) )3(48 3 xLxy ⋅−= La derivada de una resta es la resta de las derivadas
( )( ) =
⋅⋅+⋅−=⋅−= 3
3
14)3(120348 32
xxxLxxLxDDDy
[ ]1)3(344)3(12 222+⋅⋅−=−⋅−= xLxxxLx
6º) ( )xtgarcy 2= Fórmula: ( )
=⋅=
==
+=
xxDw
xwxw
Dww
wtgDarc
2
12
22
1
2;2
1
12
2
( ) xxxxDy
2)21(
12
22
1
21
12
⋅+=⋅⋅
+=
7º) 143
9522
2
+−
−+=
xx
xxy
¿El denominador es una potencia? NO � En la derivada hago todas las operaciones del numerador � El denominador final de la derivada es (x2-4)6
Fórmula: ( )
+−=−=+−=
+=−+=⇒
⋅−⋅=
2222
2
2
143;46;143
54;952
xxvxDvxxv
xDuxxu
v
DvuDuv
v
uD
( ) ( ) ( )=
+−
−⋅−+−+⋅+−=
22
22
)143(
4695254)143(
xx
xxxxxxDy
( )22
2
22
2323
143
315823
)143(
3674221251612
+−
−+−=
+−
−+−−+−−=
xx
xx
xx
xxxxxx
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº12
Ejercicio 2:
1) ( ) xexy 2325 −
⋅+= y saca factor común Fórmula:
( ) { }xx eDvevxxDuxuDvuDuvvuD 22223 2;;)25(155)25(3;)25( −−−==+=⋅+⋅=+=⇒⋅+⋅=⋅
[ ]=+−⋅+=+⋅−⋅+=−−− )25(215)25()25(2)25(15 223222 xexxeexDy xxx
[ ]1110)25( 22+−⋅+=
− xex x
2) 463 23−+−= xxxy
La derivada de una resta es la resta de las derivadas
( ) ( )46
39
462
)3(29463
2
2
2
223
−+
+−=
−+
+−=−+−=
xx
xx
xx
xxxxDxDDy
3) ( )15cot −= xgarcy →Fórmula: ( ) ⇒⋅+
−= Dw
wwarctgD
21
1)(
15;152
55
152
1;15 2
−=−
=⋅−
=−=⇒ xwxx
Dwxw →
152
1
1525
5
152
5
151
1
−
−=
−⋅⋅
−=
−⋅
−+
−=
xxxxxxDy
4) )5(cos2 xy = simplificando con la fórmula del ángulo doble
Fórmula: )5(25);5cos(;1 xsenDwxwDwwnDw nn⋅⋅−==⋅⋅=
−
( )
)10(5)5cos()5(25
)5cos()5(cos22
xsenxxsen
xDxDyD
−=⋅⋅⋅−=
===
5) ( )52
35
535
−
−−=
x
xxy →
¿El denominador es una potencia? Sí � Al calcular Dv no quito paréntesis � Antes de hacer las operaciones del numerador, se saca factor común y
se simplifica con el denominador � El denominador final de la derivada es (5x-3)6
Fórmula:
( ) ( ) ( )
−=−⋅=⋅−⋅=−=
−=−−=⇒
⋅−⋅=
102445
2
235;35255355;)35(
310;535
xvxxDvxv
xDuxxu
v
DvuDuv
v
uD
[ ]
=−⋅−
−⋅⋅−−−−⋅−=
46
42
)35()35(
)35(25)535()310()35(
xx
xxxxxDy
Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº13
6
2
6
22
)35(
1343075
)35(
1257512594550
−
++−=
−
++−+−=
x
xx
x
xxxx
6) 35
53
−
−=
x
xy Derivada de un cociente
−=−
=−=
=−=
⇒⋅−⋅
=
35;352
5;35
3;53
22 xvx
Dvxv
Duxu
v
DvuDuv
v
uD
( ) 35610
715
1
35:
352
715
35
352
2515353
−⋅−
+=
−
−
+=
−
−
−−−
=xx
xx
x
x
x
x
xx
Dy
( )352
715
352
25151830
352
2515356
352
2515353
2
−
+=
−
+−−=
−
+−−=
−
−−−
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
7) )7(2 xLy =
Fórmula: xx
DwxLwDwwnDw nn 17
7
1);7(;1
=⋅==⋅⋅=−
( ) )7(2
)7()7(22 xL
xxLDxDLyD ⋅===
8) )3(33 4
2xsenx
xy ⋅−= La derivada de una resta es la resta de las derivadas
[ ] )4cos(9)4(126
)3(33 43
3
3
2xxxsenx
xxsenxD
xDDy ⋅−⋅−
−=⋅−
=
342
6233
xx
x
xD
−=
⋅−=
[ ] )3cos(9)4(12)3(3 434 xxxsenxxsenxD ⋅+⋅=⋅
9) 3 25)5(cos xxecy += La derivada de una suma es la suma de las derivadas
[ ] [ ]3
3 2
253
10)5(cot)5(cos55)5(cos
xxgxecxDxecDDy +⋅−=+=
333 43 4 253
10
253
10
253
1010
253
1
xxx
x
x
xx
xDy ===⋅=
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 14
I) Continuidad, derivabilidad y extremos de una función 1.- Función real de variable real; f: R →→→→ R, y = f(x)
Es toda correspondencia f que asocia a cada valor de la variable independiente x, como máximo, un valor de la variable dependiente, y.
2.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. Conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, y se designa por Dom f(x) El dominio puede restringirse por: a) Imposibilidad de realizar alguna operación.
• Denominadores: Los valores de x que hacen cero un denominador no están en el dominio.
Ejemplo: { }2,2)(4
74)(
2−−=→
−
+= RxfDomx
xxf
• Raíces de índice par: el radicando tiene que ser mayor o igual que cero.
Ejemplo: { } ( ]2,2024/)(24)( ∞−=≤=≥−∈=→−= xxRxxfDomxxf
• Logaritmos: el argumento tiene que ser mayor que cero
Ejemplo: { } ( ) ( )∞−∞−=>+∈=→+= ,03,03/)()3(log)( 22UxxRxxgDomxxxg
b) Contexto real del cual se extrae la función: Ejemplo: Sea x la base de un rectángulo de 100m de perímetro, e y la altura. Calcula la función que nos da la altura en función de la base y calcula su dominio. Solución: y= 50-x ⇒ Dom f(x)= (0,50) ¿Por qué?
c) Voluntad de quien propone la función:
Ejemplo: ( ) { } ( ) { }20,2,20,)(04
74)(
2−−∞−=−−∞−=→<
−
+= xfDomxsix
xxf
NOTA: x=2 no hay que quitarlo porque no está en el intervalo de definición. [x<0 = (-∞,0)]
3.- Dominio de funciones que no son a intervalos, teniendo en cuenta sólo la imposibilidad de realizar alguna operación ( apartado a). Estudiaremos funciones de la forma y= f(u) donde u es un polinomio.
� Funciones cuyo dominio es R: funciones polinómicas, función seno, función coseno, función exponencial, función arco tangente, función arco cotangente y las funciones que son raíces de índice impar.
� Función cociente de polinomios: su dominio es R – {valores de x que anulan el denominador].
{ } { }0,20/)(63
741)( −−==∈−=→
+
++= RresdenominadoRxRxfDom
x
x
xxf
� Función logarítmica y=logau: Dominio= {valores de x tales que u>0}. { } ( )2,048/)()48(log)( ∞−=>−∈=→−= xRxxfDomxxf
� Función raíz de índice par y radicando u: Dominio = {valores de x tales que u≥0}
{ } ( ) ( )∞−=>−∈=→−= ,20,204/)(4)( 34 3UxxRxxfDomxxxf
� Funciones y=arc sen(u) ó y=arc cos(u): Dominio = {valores de x tales que -1≤u≤1} { } { } [ ]3,4346281721)()72sen()( −−=−≤≤−=−≤≤−=≤+≤−=→+= xxxxfDomxarcxf
� Funciones y=arc sec(u) ó y=arc cosec(u): Dominio = R - {valores de x tales que –1<u<1}
( ) ( ] [ )
{ } { } ( )6,46446151
,64,6,4)()5sec()(
=<<=−<−<−=<−<−
∞∞−=−=→−=
xxx
RxfDomxarcxf U
� Funciones y= tg(u) e y = sec(u): { }0)cos(/)( =∈−= uRxRxfDom � Funciones y= cotg(u) e y = cosec(u): { }0)sen(/)( =∈−= uRxRxfDom
{ }
+=→==→= ππ
π kuukuu2
0)sen(;0)cos( ; y ahora despejas x.
ZK
kRxfDom
kxkxuxxf
∈∀
−=→=→==→=2
)(2
2)2tg()(ππ
π
ZK
kRxfDom
kxkxuxecxf
∈∀
+−=→+=→+==→=36
)(362
3)3(cos)(ππππ
ππ
� Suma, resta y producto de funciones: es la intersección de los dominios de cada una.
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 15
� Cociente de funciones: es la intersección de los dominios de cada una - {valores de x que anulan el denominador]
� 4.- DOMINIO DE FUNCIONES QUE SON A INTERVALOS: Estudiamos el dominio en cada intervalo, teniendo en cuenta que aparece 2. -c).
5.- RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN. Es el conjunto de valores de la variable dependiente “y” para los que existe función
6.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. Preguntas del libro: nº 5, 6 y 7 páginas 236 a 241 � Las funciones que no son a intervalos son continuas en todos los puntos de su dominio. � Las funciones que son a intervalos son continuas en todos los puntos de su dominio, excepto en
los puntos de cambio en los que se tiene que cumplir las propiedades de la continuidad:
)()()ª3;)()ª2;:
)()ª1 xf
ax
limafxf
ax
lim
existe
af
→=
→∃
∃
∃
7.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Preguntas nº 3, 4 y 5 de las páginas 254 a 257.
8.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN QUE NO ES A INTERVALOS: Es el conjunto de valores de x para los que existe derivada. ♦ Para calcular Df(a) se dan los siguientes pasos: a) Comprobar que existe f(a); b) calcular la función derivada Df(x) ; c) calcular Df(a) ♦ Las funciones que no son a intervalos son derivables en todos los puntos de su dominio,
excepto: a) Las raíces: Son derivables en todos los puntos en que es continua - {valores de x que anulan
el radicando}. Estos puntos se llaman angulosos. b) Funciones y=arc sen(u) ó y=arc cos(u): Es derivable en {valores de x / –1<u<1} c) Funciones y=arc sec(u) ó y=arc cosec(u): Es derivable en R - {valores de x / –1≤u≤1}
NOTA: Si y=arc sen(x+3), su dominio es [-4,-2] ⇒⇒⇒⇒ es continua en [-4,-2] y derivable en (-4,-2)
9.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN A INTERVALOS: Es el conjunto de valores de x para los que existe derivada. Una función f(x) es derivable donde es continua, pero:
� En los puntos de cambio hay que comprobar que existen la derivada por la derecha y por la izquierda (D+f(a) y D-f(a)) y que son iguales,
� Si es una raíz, no es derivable en los valores del dominio que anulen el radicando. (Puntos angulosos) NOTA: En los puntos en los que f(x) no es continua la función no tiene derivada. (*****) Si la función tiene mas de un intervalo se hace como en el ejercicio nº 1
Ej-1 Estudia donde es continua y derivable la función:
−>+
−≤−−=
174
1952
xsix
xsixxy
A) Dominio de la función: � En el intervalo (-∞,-1] todos pertenecen al dominio por ser y=x2-5x-9 una función polinómica � En el intervalo (-1,∞) todos pertenecen al dominio por ser y=4-7x una función polinómica � Dom f(x) = R B) Dominio de continuidad de f(x): La función es continua en el dominio, R, excepto en el punto de cambio x=-1,que hay que ver las tres propiedades: 1º) Que exista f(-1). Se cumple porque f(-1) = -3. 2º) Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a -1. Hay que hacer límites laterales.
( ) 3951
lim)(
1
lim2
−=−−−→
=−→
−−xx
xxf
x ; ( ) 374
1
lim)(
1
lim−=+
−→=
−→++
xx
xfx
3)(1
lim−=
−→⇒ xf
x
3º) 3)(1
lim)1( −=
−→=− xfx
f
Luego f(x) no es continua para x=-1 ⇒⇒⇒⇒ Resumen: f(x) es continua en R-{-1} C) Dominio de derivabilidad de f(x):
La función es derivable donde es continua, pero para x=-1 hay que comprobar que la derivada por la derecha y por la izquierda son iguales
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 16
752)1(;7)1(17
152−=−−=−=−⇒
−>
−<−=
−+ fDfDxsi
xsixDy No son iguales. NO ES DERIVABLE
Resumen: f(x) es derivable en R-{-1} NOTA: En la derivada no se pone ≤ en el primer intervalo hasta que veas que es derivable para x=-1
Si la función tiene un intervalo se hace como en el ejercicio nº 2
Ej-2 Estudia donde es continua y derivable la función:
=
≠=
01
0
xsi
xsix
senxy
Como la función sen(x) y x son derivables siempre y el denominador no vale cero, es derivable siempre, pero para x=0 hay que comprobar que tiene derivada con la definición:
=−
−
→=
0
)0()(
0
lim)0(
x
fxf
xDf =
−
→ xx
xsen
x
1)(
0
lim{ }===
−
→HôpitalL
x
xsenx
x'
0
0
0
lim2
{ }===−
→= HôpitalL
x
x
x'
0
0
2
1cos
0
lim0
2
0
20
lim==
−
→
senx
x→ Sí es derivable en x=0
La función f(x) es derivable en R, es decir, siempre
10.- RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. La recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=a ∈ Dom f(x), es la recta que pasa por el punto (a,f(a)) y su pendiente m= Df(a), y su ecuación es: y - f(a) = m(x-a)
11.- RECTA NORMAL A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La recta normal a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x= a ∈ Dom f(x), es la recta que pasa por el punto A=(a,f(a)) y es perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Se verifica que su
pendiente es )(
1
aDfm −= y su ecuación es )()( axmafy −⋅=−
NOTA: a) si Df(a) =0, la recta tangente es horizontal y la recta normal es vertical, y sus ecuaciones son y= f(a) y x= a, respectivamente. b) Si f(x) es continua para x=a, pero no es derivable porque Df(a) no existe y es infinita (esto
ocurre en los puntos angulosos), la recta tangente es vertical y la recta normal es horizontal, y sus ecuaciones son x= a e y= f(a), respectivamente.
12.- DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. Pregunta nº2 página 284
13.- REGLA DE L´HÔPITAL.
Se utiliza para resolver las indeterminaciones0
0 y
∞
∞
Se verifica que =→ )(
)(lim
xg
xf
ax )(
)(lim
xDg
xDf
ax → ; se aplica mientras aparezca la indeterminación;
a puede ser cualquier número real, +∞ y -∞ No es recomendable cuando el numerador es una raíz y el denominador un polinomio y x→∞.
Ejemplo: Calcula xex
x
x 22
2
3
5)4(cos5
0
lim−
⋅
−⋅
→ e interpreta geométricamente el resultado
==⋅
−⋅
→ − 0
0
3
5)4(cos5
0 22
2
xex
x
x
lim==
−
⋅−
→ − 0
0
)1(6
)8sen(20
0 2 xxe
x
x
limx 3
80
6
160
)142(6
)8cos(160
0 22
−=
−=
+−
⋅−
→ − xxe
x
x
limx
Interpretación geométrica:
La función xex
xxf
22
2
3
5)4(cos5)(
−⋅
−⋅= tiene una discontinuidad evitable el punto P=
−
3
80,0
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 17
14.- PUNTOS NOTABLES DE UNA FUNCIÓN: � Puntos de corte con los ejes: se obtienen resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:
=
=⇒∩
0
)()(
y
xfyOXejexf
=
=⇒∩
0
)()(
x
xfyOYejexf
SIEMPRE hay que comprobar que los valores de x pertenecen al dominio. � Puntos críticos: son los puntos cuya abscisa, x, anula la primera derivada. Se obtienen
resolviendo la ecuación Df(x)=0. Hay que comprobar que las soluciones de x pertenecen al dominio. Dichos puntos serán máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión con tangente horizontal.
� Máximo relativo: El punto A=(a,f(a)) es máximo relativo de f(x) cuando a la izquierda de a la función crece (Df(x)>0) y a la derecha decrece (Df(x)<0). NOTA: Si la función f(x) es derivable, para x=a, el punto A=(a,f(a)) es máximo relativo de f(x) si y solo si Df(a)=0 y D2f(a)<0.
� Mínimo relativo: El punto A=(a,f(a)) es mínimo relativo de f(x) cuando a la izquierda de a la función decrece (Df(x)<0) y a la derecha crece (Df(x)>0). NOTA: Si la función f(x) es derivable, para x=a, el punto A=(a,f(a)) es mínimo relativo de f(x) si y solo si Df(a)=0 y D2f(a)>0.
� Punto de inflexión: El punto A=(a,f(a)) es punto de inflexión de f(x) cuando a la izquierda de a la función es cóncava (D2f(x)<0) y a la derecha es convexa (D2f(x)>0), o viceversa. NOTA: Si la función f(x) es derivable, para x=a, el punto A=(a,f(a)) es punto de inflexión de f(x) si y solo si D2f(a)=0 y D3f(a)≠0.
� Punto anguloso: El punto de coordenadas (a, f(a)) es un punto anguloso de la función f(x) cuando para x=a la función es continua pero no es derivable.
15.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN.
a) Si Df(x) > 0, f(x) es creciente b) Si Df(x) < 0, f(x) es decreciente c) Si Df(x) = 0, dudoso. Hay que estudiar si crece o decrece a su izquierda y a su derecha.
Para calcular los intervalos de monotonía y los extremos relativos de una función hay que dar los pasos:
a) Calculamos su dominio de definición y donde es continua y derivable. b) Dibujamos en la recta real el dominio de la función, los puntos críticos y los puntos de
cambio de la función. c) Estudiamos la monotonía en cada uno de los intervalos.
En los puntos dibujados que pertenecen al dominio: � Si crece a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) crece para x=a. (Si x= a es un punto
crítico, el punto(a,f(a)) es un punto de inflexión con tangente horizontal). En caso contrario, no se sabe y no se dice nada.
� Si decrece a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) decrece para x=a. (Si x= a es un punto crítico, el punto(a,f(a)) es un punto de inflexión con tangente horizontal). En caso contrario, no se sabe y no se dice nada.
� Si a la izquierda de x=a decrece y a la derecha crece, f(x) tiene un mínimo relativo para x= a., en el punto (a,f(a)).
� Si a la izquierda de x=a crece y a la derecha decrece, f(x) tiene un máximo relativo para x= a, en el punto (a,f(a))
16.- CURVATURA EN FUNCIONES DERIVABLES.
a) Si f"(x) > 0, f(x) es convexa b) Si f"(x) < 0, f(x) es cóncava. � Si f"(x) = 0, dudoso. Tenemos que comprobar lo que hace a su izquierda y a su derecha.
Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función hay que dar los pasos:
a) Calculamos su dominio de definición y donde es continua y derivable. b) Dibujamos en la recta real el dominio de la función, los puntos que anulan la segunda derivada,
los puntos angulosos (solo cuando hay raíces) y los puntos de cambio de la función. c) Estudiamos la concavidad y la convexidad en cada uno de los intervalos.
En los puntos dibujados que pertenecen al dominio: � Si es cóncava a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) es cóncava para x=a � Si es convexa a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) es convexa para x=a
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 18
� Si a la izquierda de x=a es cóncava y a la derecha convexa, o viceversa, f(x) tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (a, f(a))
17.- EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN.
El punto A=(a,k) es el máximo absoluto de la función f(x) cuando k≥f(x) para todo x ∈ Dom f(x). El punto B=(b,h)) es el mínimo absoluto de la función f(x) cuando h≤f(x) para todo x ∈ Dom f(x). Si existen, k se llama cota superior de la función, y h cota inferior de la función; k= f(a) y h= f(b) Si no hay asíntotas verticales, los valores de x candidatos a extremo absoluto son: los extremos relativos, los puntos de cambio de la función y los extremos del dominio o intervalo, si lo hay. Se calcula la segunda coordenada de todos esos puntos y el que tenga la mayor será el máximo absoluto y el que tenga la menor será el mínimo absoluto
18.- VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN: Si tenemos y=f(x), los puntos (a,b) de la gráfica de f(x), con b>0, pertenecen a la gráfica f(x) y los
puntos (a,b) de la gráfica de f(x), con b<0, pertenecen a la gráfica f(x) los puntos (a,-b). Lo primero es quitarlo y llegamos a una función a intervalos, siendo los puntos de cambio la solución o
soluciones que se obtienen al igualar a cero lo que hay dentro del valor absoluto.
Definición de valor absoluto:
<−
≥=
0
0
asia
asiaa . Ejemplo-1:
−<−−
−≥+=+=
242
24242
xsix
xsixxy
Ejemplo-2:
>−+
≤<−+−−
−≤−+
=−+=
143
1443
443
43
2
2
2
2
xsixx
xsixx
xsixx
xxy 1;4
043
21
2
=−=
=−+
xx
xx
Ejemplo-3: Dibuja la función f:R→R definida por 2xy += Propiedades:
a) El dominio de la función y=f(x) coincide con el de y=f(x). b) La función y=f(x) es continua en los mismos puntos que la función y=f(x). c) La función y=f(x) es derivable en los mismos puntos que la función y=f(x), excepto en los
valores de x tales que f(x)=0. En dichos puntos tenemos que comprobar que las derivadas por la derecha y por la izquierda son iguales. (Lo mas normal es que no lo sean).
19.- ESTUDIO DE f(x) CUANDO NOS DAN LA GRÁFICA DE Df(x).
a) Para los valores de x en los que exista gráfica de Df(x), f(x) es derivable, lo que implica que para dichos valores de x es continua y pertenecen al dominio.
b) MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS: Observando la gráfica � Para los valores de x tales que Df(x)>0, la función f(x) crece, � Para los valores de x tales que Df(x)<0, la función f(x) decrece, � Para los valores de x en los que la gráfica de Df(x) corte al eje de abscisas, (Df(x)=0; puntos
críticos), estudiamos lo que ocurre a su izquierda y su derecha, y calculamos los extremos relativos.
c) CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN: Observando la gráfica � Para los valores de x tales que la gráfica de Df(x) crece ⇒ D2f(x) ≥ 0 ⇒ la función f(x) es
convexa � Para los valores de x tales que la gráfica de Df(x) decrece ⇒ D2f(x) ≤ 0 ⇒ la función f(x) es
cóncava � Si la gráfica de Df(x) ni crece ni decrece, f(x) es una recta y no es ni cóncava ni convexa. � Si en x=a la gráfica de f(x) pasa de ser cóncava a convexa o viceversa, hay un punto de
inflexión. Si observamos la gráfica, en el punto (a,f(a)) la tangente es horizontal.
20.- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. (Página 319 del libro)
a) Escribimos la fórmula que piden que optimicemos y la llamamos w, indicando qué representa cada variable (una medida, un precio, abscisa de un unto, ……) .
b) Si la función tiene más de una variable, buscamos condiciones en el enunciado, despejamos incógnitas y sustituimos. En la función a optimizar sólo puede haber una variable.
c) Calculamos su dominio. d) La solución estará en los puntos críticos que pertenezcan al dominio o en los extremos del
dominio.
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 19
Ejercicios resueltos: Ej-1 De todos los rectángulos de área 100 cm2 calcula el de diagonal máxima y mínima.
Llamaremos x: medida de la base en centímetros ; y: medida de la altura en centímetros
)(1000010000100
;1004
2
222 xwx
x
xxDiagonal
xyyxÁreayxDiagonal =
+=+=⇒==⋅=⇒+=
Dominio de x = (0,∞) porque x es una medida y no puede ser ni cero ni negativa. La raíz existe siempre porque el radicando nunca puede ser negativo.
∉−=
∈=⇒==⇒
+⋅
−=⇒
ioDox
ioDoxxxDw
xx
xxDw
críti
Puntos
min10
min1010000;0)(
10000
10000)(
cos 2
14
42
4
Dw(5)= -3,6 <0→ w(x) decrece a la izquierda de x=10; Dw(5)= -3,64 <0,9→wg(x) crece a la derecha de x=10;
decrece crece 0 10 (mínimo relativo)
� Si x=10→y=100:10 = 10 cm→ El rectángulo de diagonal mínima es el cuadrado de lado 10 cm.
� El de diagonal máxima no existe; sería para x=0 o x=∞ o (los extremos del intervalo) y esto no es un rectángulo
Ej-2 Calcula el punto o puntos de la gráfica de la función y=x4 – 4x3 –18x2 en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima y calcula dicha pendiente. Igual para el de pendiente mínima
x: abscisa de los puntos de la función ; y: ordenada de los puntos de la función. Pendiente: m = Df(x) = 4x3 – 12x2 – 36x =w(x). Como x (abscisa de los puntos) puede valer cualquier número real, Dominio de x = R Calculemos los extremos de la función w(x): Puntos críticos: Dw (x)= 12x2 – 24x – 36 =0 ; x1= -1∈∈∈∈R; x2= 3∈∈∈∈R
crece decrece crece
-1 3 máximo relativo mínimo relativo
Dw(-3) = 144 >0 → w(x) crece ; Dw(0)= -36 → w(x) decrece ; Dw(5) = 144 >0 → w(x) crece El punto con pendiente mínima es P=(3,f(3)= (3,–189) y la pendiente m= w(3)=Df(3)=–108 f(3)==81–108–162=-189 ; m = w(3)= DF(3)= 108–108-108=-108. El punto con pendiente máxima es P=(-1,f(-1))= (-1,-13) y la pendiente m=w(-1)=20 f(-1)=1+4–18=-13 ; m = w(-1) = -4-12+36=20 Ej-3: Un granjero desea hacer tres corrales iguales y contiguos, como se señala en la figura.
y x
El área de cada uno es de 40 m2. La zona marcada con trazo grueso cuesta 450 € el metro de valla y la zona marcada con trazo fino cuesta 280 € el metro de valla. Determina las dimensiones x (largo) e y (ancho), con dos decimales, de cada uno de los corrales para que el coste de la valla sea mínimo
Coste = 450(4x+2y)+280(2x+2y)=2360x+1460y=2360x+ .58400
x
Área= .40
40x
yyx =⇒=⋅ Dominio de x=(0,∞∞∞∞)
Coste mínimo⇒⇒⇒⇒D Coste =2360-
∞∉−=
∞∈=⇒==⇒=
),0(97,4
),0(97.4
59
1460
2360
584000
58400 2
2 x
xx
x
decrece crece 0 4,97 (mínimo relativo) ∞ Solución: Cada corral mide de largo: x=4,97 m. y de ancho: y=8,05 m
Ej-4 Calcula el punto o puntos de la gráfica de la función 2xexy −
⋅= en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 20
II) ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN. Una asíntota es una recta a la que se aproxima la función en uno de sus extremos o en los dos.
1.- Función polinómica y = P(x). � No tiene asíntotas verticales. � Tiene dos ramas parabólicas (RP), una por +∞ y otra por - ∞. (06.)
2.- Función racional (cociente de polinomios) Repaso 1º Bachillerato
� Asíntotas verticales (A.V.): se calculan por (01.) � Asíntotas horizontales, oblicuas y ramas parabólicas (AH, AO y RP). El resultado por +∞ y por
-∞ coincide, por lo que sólo lo haremos por +∞. Sólo hay una de las tres. Sea h= grado del numerador y k= grado del denominador.
CASOS Tipo de asíntota y ecuación:
h < k La recta de ecuación y=0 es A.H. por +∞ y por - ∞
h = k La recta de ecuación y=b es A.H. por +∞ y por - ∞ (02.)
h = 1 + k La recta de ecuación y=mx+n es A.O. por +∞ y por - ∞ (04.)
h > 1 + k Tiene una R.P. por +∞ y otra por - ∞ (06.)
NOTA : La posición de la A.H. o de la A.O. hay que estudiarla por +∞∞∞∞ y por -∞∞∞∞.
3.- Función irracional (raíz cuadrada de un polinomio ± un número).
a) No tienen asíntotas verticales b) Si los valores de x que se acercan a +∞ pertenecen al dominio, tendremos una AH, una AO o una
RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). c) Si los valores de x que se acercan a -∞ pertenecen al dominio, tendremos una AH, una AO o una
RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Observaciones:
� Si grado de P(x) ≠ 2 puede tener una rama parabólica por +∞, si se cumple 2. y otra por - ∞ , si se cumple 3. Se calculan por (06.)
� Si grado de P(x) = 2, tiene una asíntota oblicua por +∞ y otra por - ∞. (DOS SEMIASÍNTOTAS) Se calculan por (03.) y (04.)
� Si hemos calculado la A.O. por +∞∞∞∞, y es la recta y=3x+6, por -∞∞∞∞ será la recta y=-3x-6. (Si eres listo te ahorras calcularla).
4.- Funciones en las que aparecen polinomio y raíces de polinomios.
a) Asíntotas verticales: se calculan por (01.) b) Si los valores de x que se acercan a +∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o
una RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (02.), si no hay se prueba con la A.O. (03.) y si no hay se busca la R.P. (06.)
c) Si los valores de x que se acercan a -∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (03.), si no hay se prueba con la A.O. (04.) y si no hay se busca la R.P. (06.)
5.- Funciones trigonométricas. (SIEMPRE SE TRABAJA EN RADIANES)
Las funciones seno, coseno, arco seno y arco coseno no tienen asíntotas. a) Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante tienen infinitas asíntotas verticales. b) Las funciones arco seno y arco coseno no tienen asíntotas. c) Las funciones arco tangente y arco cotangente tienen dos semiasíntotas horizontales, una por +∞
(02.) y otra por - ∞ (03.)
José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 21
Tenemos que saber que:
2)tg(
π→+∞arc ;
2)tg(
π−→−∞arc ; π→+∞)(cot garc ; 0)(cot →−∞garc
)tg(2
1tg)(cot aarc
aarcagarc −=
=
π. Ej.: 3218,0)3tg(
23
1tg)3(cot =−=
= arcarcgarc
π
6.- FUNCIONES TRASCENDENTES. (Logaritmos y exponenciales)
Calculamos su dominio. a) Hay A.V. si tenemos valores de x que anulen el denominador o hay un logaritmo de u, y existe
algún valor de x tal que u=0. Si hay, se calculan por (01.) b) Si los valores de x que se acercan a +∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o una RP
(SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (02.), si no hay se prueba con la A.O. (03.) y si no hay se busca la R.P. (06.)
c) Si los valores de x que se acercan a -∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (03.), si no hay se prueba con la A.O. (04.) y si no hay se busca la R.P. (06.)
NOTA: En los límites por -∞∞∞∞ se comienza con el cambio de variable x=-t
Fórmulas para calcular las asíntotas: 01. Cálculo de las asíntotas verticales:
La recta x = a es A.V. de f(x) cuando 0
)(k
xfax
lim=
→, siendo k∈R y k≠0.
� Hay que hacer límites laterales para estudiar la posición de la A.V. y la función. � Habrá tantas como valores de x que anulen el denominador. � La AV y la función nuca se cortan.
02. Calculo de las A.H. por +∞∞∞∞:
La recta y=b es AH de f(x) por +∞∞∞∞ cuando Rbxfx
lim∈=
∞→)(
� Si pido la posición, hay que estudiar si se corta la AH y f(x), y la posición de la AH y la función, por +∞. 03. Calculo de las A.H. por -∞∞∞∞:
La recta y=b es AH de f(x) por -∞∞∞∞ cuando Rbxfx
lim∈=
−∞→)(
� Si pido la posición, hay que estudiar si se corta la AH y f(x), y la posición de la AH y la función, por -∞. 04. Calculo de la asíntota oblicua por +∞∞∞∞:
La recta y= mx+n es AO de f(x), por +∞∞∞∞, cuando:
0)(
≠∈∞→
= myRx
xf
x
limm ; ( ) Rmxxf
x
limn ∈−
∞→= )(
� Si pido la posición, hay que estudiar si se cortan la AO y f(x) y la posición de la AO y la función, por +∞.
05. Calculo de la asíntota oblicua por +∞∞∞∞: La recta de ecuación y=mx+n es A.O. de f(x) por - ∞∞∞∞, siendo
0)(
≠∈−∞→
= myRx
xf
x
limm ; ( ) Rmxxf
x
limn ∈−
−∞→= )(
� Si pido la posición, hay que estudiar si se cortan la AO y f(x) y la posición de la AO y la función, por -∞. 06. Calculo de las ramas parabólicas por +∞∞∞∞ y por -∞∞∞∞:
∞−
∞+=
∞→ IVcuadrantePR
IcuadrantePRxf
x
lim
..
..)( ;
∞−
∞+=
−∞→ IIIcuadrantePR
IIcuadrantePRxf
x
lim
..
..)(
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 22
Diferencial de una función: df(x) = Df(x).dx
Tabla de integrales indefinidas inmediatas de:
a) Función simple b) Función compuesta
∫∫∫∫ dx = x + C CxfdxxDf= dxxdf +=⋅⋅ ∫∫ )()()(
∫ +=⋅ CxLdxx
1
∫ +=⋅ CuLdxu
u
'
∫ −≠++
=⋅
+
11
1
nsiCn
xdxx
nn ∫ −≠+
+=⋅⋅
+
11
'1
nsiCn
udxuu
nn
∫ +=⋅+
Cxarcdxx
)(tg1
12
∫ +=⋅+
Cuarcdxu
u )(tg1
'2
∫∫∫∫ ex dx = ex + C ∫∫∫∫ u’.eu dx = eu + C
CaLa
1 = dxa xx
+⋅∫ CaLa
1 = dxau uu
+⋅⋅∫ '
∫∫∫∫ cos(x) dx = sen(x) + C ∫∫∫∫ u’.cos(u).dx = sen(u) + C
∫∫∫∫ sen(x) dx = -cos(x) + C ∫∫∫∫ u’.sen(u).dx = -cos(u) + C
∫∫∫∫ sec2x dx = tg(x) + C ∫∫∫∫u’. sec2u dx = tg(u) + C
∫∫∫∫ cosec2x dx = - cotg(x) + C ∫∫∫∫ u’.cosec2u dx = - cotg(u) + C
∫ +=⋅−
Cxarcdxx
)(sen1
1
2 ∫ +=⋅
−Cuarcdx
u
u )(sen
1
'
2
∫ +=⋅−⋅
Cxarcdxxx
)(sec1
1
2 ∫ +=⋅
−⋅Cuarcdx
uu
u )(sec
1
'
2
Integral de una suma de funciones: ∫∫∫∫ [f(x)+ g(x)] dx = ∫∫∫∫ f(x)dx + ∫∫∫∫ g(x)dx
Integral de una resta de funciones: ∫∫∫∫ [f(x)- g(x)] dx = ∫∫∫∫ f(x)dx - ∫∫∫∫ g(x)dx
Integral del producto de un número y una función ∫∫∫∫ [k.f(x)] dx = k. ∫∫∫∫ f(x)dx
NOTA: En la Integral indefinida de una función compuesta, si haces el cambio de variable t=u ; dt=u’.dt, llegamos al la Integral indefinida de una función simple. Ejemplo:
∫ ∫∫ +==+
=⋅+
=
=⋅===⋅+
Cuarctarcdttu
dt
t
u
u
dtdxdxudtutdx
u
u )tg()(tg
1
1
'1
'
';';
1
'222
( )∫ ∫∫ +==+
=⋅+
=
=⋅====⋅+
Cxtgarcttgarcdttx
dt
t
x
x
dtdxdxxdttxxtdx
x
x 2
22
242
4)(
1
1
21
2
2;2;;
1
2
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 23
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: A) Integral de un cociente de polinomios. (Funciones racionales) Caso I: El denominador es un monomio.
Divido cada monomio del numerador por el monomio del denominador, y se descompone la integral en suma de integrales inmediatas.
∫ ∫ ∫∫∫ ++⋅+−+=+−+=−+−+
Cx
xLxxxdxx
dxxdxdxxdxx
xxxx
4
92
8
7
8
112
4
7
2
1
4
98472 243
2
235
Caso II: El polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el grado del denominador. Divido los polinomios, aplico la propiedad de la división (Dividendo = divisor x cociente + resto), y descomponemos la integral en la suma de la integral de un polinomio y una integral del caso III.
∫ ∫∫ += dxxQ
xrdxxcdx
xQ
xP
)(
)()(
)(
)( siendo P(x)=Q(x).c(x)+r(x)
Caso III: El polinomio del numerador es de grado menor que el del denominador. 1) El denominador es un polinomio de grado uno: tenemos una integral logarítmica.
∫∫ ++===
=⋅=
+=
=+
⇒ CxLtLdttdtdxdxdt
rdenominadoxt
dxxiable
deCambioa 54
4
7
4
71
4
7
4
1;4
54
54
7
var)
∫∫ ++=
=
+==
+==
+⇒ CxL
u
xudt
xdx
xinmediata
lInteb 54
4
7
4'
54
54
4
4
7
54
7gra)
2) Hacemos el cambio t= Q(x), y calculamos dt = DQ(x).dx; se saca factor común en dt y en el numerador de
la fracción (Se intenta en todos los cocientes, aunque no sean de polinomios) Si se simplifican todas las x el cambio es posible. Ejemplo:
( )
( )
( )CxxLtLdt
ttdt
xt
x
dtx
dxdxxdt
xxt
dxxx
x+++===
+⋅
+=
+=+=
++=
=++
+∫∫ ∫ 163
7
6
7
616
)1(6
1)17
16
1;)66(
;163
163
77 2
2
2
3) El denominador es un binomio de segundo grado sin raíces reales.
⇒+=+
++
=+
+∫∫∫ tangentearcoundanosI
arítmicaleCasoIIIdx
bax
ndx
bax
mxdx
bax
nmx
:
loggraint;º2:
2
1
21222
4) El denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales: ax2+bx+c
Se transforma en una del caso 3º, del siguiente modo:
( )[ ]22
2
22
22
2
)(;4
4
2
4;
2;
2
4βαβα −−=
−=
−=
−=
−±−= xaxQ
a
acb
a
acb
a
b
a
acbbx
2122222
:
)(
1IIdt
t
nmmt
dtdx
txxtdx
x
nmx
adx
cbxax
nmx+=
−
+−=
=
+=−==
−−
+=
++
+∫∫∫ β
ααα
βα
(realiza todas las operaciones del numerador y del denominador y estás en el caso 3)) 5) El denominador es un polinomio con una raíz real múltiple: Q(x)=(ax+b)n.
Hago el cambio de variable t=ax+b ; despejo x y calculo dx; realizo todas las operaciones del numerador y tengo una integral del Caso I
∫ ∫ =
+−=
+−=
=−=+==
+
+−dt
t
tt
ttx
dtdxtxxtdx
x
xx3
2
223
2 12113
12
;1;1
)1(
753 Se resuelve como en 1) y se deshace
el cambio (t=x+1). HAZLO. 6) Si no es ninguno de los casos anteriores, descomponemos la fracción en suma de fracciones simples del
siguiente modo:
CxLxLxx
zLtLtt
zLtLtt
dzz
dtt
dttdttdxdzxz
dxdtxt
dxx
dxx
xxdxxx
xxdx
xxxx
xx
++++−+
−+
=+−−=
=+−−
⋅+−
⋅−
=+−+−
=
=+=
=+==
=+
++
−+++=++
−+=
++++
−+
−−
−−
−−
∫∫∫ ∫
∫ ∫∫∫ ∫∫
310
11
10
1
)1(5
4
)1(5
3
10
1
10
1
5
4
5
3
10
1
10
1
15
4
25
61
10
11
10
1
5
4
5
6
;3
:1
3
1
10
1
1
1
10
1)1(
5
4)1(
5
6
)3()1(5
783
155060305
783
22
1223
23
3
2
234
2
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 24
)3()1(
)1()1)(3()1)(3()3(
31)1()1()3()1(
7533
32
233
2
++
+++++++++=
++
++
++
+≡
++
−+
xx
xDxxCxxBxA
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Como los denominadores son idénticos, los numeradores también. (Dos polinomios son idénticos cuando su valor numérico, para cualquier valor de x, es el mismo). Como hay cuatro incógnitas, A, B, C y D, le damos a x cuatro valores cualesquiera. Los mejores son los valores de x que son raíces del denominador; en este ejercicio x=-1 y x=-3 y otros dos cualquiera.
6;1221783)1()3()1()1)(3()3( 232−=−=→−=⇒−+≡+++++++++⇒ AAxxxxDxxCxxBxA
2
1;4
321
7220;
2
1;483
−==⇒
=+→=
=+→=−=−=−→−= CB
CBx
CBxDDx (resuelve el sistema)
Sustituyendo en la integral, llegamos a integrales de los casos 1º y 5º. (También pueden salir de los casos 3º y 4. En este curso no entra).
B) Integrales por partes: Fórmula: ∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu Voy a distribuir las funciones en tres grupos:
Grupo A: exponenciales, seno y coseno. Grupo B: logaritmos, arco tangente y arco cotangente. Grupo C: arco seno y arco coseno.
1) Integral del producto de dos funciones del grupo A: a) Producto de dos funciones y las dos son exponenciales. Llamo I a la integral � Se llama a una u y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos una vez la fórmula; nos aparece nuestra integral
multiplicada por un número (k.I), planteamos una ecuación y calculamos I.
CL
eII
LL
e
Ldxvdv
dxedueudxeI
xxxx
xxx
xx
xx+
−
⋅=⇒+
⋅=
===
−==
=⋅⋅=
−−−−
−
∫∫ 223
2
23
2
23
2
223
12;2
2;2
3232
333
22
32
� Se transforman las dos en exponenciales de base e, se multiplican y tenemos una integral inmediata.
CL
e
L
edxe
e
eaTeoríadxeI
xxxLxL
Lx
mLam
xx+
+−
⋅=
+−==
=
==⋅=
−+−
+−−
∫∫ 232
2
2322
:2
32)232()232(
233
32
b) Producto de dos funciones y las dos no son exponenciales. Llamo I a la integral Se llama a una u y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula dos veces; la segunda vez, llama u
a la función que ha salido al calcular du la primera vez; nos aparece nuestra integral multiplicada por un número (k.I), planteamos una ecuación y calculamos I.
∫∫ =⋅−−=
−==
−==
=⋅=−−
−−− dxxsenexe
evedv
dxxsenduxu
dxxeI xxxx
x )2(3
2)2cos(
3
1
3
1;
)2(2);2cos(
)2cos( 3333
3
[ ][ ]
Cxxsene
IIxsenxeIIxsenexeI
Ixsenexeevdxedv
dxxduxsenu
xxxx
xxxx
+−
=−+−=⇒−⋅+⋅−
=
⇒
+⋅
−−⋅
−=
−==
==
=
−
⋅−−−
−−−−
13
)2cos(3)2(2;4)2(2)2cos(39
9
4)2(
9
2)2cos(
3
1
3
2)2(
3
1
3
2)2cos(
3
1
3
1;
)2cos(2);2(
3333
3333
NOTA: Si tenemos la integral de seno o coseno al cuadrado, se pone como producto, se aplica una vez la
fórmula de integración por partes, se aplica la ecuación fundamental de la trigonometría y nos sale nuestra integral multiplicada por un número (kI), planteamos una ecuación y calculamos I.
∫∫∫ =⋅−−=
−==
==
=⋅⋅=⋅= dxxxxsenxvxsendv
dxxduxsenu
dxxsenxsendxxsenI )7(cos)7cos()7(7
1
)7cos(7
1);7(
)7cos(7);7(
)7()7()7( 22
Cxxx
IxxxI
IxxxIIxxxdxxxx
+−
=⇒−=
−+−=⇒−+−
=⋅−+−= ∫
14
)7cos()7sen(7)7cos()7sen(714
;77)7cos()7sen(7)7cos()7sen(7
1))7(sen1()7cos()7sen(
7
1 2
2) Integral del producto de un polinomio y una función del grupo A
Se llama u al polinomio y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula tantas veces como nos indique el grado del polinomio.
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 25
( ) ( ) ( )∫∫ =⋅−++−−=
−==
⋅−=+−=
=⋅⋅+− dxxxxxxxvdxxsendv
dxxduxxudxxsenxx )2cos(23)2cos(743
2
1
)2cos(2
1;)2(
)23(2;743)2(743 2
2
2
( ) =
−⋅−++−−=
==
⋅=−=
= ∫ dxxsenxsenxxxxxsenvdxxdv
dxduxu)2(
2
3)2()23(
2
1)2cos(743
2
1
)2(2
1;)2cos(
3;232
( ) [ ] ( ) Cxsenxxxxxxsenxxxx +⋅+++−−
=+−++−−= )2(232
11186)2cos(
4
1)2cos(
4
3)2()23(
2
1)2cos(743
2
1 22
3) Integral del producto de una función del grupo B y un polinomio o cociente de polinomios. Se llama u a la función del grupo B y al resto dv, se calcula v y du, aplicamos la fórmula una vez y llegamos a
la integral de un cociente de polinomios.
∫∫ +−++−−
+−=⋅
−⋅+++
−
−=
−
−=
−=
⋅+
=+=
=⋅−
+CxLxL
x
xLdx
xxxL
xx
vdxx
dv
dxx
duxLu
dxx
xL2
5
13
5
1
2
3
)2()3(
1)3(
2
1
2
1;
)2(
13
1);3(
)2(
)3(
2
2
−==−−=
===
→≡++−⇒−
++
≡−+
5
1;15;3
5
1;55;2
1)3()2(23)2)(3(
1
AAx
BBx
xBxAx
B
x
A
xx
25
13
5
1
2
1
5
1
3
1
5
1
)2()3(
1−++−=
−+
+−=⋅
−⋅+= ∫∫∫ xLxLdx
xdx
xdx
xxI
NOTA: Si la función del grupo B está elevada a n, aplicamos la fórmula de integración por partes n veces.
∫∫ =⋅⋅−⋅=
⋅==
⋅⋅==
=⋅⋅ dxLxxxLx
dxxvxdxdv
dxLxx
duxLudxxLx 22
2
2
2
2
1
2
1;
1;
=
⋅==
⋅==
dxxvxdxdv
dxx
duLxu
2
2
1;
1;
[ ] CLxxLxxLxxxLxdxxLxxxLx ++−⋅=+−=
⋅−⋅−⋅= ∫ 122
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 222222222
4) Integral del producto de x y la función cosec2(ax) o la función sec2(ax)
Se aplica una vez la F.I.P.P., llamando u=x y dv al resto; nos queda la integral de cotag(ax) o tg(ax), que se resuelve escribiéndolas como cociente y haciendo el cambio de variable t=denominador.
∫∫∫ =+⋅−=
⋅−==
==
==⋅⋅ dxxsen
xxgx
dxxgvdxxecdv
dxduxu
dxxsen
xdxxecx
)3(
)3cos(
3
1)3(cot
3
1
)3(cot3
1;)3(cos
;
)3()3(cos 22
2
)3(3
1
3
11
3
1
)3cos(3
1
3cos(3);3(
)3(
)3cos()3(
9
1)3(cot
3
1xsenLtLdt
tdtx
dt
dxxdtxsent
dxxsen
xCxsenLxgx ===
=
===
=⇒++⋅−= ∫∫
5) Integral del producto de un polinomio y una función del grupo C
a) Integral de una función del grupo C multiplicada por un número (puede ser 1): Se llama u a la función del grupo C y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula una vez, y llegamos a una integral irracional, que se resuelve haciendo el cambio de variable t=radicando.
∫∫ =−
+⋅=
==−
===⋅ dx
x
xxsenarcx
xvdxdv
dxx
duxsenarcudxxsenarc
22
913)3(
;91
3);3(
)3( Cxxsenarcx +−−⋅291
3
1)3(
22
1
2
12
291
3
1
3
1
2
16
1
6
11
6
1
18
1
:18;91
913 xt
tdttdt
tdtx
dx
xdxdtxt
dxx
x−−=−=⋅−=−=−=
−=
−=−=
=−
⇒ ∫∫∫−
b) Integral de una función del grupo C multiplicada por x: hacemos el cambio de variable t= a la función del grupo C, despejamos x y calculamos dx. Obtenemos una integral por partes del caso 2).
=+−=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=
−=−=
⋅−==
==
=⋅⋅ ∫∫∫ )2cos(8
1)2(
16
1)2(
4
1cos
2
1
41cos1
2
1;cos
2
1
:)cos(2);2cos(
)2cos(
222
tttsendttsentdttsentt
xttsen
dtsentdxtx
txxarct
dxxarcx
Cxxxxxxxtsentt
xxxxtsenttsen+⋅+−⋅−=
−=−−=−=
−⋅=⋅−⋅=⋅⋅== )2arccos(
4
141
4
1
18)41(4cos)2cos(
4142412cos2)2( 2
22222
22
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 26
c) Integral de una función del grupo C multiplicada por x2: se llama u a la función del grupo C y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula una vez, y llegamos a una integral irracional, que se resuelve haciendo el cambio de variable t=radicando.
( ) Cxxxarcxdxx
xxarcx
xvdxxdv
dxx
duxarcu
dxxarcx ++⋅−−⋅=−
+⋅=
==
−
−==
=⋅⋅ ∫∫ 219
1)cos(
3
1
13
1)cos(
3
1
3
1;
1
1);cos(
)cos(223
2
33
32
22
=⋅+⋅−=+−=−
−=⋅−=
−=−=
−=−=
=−
⇒ ∫∫∫∫∫−
2
36
1
2
16
1
6
1
6
11
6
11
6
1
2
1;2
;1;1
13
1 2
3
2
1
2
1
2
1322
2
3tt
dttdttdtt
tdt
xt
x
dtx
dxdtxdt
txxt
dxx
x
( )3223 19
11
3
1
9
1
3
1xxtt −+−−=+−= ( ) 222 11
9
11
3
1xxx −−+−−= [ ]22 131
9
1xx +−⋅−−= [ ]21
9
1 22+⋅−−= xx
d) Integral de una función del grupo C multiplicada por un polinomio de hasta grado dos: se descompone
en suma de integrales de los casos anteriores. e) Si es de grado mayor que dos la cosa se complica. (NO ENTRAN ESTE CURSO).
C) INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE: 1) NORMAS GENERALES PARA EL CAMBIO DE VARIABLE
a) Consiste en hacer el cambio de variable x=u(t) o t=g(x); calculamos dx y sustituimos en la integral. Para que el cambio sea “bueno” en la nueva integral no puede aparecer la variable x.
b) Si hay una función compuesta f(u) y u no es un polinomio de grado uno, obligatorio el cambio t= u; se despeja x y se calcula dx, excepto si al calcular x o dx aparecen raíces. Se llega una integral inmediata, a la integral de un cociente de polinomio o una integral por partes.
[ ] CxxeIdttextsent
tdtdxsentxsenxarctdxe senxarctsenxarc
++−⋅==⋅⋅=
−=−=
====⋅ ∫∫
2
221
2
1cos
11cos
cos;;
∫∫ =⋅+=
==
−===⋅= dtsentete
evedv
sentdtdutudxteI ttt
tt
t cos;
;coscos =
==
==ttevedv
tdtdusentu
;
cos;
[ ]⇒⋅⋅−⋅+= ∫ dttesentete tttt coscos [ ]sentteIIsenteteI tttt+=⇒−⋅+= cos
2
1cos [ ] Cxxe senxarc
++−⋅=21
2
1
c) Si aparece una potencia, un, intentamos el cambio t=u (sólo la base). d) Si hay un cociente, intentamos el cambio t= denominador. Si hay una potencia en el denominador, hacemos lo
indicado en c). (Las raíces son potencias de exponente fraccionario). Si hay un producto en el denominador llamamos t sólo a una de ellas.
e) Si hay un producto de dos funciones llamamos t sólo a una de ellas. f) Una vez acabada la integral hay que deshacer el cambio. Sólo tiene que quedar la variable x.
NOTA: en los casos que siguen no se puede aplicar el caso b)
2) FUNCIONES EXPONENCIALES. a) Si todas las exponenciales tienen la misma base y el mismo exponente, hacemos el cambio t= exponencial b) Si todas las exponenciales tienen la misma base, a, y no tienen el mismo exponente, hacemos el cambio de
variable t=au siendo u = m.c.d. de los exponentes.
1.- ∫ ∫∫ =+
+=⋅
+
+
=
===
====
+
+−−
−
dttt
t
t
t
t
dt
t
tt
te
te
t
dtdx
tedxedtetdx
e
eetx
xxx
x
xx
)1(
1
2
1
2
1
2
11
;1
;2
;2;
2 2
32
22
2422
2
42
CeLxeetLtLt
ttt
tdt xxx
++−−−=+−−−=+
+−+=
−
∫ ∫ 28
7
4
1
4
1
2
12
8
7
8
1
4
1
2
1
)2(
12
2
1
2
1 222
2
2
;2
1;12012)2()2(
2)2(
12 22
22
2
==→=⇒+−≡++++⇒+
++≡+
+−AAttCttBttA
t
C
t
B
t
A
tt
t
4
7;1
4
7
2
3;1331;
4
7;742 =−=+−−=++→=
−=−=→−= CCCBAtCCt
NOTA: Cuando las exponenciales sólo se diferencian en el sigo del exponente, es mejor llamar t a la del numerador. (Compara 2.- y 3.- que son el mismo ejercicio.)
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 27
2.- ∫ ∫∫ =−
+=⋅
−
+
=
==
===
−
+−
−
dttt
t
t
dt
t
t
te
t
dtdx
dxedtetdx
e
ex
xx
x
x
)1(
12
2
1
1
21
2
11
;2
2;
1
222
22
2
2
CeLxetLtLtdtt
dtt
dttxx
+−+−=−+−=−
+−−=−−−
∫∫∫ 12
33
2
11
2
3
2
3
2
1
1
1
2
31
2
3
2
1 2212
−=→−=
=→=
−=→=
→+≡+−+−⇒−
++≡−
+
31
31
10
12)1()1(1)1(
12 2
22
Bt
Ct
At
tCttBttAt
C
t
B
t
A
tt
t
3.- ∫ ∫∫ =−
+=⋅
−
+=
===
===
−
+−
−−−
dtt
t
t
dt
t
t
te
te
t
dtdx
dxedtetdx
e
exx
xx
x
x
1
2
2
1
11
2
2
11
;1
;2
2;
1
222
22
2
2
CeLetLtxx
+−−=−−=−−
12
3
2
11
2
3
2
1 22 ¿Cuál es más fácil?
c) Si todas las exponenciales no tienen la misma base, las convertimos todas en base e. (am = emLa) (No se las preguntaré este curso) 3) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A) SIN COCIENTES: a) Producto de dos funciones seno o de dos funciones coseno con distinto argumento. b) Producto de una función seno y una función coseno con distinto argumento.
⋅+⋅=−
⋅−⋅=+
βαβαβα
βαβαβα
sensencoscos)cos(
sensencoscos)cos(
)aCaso
;
⋅−⋅=−
⋅+⋅=+
βαβαβα
βαβαβα
sencoscossen)sen(
sencoscossen)sen(
)bCaso
(También se pueden hacer por partes). Se transforma en suma de integrales con la fórmula
NOTA: las razones trigonométricas tienen el mismo ángulo o argumento en todos los casos que siguen c) Potencia de exponente natural impar de una función seno
nnn tuu
uu
uu
dtdxdxDuudt
utcambio
elhaceSe
)1()cos1(sen
cos1sen
)sen(';)sen(
)cos( 222
22
−=−=
−=⇒
⋅
−=⋅⋅−=⇒
=
d) Potencia de exponente natural impar de una función coseno
nnn tuu
uu
uu
dtdxdxDuudt
utcambio
elhaceSe
)1()sen1(cos
sen1cos
)cos(';cos
sen 222
22
−=−=
−=⇒
⋅=⋅⋅=⇒
=
e) Producto de potencias de exponente natural impar de funciones seno y coseno, con el mismo ángulo Se hace el cambio t= a la que tenga mayor exponente. Se sigue como en c) o d)
f) Producto de una potencia de exponente natural impar y otra de exponente natural par, con el mismo ángulo. Se hace el cambio t= a la que tenga exponente par. Se sigue como en c) o d)
g) Potencia de exponente par del seno, del coseno o del producto de una potencia del seno y otra del coseno, con el mismo ángulo
� Aplicamos las fórmulas del ángulo mitad: 2
)2cos(1)(cos;
2
)2cos(1)( 22 α
αα
α+
=−
=sen
� Sustituimos en la integral, quitamos paréntesis, realizamos todas las operaciones y descomponemos la integral en suma de integrales inmediatas o de los casos c), d), e), f), g).
h) Potencia de la función tangente: tgn(ax+b) Se hace el cambio de variable t= tg(ax+b), se despeja x y se calcula dx:
∫ ∫+
=+⇒+
⋅=+−
==+⇒ dtt
t
adxbaxdt
tadx
a
tbxtbax
nn
22 1
1)(tg
1
11;
)arctg();arctg(
Llegamos a la integral de un cociente de polinomios, se resuelve y se deshace el cambio de variable. i) Potencia de la función cotangente: cotgn(ax+b)
Se hace el cambio de variable t= cotg(ax+b), se despeja x y se calcula dx:
∫ ∫+
=+⇒+
⋅−
=+−
==+⇒ dtt
t
adxbaxgdt
tadx
a
tgarcbxtgarcbax
nn
22 1
1)(cot
1
11;
)(cot);(cot
Llegamos a la integral de un cociente de polinomios, se resuelve y se deshace el cambio de variable.
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 28
B) CON COCIENTES: todas las razones trigonométricas tienen el mismo ángulo. j) El denominador es la función de seno o la función coseno al cuadrado. Descomponemos la integral en suma de integrales inmediatas o de los casos siguientes k) o l).
k) Cambio t=cos(ax+b) ⇒2
22
1
)(cos1)(sen;
)sen(;)sen(
t
baxbax
baxa
dtdxdtbaxadt
−=
=+−==+
+⋅
−=⋅+⋅=
Se sustituye, se realizan todas las operaciones posibles (las potencias de seno que queden tienen que ser pares) y si desaparece la variable x el cambio es válido; en caso contrario probamos otro cambio.
l) Cambio t=sen(ax+b) ⇒2
22
1
)(sen1)(cos
)cos(;)cos(
t
baxbax
baxa
dtdxdxbaxadt
−=
=+−=+⇒
+⋅=⋅+⋅=
Se sustituye, se realizan todas las operaciones posibles (las potencias de coseno que queden tienen que ser pares) y si desaparece la variable x el cambio es válido; en caso contrario probamos otro cambio.
m) Sólo hay potencias de exponente natural par de seno, de coseno o de ambas. Se hace el cambio:
t=tg(ax+b) ⇒2
22
2
2
2 1)(sen;
1
1)(cos
1
11;
arctg
t
tbax
tbaxdt
tadx
a
tbx
+=+
+=+⇒
+⋅=
+−=
n) Si no vale ninguno de los anteriores hacemos el cambio de la tangente del ángulo mitad.
22
2
2 1
2)sen(;
1
1)cos(
1
12;
arctg2;
2tg
t
tbax
t
tbaxdt
tadx
a
tbx
baxt
+=+
+
−=+⇒
+⋅=
+−=
+=
Ejercicios resueltos:
1.- ==⋅=
=−=
==
= ∫∫ ∫ dtxx
dtx
dtx
dxtx
dxxdtxtdCaso
dxx )2(cos2
1
)2cos(2)2(cos
)2cos(2
1;1)2(cos
)2cos(2);2sen(:)
)2(cos 4522
5
Cxxxttt
dtttdtdtdtt ++−=+−=+−=−= ∫∫∫∫ )2(sen6
1)2(sen
2
1)2sen(
2
1
6222
1
2
1)1(
2
1 3232
222
2.- =+
=
+=
+−=
+=+=
=+∫ ∫ dtt
t
dtt
dxt
x
xtxthCaso
dxx2
3
2
3
12
1
1
1
2
1;
2
arctg1
12arctg);12tg(:)
)12(tg
CxLx
tLtdtt
ttdt +
++++=+−=
+
−+= ∫∫ 4
)12(tg1)12(tg1
4
1
4
1
12
1
2
122
22
2
3.- =++=
+
== ∫∫ ∫∫ dxxdxxdxx
xgcasodxx )4(cos4
1)4cos(
2
1
4
1
2
)4cos(1)2(cos:))2(cos
224
CxxxxxxxIxx +++=+++=++= )8sen(64
1)4sen(
8
1
8
3)8sen(
64
1
8
1)4sen(
8
1
4
1
4
1)4sen(
8
1
4
11
)8sen(64
1
8
1)8cos(
8
1
8
1
2
)8cos(1)4(cos:))4(cos
4
1 22
1 xxdxxdxx
xgcasodxxI +=+=
+
=== ∫ ∫∫
4.- ==⋅=
=−=
==
== ∫∫ ∫∫ dtxx
dt
xdtx
dxtx
dxxdtxtcCaso
dxx
dxx)3(cos
1
3
1
)3cos(3)3cos(
1
)3cos(3
1;1)3(cos
)3cos(3);3sen(:)
)3cos(
1)3sec(
222
CxLxLdtt
dtt
dttt
dtt
+−−+=−
−+
=+⋅−
−=
−= ∫∫∫∫ 1)3sen(
6
11)3sen(
6
1
1
1
6
1
1
1
6
1
)1()1(
1
3
1
1
1
3
12
5.- { } Cx
xgIIdxx
xdx
xjcasodx
x
x+−
−=+=+==
+∫∫∫ )2sen(2
1)2(cot
2
1
)2(sen
)2cos(
)2(sen
1)
)2(sen
)2cos(121222
)2(2
11
2
1
12
1
2
1
)2cos(2
)2cos(
)2cos(2;)2cos(2
)2(:)
;)2(cot2
1)2(cos
12
2
2
2
1
xsent
tdtt
x
dt
t
x
x
dtdxdxxdt
xsentdCaso
IxagdxxecI
−=
−⋅=
−⋅==⋅=
=
==
=
=−
==
∫∫
∫
−
−
José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 29
4) FUNCIONES IRRACIONALES a) Una raíz o varias con los índices iguales y los radicandos, que son polinomios de grado uno, iguales. Se hace
el cambio de variable t= a la raíz, se despeja x y se calcula dx. b) Todos los índices iguales y los radicandos son polinomios de grado uno o potencias de ese polinomio de
grado uno. Se hace el cambio de variable t= a la raíz del polinomio de grado uno, se despeja x y se calcula dx. c) Los índices no son iguales y los radicandos son polinomios de grado uno o potencias de ese polinomio de
grado uno. Llamo n= al m.c.m. de los índices. Se hace el cambio de variable t= a la raíz de índice n del polinomio de grado uno, se despeja x y se calcula dx.
d) Hay una sola raíz cuadrada, multiplicando o dividiendo a dx, y el radicando es un binomio de la forma
( ) tataxbadtt
b
adxt
b
ax
tabxCambio
xba cossen1cos;sen
sen22222222
⋅=−=−⇒
⋅==
=
⇒−
1.- =⋅=⋅⋅−=
⋅==
=
=⋅− ∫∫∫ dttdtttdttdxtx
txCambio
dxx 222 cos2
9cos
2
3sen99
cos2
3;sen
2
3
sen32
49
[ ] Cxxx
tttttdtt
+
−⋅+
=⋅+=+=
+= ∫ 9
41
3
2
3
2arcsen
4
9cossen
4
9)2sen(
8
9
4
9
2
)2cos(1
2
9 2
e) Si el radicando no es un polinomio de grado uno o una potencia de un polinomio de grado uno, hago el cambio t= radicando, se calcula dt, se despeja dx y se sustituye. (Si se simplifican todas las x el cambio es bueno).
2.- =⋅
=
=⋅=
=
=⋅⋅
∫∫ dtxtxdtxdxxdt
xtCambio
dxxx
)3(cos)3(cos
1
3
1
)3(cos3
1)3(sec3
)3tg(
)3tg()3(cos
1 2
222
2
Cxtt
dtt +=⋅⋅=⋅== ∫−
)3tg(3
22
3
1
2
13
1
3
1 2
1
2
1
3.- Resuelve la integral ∫ ⋅+
dxx
x
2
3
1
haciendo el cambio de variable t=1+x2
=−
==⋅=
−===
−=+=
=⋅+
∫∫∫∫ dtt
tdt
t
xdt
xt
x
txdtx
dxdtxdx
txxtCambiodx
x
x 1
2
1
2
11
2
1
1;2
1;2
;1;1
1
2322
2
3
( ) ( ) Cxxttttttt
dttdtt +−⋅+=−⋅=−⋅=⋅−⋅=−= ∫∫−
213
13
3
1
3
1
2
12
1
2
32
1
2
1
2
1 222
1
2
3
2
1
2
1
5) FUNCIONES LOGARÍTMICAS a) Hay un logaritmo de un polinomio de grado uno: L(ax+b): hago el cambio t= L(ax+b), despejamos x y
calculamos dx.
4.- ∫∫∫ +−−
=−−
=
=⋅⋅+=+
=
==
===⋅
+ − Cx
Lx
e
t
caso
partesPordtetdte
e
t
dtedxex
exLxtCambiodx
x
Lxt
tt
ttt
t22
º2)1(
1
;
;12222
b) Hay un logaritmo y el argumento no es un polinomio de grado uno. (Sería un caso de 1) b)).
[ ] ( ) ( )[ ] CxLxLxtteIdtetdtedxex
xLtCambio
dxxL tttt +−⋅⋅=−⋅==⋅=
==
=
=⋅ ∫∫ )3(cos)3(sen2
1cossen
6
1
3
1sen
3
1
3
1;
3
1
);3(
))3(sen(
[ ] [ ] [ ]tteIItteIdtetetet
evdtedv
dttdutudtetet
evdtedv
dttdutudtetI
ttttt
tt
tt
tt
t
cossen2
1cossensencossen
;
sen;coscossen
;
cos:sensen
−⋅=⇒−−⋅=⇒⋅+⋅−⋅=
=
==
⋅−===⋅−⋅=
==
⋅===⋅⋅=
∫
∫∫
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº30 I) INTEGRAL DEFINIDA. (Página 381 del libro)
La integral definida de la función f(x), continua en el intervalo [a, b], es un número real que coincide con el “área” del recinto plano limitado por la función y el eje de abscisas en el intervalo [a,b], con la siguiente peculiaridad: si f(x)>0, el área se considera positiva y si f(x)<0, el área se considera negativa. La integral definida es la
suma de todas ellas, y se representa por ∫ ⋅b
adxxf )(
Ejemplo: Calcula la integral definida de la función f(x)= 3 + 2x - x2 en el intervalo [-2,2] Aplico la fórmula la fórmula de la página 381, partiendo el intervalo en ocho partes iguales;
∑∫=
−−
⋅−=⋅8
1
1
3
2)()()(
iiii cfxxdxxf ; la longitud de todos los intervalos es la misma y vale
5,08
)2(21 =
−−=−=
−iii xxb y es la base de los “rectángulos”; ci es el punto medio de cada
intervalo y f(ci) es la altura de cada rectángulo y la llamaremos hi
intervalo base P.M. altura Área
xi-1 xi bi ci hi bi.hi
-2 -2 0,5 -1,75 -3,56 -1,78
-1,5 -1 0,5 -1,25 -1,06 -0,53
-1 -1 0,5 -0,75 0,94 0,47
-0,5 0 0,5 -0,25 2,44 1,22
0 0,5 0,5 0,25 3,44 1,72
0,5 1 0,5 0,75 3,94 1,97
1 1,5 0,5 1,25 3,94 1,97
1,5 2 0,5 1,75 3,44 1,72
Integral definida = 6,75
75,6)()()(8
1
1
3
2=⋅−=⋅ ∑∫
=
−−
iiii cfxxdxxf
Este método y otros que hay en el libro se estudian en Cálculo Numérico, pero para nosotros es muy complicado y al tomar pocos intervalos la aproximación no es buena. (Si dividimos el intervalo en 40 partes el resultado es 6,67) Nosotros calcularemos las integrales definidas aplicando la regla de Barrow, que dice: “Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y F(x) es una primitiva de f(x), se verifica
que )()()( aFbFdxxfb
a−=⋅∫ ”
En nuestro ejemplo f(x)= 3 + 2x - x2
F(x) es una primitiva de f(x) Cxxxdxxxdxdxdxxf +−+=−+=⇒ ∫∫∫∫322
3
1323)(
Como necesito una, le doy a C el valor que quiera: ⇒++−
=⇒=3
93)(0
23 xxxxFCSi
....6666,63
20
3
2
3
22)2()2()(
3
22)2(;
3
2)2(
2
2≈=−=−−=⋅⇒==− ∫−
FFdxxfFF
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº31 II) FUNCIÓN INTEGRAL. (Página 385 del libro)
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b], la función ∫ ⋅=x
adttfxF )()( se llama función
integral, siendo a un número fijo y x∈[a,b]. Hay dos tipos de ejercicios:
1.- Dibuja la función integral ∫−⋅=
xdttfxF
4)()( , sabiendo que f:[-4,4] →→→→ R y su
gráfica es NOTA: lo primero es poner, en el gráfico, lo que vale el área de cada trozo. Para ello lo descompongo en rectángulo, cuadrados o triángulos rectángulos. (HAZLO) a) Hago una tabla de valores y en la columna x pongo los extremos del intervalo, los puntos de
cambio y los puntos de corte con el eje OX, en orden creciente.
x F(x)
-4 0
-2 4
-1 4+1=5
0 5 - 1=4
0,5 4 - 0,5=3,5
2 3,5+4,5 = 8
4 8+8+2=18 b) Estudio que tipo de función hay en cada intervalo, sabiendo: � Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento horizontal que está sobre el eje de
abscisa (eje x) ⇒ la gráfica de F(x) será un segmento horizontal � Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento horizontal que no está sobre el eje x ⇒ la
gráfica de F(x) será un segmento oblicuo � Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento oblicuo creciente ⇒ la gráfica de F(x)
será una parábola con ramas ascendentes y el vértice de la parábola estará en el punto de corte de corte de f(x) y el eje x
� Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento oblicuo decreciente ⇒ la gráfica de F(x)
será una parábola con ramas descendentes y el vértice de la parábola estará en el punto de corte de corte de f(x) y el eje x
En nuestro ejemplo:
♦ En [-4,-2] F(x) será un segmento oblicuo creciente. ♦ En [-2,0] F(x) será una trozo de parábola con ramas descendentes, y el vértice en x=-1;
será el punto P=(-1,5)
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº32 ♦ En [0,2] F(x) será un trozo de parábola con ramas ascendentes, y el vértice para x=0,5;
estará en el punto Q=(0’5,3’5) ♦ En [2,4] F(x) será un trozo de parábola con ramas descendentes, y el vértice fuera del
intervalo y a su derecha. (f(x) cortará al eje x a su derecha)
2.- Dada la función ∫+
⋅=24
)3()(
x
xL
t dtexf , sin resolver la integral, calcula Df(x),
simplificando al máximo el resultado. a) En la función del integrando cambio t por x, ex
b) Se aplica la regla de Barrow y se deriva, teniendo en cuenta (*):
{ } ))3(()24()(24
)3(xLGxGBarrowderegladtexf
xx
xL
t−+==⋅= ∫
+
c) G(x) es una primitiva de ex ⇒⇒⇒⇒D(G(x))= ex⇒⇒⇒⇒ D(G(w))= ew.Dw, siendo w una función cuya variable es x.
324
2
3
9
24
2
3
33
242
4
))3(()24())3(()24()(
242424
)3(24
−+
⋅=−
+
⋅=⋅−
+⋅=
=⋅−+⋅=−+=
++
+
+
x
e
x
x
x
e
xx
xe
xLDexDexLDGxDGxDfxx
x
xLx
Ejercicios propuestos:
1. Dibuja la función integral ∫− ⋅=x
dttfxF2
)()( , sabiendo que f: [-2,5] → R y la gráfica
de f(x) es:
2. Dada la función ∫ ⋅−=)3cos(
2
21)(x
xdttxf , sin resolver la integral, calcula Df(x),
simplificando al máximo el resultado.
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº33 III) ÁREAS DE RECINTOS PLANOS.
Por los extremos del intervalo y por los puntos de corte de las funciones que delimitan el recinto, trazamos rectas verticales que nos dan los trozos en que se descompone el recinto, calculamos el área de cada uno y las sumamos
NOTA: en el dibujo del recinto, hay que dibujar líneas verticales por cada punto de corte y por cada extremo del intervalo 1.- Área del recinto plano limitado por una función, f(x) y el eje de abscisas
(OX) en el intervalo [a,b]. Ejemplo-1: Área del recinto plano limitado por la función y=3 - 2x - x2 y el eje de abscisas, en el intervalo [-2,2].
La función f(x) tiene que ser continua en el intervalo [a,b]. Hay que realizar los siguientes pasos:
a) Calculamos los puntos de corte de la función y el eje de abscisas, que pertenecen al intervalo [a,b]. Las ordenamos de menor a mayor, incluyendo a y b.
[ ] [ ]
212:
2,23;2,21;032;023
0
23 21
222
<<−
−∉−=−∈==−+=−−
=
−−=
ordenanSe
xxxxxx
y
xxy
b) Calculamos el área: =−+−−=+= ∫∫ −)1()2()2()1()()(
2
1
1
2GGGGdxxfdxxfÁrea
2
3
34
3
7
3
27
3
7
3
27
3
5
3
2
3
22
3
5unidades=+=
−+=−
−+
−−= (**)
G(x) es una primitiva de f(x) Cxxxdxxxdxdxdxxf +−−=−−=⇒ ∫∫∫∫322
3
1323)(
3
2)2(;
3
5)1(;
3
22)2(
3
93)(0
23−
==−
=−⇒+−−
=⇒= GGGxxx
xGCSi
c) Si nos lo piden, dibujamos el recinto plano del que nos piden el área.
En la tabla de valores tienen que estar, obligatoriamente, los extremos del intervalo y los puntos de corte de f(x) y el eje de abscisas que pertenecen al intervalo [-2,2].
(**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale positivo, porque el recinto está encima del eje OX y en el segundo sale negativo porque está debajo del eje OX. 2.- Área del recinto plano limitado por una función, f(x) y el eje de abscisas.
Como no nos dan el intervalo, lo tenemos que calcular con los puntos de corte de f(x) y el eje de abscisas OX.
Ejemplo-2: Área del recinto plano limitado por la función y=x3-4x2-x+4 y el eje de abscisas.
La función f(x) tiene que ser continua. Hay que realizar los siguientes pasos:
a) Calculamos los puntos de corte de la función y el eje de abscisas. Las ordenamos de menor a mayor, y de ahí obtenemos los extremos del intervalo: la menor y la mayor solución.
Obligatorios otros x -2 1 2 -1 0
f(x) 3 0 -5 4 3
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº34
[ ]4,1:411:
4;1;1:;044
0
44 321
2323
−⇒<<−
==−==+−−
=
+−−=
IntervaloordenanSe
xxxSolucionesxxx
y
xxxy
b) Calculamos el área: =−+−−=+= ∫∫ −)1()4()1()1()()(
4
1
1
1GGGGdxxfdxxfÁrea
208,2112
253
12
189
12
64
12
189
12
64
12
29
12
160
12
35
12
29unidades≈=+=
−+=−
−+
−−= (**)
G(x) es una primitiva de f(x) =+−−=⇒ ∫ ∫∫∫∫ dxxdxdxxdxxdxxf 44)( 23
12
486163)(04
2
1
3
4
4
1 234234 xxxx
xGCSiCxxxx+−−
=⇒=⇒++−−=
12
160)4(;
12
29)1(;
12
35)1( ==
−=−⇒ GGG
c) Si nos lo piden, dibujamos el recinto plano del que nos piden el área.
Obligatorios otros x -1 1 4 2 0
f(x) 0 0 0 -6 4 En la tabla de valores tienen que estar, obligatoriamente, los puntos de corte de la función con el eje de abscisas. (**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale positivo, porque el recinto está encima del eje OX y en el segundo sale negativo porque está debajo del eje OX.
3.- Área del recinto plano limitado por dos funciones f(x) y g(x) Como no nos dan el intervalo, lo tenemos que calcular con los puntos de corte de las funciones f(x) y g(x).
Ejemplo-3: Área del recinto plano limitado por las funciones y=-3x + 4 e y= -x3 + x + 4.
Las funciones f(x) y g(x) tienen que ser continuas. Hay que realizar los siguientes pasos:
a) Calculamos los puntos de corte de las funciones. Las ordenamos de menor a mayor, y de ahí obtenemos los extremos del intervalo: la menor y la mayor solución.
[ ]2,2:202:
2;0;2:;04;434
43
4 321
333
−⇒<<−
==−==−+−=++−
+−=
++−=
IntervaloordenanSe
xxxSolucionesxxxxx
xy
xxy
d) Calculamos el área:
[ ] [ ] =−+−−=−+−= ∫∫ −)0()2()2()0()()()()(
2
0
0
2HHHHdxxgxfdxxgxfÁrea
2844440440 unidades=+=+−=−+−= (**)
H(x) es una primitiva de f(x) - g(x) = -x3 + x+4 – (-3x +4)= - x3 + 4x.
[ ]4
8)(02
4
14)()(
24243 xx
xHCSiCxxxdxdxxdxxgxf+−
=⇒=⇒++−=+−=−⇒ ∫∫∫( )
4)2(;0)0(;4)2(4
822
−===−⇒−⋅−
= HHHxx
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº35 b) Si nos lo piden, dibujamos el recinto plano del que nos piden el área.
En la tabla de valores tienen que aparecer, obligatoriamente, los puntos de corte de las dos funciones.
(**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale negativo, porque ahí f(x) < g(x) y la función f(x) – g(x) es negativa; dentro del segundo valor absoluto sale positivo, porque ahí f(x) > g(x) y la función f(x) – g(x) es positiva. 4.- Área del recinto plano limitado por dos funciones, f(x) y g(x) en el intervalo
[a,b]. Ejemplo-4: Área del recinto plano limitado por las funciones y= x2 – 5 e y= 1-x, en el intervalo [-2,3]. Las funciones f(x) y g(x) tienen que ser continuas en el intervalo [-2,3]. Hay que realizar los siguientes pasos:
a) Calculamos los puntos de corte de las funciones f(x) y g(x), que pertenecen al intervalo [a,b]. Las ordenamos de menor a mayor, incluyendo a y b.
[ ] [ ]
322:
3,22;3,23:;06;15
1
5 21
222
<<−
−∈=−∉−==−++−=−
+−=
−=
ordenanSe
xxSolucionesxxxx
xy
xy
b) Calculamos el área:
[ ] [ ] =−+−−=−+−= ∫∫ −)2()3()2()2()()()()(
3
2
2
2HHHHdxxgxfdxxgxfÁrea
25,212
43
6
129
6
17
6
112
6
17
6
112
6
44
6
27
6
68
6
44unidades===+=+
−=
−−
−+−
−= (**)
H(x) es una primitiva de f(x)-g(x) = x2 - 5 – (-x +1)= x2 + x - 6.
[ ] ⇒=⇒+−+=−+=−⇒ ∫ ∫∫∫ 062
1
3
16)()(
232 CSiCxxxdxxdxdxxdxxgxf
( )6
27)3(;
6
44)2(;
6
68)2(
6
3632
6
3632)(
223−
=−
==−⇒−+⋅
=−+
= HHHxxxxxx
xH
c) Si nos lo piden, dibujamos el recinto
plano del que nos piden el área.
En la tabla de valores tienen que aparecer, obligatoriamente, los puntos de corte de las dos funciones. (**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale negativo, porque ahí f(x) < g(x) y la función f(x) – g(x) es negativa; dentro del segundo valor absoluto sale positivo, porque ahí f(x) > g(x) y la función f(x) – g(x) es positiva.
función obligatorios otros x -2 0 2 1 -1
f(x) 10 4 -2 4 4 recta obligatorios
x -2 0 2 y 10 4 -2
parábola obligatorios otros x -2 2 3 0 -3
f(x) -1 -1 4 -5 4 recta obligatorios
x -2 2 4 y 3 -1 3
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº36 5.- Área del recinto plano limitado por más de dos funciones.
Calculamos los puntos de corte de las funciones, dos a dos; las dibujamos y por cada punto de corte trazamos una vertical y calculamos el área de cada una de las regiones que quedan entre dos verticales. (Cada trozo será alguno de los casos anteriores). Si además nos dan un intervalo, trazamos por sus extremos dos verticales, que junto con las trazadas por los puntos de corte, que pertenezcan al intervalo, nos dan las regiones de las que hay que calcular el área. Ejemplo-5: Dibuja el recinto plano limitado por la función f(x)=3x-x2, la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=2 y la recta y=-4. Calcula su área. a) Calculamos donde se cortan dos a dos:
=−=+−⇒
=−==−−−=+−⇒
==+−+−=+−⇒
−==
+−==
+−==
8;44)()(
4;1;043;43)()(
2;044;43)()(
4)(
4)(
3)(
21
22
222
xxxhxg
xxxxxxxhxf
doblexxxxxxxgxf
yxh
xyxg
xxyxf
I
I
I
b) Hacemos las tablas de valores y dibujamos el recinto plano. En este caso, el dibujo es imprescindible.
En la tabla de valores tienen que aparecer, obligatoriamente, los puntos de corte de las funciones. (**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale negativo, porque ahí f(x) < g(x) y la función f(x) – g(x) es negativa; dentro del segundo valor absoluto sale positivo, porque ahí g(x) > h(x) y la función g(x) – h(x) es positiva. Este trozo se puede hacer sin integrales: área de un triángulo rectángulo. c) Calculamos el área:
[ ] [ ] =−+−=−+−= ∫∫ )4()8()2()4()()()()(8
4
4
2HHGGdxxhxgdxxgxfÁrea
267,103
32
3
24
3
88
3
82432
3
8
3
16unidades≈=+=+
−=−+
−−
−= (**)
G(x) es una primitiva de f(x)-g(x) = - x2 + 3x – (-x +4)= - x2 + 4x - 4.
[ ]3
126)(042
3
1)()(
2323 xxx
xGCSiCxxxdxxgxf−+−
=⇒=⇒+−+−=−⇒ ∫
( )3
16)4(;
3
8)2(
3
1262−
=−
=⇒+−⋅−
= GGxxx
H(x) es una primitiva de g(x)-h(x) = - x + 4 – (-4)= - x + 8.
[ ]
=
=⇒
⋅+−=⇒=⇒++−=−⇒ ∫ 32)8(
24)4(
2
)16()(08
2
1)()( 2
H
HxxxHCSiCxxdxxhxg
6.- Áreas con un parámetro en alguna función o en el intervalo
Ejemplo-6: Determina b, sabiendo que b>0 y que el área limitada por la curva y= x2 y la recta y=-bx es igual a 9/2. a) Calculamos donde se cortan, llamando f(x) a la 1ª y g(x) a la segunda
f(x) obligatorios otros x 2 -1 4 0 -2 y 2 -4 -4 0 -10
g(x) obligatorios h(x) obligatorios x 2 8 x -1 4 8 y 2 -4 y -4 -4 -4
José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº37
[ ]0,int00
;00)(0 21
222
begracióndeIntervalobbComo
bxxbxxbxxbxx
bxy
xy
−⇒<−⇒>
−==⇒=+⇒=+⇒−=
−=
=
b) Calculamos el área
[ ] ⇒=−−=−= ∫− 2
9)()0()()(
0
bFFdxxgxfÁreab
3272
9
6
1
6
1 333=⇒=⇒== bbbb
NOTA: como b es positivo b3 es positivo, y el valor absoluto vale el misno
F(x) es una primitiva de h(x)= f(x)-g(x)= x2+bx →→→→3
3323
6
1
6
32)(;0)0(
6
32)( b
bbbFF
bxxxF =
+−=−=⇒
+= SOLUCIÓN: b=3
Ejemplo-7: En la figura adjunta pedes ver representada en el intervalo [0,2 la gráfica
de la parábola de ecuación 4
2xy = . Halla el valor de m para que las áreas
de las superficies sombreadas sean iguales.
333
0
2
112
1)(;0)0(
12
1)(
12
1)0()(
4
1mmFFxxFmFmFdxxÁrea
m==⇒=⇒=−== ∫
3332
2
212
1)(;
3
4)2(
12
1)(
12
1
3
4)()2(
4
11 mmmGGxxxGmmmGGdxxÁrea
m−==⇒−=⇒+−=−=
−= ∫
3
4
12
1
3
4
12
1 33
21 =⇒+−=== mmmmÁreaÁrea SOLUCIÓN: 3
4=m
NOTA: ¿Por qué no he puesto valor absoluto en el área?. ¿Sabrías hacerlo poniendo valor absoluto?.
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 38 Rango de una matriz por el método de Gauss.
El rango o característica de una matriz Amxn es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si Amxn =Omxn, rango(A)=0; en caso contrario, se verifica que 1 ≤ rango(A) ≤ menor (m,n).
Se verifica que rango(A)= rango(At); si m>n, es mejor calcular el rango de At Método de Gauss: 1.- Si se suprimen las filas o columnas nulas, el rango de la matriz no varía. 2.- Si hay r filas o columnas iguales o proporcionales y se suprimen r-1, el rango de la matriz no
varía. 3.- Si permutamos dos filas el rango de la matriz no varía. 4.- Si permutamos dos columnas el rango de la matriz no varía. 5.- Si una fila se multiplica por un número distinto de cero, el rango de la matriz no varía. 6.- Si una columna se multiplica por un número distinto de cero, el rango de la matriz no varía. 7.- Si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un número distinto de cero, el rango de la
matriz no varía. 8.- Si a una columna se le suma otra columna multiplicada por un número distinto de cero, el rango
de la matriz no varía. 9.- Para comenzar a aplicar el método de Gauss a11≠ 0, y con la propiedad nº7 hacemos cero los
que están debajo de el, a21, a31, ............. 10.- Si a22≠ 0, con la propiedad nº7 hacemos cero los que están debajo de él, a32, a42, ............., y
así sucesivamente hasta que esté triangularizada inferiormente. NOTA: cuando se pueda o se necesite, se aplican las propiedades 1 a la 6.
11.- Si la matriz está triangularizada inferiormente y en la diagonal principal no hay ceros, el rango coincide con el número de filas que ha quedado.
Rango de una matriz por determinantes
El rango o característica de una matriz Amxn coincide con la dimensión de la mayor submatriz cuadrada con determinante distinto de cero.
Método de Gauss para discutir y resolver sistemas. (Tema 3, pag54) Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se escribe el sistema en forma matricial y se triangulariza la matriz ampliada con las siguientes reglas: 1.- Si se suprimen las filas nulas, el sistema obtenido es equivalente al dado. 2.- Si hay r filas iguales o proporcionales y se suprimen r-1, el sistema obtenido es equivalente
al dado. 3.- Si permutamos dos filas el sistema obtenido es equivalente al dado. 4.- Si permutamos dos columnas el sistema obtenido es equivalente al dado., pero hay que
anotar el nuevo orden de las incógnitas. La columna de los términos independientes no se puede permutar.
5.- Si una fila se multiplica por un número distinto de cero, el sistema obtenido es equivalente al dado.
6.- Si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un número distinto de cero, el sistema obtenido es equivalente al dado.
7.- Para comenzar a aplicar el método de Gauss a11≠≠≠≠ 0, y con la propiedad nº7 hacemos cero los que están debajo de él, a21, a31, .............
8.- Ahora a22≠≠≠≠ 0, y con la propiedad nº7 hacemos cero los que están debajo de él, a32, a42, ............., y así sucesivamente hasta que esté triangularizada inferiormente. NOTA: cuando se pueda o se necesite, se aplican las propiedades 1 a la 5.
Cuando la matriz está triangularizada, se calcula el rango de la matriz de los coeficiente y el rango de la matriz ampliada, y se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius (página 58) para discutirlo. Se resuelve como se dice en la página 59
¿Qué diferencias observas entre I y III?
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 39 1.- FORMAS DE DETERMINAR UN PLANO.
Determinar un plano consiste en poder calcular sus ecuaciones, en cualquiera de sus formas.
En la mayoría de los casos necesitamos el vector de posición o vector normal del plano, →→
= zn Se nos pueden dar los siguientes casos, según que tengamos:
a) Un punto A y un vector de posición o vector normal →
n : calculamos la ecuación implícita o general del plano
mediante un producto escalar 0=⋅→→
nAX (esto se llama ecuación normal del plano)
b) Un punto A y dos vectores de dirección →→
vyu . (Tienen que ser no nulos y linealmente independientes).
b-1) De aquí podemos obtener las ecuaciones paramétricas.
b-2) Los vectores →→→
vyuAX , tienen que ser coplanarios; con un producto mixto 0),,( =→→→
vuAX
tenemos la ecuación implícita o general del plano.
c) Tres puntos A, B y C:
c-1) Si los tres puntos no están alineados construimos dos vectores de dirección →→
ACyAB y
estamos en el caso b). c-2) Si los puntos están alineados, hay infinitos planos que pasan por ellos. Se calculan obteniendo
el haz de planos de arista la recta que pasa por ellos. (Pregunta nº8)
2.- FORMAS DE DETERMINAR UNA RECTA. Determinar una recta consiste en poder calcular sus ecuaciones, en cualquiera de sus formas. Se puede determinar con:
a) Un punto y un vector de dirección: con esto podemos llegar a la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones continuas o como intersección de dos planos.
b) Dos puntos de la recta: con los puntos construimos un vector y estamos en el caso anterior. c) La recta como intersección de dos planos: resolvemos el sistema y la solución nos dará las ecuaciones
paramétricas de la recta, de donde obtendremos un punto y un vector y estamos en el caso a).
NOTA: Cuándo tenemos que calcular donde se cortan rectas, planos, …. , se forma un sistema de ecuaciones lineales y se discute; si es compatible se cortarán, y el lugar donde se cortan tiene de dimensión 3-rango(M); de dimensión 0 es un punto, de dimensión 1 es una recta y de dimensión 2 es un plano.
3.- POSICIÓN DE DOS PLANOS
I) Escribimos los planos en su ecuación continua o implícita, y obtenemos un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas y lo discutimos. (MÉTODO DE GAUSS y teorema de Rouché-Fröbenius)
a) Si rango(M) < rango(M*) → el sistema es incompatible; los planos no tienen puntos en común, son paralelos.
b) Si rango(M) = rango(M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como 3-rango(M)=1, los planos son secantes en una recta. La solución del sistema nos da las ecuaciones paramétricas de dicha recta.
c) Si rango(M) = rango(M*)=1 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como 3-rango(M)=2, los planos se cortan en un plano, los planos son coincidentes.
II) Los planos en su ecuación general: 0:1 =+++ dczbyaxπ y 0:2 =+++ δλβαπ zyx . y
escribimos las proporciones δλβα
dcba===
a. Si las tres igualdades son ciertas los planos son coincidentes b. Si las dos primeras igualdades son ciertas y la tercera no, los planos son paralelos c. Si alguna de las dos primeras igualdades es falsa, los planos son secantes.
NOTA: Si nos piden posición y que calcule donde se cortan, es mejor I)
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 40 4.- POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS
Escribimos los planos en su ecuación continua o implícita, y obtenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, y lo discutimos. (MÉTODO DE GAUSS y teorema de Rouché-Fröbenius)
a) Si rango(M) = rango(M*) = n = 3 → el sistema es compatible determinado; como n-rango(M)=3-3=0, los planos son secantes en un punto. La solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto.
b) Si rango(M) = rango(M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango(M)=3-2=1, los planos son secantes en una recta. La solución del sistema nos da las ecuaciones paramétricas de dicha recta.
c) Si rango(M) = rango(M*)=1 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango(M)=3-1=2, los planos se cortan en un plano, los planos son coincidentes.
d) Si rango (M) < rango (M*) → el sistema es incompatible; los tres planos no tienen puntos en común y se estudia su posición dos a dos. (Obligatorio siempre). El mejor camino es pregunta nº 3, II
5.- POSICIÓN DE RECTA Y PLANO El plano ππππ tiene que estar en su ecuación general o implícita, siempre.
I) La recta r está dada como intersección de dos planos: Formo un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas y lo discutimos. (Método de Gauss y teorema de Rouché-Fröbenius)
a) Si rango (M) = rango (M*) = n = 3 → el sistema es compatible determinado; como n-rango (M)=3-3=0, el plano y la recta son secantes en un punto; la solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto.
b) Si rango (M) = rango (M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango (M)=3-2=1 el plano y la recta se cortan en una recta; la recta está contenida en el plano, r ⊂⊂⊂⊂ ππππ.
c) Si rango (M) < rango (M*) → el sistema es incompatible; el plano y la recta no tienen puntos en común; la recta y el plano son paralelos, r // ππππ. II) La recta r está dada en paramétricas ( si está en continuas se pone en paramétricas):
Resolvemos el sistema por sustitución; sustituyo x, y y z de la recta en la ecuación del plano y llegamos a la ecuación at=b, siendo a y b números reales.
batDtdcCtdcBtdcA
tdcz
tdcy
tdcx
DCzByAx
==++++++⇒
+=
+=
+=
=+++
;0)()()(
0
332211
33
22
11
a) Si a≠≠≠≠0, es compatible determinado: π y r son secantes, se cortan en un punto, y sus coordenadas se obtienen calculando t, x, y y z.
b) Si a=0 y b=0, es compatible indeterminado; la recta está contenida en el plano, r ⊂⊂⊂⊂ ππππ. c) Si a=0 y b≠≠≠≠0, es INCOMPATIBLE; la recta y el plano son paralelos, r // ππππ.
6.- POSICIÓN DE DOS RECTAS
I) Si nos dan las dos rectas r y s como intersección de dos planos: Formamos un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas y lo discutimos. (MÉTODO DE GAUSS y teorema de Rouché-Fröbenius)
a) Si rango (M) = rango (M*) = n = 3 → el sistema es compatible determinado; como n-rango (M)=3-3=0, las rectas son secantes en un punto; la solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto.
b) Si rango (M) = rango (M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango (M)=3-2=1, las rectas se cortan en una recta; las rectas son coincidentes.
c) Si rango (M) =3< rango (M*)=4 → el sistema es incompatible; como rango (M)=3 están en el espacio; las rectas se cruzan.
d) Si rango (M) =2< rango (M*)=3 → el sistema es incompatible; como rango (M)=2 están el plano; las rectas son paralelas.
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 41
II) Si nos dan las dos rectas r y s en sus ecuaciones paramétricas o continuas:
Calculo un punto y un vector de cada recta:
→
uAr ,: y
→
vBs ,:
a) 3,, =
→→→
vuABrangoSi ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s se cruzan, son no coplanarias
b) 2,, =
→→→
vuABrangoSi y 2, =
→→
vurango ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s son secantes.
c) 2,, =
→→→
vuABrangoSi y 1, =
→→
vurango ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s son paralelas
d) 1,, =
→→→
vuABrangoSi ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s son coincidentes.
NOTA: cuando pida el punto de corte escribo las dos rectas en paramétricas, los parámetros con distinto nombre, uno k y otro t, igualo las x, igualo las y e igualo las z y llego a un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas (k y t) que es C.D.
III) Si nos dan las dos rectas r y s en sus ecuaciones paramétricas Los parámetros con distinto nombre, uno k y otro t, igualo las x, igualo las y e igualo las z y llego a un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas (k y t) y lo discuto por GAUSS M* es una matriz 3x3 y M es una matriz 3x2 a) Si rango (M) =2= rango (M*) = n → el sistema es compatible determinado; n-rango (M)=2-2=0, las
rectas son secantes en un punto; la solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto. b) Si rango (M) = rango (M*)=1 < n=2 → el sistema es compatible indeterminado; n-rango (M)=2-1=1
las rectas son coincidentes. c) Si rango (M) =2 < rango (M*)=3 → el sistema es incompatible; las rectas se cruzan. d) Si rango(M) =1 < rango(M*)=2 → el sistema es incompatible; las rectas son paralelas
7.- CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Vectores de posición de los planos ππππ1 y ππππ2 : →→
21 nyn ; vectores de dirección de las rectas r y s: →→
vyu
I) PARALELISMO:
a) Si plano π1 es paralelo al plano π2 sus vectores de posición →→
21 nyn son iguales o proporcionales
b) Si plano π1 es paralelo la recta r (o viceversa) el vector de posición del plano →
1n y el vector de
dirección de la recta →
u son ortogonales 011 =⋅⇒⊥→→→→
unun
c) Si la recta r es paralela a s los vectores de dirección de ambas son iguales o proporcionales
II) ORTOGONALIDAD o PERPENDICULARIDAD:
d) Si el plano π1 es perpendicular al plano π2 sus vectores de posición →→
21 nyn son ortogonales
02121 =⋅⇒⊥→→→→
nnnn
e) Si el plano π1 es perpendicular a la recta r el vector de posición del plano →
1n y el vector de dirección
de la recta →
u son iguales o proporcionales.
f) Las rectas r y s son perpendiculares cuando 0=⋅⇒⊥→→→→
vuvu y 2,, =
→→→
vuABrango son
coplanarias (A∈∈∈∈r y B∈∈∈∈s) 8.- HAZ DE PLANOS DE ARISTA LA RECTA r.
Es el conjunto de los infinitos planos que pasan por r, y se llama arista del haz de planos. Expresamos r como intersección de dos planos
( ) ( ) 0:0
022221111
2222
1111=+++⋅++++⋅⇒⇒
=+++
=+++dzcybxadzcybxa
rrectalaaristadeplanos
dehazdelEcuaciónr
dzcybxa
dzcybxaβα
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 42
Cuando conozcamos los valores de αααα y ββββ, sustituimos y tenemos la ecuación del plano.
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 43 9.- HAZ DE PLANOS PALALELOS AL PLANO π Ejemplo: sea π:3x+5y-7z+8=0; la ecuación del haz de planos es paralelos a π es 3x+5y-7z+K=0. Dándole valores a K tenemos planos paralelos a π
10.- CALCULAR LA ECUACIÓN DEL PLANO
A) Que pasa por un punto: sea el punto A=(1,-2,3) Hay infinitos planos y se llama radiación de planos y su ecuación es ( ) ( ) ( ) 0321 =−+++− zyx λβα ;
dándole valores a λβα y, obtengo las ecuaciones de los infinitos planos que pasan por A
B) Que pasa por dos puntos A y B
Hay infinitos planos que son el haz de planos de arista la recta r que pasa por A y B (pregunta nº 8)
C) Que pasa por tres puntos no alineados A, B y C
La ecuación del plano se obtiene haciendo el producto mixto 0,, =
→→→
ACABAX
D) Que contiene a un punto y a una recta � Escribo la recta como intersección de dos planos, y calculo la ecuación del haz de planos (nº 8) � Si pasa por el punto A=(4,-3,5), sustituyo x=4, y=-3, z=5 en la ecuación del haz de planos y nos sale una
ecuación con dos incógnitas α y β; hay infinitas soluciones y calculo una; no vale la solución α=0 y β =0. E) Que contiene a dos rectas ���� Escribo una recta como intersección de dos planos, y calculo la ecuación del haz de planos
���� De la otra recta calculo un punto cualquiera, lo sustituyo en la ecuación del haz de planos como en D)
���� Me sale una ecuación con dos incógnitas α y β; hay infinitas soluciones y calculo una; no vale la solución α=0 y β =0.
NOTA: Si las rectas son secantes y me queda 000 =⋅+⋅ βα , resulta que el punto elegido es donde se
cortan r y s; no vale, y calculo otro punto. F) Que pasa por un punto A y es paralelo a otro plano
Si plano π1 es paralelo al plano π2 sus vectores de posición →→
21 nyn son iguales; calculo la ecuación del
plano haciendo el producto escalar 02 =⋅→→
nAX
También se puede calcular con el haz de planos paralelos (pegunta nº 9) G) Que pasa por un punto y es perpendicular a una recta
Si el plano π es perpendicular a la recta r el vector de posición del plano →
n y el vector de dirección de la
recta →
u son iguales; calculo la ecuación del plano haciendo el producto escalar 0=⋅→→
nAX
H) Que contiene a una recta y es perpendicular a un plano π Escribo la recta como intersección de dos planos y calculo la ecuación del haz de planos; quito paréntesis,
saco factor común x, y y z y calculo el vector →
1n
El plano π es perpendicular al plano π1; sus vectores de posición son ortogonales 01 =⋅→→
nn
Me sale una ecuación con dos incógnitas α y β; hay infinitas soluciones y calculo una; no vale la solución α=0 y β =0. I) Plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s
� La recta r tiene que estar como intersección de dos planos, calculo la ecuación del haz de planos ,
quito paréntesis y saco factor común x, y y z y calculo el vector normal del plano →
n
� La recta s en sus ecuaciones continuas o paramétricas para calcular el vector de dirección →
v
� Como el plano y la recta son paralelos →→
⊥ nv 0=⋅⇒→→
nv ; llegamos a una ecuación donde las
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 44
incógnitas son βα y ; le doy a una un valor distinto de cero y calculo la otra
� Sustituyo estos valores de βα y en la ecuación del haz de planos, quito paréntesis y tengo la
ecuación general del plano J) Plano que pasa por el punto P y es paralelo a r y s
� Las rectas r y s en sus ecuaciones continuas o paramétricas para calcular los vectores de
dirección →
ru y →
sv
� Calculo la ecuación del plano mediante el producto mixto: 0,, =
→→→
sr vuPX
11.- CALCULAR LAS ECUACIONES DE LA RECTA NOTA: lo primero es saber pasar de unas ecuaciones a otras
A) Que pasa por un punto A=(1,-2,3)
Hay infinitas rectas y se llama radiación de retas y su ecuación es λβα
321 −=
+=
− zyx; dándole valores a
λβα y, obtengo las ecuaciones de las infinitos rectas que pasan por A
B) Que pasa por dos puntos A y B : calculo el vector →
AB , y con el punto A y dicho vector escribo las ecuaciones paramétricas o continuas de la recta
C) Que pasa por un punto A y es paralela a otra recta s
Si la recta r es paralela a s los vectores de dirección de ambas son iguales; sr vu→→
= y con el punto A y dicho vector escribo las ecuaciones paramétricas o continuas de la recta D) Que pasa por un punto y es perpendicular a un plano
Si el plano π es perpendicular a la recta r el vector de posición del plano →
n y el vector de dirección de la
recta →
u son iguales; y con el punto A y dicho vector escribo las ecuaciones paramétricas o continuas de
la recta E) Que pasa por un punto A y es paralela a dos planos π1 y π2 ���� Calculo las ecuaciones paramétricas de la recta s donde se cortan los planos π1 y π2 ���� La recta r es paralela s y pasa por A ( lo hago como en C)
F) Ecuaciones de la recta s que pasa por el punto A, es paralela al plano π y corta a la recta r
La recta s es la que pasa por el punto A y el punto B (donde se cortan la recta r y el plano1π paralelo
a π y que pasa por el A
A B
π
π1s
r
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 45
G) Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan. Puntos de mínima distancia
Las rectas r y s que se cruzan en sus ecuaciones paramétricas
+=
+=
+=
tdpz
tdpy
tdpx
r
33
22
11
: y
+=
+=
+=
khqz
khqy
khqx
s
33
22
11
: y tomamos
un punto genérico de cada una P=(p1+d1t,p2+d2t,p3+d3t) ∈r y Q=(q1+h1k,q2+h2k,q3+h3k) ∈s
P y Q son los puntos de mínima distancia, y →→
⊥ uPQ y →→
⊥ vPQ , siendo →
u y →
v los vectores de dirección
de las rectas r y s. De los dos productos escalares obtenemos un sistema de dos ecuaciones donde calculamos las incógnitas µλ y , y después las coordenadas de los puntos A y B.
� d(r, s) = d(P,Q): distancia mínima de dos rectas que se cruzan � La recta que pasa por P y Q es perpendicular a r y s.
12.- PROYECCION ORTOGONAL DEL PUNTO A EN LA RECTA r. (P.O.) Hay que tener las ecuaciones paramétricas de la recta r. � Es el punto Q = r ∩ π, siendo π el plano perpendicular a r que pasa por P; para calcular Q la recta r en
paramétricas y el plano π en implícita, y resolvemos el sistema por sustitución.
p
r
A Q B
s
¿Para qué me va a servir la proyección ortogonal?
a) Distancia de un punto a una resta: →
== AQQAdrAd ),(),(
b) Para calcular la ecuación de la recta s que pasa por A y es perpendicular a r, cortándola
Ecuaciones de s: pasa por el punto A y un vector director es →
AQ
c) El simétrico de un punto A respecto de la recta r:
Es el punto B tal que Q es el punto medio del segmento PM; →→→
→→
→
−=⇒+
= aqbba
q 22
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 46 13.- PROYECCION ORTOGONAL DEL PUNTO P EN EL PLANO ππππ (P.O.). � Es el punto Q = r ∩ π, siendo r la recta perpendicular a π que pasa por P para calcular Q la recta r en
paramétricas y el plano π en implícita, y resolvemos el sistema por sustitución.
¿Para qué me va a servir la proyección ortogonal?
a) Distancia de un punto a un plano de forma razonada: →
== AQQAdAd ),(),( π
b) EL simétrico de un punto A respecto del plano ππππ:
Es el punto B tal que Q es el punto medio del segmento PM: →→→
→→
→
−=⇒+
= aqbba
q 22
p
r
Q
A
B
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 47 14.- DISTANCIAS:
a) Entre dos puntos: →
= ABBAd ),(
b) Del punto P a la recta r ⇒ d(P,r) = d(P,Q); Q es la Proyección Ortogonal de P en r (pregunta nº 12)
c) Del punto P al plano π ⇒
���� De forma razonada: d(P,π) = d(P,Q), Q es la Proyección Ortogonal de P en π (pregunta nº 13)
���� Con la fórmula: A=(a,b,c) ; 0=+++≡ δλβαπ zyx ; 222
),(λβα
δλβαπ
++
+++=
cbaPd
d) Entre dos rectas: � Si r y s secantes o coincidentes ⇒ d(r,s) = 0 � Si r //s ⇒ d(r,s) = d(P,s)=d(P,Q), siendo P un punto cualquiera de r y Q es la Proyección
Ortogonal del punto P en la recta s (pregunta nº 12) �
e) Entre una recta r y un plano π: � Si son secantes ó la recta está contenida en el plano, r ⊂ π ⇒ d(r,π) = 0
� Si la recta r y el plano π son paralelos, r//π ⇒ 222
),(),(λβα
δλβαππ
++
+++==
cbaPdrd , siendo
P=(a,b,c) un punto cualquiera de r y 0=+++≡ δλβαπ zyx
f) Entre dos planos:
� Si π1 y π secantes o coincidentes: ⇒ d(π1,π) = 0
� Si los planos son paralelos, π1//π ⇒ ⇒ 222
1 ),(),(λβα
δλβαπππ
++
+++==
cbaPdd , siendo
P=(a,b,c) un punto cualquiera del plano π1 y 0=+++≡ δλβαπ zyx d(π1,π2)=d(A,π1)
15.- SIMETRÍAS:
a) Simétrico de un punto A respecto de un punto B.
Es otro punto C tal que B es el punto medio del segmento AC ⇒→→→
→→
→
−=⇒+
= abcca
b 22
b) Simétrico de un punto P respecto de la recta r
Es otro punto M tal que Q es el punto medio del segmento PM; →→→
→→
→
−=⇒+
= pqmmp
q 22
Q es la proyección ortogonal del punto P en la recta r. (Ver dibujo y teoría de la pregunta nº 12) c) Simétrico de un punto P respecto del plano ππππ
Es otro punto M tal que Q es el punto medio del segmento PC; →→→
→→
→
−=⇒+
= pqmmp
q 22
Q es la proyección ortogonal del punto P en el plano π. (Ver dibujo y teoría de la pregunta nº 13)
d) Plano simétrico de un plano ππππ respecto de un punto P. a) Calculamos un punto A cualquiera del plano π b) Calculamos B, simétrico de M respecto de P. (Como en a)) c) El simétrico del plano π respecto del punto P es el plano π1 que pasa por B y es paralelo a π.
Se calcula la ecuación del plano mediante un producto escalar 0=⋅→→
nBX
e) Recta simétrica de la recta r respecto de un plano ππππ ���� Calculamos dos puntos de r, A y B. ���� Calculamos M y N, simétricos de A y B respecto de π. (Como en c)) ���� La recta s que pasa por M y N es la simétrica de la recta r respecto del plano π. (Calcula su ecuación)
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 48
f) Recta simétrica de la recta r respecto del punto P � Calculamos dos puntos de r, A y B. � Calculamos M y N, simétricos de A y B respecto de P. (Como en a)) � La recta s que pasa por M y N es la simétrica de la recta r respecto del punto P.(Calcula su ecuación)
16.- ÁNGULOS
a) ÁNGULO DE DOS PLANOS
El ángulo de los planos π1 y π lo escribiremos (ππππ1, ππππ) y sus vectores de posición son 1
→
n y →
n ���� Si los planos son coincidentes (ππππ1, ππππ)=0 ���� Si los planos son paralelos no forman ángulo ���� Si los planos son secantes, se cortan formando cuatro ángulos diedros iguales dos a dos. El ángulo de
los dos planos es el menor de los dos, º90),(0 1 ≤< ππ y se calcula →→
→→
⋅
⋅
=
nn
nn
1
1
1 ),cos( ππ
b) ÁNGULO DE DOS RECTAS
El ángulo de las rectas r y s lo escribiremos (r,s) y sus vectores directores son →
u y →
v ���� Si las rectas son coincidentes (r,s)=0 ���� Si las rectas son paralelas no forman ángulo; sus direcciones forman un ángulo de 0º ���� Si las rectas son secantes, se cortan formando cuatro ángulos iguales dos a dos. El ángulo de las dos
rectas es el menor de los dos, º90),(0 ≤< sr y se calcula →→
→→
⋅
⋅
=
vu
vu
sr ),cos(
���� Si las rectas se cruzan no forman ángulo, aunque sus direcciones si lo forman,
º90),(0 ≤< sr y se calcula →→
→→
⋅
⋅
=
vu
vu
sr ),cos(
c) ÁNGULO DE RECTA Y PLANO
El ángulo del plano π y la recta r lo escribiremos (ππππ, r) y el vector de posición del plano es →
n y el vector
director de la recta es →
u ���� Si la recta está contenida en el plano (ππππ, r)=0 ���� Si el plano y la recta son paralelos no forman ángulo ���� Si el plano y la recta son secantes, se cortan formando cuatro ángulos iguales dos a dos. El ángulo de
los dos planos es el menor de los dos, º90),(0 ≤< rπ y se calcula →→
→→
⋅
⋅
=
un
un
rsen ),(π
José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 49 17.- TRIÁNGULOS EN E3. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.
Tres Puntos A,B y C forman triángulo si no están alineados, es decir, si los vectores →→
ACyAB son
linealmente independientes. (O si su área no vale cero). a) El triángulo es equilátero si los tres lados miden igual.
b) El triángulo es rectángulo si el ángulo mayor A mide 90º, es decir, los vectores →→
ACyAB son
ortogonales. (Calculamos la medida de los tres lados y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor).
c) Medida del ángulo A: →→
→→
⋅
⋅=
ACAB
ACABAcos
d) Mediana: Recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. e) Baricentro: punto de corte de las medianas de un triángulo f) Plano mediador o mediatriz de un segmento: es el plano que pasa por el punto medio del segmento y
es perpendicular a dicho segmento. g) Recta altura: recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. h) Circuncentro: punto de corte de los planos mediatrices de un triángulo.
���� Obtenemos la ecuación del plano π1 que contiene a los tres vértices (A, B y C); el plano mediatriz π2 del segmento AB y el plano mediatriz π3 del segmento AC
���� Circuncentro = π1 ∩ π2 ∩ π3. (PUNTO DE CORTE DE LOS PLANOS) i) Ortocentro del triángulo ABC: punto de corte de las alturas de un triángulo. Para calcularlo:
� Obtenemos la ecuación del plano π1 que contiene a los tres vértices (A, B y C); el plano π2 que pasa por el punto A y es perpendicular al lado BC y el plano π3 que pasa por el punto B y es perpendicular al lado AC
� Ortocentro = π1 ∩ π2 ∩ π3. (PUNTO DE CORTE DE LOS PLANOS)
18.- PARALELOGRAMOS. TIPOS DE PARALELOGRAMOS:
a) Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo si tres de ellos no están alineados y sobre los lados
paralelos hay dos vectores iguales →→
= BCAD ó →→
= DCAB
b) Los puntos A, B, C y D forman un rectángulo si forman un paralelogramo, y A=90º, es decir, →→
⊥ ADAB
c) Los puntos A, B, C y D forman un cuadrado si forman un rectángulo y los lados no paralelos miden igual, d(A,B)=d(A,D).
d) Los puntos A, B, C y D forman un rombo si es paralelogramo, no es rectángulo y los lados no paralelos miden igual, d(A,B)=d(A,D).
e) Medida de los ángulos: →→
→→
⋅
⋅=
ADAB
ADABAcos ;
∧∧
= CA y ∧∧
= DB ; º180=+∧∧
BA
A B
C D