MARCO TERORICO

3.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL.

3.2.1. RIGIDEZ EFECTIVA DE LOS ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO

Debido a que muchos códigos no especifican la rigidez efectiva que se debe considerar en

los elementos de concreto armado para el análisis sísmico, se considera muchas veces la

sección no agrietada de los elementos para el cálculo de la rigidez de la estructura; siendo

esto inapropiado debido a que el agrietamiento puede ocurrir sólo bajo cargas de gravedad

en las vigas o en eventos sísmicos de menor intensidad al nivel del sismo de diseño. La

rigidez no agrietada nunca será totalmente recuperada durante, o después de la respuesta

sísmica, y así no es una estimación útil de la rigidez efectiva.

Además se sabe que el agrietamiento por flexión varía a lo largo de la longitud del

elemento; por tanto, el momento de inercia I. varía a lo largo de la longitud. Es impráctico

evaluar las propiedades de varias secciones transversales en cada elemento de un edificio,

por lo cual, un valor promedio razonable se debe adoptar.

3.2.2. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel que solo es posible un

tipo de movimiento, es decir, la posición del sistema en cualquier instante puede ser

definida por la de una sola coordenada.

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3.2.3. RIGIDEZ

• Cuando se aplica una fuerza a una estructura, esta se desplazará en la dirección de la

fuerza. La rigidez se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el

desplazamiento producido.

• Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñas (gran rigidez), y sistemas flexibles

tienen deformaciones grandes (poca rigidez).

3.2.4. RIGIDEZ LATERAL DE MUROS DE ALBAÑILERÍA

3.2.4.1. Muros Cortantes.

Son paredes de concreto armado que dada su mayor dimensión en una dirección, mucho

mayor que su ancho, proporcionan en dicha dirección una gran resistencia y rigidez lateral

ante movimientos laterales

El desplazamiento en el plano de un muro se da por flexión y por la deformación debida a

al cortante. De este modo el desplazamiento total corresponderá a la sumatoria de los

desplazamientos en flexión y corte.

En las imagenes siguientes se presenta el desarrollo de un ejercicio práctico para

determinar las fuerzas sísmicas que toma un muro, en función de su propia rigidez lateral y

dentro de un sistema en el que se compatibilizan los desplazamientos laterales de todos

los muros.

Se obtiene la fuerza sísmica de acuerdo al método estático de reglamento y se evidencian

2 cosas importantes:

V=0.40P; que se puede expresar como V=0.40 (m.g); con lo que a=0.4g (aceleración). Lo

que nos da una idea clara de las características del sismo sobre la edificación planteada, y

que depende íntegramente de los factores de sitio y de las características de la estructura.

Así mismo, los resultados de la hoja de cálculo nos indican que debemos prestar especial

cuidado en la disposición de los muros a utilizar en cualquier edificación, especialmente en

las viviendas de nuestro medio que utilizan este material. A pesar de ser un método

manual, no deja de ser práctico y oportuno a la hora de configurar o estructurar.

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Son losas de transición con la vía o carretera, apoyadas en el terraplén de acceso. Se

diseñan con un espesor mínimo de 0.20 m.

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3.2.5. Grados de Libertad

Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en los que se generan fuerzas generalizadas de inercia significativas; es decir, fuerzas iguales a masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular. Por ejemplo en la figura 3.1, se muestra un marco que tiene 12 grados de libertad estáticos. Sin embargo, si las fuerzas de inercia importantes son solamente las que generan las masas m1 y m2 al moverse lateralmente y las deformaciones de los pisos en su plano son despreciables, tenemos un sistema de dos grados de libertad dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2 en la figura aludida. Es pertinente observar que esto no implica que en los restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos de cero, no generan fuerzas de inercia de consideración.

Figura 3.1: Grados de libertad Estáticos y Dinámicos

En edificios es generalmente aceptable suponer que los pisos son diafragmas rígidos en su plano, lo que permite expresar el movimiento lateral de cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: dos desplazamientos horizontales y un giro alrededor de un eje vertical. Si un marco o muro esta ligado a un piso rígido, su desplazamiento lateral en este nivel depende solamente de los valores que adquieran estos tres grados de libertad, como se muestra en la figura 3.2.

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Figura 3.2: Grados de libertad del sistema marco muro idealizado con columnas anchas.

Por otro lado, en vista de que la mayor parte de las masas están directamente soportadas por los pisos, es también aceptable suponer que todas las masas están concentradas en los mismos, de manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueden expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales (en dos ejes horizontales perpendiculares) y del momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas. Esto permite efectuar el análisis dinámico de un edificio con modelos que tienen tres grados de libertad por piso.

Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus componentes se pueden modelar como un sistema de un grado de libertad (desplazamiento lateral) por piso. Nótese que la hipótesis de que los pisos son diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales: tal sería el caso del marco de la figura 3.1. Recuérdese que la matriz de rigideces de este marco, que es de 12 x 12, se puede transformar a una matriz de rigideces lateral de 2 x 2, expresada en función de los grados de libertad 1 y 2, mediante el proceso de condensación estática.

De esta manera, las matrices de rigideces y de masas corresponden a los grados de libertad.

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3.2.6. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD

3.2.6.1. Descripción y ecuación de equilibrio dinámico

Considérese el sistema mostrado en la figura 3.3, el cual representa solo un grado de libertad, el sistema simple está constituido por una masa, un resorte y un amortiguador.

’

Figura 3.3: Sistema simple con amortiguamiento viscoso

Cuando el sistema está sujeto a un movimiento de su base, definido por una historia de

desplazamientos, U0, o de aceleraciones del suelo U 0, masa entrará en oscilación y se generarán sobre ella tres tipos de fuerzas:

a) La fuerza de inercia que, de acuerdo con el principio de D’Alambert es proporcional a la masa y a la aceleración total que ésta sufre üT; esta última es igual a la suma de aceleraciones del terreno u0, más la de la masa relativa al terreno, ü.

F I=m⋅üT . . .. .2 . 2

b) La fuerza que se genera en la columna por su rigidez lateral al tratar de ser desplazada con respecto al terreno. Suponiendo que la respuesta de la columna se mantiene dentro de un intervalo lineal, dicha fuerza será igual al producto del desplazamiento relativo de la masa con respecto al suelo, por la rigidez lateral de la columna

FR=k⋅u . .. . .2 .3

c) La fuerza de amortiguamiento que trata de restablecer el equilibrio de la estructura en vibración. Esta fuerza puede considerarse proporcional a la velocidad de la masa con relación al suelo; al factor de proporcionalidad se le llama coeficiente de amortiguamiento

F A=c⋅u .. .. . 2. 3

La ecuación de equilibrio dinámico se escribe como:

F I+F A+F R=0 . .. . .2 . 4

Sustituyendo

m⋅uT+ c⋅u+k⋅u =0 . .. . .2 .5

El punto sobre una cantidad significa derivación con respecto al tiempo. Considerando que

υΤ=υ0+ υ . .. . .2 . 6

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Donde

ü0 = aceleración del terreno.

ü = aceleración relativa del terreno.

m⋅uT+ c⋅u+k⋅u =-m⋅u0 . .. .. 2 .7

Dividiendo entre m

u+( cm )u+( km )u=-m⋅u0 . .. . .2 . 8

Las dos constantes c /m y k /m, representan conceptos relacionados con la vibración libre del sistema (la que corresponde al caso ü0 =0 ). De ellas,

km

=ω2 . . .. . 2. 9 ó ω=√k /m . .. .. 2 .10

En donde ω es la frecuencia circular del sistema no amortiguado, o sea aquella con la que oscila éste cuando se le impone un desplazamiento y se le suelta. Cuando el amortiguamiento es nulo el sistema describe un movimiento armónico simple, con la frecuencia mencionada y con período (figura 2.12) igual a:

T=2πω

=2π √k /m . .. . .2 .11

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Figura 2.12: Movimiento Armónico Simple

El amortiguamiento representa la disipación de energía que la estructura realiza principalmente debido a fricción interna de los materiales y a rozamiento entre los componentes de la construcción; este amortiguamiento reduce las oscilaciones. En vibración libre se define como amortiguamiento crítico aquel para el cual el sistema, después de desplazado, volvería a su posición de reposo sin oscilar. Esté equivale a:

C cr=2√k⋅m . . .. . 2. 12

Por lo tanto, la constante de amortiguamiento puede expresarse como una fracción del crítico en la forma;

ε= cCcr

= c2√k⋅m

.. . .. 2. 13

√k⋅m=m⋅2√ km=mω .. .. . 2. 14

ε= 22⋅m⋅ω

. .. .. 2 .15

Por otra parte

cm

=2⋅ω⋅ε . .. .. 2 .16

La ecuación diferencial (2.7) se puede escribir como:

u+2⋅ω⋅ε⋅u+ω2⋅u=−u0 . .. .. 2 .17

ω se denomina frecuencia circular natural del sistema, Ccr se conoce como amortiguamiento crítico, que usualmente se expresa como porcentaje. De las definiciones de ω y Ccr deducimos que Ccr =2mω, lo cual muestra que el amortiguamiento crítico está relacionado con la frecuencia fundamental de vibración.

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3.2.7. Vibración Libre

El sistema descrito anteriormente vibra libremente cuando la masa se mueve, pero el terreno permanece inmóvil y no actúan fuerzas exteriores, en este caso el segundo miembro de la ecuación (2.17.) se anula:

u+2⋅ω⋅ε⋅u+ω2⋅u=0 . . .. .2 . 18Y su solución es:

u( t )=Ae−εω tcosωa ( t−γ ) . .. . .2 .19

Dónde:

ωa=ω√1−ε2 . .. .. 2 .20

ωa = frecuencia amortiguada del sistema

A y ϒ son constantes que dependen de las condiciones iniciales, es decir, del desplazamiento y la velocidad cuando t=0

Cuando no existe amortiguamiento (ɛ = 0) se dice que la masa tiene un movimiento armónico, la ecuación (2.18) queda como:

u+ω2⋅u=0 . . .. .2 . 21Y la solución es:

u( t )=A cosω( t−γ ) .. .. . 2.22El tiempo t que dura un ciclo de oscilación completo, se llama periodo de vibración natural del sistema y es igual a

2πω

.. .. . 2. 23

Por otro lado si el amortiguamiento es igual al crítico (ɛ = 0) encontramos que (ωa = 0), por lo tanto:

u( t )=Ae−εω t .. .. . 2. 24Indicando que la masa se mueve sin oscilar y vuelve a su posición de equilibrio estático, u = 0 luego de un tiempo infinito.

En el análisis de edificios es de mayor interés el caso de amortiguamientos menores que el crítico para el cual, si el desplazamiento y la velocidad de la masa en el instante t = 0, valen respectivamente u0 y ύ0 , obtenemos:

u( t )=Ae−εω t ⟨(u0+εωu0 )senωa tωa

+u0cosωa t ⟩ .. . .. 2. 25

Esta ecuación describe movimiento oscilante de la masa con frecuencia ωa y con amplitud exponencialmente decreciente como se ilustra en la figura 2.13

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Figura 2.13: Movimiento oscilante amortiguado

El período amortiguado T a=

2 πωa , es el tiempo que tarda un ciclo completo de oscilación,

y es una propiedad de la estructura independiente de cómo se la excite.

Normalmente, el amortiguamiento de estructuras de edificios no excede del 10 % del crítico, o sea que típicamente ɛ es menor que 0.1. Aun para este límite relativamente alto, la ecuación (2.25) da ωa = 0.995ω; de aquí se determina que en casos prácticos la influencia del amortiguamiento en la frecuencia de vibración es pequeña, siendo su efecto más importante disminuir la amplitud de dicha vibración conforme avanza el tiempo, según lo expresa el término exponencial de la ecuación (2.25) y se ilustra en la figura 2.13.

3.2.8. Respuestas a Movimiento Del Terreno

El segundo término de la ecuación (2.17) describe como varia la aceleración del terreno con el tiempo y se conoce como acelerograma. En textos de dinámica estructural se muestra que, cuando tal término no es nulo, la solución de la ecuación aludida es:

u( t )= 1ωa∫ S( t )exp {εω( t−τ )}senωa (t−τ )dτ

.. .. . 2. 26

Esta expresión hace ver que, como en el caso de vibraciones libres, las dos propiedades de un sistema de un grado de libertad que determinan su respuesta ante un movimiento prescrito del terreno son su frecuencia natural y su fracción de amortiguamiento crítico. La velocidad y la aceleración de la masa se calculan derivando sucesivamente u(t) con respecto al tiempo, y otras respuestas de interés, como la fuerza en el resorte, se pueden obtener en términos del desplazamiento y sus derivadas. Para fines de diseño, interesan normalmente sólo los valores máximos absolutos de tales respuestas.

3.2.9. Respuesta Estructural

En el caso del análisis sísmico, el método preferido para obtener el diseño de una estructura es mediante el espectro de respuesta porque esta función representa todos los movimientos

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telúricos que pueden presentarse en la región en donde se construirá la estructura dentro de un periodo de retorno razonable.

El espectro de respuesta se define como una gráfica de la máxima respuesta de un oscilador a la aceleración del suelo, graficada en función de la frecuencia natural y el amortiguamiento del oscilador, por lo que el espectro de respuesta de diseño es una envolvente de la máxima aceleración con su correspondiente frecuencia que puede ocurrir en una región determinada.

3.2.10. Amortiguamiento y Ductilidad

Se dice que un sistema estructural es dúctil si es capaz de sufrir deformaciones considerables bajo carga aproximadamente constante, sin padecer daños excesivos o pérdidas de resistencia por aplicaciones subsecuentes de carga (Rosenblueth E. 1992). Esta definición relaciona la ductilidad con el amortiguamiento ya que éste es naturalmente dependiente del nivel de deformación o esfuerzo en una estructura. Según lo expuesto en el punto 2.1.2 de este documento el amortiguamiento crítico solo pude variar en un 10% contrario a esta afirmación en la tabla 2.3 siguiente se exponen algunos valores recomendados para el amortiguamiento crítico propuestos por (Rosenblueth E. 1992)

Nivel de esfuerzos

Tipo y condición de la estructura Porcentaje de amortiguamient

o críticoEsfuerzo de trabajo, no más de aproximadamente 0.5 del esfuerzo de fluencia

a) Tubería o equipo muy importante 1 a 2b) Acero soldado, concreto

presforzado, concreto adecuadamente reforzado (solo con grietas ligeras)

2 a 3

c) Concreto reforzado agrietado considerablemente

3 a 5

d) Acero remachado o atornillado, estructuras de madera con juntas clavadas o atornilladas

5 a 7

En o justamente por debajo del

esfuerzo de fluencia

a) Tubería o equipo muy importante 2 a 3b) Acero soldado, concreto

presforzado (sin pérdida completa del presfuerzo)

5 a 7

c) Concreto presforzado cuando se ha perdido totalmente el presfuerzo

7 a 10

d) Concreto reforzado 7 a 10e) Acero remachado o atornillado,

estructuras de madera juntas atornilladas

10 a 15

f) Estructuras de madera con juntas clavadas

15 a 20

Tabla 2.3.-Valores recomendados para el amortiguamiento

El comportamiento dúctil significa la habilidad de soportar grandes deformaciones inelásticas, mientras la resistencia se mantiene esencialmente constante.

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Figura 2.14: Desplazamientos contra resistencia

A = Punto real de fluencia

B = Nivel efectivo de fluencia

C = Límite elástico efectivo

D = Resistencia real.

Um=μ⋅U y .. . .. 2. 27Durante la respuesta de un sistema a un sismo intenso, el máximo desplazamiento relativo D excederá de la deformación de fluencia Uy, mientras que la máxima fuerza lateral permanecerá con el valor de la fluencia, si se desprecian los efectos P-∆. Se dice que ocurre la falla si la demanda de ductilidad D/Uy es mayor que la ductilidad disponible µ.

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