01Estatica
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1
Capítulo 1
Estática vectorial plana
Figura 1.1: Estructura de sustentación de fachadas en obras de rehabilitación (C/ Isabel la Católica, Valencia).
Figura 1.2: Esquema bidimensional simplificado de la estructura. Se han representado las fuerzas horizontales
ejercidas por la fachada, el peso del bloque de hormigón y barras metálicas, y las fuerzas reacción del suelo
sobre el bloque.
Fuerzas ejercidas porla fachada
Reacción del suelo
Peso
2 Capítulo 1: Estática vectorial plana
1.1.- Introducción
Como ya se ha mencionado en el prólogo, para diseñar los elementos estructurales que se
utilizan en edificación, se sigue un proceso que comienza en este curso con la definición de
conceptos básicos (fuerza, momento de una fuerza, equilibrio, inercia, esfuerzos axiles, cortantes y
de flexión, etc.) y continúa en los cursos siguientes con las asignaturas de Cálculo de Estructuras,
hasta la total definición de los elementos estructurales.
En este capítulo se estudiará el equilibrio de sistemas indeformables de puntos materiales
sometidos a fuerzas, utilizando métodos vectoriales.
1.2.- Conceptos y definiciones básicas
Para analizar de qué forma las acciones exteriores actúan sobre un edificio, cuáles son las
condiciones que ha de cumplir para asegurar su estabilidad y qué características constructivas ha de
poseer para proporcionar cierto grado de confort, es necesario abordar su desarrollo teórico. Para ello
se establece una formalización matemática de los problemas, con objeto de resolverlos por medio de
ecuaciones algebraicas.
1.2.1.- Sistema material
Desde el punto de vista físico, se llama sistema material a todo aquello que se pueda
detectar con un aparato de medida, es decir, tal que el aparato de medida modifique su indicación
si, en igualdad de las demás circunstancias, el sistema material se introduce en su zona de detección.
Con esta definición se establece como sistema material, objeto de la Física, un concepto objetivo que
engloba los conceptos de materia y energía, tanto en reposo como en movimiento (ondas) aunque
basado en los aparatos de detección que se posean en cada momento, con lo que es un concepto
que se va ampliando a medida que se inventan nuevos aparatos de detección.
1.2.2.- Fuerza
Se llama Fuerza a la influencia de un sistema material sobre otro, es decir, la diferencia
para el segundo de que el primero exista o no.
El ser humano posee los sentidos del tacto y del equilibrio que le permiten detectar y medir
aproximadamente las acciones que otros sistemas materiales ejercen sobre él, especialmente cuando
varían, porque las fuerzas que actúan continuamente no se detectan, o al menos, no se es consciente
Capítulo 1: Estática vectorial plana 3
de ellas, (por ejemplo el peso, aproximadamente 70 Kp o la fuerza debida a la presión atmosférica
con la que el aire lo comprime, unos 10.000 Kp/m2.
En las sensaciones que producen las fuerzas se puede distinguir su punto de aplicación,
intensidad, dirección y sentido. En base a esto, para efectuar una formalización matemática de la
Física, parece lógico hacer corresponder a la fuerza un elemento matemático como el vector, que
recoge en su definición estas características.
Figura 1.2.1: Ejemplo de fuerzas.
Otra característica que se verifica experimentalmente es que un objeto no se mueve cuando
sobre él actúan fuerzas en el mismo punto de la misma intensidad, la misma dirección y sentido
contrario, y que la fuerza que hace un cuerpo sobre otro es de la misma intensidad y dirección, y
sentido contrario a las que hace el segundo sobre el primero.
1.2.3.- Clases de fuerzas
En función de su forma de actuar las fuerzas se clasifican en:
• De acción a distancia, como el peso, que es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre los cuerpos.
4 Capítulo 1: Estática vectorial plana
• De contacto, debido a la impenetrabilidad de los cuerpos sólidos, o a la presión de
líquidos y gases.
Estos tipos de fuerzas son los que se van a explicar en este curso, utilizándose en el cálculo
de estructuras. Algunos ejemplos son: fuerzas gravitatorias permanentes y variables sobre los
elementos constructivos, fuerzas debidas de viento sobre fachadas y cubiertas de edificios, fuerzas
distribuidas de acción-reacción entre cimientos y suelos, fuerzas de rozamiento, empujes de líquidos
sobre muros y losas, etc.
Las fuerzas gravitatorias en las cercanías de la Tierra tienen por medida la cantidad de
materia (que es lo que se denomina masa) multiplicada por la aceleración g de la gravedad, dirección
vertical, sentido hacia el centro de la Tierra, y se aplica en el centro de gravedad del sistema material.
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional (SI) es el Newton, que se simboliza mediante
N. Tomando g = 9’81 m/s2 como valor promedio de la aceleración de la gravedad en las cercanías de
la Tierra (en realidad g depende de factores como la latitud, que hace que su valor no sea
exactamente el mismo en todos los puntos de la superficie terrestre), el peso de una masa m = 1 Kg
es P = mg = 9’81 N. En el Sistema Técnico de unidades (MKS), la unidad de medida para la fuerza es
el kilopondio (Kp), también conocido como kilogramo-fuerza, y se asigna un peso de 1 Kp a una masa
de 1 Kg. Así, la equivalencia entre las dos unidades es
1 Kp ↔ 9’81 N . (1.2.1)
En la vida cotidiana es habitual emplear unidades de masa como si fuesen de fuerza. De
hecho, nadie va a una tienda y pide 2 kilopondios de patatas, ni mucho menos sus equivalentes 19.62
Newtons. Esta práctica se ha extendido tradicionalmente en las áreas técnicas, en las que es
relativamente frecuente hablar de fuerzas en Kg o en toneladas (T). Al hacerlo, hay que tener en
cuenta que, en realidad, cuando se habla de una fuerza de 1 Kg o 1 T, lo correcto sería decir 1 Kp o
1.000 Kp, o sus respectivos equivalentes en N.
El segundo tipo de fuerza (fuerza de contacto entre sólidos) está producido por la oposición
de un cuerpo a que otro ocupe su propio espacio, y tiene por medida la intensidad mínima necesaria
para impedirlo, su dirección depende de las características de las superficies en contacto: si éstas
son completamente lisas y los sólidos son indeformables, las fuerzas entre ambos serán
perpendiculares al plano tangente común en ese punto, y en caso contrario puede tener cualquier
dirección (esto se verá con mayor detalle en el apartado 1.7 de este capítulo).
Capítulo 1: Estática vectorial plana 5
Figura 1.2.2: Ejemplo de tipos de fuerzas. En color gris claro fuerzas a distancia (peso de la calzada y peso de
los vehículos que transitan por el puente) y en color gris oscuro fuerzas de contacto (fuerzas reacción de los
pilares sobre la viga y viceversa).
En las fuerzas utilizadas en el cálculo de estructuras se distingue entre:
• Fuerzas puntuales, que son las que actúan en un punto determinado.
• Fuerzas repartidas, que son las que actúan en una zona extensa.
Figura 1.2.3: Ejemplo de cargas repartidas (el peso de la cubierta de chapa y las sobrecargas de uso y de nieve)
y de cargas puntuales (acción de la carga repartida en puntos concretos de la viga de madera).
L
qL
2qL
2qL
L q
2qL
2qL
Peso calzada y vehículos Viga
Pilar Pilar
q
L
q
1 2 3 4 5L q F F F F F
1F5F
2F 3F 4F
6 Capítulo 1: Estática vectorial plana
En realidad todas las fuerzas reales son repartidas, ya que si una fuerza de un valor
determinado actuara en un punto, de superficie nula, la presión (que se define como fuerza por
unidad de superficie) sería infinita, y ningún material real la podría resistir, sin embargo, cuando las
fuerzas actúan en un área poco extensa, se pueden considerar como puntuales para simplificar los
cálculos.
En el caso de fuerzas ejercidas por sistemas líquidos y gaseosos, al no tener una forma
determinada, éstos se adaptan a la forma del recipiente que los contiene, con la condición de que en
el equilibrio la energía potencial del sistema sea la mínima posible, como se verá más adelante. En
este caso la fuerza que ejercen sobre otro sistema material se estudia a través del concepto de
presión, que da lugar a fuerzas perpendiculares a la superficie sobre la que actúa, cuando el sistema
se encuentra en equilibrio.
Por ejemplo, la representación de la presión del agua sobre un muro en función de la
profundidad permitirá obtener, como se verá más adelante, la intensidad y dirección de la fuerza
sobre dicho muro ejercida por el agua.
Figura 1.2.4: Ejemplo de la variación de la presión en el agua en función de la profundidad.
1.2.4.- Sólido rígido
En el cálculo de elementos estructurales se utilizan cuerpos muy duros, como por ejemplo
pilares, vigas, etc., compuestos de hormigón, acero, madera u otros materiales. Para abordar el
estudio de su equilibrio y estabilidad se los considera indeformables, ya que esta hipótesis hace que
los resultados obtenidos se aproximen suficientemente a la realidad, al ser muy pequeñas las
Capítulo 1: Estática vectorial plana 7
deformaciones sufridas frente a las dimensiones de los elementos estructurales y frente a las
acciones que actúan sobre ellos.
Se define sistema material indeformable o sólido rígido como aquel sistema tal que la
distancia entre dos cualesquiera de sus puntos se mantiene invariable (Figura 1.2.5).
Figura 1.2.5: Definición de sólido rígido.
1.2.5.- Línea de acción de una fuerza. Fuerzas sobre sólidos rígidos
Cuando los cuerpos sobre los que actúan las fuerzas son sólidos rígidos, como se considera
en el desarrollo de la Estática Vectorial, se puede comprobar que el efecto que provocan sobre estos
sólidos no varía, aunque desplacen estas fuerzas su punto de aplicación a lo largo de la recta que las
contiene. A esta recta se la denomina recta soporte o línea de acción de la fuerza.
Ejemplo 1.2.1: Si se aplica una fuerza F a un bloque en un punto A y a una altura h (Figura 1.2.6
izquierda), y se aumenta la intensidad de F hasta que el bloque comience a volcar alrededor de O, se
comprueba experimentalmente que este valor coincide con el valor de la fuerza que hay que aplicar
en el punto B, a la misma altura h, para conseguir el mismo efecto (Figura 1.2.6 derecha).
Figura 1.2.6: Ejemplo de línea de acción o recta soporte de una fuerza.
En los dos casos el bloque comenzará a volcar al aplicar la misma fuerza F.
F F
h h
A B
A
B
x
y
z
= cteAB
O O
8 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Ejemplo 1.2.2: Considérese un bloque de sección rectangular apoyado en una superficie
horizontal rugosa, y sometido a una fuerza horizontal F de 10 KN (Figura 1.2.7). Sabiendo que el
bloque se encuentra en equilibrio en esa posición, obténgase la fuerza de rozamiento entre bloque y
suelo, en los tres supuestos de aplicación de la fuerza F en los puntos A, B y C.
Figura 1.2.7: Ejemplo de línea de acción o recta soporte de una fuerza.
Si se plantea el equilibrio del cuerpo en los tres supuestos, se obtiene el mismo valor de la
fuerza de rozamiento.
Ejemplo 1.2.3: Considérese un sólido elástico, por ejemplo la goma elástica AC de la Figura 1.2.8:
Figura 1.2.8: Sólido elástico. Fuerza ligada a su punto de aplicación.
El efecto es diferente si la fuerza se aplica en B que si se aplica en C. Al aplicar la fuerza en B
(punto medio de la goma) el tramo AB sufre un alargamiento ∆L proporcional a su coeficiente elástico,
y el tramo BC se mantiene indeformado. Sin embargo, si la fuerza se aplica en C (extremo de la
goma) ésta sufre un alargamiento 2∆L. Es decir, el efecto provocado sobre la goma (sólido elástico)
F
F
A
AB
AB
AC
BC
BC
2∆L
A
A
B
B
B
C
C
∆L
AF
F
F
h FR
h
h FR
FR
B
C
Capítulo 1: Estática vectorial plana 9
por la fuerza varía en función de dónde esté aplicada ésta. En estos casos (sólidos deformables) las
fuerzas deberán considerarse ligadas a sus puntos de aplicación.
Ejemplo 1.2.4: Fuerza peso de un bloque prismático rectangular. Considérese un cuerpo homogéneo
apoyado en una superficie horizontal, como se muestra en la Figura 1.2.9, y sometido sólo a su
propio peso P.
La fuerza que ejerce el suelo sobre el bloque (normal) será igual y de sentido contrario al
peso del bloque. Este valor es independiente de dónde se considere aplicado el vector peso, sobre
los puntos de la línea vertical que contiene el centro de gravedad del bloque.
Figura 1.2.9: Ejemplo de línea de acción o recta soporte de una fuerza.
Ejemplo 1.2.5 : Fuerza ejercida por un cable
Los cables utilizados en construcción soportan grandes esfuerzos frente al tamaño de su
sección transversal. Los cables se consideran ideales, es decir, homogéneos, flexibles, inextensibles
y de peso y sección despreciables frente a los esfuerzos que soportan.
Considérese una viga horizontal de peso P sujeta a una superficie vertical mediante un apoyo
articulado A y un cable, tal como muestra la Figura 1.2.10. La fuerza (tensión) T que ejerce el cable
es la misma en cualquiera de sus secciones transversales.
Figura 1.2.10: Fuerzas en cables.
F = P
R = -P R = -P R = -P
F = P F = P
P P
T
TA A
10 Capítulo 1: Estática vectorial plana
La consecuencia principal que se desprende de estos ejemplos es que las fuerzas pueden
tratarse como si fueran vectores deslizantes cuando los cuerpos sobre los que actúan son sólidos
rígidos.
1.2.6.- Momento de una fuerza
La sensación que produce una fuerza de una intensidad determinada es diferente según su
dirección, sentido y punto sobre el que actúa.
Ejemplo 1.2.6: Si se levanta un peso con las manos (Figura 1.2.11), se puede observar que el
esfuerzo que se tiene que realizar es mayor cuanto más separado esté el peso del cuerpo.
Figura 1.2.11: Momento de una fuerza.
Este efecto se representa en las imágenes como un arco, y significa la “tendencia” del peso
de la caja a girar los brazos en sentido horario, en este caso.
Ejemplo 1.2.7: BALANZA. En el caso de una balanza, si se coloca en la parte izquierda un peso
determinado P1 a distancia L1, se comprueba que para equilibrarla en la parte derecha se debe
colocar un peso P2 a una distancia L2 de forma que P1.L1 = P2.L2 = constante.
Figura 1.2.12: Momento de una fuerza.
L/2 L
P1
P2
L1 L2
Capítulo 1: Estática vectorial plana 11
Ejemplo 1.2.8: PUERTA. Considérese ahora una puerta de una hoja abatible como las utilizadas
habitualmente en edificación. Si la puerta se encuentra abierta, y para cerrarla hay que aplicar una
fuerza F perpendicular al plano de la misma, sobre la manivela, obsérvese que el efecto es el mismo
si se aplica F empujando sobre la puerta, que si se aplica F estirando de la puerta. Esto hace que la
fuerza F se comporte como un vector deslizante.
FF
Figura 1.2.13: Línea de acción y momento de una fuerza.
Si la manivela se encuentra a una distancia L del eje de la puerta (donde están colocadas las
bisagras) el “efecto” para cerrar la puerta se obtiene del producto de F.L. Si ahora la fuerza para
cerrar la puerta se aplica a una distancia 0’5L del eje de la puerta, se comprueba experimentalmente
que la fuerza necesaria es 2F, es decir, se mantiene constante el producto F.L.
L2
L 2FF
Figura 1.2.14: Momento de una fuerza.
Por tanto, parece lógico establecer una variable que represente este efecto constatado en los
ejemplos anteriores, y que se podría denominar de “tendencia al giro”. A esta variable se la
denominará de aquí en adelante momento de una fuerza.
12 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Considérese una fuerza �
F contenida en el plano z = 0, cuya línea de acción pasa por el
punto P(xP, yP). Se define el momento de �
F respecto a un punto cualquiera A(x, y) de dicho plano
como el producto vectorial
= ∧��� ����� �
( ) ,AM F AP F (1.2.2)
donde ����
AP es el vector obtenido al unir A con P (Figura 1.2.15).
Figura 1.2.15: Momento de una fuerza en un punto A.
Si en lugar de utilizar el punto P de la línea de acción de la fuerza �
F , se utiliza otro punto Q
cualquiera de su línea de acción (Figura 1.2.16), el momento con respecto al punto A se expresaría
de la forma
= ∧ = + ∧ = ∧ + ∧ = ∧��� �� ����� �� ���� ���� �� ���� �� ���� �� ���� ��
( ) ( ) ,AM F AQ F AP PQ F AP F PQ F AP F (1.2.3)
Figura 1.2.16: El momento de una fuerza �
F respecto a un punto A no depende del punto de la línea de acción
de la fuerza elegido para calcularlo
x
y
z
A
P �
F
� �
( )AM F
����
AP
x
y
z
A
P�
F
� �
( )AM F
����
AP
Q
�����
AQ
����
PQ
d
α β
α
β
=
=
�����
����
sen
sen
AQ d
AP d
Capítulo 1: Estática vectorial plana 13
por ser paralelos los vectores ����
PQ y �
F . Esto pone de manifiesto que el momento de una fuerza en
un punto A no depende del punto elegido de la línea de acción de la fuerza. Por tanto, el
momento de una fuerza �
( , )F P con respecto a un punto A es un vector ligado al punto, de dirección
perpendicular a los vectores ����
AP y �
F , sentido el del producto vectorial, y módulo, el producto de los
módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman. Es decir, si se analiza la expresión del
módulo del momento resulta
β= =��� �� �� ���� ��
( ) sen ,AM F F AP F d (1.2.4)
siendo d la distancia del punto A a la línea de acción de la fuerza, y que demuestra que el módulo del
momento sólo depende del módulo de la fuerza y de la distancia del punto a su línea de acción, algo
lógico al no depender el momento del punto elegido de la línea de acción de la fuerza.
Escribiendo ����
AP y �
F por sus componentes, al estar contenidos en el plano xy, la expresión
del momento será de la forma
∧
� � �
��� �� ���� �� �
( ) 0 ( ( ) ( )) ,0
A P A P A y P A x P Ax y
i j kM F = AP F = x - x y - y = F x - x - F y - y k
F F (1.2.5)
es decir, el momento es un vector perpendicular al plano xy. Si el punto respecto del cual se
obtiene el momento pertenece al plano que contiene las fuerzas, dicho momento siempre será
perpendicular al plano, y siempre tendrá la dirección del eje z, pudiendo ser horario ( −�
k ) o antihorario
(�
k ).
Ejemplo 1.2.9: Considérese la situación mostrada en la Figura 1.2.17, una balanza que puede girar
alrededor de O, donde se conocen P1 = 10 N, L1 = 2 m y L2 = 4 m. Obténgase:
1.- El momento del vector �
1P en el origen (punto O de apoyo de la balanza) considerando que �
1P
está aplicada en G.
2.- El momento del vector �
1P en el origen considerando que �
1P está aplicada en el punto A(-L1, 0).
3.- El momento de �
2P en el punto O.
4.- El valor de �
2P que equilibra la tendencia al giro provocada por �
1P .
RESOLUCIÓN:
1.- El momento de �
1P en O viene dado por la expresión
14 Capítulo 1: Estática vectorial plana
= ∧������ � �
1 1( ) ,OM P OG P (1.2.6)
siendo O(0,0), G(-2, yG), y �
1P (0, -10). Por tanto,
= ∧ = − =−
� � ��
����� ��� � �
1 1( ) 2 0 20 Nm .0 10 0
O G
i j kM P OG P y k (1.2.7)
Figura 1.2.17
2.- El momento del vector �
1P en O considerando que �
1P está aplicada en el punto A(-2, 0) es
= ∧ = − =−
� � ��
���� ��� � �
1 1( ) 2 0 0 20 Nm ,0 10 0
O
i j kM P OA P k
(1.2.8)
como ya se sabía, el momento de la fuerza no depende del punto de su línea de acción que se elija,
es decir, puede ser A, G, o cualquier otro de la recta x = -2.
El momento de �
1P en O también se puede obtener directamente como un vector de módulo
igual al producto del módulo de �
1P por la distancia del punto a su línea de acción, y sentido
antihorario, es decir,
= ⋅ = → =� � � � � �
1 1 1( ) 10 2 20 Nm , ( ) 20 Nm ,O OM P = P d M P k (1.2.9)
3.- El momento de �
2P en el punto O queda de la forma
x
P1
L1
P2
L2
y
OG A
B
Capítulo 1: Estática vectorial plana 15
= ∧ = = −−
� �
� � ��
���� ���
O 2 2 22
( ) 4 0 4 ,0 0
P P B
i j kM OB y P k
P (1.2.10)
o bien,
= ⋅ → = −� � � � � �
2 2 2 2 2( ) 4 , sentido horario ( ) 4 .O OM P = P d P M P P k (1.2.11)
Ambos momentos tienen que ser iguales en módulo, y de sentidos opuestos, luego,
⋅ = → =2 24 20 5 N .P P (1.2.12)
1.3.- Sistemas planos de fuerzas
En el cálculo de estructuras se utilizan habitualmente sistemas de fuerzas que tienen infinitos
puntos de aplicación (peso de forjados, peso de pavimentos, sobrecargas de nieve, reacciones de
suelos sobre cimientos, etc.) y que se denominan sistemas continuos de fuerzas. En otras ocasiones
aparecen cargas concentradas sobre distintos puntos de la estructura (pilar apoyado en viga, zuncho
apoyado en pilar o apoyado en viga, etc.), a las que se denomina cargas puntuales y que constituyen
un sistema discreto de fuerzas. En ambos casos, lo usual es que estos sistemas de fuerzas
(continuos o finitos) se calculen como sistemas planos.
Ejemplo 1.3.1: Fuerza reacción que ejerce una superficie horizontal sobre un prisma rectangular
apoyado en ella (en edificación podría asimilarse a una zapata bajo pilar centrado). El primer caso
muestra un sistema de fuerzas con simetría vertical, que provoca una reacción del suelo también
simétrica (Figura 1.3.1). El segundo caso muestra la acción, además, de un par de fuerzas de
momento M que provoca una variación de la presión sobre el suelo, y por tanto de la reacción del
suelo sobre el prisma (Figura 1.3.2).
F
L
q
F=L·q
Reacción del suelosobre la zapata
Zapata bajo pilar centrado
Acción de la zapata sobre el suelo
Figura 1.3.1: El sistema de fuerzas con simetría vertical que actúa sobre la zapata provoca una reacción del
suelo sobre la zapata también simétrica.
16 Capítulo 1: Estática vectorial plana
FM
Zapata sobrepilar centrado
q
Par de fuerzas=ML·q=F
Acción zapata sobre suelo= =Par de fuerzas+M+F L·q Reacción del suelo
L
ML
MLF
F
Figura 1.3.2: Al actuar sobre el sólido un par de fuerzas de momento M se provoca una variación de la presión
sobre el suelo, y por tanto, de la reacción del suelo sobre la base del sólido.
Aplicando la teoría de sistemas planos de fuerzas, se obtiene el valor y punto de aplicación de
la reacción resultante del suelo sobre el prisma, que es un sistema continuo de fuerzas deslizantes
paralelas.
Ejemplo 1.3.2: Viga horizontal biapoyada sometida a fuerzas puntuales. En este ejemplo es necesario
obtener las fuerzas que ejerce la viga de la Figura 1.3.3 sobre sus puntos de apoyo (como se verá
más adelante denominados enlaces), y que están originadas por las fuerzas puntuales aplicadas
sobre la propia viga. Al igual que el ejemplo anterior es necesario sustituir las fuerzas que actúan
sobre la viga (a) por su fuerza resultante (c), a su vez, sustituir esta fuerza resultante por su acción
sobre los enlaces (b). Las fuerzas que ejercen los enlaces son las opuestas (c).
Acción viga / articulación =Acción viga / apoyo =
Reacción articulación / vigaReacción apoyo / viga
a b c
1F3F
2F
1 2 3ar apA A F F F
arA
apA
1 2 3R F F F
Figura 1.3.3: Operaciones con sistemas de fuerzas
Ejemplo 1.3.3: Viga empotrada y en voladizo sometida a fuerzas puntuales. Al igual que el caso
anterior, es necesario obtener las acciones que ejerce la viga sobre el enlace (empotramiento), y que
están originadas por las fuerzas puntuales aplicadas sobre la propia viga. Y al igual que el ejemplo
�
1F �
2F �
3F
�
: arA�
: apA
+ = + +� � � � �
1 2 3ar apA A F F F
= + +� � � �
1 2 3R F F F
Capítulo 1: Estática vectorial plana 17
anterior es necesario sustituir las fuerzas sobre la viga por su fuerza resultante, y a su vez, sustituir
esta fuerza resultante por su acción sobre el enlace (fuerza y momento).
Reacciones pared/viga1F
2F
/ 1 2v pF F F
/ /v p v pF M
/v pM
/v pR F
Figura 1.3.4: Operaciones con sistemas de fuerzas
1.3.1.- Definición de sistema de fuerzas
Se denomina así a todo conjunto finito o continuo de fuerzas. En caso de un número finito de
fuerzas, el sistema se representa por �
{ , }i iF P . Si es un sistema continuo su representación será de la
forma �
{ , }dF P en una zona determinada del plano z = 0.
Ejemplo de sistema finito de fuerzas: Fuerzas puntuales sobre un prisma apoyado en un
plano inclinado (diagrama de sólido libre en Figura 1.3.5b).
Figura 1.3.5: Sistema finito de fuerzas
Ejemplo de sistemas continuos de fuerzas: carga gravitatoria repartida y carga de viento
sobre pórtico.
F
FR N
P F P
(a) (b)
�
1F�
2F
= +� � �
/ 1 2v pF F F
= +� � �
/ 1 2v pM F F� �
/ /yv p v pF M
=� �
/v pR F
−�
1F
−�
2F
−�
/v pM
18 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Carga gravitatoria
Carga de viento
Figura 1.3.6: Sistemas continuos de fuerzas
1.3.2.- Resultante de un sistema plano de fuerzas
Se define la resultante de un sistema de n fuerzas, como la suma vectorial de las fuerzas que
componen el sistema
== = +∑
� � � �
1,
ni x y
iR F R i R j (1.3.1)
vector que no depende de los puntos del espacio donde están aplicadas las fuerzas, por lo tanto, se
trata de un vector libre.
Gráficamente se obtendría eligiendo una escala para los módulos de las fuerzas, se trazaría
una paralela a la primera fuerza, a escala; por el extremo de ésta, paralela a la fuerza siguiente, y así
sucesivamente hasta dibujar todas las fuerzas. La resultante se obtiene uniendo con una recta el
origen de la primera fuerza con el extremo de la última.
En el caso de un sistema continuo de fuerzas será
= ∫� �
.S
R dF (1.3.2)
1.3.3.- Momento resultante de un sistema plano de fuerzas
Se define el momento resultante de un sistema de n fuerzas contenidas en un plano, con
respecto a un punto A del plano, como el vector ligado �
AM suma de los n momentos de cada una de
las fuerzas con respecto a dicho punto
Capítulo 1: Estática vectorial plana 19
= == ∧ = − − =∑ ∑
� � �
��� ���� � � �
1 10 .0
n nA i i Pi A Pi A A
i i xi yi
i j kM AP F x x y y M k
F F (1.3.3)
Gráficamente se obtendría eligiendo una escala para los módulos de las fuerzas, y otra
escala para longitudes. Para cada una de las fuerzas se realizaría el producto de su módulo por la
distancia de su línea de acción al punto, eligiendo el signo negativo para los momentos horarios, y el
signo positivo para los momentos antihorarios. El momento resultante es la suma de estos productos
con el sentido indicado por su signo.
En el caso de un sistema continuo de fuerzas será
= ∧ = − − − ∫ ∫ ∫
����� � �
( ) ( ) .A y A x AM AP dF dF x x dF y y k (1.3.4)
1.3.4.- Torsor de un sistema plano de fuerzas
Se define el torsor se un sistema de fuerzas, AΤ , como el par formado por la resultante y el
momento resultante del sistema en un punto A.
= =
=
≡
∑ ∑
∑
�
�
1 1
1
,
.
n nxi yi
i iA
nAAi
i
F FR
TM
M
(1.3.5)
1.3.5.- Equivalencia de un sistema plano de fuerzas
Se dice que dos sistemas de fuerzas son equivalentes cuando tienen el mismo torsor en un
punto. Al tener el mismo torsor en un punto, lo tienen en todos los puntos del espacio. En efecto, si se
denomina a los sistemas S1 y S2, por ser sistemas equivalentes,
= ≡ ⇔ =
� � � �
� � � �
1 2 1 21 2
1 2 1 2( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )A AA A A A
R R R RT T
M M M M. (1.3.6)
Si se obtiene el momento resultante en otro punto B del sistema S1,
= = = == ∧ = + ∧ = ∧ + ∧∑ ∑ ∑ ∑
��� ���� ���� ���� ���� ����� � � �
1 1 1 1( ) ,
n n n nB i i ii i i i
i i i iM BP F BA AP F BA F AP F (1.3.7)
20 Capítulo 1: Estática vectorial plana
= + ∧��� ��� ���� �
,B AM M BA R (1.3.8)
= + ∧ =��� ��� ���� ����
1 1 1 2( ) ( ) ( ) ,B A BM M EA R M (1.3.9)
lo que pone de manifiesto que si dos sistemas son equivalentes en un punto, son equivalentes en
todos los puntos del espacio.
La utilización de sistemas equivalentes de fuerzas resulta muy práctica en el cálculo del
equilibrio de sólidos rígidos, al poder sustituir cualquier sistema de fuerzas por otro sistema
equivalente mucho más sencillo, formado por una fuerza o formado por dos fuerzas. A esta
sustitución se la denomina reducción de un sistema de fuerzas.
1.3.6.- Reducción de un sistema plano de fuerzas
Se define la reducción de un sistema de fuerzas como la obtención de otro sistema
equivalente formado por una o dos fuerzas. Para analizar los posibles casos se estudia la nulidad del
producto escalar ��� �
iAM R . El producto escalar de la resultante por el momento resultante será nulo por
alguno de los siguientes casos:
a) ⊥ ≠ ≠��� ���� � � �
, 0 , 0A AM R M R . En este caso, un sistema equivalente es el formado por un
solo vector, la fuerza resultante �
R como vector deslizante sobre una recta
denominada eje central (Figura 1.3.7). Esta recta se obtiene tomando momentos con
respecto al punto A y planteando la equivalencia de sistemas, supuesta la fuerza
resultante sobre una recta que contiene un punto desconocido E:
= ∧ = ∧∑���� ����� � �
.iA iM AP F AE R
(1.3.10)
Figura 1.3.7
E
�
R
����
AE
x O
y
A
Pi �
iF
����
iAP
x O
y
A
eje central
Capítulo 1: Estática vectorial plana 21
b) = ≠��� � � �
0 , 0AM R . En este caso, un sistema equivalente es el formado por un solo
vector, la fuerza resultante como vector deslizante sobre el eje central y que contiene
el punto A. En la Figura 1.3.8 se muestra un ejemplo de este tipo de sistemas
(sistema de fuerzas concurrentes). El momento resultante del sistema en cualquier
punto Q se obtiene como el momento de la resultante:
= ∧ = ∧∑���� ����� � �
.iQ iM QP F QA R
(1.3.11)
Figura 1.3.8
c) ≠ =��� � � �
0 , 0AM R . En este caso, el momento resultante es constante en todos los
puntos del espacio (Figura 1.3.9), ya que si B es un punto arbitrario del plano, de la
ecuación (1.3.8) se deduce
= + ∧ =��� ��� ���� ����
.B A AM M BA R M (1.3.12)
Figura 1.3.9
El sistema equivalente más simplificado está formado por dos fuerzas iguales en
módulo y dirección (Figura 1.3.10a), de sentidos opuestos, y separadas sus líneas de
acción una cierta distancia d. A este sistema se le denomina par de fuerzas, y verifica
x O
y
A
=� �
0RB
�
iF
x O
y
A
Pi
����
iAP
= ≡� � �
A BM M M
≠� �
0AM
A
Pi �
iF����
iAP
x O
y eje central
Q
����
iQP
A
x O
y
Q
�
R
����
QA
22 Capítulo 1: Estática vectorial plana
= + − =� � � �
( ) 0 ,R F F
(1.3.13)
= ∧ + ∧ − = − ∧ = ∧��� ���� ���� ���� ���� ������� � � �
1 2 1 2 2 1( ) ( ) ,AM AP F AP F AP AP F P P F (1.3.14)
α= =��� ������� �
2 1 sen .AM F P P F d (1.3.15)
(a) (b)
Figura 1.3.10
Los pares de fuerzas aparecerán con frecuencia a lo largo del curso. Para indicar su
presencia se suele emplear el símbolo que señala el sentido de giro que provocaría.
Así, el la Figura 1.3.10b se señala un par de fuerzas que daría lugar a un giro
antihorario. El momento de este par es independiente del punto del plano escogido, y
es un vector perpendicular al plano de la figura que, en este caso, saldría del mismo.
Si las fuerzas llevasen sentidos contrarios, darían lugar a un giro antihorario, y a un
vector momento que entraría en el plano del dibujo.
d) = =��� � � �
0 0AM R . A este sistema se le denomina sistema nulo (Figura 1.3.11). El
sistema equivalente más simplificado será el formado por dos fuerzas iguales en
módulo y dirección, de sentidos opuestos, sobre la misma línea de acción.
Figura 1.3.11
−�
F
x O
y
A �
F
B −�
F
x O
y
A ����
1AP �
Fd
P1 P2 ����
2AP
������
2 1P P
α
α
d
= ≡� � �
A BM M M
�
M
x O
y
A
=� �
0R B
�
iF
x O
y
A
Pi ����
iAP=
� �
0AM
=� �
0BM
−�
F
�
F
Capítulo 1: Estática vectorial plana 23
Ejemplo 1.3.4: Sobre la viga de la Figura 1.3.12 actúa el sistema S de fuerzas formado por las dos
fuerzas puntuales mostradas y el par de fuerzas de momento indicado. Redúzcase el sistema a una
sola fuerza �
F .
Figura 1.3.12
La expresión vectorial de las fuerzas y momentos es
= − = = − ⋅� � � � � �
1 2 32000 N , 1000 N , 4000 N m .F j F i M k
(1.3.16)
El sistema equivalente al inicial es la resultante del propio sistema pasando por un punto P.
La resultante vale
= = + = −� � � � � �
1 2( ) (1000 2000 ) N ,F R S F F i j
(1.3.17)
donde se ha tenido en cuenta que la suma de fuerzas de un par es un vector nulo.
Para hallar el punto P(xP, 0) de la viga en el que debe actuar esta fuerza, se iguala su
momento en el punto O con el momento total del sistema en ese punto
= → ∧ = ∧ + ∧ +���� ���� ����� � � � � � �
1 2 3( ) ( ) .O OM F M S OP F OA F OB F M
(1.3.18)
Teniendo en cuenta que
= = =���� ���� ����� � �
, 3 m, 3 m ,POP x i OA i OB i
(1.3.19)
se cumple
F1 = 2000 N
M3 = 4000 N.m
O A B
3 m 2 m3 m 2 m
C
F2 = 1000 N
x
y
24 Capítulo 1: Estática vectorial plana
∧ = = − ⋅−
� � �
���� � �
0 0 2000 N m ,1000 2000 0
P P
i j kOP F x x k
(1.3.20)
∧ = = − ⋅−
� � �
���� � �
1 3 0 0 6000 N m ,0 2000 0
i j kOA F k
(1.3.21)
∧ = = ⋅
� � �
���� � �
2 6 0 0 0 N m .1000 0 0
i j kOB F k
(1.3.22)
Por tanto, la ecuación (1.3.15) resulta
− = − → =� �
2000 10000 5 m .P Px k k x
(1.3.23)
En la Figura 1.3.13 se muestra el sistema equivalente formado por una sóla fuerza.
Figura 1.3.13
O
5 m
x
y
= = −� � � �
( ) (1000 2000 ) NF R S i j
eje central
P
Capítulo 1: Estática vectorial plana 25
1.4.- Cargas repartidas. Aplicación de la norma “NBE-AE-88 Acciones en
Edificación”
A continuación se muestran los datos de pesos y acciones más usuales utilizados en los
cálculos de estructuras, y que son de obligado cumplimiento en la redacción de proyectos de
edificación.
TABLA 2.4 NBE-AE/88 Peso de fábricas y macizos
TABLA 2.5 NBE-AE/88 Peso de elementos constructivos
Elemento Peso Kp/m3 Elemento Peso
Kp/m2
A. Sillería De basalto De granito De caliza compacta o mármol De arenisca De arenisca porosa o caliza porosa B. Mampostería con mortero De arenisca De basalto De caliza compacta De granito C. Fábrica de ladrillo Cerámico macizo Cerámico perforado Cerámico hueco D. Fábrica de bloques Bloque hueco de mortero (pesado) Bloque hueco de mortero (ligero) Bloque hueco de yeso E. Hormigones Armado En masa De cascote de ladrillo De escoria
3.000 2.800 2.800 2.600 2.400
2.400 2.700 2.600 2.600
1.800 1.500 1.200
1.600 1.300 1.000
2.500 2.300 1.900 1.600
A. Tabiques (sin revestir) Tabique de ladrillo hueco (4’5 cm) Tabicón de ladrillo hueco (9 cm) Tabicón de ladrillo hueco (12 cm) B. Revestimientos Enfoscado o revoco de cemento Guarnecido de yeso C. Pavimentos Baldosa hidráulica o cerámica: - grueso total, incluso relleno: 3 cm - grueso total, incluso relleno: 5 cm - grueso total, incluso relleno: 7 cm Parquet sobre tarima de 2 cm y rastrel Terrazo sobre mortero (5 cm de espesor total) D. Forjados de cubierta Tablero de rasilla (1 hoja) Tablero de rasilla (2 hojas) E. Materiales de cobertura Teja curva ligera (1’6 Kg por pieza) Teja curva corriente (2 Kg por pieza) Teja plana ligera (2’4 Kg por pieza) Teja plana corriente (3 Kg por pieza)
60 100 140
20 12
50 80 110 40
80
40 100
40 50 30 40
26 Capítulo 1: Estática vectorial plana
TABLA 2.5 NBE-AE/88 Peso de elementos constructivos
F. Pisos Dimensiones Peso Kp/m2
Bloque d (cm) Viguetas de hormigón y bloques huecos
Cerámico De mortero
16 20 24
16 20 24
100 130 160
120 150 180
Canto d (cm) Losa de hormigón armado
8 10 12 15 20
190 240 290 360 480
Bloque d (cm)
Losa aligerada de hormigón armado
Cerámico: t = 3 cm Cerámico: t = 5 cm De mortero: t = 3 cm De mortero: t = 5 cm
15 20 25
15 20 25
15 20 25
15 20 25
200 230 260
240 270 300
220 250 280
260 290 320
Capítulo 1: Estática vectorial plana 27
TABLA 3.1 NBE-AE/88
Sobrecargas de uso
TABLA 4.1 NBE-AE/88
Sobrecarga de nieve sobre superficie
horizontal Uso del elemento Sobrecarga
Kp/m2 Altitud topográfica h
m Sobrecarga de nieve
Kp/m2 0 a 200 201 a 400 401 a 600 601 a 800 801 a 1.000 1.001 a 1.200 > 1.200
40 50 60 80 100 120
h/100
TABLA 5.1 NBE-AE/88 Presión dinámica del viento
Altura de coronación del edificio sobre el terreno en
m, cuando la situación topográfica es
Velocidad del viento
v
Presión dinámica
w
Normal Expuesta m/s km/h Kp/m2
A. Azoteas Accesibles sólo para conservación Accesibles sólo privadamente Accesibles al público B. Viviendas Habitaciones de viviendas Escaleras y accesos públicos Balcones volados C. Hoteles, hospitales, cárceles… Zonas de dormitorio Zonas públicas, escaleras, accesos Locales de reunión y de espectáculo Balcones volados D. Oficinas y comercios Locales privados Oficinas públicas, tiendas
Galerías comerciales, escaleras y accesos Locales de almacén Balcones volados
E. Edificios docentes Aulas, despachos y comedores Escaleras y accesos Balcones volados F. Iglesias, edificios de reunión y
de espectáculos Locales con asientos fijos Locales sin asientos, tribunas,
escaleras Balcones volados G. Calzadas y garajes Sólo automóviles de turismo Camiones
100 150
según uso
200 300
art. 3.5
200 300 500
art. 3.5
200 300 400
según uso
art. 3.5
300 400
art. 3.5
300 500
art. 3.5
400 1.000
de 0a 10 de 11 a 30 de 31 a 100
> 100 -
- -
de 0 a 30 de 31 a 100
> 100
28 34 40 45 49
102 125 144 161 176
50 75 100 125 150
28 Capítulo 1: Estática vectorial plana
1.5.- Sistemas de fuerzas originados por las cargas repartidas descritas en la
norma NBE-AE-88
Los sistemas de fuerzas, discretos o continuos, que actúan en los elementos estructurales, se
obtienen a partir de los datos contenidos en las tablas de la norma NBE-AE-88, vistas en el apartado
anterior, con el procedimiento que muestran los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.5.1: Considérese una estructura formada por dos muros de carga sobre los que
apoyan dos vigas paralelas, que sustentan a su vez una planta de piso (Figura 1.5.1).
Viga de hormigón armado
Viguetas de hormigón armado y bloques huecos Pavimento de baldosa hidráulica
Guarnecido de yeso
6 m
5 m
Figura 1.5.1
Considérese también, que la planta de piso es de un edificio docente y está compuesta por
los siguientes elementos constructivos (tablas apartado anterior):
Viguetas de hormigón y bloques huecos de mortero, de 24 cm de canto 180 Kp/m2
Pavimento de baldosa hidráulica de 7 cm de grueso total 110 Kp/m2
Guarnecido de yeso en la cara inferior del forjado de 2 cm de espesor 24 Kp/m2
Sobrecarga de uso en edificio docente 300 Kp/m2
Peso total del forjado 614 Kp/m2
Muro de carga Muro de carga
Capítulo 1: Estática vectorial plana 29
El forjado apoya sobre las dos vigas como muestra la Figura 1.5.1. Si la separación entre los
ejes de las mismas es de 6 m, cada una de ellas soportará 3 m de forjado, y por tanto, la carga por
metro lineal de viga será
614 Kp/m2 × 3m = 1.842 Kp/m ,
que equivale a un sistema continuo de fuerzas paralelas, constante, tal y como se muestra en la
Figura 1.5.2.
Figura 1.5.2
Ejemplo 1.5.2: Considérese ahora la misma tipología de forjado del ejemplo anterior, pero sustentado
en dos vigas que no son paralelas entre sí. El forjado, a su vez, sustenta por su punto medio un muro
de fábrica de ladrillo cerámico perforado de 12 cm de espesor y 3 m de altura, tal como muestran las
Figuras 1.5.3.
Muro de fábrica deladrillo cerámico perforado
Viga de hormigón armado
Viguetas de hormigónarmado y bloques huecos Pavimento de
baldosa hidráulica
Guarnecido de yeso
4 m
2 m3 m
6 m
Figura 1.5.3
El peso del muro se transmite a cada viga como una carga puntual de valor (tabla 2.4 NBE-AE-88):
1.500 Kp/m3 × 3m × 0’12m × 2m = 1.080 Kp .
Si el peso de la viga se considera despreciable frente a los pesos que soporta, el esquema de
cargas corresponde a un sistema continuo de fuerzas paralelas que varía linealmente, y a una fuerza
vertical, como muestra la Figura 1.5.4.
A B
5 m
q = 1.842 Kp/m
x
y
Muro de carga Muro de carga
30 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Figura 1.5.4
1.6.- Estática de sistemas de puntos materiales
Para estudiar el efecto que provocan las fuerzas sobre sistemas materiales continuos, éstos
se descomponen en infinitos puntos materiales. Se estudia el equilibrio del punto material, y por
extensión el equilibrio de sistemas materiales continuos.
1.6.1.- Estática del punto material
En este apartado se estudian las relaciones que deben existir entre las fuerzas que actúan
sobre un punto material para que esté en equilibrio.
Definición de punto material: Es la materia contenida en un volumen infinitésimo (diferencial).
dV
Figura 1.6.1: Punto material.
A B
5 m
qB = 1.842 Kp/m
qA = 614 Kp/m
qA qB
x
y
P = 1.080 Kp
Capítulo 1: Estática vectorial plana 31
Aunque no se encuentran puntos materiales en la realidad (porque al ser infinitésimos no se
pueden detectar), en muchos problemas en los que los sólidos rígidos son pequeños respecto a las
dimensiones de otros elementos, se realiza la simplificación de considerarlos puntos materiales.
Ejemplo: El pasador A con el que se articulan varias barras delgadas entre sí en una
estructura articulada, se considera un punto material.
A
Figura 1.6.2: Punto material.
También se realizan hipótesis simplificativas sobre las barras, por ejemplo considerándolas
con sección transversal infinitésima (líneas) y sin peso.
Ecuaciones de equilibrio del punto material en el plano:
Por definición, un punto material está en equilibrio cuando su aceleración es nula. Si la
aceleración es nula, y la fuerza es proporcional a ella, la suma vectorial de las fuerzas que actúan
sobre el punto material debe ser nula, obteniendo:
=∑� �
0 .F (1.6.1)
Utilizando coordenadas cartesianas, esta ecuación vectorial se descompone en sistemas
planos, en las ecuaciones escalares:
=∑ 0 ,xF (1.6.2)
=∑ 0 .yF (1.6.3)
1.6.2.- Estática de sistemas materiales
Un sistema material está en equilibrio cuando la aceleración de todos y cada uno de sus
puntos es nula, es decir, cuando todos y cada uno de sus puntos están en reposo, si lo estaban
inicialmente.
32 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Fuerza interior a un sistema material, es la que ejerce un punto material del sistema sobre
otro punto del sistema. Fuerza exterior a un sistema material es la que ejercen puntos materiales
que no pertenecen al sistema sobre un punto del sistema.
Ejemplo de fuerzas interiores y fuerzas exteriores: En el ejemplo de fuerzas visto en la página
5 de este capítulo, las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso son fuerzas exteriores, las
reacciones (fuerzas en gris oscuro) son fuerzas interiores al sistema viga-pilares, mientras que si se
considera sólo la viga, entonces estas reacciones son fuerzas exteriores ya que las ejercen puntos
que no pertenecen al sistema sobre puntos del sistema.
Figura 1.6.3: Ejemplo de fuerzas interiores y fuerzas exteriores.
Teorema fundamental de la estática: Para que un sistema material esté en equilibrio es
condición necesaria que las fuerzas exteriores que actúan sobre él formen un sistema nulo.
Demostración: Si el sistema material está en equilibrio, la aceleración de uno cualquiera de
sus puntos Pi es nula, y también es nula la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él (sistema
Si).
Si se reúnen todos estos sistemas Si, se obtiene el sistema S de todas las fuerzas que actúan
sobre todos los puntos del sistema, que será nulo, ya que se obtiene por la unión de sistemas nulos.
Por otra parte, el sistema de fuerzas interiores es nulo, ya que está formado por parejas de
vectores del mismo módulo, la misma recta de acción y sentido contrario, al considerar todas las
parejas de puntos del sistema material.
Como es nulo el sistema de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema material, y es nulo
el sistema de fuerzas interiores, también deberá ser nulo el sistema de fuerzas exteriores, que es su
complementario, con lo que está demostrado el teorema.
Capítulo 1: Estática vectorial plana 33
es decir:
+= ⇒ = ⇒ ∪ =∑� �
( ) 0 00 , (sistema nulo) ,i
i i Ext Int iP
F S S S S
(1.6.4)
⇒ ∪ =( ) ( ) 0 ,F Ext F IntS S S
(1.6.5)
como se cumple
=( ) 0 ,F IntS S
(1.6.6)
resulta que
=( ) 0 ,F ExtS S
(1.6.7)
de donde resultan las ecuaciones vectoriales:
=∑�� �
0 ,ExtF (1.6.8)
=∑��� � �
( ) 0 .ExtAM F (1.6.9)
Ecuaciones de la estática plana: Si las fuerzas que actúan sobre el sistema están contenidas en el
plano z = 0, del teorema anterior se obtienen tres ecuaciones algebraicas que son:
=∑ ( ) 0 ,x ExtF (1.6.10)
=∑ ( ) 0 ,y ExtF (1.6.11)
=∑�
( ) 0 .A ExtM F (1.6.12)
donde A es un punto cualquiera del plano.
1.7.- Enlaces entre sólidos rígidos planos
El contacto de un sólido rígido con otros puede restringir sus posibilidades de movimiento al
establecer condiciones entre los parámetros que determinan su posición. Por ejemplo, en la Figura
1.7.1 se muestra una estructura de barras apoyada a la izquierda en una barra y articulada a la
derecha en un prisma rectangular. La barra, a su vez, está empotrada en una superficie vertical. El
34 Capítulo 1: Estática vectorial plana
prisma impide el movimiento vertical y horizontal de la estructura y la barra le impide el movimiento
vertical. El empotramiento le impide a la barra cualquier tipo de movimiento.
P
F
A B E
yA yB
xB EM
yE barraP
/est barraF
Figura 1.7.1: Ejemplo de fuerzas de enlace.
Después de lo comentado en este ejemplo se hace necesario establecer la siguiente
definición de enlace:
Enlace de un sólido rígido es una condición entre los parámetros que determinan su posición.
El enlace impide movimientos del sólido rígido que serían posibles en caso de no existir, y lo hace
generando fuerzas que impiden esos movimientos, y que se llaman reacciones de enlace.
Los enlaces más usuales utilizados en el cálculo de estructuras son:
Apoyo simple:
Permite el deslizamiento sin rozamiento sobre la superficie de contacto, y da lugar a una
reacción perpendicular a la superficie (reacción normal), o al plano tangente en el punto de apoyo. En
la Figura 1.7.2. se muestran diferentes formas de simbolizar este enlace.
Figura 1.7.2
normal
apoyos sin rozamiento
apoyos deslizantes sobre rodillos
N
N N N
Capítulo 1: Estática vectorial plana 35
Existen situaciones, como la mostrada en la Figura 1.7.3, en las que puede resultar conflictivo
asignar una dirección a la reacción normal. Mientras que en el apoyo A no hay duda (la reacción
normal es perpendicular a la superficie de contacto), en el B no es posible aplicar esa regla. Para
solventar este problema, se tiene en cuenta cómo sería un hipotético movimiento compatible con los
enlaces y se asigna como dirección a la normal la perpendicular a ese movimiento.
Figura 1.7.3
Apoyo sobre superficie con rozamiento:
Además de la reacción normal, aparece una fuerza tangencial consecuencia de las
rugosidades de los cuerpos en contacto (Figura 1.7.4). Debido a la importancia de la fuerza de
rozamiento su estudio será abordado en un apartado independiente.
Figura 1.7.4
Articulación:
Obliga a un punto de un sólido a coincidir con un punto determinado de otro sólido, pero
permite el giro (sin rozamiento) respecto a esos puntos. Este tipo de enlace coarta por tanto dos
grados de libertad, y esto se traduce en la aparición de una fuerza de enlace con dirección
posible movimiento
posible movimiento
A
B
NA
NB
normal
fuerza de rozamiento
N
FR
36 Capítulo 1: Estática vectorial plana
desconocida, o lo que es equivalente, dos componentes desconocidas de una fuerza. En la Figuras
1.7.5-6 se muestran enlaces de este tipo
Figura 1.7.5: apoyos articulados
Figura 1.7.6: articulación
Una propiedad interesante de las articulaciones permite simplificar los cálculos en algunos
problemas.
Ejemplo 1.7.1: Calcúlense las reacciones en las articulaciones A y C de la estructura que se muestra
en la Figura 1.7.7.
Figura 1.7.7
11 Kp.m
5 Kp
A
B
C
3 m
4 m
4 m
3 m
α
α
componentes horizontal y vertical de fuerza desconocida
Ax
Ay
Ax
Ay
A A
A
Ax
Ay
Ax
Ay
Capítulo 1: Estática vectorial plana 37
En la Figura 1.7.8 se muestra el diagrama de sólido libre de la estructura completa. Se ha
sustutuido la fuerza de 5 Kp aplicada en B por sus componentes horizontal y vertical.
Figura 1.7.8
Las condiciones de equilibrio (1.6.10-12) conducen a
= → + − = → − = −∑ 0 4 0 4 ,x x x x xF A C A C (1.7.1)
= → − − = → − =∑ 0 3 0 3 ,y y y y yF A C A C (1.7.2)
= → − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = → − =∑ 0 11 4 3 3 4 7 7 0 5 .A x y x yM C C C C (1.7.3)
Como las ecuaciones de equilibrio de la estática plana son tres (dos para fuerzas y una para
momentos), no es posible resolver todavía las cuatro incógnitas constituidas por las dos componentes
de fuerza que aporta cada una de las articulaciones A y C. Para solventar este problema, puede
desmontarse la estructura, dibujando en el extremo B de cada barra las fuerzas de enlace de la
articulación. Como es lógico, si sobre una de las barras se dibuja una componente de la fuerza de
enlace con un sentido, sobre la otra deberá dibujarse la misma componente, pero con sentido
contrario. Así, se llegaría a una situación como la mostrada en la Figura 1.7.9.
Ahora, podrían plantearse tres ecuaciones de equilibrio para cada barra, lo que totalizaría un
total de seis ecuaciones, que permitirían resolver las seis incógnitas de la Figura 1.7.9. Sin embargo,
como no se piden los valores de las fuerzas en C, basta con tomar momentos de las fuerzas que
actúan sobre una de las barras (por ejemplo la barra AB) con respecto a C. Con esto, se obtiene una
11 Kp.m4 Kp
A
B
C
3 m
4 m
4 m
3 m
α
α
Ax
Ay
Cy
Cx
3 Kp
38 Capítulo 1: Estática vectorial plana
cuarta ecuación que complementa a las ecuaciones (1.7.1-3) y que no involucra ninguna nueva
incógnita
= → − + ⋅ − ⋅ = → − =∑ (barra ) 0 11 3 4 0 3 4 11.B x y x yM AB A A A A (1.7.4)
Figura 1.7.9
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1.7.1-4) se obtiene
= − = − = − =19 Kp , 17 Kp , 15 Kp , 20 Kp ,x y x yA A C C (1.7.5)
donde los signos negativos indican que las fuerzas calculadas llevan en realidad sentido contrario al
supuesto.
Empotramiento:
Este tipo de enlace impide cualquier movimiento (traslación o giro) del cuerpo empotrado. La
fuerza de enlace está compuesta por dos componentes de una fuerza (que aparecen porque el
cuerpo no puede trasladarse) y por un par de fuerzas (que surge debido a que el cuerpo no puede
girar). En la Figura 1.7.10 se muestran dos formas de simbolizar este enlace
Figura 1.7.10
11 Kp.m
A
4 m
3 m
Ax
Ay
By
Bx
4 Kp
B
C
3 m
4 m
Cy
Cx
3 Kp
By
Bx
B
E
E
Ex
Ey
ME Ex
Ey
ME
Capítulo 1: Estática vectorial plana 39
En la Tabla 1.7.1 se resumen algunos de estos enlaces.
Tabla 1.7.1: Tipos de enlaces y fuerzas de enlace
Apoyos sin rozamiento
Rodillos
Cable Biela Muelle
Deslizaderas lisas
Apoyos articulados
Articulación
Apoyo con rozamiento
Empotramiento
N Fuerza con dirección conocida
Fuerza con dirección conocida
F
Fuerza con dirección conocida
F
ME
Ex
Ey
1 in
cógn
ita
1 in
cógn
ita
1 in
cógn
ita
R
Fuerza con dirección desconocida
Dos fuerzas con dirección conocida
FR
N 2 in
cógn
itas
3 in
cógn
itas
Dos componentes de una fuerza y un par de fuerzas