02 Deformacin

CAPTULO 2 DEFORMACIN

OBJETIVOS Conocer los conceptos bsicos de deformacin (unitaria) axial, multiaxial y cortante. Comprender y aplicar la relacin esfuerzo-deformacin. Analizar elementos sujetos a carga axial empleando el concepto de factor de seguridad.1 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Deformacin NormalSean tres especmenes de un mismo material

(a)

(b)

P2A, L

= L Lf

i

A, L A, 2 L(c)

(d) Fig. 2.1 Barras cargadas axialmente a) rea A y longitud L, b) rea 2A y longitud L, c) rea A y longitud 2L y d) diagrama Fuerza-elongacin.De la grfica anterior se deduce que

L

,

P

y

1/ A2

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Concepto de DeformacinLa deformacin (unitaria) se define como

L f Li = = Li Liaunque es en realidad una cantidad adimensional, se acostumbra a ponerle unidades de longitud entre longitud [m/m], [mm/mm], [in/in] etc. La deformacin indica cuanto incrementa o decrementa la longitud por unidad de longitud.

Prueba Esfuerzo-Deformacin

(a)

(b)

Fig. 2.2 a) Mquina para pruebas de tensin y b) probeta calibrada.3 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

D. Esfuerzo-Deformacin: Materiales Dctiles

(c)

Fig. 2.3 a) Comportamiento tpico de un acero dulce, b) diagrama esfuerzodeformacin para aleacin de aluminio y c) probeta en estriccin y falla.4 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

D. Esfuerzo-Deformacin: Materiales FrgilesGeneralmente los materiales frgiles no presentan grandes deformaciones antes de romperse, como se puede apreciar en la siguiente figura

(a)

(b)

Fig. 2.4 a) Diagrama Esfuerzo-Deformacin para un material frgil, b) fractura tpica en un material frgil.

Fig. 2.5 Diagrama Esfuerzo-Deformacin para diversos materiales.5 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Comportamiento Elstico vs. Plstico Si la deformacin desaparece cuando la carga es removida,se dice que el material se comporta elsticamente, Fig. 2.6Desc arga

Car ga

Zona plstica

Fig. 2.6

Zona elstica lineal

Fig. 2.7

El esfuerzo ms grande para el cual ocurre esto se conocecomo lmite elstico (limite de proporcionalidad), prcticamente coincide con el esfuerzo de cedencia (fluencia), Fig. 2.7. Cuando la deformacin no regresa a cero despus de retirar la carga, el material se comporta plsticamente, Fig. 2.8.

Fig. 2.8

6 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Ley de Hooke: Mdulo de ElasticidadEnfocndonos en la zona elstica lineal, la cual queda bien definida hasta el punto A, de la figura 2.5, podemos observar que el esfuerzo y la deformacin mantienen una proporcionalidad lineal, es decir,

para tener una igualdad, tenemos que incluir una constante de proporcionalidad, la cual se conoce como Mdulo de Young o Mdulo de Elasticidad.

= EE es una propiedad del material y por lo tanto constante, como se puede observar en la figura 2.9

La resistencia es afectadapor la aleacin, tratamientos trmicos, y procesos de manufactura pero la rigidez (Mdulo de Elasticidad) no se ve afectada.

Fig. 2.97 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Factor de SeguridadMiembros estructurales o de mquinas deben ser diseadas de tal forma que los esfuerzos de trabajo sean menores que la resistencia ltima del material. Definimos al factor de seguridad como

FS =

u esfuerzo ltimo = w esfuerzo de trabajo

Esta definicin est dada por el esfuerzo ltimo, pero siendo un tanto conservadores podemos utilizar tambin el esfuerzo de cedencia del material como

FS =

Y esfuerzo de cedencia = w esfuerzo de trabajo

Independientemente de la eleccin del esfuerzo para el FS, ste siempre tiene que ser mayor que 1 Consideraciones del factor de seguridad:

Incertidumbre en las propiedades del material Incertidumbre de las cargas aplicadas y en el anlisis Nmero de ciclos de carga Tipos de falla Requerimientos de mantenimiento y efectos del deterioro de los materiales (corrosin) Importancia en la integridad de los miembros de la estructura Influencia en el maquinado de las piezas Riesgo de prdidas de vidas humanas8 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Ejemplo 2.1 En la estructura mostrada, pasadores de 8 mm de dimetro son usados en los puntos A y B, y de 12 mm en los puntos C y D. Sabiendo que el esfuerzo cortante ltimo es de 100 MPa en todos los pasadores y el esfuerzo normal ltimo es 250 MPa en cada uno de los eslabones o conectores BD, determine la mxima carga permisible P si se desea que el factor de seguridad sea 3.

Ejemplo 2.2 Un larguero es sujeto a un mstil por medio de un pasador. El larguero es un tubo de acero con dimetro exterior d2 = 3.125 in y un dimetro interior d1 = 1.0 in, las dos placas de conexin del larguero tienen un espesor t = 0.5 in y un barreno = 0.625 in. El esfuerzo permisible en el larguero w = 11 ksi; el esfuerzo cortante permisible w = 7 ksi y los esfuerzos de aplastamiento entre los pasadores y la placas de conexin b = 17 ksi. Determine el valor de P y el factor de seguridad usado.9 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Deformacin Bajo Carga AxialCon las bases adquiridas en los apartados anteriores podemos calcular la elongacin de una barra cargada axialmente como la que se muestra en la figura 2.10

De la Ley de Hooke

= E

=

P = E AE

De la definicin de deformacin

Fig. 2.10

= L

Igualando las deformaciones y resolviendo para

=

PL AE

Cuando se tienen variaciones de seccin transversal, cargas,longitudes y materiales, se puede calcular como

P Li = i i A Ei i


Ejemplo 2.3 La figura mostrada esta hecha con una barra de acero de 1 in de dimetro, y dos cilindros de 1.5 in de dimetro exterior. Conociendo que E= 29 X 106 psi, determine: a) la fuerza P, tal que la deformacin mxima sea 0.002 in, b) la deformacin correspondiente al punto medio de BC.

Ejemplo 2.4 Dos barras una de acero ABC y otra de latn CD, de 36 mm de dimetro, estan unidas formando una barra ABCD de 7.5 m de largo. Despreciando su peso, determinar la deflexin en la barra para (a) el punto C y (b) el punto D.


Ejemplo 2.5 El eslabn de latn BD (E = 15X106 psi), tiene una rea de 0.40 in2 y el eslabn de aluminio CE (E = 10.4X106 psi) tiene un rea de 0.50 in2. Determinar la fuerza mxima P, para que la deflexin en A no exceda las 0.014 in.


Problemas Estticamente IndeterminadosSe dice que un sistema es estticamente indeterminado cuando:

En un sistema las fuerzas internas y reacciones no pueden serdeterminadas por las ecuaciones de equilibrio esttico. Se presentan los siguientes casos:

(A)Fig. 2.11 Viga doblemente empotrada

(B)

Fig. 2.12 Barra doblemente sujeta

(C)Fig. 2.13 Tubo con ncleo


En todos los casos tienen ms soportes de los necesariospara mantener el equilibrio. Mtodo de superposicin

Las reacciones redundantes son reemplazadas por cargasdesconocidas, las cuales junto con las otras cargas produce deformaciones compatibles.

Las deformaciones debidas a las cargas reales y redundantesson determinadas superponen. Otros casos. Existen otras configuraciones que son tambin estticamente indeterminadas pero que por el momento no disponemos de herramientas para su solucin. separadamente y se adicionan o

Fig. 2.14 Barra doblemente empotrada sujeta a un par torsionante.

(a)

(b)

Fig. 2.15 a) Viga continua, b) viga empotrada y simplemente apoyada14 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Ejemplo 2.6 La fuerza axial P =45 kN se aplica al bloque por medio de una lamina rgida, como se muestra en la figura. Conociendo que h = 10 mm, determine el esfuerzo normal en (a) el centro de latn, (b) las placas de aluminio.

Ejemplo 2.7 El perno de latn (Eb =15X106 psi) tiene un dimetro de 3/8 de in se ajusta dentro de un tubo de acero (Es =20X106) con un dimetro exterior de 7/8 in y espesor de 1/8 in.Despus de que la tuerca se ha colocado, se aprieta un cuarto de giro. Sabiendo que el perno tiene un paso de 0.1 in, determine la fuerza normal en (a) el perno, (b) el tubo.


Esfuerzos por Cambios de TemperaturaSea una barra homognea AB, de seccin transversal constante, que descansa sobre una superficie lisa. Si la temperatura de la barra se eleva en T, se observa que la barra se expande como se muestra en la figura 2.16

Fig. 2.16

la cantidad que se expande es proporcional al T y a la longitud, si slo tomamos el incremento de longitud en direccin axial, se tendr que: T = (T)L, como se muestra en la figura 2.17

es el coeficiente dedilatacin trmica.

Un

cambio de temperatura ocasiona un cambio en la longitud o deformacin trmica T. existe esfuerzo asociado con esta deformacin a menos que la elongacin sea restringida.16

NoFig. 2.17

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Sea la siguiente barra restringida en sus dos extremos.

(a) Fig. 2.18

(b)

Cmo evaluar P?

Eliminar el soporte redundante ydejar que se expanda libremente y determinar T, Fig. 2.19 a) y b)

T = (T )L

Debido a que el material enrealidad no se estira, debemos aplicar una fuerza P y regresar al material Fig. 2.19 c), con P calculado como

PL P = AEFig. 2.19

La deformacin trmica y ladeformacin debido a la carga redundante debe ser compatible.

= T + P = 0, (T )L + PL =0 AE

P P = AE (T ), = = E (T ) A17 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Ejemplo 2.8 Una barra compuesta por un ncleo de latn y una cubierta de aluminio est libre de esfuerzos a una temperatura de 78F. Considerando nicamente deformacin axial, determine los esfuerzos cuando se eleva la temperatura hasta 180F a) en el ncleo, b) en la cubierta de aluminio.

Ejemplo 2.9 Una barra compuesta por dos porciones cilndricas AB y BC est restringida en ambos extremos. La porcin AB es de latn amarillo y la porcin BC de aluminio. Sabiendo que al colocar la barra est libre de esfuerzos, determine a) los esfuerzos en ambas barras cuando la temperatura aumenta 42C, b) la deflexin del punto B Ejemplo 2.10 Sabiendo que existe un claro de 0.5 mm entre la pared y el extremo de la barra cuando la temperatura es de 20C, determine a) la temperatura para el cual el esfuerzo en la barra de aluminio sea de -90 MPa, b) la correspondiente longitud de la barra de aluminio


Relacin o Coeficiente de PoissonUna consideracin adicional tiene que tomarse en cuenta para el anlisis de deformacin de cuerpos deformables, y esta es llamada Isotropa.

Se dice que un material es isotrpico s este no tienedirecciones preferenciales para sus propiedades mecnicas. Para la barra sujeta a carga axial mostrada en la figura 2.20

Fig. 2. 20

En la figura 2.21 se muestra como la elongacin en ladireccin de x es acompaada por una contraccin en las otras direcciones.

x x = E

y = z 0Fig. 2.2119 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Si bien es cierto que existe deformacin en las tres direcciones,slo tenemos esfuerzo en la direccin de x, figura 2.22

x =

x E

y =z = 0

Fig. 2.22

La relacin o coeficiente de Poisson es definido comoy deformacin lateral = = = z defromacio n axial x x

Fig. 2.23 a) barra sin deformacin, b) barra cargada axialmente mostrando encogimiento transversal.20 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Ejemplo 2.11 En una prueba de tensin a una barra de acero con dimetro de 7/8 in es sujeta a una fuerza de tensin de 17 kips. Sabiendo que = 0.3 y E = 29 x 106 psi, determine a) la elongacin de la barra tomando como referencia la longitud calibrada de 8 in, b) el cambio en el dimetro de la barra

Ejemplo 2.12 Un tubo de aluminio de 2 m de longitud con 240 mm de dimetro exterior y 10 mm de espesor es usado como columna corta y soporta una carga axial de 640 kN. Sabiendo que E = 73 GPa y = 0.33, determine los cambios en a) la longitud del tubo, b) el dimetro exterior, c) el espesor del tubo.


Ley Generalizada de Hooke Para un elemento sujeto a carga multiaxial, las componentesde las deformaciones (normales) son dadas a partir de las componentes de los esfuerzos utilizando el principio de superposicin. Esto requiere: 1) las deformaciones tengan relacin lineal con los esfuerzos 2) las deformaciones sean pequeas

(a)

(b)

Fig. 2.24 a) Elemento cbico de lado unitario (sin deformar), b) elemento deformado

Con esas restricciones, y auxilindonos de la figura 2.24 b)

x y z x = + E E E x y z y = + E E E x y z z = + E E E22 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Dilatacin: Mdulo VolumtricoDe la figura 2.24 a) y b) podemos obtener el cambio de volumen

e = 1 (1+ x )(1+ y )(1+ z ) = 1 1+ x + y + z e = x + y + z e= 1 2 ( x + y + z ) E

[

]

[

]

Para un elemento sujeto a una presin hidrosttica uniforme, es decir, x = y = z = p

e = p

3(1 2 ) E

p =k e E = mdulo volumtrico 3(1 2 )

k=

Si el elemento est sujeto a presin uniforme, la dilatacin debe ser negativa, entonces, (1- 2) debe ser mayor que cero, por lo tanto,

0

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