02. Formulario de Teoría de Conjuntos
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Formulario de Algebra I Teoría de Conjuntos www.carlos-eduardo.webs.tl 1 Teoría de Conjuntos Clasificación de los Números Complejos ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − I aginarios Q es Irracional Z ios Fraccionar Z Negativos Enteros N Naturales Z Enteros Q Racionales R ales C Complejos : Im ' : ' : : 0 : : : : Re : Relaciones entre conjuntos - Inclusión de conjuntos. ( ) nto Superconju o Subconjunt : , : ⊃ ⊂ B x A x x B A ∈ ⇒ ∈ ∀ ⇔ ⊂ : Propiedades: Reflexividad: A A Verdad A x A x x ⊂ ∴ ∈ ⇒ ∈ ∀ , ; : Transitividad: Si C A C B B A ⊂ ⇒ ⊂ ∧ ⊂ Antisimétrica: Si B A A B B A = ⇒ ⊂ ∧ ⊂ - Igualdad de conjuntos. A B B A B A ⊂ ∧ ⊂ ⇔ = - Conjuntos de partes. Sea el conjunto A, con n elementos X: Subconjuntos de A ( ) A P : Conjunto de partes, con n 2 elementos ( ) { } A X X A P ⊂ = / ( ) A X A P X ⊂ ⇔ ∈
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Formulario de Algebra I Teoría de Conjuntos
www.carlos-eduardo.webs.tl 1
Teoría de Conjuntos Clasificación de los Números Complejos
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⎧
−
IaginariosQesIrracional
ZiosFraccionarZNegativosEnteros
NNaturalesZEnteros
QRacionalesRales
CComplejos
:Im':
'::
0:
::
:Re:
Relaciones entre conjuntos
- Inclusión de conjuntos. ( )ntoSuperconjuoSubconjunt :,: ⊃⊂
BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂ : Propiedades:
Reflexividad: AAVerdadAxAxx ⊂∴∈⇒∈∀ ,;: Transitividad: Si CACBBA ⊂⇒⊂∧⊂ Antisimétrica: Si BAABBA =⇒⊂∧⊂
- Igualdad de conjuntos.
ABBABA ⊂∧⊂⇔=
- Conjuntos de partes.
Sea el conjunto A, con n elementos X: Subconjuntos de A
( )AP : Conjunto de partes, con n2 elementos ( ) { }AXXAP ⊂= / ( ) AXAPX ⊂⇔∈
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Operaciones entre conjuntos
- Unión de conjuntos.
Caso general:
n
n
ii AAAAA ∪∪∪∪=
=
...3211U
Caso específico: { }BxAxxBA ∈∨∈=∪ /
- Intersección de conjuntos.
Caso general:
n
n
ii AAAAA ∩∩∩∩=
=
...3211I
Caso específico: { }BxAxxBA ∈∧∈=∩ /
- Complemento de un conjunto.
{ }AxUxxAC ∉∧∈= / - Diferencia de conjuntos.
( ){ }BAxBxAxxBA ∩∉∧∉∧∈=− / - Diferencia simétrica de conjuntos.
( ) ( )( ){ }BAxBxAxxBA
ABBABA∩∉∧∈∧∈=Δ
−∪−=Δ/
Leyes de operaciones de conjuntos
- Leyes de idempotencia. AAA =∪ AAA =∩
- Leyes de identidad.
AA =∪φ UUA =∪ φφ =∩A AUA =∩
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- Leyes de complemento.
UC =φ
φ=CU
UAA C =∪ φ=∩ CAA
( ) AA CC = - Leyes de diferencia.
φ=− AA
CBABA ∩=− ( ) ( )ABBABA −∪−=Δ
- Leyes conmutativas.
ABBA ∪=∪ ABBA ∩=∩
- Leyes asociativas.
( ) ( ) CBACBA ∪∪=∪∪ ( ) ( ) CBACBA ∩∩=∩∩
- Leyes distributivas.
( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪ ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩
- Leyes de Morgan.
( ) ( )CABACBA −∩−=∪− )( ( ) ( )CABACBA −∪−=∩− )(
( ) CCC BABA ∩=∪
( ) CCC BABA ∪=∩
- Leyes de absorción.
( ) ABAA =∪∩ ( ) ABAA =∩∪
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Relación entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Matemática.
- El conjunto vacío ( )φ , corresponde con una contradicción. - El conjunto universal ( )U , corresponde con una tautología.
Conjuntos BA ⊂ BA = BA ∪ BA ∩ CA BA − BAΔ
Proposiciones qp ⇒ qp ⇔ qp ∨ qp ∧ p¬ qp ¬∧ qp ∨ Cardinal de un conjunto.
Sean A, B, C tres conjuntos dados, entonces: El cardinal de cada conjunto respectivamente es: ( )An , ( )Bn , ( )Cn , por tanto tenemos las siguientes propiedades: ( ) ( ) ( )BAnAnBAn ∩−=− ( ) ( ) ( )BAnBAnBAn ∩−∪=Δ ( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn ∩−+=∪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
Producto Cartesiano. Símbolo: BA× Definición: ( ){ }ByAxyxBA ∈∧∈=× /,
O bien: ( ) ByAxBAyx ∈∧∈⇔×∈, Si AB = , entonces ( ){ }AyAxyxAAA ∈∧∈=×= /,2
Partición de conjunto. Sea el conjunto A, donde sus particiones son: ...321 +++ AAA Tales que:
o φ=∩ ji AA Si ji ≠ (Disjuntos)
o AAAA =∪∪∪ ...321
