02 vectores, parte 3
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A
B
cosABBA
El resultado de multiplicar dos
vectores en producto punto es un
escalar.
El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.
El producto punto es conmutativo.
es el menor ángulo entre A y B.
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A
B
Si < 90º A·B > 0
A
B
Si > 90º A·B < 0
Si = 90º A·B = 0
A
B
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1º0cos)1)(1(ˆˆ
1º0cos)1)(1(ˆˆ
1º0cos)1)(1(ˆˆ
kk
jj
ii
0º90cos)1)(1(ˆˆ
0º90cos)1)(1(ˆˆ
0º90cos)1)(1(ˆˆ
ik
kj
ji
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
¿Cuál es el resultado de A·B?
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kBjBiBkAjAiABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji
zzyyxx BABABABA
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Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor
de t para que A y B sean perpendiculares.
0
BA
0))(1()1)(3()3)(2( t
3t
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Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida
del ángulo entre F y L.
cosFLLF
FL
LF
cos
222222 113132
)1)(1()1)(3()3)(2(cos
º9.49
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Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la
proyección del vector F sobre L.
cosFLLF
cos L
F LF F
L
2 2 2
(2)(3) (3)(1) (1)( 1)
3 1 1LF
2.41LF L
F
cosLF F
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A
B
CBA
El resultado de multiplicar dos
vectores en producto cruz es otro
vector.
es el menor ángulo entre A y B.
ABsenBAC
C se encuentra en una dirección
perpendicular simultáneamente a A y B.
Su dirección está dada por
la regla de la mano
derecha.
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A
B
C
C
CAB
El producto cruz no es conmutativo.
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0º0)1)(1(ˆˆ
0º0)1)(1(ˆˆ
0º0)1)(1(ˆˆ
senkk
senjj
senii
jik
ikj
kji
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
¿Cuál es el resultado de AB?
jki
ijk
kij
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
i
j
k
+
+
+
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kBjBiBkAjAiABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ
kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzyˆˆˆ
Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante:
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
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zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AABA
yx
yx
zx
zx
zy
zy ˆˆˆ
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Interpretación geométrica del producto cruz
A
B
Bsen
área del paralelogramo = base altura
área del paralelogramo = ABsen
área del paralelogramo =
BA
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Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un
vector perpendicular a F y L.
113
132
ˆˆˆ
kji
LFM
kjiM ˆ)]3)(3()1)(2[(ˆ)]3)(1()1)(2[(ˆ)]1)(1()1)(3[(
kjiM ˆ7ˆ5ˆ4
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Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área
del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.
kjiM ˆ7ˆ5ˆ4
222 754
Márea
103área
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y
z
x
A
B
C
4
3
5
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Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza
resultante, esto es F1+ F2 es:
a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)
b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)
c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)
d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)
e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)
F2 = 2F1 = 100 N
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