1

Εξισώσεις Maxwell Οι σχέσεις του Maxwell µέσα από ολοκληρώµατα µπορούν να γραφούν σαν

tC S

d d⋅ = −∂ ⋅∫ ∫∫e l b S ( )0 0 tC S

d d⋅ = µ + ε ∂ ⋅∫ ∫∫b l j e S

b S bV

⋅ = ∇ ⋅ =zzzzz d dVS

a f 0 ( )0S V

1d dV dV⋅ = ∇ ⋅ = ρε∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

V

e S e

και στη διαφορική µορφή t∇× = −∂e b ( ) ( )0 0 t∇× = µ + ε ∂b j e

∇⋅ =ba f 0 ( ) 0∇⋅ = ρ εe και για τη περίπτωση που δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία και ρεύµατα, όπως στο κενό

t∇× = −∂e b ( ) 0 0 t∇× = µ ε ∂b e ∇⋅ =ba f 0 ∇⋅ =ea f 0

Από τα παραπάνω βλέπουµε ότι τα πεδία συνδέονται µεταξύ τους από τα εξωτερικά γινόµενα πεδίων δηλαδή από right hand rules, όπου οι αλλαγές στο ένα πεδίο προκαλούν αλλαγές στο άλλο και σε κάθετη κατεύθυνση. Για παράδειγµα ένα χρονο-µεταβαλλόµενο eπεδίο παράγει ένα b πεδίο σε κάθετη διεύθυνση ως προς την κατεύθυνση της αλλαγής του e. Επίσης ένα χρονο-µεταβαλλόµενο b πεδίο παράγει το αντίστοιχα κάθετο e πεδίο. Περιµένουµε έτσι τα πεδία e και b να είναι κάθετα µεταξύ τους. Από τη συµµετρία των παραπάνω σχέσεων στο κενό, περιµένουµε ότι το η/µ πεδίο που απαρτίζεται από τα πεδία e και b να µεταδίδεται σε µια συµµετρική κατεύθυνση προς αυτά. Εφόσον τα πεδία e και b δεν είναι παράλληλα µεταξύ τους, το η/µ πεδίο δεν µπορεί να είναι µόνο διαµήκες και να έχει και εγκάρσιο χαρακτήρα ως προς τη διεύθυνση διάδοσης του. Έχουµε 4 τρόπους λύσης των εξισώσεων Maxwell Κανονικές πηγές (canonical sources): Για πηγές µε απλή συµµετρία, όπως σηµειακές, γραµµής ή επιφάνειες φορτίων (α) υποθέτουµε κάποια λύση (β) αντικαθιστούµε στις εξισώσεις και λύνουµε για τους αγνώστους Μέθοδος ρυθµών (modal method): Η προσέγγιση αυτή χρησιµοποιείται για συνοριακές συνθήκες µε κάποια συµµετρία, όπως για κυµατοδηγούς (α) λύνουµε τις εξισώσεις Maxwell για τον ελεύθερο χώρο, χωρίς πηγές (οµογενείς λύσεις) και παίρνουµε επίπεδα, σφαιρικά ή κυλινδρικά κύµατα (β) εφαρµόζουµε τις συνοριακές συνθήκες, όπως για παράδειγµα τοιχώµατα µε πλήρη αγωγιµότητα ή διηλεκτρικές επιφάνειες, που µας δίνει συνήθως ένα περιορισµένο σύνολο λύσεων ή ρυθµούς. Άσχετα µε τη πηγή που οδηγεί το σύστηµα, το πεδίο που δηµιουργείται πρέπει να είναι µια υπέρθεση των ρυθµών αυτών. (γ) τα πεδία προσαρµόζονται µε τη πηγή που τα οδηγεί για να πάρουµε τις υπερθέσεις των ρυθµών. Μέθοδος Green (Green’s function method): Η µέθοδος Green χρησιµοποιεί το πεδίο που παράγεται από µια σηµειακή πηγή για να κατασκευάσει το πεδίο που παράγεται από µια τυχαία πηγή. (α) Λύνουµε τις εξισώσεις Maxwell µε τις συνοριακές συνθήκες για µια σηµειακή πηγή ή συνάρτηση δ . Η λύση αυτή είναι η συνάρτηση Green ( )G , ′r r που µας δίνει το πεδίο στο σηµείο r για µια σηµειακή πηγή ′r . (β) παίρνουµε το πεδίο από την τυχαία πηγή µε τη συνέλιξη της συνάρτησης Green µε τη πραγµατική πηγή. Έτσι χρησιµοποιούµε την αρχή της υπέρθεσης για να προσθέσουµε πεδία από πολλές σηµειακές πηγές που απαρτίζουν τη πραγµατική πηγή. Αριθµητικές µέθοδοι (Numerical methods): Οι εξισώσεις Maxwell µπορούν να γραφούν σαν ένα σύνολο εξισώσεων διαφορών (difference equations), δηλαδή σαν ένα γραµµικό σύστηµα το οποίο µπορεί να λυθεί αριθµητικά. Γενικά, για να λύσουµε τις εξισώσεις Maxwell χρειαζόµαστε το σύνολο των σχέσεων , µια πηγή που οδηγεί το σύστηµα και τις συνοριακές συνθήκες.

2

Εξίσωση κύµατος του Η/Μ πεδίου στο κενό Αν δούµε ένα η/µ κύµα που διαδίδεται στο κενό, όπου δεν υπάρχουν ρεύµατα και ελεύθερα φορτία, οι σχέσεις του Maxwell δίνονται συνοπτικά από

t

0 0 t

00

∇⋅ = ∇× = −∂∇⋅ = ∇× = µ ε ∂

e e bb b e

Με τη συστροφή ( ) ( ) 2

2t t t 0 0 t 0 0 t

∇×∇× = ∇× −∂ = −∂ ∇× = −∂ µ ε ∂ = −µ ε ∂e b b e e και µε τη σχέση

A B C B A C A B C× × = ⋅ − ⋅b g b g έχουµε

∇×∇× = ∇ ∇⋅ −∇⋅∇ = −∇⋅∇ = −∇e e e e eb g 2 που µας δίνει τη κυµατική εξίσωση κίνησης του e πεδίου

2 22 2 2 2

0 0 0 0t t0−∇ = −µ ε ∂ ⇒∇ −µ ε ∂ =e e e e

και µια παρόµοια σχέση για το µαγνητικό πεδίο b 2

2 20 0 t

0∇ −µ ε ∂ =b b

ώστε τα πεδία να διαδίδονται µε την παραπάνω κυµατική εξίσωση όπου 0 0c 1υ = = µ ε στο κενό. Η εγκάρσια φύση του η/µ κύµατος φαίνεται από τα παραπάνω. Για την απλή περίπτωση ενός επίπεδου κύµατος στην κατεύθυνση του x-άξονα, το e πεδίο πρέπει να είναι λύση της εξίσωσης κίνησης

22 2

0 0 t0∇ −µ ε ∂ =e e

όπου το e είναι σταθερό για µια άπειρη σειρά επιπέδων κάθετα στον x-άξονα, και είναι µια συνάρτηση του x t, . Έτσι e e= x t,a f και από τη σχέση ∇⋅ =ea f 0 έχουµε

x x y y z ze e e 0∂ + ∂ + ∂ = που µας αφήνει µόνο το µέρος

x xe 0∂ = Εάν το ex δεν είναι µηδέν, δηλαδή υπάρχει κάποια συνιστώσα του πεδίου στον x-άξονα, η παραπάνω σχέση µας λέει ότι αυτή η συνιστώσα θα είναι σταθερή. Έτσι σε όλες τις τιµές του t , το ex θα είναι σταθερό για όλες τις τιµές του x , ώστε δεν έχουµε κάποιο κύµα που διαδίδεται στην κατεύθυνση του x-άξονα. Άρα το ex = 0 και το η/µ κύµα δεν έχει συνιστώσα στη διεύθυνση διάδοσης του. Το πεδίο e που βρίσκεται στο επίπεδο κύµα είναι µόνο εγκάρσιο, και απεικονίζει την κατάσταση πόλωσης του η/µ πεδίου. Αν περιορίσουµε τη πόλωση αυτή στην κατεύθυνση του y-άξονα, τότε

e = ,je x tya f και από τη σχέση

t x y t ze b∇× = −∂ → ∂ = −∂e b που µας λέει ότι b bx y, είναι σταθερά. Η χρονο-εξάρτηση του b µπορεί να έχει µια συνιστώσα στην κατεύθυνση του z-άξονα. Το η/µ πεδίο στο χώρο είναι έτσι µόνο εγκάρσιο. Για την διάδοση του η/µ µέσα στη ύλη, συνήθως δεν έχουµε µόνο εγκάρσιο χαρακτήρα επειδή το µέσο µπορεί να είναι αποσβεστικό ή να περιέχει φορτία (δέσµια ή ελεύθερα). Έχοντας δει ότι αρµονικές συναρτήσεις περιγράφουν η/µ πεδία, µπορούµε να πάρουµε στη παραπάνω περίπτωση του επίπεδου κύµατος

e x t e t xcy y, cosa f = −FHIK +

FHG

IKJ0 ω ε

σαν λύση της εξίσωσης κίνησης, ώστε η µορφή του µαγνητικού πεδίου να είναι

3

b x t et

dtec

t xc

dt

ce t x

c

zx y

y

, sin

cos

a f = − ∂∂

=−

−FHIK +

FHG

IKJ

= −FHIK +

FHG

IKJ

z z0

01

ωω ε

ω ε

αγνοώντας τη σταθερά του ολοκληρώµατος. Έτσι e cby z=

και τα πεδία διαφέρουν κατά µια σταθερά, έχουν την ίδια χρονο-εξάρτηση και είναι σε φάση µεταξύ τους. Είναι επίσης κάθετα µεταξύ τους και η ποσότητα e b× είναι στην κατεύθυνση του x-άξονα. Για την τρισδιάστατη περίπτωση, η

( ) ( ) 0 0cos t Re exp i tω − ⋅ + φ = ω − ⋅ + φ⎡ ⎤⎣ ⎦k r k r

είναι µία λύση της εξίσωσης, ώστε οι ( ) ( )

0 0

0 0

Re exp i t

Re exp i t

= ω − ⋅ + φ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ω − ⋅ + φ⎡ ⎤⎣ ⎦

e E k r

b B k r

είναι επίσης λύσεις.

Επίσης βλέπουµε ότι ∇⋅ = − ⋅∇⋅ = − ⋅

∇⋅⇔ − ⋅e k eb k b

kii

i

ώστε το E και το B είναι και τα δύο κάθετα στο k, την διεύθυνση διάδοσης, άρα τα πεδία E και B ταλαντώνονται εγκάρσια στη διεύθυνση διάδοσης. Η σχέση µεταξύ E και B βγαίνει από

t i i1 1c c

∇× = −∂ ⇒ − × = − ω×

= × ω = = ×

e b k E Bk EB k E s E

k

όπου το s είναι το µοναδιαίο διάνυσµα της διεύθυνσης διάδοσης. Έτσι (i) B E⊥ (ii) B σε φάση µε το E (iii) B E c= για τα πλάτη τους Η ενέργεια του η/µ πεδίου δίνεται από

0 e b0

1 1U u u2⎡ ⎤

= ε ⋅ + ⋅ = +⎢ ⎥µ⎣ ⎦e e b b

που µοιράζεται εξ’ ίσου µεταξύ του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου, µέσα από τη σχέση

0 02

1c

⋅ = ⋅ = ε µ ⋅B B E E E E

και έχουµε 20 0U = ε ⋅ = εE E E

Συµβολίζοντας µε S τη µεταφορά ενέργειας ανά µονάδα χρόνου ανά µονάδα επιφάνειας από ένα η/µ κύµα (στο σύστηµα SI οι µονάδες είναι 2W cm⎡ ⎤⎣ ⎦ ) που κινείται µε ταχύτητα c, σε ένα χρονικό διάστηµα ∆t έχουµε µέσα στον όγκο c t A⋅ ⋅∆ µια ποσότητα ενέργειας c t A U⋅ ⋅∆a f , ώστε

S c t A Ut A

Uc=⋅ ⋅

⋅=

∆∆a f

και από τη παραπάνω σχέση για την ενέργεια, παίρνουµε

S eb=1

0µ

θ

n S

4

Η ροή ενέργειας ανά µονάδα χρόνου ανά µονάδα επιφάνειας γίνεται προς την διεύθυνση διάδοσης του η/µ κύµατος, ώστε

0

1= ×µ

S e b

άνυσµα γνωστό σαν το άνυσµα του Poynting, και η επιφάνεια βρίσκεται cosn S⋅ =S θ Οι µακροσκοπικές ποσότητες του S και U, δίνονται από το µέσο όρο ύστερα από πολλούς οπτικούς κύκλους των πεδίων και διαστάσεις µεγάλες σε σύγκριση µε τις ατοµικές. Για γραµµικά πολωµένο φως όπου τα πραγµατικά πεδία δίνονται από

00 0

0

cos cos cosck

t

×= ϕ = φ = ϕ

ϕ = ω − ⋅ + φ

k EE E B B

k r

έχουµε 22 20

0 0 00 0

2 200

1 1 ˆcos c cosck

c 1ˆ cos2 2

×= × = × ϕ = ε ϕµ µ

ε⇒ = ϕ =

k ES E B E E s

S E s

Μπορούµε να δεχθούµε τη παραπάνω προσέγγιση, όταν για οπτικές συχνότητες 1015 Hzc h , το S ταλαντώνεται µε διπλάσια συχνότητα από το η/µ κύµα (το τετράγωνο το συνηµίτονου έχει διπλάσια συχνότητα από το αρχικό), ώστε ο µέσος όρος να ισχύει. Η ενέργεια δίνεται από

2 20 0

200

U cos

U2

= ε ϕ

ε⇒ =

E

E

ώστε S = U c

δηλαδή έχουµε ότι η ροή πυκνότητας ενέργειας δίνεται από την πυκνότητα ενέργειας επί την ταχύτητα διάδοσης. Για παράδειγµα µε E V m V cm0 1 100= = , έχουµε

S x x W m mW cm= = =−858 10

23 10 100 13 3 133

128 2 2 2. . / . /b g

Ο µέσος όρος ενέργειας ανά µονάδα επιφάνειας ανά µονάδα χρόνου (irradiance) δίνεται από τα παραπάνω από τη σχέση

S c t c c IT = × ⋅ − = × = =20 0 0

22

00 0

002

2 2ε ω

ε εe b k r e b ecos

Ο ρυθµός ροής στο χρόνο της η/µ ενέργειας είναι η οπτική ισχύ P (optical power) ή ροή ακτινοβολίας (radiant flux) σε W . ∆ιαιρώντας µε την επιφάνεια της ροής, έχουµε τη πυκνότητα της ροής της ακτινοβολίας (radiant flux density) σε 2W cm⎡ ⎤⎣ ⎦ . Εάν η ροή αυτή εισέρχεται στη επιφάνεια έχουµε την ακτινοβόληση (irradiance) και όταν εξέρχεται την έξοδο (exitance), και στις δύο όµως περιπτώσεις µια πυκνότητα ροής. Η πίεση p που ασκείται από την η/µ ακτινοβολία είναι ίση µε την πυκνότητα ενέργειας του η/µ πεδίου.

Από 2 20e b

0

12 2ε

= =µ

u e u b έχουµε p U u ue b= = + , ώστε ( ) ( )p t S t c= , µε µονάδες ισχύος ανά

µονάδα επιφάνειας ανά ταχύτητα, άρα και δύναµη επιτάχυνσης που δηµιουργείται. Ο µέσος όρος πίεσης είναι

p tS t

cIc

Nm

a f a f= = LNM

OQP2

5

Έτσι η ορµή ∆pa f ανά µονάδα επιφάνειας A , µας δίνει στην επιφάνεια ∆∆

pt

Apa f=

Η ορµή ∆ ∆∆

p p c t At

A Sc

a f = ⋅ ⋅=

Η/Μ κύµατα σε ύλη

∆έσµια φορτία και ρεύµατα Οι εξισώσεις του Maxwell µέσα σε κάποιο υλικό δίνονται από

( )0 t

0 0 t0∇⋅ = ρ ε ∇× = −∂∇⋅ = ∇× = µ + ε ∂

e e bb b j e

όταν έχουµε ελεύθερα φορτία ρ και ρεύµατα J στο κενό. Σε αντίθεση µε τα ελεύθερα φορτία και ρεύµατα, η ύλη µπορεί να έχει και δέσµια φορτία και ρεύµατα που συνεισφέρουν στην πόλωση του µέσου και πρέπει να περιληφθούν. Άτοµα και µόρια µπορούν να πολωθούν, δηλαδή µπορεί να υπάρξει αλλαγή των αποστάσεων των φορτίων, ώστε να δηµιουργηθούν διπολικές ροπές

µ = −∑ ∑+ −q qjj

j jj

jr r

που µας δίνουν µια µακροσκοπική πόλωση p , από τον µέσο όρο της διπολικής ροπής ανά µονάδα όγκου

p 1V

= ∑∆µ

Τα δέσµια φορτία είναι η µακροσκοπική αλλαγή στα φορτία του µέσου εξ’ αιτίας της µακροσκοπικής αυτής πόλωσης p . Η πυκνότητα των δέσµιων φορτίων είναι

ρb = −∇⋅p και τα δέσµια ρεύµατα που επάγονται από τη κίνηση των φορτίων αυτών στο µέσο είναι

jr r

pb ij

ij

jVq

ddt

qddt

ddt

= −FHG

IKJ =+

+−

−∑1∆

Για να συµπληρωθεί η εικόνα και στα µαγνητικά υλικά, η µαγνήτιση m είναι ο µέσος όρος της µαγνητικής διπολικής ροπής ανά µονάδα όγκου και δίνεται από

m 1V

m= ∑∆ at

που δηµιουργείται από τα ατοµικά ρεύµατα των περιστρεφόµενων e- ή τη κίνηση των e- µέσα στο άτοµο. Η πυκνότητα του µαγνητικού ρεύµατος δίνεται από

j mm = ∇× Έτσι η πιο γενική µορφή των δέσµιων ρευµάτων είναι

j p mbddt

= +∇×

ώστε συνολικά ρ ρ ρf b

f b

= −= −j j j

6

Οι εξισώσεις του Maxwell στην ύλη Χωρίζοντας το ρ και το j στις εξισώσεις του Maxwell σε συνεισφορές από δέσµιες και ελεύθερες περιπτώσεις φορτίων και ρευµάτων, µπορούµε να εστιάσουµε τη προσοχή µας στο ρόλο της ύλης πάνω στο η/µ πεδίο, µε την εξάλειψη των ελεύθερων φορτίων και ρευµάτων. Ο νόµος του Gauss γίνεται

( ) ( ) ff b

0 0 0 0

1 ρρ ∇⋅∇ ⋅ = = ρ +ρ = −

ε ε ε εpe

και του Ampere αλλάζει σε ( ) ( ) ( )0 f b 0 t 0 f t 0 t∇× = µ + + ε ∂ = µ + ∂ +∇× + ε ∂b j j e j p m e

Οι δύο αυτοί νόµοι πρέπει να µετατραπούν ώστε να συµπεριφέρονται σαν τις εξισώσεις του Maxwell στο κενό. Εισάγουµε το ηλεκτρικό πεδίο µετατόπισης ή ροή ηλεκτρικής πυκνότητας d 0= ε +d e p

µαγνητικό πεδίο ή ροή µαγνητικής πυκνότητας b 0

1= −µ

h b m

και ο νόµος του Gauss γίνεται ( ) ( ) ff b

0 0 0

1 ρ ∇⋅∇⋅ = ρ +ρ = −

ε ε εpe που δίνει

∇⋅ =d ρf

και ο νόµος του Ampere γίνεται ( )f t 00

∇× −∇× = + ∂ + εµb m j p e που δίνει

f t∇× = + ∂h j d Έτσι οι νόµοι του Maxwell µε τη παρουσία ύλης γίνονται

f t

f t

14c

4 10c c

∇⋅ = πρ ∇× = − ∂

π∇⋅ = ∇× = + ∂

d e b

b h j d

για το σύστηµα cgs

f t

f t0∇⋅ = ρ ∇× = −∂∇⋅ = ∇× = + ∂

d e bb h j d

για το σύστηµα MKS, και συµπληρώνονται µε τη σχέση συνέχειας f t f 0∇⋅ + ∂ ρ =j

για τη διατήρηση των ηλεκτρικών φορτίων. όπου οι πηγές τώρα είναι µόνο ελεύθερα φορτία και ρεύµατα. Η πυκνότητα ενέργειας ορίζεται από

[ ]01U2

= ε ⋅ + ⋅d e b h

και το διάνυσµα του Poynting από s e h= ×

Σε ένα µέσο ελεύθερο από φορτία και ρεύµατα, ισοτροπικό, γραµµικό και τοπικό η πυκνότητα πόλωσης σχετίζεται µε το ηλεκτρικό πεδίο

( )0

0 0 1= ε χ

= ε + = ε + χ = ε

p ed e p e e

όπου χ είναι η επιδεκτικότητα του µέσου και ε η διηλεκτρική σταθερά του µέσου Η µαγνήτιση δίνεται από

7

( ) ( )m

0 0 m1= χ

= µ + = µ + χ = µ

m hb h m h h

όπου χm είναι η µαγνητική επιδεκτικότητα του µέσου και µ η επιδεκτικότητα του µέσου, και στο σύστηµα cgs

m1 4µ = + πχ και στο MKS

( )0 m1µ = µ + χ Με τα χαρακτηριστικά του µέσου να συµπεριλαµβάνονται στις παραµέτρους χ (ε) ή χm (µ ), οι εξισώσεις του Maxwell γράφονται σαν

t

t

00

ε∇ ⋅ = ∇× = −∂∇ ⋅ = ∇× = µε∂

e e bb b e

που δίνουν την κυµατική εξίσωση, ανάλογα µε την περίπτωση του κενού 2

2 2t

0∇ −µε∂ =e e και 22 2

t0∇ −µε∂ =b b

µε την αλλαγή ε ε→ 0 και µ µ→ 0 , (που στη γενική περίπτωση είναι µιγαδικά), και µπορούν να έχουν σαν λύσεις τα επίπεδα κύµατα

( )

( )

2 20 E

20 B

0 0

nexp i t kc

exp i t n c

ω= ω − ⋅ + ϕ = µεω =⎡ ⎤⎣ ⎦

µε= ω − ⋅ + ϕ = µε =⎡ ⎤⎣ ⎦ µ ε

e E k r

b B k r

όπου το k είναι επίσης µιγαδικό και ορίζει και τον µιγαδικό δείκτη διάθλασης 2

R I0 0

n n in c µ ε= + = µε =

µ ε

Από τις σχέσεις t ti i

n ˆi ic k

∇× = −∂ ∇→ − ∂ → ω

× ⎛ ⎞− × = − ω ⇒ = = ≡ ×⎜ ⎟ω ⎝ ⎠

e b kk E kk E B B s E

βλέπουµε ότι το e και το b είναι ακόµη κάθετα µεταξύ τους και στην διεύθυνση διάδοσης, αλλά δεν είναι αναγκαστικά και σε φάση µεταξύ τους. • Όταν το k είναι µιγαδικό, όπως στα µέταλλα και στα υλικά που απορροφούν, τα πεδία φθίνουν µε την

απόσταση. Από

( ) ( )2 20 E R I

0 R I

0 I R

nexp i t k n inc c

ˆ ˆexp i t n inc c

ˆ ˆexp n exp i t nc c

ω ω= ω − ⋅ + ϕ = µεω = = −⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ω ω ⎤⎛ ⎞= ω − ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ω ⎡ ω ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⋅ ω − ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

e E k r

E s r s r

E s r s r

και µε την διάδοση στην κατεύθυνση του s , τότε s r⋅ = r , και sR

0I I

n rr cexp exp i tc n 2 n

λ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − ω − δ = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥δ ω π⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦e E

όπου το δ είναι το κλασσικό βάθος της επιφάνειας, και µας δίνει το µέτρο που η ακτινοβολία θα διεισδύσει στο µέσο.

Αφού το b s e= ⋅nc

βλέπουµε ότι το b και το e δεν βρίσκονται σε φάση, γιατί χρησιµοποιώντας το

8

[ ] R0

n rrexp exp i tc

ω⎛ ⎞⎡ ⎤= − ϕ ϕ = ω −⎜ ⎟⎢ ⎥δ⎣ ⎦ ⎝ ⎠e E

έχουµε

( ) 1 I0 EB EB

R

nn rˆ exp exp i tanc n

−⎡ ⎤= × − ϕ−ϕ ϕ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥δ⎣ ⎦b s E

Για να σχηµατίσουµε το διάνυσµα του Poynting, θέτουµε h b=µ

, µε την υπόθεση ότι το µ είναι

πραγµατικό (ισχύει στα περισσότερα υλικά), που µας δίνει ( )0 EBn rˆ exp exp ic

⎡ ⎤= × − ϕ−ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥µ δ⎣ ⎦h s E , ώστε

( ) ( )20 EB

n 2r ˆexp cos cosc

⎡ ⎤= × = − ϕ ϕ−ϕ⎢ ⎥µ δ⎣ ⎦s h e E s

Η µέση τιµή στο χρόνο δίνεται από τη σχέση

( ) 2EB EB EB EB

1cos cos cos cos cos sin cos cos2

ϕ ϕ−ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ = ϕ

και από τη σχέση IEB

R

ntann

ϕ = έχουµε IEB

ncosn

ϕ =

ώστε

[ ]2

0 I

s

4 nn 2ˆexp Kr Kc 2

π= − = =µ δ λ

ES s

• Σε µη-µαγνητικά υλικά, µ µ≈ 0 και 1 0 0c cµ ε= , ώστε

( ) [ ]200

n c ˆ exp Kr2ε

= −S E s

• Όταν το k είναι πραγµατικό, για υλικά που δεν απορροφούν, τα ε και µ είναι επίσης πραγµατικά, και το

R0

n rexp i tc

⎡ ⎤⎛ ⎞= ω −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦e E

διαδίδεται µε ταχύτητα c 1n

υ = =µε

Για οµοιογενή υλικά, οι οριακές συνθήκες θέλουν τις συνιστώσες των e b d h, , , σαν συνεχείς συναρτήσεις της θέσης. Στις επιφάνειες οι εφαπτοµενικές συνιστώσες του e h, είναι συνεχείς όπως και οι κάθετες συνιστώσες του b d, .

Σχέσεις τηλεγραφίας Από τις σχέσεις του Maxwell σε υλικά για το cgs σύστηµα

t

t

4 1c

40c

πρ∇⋅ = ∇× = − ∂

επ

∇⋅ = ∇× = µ + εµ∂

e e b

b b j e

και στο MKS,

( )t

t0

ρ∇⋅ = ∇× = −∂

ε∇ ⋅ = ∇× = µ + ε∂

e e b

b b j e

9

Η ειδική αγωγιµότητα σ για πραγµατικά µέταλλα 0σ > , ενώ στην ιδανική περίπτωση σ = ∞ . Για ισοτροπικά και οµοιογενή υλικά σ =σταθερά. Αν υποθέσουµε ότι βρισκόµαστε σε µια περιοχή όπου ισχύει ο νόµος του Ohm, τότε = σj e , και στο σύστηµα cgs,

t4

c cπµ εµ

∇× = σ + ∂b e e

και στο MKS, t∇× = µσ + εµ∂b e e

Από την ανυσµατική ταυτότητα ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅a b c a b c a b c , παίρνουµε για το ηλεκτρικό πεδίο στο cgs

( ) ( )

( )

2

24 1 1c t c t

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇

π ∂ ∂⎛ ⎞= ∇ρ−∇ = ∇× − = − ∇×⎜ ⎟ε ∂ ∂⎝ ⎠

e e e

be b

και στο MKS, ( ) ( )

( ) ( )

2

2t t

1∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇

= ∇ρ−∇ = ∇× −∂ = −∂ ∇×ε

e e e

e b b

Αν αντικαταστήσουµε για το ∇×b στο cgs

( ) 2

2

2t t

2 2t2 2t

4c c

4 4c c

πµσ εµ∇× ∇× = ∂ − ∂

εµ πµσ π⇒∇ − ∂ − ∂ = ∇ρ

ε

e e e

e e e

και στο MKS

( ) 2 22 2 2

t tt t

1∇× ∇× = µσ∂ − εµ∂ ⇒∇ −εµ∂ −µσ∂ = ∇ρ

εe e e e e e

Εάν τώρα η πυκνότητα φορτίου ρ είναι σταθερή, τότε 0∇ρ = . Η πυκνότητα φορτίων σε ένα µέταλλο µπορεί να παραµείνει σταθερή όταν η αγωγιµότητα είναι σηµαντική. Με τη σχέση ( ) 0∇ ∇× =a , έχουµε

( ) ( )t t

t

0

0

ρ ρ∇ ∇× = = εµ∂ ∇ ⋅ + σµ∇⋅ = εµ∂ +σµ

ε εσµ

⇒µ∂ ρ+ ρ =ε

b e e

µε λύση ( ) t

0t e− τρ = ρ µε τ = ε σ το χρόνο εφησυχασµού της διαταραχής. Η πυκνότητα φορτίου φαίνεται να ελαττώνεται εκθετικά µε το χρόνο, και για τα µέταλλα µε 17 110 sec−⎡ ⎤σ ⎣ ⎦∼ , ο χρόνος εφησυχασµού είναι της τάξης των

[ ]f sec . Έτσι θέτουµε 0∇ρ = ή ακόµα και 0ρ ≈ , ώστε οι παραπάνω σχέσεις γίνονται στο cgs

22 2

t2 2t

4 0c cεµ πµσ

∇ − ∂ − ∂ =e e e

και στο MKS 2

2 2tt

0∇ −εµ∂ −µσ∂ =e e e Για το µαγνητικό πεδίο τώρα στο cgs

( ) ( )

( )

2 2

t t4 4

c c c c

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇

πµσ εµ πµσ εµ⎛ ⎞= ∇× + ∂ = ∇× + ∂ ∇×⎜ ⎟⎝ ⎠

b b b b

e e e e

10

( ) ( )2t

4 0c cεµ πµσ

∇ + ∂ ∇× + ∇× =b e e

και στο MKS ( ) ( )

( ) ( )

2 2

t t

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇

= ∇× µσ + εµ∂ = µσ∇× + εµ∂ ∇×

b b b b

e e e e

( ) ( )2t 0∇ + εµ∂ ∇× +µσ ∇× =b e e

Αντικαθιστώντας για το ∇×e , στο cgs

22 2

tt

4 0c cεµ πµσ

∇ + ∂ + ∂ =b b b

και στο MKS 2

2 2tt

0∇ + εµ∂ +µσ∂ =b b b Οι παραπάνω σχέσεις του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου είναι γνωστοί και σαν σχέσεις της τηλεγραφίας (equations of telegraphy). Περιγράφουν traveling ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µε απόσβεση. Ένα αρµονικό traveling µονοχρωµατικό κύµα θα είναι τη µορφής

( )i t kz0e

− ω −=e E Έτσι στο cgs

( )2

i t kz202 2

4k i e 0c c

− ω −⎛ ⎞πωσµ εµω− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠E

ώστε το άνυσµα διάδοσης είναι 4k 1 i

cω πσ⎛ ⎞= µε +⎜ ⎟εω⎝ ⎠

µε πραγµατικό µέρος

( )24Re k 1 1

c 2ω εµ πσ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟εω⎝ ⎠

και φανταστικό

( )24Im k 1 1

c 2ω εµ πσ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟εω⎝ ⎠

Εάν 0σ = , τότε οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται περισσότερο, και στο cgs

22 2

2 t0

cεµ

∇ − ∂ =e e 22 2

2 t0

cεµ

∇ − ∂ =b b

και στο MKS 2

2 2t

0∇ −εµ∂ =e e 22 2

t0∇ −εµ∂ =b b

οι κλασσικές κυµατικές εξισώσεις των συζευγµένων πεδίων e και b , για την η/µ ακτινοβολία.

Υλικά

∆ιηλεκτρικά Ένα διηλεκτρικό (µη-αγώγιµο) υλικό έχει f 0=j , 0σ = και f 0ρ = και µπορεί να είναι διαφανές (transparent) ή αδιαφανές (opaque). Η φύση τέτοιων υλικών περιγράφεται από την σχέση p e, που είναι γνωστή σαν την εξίσωση του µέσου (medium equation), και µπορεί να έχει επιµέρους χαρακτηριστικά όπως: • Γραµµική: το άνυσµα του p εξαρτάται γραµµικά από το e (η αρχή της υπέρθεσης ισχύει). Οι

παράµετροι που περιγράφουν το σύστηµα είναι ανεξάρτητοι των πεδίων

11

• Χωρίς χρονική διασπορά: το µέσο αντιδρά στιγµιαία, το p σχετίζεται µε το e στο χρόνο t µόνο. • Οµογενής: η σχέση p e, δεν εξαρτάται από τη θέση r στο υλικό και οι παράµετροι ,ε µ είναι σταθερές

ποσότητες. • Ισοτροπική: η σχέση είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης του e , το µέσο είναι το ίδιο προς όλες τις

κατευθύνσεις, και p e|| καθώς επίσης το d e , όπως και το b h . Οι παράµετροι ,ε µ είναι βαθµωτές ποσότητες.

• Χωρίς χωρική διασπορά: η σχέση p e, είναι τοπική; p στη θέση r εξαρτάται από το e στο r .

Γραµµικό, οµοιογενές, χωρίς διασπορά µέσο Το p και το e είναι παράλληλα και ανάλογα, ώστε

0= ε χp e

( )( )

0 0 0 0

0

1

1

= ε + = ε + ε χ = ε + χ = ε

ε = ε + χ

d e p e e e e

0ε ε η διηλεκτρική σταθερά του µέσου, και χ η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του µέσου. Οι εξισώσεις του Maxwell δίνονται από

t

t

00

ε∇ ⋅ = ∇× = −∂∇ ⋅ = ∇× = µε∂

e e bb b e

⇔ 0 t

t

00

∇⋅ = ∇× = −µ ∂∇⋅ = ∇× = ε∂

e e hh h e

Η εξίσωση κύµατος στο µέσο είναι

22 2

2 t

1u u 0c

∇ − ∂ =

µε ταχύτητα του φωτός 0 0c 1 c n= εµ = και δείκτη διάθλασης 0n 1= ε ε = + χ

Ανοµοιογενές, ισοτροπικό, γραµµικό και χωρίς διασπορά µέσο Οι σχέσεις εξαρτώνται από το r , έτσι το χ χ→ rb g , ε ε→ rb gκαι το n n→ rb g είναι αργά µεταβαλλόµενες συναρτήσεις του r (δηλαδή έχουµε τοπικά οµοιογενές µέσο). Τότε από ( ) ( ) 2

2 20 t

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −µ ∂e e e d και από ∇⋅ = → ∇⋅ =d e0 0ε και την ταυτότητα ∇⋅ = ⋅ + ⋅∇εε ε∇e e e

έχουµε ∇⋅ = − ∇ε ⋅e e1ε

ώστε ( )2

20 2t∂

∇ ∇⋅ −∇ = −µ∂

e e d που µας δίνει

( ) ( )( ) ( )2

2 2 02 t

0

c1 1 1cc n

⎛ ⎞∇ +∇ ∇ε⋅ = ∂ = =⎜ ⎟ε⎝ ⎠ µ εE e e r

r rr

Εφόσον το ε rb gαλλάζει αργά σε σχέση µε το r, µπορούµε να αγνοήσουµε την αλλαγή αυτή και έχουµε την εξίσωση κύµατος

( ) 22 2

2 t

1 0c

∇ − ∂ =e er

Ανισοτροπικό, γραµµικό, χωρίς διασπορά, οµοιογενές µέσο Η σχέση p e, εξαρτάται από την διεύθυνση, δηλαδή

p ei ijj

j= ∑ε χ0

όπου χ ij είναι ο τανυστής της επιδεκτικότητας και

d e ei ijj

j ij jj

= = +∑ ∑ε ε χ0 1d i

12

όπου ε ij είναι ο διηλεκτρικός τανυστής.

Γραµµικό, οµοιογενές, ισοτροπικό µε χρονική διασπορά µέσο Έχουµε µια δυναµική εξάρτηση των πεδίων p tb g και e tb g , ώστε

( ) ( ) ( ) ( )22

1 2 t 3ta t a t a t t∂ + ∂ + =p p p e

όπου a a a1 2 3, , σταθερές. Η παραπάνω σχέση είναι ίδια µε την απόκριση ενός αρµονικού ταλαντωτή σε εξωτερική δύναµη. Η θεωρία γραµµικής απόκρισης βασίζεται στην απόκριση ενός συστήµατος σε µια στιγµιαία δύναµη: το στιγµιαίο ηλεκτρικό πεδίο δ ta f στο χρόνο t 0= , επάγει µια πυκνότητα πόλωσης µε χρονική διασπορά, και για χρόνους ′ ≤t t

p et x t t t dtb g b g b g= − ′ ′−∞

∞zε0

Μη-γραµµικό, οµοιογενές, ισοτροπικό και χωρίς διασπορά µέσο Η πόλωση δίνεται από µια συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου

p e= fb g και µε τις εξισώσεις του Maxwell

( )2

2 2

20t

2 2 20 0 0t t

=∇×∇× = −∂ ε +

∇ ∇⋅ −∇ = −ε µ ∂ −µ ∂

e d d e p

e e e p

d e= ε0 για ισοτροπικά υλικά

( )2 2 2

0 020

2 2 2 20 02 t t t

0

10 0 and c

1 fc

∇⋅ = ⇒ ∇⋅ = = ε µ

∇ − ∂ = µ ∂ = µ ∂

d e

e e p e

η µη-γραµµική εξίσωση κύµατος γίνεται

( )2 22 2 2

02 t t0

1 fc

∇ − ∂ = µ ∂e e e

Μονοχρωµατικά η/µ πεδία Τα πεδία είναι αρµονικές συναρτήσεις του χρόνου µε µιγαδική εξάρτηση στο χώρο.

e r E r

h r H r

p r P r

d r D r

b r B r

, Re exp

, Re exp

, Re exp

, Re exp

, Re exp

t i t

t i t

t i t

t i t

t i t

b g b g b gm rb g b g b gm rb g b g b gm rb g b g b gm rb g b g b gm r

=

=

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

από τη σχέση t i∂ ↔ ω , οι εξισώσεις Maxwell για διηλεκτρικό µέσο χωρίς ελεύθερες πηγές µε µονοχρωµατικά πεδία δίνονται από

∇⋅ = ∇× = −∇⋅ = ∇× =

D E BB H D

00

iiωω

Η ροή η/µ ισχύος δίνεται από

13

I e e e e e e

e e

i t i t i t i t i t i t

i t i t

= × = + × +

= × + × + × + ×

− −

−

Re Re * *

* * * *

E H E E H H

E H E H E H E H

ω ω ω ω ω ω

ω ω

m r m r 12

12

14

2 2

I = × + × = + =14

12

E H E H S S S* * * Rec h l q S E H= ×

12

* το µιγαδικό άνυσµα Poynting

Οι εξισώσεις του µέσου δίνονται από D E P B H= + =ε µo o

Γραµµικό, οµοιογενές, ισοτροπικό χωρίς διασπορά µέσο Από 0= ε χP E τότε ( )0 0 0 0 1= ε + = ε + ε χ = ε + χ = εD E P E E E E και 0= µB H για ένα µη-µαγνητικό υλικό και οι εξισώσεις γίνονται

∇⋅ = ∇× = −∇⋅ = ∇× =

E E HH H E

00

ii

oωµωε

που σηµαίνει ότι οι συνιστώσες του E και του H ικανοποιούν την εξίσωση κύµατος 2 2

0 0 00

u k u 0 Helmholtz

k nk k nc

∇ + =

ω ε= ω εµ = = =

ε

Ανοµοιογενές, γραµµικό, ισοτροπικό και χωρίς διασπορά µέσο Οι σχέσεις έχουν µια εξάρτηση από τη θέση στο χώρο r, ώστε χ χ→ rb g , ε ε→ rb gκαι n n→ rb g , αλλά είναι αργά µεταβαλλόµενες συναρτήσεις του r (δηλαδή έχουµε τοπικά οµοιογενές µέσο). Η εξίσωση του Helmholtz αλλάζει και δίνεται από

( ) ( ) ( )

2 2

0 00

u k u 0

k n k k nc

∇ + =

εω= = =

εr

r r

Γραµµικό, ισοτροπικό, οµοιογενές µε χρονική διασπορά µέσο Από τη σχέση

( ) ( ) ( )0, t t t , t dt∞

−∞

′ ′ ′= ε −∫P r x E r

και από το P και E, παίρνουµε

( ) ( ) ( ) i t i t0Re e t t Re e dt∞

′ω ω

−∞

′ ′= ε −∫P r x E r

και εξισώνοντας τους συντελεστές των ei tω έχουµε P r E r

x t t

b g b g b gb g b g

=

= − ′−∞

∞zε χ ν

χ ν πν

o

i te dt2

Επίσης ( ) ( ) ( )( )0 1= ε ν ε ν = ε + χ νD E

ώστε η µόνη διαφορά φαίνεται στην εξάρτηση των χ και ε από την συχνότητα.

14

Η εξίσωση του Helmholtz παραµένει

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

0 00

u k u 0

k n k n

∇ + =

ε ν= ω ε ν µ = ν ν =

ε

Ενέργεια και ισχύ σε η/µ πεδία Η διάδοση των η/µ πεδίων σε ύλη συνεπάγεται και µεταφορά ενέργειας, κατανάλωση ισχύος και αποθήκευση ενέργειας στα συστατικά της ύλης. Από τις εξισώσεις του Maxwell, έχουµε

t f t∇× = −∂ ∇× = + ∂e b h j d µαζί µε τα πεδία πόλωσης και µετατόπισης,

d e pb h m= +

= +

ε

µ0

0b g ώστε

( )( )

f t 0

t 0

∇× = + ∂ ε +

∇× = −∂ µ +

h j e p

e h m

( )0t t2

ε⇒ ⋅∇× = ⋅ + ∂ ⋅ + ⋅∂e h e j e e e p

Εφόσον

( )t t12∂ ⋅ = ⋅∂e e e e

και αντίστοιχα

( )0t 0 t2

µ⇒ ⋅∇× = ∂ ⋅ −µ ⋅∂h e h h h m

µε την αφαίρεση τους, και από τη σχέση των ανυσµάτων ∇⋅ × = ⋅∇ × − ⋅∇ ×a b b a a bb g

έχουµε

( ) 0 0t t 0 t2 2ε µ⎛ ⎞−∇ ⋅ × = ⋅ + ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅∂ +µ ⋅∂⎜ ⎟

⎝ ⎠e h e j e e h h e p h m

Ολοκληρώνοντας για κάποιο όγκο V και µε το θεώρηµα του Gauss ∇⋅ = ⋅z zA AdV ndA

V A

όπου Α είναι ένα οποιοδήποτε ανυσµατικό πεδίο, και n είναι το µοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια άνυσµα, επιφάνεια που περικλείει τον όγκο του ολοκληρώµατος, παίρνοντας για την παραπάνω σχέση

( ) ( )V A

0 0t t 0 t

V

dV dA

dV2 2

− ∇⋅ × = − × ⋅

⎡ ε µ ⎤⎛ ⎞= ⋅ + ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅∂ +µ ⋅∂⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫

e h e h n

e j e e h h e p h m

Το ολοκλήρωµα πάνω στην επιφάνεια µας δίνει την ολική ισχύ του η/µ πεδίου που ρέει µέσα από αυτή την επιφάνεια. Ο πρώτος όρος είναι η ισχύ που καταναλώνεται από το πεδίο στην κίνηση των φορτίων. Ο δεύτερος και τρίτος όρος δίνουν τον ρυθµό αύξησης της η/µ ενέργειας του κενού

Evac = ⋅ + ⋅LNM

OQPz ε µ0 0

2 2e e h h dV

V

Ό όρος t⋅∂e p είναι η ισχύ ανά µονάδα όγκου που καταναλώνεται από το πεδίο στα ηλεκτρικά δίπολα. Η ισχύ αυτή αυξάνει την δυναµική ενέργεια που αποθηκεύεται στα δίπολα και η οποία αναλώνεται στην

15

αλλαγή του πεδίου πόλωσης p . Αντίστοιχος όρος υπάρχει και για τη µαγνητική περίπτωση. Η µέση τιµή της ισχύος αυτής ανά µονάδα όγκου που καταναλώνεται από το πεδίο για την πόλωση του υλικού είναι

t⋅ ∂e p . Για αρµονικά πεδία και µε e p|| , ώστε

e E

p P

t e

t e

i t

i t

b gb g

=

=

Re

Re

ω

ω

η ηλεκτρική επιδεκτικότητα χe του υλικού ορίζεται από P Ee= ε χ0

και είναι µια µιγαδική ποσότητα και συνήθως εξαρτάται από τη συχνότητα του η/µ πεδίου. Έτσι

[ ]2i t i t *t 0 e 0 e

1Re e Re i e Re i EE E Re i2 2

ω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅∂ = ω = ωε χ = ε χ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦e p E P

Εάν γράψουµε για την επιδεκτικότητα τις συνιστώσες της, χ χ χe er

eii= + , τότε

i20 e

t E2

ωε χ⋅∂ =e p

Για ανισοτροπικά υλικά, όπου P Ei ij jj

= ∑ε χ0 , τα παραπάνω µας δίνουν

( )*0t ij j j

i, jRe i E E

2ωε

⋅∂ = χ∑e p

Μπορούµε να δούµε αυτή τη µεταφορά ισχύος µεταξύ των ηλεκτρονίων και του πεδίου από µια άλλη άποψη. Παίρνουµε ένα ηλεκτρικό δίπολο µ . Η ισχύς που µεταφέρεται από το δίπολο στο πεδίο είναι

t− ⋅∂ µe Η πιο απλή ταλάντωση του διπόλου είναι η αρµονική ταλάντωση µε x x t= +0 cos ω ϕb g , µε την επίδραση του η/µ πεδίου E E tx = 0 cos ωb g να µας δίνει µια διπολική ροπή µ ω ϕx ex ex t= − = − +0 cosb g , ώστε

( ) ( )t x t xeE x eE t F t− ⋅∂ µ = ∂ = υ = − υe όπου F eEx= − είναι η δύναµη στο δίπολο και υ tb g η ταχύτητα. Βλέπουµε επίσης ότι η µεταφορά αυτή ισχύος εξαρτάται και από την διαφορά φάσης µεταξύ της κίνησης και του πεδίου. Για 2ϕ = −π , έχουµε

( )2t 0 0ex E cos t− ⋅∂ µ = ω ωe

ώστε τα ηλεκτρόνια να βλέπουν µια επιβραδυντική δύναµη και να χάνουν ισχύ προς το πεδίο. Αντίθετα όταν ϕ π= 2 , η δύναµη είναι επιταχυντική και υπάρχει κέρδος ισχύος από το πεδίο. Η φάση στις τιµές

που κυµαίνεται 0,π , αλλάζει πρόσηµο τέσσερις φορές, ώστε η µεταφορά αυτή να είναι µηδέν. Μια απλή αλλά σηµαντική συνέπεια του θεωρήµατος του Poynting αφορά ένα οπτικό σύστηµα χωρίς απώλειες. Αν θεωρήσουµε για το σύστηµα να εισέρχονται δύο διαφορετικές κατανοµές η/µ πεδίων

in1 in2,e e και in1 in2,h h , τότε το θεώρηµα µας δίνει

( ) ( ) ( ) ( )in1 in2 in1 in2 out1 out 2 out1 out 2s s

ˆ ˆndA ndA⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ × + ⋅ = − + × + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫e e h h e e h h

Εφόσον η παραπάνω ισχύει για τυχαία πεδία, η ενέργεια για κάθε πεδίο πρέπει να διατηρείται ώστε και η ενέργεια στους cross όρους πρέπει επίσης να διατηρείται

( ) ( ) ( ) ( )in1 in2 in2 in1 out1 out 2 out 2 out1s s

ˆ ˆndA ndA⎡ ⎤ ⎡ ⎤× + × ⋅ = − × + × ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫e h e h e h e h

που µας λέει ότι ένα οπτικό σύστηµα χωρίς απώλειες δεν µπορεί ν αναµίξει ρυθµούς. Αν οι ρυθµοί εισόδου είναι ορθογώνιοι, τότε και στην έξοδο θα είναι ορθογώνιοι.

16

Βασικά η/µ κύµατα Για κάποιο γραµµικό, οµοιογενές και ισοτροπικό υλικό µπορούµε να θεωρήσουµε τρία βασικά η/µ κύµατα: επίπεδο, σφαιρικό και gaussian.

Εγκάρσιο επίπεδο η/µ κύµα (TEM) Θέτουµε

( ) ( ) ( ) ( )0 0exp i exp i= − ⋅ = − ⋅E r E k r H r H k r που ικανοποιούν την σχέση του Helmholtz, εάν το µέτρο του k είναι k nk= 0 . Πρέπει επίσης να ικανοποιούν τις σχέσεις του Maxwell

0 0 o

0 0

, ,× = ωµ ⎫

⎬× = ωε ⎭

k E HE H k

k H E είναι κάθετα µεταξύ τους

µε τα µέτρα 0 0 0 00

kH E E Hkωε

= =ωµ

,

ώστε 00 00

k nk nkk c cωε ω ω ω

= ⇒ = = = =ωµ εµ

Επίσης 0 00 0 0 0

0

E cH k n n

µ εωµ µ= = = , έτσι ώστε

[ ]

0 0

0

0 0 0

EH n

120 377

η= η η =

η = µ ε π = Ω

όπου η0 είναι η εµπέδιση ή η σύνθετη αντίσταση του κενού, και η ένταση 2

0*0 0

E1S E H I2 2

= = =η

Σφαιρικό κύµα Το η/µ κύµα που αντιπροσωπεύει ένα βαθµωτό σφαιρικό κύµα είναι αυτό πού εκπέµπεται από ένα ηλεκτρικό δίπολο. Το ανυσµατικό πεδίο είναι

( ) ( )0 ˆA U=A r r x

όπου το Ur

e kr rb g = −1 είναι ένα βαθµωτό σφαιρικό κύµα, A0 µια σταθερά, και x είναι το µοναδιαίο

διάνυσµα. Εφόσον το U rb g ικανοποιεί την σχέση του Helmholtz, έτσι και το A rb g

∇ + =2 2 0A r A rb g b gk

Εάν το µαγνητικό πεδίο ορίζεται από 0

1= ∇×µ

H A

έχουµε για το ηλεκτρικό πεδίο E H= ∇×1

iωε

που ικανοποιεί ∇⋅ =H 0 και ∇⋅ =E 0 , αφού για κάθε άνυσµα ∇⋅∇×→ 0 Για αποστάσεις µακριά από την πηγή του κύµατος (στην αρχή των αξόνων), r >> λ ή kr >> 2π , τα πεδία δίνονται από

( ) ( )( ) ( )

0

0

ˆE sin UˆH sin U

= θ θ

= θ ϕ

E r r

H r r

z

y

x

H

E

r

θ

ϕ

17

µε

0 00

100

ikE A

E xH cosr

−

=µ

⎛ ⎞= θ = ⎜ ⎟η ⎝ ⎠

ώστε τα µέτωπα των κυµάτων να είναι σφαιρικά, E H r⊥ ⊥ , τα µέτρα να µεταβάλλονται µε το sinθ , σε αντίθεση από την επίπεδη περίπτωση. Κοντά στον άξονα z και µακριά από την αρχή των αξόνων (παραξονική περίπτωση) θ π≈ 2 και ϕ π≈ 2 ώστε τα µέτωπα να είναι σχεδόν κάθετα στον z -άξονα και sinθ ≈ 1 . Σε Καρτεσιανό σύστηµα

sin cos cos cos sinθ θ θ ϕ θ ϕ= − + +

= − + + ≈ − +

x y z

x xz

yz

y xz

z x xz

z

ώστε

( ) ( )0xˆ ˆE x z U rz

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

E r

όπου το U rb g είναι η παραξονική προσέγγιση στο σφαιρικό κύµα (παραβολοειδής περίπτωση). Για µεγάλες τιµές του z , ο όρος x z µπορεί επίσης να αγνοηθεί ώστε

( ) ( )( ) ( )

0

0

ˆE U xˆH U y

≈ −

≈

E r r

H r r

και µε αυτή τη προσέγγιση, U(r) προσεγγίζει το επίπεδο κύµα 1z

e ikz− που µας δίνει ένα TEM επίπεδο

κύµα.

Gaussian κύµα Μια δέσµη Gaussian βγαίνει από το παραβολοειδές κύµα, την παραξονική προσέγγιση του σφαιρικού κύµατος, αντικαθιστώντας την z -εξάρτηση µε z iz+ 0 , όπου z0 είναι πραγµατικό. Έτσι

( ) ( ) ( )oz z iz0 0

0

x xˆ ˆ ˆ ˆE x z U r E x z U rz z iz

→ + ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + ⎯⎯⎯⎯→ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠E r

∆ιάδοση σε ισοτροπικά υλικά Ισοτροπικά και οµογενή υλικά, όπως το κενό, τα υγρά και το γυαλί, έχουν βαθµωτές σταθερές ε και µ . Αν και τα µόρια που αποτελούν την ύλη µπορεί να είναι ανισοτροπικά, η µικροσκοπικά αυτή ανισοτροπία µηδενίζεται µακροσκοπικά από τον τυχαίο προσανατολισµό τους στο χώρο ακόµα και µέσα σε χώρο λ3 (τυπικές διαστάσεις για την ακτινοβολία που διαδίδεται). Για επίπεδα κύµατα εγκάρσια στο επίπεδο x y,b g µε διεύθυνση διάδοσης στον z -άξονα, έχουµε

x y 0∂ = ∂ = . Για κάποιο υλικό χωρίς απώλειες, τότε έχουµε

t z y t x z x t y z z

t z y t x z z t y z z

e h e h 0 hh e h e 0 e

∇× = −µ∂ ∂ = µ∂ ∂ = µ∂ = µ∂∇× = ε∂ ∂ = −ε∂ ∂ = ε∂ = ε∂

e hh e

Οι παραπάνω σχέσεις µας λένε ότι οι συνιστώσες h ez z, είναι χρονικά ανεξάρτητες, γεγονός που σηµαίνει ότι ένα επίπεδο κύµα σε ένα ισοτροπικά οµογενές υλικό δεν έχει διαµήκεις συνιστώσες. Επίσης, εφόσον το e και το b είναι κάθετα µεταξύ τους, µπορούµε να µηδενίσουµε τις συνιστώσες h ey x, (ή τις h ex y, ) και µπορούµε να γράψουµε τις δύο σχέσεις µόνο

18

z y t x z x t yh e e h∂ = −ε∂ ∂ = µ∂ Από τη δεύτερη παράγωγο του ex και µε αντικατάσταση έχουµε

2 22 2

x xz te e∂ = µε∂

και µε παρόµοιο τρόπο 2 2

2 2y yz t

h h∂ = µε∂

Για αρµονικές λύσεις, δοκιµάζουµε λύσεις του είδους e E ex xi t kz± ±= ω ∓b g , όπου E ex

ikz± ∓ είναι το µιγαδικό πλάτος του πεδίου στο σηµείο z . ex+ : για κάποιο παρατηρητή να µπορεί να βλέπει ένα σταθερό πλάτος, πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη

ωt kz C− = όπου η σταθερά εξαρτάται από το πλάτος του πεδίου που ο παρατηρητής θέλει να µετρήσει. Ο παρατηρητής πρέπει επίσης να έχει µια σταθερή ταχύτητα, που δίνεται από τη παράγωγο της παραπάνω

c dzdt k

= =ω

τη φασική ταχύτητα του κύµατος. ex− : η λύση αυτή διαφέρει από την παραπάνω µόνο στο πρόσηµο του κυµατάριθµου, ώστε να έχουµε ένα

κύµα να διαδίδεται στην διεύθυνση −z , επίσης µε φασική ταχύτητα c . Αντικαθιστώντας τη λύση στην διαφορική σχέση, έχουµε το αποτέλεσµα

ck

k= = ⇒ =ω

µεω µε

1

Η φασική ταχύτητα στο κενό δίνεται από c x m0 0 08 13 10= = −µ ε sec , και σε ισοτροπικά υλικά c c

n= 0 ,

όπου n = εε0

είναι ο δείκτης διάθλασης του µέσου.

Για το ισοτροπικό πεδίο έχουµε επίσης h H ey y

i t kz± ±= ω ∓b g που µας δίνει

∂

∂= − = −

∂∂

= −+

+ −+

+ −hz

ikH e et

i E eyy

i t kz xx

i t kzω ωε ωεb g b g

ώστε

H Ey

x++

= =η

ηµε

όπου η είναι η σύνθετη αντίσταση, µε η µε0

0

0

377= = Ω την σύνθετη αντίσταση του κενού.

Αντίστοιχα, H Ey

x−−

= −η

, ώστε για το κύµα που διαδίδεται στον −z άξονα, η σχετική φάση των δύο

πεδίων είναι αντίστροφη αυτής του z άξονα. Εφόσον η κυµατική εξίσωση είναι µια γραµµική διαφορική εξίσωση, µπορούµε να έχουµε σαν λύση και την υπέρθεση των δύο παραπάνω κυµάτων

e z t E e E ex xi t kz

xi t kz,b g b g b g= ++ − − +ω ω

και

h z t H e H e E e E ey yi t kz

yi t kz

xi t kz

xi t kz,b g b g b g b g b g= + = ++ − − + + − − +ω ω ω ω

η1

Η µέση ισχύ ανά µονάδα επιφάνειας - η ένταση του πεδίου 2Wcm−⎡ ⎤⎣ ⎦ - είναι

19

I = ×e h και εφόσον µπορούµε να έχουµε e||x ώστε το h||y , τότε

I e hx y= που µας δίνει

I E H E e E e E e E e

E E

x y xikz

xikz

xikz

xikz

x x

= = + +

= −

+ − − + − −

+ −

12

12

2 2

2 2

Re Re* * *n s c h c h c he j η

η η

ο πρώτος όρος για τον z άξονα, και ο δεύτερος για τον −z . Θα δούµε και την σχέση της έντασης του πεδίου προς την αποθηκευµένη πυκνότητα της η/µ ενέργειας στο υλικό. Από τη γενική σχέση της πυκνότητας της η/µ ενέργειας, οι όροι που αφορούν αυτή του ηλεκτρικού πεδίου είναι

0t t2ε⎛ ⎞∂ ⋅ + ⋅∂⎜ ⎟

⎝ ⎠e e e p

και από τις σχέσεις p ee e= = +εχ ε ε χ, 0 1b g έχουµε

0t t t2 2ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⋅ + ⋅∂ = ∂ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠e e e p e e

και σε αντιστοιχία για το µαγνητικό πεδίο 0

t 0 t2µ⎛ ⎞∂ ⋅ +µ ⋅∂⎜ ⎟

⎝ ⎠h h h m

Από τις σχέσεις m hm m= = +χ µ µ χ, 0 1b g έχουµε

0t 0 t t2 2µ µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⋅ +µ ⋅∂ = ∂ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠h h h m h h

Για υλικά χωρίς απώλειες, οι όροι αυτοί αντιπροσωπεύουν τις χρονικές αλλαγές της ηλεκτρικής και µαγνητικής πυκνότητας στο κενό και στα δίπολα, ώστε

electric

volume 2ε

= ⋅e eE

και magnetic

volume 2µ

= ⋅h hE

Για τον άξονα z έχουµε

( ) ( )2 2electric magneticx xe h

volume volume 2 2+ ++ ε µ

= = +E EE

Ανάκλαση και διάδοση από επιφάνεια ΟΙ σχέσεις του Maxwell περιγράφουν την συµπεριφορά των η/µ πεδίων στο χώρο, µε ή χωρίς τη παρουσία της ύλης, όπου οι παράµετροι ,ε µ είναι συνεχείς ποσότητες. Για την οπτική περιοχή, µε λ ≈ 500 nm , τα άτοµα ή µόρια έχουν απόσταση µεταξύ τους περίπου ≈ 0 2, nm και οι ατοµικές διαστάσεις είναι ακόµα µικρότερες. Βλέπουµε έτσι ότι οι ιδιότητες της ύλης, και κυρίως οι οπτικές ιδιότητες, αλλάζουν απότοµα στην διεπιφάνεια µεταξύ δύο υλικών. Περιµένουµε τότε κάποιες ασυνέχειες στα πεδία , , ,e d b h και τα ,ρ j να εκφυλίζονται σε επιφανειακά φορτία και ρεύµατα. Όπως το φως διαδίδεται σε ένα τέτοιο υλικό, τα σκεδαζόµενα κύµατα θα έχουν καταστρεπτική συµβολή εκτός από την εµπρόσθια διεύθυνση, προς την οποία υπάρχει ενισχυτική συµβολή και το η/µ κύµα κατευθύνεται σε ευθεία πορεία. Σε µια διεπιφάνεια, η απότοµη αλλαγή στην θέση των σκεδαστών θα δηµιουργήσει και µια σκέδαση που ονοµάζουµε ανάκλαση. Εάν η µεταβολή µεταξύ των υλικών είναι βαθµιαία και γίνεται

20

σε πάχος µεγαλύτερο από το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας, θα έχουµε µια µικρή και συνήθως αµελητέα ανάκλαση. Αν η αλλαγή αυτή συµβαίνει σε πάχος λ 4 ή µικρότερο, η αλλαγή θα είναι ασυνεχής. Στο ανακλώµενο κύµα συνεισφέρουν οι σκεδαστές σε µια λεπτή πάχους περιοχή ~ λ 2 , που µας δίνει περίπου 4% ανάκλαση. Στα παρακάτω ζητάµε να βρούµε τις σχέσεις που περιγράφουν την συµπεριφορά των παραπάνω πεδίων µέσα από αυτή την ασυνέχεια. Για ένα µονοδιάστατο κύµα, όταν έχουµε µια απότοµη αλλαγή στο δείκτη διάθλασης σε κάποιο σηµείο του χώρου x 0= , πρέπει να ικανοποιήσουµε δύο συνοριακές συνθήκες στο σηµείο αυτό (α) το πλάτος του κύµατος στο x 0= πρέπει να είναι το ίδιο και στα δύο µέσα, άρα συνεχές (β) η κλίση του κύµατος πρέπει επίσης να είναι η ίδια, εφόσον όποια διαφορά θα σήµαινε και µια κάθετο δύναµη σε ένα απειροελάχιστο χώρο που συνεπάγεται άπειρη επιτάχυνση. Αν θεωρήσουµε ένα προσπίπτων κύµα

( )i i i iA cos k x tψ = −ω για x 0< µε ταχύτητα διάδοσης 1c , τότε στο x 0= έχουµε

( ) ( )i i i x i i i ix 0 x 0A cos t k A sin t

= =ψ = ω ∂ ψ = ω

για το κύµα που διαδίδεται στο x 0> έχουµε ( )t t t tA cos k x tψ = −ω για x 0>

µε ταχύτητα διάδοσης 2c , και στο x 0= έχουµε ( ) ( )t t t x t t t tx 0 x 0

A cos t A k sin t= =

ψ = ω ∂ ψ = ω για να ικανοποιήσουµε τις παραπάνω σχέσεις, πρέπει να έχουµε

i tA A= και εφόσον η συνθήκη ισχύει για όλους τους χρόνους, τότε i tω = ω για τις συχνότητες. Η δεύτερη σχέση µας λέει πρόσθετα ότι

i i t tk A k A= και εφόσον i tA A= , τότε i tk k= . Βλέπουµε όµως ότι k c= ω , άρα µε i tω = ω τότε 1 2c c= , που σηµαίνει ίδια ταχύτητα διάδοσης και στα δύο µέσα, γεγονός που δεν παρατηρούµε. Για να ικανοποιήσουµε τις συνοριακές συνθήκες χρειαζόµαστε και ένα τρίτο κύµα, το ανακλώµενο στην αντίθετη κατεύθυνση από το προσπίπτων και το οποίο να πηγάζει από το σηµείο x 0=

( )r r r rA cos k x tψ = +ω µε ταχύτητα διάδοσης 1c , και ικανοποιεί τις συνθήκες

( ) ( )r r r x r r r rx 0 x 0A cos t k A sin t

= =ψ = ω ∂ ψ = ω

Και τα τρία κύµατα µαζί ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες ( )i r t x i r tx 0 x 0

0 0= =

ψ +ψ −ψ = ∂ ψ +ψ −ψ = που δίνουν

i r tω = ω = ω και i r t i i r r t tA A A k A k A k A+ = + = µε λύσεις

( )( ) ( )( )

1 1i r 1t i i i

r t 1 2 1 2 1 2

1 c 1 ck k 2 cA A A Ak k 1 c 1 c c c c c

ω ++ ω= = =

+ ω + ω +

Αν ορίσουµε το συντελεστή διέλευσης t it A A= , έχουµε

2

1 2

2ctc c

=+

και για τον συντελεστή ανάκλασης r ir A A= , έχουµε 2 1

1 2

c crc c−

=+

21

Βλέπουµε επίσης ότι αν δεν έχουµε διάδοση του κύµατος στο δεύτερο µέσο, τότε tA 0= και i rA A= − µε r 1= και t 0= . Τα δύο κύµατα που µένουν µε την αρχή της υπέρθεσης, προστίθενται και έχουµε ένα στάσιµο κύµα εφόσον

( ) ( )( ) ( ) ( )i rA A A A cos kx t cos kx t 2Asin t sin kx= + = −ω − +ω = ω . Για τις τρεις διαστάσεις τώρα, όπως στο σχήµα, έχουµε το επάνω µέρος µε δείκτη διάθλασης in και ταχύτητα διάδοσης i ic nυ = . Για ένα επίπεδο κύµα πρόσπτωσης, ζητάµε τις φάσεις των τριών κυµάτων στην διεπιφάνεια να είναι ίδιες και στις δύο πλευρές

i i r r t tz 0 z 0 z 0t t t

= = =ω − ⋅ = ω − ⋅ = ω − ⋅k r k r k r

Αν η παραπάνω σχέση ισχύει για όλους τους χρόνους, τότε i r tω = ω = ω και η συχνότητα δεν αλλάζει. Στη διεπιφάνεια ( )x, y,0=r

( )

( )

( )

i i iii x y z

r r rir x y z

t t ttt x y z

n k ,k ,kc

n k ,k , kc

n k , k , kc

ω→

ω→

ω→

k

k

k

και είναι ανεξάρτητα από τις τιµές ( )x, y , ώστε i r t i r t

i x i x t x i y i y t yn k n k n k n k n k n k= = = = Οι παραπάνω σχέσεις αναγκάζουν και τα τρία κύµατα να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, το οποίο ονοµάζουµε επίπεδο πρόσπτωσης (incidence plane) Το επίπεδο αυτό ορίζεται µε τη κάθετο στη διεπιφάνεια που χωρίζει τα δύο µέσα και του ik στο σηµείο που συναντά την διεπιφάνεια. Έτσι τα συνηµίτονα διεύθυνσης είναι

i i ix i y z ir r rx r y z rt t tx t y z t

k sin k 0 k cosk sin k 0 k cosk sin k 0 k cos

= θ = = θ= θ = = θ= θ = = θ

Τότε παίρνουµε i i i r t tn sin n sin n sinθ = θ = θ

Για το πρώτο µέσο, έχουµε τη σχέση της ανάκλασης

i i i r

i r

n sin n sinθ = θ⇒ θ = θ

και για το δεύτερο µέσο τη σχέση περίθλασης, νόµο του Snell

i i t tn sin n sinθ = θ Οι παραπάνω σχέσεις δίνονται µε την απλή υπόθεση της συνέχειας των κυµάτων στην διεπιφάνεια και µόνο. Ισχύουν για όλες τις λύσεις της κυµατικής εξίσωσης και δεν εξαρτώνται από τον η/µ χαρακτήρα της ακτινοβολίας.

Συνοριακές συνθήκες Οι παραπάνω σχέσεις δίνουν τη γεωµετρία της συµπεριφοράς των η/µ κυµάτων, αλλά καθόλου πληροφορία για τα πλάτη των κυµάτων. Για να υπολογίσουµε τα πλάτη χρειαζόµαστε τις σχέσεις Maxwell και τις συνοριακές συνθήκες που ισχύουν για τα πεδία αυτά. Οι σχέσεις Maxwell σε µορφή ολοκληρώµατος, για ισοτροπικά και γραµµικά υλικά είναι

S V

d dVε ⋅ = ρ∫∫ ∫∫∫e S tC S

d d⋅ = − ∂ ⋅∫ ∫∫e l b S

z

y x

in

tn

22

b S⋅ =zz dS

0 o t

0 C S

1 d d⋅ = ε ∂ ⋅µ ∫ ∫∫b l e S

Για να δούµε τα αποτελέσµατα των συνοριακών συνθηκών στις παραπάνω, χρειάζεται να δούµε τα παρακάτω ολοκληρώµατα: Για τις κάθετες στην διεπιφάνεια συνιστώσες των πεδίων, θεωρούµε κάποιο κύλινδρο, µε βάση A , απειροελάχιστο ύψος h , και όγκο V Ah= που µπορεί να είναι µικρός, πάνω στην διεπιφάνεια µεταξύ δύο υλικών, όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν το πεδίο b και οι παράγωγοί του είναι συνεχείς µέσα στον µικρό αυτό όγκο, µε το θεώρηµα Gauss έχουµε

V S

dV dS 0∇⋅ = ⋅ =∫∫∫ ∫∫b b n

όπου d dS=S n και n είναι η κάθετος στην επιφάνεια S . Για τον κύλινδρο έχουµε συνεισφορές από τις βάσεις του κυλίνδρου και την κυλινδρική επιφάνεια, που δίνει

1 1 1 2 2 2dS dS cylinder walls = 0⋅ + ⋅ +b n b n Στο όριο που το ύψος του κυλίνδρου είναι απειροελάχιστο h 0→ , τα τοιχώµατα θα έχουν µηδενική συνεισφορά στην ροή µαγνητικού πεδίου µέσα από αυτά, και οι επιφάνειες της βάσης γίνεται στην ουσία µία, όπου και µπορούµε να έχουµε τα πεδία 1 2,b b σταθερές ποσότητες ώστε

( )1 1 2 2 dS 0⋅ + ⋅ =b n b n Αν πάρουµε τώρα ένα άνυσµα από το υλικό 1 προς το υλικό 2, έχουµε 12 1= −n n και 12 2=n n που µας δίνει

( )12 2 1 0⋅ − =n b b γεγονός που σηµαίνει ότι η κάθετη συνιστώσα του b , δηλαδή η nb είναι συνεχής µέσα από την διεπιφάνεια των δύο υλικών. Μπορούµε να δούµε και τη σχέση για το πεδίο µετατόπισης d , στην οποία εµφανίζεται και ο έξτρα όρος από τυχόν ελεύθερα φορτία που µπορούµε να έχουµε σε µια επιφάνεια. Η αντίστοιχη σχέση είναι

V V S V

dV dV dS dV∇⋅ = ∇⋅ε = ⋅ = ρ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫d e d n

Πάλι στο όριο h 0→ , περιµένουµε ότι

V S

dV dSρ = ρ∫∫∫ ∫∫

όταν έχουµε µόνο επιφανειακά φορτία. Στη περίπτωση αυτή 1 1 1 2 2 2dS dS cylinder walls = dA⋅ + ⋅ + ρd n d n

και η συνεισφορά των τοιχωµάτων είναι αµελητέα, ώστε µένουµε µε ( )1 1 2 2 dS⋅ + ⋅ = ρd n d n

που δίνει ( )12 2 1⋅ − = ρn d d

ώστε η αλλαγή του d , και του εe , είναι ασυνεχής µέσα από την διεπιφάνεια, αν έχουµε φορτία σε αυτή. Αν δεν έχουµε επιφανειακά φορτία, τότε η κάθετος συνιστώσα του d , και του εe , είναι συνεχής στην διεπιφάνεια αυτή.

Για την εφαπτοµενικές συνιστώσες των πεδίων, θεωρούµε ένα κλειστό βρόχο την διεπιφάνεια µε µήκος και ύψος h → 0 , που έχει επιφάνεια A h= που µπορεί να είναι πολύ µικρή, όπως και στο σχήµα, ώστε τα ολοκληρώµατα της κλειστής γραµµής γύρω από την περίµετρο αυτή θα έχουν συνεισφορές από τις πλευρές ( ) και απειροελάχιστη από την ( h ), µας δίνει µέσα από το θεώρηµα Stokes

tS C S

dS d d∇× ⋅ = ⋅ = − ∂ ⋅∫∫ ∫ ∫∫e n e l b S

nb

h b

A 1ε 2ε

1 2

e h

1 1,ε µ

2 2,ε µ

te n t

23

όταν τα µήκη του βρόχου 1 2, στα δύο υλικά είναι µικρά, περιµένουµε τα 1 2,e e καθώς επίσης και το t∂ ∂b να είναι σταθερές ποσότητες , ώστε οι συνεισφορές από το βρόχο να είναι από τα 1 2, και από

τις πλευρές h να είναι 1 1 2 2 td d ends d dh⋅ + ⋅ + = −∂ ⋅e t e t b n

όπου n το µοναδιαίο άνυσµα κάθετο στην επιφάνεια που ο βρόχος περικλείει, και t το µοναδιαίο άνυσµα κατά µήκος του βρόχου. Όπως το ύψος h 0→ , τότε

( )1 1 2 2 d 0⋅ + ⋅ =e t e t Μπορούµε να ορίσουµε ένα µοναδιαίο άνυσµα από το υλικό 1 προς το υλικό 2, ώστε 1 12= − = − ×t t n n και 2 12= = ×t t n n που µετατρέπει τη παραπάνω σχέση σε

( )12 2 1 d 0× − =n e e ώστε οι εφαπτοµενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχείς µέσα από το κλειστό βρόχο. Μπορούµε να δούµε επίσης και τη σχέση για το µαγνητικό πεδίο µb ή h , που έχει παράλληλη ανάλυση αλλά περιέχει και πρόσθετους όρους αν υπάρχουν ελεύθερα ρεύµατα. Όπως και παραπάνω έχουµε

1 1 2 2 td d ends d dh d⋅ + ⋅ + = ∂ ⋅ + ⋅h t h t d n j n που στο όριο δίνει

( )12 2 1 d× − =n h h j που δίνει µια ασυνέχεια στην εφαπτοµενική συνιστώσα του h όταν υπάρχουν επιφανειακά ρεύµατα.

Σχέσεις Fresnel Έχοντας ορίσει την ύπαρξη του κύµατος ανάκλασης και του κύµατος διάθλασης, αν επιτρέπεται, και το γεγονός ότι τα τρία αυτά κύµατα ορίζουν ένα επίπεδο, το επίπεδο πρόσπτωσης (incidence plane), έχουµε βρει τους νόµους ανάκλασης και διάθλασης µέσα από τις συνοριακές συνθήκες κυµάτων. Τα πλάτη των πεδίων ανάκλασης και διάθλασης µπορούν να υπολογισθούν µε βάση τις παραπάνω συνοριακές σχέσεις που βρέθηκαν και µέσα από τις σχέσεις του Maxwell. Ορίζουµε σαν την επιφάνεια µεταξύ των δύο διηλεκτρικών υλικών το επίπεδο xy . Το επίπεδο πρόσπτωσης ορίζεται το xz , και είναι η επιφάνεια της σελίδας. Γενικά, τα πεδία e και b µπορούν να έχουν συνιστώσες παράλληλες στο επίπεδο πρόσπτωσης ή και κάθετες σε αυτό. Μπορούµε τότε να ορίσουµε δύο περιπτώσεις

ni

nt

z

x

br k r

er θr

θ t

θi

k i

ei

bi

k t

e t bt

ni

nt

z

x

br

k rer

θr

θ t

θi

k i ei

bi

k t

e t bt

Περίπτωση σ : Το πεδίο e κάθετο και το b παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης

Περίπτωση π : Το πεδίο b κάθετο και το eπαράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης

Κάθετη πόλωση Υποθέτουµε ότι το e είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης και το b παράλληλο (περίπτωση σ). Εφόσον E c B= τότε στο επίπεδο αυτό

k e b k e× = ⋅ =c 0 Εφόσον η εφαπτοµενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχής στην επιφάνεια τότε

24

E E Ei r t0 0 0+ = Αν και τα E Er t0 0, είναι κάθετα στο επίπεδο πρόσπτωσης, υποθέτουµε ότι και αυτά είναι προς την ίδια διεύθυνση µε το E i0 . Τα αντίστοιχα µαγνητικά πεδία εκτείνονται στην διεύθυνση που δίνεται από την σχέση k e b× = c . Στην συνέχεια αναλύουµε τη δεύτερη συνοριακή σχέση, για τις κάθετες συνιστώσες των πεδίων. Στην προκειµένη περίπτωση, αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης (παράλληλο στην διεπιφάνεια) η συνοριακή συνθήκη θα δώσει για το b πεδίο

− + = −b b bi

ii

r

rr

t

ttµ

θµ

θµ

θcos cos cos

ή i i r r t tcos cos cos− θ + θ = − θh h h

από τις σχέσεις k e b× = c και εφόσον c ci r= και θ θi r= έχουµε 1 1

c ci ii r i

t tt tµ

θµ

θe e e− =b gcos cos

Στην επιφάνεια, εφόσον οι όροι των ηµιτόνων είναι οι ίδιοι, έχουµε n E E n Ei

ii r i

t

tt tµ

θµ

θ0 0 0− =d icos cos

που σε συνδυασµό µε τη σχέση E E Ei r t0 0 0+ = έχουµε

r EE

n n

n nr

i

i

ii

t

tt

i

ii

t

tt

⊥

⊥

=FHGIKJ =

−

+

0

0

µθ

µθ

µθ

µθ

cos cos

cos cos

t EE

n

n nt

i

i

ii

i

ii

t

tt

⊥

⊥

=FHGIKJ =

+

0

0

2µ

θ

µθ

µθ

cos

cos cos

για τη περίπτωση που το ηλεκτρικό πεδίο e βρίσκεται κάθετο στο πεδίο πρόσπτωσης. Οι δύο παραπάνω σχέσεις είναι τελείως γενικές, για οποιοδήποτε γραµµικό, ισοτροπικό και οµοιογενές υλικό. Είναι δύο από τις γνωστές σχέσεις του Fresnel. Για διηλεκτρικά υλικά, µπορούµε επίσης να κάνουµε τη προσέγγιση µ µ µ µi r t≈ ≈ ≈ , ώστε πιο απλά

0r i i t t

i i t t0i

E n cos n cosrn cos n cosE⊥

⊥

⎛ ⎞ θ − θ= =⎜ ⎟ θ + θ⎝ ⎠

για τον συντελεστή ανάκλασης

0t i i

i i t t0i

E 2n costn cos n cosE⊥

⊥

⎛ ⎞ θ= =⎜ ⎟ θ + θ⎝ ⎠

για το συντελεστή διάδοσης

Παράλληλη πόλωση Ένα όµοιο ζευγάρι εξισώσεων προκύπτει όταν το πεδίο e βρίσκεται στο επίπεδο πρόσπτωσης. Στη περίπτωση αυτή, η σχέση συνέχειας των εφαπτοµενικών συνιστωσών του e στις δύο πλευρές της διεπιφάνειας δίνουν

E E Ei i r r t t0 0 0cos cos cosθ θ θ− = και του πεδίου b µ

1 1 10 0 0µ µ µi i

ir r

rt t

tcE

cE

cE+ =

και για την ίδια προσέγγιση µε τη παραπάνω µ µi r≈ και θ θi r= , παίρνουµε το δεύτερο ζευγάρι των σχέσεων του Fresnel

25

r EE

n n

n nr

i

t

ti

i

it

i

it

t

ti

||||

cos cos

cos cos=FHGIKJ =

−

+

0

0

µθ

µθ

µθ

µθ

t EE

n

n nt

i

i

ii

i

it

t

ti

||||

cos

cos cos=FHGIKJ = +

0

0

2µ

θ

µθ

µθ

και για διηλεκτρικά υλικά, όπου ισχύει µ µ µ µi r t≈ ≈ ≈ ,

r EE

n nn n

r

i

t i i t

i t t i||

||

cos coscos cos

=FHGIKJ =

−+

0

0

θ θθ θ

για το συντελεστή ανάκλασης

t EE

nn n

t

i

i i

i t t i||

||

coscos cos

=FHGIKJ = +

0

0

2 θθ θ

για το συντελεστή διάδοσης

Με τη χρήση του νόµου του Snell, οι τέσσερις αυτές σχέσεις γίνονται ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

i t i t||

i t i t

t i t i||

i t i t i t

sin tanr r

sin tan2sin cos 2sin cost tsin sin cos

⊥

⊥

θ − θ θ −θ= − =

θ + θ θ + θ

θ θ θ θ= =

θ + θ θ + θ θ −θ

επισηµαίνοντας ότι για τα παραπάνω πρόσηµα πρέπει να λάβουµε υπ’ όψη και τις επιλεγµένες διευθύνσεις των πεδίων.

Κάθετη πρόσπτωση Όταν βρισκόµαστε κοντά σε γωνίες κάθετης πρόσπτωσης, θi ≈ 0 , η εφαπτοµένη είναι σχεδόν ίση µε το ηµίτονο. Τότε οι συντελεστές ανάκλασης

r ri i

i

i t

i t||

sinsinθ θ

θ

θ θθ θ≈ ⊥ ≈

≈

= − =−+0 0

0

b gb g

και µε την ανάπτυξη του ηµίτονου και τη χρήση του νόµου διάθλασης

r r n nn ni i

i

t i i t

t i i t||

cos coscos cosθ θ

θ

θ θθ θ≈ ⊥ ≈

≈

= − =−+0 0

0

και µε τη προσέγγιση cosθ θi

i≈⎯ →⎯⎯0 1 και cosθ θt

i≈⎯ →⎯⎯0 1 παίρνουµε

ii

t i|| 00

t i

n nr rn n⊥ θ ≈θ ≈

−= − =

+

Αντίστοιχα για θi ≈ 0 ,

t t nn ni i

i

i t|| θ θ≈ ⊥ ≈

= =+0 0

2

και t r⊥ ⊥− =1 και t r|| ||+ =1 για τη κάθετη πρόσπτωση.

Αλλαγή φάσης Εφόσον οι γωνίες iθ και tθ είναι πραγµατικές (αγνοούµε τη περίπτωση ολικής ανάκλασης) οι τριγωνοµετρικές σχέσεις θα είναι επίσης πραγµατικές. Έτσι η φάση για κάθε συνιστώσα του πεδίου ανάκλασης ή διάθλασης θα είναι ίδια µε αυτή της συνιστώσας του πεδίου πρόσπτωσης ή θα διαφέρει κατά π .

26

Εφόσον οι συντελεστές t⊥ και t έχουν θετικά πρόσηµα, η φάση θα είναι η ίδια για την πρόσπτωση και διάθλαση. Για την περίπτωση της ανάκλασης, η φάση θα εξαρτηθεί από τις τιµές των iθ και tθ . Αν το υλικό διάθλασης είναι πιο πυκνό από το υλικό πρόσπτωσης, t in n> , τότε t iθ < θ , όπου και έχουµε εξωτερική ανάκλαση (external reflection). Βλέπουµε ότι για τον συντελεστή r⊥ έχουµε αρνητικό πρόσηµο, ώστε η φάση αλλάζει κατά π , για όλες τις τιµές του θi . Αντίθετα για τον συντελεστή r , η

( )i ttan θ −θ είναι θετική ενώ η ( )i ttan θ + θ είναι αρνητική για ( )i t 2θ + θ > π όπου και πέρα από τη γωνία αυτή, γίνεται αρνητική και έχουµε αλλαγή φάσης κατά π . Έτσι συντελεστής r|| ξεκινά θετικός για

θi ≈ 0 και µειώνεται, µέχρι να µηδενισθεί όταν θ θi t+ = 90 , όπου και έχουµε tan π 2b g = ∞ . Η τιµή της θi που παρατηρούµε αυτό είναι η Bθ , γνωστή σαν γωνία πόλωσης ή γωνία Brewster. Πέρα από τη τιµή αυτή της θi , ο συντελεστής r|| γίνεται αρνητικός και παίρνει τη τιµή του −1 όταν θi = 90 . Στο σηµείο αυτό ακόµα και µια ατελής επιφάνεια, θα γίνει ανακλαστική σαν κάτοπτρο. Όταν n nt i< , έχουµε εσωτερική ανάκλαση (internal reflection), όπου θ θi t< και το r⊥ > 0 για όλες τις γωνίες. Η τιµή του γίνεται µονάδα όταν βρισκόµαστε στη κρίσιµη γωνία όπου θ πt = 2 . Επίσης ο r|| ξεκινά αρνητικός , µηδενίζεται στη γωνία πόλωσης ′θp και γίνεται µονάδα στη κρίσιµη γωνία.

Ανάκλαση και διέλευση Για µια κυκλική δέσµη που πέφτει πάνω σε µια επιφάνεια και εµβαδόν A , η ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας που περνά την επιφάνεια αυτή µε άνυσµα παράλληλο µε το άνυσµα Poynting δίνεται από

S c E B= ×20ε

Σηµειώνουµε επίσης ότι η πυκνότητα ροής (radiant flux density) είναι I c E=ε0

02

2. Εάν οι αντίστοιχες

πυκνότητες της προσπίπτουσας, ανακλώµενης και διαδιδόµενης δέσµης είναι I I Ii r t, , µε επιφάνειες A A Ai r tcos , cos , cosθ θ θ τότε η προσπίπτουσα ισχύς θα είναι I Ai icosθ , δηλαδή η ενέργεια ανά µονάδα χρόνου στη δέσµη, καθώς επίσης και I Ar rcosθ για την ανακλώµενη και I At tcosθ για την διαδιδόµενη. Ορίζουµε την ανακλαστικότητα R σαν το λόγο της ισχύος στην ανακλώµενη προς την προσπίπτουσα

R II

II

r r

i i

r

i

= =coscos

θθ

και την διαπερατότητα T σαν το λόγο της διαδιδόµενης προς την προσπίπτουσα ισχύ

T II

t t

i i

=coscos

θθ

Με τον ορισµό της irradiance έχουµε

R II

c Ec E

EE

rr

i

r r r

i i i

r

i

= = = =εε

02

02

02

02

222

όταν στο ίδιο µέσο έχουµε c ci r i r= =,ε ε . Η διαπερατότητα θα είναι επίσης

T c Ec E

nn

EE

nn

tt t t t

i i i i

t t

i i

r

i

t t

i i

= = =ε θε θ

θθ

θθ

coscos

coscos

coscos

02

02

02

02

222

όταν i r 0µ = µ = µ , 20 t t1 cµ ε = , 0 t t tc n cµ ε = .

∆ιατήρηση ενέργειας Με τη σχέση της διατήρησης της ενέργειας, ξέρουµε ότι η ενέργεια που ρέει µέσα σε µια επιφάνεια ανά µονάδα χρόνου πρέπει να είναι ίση µε αυτή που ρέει εκτός

27

I A I A I An E n E n E

i i r r t t

i i i r r r t t t

cos cos coscos cos cosθ θ θ

θ θ θ

= +

⇒ = +02

02

02

δηλαδή I A I A I A

n E n E n En En E

n En E

EE

nn

EE

R T

i i r r t t

i i i r r r t t t

r r r

i i i

t t t

i i i

r

i

t t

i i

t

i

cos cos coscos cos coscoscos

coscos

coscos

θ θ θ

θ θ θ

θθ

θθ

θθ

= +

⇒ = +

= + = + = +

02

02

02

02

02

02

02

02

02

02

021

και για τις επιµέρους συνιστώσες R T R T|| ||+ = + =⊥ ⊥1 1

Για γωνία πρόσπτωσης θi ≈ 0 , κάθετη πρόσπτωση, το επίπεδο πρόσπτωσης γίνεται αόριστο και οποιαδήποτε διαφορά µεταξύ παράλληλης και κάθετης συνιστώσας της R T, χάνεται. Στη περίπτωση αυτή βρίσκουµε ότι

R R R n nn n

T T T n nn n

t i

t i

t i

t i

= = =−+

FHG

IKJ

= = =+

⊥

⊥

||

||

2

24b g

Όπου

( )( )( )( )

2 2i ti i t t

2i i t t i t

2i tt i i t

2t i i t i t

sinn cos n cosRn cos n cos sin

tann cos n cosRn cos n cos tan

⊥

θ − θθ − θ= =

θ + θ θ + θ

θ −θθ − θ= =

θ + θ θ + θ

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2i tt t i i

2i i i i t t i t

2i tt t i i

2 2i i t i t t i t i t

sin 2 sin 2n cos 2n cosTn cos n cos n cos sin

sin 2 sin 2n cos 2n cosTn cos n cos n cos sin cos

⊥

θ θθ θ= =

θ θ + θ θ + θ

θ θθ θ= =

θ θ + θ θ + θ θ −θ

όπως επίσης και ότι

( ) ( )1 1R R R 1 T T T 12 2⊥ ⊥= + = = + =

∆ιαφορά φάσης η/µ κυµάτων Ενδιαφέρον έχει επίσης και η ύπαρξη διαφοράς φάσης (phase change) ∆ϕ µεταξύ του ανακλώµενου rE και διερχόµενου κύµατος tE σε σχέση µε το προσπίπτον iE . Η διαφορά αυτή για τις επιµέρους παράλληλες και καθετες συνιστώσες εξαρτάται από τις τιµές των δεικτών διάθλασης in και tn για τα δύο µέσα, καθώς επίσης και την γωνία πρόσπτωσης o o

i0 90< θ < . Όταν έχουµε i tn n< , οι γωνίες πρόσπτωσης iθ και διέλευσης tθ είναι πραγµατικές και οι συντελεστές Fresnel είναι επίσης πραγµατικοί αριθµοί. Στη περίπτωση αυτή η διαφορά φάσης ∆ϕ για κάθε συνιστώσα θα είναι µηδέν ή o180 . Για πραγµατικές τιµές των iθ και tθ έχουµε

28

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

i t i t

i t i t

i t i t

sin sin

cos cos

tan tan

θ −θ = − θ −θ

θ −θ = θ −θ

θ −θ = − θ −θ

Για το διερχόµενο κύµα, θα ισχύει παντού ότι tt

i i

EEt 0 t 0E E

⊥⊥

⊥

= > = >

και οι παραπάνω θετικές τιµές σηµαίνουν ότι η διαφορά φάσης για το διερχόµενο κύµα σε σχέση µε το προσπίπτον είναι µηδέν, ανεξάρτητα από τη γωνία πρόσπτωσης. Για τα ανακλόµενα πεδία, εφόσον

r 0 r 0> >⊥< <

η διαφορά φάσης του κύµατος ανάκλασης θα είναι µηδενική όταν r 0> και 180ο για r 0< .

Εξωτερική ανάκλαση µε 1 2n n< Εξωτερική ανάκλαση (external reflection) έχουµε όταν το φως περνά από ένα οπτικά αριαό προς ένα οπτικά πυκνότερο µέσο. Στη περίπτωση αυτή, όταν η γωνία πρόσπτωσης κυµαίνεται σε τιµές ( )o o0 ,90 έχουµε τις παρκάτω περιπτώσεις

Κάθετη πρόσπτωση i 0θ =

Έχουµε it i t

t

nsin sin 0 0n

θ = θ = ⇒ θ =

και οι συντελεστές oi t t i t ir

i i t i t i t

r t i

i i t

n n n n n nEr cos180 0E n n n n n nE n nr 0E n n

⊥⊥

⊥

− − −= = = − = <

+ + +

−= = >

+

t i

i i t

t i

i i t

E 2nt 0E n nE 2nt 0E n n

⊥⊥

⊥

= = >+

= = >+

Βλέπουµε ότι το διερχόµενο κύµα έχει 0∆ϕ = , ενώ το ανακλώµενο 0∆ϕ = και 0⊥∆ϕ = για γωνία

i 0θ = .

Παράλληλη πρόσπτωση oi 90θ =

Με δέσµη παράλληλη στην διεπιφάνεια ot t

t t

i t

i t

n cosr 1 cos180 0n cos

n cosr 1 0n cos

⊥

θ= − = − = <

θ− θ

= = − <θ

0 0⊥τ = τ = όπου έχουµε µόνο ανακλώµενο κύµα µε αλλαγή φάσης 180ο σε σχέση µε το προσπίπτον.

oi0 90< θ <

29

Ο συντελεστής r⊥ παραµένει αρνητικός πάντα σε όλη αυτή τη περιοχή και µεταβάλλει την απόλυτη τιµή

του από t i

t i

n nn n−+

για o0θ = έως 1 για o90θ = . Οι συντελεστές t⊥ και t ελαττώνονται συνεχώς και

τείνουν στο µηδέν.

Γωνία Brewster

Για τον συντελεστή ( )( )

i t

i t

tanr

tanθ −θ

=θ + θ

, όπως η γωνία iθ αυξάνει το i tθ + θ φθάνει στις 90ο όπου και η

εφαπτοµένη απειρίζεται. Στο σηµείο αυτό το r 0→ , ώστε

R 0→ για o oi t B t90 90θ + θ = ⇒ θ + θ =

µε Bθ γνωστή σαν γωνία Brewster. Τότε rE 0= , ώστε δεν υπάρχει παράλληλη συνιστώσα του ανακλώµενου κύµατος, και το ανακλώµενο φως είναι γραµµικά πολωµένο. Πέρα από τη γωνία Bθ , ο r 0< και φθάνει στο -1 για o

i 90θ = . Στη γωνία Brewster έχουµε

tB

i

ntann

θ =

ώστε

( )2 2 2i t B

B2 2 2i t B

n n 1 tanr cos 2 0n n 1 tan

r 0

⊥

− − θ= = = θ <

+ + θ

=

( ) ( )

( )

22i B i

B2 2i B t B i t

i B i

t B i B t B

2n cos 2nt 2cos 0n cos n cos 90 n n

2n cos n 1t 0n cos n cos 90 n tan

⊥

θ= = = θ >

θ + −θ +

θ= = = >

θ + −θ θ

Εσωτερική ανάκλαση Για i tn n> , το φως προσπίπτει στην διεπιφάνεια από τη πλευρά του οπτικά πυκνότερου µέσου προς το οπτικά αριαότερο µέσο, οπότε έχουµε εσωτερική ανάκλαση (internal reflection). Με τη γωνία γωνία θi πρόσπτωσης να µεγαλώνει, έχουµε i tsin sinθ < θ άρα i tθ < θ και τότε οι r r|| , ⊥ αυξάνονται και οι t t||, ⊥ µειώνονται εφόσον n ni t> . Ο νόµος του Snell µας λέει ότι θ θi t< . Όπως η θi αυξάνεται, η διαδιδόµενη ακτίνα πλησιάζει να γίνει εφαπτοµενική µε την επιφάνεια, θt → 90 και όλη η ενέργεια µεταφέρεται στο µέγιστο στην ανακλώµενη δέσµη. Όταν θt = 90 τότε sinθt =1 και sinθi t in n= , η κρίσιµη αυτή γωνία θc . Για γωνίες πρόσπτωσης θ θi c> , όλη η ενέργεια µεταφέρεται στην ανακλώµενη και έχουµε ολική εσωτερική ανάκλαση (total internal reflection). Για το διαδιδόµενο κύµα, το άνυσµα διάδοσης είναι αρνητικό στο µέσο µε χαµηλό δείκτη διάθλασης και το κύµα µειώνεται εκθετικά , όπου και παίρνουµε ένα επιφανειακό κύµα (evanescent wave).

Κάθετη πρόσπτωση i 0θ = Έχουµε i t0θ = = θ οπότε

30

i t

i t

t i i t

i t i t

n nr 0 0n nn n n nr 0 180n n n n

⊥

−= > ∆ϕ =

+

− −= = − < ∆ϕ =

+ +

i

i t

i

i t

2nt 0 0n n2nt 0 0

n n

⊥ = > ∆ϕ =+

= > ∆ϕ =+

γωνία πρόσπτωσης i Bθ = θ Όταν i t90θ = −θ τότε θα έχουµε o

i r t r 90θ = θ ⇒ θ + θ = , και το διαδιδόµενο φως σχηµατίζει ορθή γωνία µε το ανακλώµενο φως, και

tB

i

ntan 1n

θ = <

και ( )( )

( )

i B t B i t B

i B t B i t B

2 2 2i t B

B2 2 2i t B

n cos n cos 90 n n tanrn cos n cos 90 n n tan

n n 1 tan cos 2 0n n 1 tan

r 0

⊥

θ − −θ − θ= =

θ + −θ + θ

− − θ= = = θ >

+ + θ=

( )2

2iB2 2

i t

i

t B

2nt 2cos 0n nn 1t 0n tan

⊥ = = θ >+

= = >θ

Βλέπουµε ότι δεν υπάρχει παράλληλη ανακλώµενη συνιστώσα, ώστε το ανακλώµενο φως είναι γραµµικά πολωµένο.

Κρισιµη γωνία πρόσπτωσης i cθ = θ Όταν για κάποια γωνία πρόσπτωσης η γωνία διάθλασης γίνει o

t 90θ = , τότε

t tc t

i i

n nsin sinn n

θ = θ =

και η γωνία αυτή πρόσπτωσης είναι γνωστή σαν κρίσιµη γωνία (critical angle) και t

c Bi

nsin tan 1n

θ = θ = <

Στη περίπτωση αυτή το ανακλώµενο κύµα περιέχει όλη την ενέργεια του προσπίπτοντος εφόσον tE 0= , και έχουµε ολική εσωτερική ανάκλαση (total internal reflection). Επίσης από

i c

i c

n cosr 1 r 0 0n cos⊥

θ= = = > ∆ϕ =

θ

δεν παρατηρούµε αλλαγή φάσης στις ανακλώεµνες συνιστώσες.

Επιφανειακά κύµατα

31

Χωρίς το διαδιδόµενο κύµα δεν είναι δυνατόν να ικανοποιήσουµε τις συνοριακές συνθήκες µε µόνο το προσπίπτων και το ανακλώµενο κύµα στη παραπάνω περίπτωση. Ξαναγράφοντας τις σχέσεις

2 2 22 2t t t

i t i t2 2 2i i i

|| 2 2 22 2t t t

i t i t2 2 2i i i

n n ncos sin cos sinn n n

r rn n ncos sin cos sinn n n

⊥

θ − − θ θ − − θ= =

θ + − θ θ + − θ

όπου για θ θi c> βλέπουµε ότι οι r r|| , ⊥ γίνονται µιγαδικές ποσότητες αλλά ισχύει ακόµα η σχέση

r r r r|| ||* *,= =⊥ ⊥1 1 ώστε R =1, που µας δίνει ότι I Ii r= και It = 0 . Έτσι έστω και αν υπάρχει διαδιδόµενο

κύµα, δεν µεταφέρει ενέργεια µέσα από την διεπιφάνεια. Στη περίπτωση αυτή το διαδιδόµενο ηλεκτρικό πεδίο

E E et ti k r tt= ⋅ −

0ωd i

µε k r k x k y k x k yt tx ty t t t t⋅ = + = +sin cosθ θ . Με το νόµο του Snell

k r k nn

x k nn

yt ti

ti t

i

ti⋅ = ± −sin sinθ θ1

2

22

Εφόσον sinθi t in n> ,ο όρος του y γίνεται

k ik nn

ity ti

ti= ± − = ±

2

22 1sin θ β

ώστε

∓E E e et ty

i k x nn

tti

ti

=−

FHG

IKJ

0β

θ ωsin

Απορρίπτουµε το θετικό εκθέτη που µας δίνει ένα µη αποδεκτό αποτέλεσµα, και έχουµε ένα κύµα που το πλάτος του µειώνεται εκθετικά όπως διεισδύει στο λιγότερα πυκνό µέσο. Η διαταραχή αυτή κινείται σαν ένα επιφανειακό κύµα (evanescent wave). Τα κυµατικά µέτωπα είναι κάθετα στα επίπεδα σταθερού πλάτους, και το κύµα είναι ανοµοιογενές. Η ενέργεια κυκλοφορεί γύρω από την διεπιφάνεια και διατηρείται. Σε µέσο όρο η ενέργεια που ρέει µέσα από την διεπιφάνεια προς το αραιό µέσο είναι µηδέν. Η ενέργεια στο επιφανειακό κύµα εξηγείται όταν για πραγµατικές συνθήκες, η προσπίπτουσα δέσµη έχει πεπερασµένη διατοµή και έτσι δεν είναι απόλυτα επίπεδο κύµα. Η µικρή αυτή παρέκκλιση µας επιτρέπει τη µικρή διάδοση ενέργειας µέσα στην επιφάνεια που υπάρχει το επιφανειακό κύµα. Αν δούµε τη περίπτωση όπου το προσπίπτων και διαδιδόµενο κύµα περιγράφονται από τη περίπτωση σ (ΤΕ), τότε

( ) ( )( )( ) ( )( )

i 0i 0 i i i

t 0i 0 t t t

ˆE x, y zE exp ik n x sin y cos

ˆE x, y zE t exp ik n x sin ycos⊥

= − θ − θ

= − θ − θ

αγνοώντας τη χρονική εξάρτηση. Οι γωνίες πρόσπτωσης και διάδοσης σχετίζονται από το νόµο του Snell

( )2

it i t i t i

t

nsin n n sin cos 1 sinn

⎛ ⎞θ = θ ⇒ θ = − θ⎜ ⎟

⎝ ⎠

έχοντας επιλέξει τη θετική ρίζα, εφόσον η αρνητική ρίζα θα ήταν για διάδοση σε διαφορετική διεύθυνση. Έτσι το διαδιδόµενο πεδίο είναι

( )2

2i it 0i 0 t i i2

t t

n nˆE x, y zt E exp ik n x sin y 1 sinn n⊥

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − θ − − θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Στη κρίσιµη γωνία c i tsin n nθ = , ώστε η γωνία διέλευσης είναι µηδέν και το πεδίο είναι ένα επιφανειακό κύµα

( ) [ ]t 0i 0 tˆE x, y zt E exp ik n x⊥= −

32

Για γωνίες µεγαλύτερες το συνηµίτονο της γωνίας διέλευσης είναι αρνητικό, και έχουµε κάποια αβεβαιότητα για το πρόσηµο που πρέπει να επιλέξουµε. Στη γενική περίπτωση για

22i

i t i t i2t

nsin n n cos i sin 1n

θ > ⇒ θ = ± θ −

το πεδίο διέλευσης

( )2

2i it 0i 0 t i i2

t t

n nˆE x, y zt E exp ik n x sin y i sin 1n n⊥

⎡ ⎤⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟= − θ − ± θ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

2it 0i 0 t i i 0 t i2

t

nˆE x, y zt E exp ik n xn sin k n y i sin 1n⊥

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − θ − ± θ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

και πρέπει να επιλέξουµε την αρνητική ρίζα ώστε το πεδίο να φθίνει προς την y− κατεύθυνση. Με την επιλογή της αρνητικής ρίζας θέλουµε να βρούµε την αλλαγή φάσης σε ολική ανάκλαση.

( )( )

2 2i i t i t i0r

2 20i TE i i t i t i

n cos in n n sin 1EE n cos in n n sin 1

θ + θ −=

θ − θ −

που δίνει 2 2 2i i t1

i i

n sin n2 tan

n cos−⎛ ⎞θ −⎜ ⎟ϕ =⎜ ⎟θ⎝ ⎠

που µας λέει ότι η φασική αλλαγή στην ολική ανάκλαση από µηδέν στην κρίσιµη γωνία γίνεται +π στην γωνία grazing, σε αντίθεση µε τις σχέσεις Fresnel, όπου η φασική αλλαγή είναι από 0 έως –π, έχοντας επιλέξει τη θετική ρίζα το ηµίτονου.

Φαινόµενο µετατόπισης Goos-Hanchen Η φασική αλλαγή αυτή στη εσωτερική ανάκλαση φαίνεται να αντιστοιχεί σε µετατόπιση του επίπέδου ανάκλασης, όπως φαίνεται στο σχήµα και από τη σχέση

( ) ( )i i r r r i r i r i r r⋅ = ⋅ + α ⇒ − ⋅ = − ⋅ −αk r k r k k r r r k Για να ποσοτικοποιήσουµε την αλλαγή θεωρούµε µια δέσµη µε πεπερασµένη διατοµή

( ) ( ) ( ) ( )x xik x ik x2ii 0 x x r 0 x xA x A k e dk A x e A k e dk

∞ ∞− −ϕ

−∞ −∞

= ⇒ =∫ ∫

Για µεγάλες δέσµες, δηλαδή µικρή περιοχή τιµών xk , αναπτύσσουµε

( )0

0 x 0xx

k kk

ϕ

∂ϕϕ = ϕ + − +

∂

και µε αντικατάσταση

( )( )

( )

( )

0 x 0 xx 0 x

0 0 x xx 0 x

0 0 xx 0

2i k kk ik x

r 0 x x

2i k ik x 2k k0 x x

2i kk

ix

A x e A k e dk

e A k e dk

e A x 2k

ϕ

ϕ

ϕ

⎛ ⎞∂ϕ⎜ ⎟ϕ + − +∞⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞∂ϕ ⎛ ⎞∂ϕ⎜ ⎟ϕ + + ∞ − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞∂ϕ⎜ ⎟ϕ + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

=

=

⎛ ⎞∂ϕ= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫

∫

που µας δίνει για τη φασική αλλαγή σε ολική εσωτερική ανάκλαση

33

sx

2x 2k∂ϕ

=∂

και η δέσµη φαίνεται να ανακλάται µέσα από το µέσο µε το χαµηλό δείκτη διάθλασης, και το φαινόµενο είναι γνωστό σαν µετατόπιση Goos-Hanchen (Goos-Hanchen shift)

Frustrated ολική εσωτερική ανάκληση Θεωρούµε τη δέσµη φωτός που διαδίδεται σε ένα µέσο γυαλιού να υπόκειται σε εσωτερική ανάκλαση. Εάν υποθέσουµε ότι τοποθετούµε ένα άλλο κοµµάτι γυαλιού πάνω στην επιφάνεια, η διεπιφάνεια του γυαλιού µε τον αέρα θα λείψει και το κύµα θα διαδοθεί κανονικά. Περιµένουµε την ολική αυτή διάδοση να αλλάξει σε ολική ανάκλαση όπως χωρίζουµε τα δύο µέρη. Την αλλαγή αυτή µπορούµε να τη δούµε εάν υποθέσουµε ότι το επιφανειακό κύµα εκτείνεται σε κάποιο πλάτος σηµαντικό µέσα στο αραιό µέσο και βρίσκεται να υπάρχει και στο επόµενο πυκνό µέσο, ώστε να µπορεί να µεταφέρει ενέργεια σε αυτό. Έτσι αν το επιφανειακό κύµα είναι αρκετά ισχυρό να εκταθεί σε ένα άλλο πυκνό µέσο, µπορεί να οδηγήσει σε ταλάντωση σε ηλεκτρόνια στο δεύτερο µέσο (φαινόµενο ίδιο µε το κβαντικό φαινόµενο σήραγγας). Στη περίπτωση αυτή έχουµε την frustrated ολική εσωτερική ανάκλαση. ∆ιαχωριστές δέσµης κατασκευάζονται µε βάση το φαινόµενο αυτό.

Ανισοτροπικά υλικά Ένα υλικό είναι ισοτροπικό, όταν η επαγόµενη πόλωση p είναι παράλληλη µε το ηλεκτρικό πεδίο e , και ανάλογο µε αυτό µε µια σταθερά ανεξάρτητη µε την διεύθυνση διάδοσης µέσα στο υλικό. Ένα υλικό είναι ανισοτροπικό όταν τα επαγόµενα δίπολα µπορεί να είναι περιορισµένα προς ποια κατεύθυνση έχουν την δυνατότητα να κινηθούν, ώστε οι οπτικές ιδιότητες του υλικού να εξαρτούνται από την θέση και την διεύθυνση στο χώρο. Στη περίπτωση αυτή τα δίπολα δεν είναι παράλληλα στο πεδίο που τα επάγει. Αυτό σηµαίνει ότι οι παράµετροι ,ε µ εξαρτώνται από τη διεύθυνση διάδοσης και πόλωσης του η/µ πεδίου. Τα υλικά αυτά ανήκουν σε µια από τις 6 κατηγορίες κρυσταλλικών οµάδων εκτός της ισοτροπικής (οι οµάδες είναι οι τετραγωνική, τριγωνική, εξαγωνική, ορθοροµβική, µονοκλινής και τρικλινής). Η ανισοτροπία µπορεί να παρουσιασθεί σε σχέση µε τις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού µέσω του ε (e και d δεν είναι συγγραµµικά) ή σε σχέση µε τις µαγνητικές ιδιότητες µέσω του µ (b και h δεν είναι συγγραµµικά). Θα δούµε πρώτα τη περίπτωση για µη-αγώγιµα ( 0σ = ) και µη-µαγνητικά ( 0=m και 0µ ≈ µ ) υλικά. Έτσι η ανισοτροπία στις οπτικές ιδιότητες των υλικών αυτών εξαρτώνται από την διηλεκτρική σταθερά και από τις σχέσεις του Maxwell η σχέση µεταξύ του πεδίου µετατόπισης και του ηλεκτρικού πεδίου

( )0 01= ε + χ = ε χd e e δεν µπορεί να γραφεί µε την επιδεκτικότητα σαν µια σταθερά. Για ανισοτροπικά υλικά η τη διηλεκτρική σταθερά rε δίνεται από ένα τανυστή δεύτερης τάξης και πάρουµε µια σχέση

p e= ⋅ ⇒ =ε χ ε χ0 0p ei ij j

p e e ep e e ep e e e

1 0 11 1 12 2 13 3

2 0 21 1 22 2 23 3

3 0 31 1 32 2 33 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= + += + += + +

=L

NMMM

O

QPPP

ε χ χ χε χ χ χε χ χ χ

χχ χ χχ χ χχ χ χ

0 r= ε εd e

1 11 12 13 1

2 21 22 23 20

3 31 32 33 3r

d e1 d e

d e

ε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ε ε ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

όπου το χ είναι ο τανυστής της ηλεκτρικής επιδεκτικότητας. Από τη σχέση του πεδίου µετατόπισης D έχουµε

s2x

in

tn

34

i ij jj

d e= ε ⇔ = ε∑ d e

όπου ε είναι η διηλεκτρική επιτρεπτότητα ένας τανυστής 3 3× δευτέρου βαθµού, ο οποίος µε απουσία µαγνητικού πεδίου είναι συµµετρικός, δηλαδή ε εij ji= και έχει µόνο έξη ανεξάρτητα στοιχεία. Για να δείξουµε ότι ο τανυστής είναι συµµετρικός, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη διατήρηση της ενέργειας. Η πυκνότητα ενέργειας ενός ηλεκτρικού πεδίου σε διηλεκτρικό µέσο είναι

i ij ji, j

1 1W e e2 2

= ⋅ = ε∑e d

∆ιαφοροποιώντας παίρνουµε τη ροή ισχύος σε µονάδα όγκου ji

ij j ii, j

eW 1 e e et 2 t t

∂⎛ ⎞∂ ∂= ε +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑

Από το άνυσµα Poynting, που επίσης µας δίνει τη ροή ισχύος µέσα από µια µονάδα επιφάνειας

( )= ×

∇⋅ = ∇ ⋅ × = ⋅∇× − ⋅∇×

S e hS e h e h h e

Χωρίς ρεύµατα, και από τις σχέσεις Maxwell, παίρνουµε

t t∂ ∂

∇⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂d bS e h

Ο πρώτος όρος συνδέεται µε το ρυθµό αλλαγής της πυκνότητας ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου j

ij ii, j

eW et t t

∂∂ ∂= ⋅ = ε

∂ ∂ ∂∑de

Αυτές οι δύο σχέσεις ροής ισχύος πρέπει να είναι ισοδύναµες, άρα ij jiε = ε . Επίσης για καθορισµένες κατευθύνσεις µέσα στο ανισοτροπικό υλικό, µπορούµε να δώσουµε τον τανυστή της ε µε µόνο διαγώνια στοιχεία. Οι κατευθύνσεις αυτές είναι οι κύριες κατευθύνσεις (principal directions), ορίζουν τους κύριους άξονες ενός ορθογώνιου συστήµατος αξόνων (principal axis) αναφοράς για τη συγκεκριµένη κρυσταλλική οµάδα. Έτσι

p ep ep e

1 0 11 1

2 0 22 2

3 0 33 3

===

ε χε χε χ

Έχουµε επίσης και τις κύριες διηλεκτρικές σταθερές 11 xxε = ε , 22 yyε = ε και 33 zzε = ε ώστε 2 2 2

1 11 1 1 1 2 22 2 2 2 3 33 3 3 2d e n e d e n e d e n e= ε = = ε = = ε =

( ) ( ) ( )1 11 0 11 2 22 0 22 3 33 0 331 1 1ε = ε = ε + χ ε = ε = ε + χ ε = ε = ε + χ και

31 21 2 3

0 0 0

n n n εε ε= = =

ε ε ε

Υλικά µε 1 2 3n n n n= = = είναι τα ισοτροπικά υλικά (υλικά που ανήκουν στις οµάδες συµµετρίας ισοτροπική και κυβική) και έχουν ένα δείκτη διάθλασης. Όλες οι οπτικές παράµετροι του µέσου παραµένουν σταθερές. Ο ένας και µοναδικός δείκτης διάθλασης σηµαίνει επίσης ότι το υλικό δεν έχει οπτικό άξονα. Για τις οµάδες συµµετρίας τετραγωνική, τριγωνική και εξαγωνική, έχουµε 1 2 3ε = ε ≠ ε , άρα το υλικό έχει δύο διαφορετικούς δείκτες διάθλασης και τα υλικά είναι γνωστά σαν µονοαξονικά (uniaxial) ή διπλοθλαστικά (birefrigent) µε 1 2 on n n= = , µε on το τακτικό δείκτη διάθλασης (ordinary refraction index) και 3 en n= , µε en τον έκτακτο δείκτη διάθλασης (extraordinary refraction index). Η διαφορά στους δείκτες διάθλασης e on n n∆ = − δίνει το βαθµό διπλοθλαστικότητας του υλικού και κατατάσσει τα υλικά σε δύο κατηγορίες Όταν το

35

e on 0 n n∆ > ⇒ > έχουµε ένα θετικά µονοαξονικό µέσο, όπως ο χαλαζίας 2SiO , και για

e on 0 n n∆ < ⇒ < έχουµε αρνητικά µονοαξονικό µέσο, όπως ο ασβεστίτης 3CaCO . Όταν n 0∆ > , η τιµή του en κυµαίνεται µεταξύ e,max e on n n≥ ≥ και η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρικού πεδίου στις τιµές e.min e oυ ≤ υ ≤ υ , ώστε για µέγιστη τιµή του δείκτη διάθλασης να έχουµε και την ελάχιστη ταχύτητα. Όταν n 0∆ < , έχουµε e,min e on n n≤ ≤ και e.max e oυ ≥ υ ≥ υ αντίστοιχα. Η ισότητα e on n= και e oυ = υ είναι µια ειδική διεύθυνση µέσα στο διπλοθλαστικό µέσο που ορίζει και τον οπτικό άξονα του υλικού. Συνήθως ο άξονας αυτός ορίζεται και σαν τον z -άξονα. Όταν όλοι οι δείκτες διάθλασης είναι διαφορετικοί το υλικό είναι διαξονικό (biaxial) ή τριπλοθλαστικό (όπως η ορθοροµβική, µονοκλινής και τρικλινής οµάδα), όπου 1 2 3ε ≠ ε ≠ ε . Αναστρέφοντας την σχέση των πεδίων , έχουµε

1−= εe d Ορίζουµε τον τανυστή impermeability σαν η ε ε= −

o1 ώστε

0ε = ηe d Εφόσον ο ε είναι συµµετρικός, τότε και ο η θα είναι επίσης συµµετρικός, και

0 0 01 2 32 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1n n n

ε ε εη = = η = = η = =

ε ε ε

Ένας τανυστής δευτέρου βαθµού δίνει τους κανόνες που συνδέουν δύο ανύσµατα.. Ένας τέτοιος τανυστής θα έχει γενικά 9 στοιχεία σε τυχαίο σύστηµα αναφοράς. Η γεωµετρική απεικόνιση ενός συµµετρικού τανυστή είναι µια δευτεροβάθµια ελλειψοειδής επιφάνεια

ε ij i jij

x x∑ = 1 quadric representation

και στο κύριο σύστηµα αξόνων, δίνεται πιο απλά από ε ε ε1 1

22 2

23 3

2 1x x x+ + = µε τα µισά µήκη των κυρίων αξόνων να δίνονται από 1 2 31 , 1 , 1ε ε ε

Για τον τανυστή διαπερατότητας η ε ε= −o

1 έχουµε το ελλειψοειδές του δείκτη διάθλασης ή τον οπτικό indicatrix σαν την δευτεροβάθµια σχέση

ij i jij

x x 1η =∑ quadric representation

όπου η σχέση στο κύριο σύστηµα δίνεται από xn

xn

xn

12

12

22

22

32

32 1+ + =

µε 2 2 21 2 31 n ,1 n ,1 n τις ιδιοτιµές του η , ώστε

21

22

23

1 n 0 00 1 n 00 0 1 n

⎛ ⎞⎜ ⎟

η = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Για ένα ισοτροπικό υλικό, το ελλειψοειδές του δείκτη διάθλασης είναι σφαιρικό. Για ένα µονοαξονικό υλικό είναι ένα στερεό περιστροφής (solid of revolution) εφόσον περιµένουµε κυλινδρική συµµετρία. Για τη κυµατική εξίσωση, αν πάρουµε ένα µονοχρωµατικό αρµονικό και επίπεδο κύµα µε φασική ταχύτητα υ και κυµατάνυσµα k , έχουµε

36

( ) ( ) ( )

( )

2t t t

2t2

1 1 1c c c

1c

⎛ ⎞∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = − ∂ ∇× = − ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒∇ = ∂ +∇ ∇⋅

e e e b d

e d e CGS

( ) ( ) ( ) ( )( )

2t t t

2t

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∂ ∇× = −∂ ∂

⇒∇ = ∂ +∇ ∇⋅

e e e b d

e d e MKS

και έχουµε τη παρουσία ενός µη-µηδενικού όρου ( )∇ ⋅e . Αν αναζητήσουµε λύσεις του είδους ( ) ( )ˆi nk c ti te e ⋅ −ω⋅ −ω =

rk r τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t

0 0 0, t e , t e , t e⋅ −ω ⋅ −ω ⋅ −ω= = =k r k r k re r E d r D h r H

µε nˆ ˆkk kcω

= =k και 0 0 0, ,E D H τα σταθερά πλάτη των πεδίων. Με την αντιστοιχία για επίπεδα κύµατα

i∇→ k και t i∂ → − ω , έχουµε

( ) ( )

( )

1i ic

c

∇× = × = − − ω

⇒ = × =ω

E k E B

B k E H CGS

µε 0 1µ = µ = , και

( ) ( )

( ) ( )

1i ic

c c

∇× = × = − − ω

⇒ = − × = − ×ω ω

H k H D

D k H k B CGS

Απαλείφοντας το H έχουµε

( )2

2

c c c⎛ ⎞⎛ ⎞= − × × = − × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠D k k E k k E

( ) ( )

( )

2 22 22

2 2

2

c c n nkc c

n

⎡ ⎤ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − ⋅ − = − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

D k k E E E k k E

D E k k E

CGS

για κάποιο µη-µαγνητικό 0 1µ = , ανισοτροπικό µέσο. Τότε i 0∇⋅ = ⋅ ≠E k E αλλά i 0∇⋅ = ⋅ =D k D , και το κυµατάνυσµα k είναι κάθετο στο πεδίο µετατόπισης D , αλλά όχι στο E . Παρατηρούµε ότι Το άνυσµα H ταυτίζεται µε το B εφόσον 0 1µ ≈ µ ≈ . Τα ανύσµατα , ,H B D είναι κάθετα στο k . Το άνυσµα D είναι κάθετο στο επίπεδο του k και H . Βλέπουµε ότι τα ανύσµατα D , ( )B H και k σχηµατίζουν ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων. Επίσης το E δεν είναι κάθετο στο k . Το ,B H είναι κάθετα στο επίπεδο που σχηµατίζει το k και το E . Το άνυσµα D είναι κάθετο στο επίπεδο του k και ×k E . Βλέπουµε τότε ότι τα D , E και k βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, και το D και E είναι σε γωνία θ µεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το κυµατικό µέτωπο pw είναι κάθετο στο k µε φασική ταχύτητα

p kυ = ω , και το rw πλάγιο στο άνυσµα Poynting S µε ακτινική ταχύτητα (ray velocity) r p cosυ = υ θ .

1e

2e

4e

5e

S

k pυ

rυ

3epw

rw

E D

H

37

Κυµατική διάδοση σε ανισοτροπικά υλικά Από τη κυµατική εξίσωση

( )22 2

t∇ = ∂ +∇ ∇⋅e d e

και για αρµονικά πεδία, όπως παραπάνω έχουµε ( ) ( )2 2

0 0k = µ ω ε + + ⋅E E P k k E και µε

0 11 2 1 0 22 2 2 0 33 3 3ˆ ˆ ˆE x E x E x= ε χ + ε χ + ε χP έχουµε

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 11 1 1 22 2 2 33 3 3ˆ ˆ ˆk 1 E x 1 E x 1 E x−µ ε ω +χ + + χ + + χ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦E k k E

και οι τρεις σχέσεις για τις συνιστώσες

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22

11 1 12

22

22 2 22

22

33 3 32

k 1 E kc

k 1 E kc

k 1 E kc

⎡ ⎤ω− + χ = ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤ω

− + χ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ω

− + χ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

k E

k E

k E

µε τη χρήση των 0k c= ω και i iin 1= + χ έχουµε

( )( )( )

2 2 20 1 1 1

2 2 20 2 2 2

2 2 20 3 3 3

k k n E k

k k n E k

k k n E k

⎡ ⎤− = ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤− = ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤− = ⋅⎣ ⎦

k E

k E

k E

Συλλέγοντας τους όρους του πεδίου έχουµε το πίνακα 2 2 2 21 0 2 3 1 2 1 3 1

2 2 2 22 1 2 0 1 3 3 2 2

2 2 2 23 1 3 2 3 0 1 2 3

n k k k k k k k E 0k k n k k k k k E 0k k k k n k k k E 0

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

όπου τα ( )1 2 3k , k , k είναι οι συντεταγµένες του k , 0 0k c= ω , και ( )1 2 3n , n , n είναι οι κύριοι δείκτες διάθλασης. Ο πίνακας αυτός είναι µια τρισδιάστατη επιφάνεια του k . Η λύση του παραπάνω συστήµατος βρίσκεται όταν η ορίζουσα του πίνακα είναι µηδέν. Η σχέση που βγαίνει από αυτό συνδέει το ω µε το ki , µια µη-γραµµική σχέση γνωστή σαν σχέση διασποράς (dispersion relation)

ω ω= k k k1 2 3, ,b g Η τοµή της επιφάνειας µε το άνυσµα διάδοσης u , ορίζει και το άνυσµα k µε πλάτος 0k n c= ω που ορίζει και το δείκτη διάθλασης. Η k -επιφάνεια τέµνει κάθε ένα από τα κύρια επίπεδα σε έλλειψη ή κύκλο, όπως στα παρακάτω σχήµατα. Για ισοτροπικά υλικά 1 2 3n n n n= = = και οι δύο επιφάνειες γίνονται σφαίρες. Για διαξονικούς κρυστάλλους ( )1 2 3n n n< < οι επιφάνειες αυτές συναντιόνται σε τέσσερα σηµεία που ορίζουν και τους δύο άξονες του υλικού, όπως στο πρώτο σχήµα Για µονοαξονικούς κρυστάλλους

1 2 o

3 e

n n nn n= =

=

3k

O.A. 1n

1k

2k

2n

3n 3n

321 nnn <<

διαξονικόµέσο

ισοτροπικό µέσο2k

1k

3k

n

38

οι δύο επιφάνειες γίνονται µια σφαίρα και ένα ελλειψοειδές περιστροφής, που συναντιόνται σε δύο σηµεία, που ορίζουν και τον οπτικό άξονα του µέσου ή τον άξονα z Από την ορίζουσα του πίνακα της επιφάνειας για τους δείκτες διάθλασης, έχουµε

( )22 2

2 2 2 2 2 2 31 2o 0 1 2 3 0 2 2

e o

kk kn k k k k k 0n n

⎡ ⎤+⎡ ⎤− + + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

που µας δίνει δύο λύσεις 2 2 2 2 2 2

1 2 3 o 0k k k k n k= + + = εξίσωση για σφαιρική επιφάνεια 22 2

231 202 2

e o

kk k kn n+

+ = εξίσωση του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής

Θετική διπλοθλαστικότητα Για τη περίπτωση της θετικής διπλοθλαστικότητας µε e on n> και e oυ < υ , έχουµε µια εσωτερική σφαιρική επιφάνεια ok και µια εξωτερική ελλειπτική επιφάνεια ek , όπως στο σχήµα. Οι επιφάνειες αυτές τέµνονται σε δύο σηµεία M και M′ τα οποία ορίζουν και τον οπτικό άξονα του κρυστάλλου. Στους άξονες 1k και 2k έχουµε e 0 o 0n k n k> , άρα e on n> και e oυ < υ ενώ στον 3k έχουµε e on n= και e oυ = υ . Αν πάρουµε το k στην κατεύθυνση του 3k τότε το E κύµα είναι στην κατεύθυνση του οπτικού άξονα. Τότε το τακτικό και έκτακτο κύµα κινούνται στην ίδια κατεύθυνση µε την ίδια ταχύτητα και έχουν µηδενική διαφορά φάσης, άρα δεν παρατηρούµε και κάποια διπλοθλαστικότητα. Αν το κυµατάνυσµα k είναι στην κατεύθυνση 1k ή του 2k τότε το E κύµα είναι κάθετο στον οπτικό άξονα, οι δύο δείκτες διάθλασης είναι άνισοι και ειδικά e e,maxn n= και e e,minυ = υ . Το τακτικό και έκτακτο κύµα κινούνται στην ίδια κατεύθυνση, µε το έκτακτο σε µικρότερη ταχύτητα ώστε να έπεται του τακτικού, αλλά πάλι δεν παρατηρούµε κάποια διπλοθλαστικότητα. Για τη πιο γενική περίπτωση , όπου το k έχει µια τυχαία κατεύθυνση µε γωνία θ µε τον 3k άξονα, όπως και το E κύµα, τότε έχουµε άνισους δείκτες διάθλασης και το τακτικό διαχωρίζεται από το έκτακτο, ώστε να παρατηρούµε διπλοθλαστικότητα.

Αρνητική διπλοθλαστικότητα Όταν e on n< και e oυ > υ , τότε έχουµε µια εξωτερική σφαιρική επιφάνεια ok και

µια εσωτερική ελλειπτική επιφάνεια ek . Στη γενική περίπτωση όπου το k έχει γωνία θ µε τον οπτικό άξονα, το έκτακτο κύµα προηγείται του τακτικού και παρατηρούµε διπλοθλαστικότητα.

Ακτίνες, κυµατικά µέτωπα και µεταφορά ενέργειας Μπορούµε να δούµε τη διάδοση κυµάτων µέσα σε ανισοτροπικά υλικά καλλίτερα µε την ανάλυση της σχέσης της επιφάνειας k µέσα από το ω ω= k k k1 2 3, ,b g και δίνεται από την ορίζουσα του πίνακα της παραπάνω εξίσωσης πίνακα, όταν η ορίζουσα γίνεται µηδέν. Η επιφάνεια αυτή k περιγράφει την µεταβολή της φασικής ταχύτητας c k= ω µε την διεύθυνση διάδοσης υ . Η απόσταση από την αρχή των αξόνων µέχρι την επιφάνεια είναι αντιστρόφως ανάλογη µε την φασική ταχύτητα.

Ο.Α.

θετικό µονοαξονικόµέσο

1k 2k

3k

en

on

Ο.Α.

1k

2k

3k

en

on

Ο.Α.

2k

3k

( )en θon

M

M′

Ο.Α.

2k

3k

( )en θ

on M

M′

39

Η οµαδική ταχύτητα gυ δίνεται επίσης από την επιφάνεια k , σε αναλογία µε την g d dkυ = ω για τα πακέτα φωτός, όπου η οµαδική ταχύτητα των ακτίνων ορίζεται από την βαθµωτή µεταβολή του ω σε σχέση µε το k

υg k= ∇ ω kb g επειδή ω k k k cons t1 2 3, , tanb g = τότε υg⊥k και οι ακτίνες διαδίδονται σε κατεύθυνση κάθετη σε αυτή του k .

Το άνυσµα του Poynting S E H= ×12

είναι επίσης κάθετο στην επιφάνεια του k .

Ας θεωρήσουµε τις εξισώσεις του Maxwell k H D k E H× = − × =ω ωµo

µε σταθερή συχνότητα ω για δύο ανύσµατα k και + ∆k k Από τις εξισώσεις έχουµε ∆k S⋅ = 0 ώστε το S είναι κάθετο στην επιφάνεια k και το S είναι παράλληλο στο άνυσµα οµαδικής συχνότητας gυ . Τα κυµατικά µέτωπα είναι κάθετα στο k καθώς η φάση είναι ⋅k r Έχουµε επιφάνεια k είναι σφαιρική: (ισοτροπικά υλικά) Έχουµε οπτική ισοτροπία στο επίπεδο 2 3k k . Θεωρούµε ένα κυµατάνυσµα πάνω στο επίπεδο 2 3k k σε γωνία 0θ προς τον 3k -άξονα. Έτσι για µια σηµειακή πηγή στην αρχή των αξόνων, τα κύµατα που πηγάζουν έχουν σφαιρική µορφή και οι οµοκεντρικές ισοφασικές επιφάνειες τους δηµιουργούν τη σφαιρική 0k επιφάνεια. Σε οποιοδήποτε σηµείο 0P τα κυµατικά µέτωπα 0w κινούνται µε φασική ταχύτητα pυ = υ στην

κατεύθυνση 0k µε 0 p2p

ω= υυ

k

Το k είναι κάθετο σε κάθε σηµείο της σφαιρικής επιφάνειας, έχει την ίδια διεύθυνση µε την φασική ταχύτητα pυ , και είναι συγγραµµικό µε τα πεδία ,D E άρα και µε το S τη ροή ενέργειας. επιφάνεια k ελλειπτική: (ανισοτροπικά υλικά) Έχουµε ανισοτροπία και θα δούµε τη περίπτωση όπου e on n> , όπου το ελλειψοειδές περιβάλλει τη σφαιρική επιφάνεια. Έτσι για µια σηµειακή πηγή στην αρχή των αξόνων, τα eE κύµατα έχουν ελλείψεις για ισοφασικές επιφάνειες. Το σηµείο eP της έλλειψης κινείται προς τα έξω µε ακτινική ταχύτητα rυ και το S µετατοπίζεται παράλληλα, σχηµατίζοντας γωνία sθ µε το 0k . Έτσι το ok έχει ισοφασικές επιφάνειες oW που κινούνται µε φασική ταχύτητα pυ και η κατεύθυνση είναι συγγραµµική µε αυτό. Για το ek , είναι κάθετο στην ελλειπτική επιφάνεια στο eP και είναι συγγραµµικό µε την rυ . Είναι κάθετο του E αλλά σχηµατίζει γωνία sθ µε το D και είναι συγγραµµικό του S . Οι ελλειπτικές ισοφασικές επιφάνειες eW κινούνται µε ακτινική ταχύτητα r p cos= θυ υ . Για γωνίες eθ µεταξύ του ek και του 3k (του οπτικού άξονα) και 0θ µεταξύ του 0k και του 3k , έχουµε

2 2e e

2 2 2r 0 e

cos sin1n nθ θ

= +υ

για την ακτινική ταχύτητα µε την οποία κινούνται τα κυµατικά µέτωπα ew στις ελλειπτικές ισοφασικές επιφάνειες. Η µέγιστη γωνία µεταξύ των κυµατανυσµάτων είναι για 0 e 0tan n nθ = , άρα

S

επιφάνεια k

k3k

2kθ

E

S k

επιφάνειες k

D

40

2 20 e

max0 e

n ntan2n n−

θ =

Επιφάνεια δείκτη διάθλασης Ανάλογα µε τις επιφάνειες k έχουµε και τις επιφάνειες του δείκτη διάθλασης. Ορίζουµε ένα σύστηµα αναφοράς µε τους κύριους άξονες του κρυστάλλου, όπου και ο διηλεκτρικός τανυστής είναι διαγώνιος, ώστε ij ii iε = ε = ε , και παίρνουµε τη σχέση

22 231 2

2 2 21 2 3

xx x 1n n n

+ + =

Ισοτροπικά υλικά Για τα ισοτροπικά υλικά και της κυβικής συµµετρίας, 1 2 3n n n n= = = και παίρνουµε µια σφαιρική επιφάνεια και για τυχαία κατεύθυνση διάδοσης θ από τον 3n άξονα έχουµε ( )n nθ = .

Μονοαξονικά υλικά Με 1 2 on n n= = και 3 en n= έχουµε ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής και τον 3n άξονα για τον οπτικό άξονα. Όταν το k είναι στην κατεύθυνση του οπτικού άξονα, τότε ο 1n και 2n βρίσκονται στο 1 2x x επίπεδο και βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο, και τα ανύσµατα 1 2D D που είναι κάθετα στο k βρίσκονται και αυτά πάνω στον ίδιο κύκλο µε

2 21 1 1 2 2 2D n E D n E= =

Όταν το k βρίσκεται στην κατεύθυνση του 1x ή του 2x άξονα,, τότε οι δείκτες διάθλασης βρίσκονται στο 2 3x x ή στο 1 3x x επίπεδο αντίστοιχα, που είναι µια έλλειψη µε άξονες en και on . Έτσι

2232

2 2o e

xx 1n n

+ = ή 2231

2 2o e

xx 1n n

+ =

και 2 2 2 2

2 2 2 o 2 3 3 3 e 3D n E n E D n E n E= = = = ή 2 2 2 2

1 1 1 o 1 3 3 3 e 3D n E n E D n E n E= = = = Όταν το k έχει µια τυχαία κατεύθυνση και σχηµατίζει γωνία θ µε τον 3n άξονα (οπτικός άξονα) τότε είναι κάθετο σε µια έλλειψη από τοµή του ελλειψοειδούς. Ο δείκτη διάθλασης µεταβάλλεται µεταξύ

( )1 o e 3 en n n n n= ≤ θ ≤ = . Το επίπεδο που ορίζεται από τον οπτικό άξονα και το k είναι το κύριο επίπεδο (principal plane) του συστήµατος και οι άξονες της έλλειψης είναι κάθετος και παράλληλος στο επίπεδο αυτό. Έτσι για e on n> το oD βρίσκεται κάθετο στο κύριο επίπεδο και το eD παράλληλο σε αυτό. Στη περίπτωση αυτή έχουµε

( ) ( )1 e 3 esin x n cos x nθ = θ θ = θ άρα για θετικά µονοαξονικό υλικό το ελλειψοειδές του δείκτη διάθλασης δίνεται από

( )2 2

2 2 2e e e

1 cos sinn n n

θ θ= +

θ

on

k

2n

3n

1n

onk

2n

3n

1n en

on k 2n

3n

1n en

k

2n

3n

1n

41

που κυµαίνεται µεταξύ ( )e en nθ = για 0θ = και ( )e on nθ = για 90θ = .

∆ιαξονικά υλικά Όταν έχουµε ένα διαξονικό υλικό µε 1 2 3n n n< < , ,ορούµε να δούµε µερικές ειδικές περιπτώσεις όπου το k βρίσκεται σε κάποια από τα κύρια επίπεδα του κρυστάλλου και έχουµε (α) στο κύριο επίπεδο 1 2x x και το k µεταβάλλεται όπως στο σχήµα, όπως περιστρέφεται γύρω από τον

3x άξονα. Στη περίπτωση αυτή η κυκλική επιφάνεια περικλείει τη ελλειπτική, χωρίς να εφάπτονται. Όπως το k περιστρέφεται, ο δείκτη διάθλασης παραµένει σταθερός 3n στην κυκλική επιφάνεια, και µεταβάλλεται στη ελλειπτική µεταξύ ( )1 e 2n n n< θ < (β) στο κύριο επίπεδο 2 3x x και το k µεταβάλλεται όπως στο σχήµα, όπως περιστρέφεται γύρω από τον

1x άξονα. Στη περίπτωση αυτή η κυκλική επιφάνεια περικλείεται από την ελλειπτική χωρίς να εφάπτονται, µε 1n στην κυκλική και στην ελλειπτική επιφάνεια, όπως στο σχήµα. (γ) ) στο κύριο επίπεδο 1 3x x και το k µεταβάλλεται όπως στο σχήµα, όπως περιστρέφεται γύρω από τον

2x άξονα. Στη περίπτωση αυτή ο 2n βρίσκεται µεταξύ των 1n και 3n . Έτσι η κυκλική επιφάνεια τέµνεται από την ελλειπτική σε τέσσερα σηµεία, που ανά ζεύγος ορίζουν και τους δύο οπτικούς άξονες του µέσου. Οι οπτικοί άξονες είναι συµµετρικοί ως προς τον 3x και σχηµατίζουν γωνία ζ µεταξύ τους

2 23 2 1

2 21 3 2

n n ntann n n

−ζ = ±

−

Το επίπεδο που περιέχει τους δύο οπτικούς άξονες είναι το οπτικό επίπεδο (optical plane). Η οπτική γωνία µεταβάλλεται µεταξύ 0 180< ζ < , και για 90ζ < ο κρύσταλλος είναι θετικός, ενώ για

90ζ > ο κρύσταλλος είναι αρνητικός. Όταν 90ζ = ή 180ζ = , τότε 2 1n n= και οι οπτικοί άξονες συµπίπτουν και έχουµε µονοαξονικό κρύσταλλο µε θετική ή αρνητική διπλοθλαστικότητα αντίστοιχα.

∆ιπλοθλαστικότητα ∆ιάθλαση ενός επίπεδου κύµατος στην επιφάνεια µεταξύ ενός ισοτροπικού και ενός ανισοτροπικού υλικού µας δίνει το φαινόµενο της διπλοθλαστικότητας. Τα κύµατα στα δύο υλικά πρέπει να ταιριάζουν στην κοινή επιφάνεια. Οι συνθήκες φασικής συµφωνίας ορίζουν ότι k ko sin sinθ θ1 = , και εφόσον ( ) 0k n k= θ τότε

( )0 1 0k sin k n sinθ = θ θ άρα

( )1sin n sinθ = θ θ τροποποιηµένος νόµος του Snell Ας θεωρήσουµε ένα µονοαξονικό κρύσταλλο και ένα επίπεδο πρόσπτωσης παράλληλο µε το οπτικό άξονα. Τότε η επιφάνεια k τέµνει το επίπεδο της πρόσπτωσης σε µια έλλειψη και ένα κύκλο. Τα κύµατα που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες είναι Ένα τακτικό κύµα µε εγκάρσια πόλωση (TE) µε oθ = θ όπου sin sinθ θ1 = no o Ένα έκτακτο κύµα µε παράλληλη πόλωση (TM) µε eθ = θ όπου sin sinθ θ θ1 = n e eb g και

12

2

2

2

2n n ne

e

o

e

eθθ θ

b g = +cos sin

Στο σχήµα φαίνεται η διάθλαση ακτίνων στη περίπτωση κάθετης πρόσπτωσης σε ένα µονοαξονικό κρύσταλλο µε οπτικό άξονα ούτε παράλληλο ούτε κάθετο στην επιφάνεια.

42

k ′k

ok

ek

O.A.

3x

2x

1x

1x

3x

2x

k′k

ok

ek

O.A.

1x

3x

2x

k ′k

ok

ek

O.A.

1x

3x

2x

k′k

ok

ekO.A.

Ανισοτροπικά αγώγιµα υλικά Αν θεωρήσουµε ένα µονοχρωµατικό, αρµονικό και επίπεδο η/µ κύµα σε ένα αγώγιµο ανισοτροπικό και µαγνητικό µέσο, οι σχέσεις του Maxwell δίνονται από τις σχέσεις

t t

0 01 1 4c c c

∇⋅ = ∇ ⋅ =π

∇× = − ∂ ∇× = ∂ +

d b

e b h d j στο σύστηµα cgs

και

t t

0 0∇⋅ = ∇ ⋅ =∇× = −∂ ∇× = ∂ +

d be b h d j

στο σύστηµα MKS

Επίσης ο τανυστής επιδεκτικότητας ijε και ο τανυστής αγωγιµότητας ijσ πρέπει να υπολογισθούν. Όπως και στη περίπτωση της επιδεκτικότητας έχουµε τρεις κύριους άξονες, το ίδιο ισχύει και για την αγωγιµότητα, και συνήθως οι άξονες αυτοί δεν συµπίπτουν για τους δύο τανυστές, εκτός για τις υψηλής συµµετρίας κρυσταλλικές οµάδες όπως την τετραγωνική, την τριγωνική και την εξαγωνική. Περιµένουµε έτσι

11 12 13 xx xy xz

21 22 23 yx yy yz

31 32 33 zx zy zz

⎛ ⎞σ σ σ σ σ σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟σ = σ σ σ = σ σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ σ σ σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

και η σχέση = σj e µας δίνει τις συνιστώσες

i ij jj e= σ∑ Μέσα από τις σχέσεις Maxwell και την ταυτότητα

43

( ) ( ) ( )2t t t

1 1 1 4c c c c

π⎛ ⎞∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = − ∂ ∇× = − µ∂ ∂ +⎜ ⎟⎝ ⎠

e e e b d j

ώστε

( )22 2

2 t

4c cµ π⎛ ⎞∇ = ∂ + +∇ ∇⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

e d j e στο cgs

τη διαφορική εξίσωση για ένα ανισοτροπικό, µαγνητικό και αγώγιµο υλικό. Στη παραπάνω σχέση πρέπει να αντικαταστήσουµε τα ,d j τις συναρτήσεις µε τους τανυστές ij ij,ε σ . Επιπλέον για αγώγια υλικά έχουµε και την αντικατάσταση της πραγµατικής διηλεκτρικής επιδεκτικότητας µε τη µιγαδική µορφή της

ij ij ij ij4i π

ε → ε = ε + σω

Για το η/µ κύµα που χρησιµοποιούµε, ( ) ( )ˆi nk c ti te e ω ⋅ −⋅ −ω =rk r µε το n µια µιγαδική σχέση, όπως και το k .

Με το επίπεδο αρµονικό κύµα έχουµε ti , i∇→ ∂ → ωk , ώστε

( )1i ic

c

∇× = × = − − ω

⇒ = ×ω

e k e b

B k E

και

( ) ( )

( )2

2

1 4 1i i ic c

4 ci

π∇× = × = − ω + = ×

µ

π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ µ + = − × ×⎢ ⎥ ⎣ ⎦ω ω⎣ ⎦

h k h d j k b

D J k k E

και οι δύο σχέσεις στο σύστηµα cgs. Αν ο µιγαδικός διηλεκτρικός τανυστής είναι συµµετρικός, τότε ij ji jε = ε = ε , και καταλήγουµε στη σχέση

( ) ( )

i i i i i i i i i

2 22

i i i i

4 4 4D i J E i E i Ec

c n ˆ ˆk k E n E k kc

π π π⎛ ⎞+ = ε + σ = ε + σ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠E E

Απορρόφηση και διασπορά Σχέση του Maxwell Μέσο κ e n

Αέρια σε 00 C και 1 atm Αέρας 1,000294 1,000293 Ήλιο 1,000034 1,000036 Υδρογόνο 1,000131 1,000132 ∆ιοξείδιο του Άνθρακα 1,00049 1,00045 Υγρά σε 200 C Βενζίνη 1,51 1,501 Νερό 8,96 1,333 Εθανόλη 5,08 1,361 Τετραχλωριούχος Άνθρακας 4,63 1,461 ∆ιθιικός Άνθρακας 5,04 1,628 Στερεά σε 200 C ∆ιαµάντι 4,06 2,419

44

Κεχριµπάρι 1,6 1,55 Fused Silica 1,94 1,458 Χλωριούχο Νάτριο 2,37 1,50 Οι τιµές του κ e αναφέρονται σε πολύ χαµηλές συχνότητες, κοντά στα 60 Hz , σε αντίθεση µε τις τιµές του n που συνήθως µετράται σε συχνότητες 0 5 1015, × Hz Η αλληλεπίδραση η/µ πεδίων µε την ύλη περιγράφεται µέσα από τον δείκτη διάθλασης του υλικού, και είναι η πλέον σηµαντική οπτική παράµετρος. Για τα διηλεκτρικά υλικά ο δείκτης διάθλασης είναι πραγµατικός, ενώ για τα αγώγια µιγαδικός. Ο δείκτης διάθλασης ορίζεται από το λόγο της ταχύτητας της ακτινοβολίας στο κενό προς την ταχύτητα της στο µέσο. Η φασική ταχύτητα 0 0 0c 1= µ ε στο κενό και

c = 1 µε σε ένα µέσο. Εφόσον ε ε µ µ0 0< <, τότε c c< 0 . Ο λόγος των ταχυτήτων είναι

n c c= =0 0 0εµ ε µ στο σύστηµα MKS και 0n c c= = εµ στο cgs. Σε σχέση µε τη σχετική επιδεκτικότητα του ηλεκτρικού πεδίου eκ και διαπερατότητα του µαγνητικού πεδίου mκ , έχουµε

n e m= κ κ . Για τα πιο πολλά υλικά, έχουµε µια πολύ ασθενή έως ανύπαρκτη µαγνήτιση ώστε το κm

είναι η µονάδα εφόσον 0 1µ ≈ µ ≈ (εκτός από τα σιδηροµαγνητικά), ώστε n e= =κ ε ε0 , µια σχέση γνωστή σαν την σχέση Maxwell. Η σχέση αυτή όµως ισχύει για πολύ περιορισµένες συνθήκες, όπως για χαµηλές συχνότητες και απλά αέρια και υλικά, και αυτό γιατί η επιδεκτικότητα ε και ο δείκτης διάθλασης n εξαρτώνται από τη συχνότητα µέσα από τη σχέση της διασποράς (dispersion relation). Έχουµε δύο βασικά ερωτήµατα, όσο αφορά το λόγο που το n εξαρτάται από τη συχνότητα, και ποιος είναι ο µηχανισµός ώστε η φασική ταχύτητα σε ένα µέσο να είναι διαφορετική από αυτή του κενού. Για να απαντηθούν αυτές οι ερωτήσεις πρέπει να δούµε την αλληλεπίδραση ύλης µε την η/µ ακτινοβολία σε µικροσκοπικό επίπεδο. Ένα άτοµο που αλληλεπιδρά µε τα φωτόνια µπορεί, ανάλογα µε τη συχνότητα των φωτονίων, να τα σκεδάσει σε διαφορετικές διευθύνσεις χωρίς άλλη αλλαγή, ή αν η συχνότητα είναι σωστή να τα απορροφήσει και να διεγερθεί. Σε τυπικές πυκνότητες ύλης, η απορρόφηση αυτή θα µεταφέρει την ενέργεια σε άλλες µορφές ενέργειας µέσα από πολλές κρούσεις, πριν µπορέσει να επανα-εκπεµφθεί. Αυτή η διαδικασία απώλειας είναι η (dissipative absorption). Στη πρώτη περίπτωση, της εκτός συντονισµού σκέδασης, τα άτοµα διαταράσσονται από το η/µ πεδίο και τα δέσµια ηλεκτρόνια ταλαντώνονται µε το πεδίο. Το σύστηµα αρχίζει αµέσως να εκπέµπει στην ίδια συχνότητα που διεγείρεται. Το φωτόνιο φεύγει προς τυχαίες κατευθύνσεις µε την ίδια ενέργεια και η σκέδαση είναι ελαστική. Η διαδικασία αυτή είναι συνεχής σχεδόν, εφόσον γίνεται σε πολύ γρήγορους ρυθµούς , ~ sec108 1− . Τα άτοµα ή µόρια έχουν επίσης µια µεγάλη ενεργό διατοµή για να σκεδάζουν η/µ

κύµατα. Έτσι ακόµα και σε χαµηλές ακτινοβολίες της ύλης, ~ 10 2 2− −Wm , τα άτοµα µπορούν να

εκπέµπουν τεράστιες ποσότητες τέτοιων φωτονίων, 108 , ώστε να συµπεριφέρεται σαν µια σηµειακή πηγή σφαιρικών κυµάτων. Τα επαγόµενα δίπολα συνεισφέρουν και αυτά στο ολικό πεδίο. Η συνεισφορά αυτή πρέπει να ενσωµατωθεί στις σχέσεις του Maxwell που βλέπει την ύλη σαν µια συνεχή κατανοµή. Η διπολική αυτή ροπή είναι γνωστή σαν ηλεκτρική πόλωση P και στην απλή της µορφή δίνεται από τη σχέση p e= −ε ε0b g . Έχουµε τρεις κύριες συνεισφορές στη πόλωση αυτή. Για πολικά µόρια, το η/µ πεδίο µπορεί να δηµιουργήσει µία πόλωση διεύθυνσης (orientational polarization), όπου τα µόρια τείνουν να ευθυγραµµισθούν µε το πεδίο. Για µη-πολικά µόρια ή άτοµα το πεδίο παραµορφώνει απλά το ηλεκτρονιακό νέφος που µας δίνει την ηλεκτρονική πόλωση (electronic polarization) και στη τρίτη περίπτωση, για ιόντα, µπορούµε να µετατοπίσουµε ιόντα (θετικά ή αρνητικά) από τις θέσεις ισορροπίας τους (ionic polarization). Σε υψηλές συχνότητες οι πυρηνικές κινήσεις δεν µπορούν να ακολουθούν το η/µ πεδίο, λόγω µεγάλης αδράνειας και η συνεισφορά τους στο δείκτη διάθλασης ελαττώνεται µε την συχνότητα. Αντίθετα το ηλεκτρονιακό νέφος µε µικρή αδράνεια, µπορεί να ακολουθεί τις ταλαντώσεις του πεδίου και να συνεισφέρει στο δείκτη διάθλασης, και πέρα από το ορατό φάσµα.

45

Από τη θέση ισορροπίας περιµένουµε µικρές αποκλίσεις, ώστε να έχουµε µια δύναµη επαναφοράς σχετικά αρµονική του είδους F kx= − , και µε συχνότητα συντονισµού (resonance frequency) ή φυσική συχνότητα (natural frequency) ω = k me . Η δύναµη που το εξωτερικό πεδίο εξασκεί στο ηλεκτρονιακό νέφος είναι η

( )e e t=F e που µας δίνει µια εξίσωση κίνησης

e t m e x m d xdt

eE t m e xe e eeb g − = = −ω ω ω02

2

2 0 02cos

µε λύση τύπου x t x tb g = 0 cosω , που µε αντικατάσταση γίνεται

x et e m E t e m te eb g c h c h b g=−

=−ω ω

ωω ω0

2 2 002 2cos

Όταν το εξωτερικό πεδίο ταλαντώνεται σε συχνότητα ω ω< 0 , κάτω από τη συχνότητα συντονισµού, το e tb g και το x tb g έχουν το ίδιο πρόσηµο και ταλαντώνονται σε φάση µεταξύ τους. Όταν ω ω< 0 , τότε βρίσκονται εκτός φάσης. Εφόσον η διπολική ροπή είναι το φορτίο επί την σχετική αλλαγή της απόστασης, και έχοντας N άτοµα ή µόρια ανά µονάδα όγκου, βρίσκουµε για το επαγόµενο πεδίο ηλεκτρικής πόλωσης

p x et eN t Nem

te

b g b g c h b g= =−

2

02 2ω ω

ώστε η επιδεκτικότητα του µέσου να είναι

ε ε εω ω

= + = +−0 0

2

02 2

pe

ett

Nem

te

b gb g c h b g

Από τη σχέση για το δείκτη διάθλασης n20= ε ε , παίρνουµε τη παρακάτω σχέση για την εξίσωση της

διασποράς

n Neme

22

0 02 21ω

ε ω ωb g c h= +

−

Για συχνότητες πάνω από τη συχνότητα συντονισµού, η µετατόπιση x tb g είναι εκτός φάσης µε το πεδίο e tb g , ώστε και η επαγόµενη πόλωση και ο δείκτης διάθλασης θα είναι εκτός φάσης, άρα µικρότερος της µονάδας. Κάτω από συντονισµό, θα είναι µεγαλύτερος από τη µονάδα. Από τα παραπάνω

n Nem n

mNee

e22

0 02 2 2

02 0

2 21 11

ωε ω ω

εω ωb g c h c h− =

−⇒

−= −

και µε ω π λ= 2 c και C m Nee= 4 20

2π ε έχουµε

n C C2 1

02 21− = −

− − −c h λ λ Είναι όµως γνωστό, ότι τα πιο πολλά υλικά έχουν πολλαπλές συχνότητες συντονισµού, που κάνει το δείκτη διάθλασης να αυξοµειώνεται n >1 και n <1, όπως η συχνότητα αυξάνεται. Μπορούµε να γενικεύσουµε τη παραπάνω σχέση µε το γεγονός αυτό

n Nem

f

e

i

i

22

0 02 21ω

ε ω ωb g c h= +

−∑

µια σχέση σχεδόν ισοδύναµη µε αυτή που βρίσκουµε από τη κβαντική θεώρηση του προβλήµατος. Εάν στη εξίσωση κίνησης είχαµε προσθέσει και ένα όρο απόσβεσης m dx dteγ , τότε θα είχαµε τη σχέση

n Nem

fie

i

ii

22

0 02 21ω

ε ω ω γ ωb g c h= +

− +∑

46

Για µια συχνότητα συντονισµού η παραπάνω απλοποιείται στην

( ) ( )2

22 2

0 e 0

Ne 1n 1m i

ω = +ε ω −ω + γω

για την εξίσωση διασποράς. Γράφουµε τότε τη µιγαδική σχέση σε πραγµατικά και φανταστικά µέρη ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2R I R I R I

2

2 20 e 0

n n in n 1 i n n i2n n

Ne 11m i

ω = + ≡ + κ = − +

= +ε ω −ω + γω

που µας δίνει

( ) ( )( )

( )

2 2222 2 2 0

R I 22 2 2 20 e 0

22

R I 22 2 2 20 e 0

Nen n n 1 1m

Ne2n n 2nm

ω −ω− = + κ = +

ε ω −ω + γ ω

γω= κ =

ε ω −ω + γ ω

για να βρούµε τις παραµέτρους Rn n= και In n= κ για ένα διηλεκτρικό υλικό. Το σχήµα δίνει τη γραφική απεικόνιση του δείκτη διάθλαση σαν συνάρτηση της συχνότητας. Για τη περιοχή 2ω< ω βρισκόµαστε στη περιοχή οµαλής διασποράς (normal dispersion) και ο δείκτης διάθλασης είναι πραγµατικός και µεγαλύτερος της µονάδας, µέχρι τη µέγιστη τιµή. Όπως το µήκος κύµατος µικραίνει ο δείκτης διάθλασης αυξάνει. Για τη περιοχή 2 3ω < ω< ω βρισκόµαστε στη περιοχή όπου τα δέσµια ηλεκτρόνια είναι σε συντονισµό µε τη συχνότητα του πεδίου, και έχουµε το φαινόµενο της απορρόφησης. Το µέγιστο του δείκτη διάθλασης είναι στο 2ω = ω και το ελάχιστο στο 3ω= ω . Μεταξύ των δύο αυτών τιµών ο δείκτης διάθλασης µειώνεται και είµαστε στη περιοχή της ανώµαλης διασποράς (anomalous dispersion). Στη τιµή 0ω = ω έχουµε

2

0 e

Ne 1n 1 im

= +ε γω

άρα Rn 1= και 2

I0 e

Ne 1nm

=ε γω

, σηµείο όπου και το φανταστικό µέρος παίρνει τη µέγιστη τιµή του.

Για τη περιοχή 3ω > ω , ο δείκτης διάθλασης συνεχίζει να αυξάνει, και βρισκόµαστε πάλι σε µια περιοχή µε οµαλή διασπορά. Για αραιά µέσα, όπως τα αέρια, η παραπάνω σχέση αρκεί. Στη συµπυκνωµένη ύλη όµως, έχουµε και το φαινόµενο της διόρθωσης του τοπικού πεδίου (local field correction) που διαµορφώνει τη παραπάνω σχέση στη παρακάτω

nn

Nem

fie

i

ii

2

2

2

0 02 2

12

ωω ε ω ω γ ωb gb g c h

−+

=− +∑

Όταν η συχνότητα του πεδίου είναι µακριά από συχνότητες συντονισµού ω ω ω0 0 1i i<< << + , τότε ο όρος ω ω ω0

2 202

i − ≈c h ώστε να µπορούµε να αγνοήσουµε την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από τη συχνότητα του πεδίου και να τον θεωρήσουµε σταθερό. Όπως η συχνότητα του πεδίου αρχίζει να πλησιάζει µια συχνότητα συντονισµού ο δείκτης διάθλασης αρχίζει να αυξάνεται, και έχουµε τη περιοχή της οµαλής διασποράς (normal dispersion). Η περιοχή γύρω από τον συντονισµό, όπου και το σύστηµα απορροφά φωτόνια από τη δέσµη, έχει dn dω αρνητικό, και βρισκόµαστε στη περιοχή της ανώµαλης διασποράς (anomalous dispersion)

0 1 2 3 4 5 6ωω

2ω

3ω

0ω 4ω1ω

οµαλή περιοχή

οµαλή περιοχή

ανώµαλη περιοχή

47

Περιοχές η/µ κυµάτων • Ραδιοκύµατα (radio waves)- µερικά Hz έως 109 Hz , µήκος κύµατος km έως 0 3, m και µε

ενέργεια φωτονίου από 10 11− eV έως 10 6− eV . • Μικροκύµατα (microwaves)- από 109 Hz έως 1011 Hz , µήκος κύµατος 0 3, m έως 1 mm και

µε ενέργεια φωτονίου από 10 6− eV έως 10 3− eV . • Υπέρυθρη περιοχή (infrared region) - από 3 1011× Hz έως 4 1014× Hz , µήκος κύµατος 1 mm

έως 780 nm και µε ενέργεια φωτονίου από 10 3− eV έως 1 6, eV . Χωρίζεται επίσης σε τέσσερις περιοχές, την κοντινή υπέρυθρη (near IR) από 780 nm έως 3 µm , την ενδιάµεση υπέρυθρη (mid IR) από 3 µm έως 6 µm , την µακρινή υπέρυθρη (far IR) από 6 µm έως 15 µm και την απόµακρη (extreme IR) από 15 µm έως 1 mm .

• Ορατή περιοχή (visible region) - από 3 84 1014, × Hz έως 7 69 1014, × Hz , µήκος κύµατος 780 nm έως 390 nm και µε ενέργεια φωτονίου από 1 6, eV έως 3 2, eV

• Υπεριώδης περιοχή (ultraviolet region) - από 8 1014× Hz έως 3 4 1016, × Hz , µήκος κύµατος 390 nm έως 10 nm και µε ενέργεια φωτονίου από 3 2, eV έως 100 eV

• Ακτίνες - Χ (X-ray region) - από 3 4 1016, × Hz έως 5 1019× Hz , µήκος κύµατος 10 nm έως 0 01, nm και µε ενέργεια φωτονίου από 100 eV έως 0 2, MeV . Το µήκος κύµατος είναι συγκρίσιµο ή µικρότερο από τις ατοµικές διαστάσεις.

• Ακτίνες γ (γ-ray region) - από 104 eV έως 1019 eV µε µήκος κύµατος συγκρίσιµο του πυρήνα. Το µικρό αυτό µήκος κύµατος δεν µπορεί να αναδείξει τις κυµατικές ιδιότητες του φωτονίου και έτσι συµπεριφέρεται σαν σωµατίδιο.

Απορρόφηση ∆ιηλεκτρικά υλικά που απορροφούν µπορούν να περιγραφούν φαινοµενολογικά µε µια µιγαδική επιδεκτικότητα

R Iiχ = χ + χ που αντιστοιχεί σε µια µιγαδική διηλεκτρική σταθερά

( )0 1ε = ε + χ Η κυµατική εξίσωση του Helmholtz ισχύει

2 2u k u 0∇ + = ( ) ( )0 0 0 R Ik 1 k k 1 i= ω εµ = + χ = + χ + χ

εφόσον το διάνυσµα διάδοσης k είναι µιγαδικό, και 0 0k c= ω . Ένα επίπεδο κύµα που διαδίδεται στο µέσο αυτό στην κατεύθυνση του z -άξονα δίνεται από U Ae ikz≈ − . Εφόσον το k είναι µιγαδικό, τότε το µέτρο και η φάση του U µεταβάλλεται µε την θέση z . Γράφοντας

k i= −β α12

ώστε

0 R I1k i k 1 i2

= β− α = + χ + χ

Εφόσον e e eikz z i z− − −=12α β , η ένταση του κύµατος ελαττώνεται σαν e eikz z− −=

2 α , όπου α είναι ο συντελεστής απορρόφησης ή εξασθένησης ή εξάλειψης (absorption, attenuation, extinction). Σε υλικό που µπορεί να έχουµε ενίσχυση, το α είναι αρνητικό και έτσι ο εκθετικός όρος αυξάνει.

48

Ο συντελεστής β είναι ο ρυθµός της αλλαγής της φάσης µε την απόσταση z , συνδέεται µε τη σταθερά διάδοσης και

0 0nk c c nβ = = Αντικαθιστώντας

0 0 R I

R I0

1 1k i nk i k 1 i2 21n i 1 i

2k

= β− α = − α = + χ + χ

⇒ − α = +χ + χ

Για υλικά µε ασθενή απορρόφηση R I1, 1χ << χ << έχουµε

( )

( )

R I R I

RR I

00 I

11 i 1 i2

1n 11 1n i 1 i 22k 2 k

+ χ + χ ≈ + χ + χ

⎧ = + χ⎪⇒ − α = + χ + χ ⇒ ⎨⎪ α = − χ⎩

Για υλικά µε ενίσχυση, το Iχ είναι θετικό, και το α είναι αρνητικό, και για υλικά µε απορρόφηση, το Iχ είναι αρνητικό, και το α είναι θετικό. Όταν έχουµε κάποιο υλικό που δεν απορροφά µε δείκτη διάθλασης n0 σαν το πλέγµα µε κάποιο υλικό σαν πρόσµιξη µέσα σε αυτό, µε απορρόφηση R Iiχ = χ + χ και R I1, 1χ << χ << τότε η ολική επιδεκτικότητα του µέσου έχει τη µορφή

0 I0 R

0 0

k1n n2n n

χ= + χ α = −

∆ιασπορά Υλικά µε διασπορά χαρακτηρίζονται από τις ποσότητες χ(ν), c(ν) και n(ν) να έχουν µια εξάρτηση στην συχνότητα της ακτινοβολίας. Μπορούµε να έχουµε διάφορες µετρήσεις για την διασπορά. a) Για ακτινοβολία µε µεγάλο φασµατικό εύρος και

µικρή επίδραση της διασποράς, η µέτρηση

γίνεται µε τη σταθερά V nn n

D

F C

=−−

1 , όπου οι

δείκτες διάθλασης nF στη περιοχή του µπλε [ ]486,1 nm , nD στη περιοχή του κίτρινου

[ ]589,2 nm , nC στη περιοχή του κόκκινου

[ ]656,3 nm . Τυπικά για κάποιο γυαλί V = 38 και το fused silica V = 68 .

b) Για τη διασπορά κοντά σε κάποιο µήκος κύµατος λ0 , πρέπει να γνωρίζουµε τη µεταβολή 0dn dλ στο λ0 . Η πρώτη και δεύτερη διαφορική σχέση

0dn dλ και 2 20d n dλ µας δίνουν τη επίδραση της διασποράς του υλικού στη διάδοση ενός παλµού.

Ένας παλµός µε µήκος κύµατος λ0 στο κενό, διαδίδεται µέσα σε ένα υλικό µε διασπορά µε οµαδική ταχύτητα

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

00ν

χ∆ν ( )

( ) ( )0

I 0 2 22 20

νν ∆ν−χ ν = χ

ν −ν + ν∆ν

( ) ( )( ) ( )

2 2 20 0

R 0 2 22 20

ν ν −νχ ν = χ

ν −ν + ν∆ν

0χ

∆ν

49

g 0 g

g 00

c n

dnn nd

υ =

= −λλ

όπου gn ο οµαδικός δείκτης διάθλασης, και ο παλµός διαπλατύνεται χρονικά µε ρυθµό Dλ λσ [time/unit distance], όπου

σλ =φασµατικό εύρος του παλµού 2

02

0 0

d nD = c dλ

λ−

λσυντελεστής διασποράς

Η διασπορά και η απορρόφηση είναι στενά συνδεδεµένες, µια και ένα υλικό µε διασπορά πρέπει να απορροφά και ο συντελεστής απορρόφησης πρέπει να εξαρτάται από την συχνότητα. Συνδέονται µέσα από την σχέση του Kramers-Kronig

( ) ( )

( ) ( )

IR 2 2

o

RI 2 2

o

s2 dss

2 dss

∞

∞

χ νχ ν =

π −ν

νχ νχ ν =

π ν −

∫

∫

Υλικό σε συντονισµό Για ένα διηλεκτρικό υλικό µε µια δυναµική σχέση µεταξύ της πυκνότητας πόλωσης p και του ηλεκτρικού πεδίου e , όπως η παρακάτω

22 20 0 0 02

d ddt dt

+ γ +ω = ω ε χp p p e

βασίζεται στη θεώρηση ότι κάθε δέσµιο φορτίο στο υλικό µπορεί να θεωρηθεί σαν ένας κλασσικός αρµονικός ταλαντωτής, µε την µετατόπιση x και τη δύναµη F να σχετίζονται µε βάση την

220 e2

d d mdt dt

+ γ +ω =x x x F

όπου em η µάζα του ηλεκτρονίου, 0 emω = κ η συχνότητα συντονισµού, κ η ελαστική σταθερά, γ η σταθερά απόσβεσης, p x= Ne το πεδίο πόλωσης, F e= e η δύναµη, Ν τα φορτία ανά µονάδα όγκου,

2

0 2e 0 0

e Nm

χ =ε ω

Το διηλεκτρικό υλικό χαρακτηρίζεται πλήρως από την απόκριση του σε αρµονικά πεδία του τύπου e E

p P

t e

t e

i t

i t

b g m rb g m r

=

=

Re

Re

ω

ω

Αντικαθιστώντας και εξισώνοντας συντελεστές των εκθετικών ( )

( ) ( )

2 2 20 0 0 0

20 0

0 02 20

i

i

−ω + γω+ω = ω ε χ

⎡ ⎤ω χ⎢ ⎥⇒ = ε = ε χ νω −ω + σω⎢ ⎥⎣ ⎦

P E

P E E

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 0ν

( )α ν

0 02nχ

∆ν

( ) ( )I0 0

2n cπν

α ν = − χ ν

( ) 0 0 0n n 2nν ≈ + χ

50

( ) ( )20

0 2 20 i

νχ ν = χ

ν −ν + ν∆ν η επιδεκτικότητα µέσου σε συντονισµό

0 02 2πν = ω ν = ω π συχνότητα συντονισµού 2∆ν = γ π

Τα πραγµατικά και φανταστικά µέρη του χ(ν) φαίνονται στο σχήµα Για συχνότητες που χαµηλότερα από κάποιο συντονισµό

( )( )

R 00

I 0χ ν ≈ χ⎧⎪ν << ν ⇒ ⎨ χ ν ≈⎪⎩

µε τη σταθερά 0χ την επιδεκτικότητα σε χαµηλές συχνότητες Για συχνότητες πολύ µακριά από συντονισµό

( )( )

R0

I

00

χ ν ≈⎧⎪ν >> ν ⇒ ⎨χ ν ≈⎪⎩

Στον συντονισµό ( )

( )R 0

0 0I 0 0

0⎧ χ ν ≈⎪ν = ν ⇒ ⎨ νχ ν ≈ −χ⎪ ∆ν⎩

και εφόσον 0ν >> ∆ν τότε ( )I 0 0χ ν >> χ .

Κοντά σε συντονισµό 0ν ≈ ν , µπορούµε να προσεγγίσουµε τη σχέση ( )2 20ν −ν µε 0ν ≈ ν στον αριθµητή,

και µε την προσέγγιση της σχέσης ( ) ( )( )2 20 0 0ν −ν = ν −ν ν + ν σαν ( )0 02≈ ν ν − ν στον τον

παρανοµαστή, τότε

( ) ( )0

00

2i 2

νχ ν ≈ χ

ν −ν + ∆ν

µε

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

0I 0 2 2

0

0R I

14 2

2

ν ∆νχ ν ≈ −χ

ν −ν + ∆ν

ν −νχ ν ≈ χ ν

∆ν

και το ( )Iχ ν πέφτει στη µισή τιµή του όταν 0 2ν − ν = ∆ν , µε το ∆ν το πλήρες εύρος στο µισό του

ύψους του ( )Iχ ν . Έχοντας το υλικό συντονισµού µέσα σε ένα πλέγµα µε δείκτη διάθλαση n0 , και για µικρές πυκνότητες ώστε η συνεισφορά των ( ) ( )R I,χ ν χ ν να είναι µικρή, έχουµε

Εξισώσεις διασποράς Για περιοχές του φάσµατος όπου ο αποσβεστικός όρος του δείκτη διάθλασης είναι µικρός, έχουµε µόνο το πραγµατικό µέρος µόνο που δίνεται σαν

( ) ( )

2 22

2 22 20 e 0 0 e 0

2

2 20

Ne 1 Ne 1n 1 1m m 2 c 2 c

1 A

= + = +ε ω −ω ε π λ − π λ

λ= +

λ + λ

σχέση Sellmeir

51

µε 2 2

02 2

0 e

NeA4 c m

λ= =

π εσταθερά, όταν έχουµε µόνο µια περιοχή απορρόφησης, και

2 2j2

j2 2 2 2j j0 e 0 j 0 j

fNen 1 1 Am

λ= + = +

ε ω −ω λ + λ∑ ∑ σχέση Sellmeir

µε 2 2

j 0 jj 2 2

j 0 e

f NeA

4 c mλ

=π ε∑ .

Εµπειρικές σχέσεις διασποράς

Προσεγγιστική σχέση Cauchy Για την οµαλή περιοχή διασποράς, έχουµε τη σχέση Cauchy που είναι της µορφής

2 4

B Cn A= + + +λ λ

όπου οι παράµετροι A, B,C χαρακτηρίζουν το συγκεκριµένβο υλικό και είναι µια προσέγγιση της θεωρητικής σχέσης Sellmeir. Για τα πιο πολλά υλικά µπορούµε να έχουµε τη απλούστερη σχέση

2

Bn A= +λ

Συνθετικός χαλαζίας (fused silica) Το άµορφο διοξείδιο του πυριτίου ( 2SiO ) είναι έιδος γυαλιού µε εξαιρετικά µεγάλη περιοχή διαφάνειας, µε µεγάλο συντελεστή διέλευσης και µικρό συντελεστή θερµική διαστολής. Η σχέση Sellmeir δίνεται σαν

22

j 2 2j 0 j

n 1 A λ= +

λ + λ∑ µε j 1,2,3=

και [ ][ ][ ]

1 1

2 2

3 3

A 0,696166 0,068404 mA 0, 40794 0,11624 mA 0,89748 9,89616 m

= λ = µ= λ = µ= λ = µ

Σάπφειρος (sapphire) Το οξείδιο του Αλουµινίου ( 2 3Al O ) είναι ένα ανισοτροπικό υλικό µε εξάγωνη κρυσταλλική δοµή. Η σχέση Sellmeir είναι της µορφής

22 22 31 2

2 2 2 2 2 21 2 3

AA An 1 λλ λ= + + +

λ −λ λ −λ λ −λ

µε 1 1

2 2

3 3

A =1,43134930 =0,0052799261A =0,65054713 =0,014382647A =5,3414021 =325,017834

λλλ

για τον τακτικό δείκτη διάθλασης και 1 1

2 2

3 3

A =1,5039759 =0,00548041129A =0,55069141 =0,0147994281A =6,5927379 =402,89514

λλλ

για τον έκτακτο δείκτη διάθλασης.

22

j 2 2j 0 j

n 1 A λ= +

λ + λ∑ µε j 1,2,3=

µε [ ][ ][ ]

1 1

2 2

3 3

A 1,02378 0,061448 mA 1,058264 0,110700 mA 5, 280792 17,92656 m

= λ = µ= λ = µ= λ = µ

52

Σεληνιούχος Ψευδάργυρος (ZnSe) To ZnSe είναι ένα συνθετικό ισοτροπικό υλικό µε καλή διέλευση στην υπέρυθρη φασµατική περιοχή, µε συνάρτηση διασποράς

22

2 2

2,045n 110,109 m

λ= +

⎡ ⎤λ − µ⎣ ⎦

όπως η σχέση Sellmeir για µια ζώνη απορρόφησης.

Στεφανύαλος (crown glass BK-7) Το γυαλί BK-7 (Borosilicate crown glass) είναι σύνηθες υλικό για την ορατή και υπεριώδη περιοχή µε µεγάλο συντελεστή διέλευσης. Η εµπειρική σχέση Cauchy είναι

2 2 3 52 40 1 2 4 6 8

A AA An A A= + λ + + + +λ λ λ λ

µε τιµές 2 2

0 1 24 6 7

3 4 5

A 2, 27189 A 1,01081 10 A 1,05925 10

A 2,08170 10 A 7,64125 10 A 4,92410 10

− −

− − −

= = − × = ×

= × = − × = ×

και η σχέση Sellmeir 22 2

2 31 22 2 2 2 2 2

1 2 3

AA An 1 λλ λ= + + +

λ −λ λ −λ λ −λ

µε 1 1

2 2

3 3

A =1,03961212 =0,00600069867A =0,231792344 =0,0200179144A =1,01046945 =103,560653

λλλ

Πυρίτιο (Si), Γερµάνιο (Ge), Φθοριούχο Λύθιο (LiF) Τα δύο πρώτα είναι σηµαντικά στη κατασκευή ηµιαγωγών, και το τρίτο για επιστρώσεις και παράθυρα υπεριώδους ακτινοβολίας. Ακολουθούν την εµπειρική σχέση διασποράς

( )2 4

22 2

B Cn A D E0,028 0,028

= + + + λ + λλ − λ −

µε

6 8

5 7

3 6

A B C D EGe 3,99931 0,39171 0,16340 6,0 10 5,3 10Si 3,41696 0,13850 0,01392 2,09 10 1, 48 10

LiF 1,38761 0,00180 0,00004 2,30 10 5,57 10

− −

− −

− −

− × ×− × ×

− − × − ×

Φθοριούχο Μαγνήσιο ( 2MgF ) Ισοτροπικό υλικό στην άµορφη κατάσταση και ανισοτροπικό στην κρυσταλλική. Για το ανισοτροπικό υλικό έχουµε τη σχέση διασποράς

3

0

3

e

3,582 10n 1,3700,14925

3,742 10n 1,3810,14947

−

−

×= +

λ −

×= +

λ −

53

Φθοριούχο Ασβέστιο ( 2CaF ) Η σχέση Sellmeir δίνεται σαν

22 22 31 2

2 2 2 2 2 21 2 3

AA An 1 λλ λ= + + +

λ −λ λ −λ λ −λ

µε 1 1

2 2

3 3

A =1,75882549 =0,00872810026A =0,31519767 =0,0293020832A =1,19029675 =85,1780644

λλλ

Quartz Ανισοτροπικό υλικό, µε σχέση Cauchy

2 2 3 52 40 1 2 4 6 8

A AA An A A= + λ + + + +λ λ λ λ

µε παραµέτρους για τον τακτικό δείκτη διάθλασης 0 1 2

-4 7 83 4 5

A 2,35728 A 0,0117 A 0,01054

A 1,34143x10 A 4,45368 10 A 5,9236 10− −

= = − =

= = − × = ×

και µε παραµέτρους για τον έκτακτο 0 1 2

-4 6 83 4 5

A 2,3849 A 0,01259 A 0,01079

A 1,6518 10 A 1,94741 10 A 9,36476 10− −

= = − = −

= × = − × = ×

∆ιασπορά η/µ κυµάτων σε µέταλλα Σε διηλεκτρικά υλικά (µονωτές) η παρουσία ενός εξωτερικού η/µ πεδίου επιρεάζει τα δέσµια ηλεκτρόνια του µέσου µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται και µια µακροσκοπική ηλεκτρική πόλωση p . Σε αγώγιµα υλικά, όπως τα µέταλλα και ιονισµένα αέρια, εκτός από τα δέσµια ηλεκτρόνια έχουµε και ένα νέφος από ελεύθερα φορτία. Χωρίς τη παρουσία κάποιου εξωτερικού η/µ πεδίου, οι κινήσεις των ελεύεθερων αυτών φοέων θα είναι σε τυχαίες κατευθύνσεις. Ένα εξωτερικό πεδίο e εξασκεί µια δύναµη

ee me που καταλήγει σε µερικό προσανατολισµό των φορτίων και την εµφάνιση µιας ροής ηλεκτρονίων µε κάποια πυκνότητα ρεύµατος j . Εφόσον δεν έχουµε κάποια δύναµη επαναφοράς, όπως για τα δέσµια ηλεκτρόνια τότε 0 0ω = . Η διαφορική εξίσωση κίνησης των ηλεκτρονίων αγωγιµότητας θα έχει τη µορφή

2

e e2

d dm m edt dt

+ γ =r r e

όπου d dt ≡r v η µέση ταχύτητα των φορτίων µάζας em µε σταθερά απόσβεσης γ . Ο ρόλος της παραµέτρου γ φαίνεται καθαρά από την περίπτωση απουσίας του εξωτερικού πεδίου, όπου

2

e e e2

d d dm m 0 mdt dt dt

+ γ = = + γr r v v

η λύση της οποίας δίνεται σαν t t

0 0e e−γ − τ= =v v v µε 1τ = γ το χρόνο εφησυχασµού (relaxation time). Τυπικές τιµές είναι [ ]1410 sec−τ ∼ και

14 110 sec−⎡ ⎤γ ⎣ ⎦∼ . Με την αρχική σχέση για 0≠e , η πυκνότητα ρεύµατος για N ελεύθερα ηλεκτρόνια είναι

Ne Ned dt= − = −j v r και έχουµε

54

2

e

d Nedt m+ γ =

j j e

Για τη παραπάνω έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις (α) 0=e Η λύση της παραπάνω είναι

t t0 0e e−γ − τ= =j J J

(β) =e σταθερά, 0ω = Για ένα στατικό εξωτερικό η/µ πεδίο τότε =j σταθερά και d dt 0=j . Έχουµε τότε

2

se

Nem

= = σγ

j e e

µε 2 2

se e

Ne Nem m

τσ = =

γ στατική ειδική αγωγιµότητα (static specific conductivity)

(γ) i t0e

− ω=e E Για ένα αρµονικό η/µ κύµα περιµένουµε επίσης i t

0e− ω=j J ώστε 2

0 0 se

1 Neim

− ω = = = σ ττ 0 0J J E E

που µας δίνει µια δυναµική συµπεριφορά

( ) ( )2

s0 d

e

Nem i 1 i

σ= = = σ

γ − ω − ωτ0 0 0J E E E

2

dNe

1 iσ =

− ωτ δυναµική ειδική αγωγιµότητα (static specific conductivity)

Εφόσον έχουµε µια µιγαδική παράµετρο τότε ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

d dr di 2 2 2 2 2 2e e e

2

s s2 2 2 2

Ne i Ne Nei im m m

i

γ + ω γ ωγσ = σ + σ = = +

γ +ω γ γ +ω γ γ +ω

γ γω= σ + σ

γ γ +ω γ γ +ω

Όταν ω γ , τότε το φανταστικό µέρος της dσ είναι µικρό και d snσ ≈ σ και το µέταλλο συµπεριφέρεται σαν ένα διηλεκτρικό µέσο. Για ω γ , στις οπτικές περιοχές, το φανταστικό µέρος είναι πολύ µεγαλύτερο του πραγµατικού. Έχουµε επίσης για ένα ισότροπο, µη-µαγνητικό και αγώγιµο µέσο µε f 0ρ = και 0 1µ ≈ µ ≈ , από τις σχέσεις Maxwell

stc 1 i

σε∇× = ∂ +

− ωτb e e

και µε

( ) ( ) ( ) 22 2 2

t t2 2t

1 1 1c c c−

∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇ = ∂ ∇× = − ∂ − ∂e e e e b e j

και καταλήγουµε στην

22 2 s

t2 2t

1 1c c 1 i

σ∇ = ∂ + ∂

− ωτe e e

Αν θεωρήσουµε και το η/µ κύµα σαν επίπεδο µονοχρωµατικό κύµα ( ) ( )i t, t e ⋅ −ω= k r0e x E τότε µε

αντικατάσταση

55

( )2 2

2 2s2 2 2k i n

c c 1 i cωσω ω

= + =− ωτ

όπου

( ) ( )2

2 s d

e

Nen 1 i 1 1 i1 i m 1 iσ στ

= + = + = +ω − ωτ ω − ωτ ω

Αν θέσουµε 2p eNe mω = σαν τη συχνότητα πλάσµατος, τότε

( ) ( )2 2 2p p2

2 2 2 2n 1 i

1 1ω τ ω τ

= ε = − ++ω τ ω +ω τ

όπου έχουµε i′ ′′ε = ε + ε . Εφόσον ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2n n in n n 2in n n 1 i 2n′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= + = − + = − κ + κ

τότε

( ) ( )

( )

2 2p2 2 2 2

2 2

2p2

2 2

n n n 1 11

2n n 2n1

ω τ′ ′ ′′ε = − = − κ = −

+ω τ

ω τ′′ ′ ′′ε = = κ =

ω +ω τ

Από τυπικές πειραµατικές τιµές έχουµε [ ]1310 sec−τ ≈ που αντιστοιχεί σε συχνότητες του κοντινού

υπέρυθρου και για µέταλλα µε 22 3N 10 cm−⎡ ⎤≈ ⎣ ⎦ έχουµε 15 1p 6 10 sec−⎡ ⎤ω ≈ × ⎣ ⎦ , ή [ ]15

p 10 Hzν = στη περιοχή µεταξύ ορατού και υπεριώδους.

∆ιασπορά σε ηµιαγωγούς Η διασπορά σε ηµιαγωγούς για τα η/µ κύµατα είναι σηµαντικό µέρος της θεωρίας της Στερεάς Κατάστασης. Τα ελεύθερα και δέσµια ηλεκτρόνια συνεισφέρουν ταυτόχρονα στις οπτικές ιδιότητες τωνβ υλικών, ώστε να έχουµε συνεισφορές στις εξισώσεις διασποράς µε διηλεκτρικό και αγώγιµο χαρακτήρα, της µορφής

( ) ( )2p j2 2

p 2 2j j j

fn 1

1 i iω τ

= + +ωω − ωτ ω −ω − ωγ

∑

Οι παράµετροι j j, fγ υπολογίζονται κβαντικά.

∆ιάδοση παλµού σε µέσο µε διασπορά Έχουµε κάποιο επίπεδο κύµα µε διάδοση στην κατεύθυνση του z-άξονα, σε ένα γραµµικό, οµοιογενές, ισοτροπικό υλικό µε διασπορά µε συντελεστή απορρόφησης α νb g , δείκτη διάθλασης n νb g και σταθερά διάδοσης ( ) ( ) 02 n cβ ν = πν ν , όπως δίνονται από

U z t A z t i t zo o, , expb g b g b g= −2πν β

ν0 η κεντρική συχνότητα, ( )0 0β ν = β ο κεντρικός κυµατάριθµος και A z t,b g η µιγαδική περιβάλλουσα που µεταβάλλεται αργά σε σχέση µε τη συχνότητα ν . Υποθέτουµε ότι A z t= 0,b g είναι γνωστό και πρέπει να υπολογίσουµε το A(z,t) σε µια απόσταση z µέσα στο υλικό. Οι ποσότητες A z t= 0,b g και A z t,b g είναι οι συναρτήσεις εισόδου και εξόδου σε ένα γραµµικό σύστηµα. • Υποθέτουµε ότι το A z t= 0,b g είναι µια αρµονική συνάρτηση της συχνότητας f

A t A f i ft0 0 2, , expb g b g= π

56

ώστε το κύµα να είναι µονοτονικό µε συχνότητα ν ν= +f 0 , και η µιγαδική κυµατοσυνάρτηση να συµπεριφέρεται µε το z σαν

( ) ( ) ( ) ( )0 01U z, t U 0, t exp f z i f z2

⎡ ⎤= − α + ν − β + ν⎢ ⎥⎣ ⎦

που δίνει

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0

1A z, f A 0, f exp f z i f z2

A z,f A 0, f H f

1H f transfer function= exp f z i f z2

⎡ ⎤= − α + ν − β + ν −β ν⎢ ⎥⎣ ⎦⇒ =

⎡ ⎤= − α + ν − β + ν −β ν⎢ ⎥⎣ ⎦

• Πρέπει να βρούµε µια συστηµατική µέθοδο για να υπολογίζουµε το A z t,b g από το A z t= 0,b g και οποιοδήποτε υλικό µε διασπορά. Από τους µετασχηµατισµούς Fourier

A z t A z f i ft df A z f A z t i ft dt, , exp , , expb g b g b g b g= = −−∞

∞

−∞

∞z z2 2π π

και αρχίζοντας µε την A t0,b g υπολογίζουµε την A f0,b g στη θέση z = 0 . Βρίσκουµε έπειτα την A z f,b g και µε µετασχηµατισµό παίρνουµε την A z t,b g . Σε ένα βήµα πρέπει να βρούµε το ολοκλήρωµα

A z t A t h t t dt, ,b g b g b g= ′ − ′ ′z 0

όπου το h tb g είναι ο ανάστροφος µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης H tb g Εάν η A z t,b g είναι µια αργά µεταβαλλόµενη συνάρτηση µε τον χρόνο t , τότε η A z f,b g µια στενή συνάρτηση του f µε εύρος 0∆ν << ν , και έτσι µπορούµε να την θεωρήσουµε σαν ένα κυµατοπακέτο. Υποθέτουµε ότι µέσα στο εύρος ∆ν στη θέση 0ν

α ν αb g ≈ συντελεστής απορρόφησης

( ) ( )0

2ncπν

β ν ≈ ν σταθερά διάδοσης

( ) ( )2

20 0 2

d 1 df f fd 2 d

β ν + ≈ β ν + β+ βν ν

Και η συνάρτηση απόκρισης γίνεται

( ) [ ] 2o d

z 20 d g

H f H exp i2 f exp i D zf

H e zν

−α

⎡ ⎤= − π τ − π⎣ ⎦= τ = υ

µε υπ ν

βωβg

dd

dd

= =1

2 την οµαδική ταχύτητα, και D d

dd

ddd g

ν π νβ π

ωβ

ν υ= = =

FHGIKJ

12

2 12

2

2

2 το συντελεστή

διασποράς. Εάν ο συντελεστής διασποράς είναι µικρός, τότε ο τρίτος όρος της ανάπτυξης του β νb g µπορεί να αγνοηθεί και έτσι

H f H i fo db g = −exp 2π τ

∆ν( )α ν

( )β ν( )A z t,2

νoν

57

Το σύστηµα θεωρείται ανάλογο µε ένα παράγοντα εξασθένησης z 20H e−α= και χρόνο καθυστέρησης

d gzτ = υ . Έτσι

( ) ( ) z 2dA z, t A 0, t e−α= − τ

ο παλµός να διαδίδεται µε οµαδική ταχύτητα υg , η ένταση του να εξασθενεί µε το ρυθµό e z−α αλλά η αρχική του µορφή να µην µεταβάλλεται. Σε αντίθεση, δε κάποιο τέλειο υλικό (χωρίς απώλειες και διασπορά) ( ) g0 2 c cα = β ν = π ⇒ υ = η περιβάλλουσα του παλµού διαδίδεται µε την ταχύτητα του φωτός , χωρίς καθυστέρηση.

Εφόσον η οµαδική ταχύτητα υπ

βνg

dd

=1

2 εξαρτάται και η ίδια από την συχνότητα, διαφορετικές

συχνότητες θα καθυστερούν µε διαφορετικά χρονικά διαστήµατα τυd

g

z= . Έτσι έχουµε τον παλµό να

διευρύνεται χρονικά και η µορφή του να αλλάζει. ∆ύο διαφορετικοί παλµοί στις συχνότητες ν και ν+dν, έχουν διαφορετικές καθυστερήσεις

δτντ δν

ν υδν δνν= =

FHGIKJ =

dd

dd

z D zdg

• Για Dν > 0 οµαλή διασπορά Χρόνος διάδοσης για υψηλές συχνότητες > χρόνο διάδοσης για χαµηλές συχνότητες δηλαδή τα µικρά µήκη κύµατος είναι πιο αργά (όπως και στο γυαλί στην περιοχή του ορατού) • Για Dν < 0 ανώµαλη διασπορά Χρόνος διάδοσης για υψηλές συχνότητες < χρόνο διάδοσης για χαµηλές συχνότητες ∆ηλαδή τα µικρά µήκη κύµατος διαδίδονται πιο γρήγορα Για ένα παλµό µε φασικό εύρος σν [Hz], τότε

σ στ ν ν= D z είναι µια προσέγγιση για την αύξηση της χρονικής διάρκειας του παλµού λόγω διάδοσης. Dν είναι ένα µέτρο της αύξησης αυτής ανά µονάδα φασµατικού εύρους ανά µονάδα µήκους διάδοσης [s/m-Hz] Η µορφή του παλµού που διαδίδεται δίνεται από τη συνάρτηση

( ) [ ] 20 dH f H exp i2 f exp i D zfν⎡ ⎤= − π τ − π⎣ ⎦

όπου η αντίστοιχη συνάρτηση απόκρισης σε στιγµιαία διέγερση h(t) δίνεται από το µετασχηµατισµό Fourier του παραπάνω

( ) ( )2d

0

t1h t H exp iD zi D z νν

⎡ ⎤− τ≈ π⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

σηµειώνοντας ότι το F.T. του exp i tπ 2 είναι i i fexp − π 2 και κάνοντας χρήση των παραµέτρων της µεγέθυνσης και καθυστέρησης για το F.T. Η µιγαδική αυτή περιβάλλουσα H z t,b g µας δίνεται από το convolution του αρχικού A t0,b g µε το H tb g . Για παλµούς gaussian, παίρνουµε τη µιγαδική περιβάλλουσα του κύµατος σαν

( ) 2 2oA 0, t exp t⎡ ⎤= − τ⎣ ⎦

και το convolution µαζί µε το h tb g , δίνει

( ) ( )( )

( )( )

( )

122

d

20

0 0 dg

q 0 i tA z, t exp

q z D q z

zq z z iz zD

ν

ν

⎡ ⎤⎡ ⎤ π − τ= ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦πτ

= + = τ =− υ

58

Η ένταση

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

2 2d

2d0

2

2

00

dg

q 0 1A z, t exp t Imq z D q z

2 texp

z z

zz 1 width broadening of the initial pulsez

z time delay center

ν

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪= −π − τ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤− ττ= −⎢ ⎥τ τ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥τ = τ + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

τ = =υ

( )2

00

zz 1z

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥τ = τ + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

χρονική διαπλάτυνση του αρχικού παλµού, και

Στο όριο 0z z>> έχουµε

( ) 00 0

z zz Dz ντ ≈ τ =

πτ

δηλαδή η χρονική διάρκεια του παλµού αυξάνεται γραµµικά µε την απόσταση διάδοσης z, και είναι αντίστροφα ανάλογη της αρχικής διάρκειας του 0τ , πράγµα αναµενόµενο αφού περιµένουµε µεγαλύτερο άνοιγµα ενός παλµού µε µεγάλο φασµατικό εύρος. Για 01νσ = πτ σαν µέτρο του αρχικού φασµατικού εύρους τότε τ σν νz D zb g = Το αποτέλεσµα από την συνάρτηση απόκρισης σε στιγµιαία διέγερση µας λέει ότι η στιγµιαία αυτή

διέγερση στο χρονικό σηµείο t=0 θα έχει χρονικά πλατύνει στο exp i tD z

πν

2LNMOQP

, αγνοώντας κάποια χρονική

καθυστέρηση τd . Το φαινόµενο φαίνεται ανάλογο µε περίθλαση Fresnel όπου µια σηµειακή πηγή στο

( )x, y 0= µας δίνει ένα παραβολοειδές κύµα exp ix y

zπ

λ+L

NMM

OQPP

b g2 ; µπορούµε να συνδέσουµε (x,y)↔t και

λ↔-Dν, δηλαδή η χρονική αύξηση της διάρκειας του παλµού είναι ισοδύναµη µε την περίθλαση Fresnel ενός χωρικού παλµού. Το χρονικο άνοιγµα ενός παλµού gaussian σε υλικά µε διασπορά είναι ανάλογο µε την περίθλαση ενός παλµού gaussian σε ελεύθερη διάδοση

( )

( )

2 20

0 00

2 20

0 00

zz 1 zz

zz 1 zz Dν

⎛ ⎞ ω πω = ω + =⎜ ⎟ λ⎝ ⎠

⎛ ⎞ τ πτ = τ + =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Η χωρική διεύρυνση του παλµού µπορεί να αναιρεθεί µε κάποια εστίαση από ένα φακό, εστιακής απόστασης f, από το φασική συνάρτηση ενός φακού ( )2 2exp i x y f⎡ ⎤π + λ⎣ ⎦ που κάµπτει τα µέτωπα και

µειώνει την αρχική εγκάρσια διάσταση της δέσµης 0ω στο ( )

20 0

0 020

z1 z f

ω πω′ω = =λ+

. Ο παλµός

gaussian πολλαπλασιάζεται µε ένα παράγοντα φάσης 2exp i t D fν⎡ ⎤− π⎣ ⎦ .

59

Μια αρχική χρονική διάρκεια 0τ θα µειωθεί στο ( )20 0 01 z f ′τ = τ + µετά από απόσταση f σε ένα

υλικό µε συντελεστή διασποράς Dν , 20 0z Dν= −πτ ; ο παλµός ανοίγει χρονικά όπως διαδίδεται.

Ο παράγοντας φάσης 2exp i t D fν⎡ ⎤− π⎣ ⎦ είναι µια διαµόρφωση της συχνότητας του αρχικού παλµού

[ ]2 20 0exp t exp 2i t⎡ ⎤− τ πν⎣ ⎦ .

Η στιγµιαία συχνότητας του διαµορφωµένου παλµού (1 2π x την παράγωγο της φάσης) είναι ( )0 t D fνν − . Κάτω από συνθήκες οµαλής διασποράς Dν > 0 , η στιγµιαία συχνότητα µειώνεται γραµµικά µε το χρόνο

(chirped pulse). Μπορούµε να συνεχίσουµε την αναλογία µε τις εξισώσεις

( ) ( ) ( )( ) [ ] 2

0 d

A z, f A 0, f H f

H f H exp i2 f exp i D zfν

=

⎡ ⎤= − π τ − π⎣ ⎦

ώστε

A z f A f z i fz i D zfg

, , expb g b g= − − −LNMM

OQPP

02

2 2α πυ

π ν

Με την παράγωγο d/dz ddz

A z f i f i D f A z fg

, ,b g b g= − − −LNMM

OQPP

α πυ

π ν22 2

και το µετασχηµατισµό Fourier, και σηµειώνοντας ότι οι FT έχουν

A z f A z t i fA z ft

A z t i f A z ft

A z t, , , , , ,b g b g b g b g b g b g b g↔ ↔ ↔2 2 22

2π∂∂

π∂∂

παίρνουµε ∂∂ υ

∂∂

απ∂∂

ν

z tA z t A z t i D

tA z t

g

+FHG

IKJ + − =

12 4

02

2, , ,b g b g b g

σαν την κυµατική εξίσωση σε υλικό µε διασπορά, µε την προσέγγιση της αργά µεταβαλλόµενης περιβάλλουσας. Η εξίσωση έχει σαν λύση το παλµό gaussian

A z tqq z

i tD q z

d, expb g b gb gb gb g=

LNMOQP

−LNM

OQP

012 π τ

ν

Με α = 0 και σε κάποιο σύστηµα συντεταγµένων που κινείται µε ταχύτητα υg η παραπάνω διαφορική εξίσωση γίνεται

B Rt

z

τ zb g

chirped pulse : Υψηλή συχνότητα προηγείται της χαµηλής

Ελάχιστο εύρος

B BR Rtt

60

∂∂

π ∂∂ν

2

2

4 0t

A z t iD z

A z t, ,b g b g+ = Helmholtz's equation

ανάλογη µε την παραξόνια και χωρική εξίσωση του Helmholtz. Οι σηµαντικές παράµετροι για την χρονική διάδοση ενός παλµού σε υλικά µε διασπορά είναι η οµαδική ταχύτητα υg και ο συντελεστής διασποράς Dν και η εξάρτηση τους από το µήκος κύµατος λ . Από

βπν π

λν

λ

υ π νβ

ωβ

π νβ

ν υν

= = =

= = = =FHGIKJ

nc

n c

dd

dd

D dd

ddg g

2 2

1 12

12

10 0

0

02

2

παίρνουµε 0

g

00

3 202 20 0

o2

o o

2o

2o o

c group velocityN

dnN=n group indexd

d nD dispersion coefficient [s/m-Hz]c d

cdD d D d D D Dd

d nD dispersion coefficient [s/m-nm]c d

ν

λ ν λ ν ν

λ

υ =

−λλ

λ=

λ

⎛ ⎞νλ = ν⇒ = = −⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠

λ= −

λ

που µας δίνει την χρονική διαπλάτυνση του παλµού µε φασµατικό εύρος σλ σ στ λ λ= D z

µετά από µια διάδοση στο χώρο µήκους z σε υλικό µε διασπορά.

Κλασσικός ταλαντωτής κίνησης ηλεκτρονίου Θεωρούµε ότι τα άτοµα αποτελούνται από ένα πυρήνα που συγκεντρώνει τη µάζα του ατόµου που είναι ακίνητος στο σύστηµα κέντρου µάζας του ατόµου, και παρουσιάζουν συντονισµό σε συγκεκριµένες συχνότητες σε διαδικασίες αυθόρµητης εκποµπής και εξαναγκασµένης απορρόφησης και εκποµπής. Επίσης οι συντονισµοί αυτοί είναι απλοί αρµονικοί συντονισµοί, δηλαδή δεν παρουσιάζουν παραπέρα συντονισµούς σε αρµονικές της βασικής συχνότητας. Επίσης, ως επί το πλείστον τα άτοµα αποκρίνονται σε ηλεκτρικά πεδία µε ασθενή απόκριση σε µαγνητικά. Έχουµε έτσι κυρίως ηλεκτρικές διπολικές µεταβάσεις (electric dipole transitions) σε σχέση µε τις µαγνητικές διπολικές, ηλεκτρικές τετραπολικές και άλλες ψηλότερες. Με βάση τα παραπάνω, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το κλασσικό µοντέλο του ηλεκτρονικού ταλαντωτή (classical electron oscillator ceo) για να περιγράψουµε την απλή ηλεκτρονική διπολική µετάβαση σε ένα άτοµο. Με µερικές επεκτάσεις το µοντέλο αυτό είναι επαρκές να περιγράψει αρκετά καλά όλα τα σηµαντικά φαινόµενα που αρατηρούνται σε ένα ατοµικό σύστηµα. Κλασσικός ταλαντωτής περιγράφει τη µετατόπιση του ηλεκτρονικού νέφους από τη θέση ισορροπίας µε την στιγµιαία συνάρτηση µετατόπισης x tb g . Λόγω του θετικού φορτίου του πυρήνα, το νέφος βλέπει µια γραµµική δύναµη επαναφοράς ( )Kx t− , όταν οι µετατοπίσεις αυτές είναι µικρές λόγω του πεδίου και δεν διαταράσσουν σηµαντικά το σύστηµα.

61

Το ηλεκτρονικό νέφος έτσι περιγράφεται από µια σηµειακή µάζα m µε φορτίο e σε ένα δευτεροβάθµιο δυναµικό πηγάδι V Kx t= 2 b g , όπου η σταθερά είναιK . Θεωρούµε ότι το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο είναι E tb g . Η κλασσική συνάρτηση κίνησης για το σύστηµα αυτό είναι

F ma

m d x tdt

Kx t eE t

=

= − −2

2

b g b g b g

που µπορεί να γραφτεί σαν ( ) ( ) ( )

2202

x td ex t E tdt m

+ω = −

όπου 0Km

ω = είναι η κλασσική συχνότητα συντονισµού του ταλαντωτή, ίδια µε την συχνότητα

µετάβασης ενός ατοµικού συστήµατος µεταξύ δύο σταθµών του. Η ταλαντωτική κίνηση του ηλεκτρονίου πρέπει κάπως να αποσβήνεται, εφόσον το σύστηµα χάνει την ενέργεια αυτή της ταλάντωσης µε το χρόνο, ώστε ένας παράγοντας απόσβεσης προστίθεται µε µορφή

( )dx t dtγ , δίνοντας µια τροποποιηµένη συνάρτηση

( ) ( ) ( ) ( )2

202

x t dx td ex t E tdt dt m

+ γ +ω = −

Η κίνηση x tb g , χωρίς εξωτερικό πεδίο, θα είναι ταλαντωτική και θα αποσβένεται όπως και η λύση της παραπάνω χωρίς τον όρο οδήγησης του πεδίου

( ) ( ) ( ) ( )o 0 0 0

2

0 0

x t x t exp t t i t t2

2

γ⎡ ⎤′= − − + ω −⎢ ⎥⎣ ⎦

γ⎛ ⎞′ω = ω − ⎜ ⎟⎝ ⎠

αλλά µε τη διαφορά µεταξύ 0ω και 0′ω να είναι πολύ µικρή και να αγνοείται. Η ενέργεια του ταλαντωτή τότε αποσβένεται σαν

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0t t t t2 20 0

1

1 1U t Kx t m t U t e U t e2 2

energy decay rate energy decay time constant

−γ − − − τ

−

= + υ = =

γ = τ = γ =

Τα δύο συστήµατα, του αρµονικού ταλαντωτή και ενός ατοµικού συστήµατος, χάνουν ενέργεια εν µέρει από µεταβάσεις µε ακτινοβολία (αυθόρµητη εκποµπή ή φθορισµός) σε συχνότητα 0ω , µε γ rad ή µε µεταβάσεις χωρίς ακτινοβολία (κρούσεις) µε γ nr , ώστε

γ γ γ= + =rad nr UdUdt

1

Η ενέργεια U αφορά µόνο την εσωτερική κατανοµή ενέργειας στο άτοµο. Στην κλασσική του µορφή, ένα φορτίο e σε ταλάντωση µέσα σε ένα υλικό µε επιδεκτικότητα ε , η ενέργεια αυτή χάνεται µε ρυθµό

γωπεrad ceo

oec, =

2 2

36

Στη ορατή περιοχή του φάσµατος γ ≈ −108 1sec , ενώ 15 10 10 sec−ω ≈ .

Από αυτή την εξίσωση κίνησης, η µικροσκοπική διπολική ροπή δίνεται από µx t ex tb g b g= −

Η µακροσκοπική ηλεκτρική πυκνότητα πόλωσης p στο σηµείο r του υλικού δίνεται από το άθροισµα όλων των µικροσκοπικών δίπολων

62

p r tV

tx xi

i,b g b g= ∑1

µ

µε V τον όγκο που περιέχει τα δίπολα.

Κρούσεις και διαδικασίες φασικής διαταραχής ∆ιαδικασίες που καταστρέφουν τη φασική πληροφορία είναι συνδεδεµένες σχεδόν πάντοτε µε κρούσεις. Κρούσεις αλλάζουν τις φάσεις ενός συστήµατος χωρίς να χρειάζεται και κάποια ανταλλαγή ενέργειας. Κάθε µικροσκοπική διπολική ροπή έχει µια συνάρτηση κίνησης

d tdt

d tdt

t em

E tx xo x

2

22µ

γµ

ω µb g b g b g b g+ + = −

ώστε χωρίς εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, η διπολική ροπή φθίνει στο χρόνο σαν

( ) ( ) ( ) ( )0x x 0 0 0 0 0t t exp t t i t t i

2γ⎡ ⎤′µ = µ − − + ω − + ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦

0ϕ είναι µια τυχαία φάση στο χρόνο 0t Η παραπάνω ισχύει για κάθε άτοµο στο χώρο V, ώστε για το nστο άτοµο

( ) ( ) ( ) ( )0x,i x ,i 0 0 0 0 0,it t exp t t i t t i

2γ⎡ ⎤µ = µ − − + ω − + φ⎢ ⎥⎣ ⎦

0,iϕ είναι µια τυχαία φάση στο χρόνο ot για το i στο άτοµο Αν όλα τα δίπολα ταλαντώνονται σε φάση, τότε 0,iϕ είναι τα ίδια για όλους τους χρόνους 0t , και η ολική διπολική ροπή στον χώρο V που περιέχει N δίπολα είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

N

x,tot x ,i 0 0 0 0 0,i xi

t t exp t t i t t i NV t2γ⎡ ⎤′µ = µ − − + ω − + ϕ = µ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

και η µακροσκοπική πυκνότητα πόλωσης δίνεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

x,totx x x 0 0 0 0 0

tp t N t t exp t t i t t i

V 2µ γ⎡ ⎤= = µ = µ − − + ω − + ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦

Η πυκνότητα πόλωσης έχει την ίδια συχνότητα ταλάντωσης 0ω και φάση 0ϕ όπως και τα µικροσκοπικά δίπολα που συνεισφέρουν και είναι N φορές µεγαλύτερη από αυτά. Τα δίπολα ταλαντώνονται σε φάση ή είναι απόλυτα ευθυγραµµισµένα. Η φασικές διαταραχές αλλάζουν τις φάσεις 0,iϕ των δίπολων και η µακροσκοπική πυκνότητα πόλωσης είναι τότε πολύ µικρότερη από την παραπάνω. Όταν δίπολα δεν προσθέτονται σε φάση, το µακροσκοπικό αποτέλεσµα ελαττώνεται. Για ένα µεγάλο αριθµό δίπολων µε τυχαία κατανοµή

( )x,tot t 0µ = αλλά η ενεργός τιµή είναι

( ) ( )2x,tot xt NV tµ = µ

µx tb g η τιµή ενός δίπολου. Για ένα µεγάλο πλήθος δίπολων N0 να ταλαντώνονται σε φάση στο χρόνο t0 , έχουµε

( )0x 0 xp t N= µ

ώστε για χρόνους t t> 0 , υπάρχουν N tb g δίπολα σε φάση και N N t0 − b g εκτός φάσης λόγω κρούσεων. Έχουµε έτσι από τα δίπολα N tb g την πολωσιµότητα

( ) ( ) ( ) ( )0x x x 0p t N t t N t cos t= µ = µ ω

ώστε µόνο τα δίπολα σε φάση να συνεισφέρουν στην µακροσκοπική πόλωση του υλικού. Εάν τα πλήθη N0 και N tb g είναι πολύ µεγάλοι αριθµοί, τα δίπολα µέσα από τυχαίες κρούσεις θα έχουν µια συνεισφορά

63

στην πόλωση µηδέν και τιµή µέσου όρου ∝ N N t0 − b g που είναι πολύ µικρότερη από τον πληθυσµό

N tb gκαι µπορούµε να την αγνοήσουµε. Εάν οι κρούσεις συµβαίνουν µε τυχαίο ρυθµό 21 T κρούσεις ανά άτοµο ανά δεύτερο, τότε

dN tN tT

dtb g b g= −

2

και τα το πλήθος δίπολων σε φάση φθίνουν σαν ( ) ( )0 2t t T

0N t N e− −= και η σύµφωνη µακροσκοπική πόλωση φθίνει επίσης σαν

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 2

0

0

t t Tx x 0 x 0 0 0 0

x 0 0 0 02

p t N t t N e exp t t i t t i2

1p exp t t i t t i2 T

− − γ⎡ ⎤= µ = µ − − + ω − + ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞γ

= − + − + ω − + ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

ώστε ο ρυθµός 2γ πρέπει να αντικατασταθεί µε 22 1 Tγ + . Αν και η µακροσκοπική πόλωση έχει την ίδια συχνότητα συντονισµού µε την µικροσκοπική, έχει γρηγορότερους ρυθµούς στην απώλεια ενέργειας λόγω κρούσεων. Τα ατοµικά δίπολα έχουν την εξίσωση κίνησης

( ) ( ) ( ) ( )2

x x 20 x2

t d td et E tdt dt mµ µ

+ γ +ω µ = −

και η µακροσκοπική πόλωση δίνεται από ( ) ( ) ( ) ( )

2x x 2

0 x22

p t dp td 1 ep t E tdt T dt m

⎛ ⎞+ γ + +ω = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ας εξετάσουµε την επίδραση ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου E(t) στο πληθυσµό των δίπολων, αν µπορεί να φέρει ξανά σε συµφωνία τα δίπολα που την έχουν χάσει και µε ποιους ρυθµούς. Πρέπει να δούµε το πρόβληµα για ένα αποµονωµένο δίπολο µε εξαναγκασµένη κίνηση από το πεδίο E t E tb g = cosω Η µεταβατική (οµογενής) λύση της εξίσωσης δίνεται από

( ) ( ) ( ) ( )0x x 0 0 0 0 0t t exp t t i t t i

2γ⎡ ⎤µ = µ − − + ω − + ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦

Ένα εξωτερικό πεδίο συντονισµένο δίνει µια ταλάντωση

( ) 0 0

2i t i t

x ss0

ie Et Re e Re em

ω ω⎡ ⎤⎡ ⎤µ = − = µ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ω γ⎣ ⎦

όπου το ( )0

i 0ss x e ϕµ = µ είναι το µιγαδικό άνυσµα φάσης της κίνησης του ( )x tµ µετά την κρούση.

Η γενική λύση του µx tb g µετά από κρούσεις θα είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των δύο λύσεων, της µεταβατικής και της εξαναγκασµένης

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0

0

t t i t t i t t2x ss 0 ss

t t 2ss 0 ss

t Re e e Re t e

t e

γ− − ω − ω −

− − τ

⎡ ⎤µ = µ + µ −µ = µ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

µ = µ + µ −µ

Μετά από κρούση, το πλάτος του φασικού ανύσµατος µ tb g της ηµιτονοειδούς κίνησης έρχεται από το αρχικό τυχαίο πλάτος 0µ προς το εξαναγκασµένο πλάτος µss µε σταθερά χρόνου 2τ . Στα περισσότερα συστήµατα ο χρόνος dephasing T2 είναι πολύ µικρότερος από τον χρόνο ζωής της ενέργειας τ , ώστε κάθε άτοµο είναι πιο πιθανό να χάσει την φασική συµφωνία του από µια κρούση παρά να έρθει σε συµφωνία λόγω του εξωτερικού πεδίου E(t). Η συµπεριφορά αυτή ισχύει για ασθενή εξωτερικά πεδία. Όταν τα πεδίο είναι ισχυρό, επιβάλλει ισχυρό συντονισµό στο σύστηµα (Rabi).

64

∆ιαδικασίες που οδηγούν στην απώλεια συµφωνίας • Κρούσεις µεταξύ ατόµων και µορίων, που ακόµα και στις περιπτώσεις που δεν ανταλλάσσεται

ενέργεια µεταξύ τους (ελαστικές κρούσεις) οι φάσεις αλλάζουν τυχαία. Αυτό συµβαίνει στο διάστηµα της κρούσης (10-13sec) όπου οι κβαντικές στάθµες επηρεάζονται από την προσέγγιση των ατόµων οι µορίων της κρούσης.

• Στην συµπυκνωµένη ύλη οι κβαντικές στάθµες επηρεάζονται από το περιβάλλον των γειτόνων µέσα στο οποίο βρίσκονται. Θερµικές ταλαντώσεις του πλέγµατος (ρυθµοί φωνονίων) µπορούν να διαµορφώσουν τις στάθµες αυτές ώστε η συχνότητα συντονισµού ωo να χάνει την φασική συµφωνία της µέσα από τα εξωτερικά πεδία.

• ∆ίπολα που βρίσκονται σε γειτονία µπορούν να αλληλοζευκτούν µεταξύ τους, και έτσι να έχουν µια διαπλάτυνση στην απόκριση συντονισµού τους και να χάσουν την συµφωνία ταλάντωσής τους. ∆ιπολική ζεύξη είναι µια διαδικασία που χαλάει την συµφωνία και η θερµική κίνηση που παρατηρείται στην συµπυκνωµένη ύλη να συνεισφέρει στην δηµιουργία τυχαιότητας (ζεύξη µε φωνόνια).

Χρόνοι αποδιέγερσης φασικής συµφωνίας T2 έχουν διαφορετικές τιµές σε διαφορετικά υλικά. • Χρόνοι κρούσης είναι 108 µε 109 sec-1, ώστε 8 9 8 9

2 21 T 10 10 T 10 10− −≈ − ⇒ ≈ − σε χαµηλές πιέσεις • Χρόνοι αποδιέγερσης ενέργειας είναι τ γ≈ ≈ −− − −1 5 710 10 sec για τις σηµαντικότερες µεταπτώσεις • Στο ορατό φάσµα οι συχνότητες είναι ~1015Hz, ή ένας οπτικός κύκλος είναι 10-15sec ⇒ Υπάρχουν πάρα πολλοί οπτικοί κύκλοι µεταξύ κρούσεων ή γεγονότων που καταστρέφουν την φάση. ⇒ Ρυθµοί κρούσεων είναι κατά µια τάξη πιο γρήγοροι από το ρυθµό απώλειας ενέργειας ώστε το 21 T να

υπερισχύει του 2γ . Στη συµπυκνωµένη ύλη οι συχνότητες από τις δονήσεις του πλέγµατος που µπορούν να οδηγήσουν σε απώλεια φασικής συµφωνίας είναι της τάξης 0 έως 1013Hz ⇒ Οι χρόνοι της απώλειας αυτής είναι γρήγοροι σε σχέση µε τους τυπικούς χρόνους µέτρησης αλλά

αργοί σε σχέση µε οπτικές συχνότητες. ⇒ Τέτοιες επιδράσεις µεταβάλλουν τις συχνότητες µέχρι και [ ]1110 Hz έως [ ]1210 Hz ⇒ ∆ύο δίπολα µε διαφορετικές συχνότητες συντονισµού ωo,2 και ωo,1 θα έχουν διαφορά φάσης 2π σε

χρονικό διάστηµα ( )0,2 0,12π ω −ω ή σε 10-11sec έως 10-12sec.

⇒ Χρόνοι ζωής της ενέργειας σε συµπυκνωµένη ύλη είναι [ ]310 sec− έως [ ]410 sec− , και πάλι το 21 T υπερισχύει του 2γ .

Σε ένα σύνολο ατόµων 0N σε φασική σχέση σε χρόνο t 0= , αρχικά θα ακτινοβολήσουν σαν ένα δίπολο

00 xN µ και η ρυθµός εκποµπής θα είναι 0

220 x~ N µ ; όλα τα δίπολα εκπέµπουν σε συµφωνία.

Η συµφωνία αυτή χάνεται µε διαδικασίες που καταστρέφουν τη συµφωνία, αρχικά τύπου T2 ενώ τα δίπολα συνεχίζουν να εκπέµπουν µέσα από διαδικασίες γ nr και γ r . Τώρα εκπέµπουν εκτός συµφωνίας µε τυχαίες φάσεις γύρω από µια στενή φασµατική περιοχή µε κέντρο 0ω , στην ουσία µε ένα φάσµα

θορύβου. Η ισχύς που εκπέµπεται είναι το σύνολο των υπόλοιπων δίπολων, δηλαδή 0

2

0 xN µ αντί για

0

220 xN µ .

Απόκριση στάσιµης κατάστασης: Ατοµική επιδεκτικότητα Αναζητούµε την απόκριση σταθερής κατάστασης ενός συνόλου ταλαντωτών που οδηγούνται από ένα εξωτερικό η/µ πεδίο

65

( )

( ) ( )

i t i t * i tx x x x

ix x

i i tx x x

1E t Re E e E e E e2

E E e is the field phasor, so that

E t Re E e e E cos t

ω ω − ω

ϕ

ϕ ω

⎡ ⎤= = +⎣ ⎦

=

= = ω +ϕ

Η απόκριση ενός ατόµου θα έχει τη µορφή

P t P e P e P ex xi t

xi t

xi tb g m r= = + −Re *ω ω ω1

2

Αγνοώντας το µιγαδικό συζυγές γράφουµε P t P e P e

E t E e E e

x xi t

xi t

x xi t

xi t

b g m rb g m r= =

= =

Re

Re

ω ω

ω ω

εφόσον θα έχουµε τα πραγµατικά µέρη. Από την εξίσωση κίνησης για το P tx b g ,

( ) ( ) ( ) ( )2

x x 20 x2

2

P t dP td 1 eP t E tdt T dt m

⎛ ⎞+ γ + +ω = −⎜ ⎟⎝ ⎠

έχουµε 2

2 20 x x

2

2 Nei P ET m

⎡ ⎤⎛ ⎞−ω + ω γ + +ω =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

που επίσης γράφετε σαν

( )2

x2 2

x 0 2

P Ne 1E m i 2 T

=ω −ω + ω γ +

και την οποία αποκαλούµε γραµµική σχέση σταθερής κατάστασης µεταξύ της επαγόµενης πόλωσης σε ένα σύνολο ταλαντωτών από εξωτερικό η/µ πεδίο. Είναι η συνάρτηση µεταβίβασης για την απόκριση του συστήµατος, δηλαδή η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του ατοµικού µέσου. Η σχέση το ηλεκτρικού πεδίου µετατόπισης D, του ηλεκτρικού πεδίου E και της πόλωσης P είναι

0D E P= ε + Για ένα ισοτροπικό και γραµµικό διηλεκτρικό µέσο, έχουµε επίσης

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0

0

P E

PE

ω = χ ω ε ω

ω⇒ χ ω =

ε ω

ώστε [ ]

( ) ( )( )o o

0

D E P 1 E E

1

= ε + = ε + χ = ε

ε ω = ε + χ ω

όπου έχουµε αγνοήσει τους δείκτες του τανυστή, επειδή έχουµε µια ισοτροπική κατάσταση. Για συστήµατα λέιζερ, µπορούµε να δώσουµε ένα παραπλήσιο ορισµό για την ατοµική επιδεκτικότητα που λαµβάνει υπ’ όψιν και τη διαφορά µεταξύ του πλέγµατος και του ενεργού υλικού. Το υλικό του πλέγµατος στα µήκη κύµατος που µας ενδιαφέρουν, θα έχουν µόνο γραµµική ηλεκτρική πολωσιµότητα εκτός συντονισµού µαζί µε µια σχετικά µικρή συνεισφορά από το ενεργό υλικό σε συντονισµό. Για το ολικό πεδίο µετατόπισης

0 host atD E P P= ε + + Phost κύρια, µεγάλου εύρους, εκτός συντονισµού και γραµµική πόλωση από το πλέγµα Pat µικρή, στενού εύρους, γραµµική και συντονισµένη πόλωση του ενεργού υλικού

( )( )

host 0 host host host

0 host at host at

P E 1 E

D 1 E P E P

= ε χ ε = + χ

= ε + χ + = ε +

66

Από ένα ορισµό του χat P Eat at host= χ ε

έχουµε

χω

ε ωatat

host

PE

=b gb g

που µας επιτρέπει να γράψουµε για το πεδίο µετατόπισης σε ένα λέιζερ D E P Ehost at host at= + = +ε ε χ1b g

Έτσι η γενική επιδεκτικότητα χat για την απόκριση σε συντονισµό ενός συνόλου ταλαντωτών δίνεται από

( ) ( )( ) ( )

2at

at 2 2host 0 0

0 2

P Ne 1E m i

2 T

ωχ ω = =

ε ω ε ω −ω + ω∆ω

∆ω = γ +

όπου το ατοµικό εύρος στο συντονισµό είναι πολύ µικρότερο των οπτικών συχνοτήτων ωo , µικρότερο από κλάσµα του 1%. Μας ενδιαφέρει κυρίως η απόκριση σε εξωτερικά σήµατα µε συχνότητα ω κοντά στο ωo , ώστε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την προσέγγιση σε συντονισµό

( )( ) ( )2 20 0 0 0 02ω −ω ≈ ω −ω ω +ω ≈ ω ω −ω

που µας δίνει

( ) ( )

( )

2

at0 0 0

2

0 0 0

Ne 1m 2 i

iNe 1m 1 2i

χ ω =ε ω ω −ω + ω∆ω

= −εω∆ω + ω −ω ∆ω

από τη παραπάνω σχέση είναι προφανές ότι η απόκριση φθίνει γρήγορα όταν η διαφορά 0ω −ω γίνεται µεγαλύτερη από 0∆ω . Η παραπάνω σχέση είναι µια συνάρτηση Lorentzian σε µιγαδική µορφή. Ορίζουµε ( )0 0x 2∆ = ω −ω ∆ω ώστε ∆x = 0 στο κέντρο, και ∆x = 1 βρίσκετε µετατοπισµένο στα µισά του εύρους από το κέντρο, ώστε

( ) ( )at 0,I 0,I0 0

2 2

I0 0 0

1 1i i1 2i 1 i x

Ne Nem m

χ ω = − χ = − χ+ ω −ω ∆ω + ∆

χ = ≈ω ε∆ω ωε∆ω

εφόσον µπορούµε να χρησιµοποιούµε το ω αντί για το 0ω , εάν παραµείνουµε κοντά στον συντονισµό, όπου και ισχύει η προσέγγιση συντονισµού που κάναµε παραπάνω. Η συνάρτηση αυτή είναι ο µετασχηµατισµός Fourier µε τη συχνότητα, της εκθετικής συµπεριφοράς της πόλωσης P tx b g . Το πραγµατικό και φανταστικό µέρος δίνονται από

( ) ( ) ( )( ) ( )at R I 0,I 2 2

x 1i i1 x 1 x

⎡ ⎤∆χ ω = χ ω + χ ω = −χ +⎢ ⎥

+ ∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

( )′χ ω είναι το πραγµατικό µέρος και ( )′′χ ω είναι το φανταστικό. Το φανταστικό µέρος της απόκρισης

( )( )( ) ( )I 0,I 0,I2 2

0 0

1 11 x1 2

χ ω = −χ = −χ+ ∆+ ω −ω ∆ω

67

είναι µια πραγµατική Lorentzian µε FWHM 0 22 T∆ω = γ + ; το µέρος αυτό είναι η απορρόφηση (ενίσχυση) της ατοµικής απόκρισης. Το πραγµατικό µέρος

( ) ( )( )( ) ( )

0 0R 0,I 0,I2 2

0 0

2 x1 x1 2

ω −ω ∆ω ∆χ ω = −χ = −χ

+ ∆+ ω −ω ∆ω

είναι αντι-συµµετρικό, και δίνεται από τη διαφοροποίηση του φανταστικού µέρους; µας δίνει τη φασική αλλαγή ή την διασπορά της ατοµικής απόκρισης.