02.2-TENSOR DE DEFORMACIÓN11-12
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Consolación Pedraza Rodríguez
Elasticidad y Resistencia de Materiales
Capítulo 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
Consolación Pedraza Rodríguez
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
Consolación Pedraza Rodríguez UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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El problema elásticoF(x,y,z) u(x,y,z)
e(x,y,z)
Rel. cinemáticas
Comportamientos(x,y,z)
Equilibrio
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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Concepto de desplazamiento y deformación
W
G
O
P
O
P
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O
P
Concepto de desplazamiento y deformación
Q
O’
P’
Q’
Q
O
P
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O
P
Concepto de desplazamiento y deformación
Q
O’
P’
Q’
Q
O
P
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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O
P
Concepto de desplazamiento y deformación
Q
O’
P’
Q’
Q
O
P
P
P P
P
u
u v
w
Q
Q Q
Q
u
u v
w
O
O O
O
u
u v
w
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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Concepto de desplazamiento y deformación
O
P
Q
O’
P’
s
t
Q’
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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Concepto de desplazamiento y deformación
O
P
Q
O’
P’
s
t
'
Q’
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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Concepto de desplazamiento y deformación
O
P
Q
O’
P’
s
t
' 's
O Q OQ
OQ
' 't
O P OP
OP
'st
Q’
Valores medios
'
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Concepto de desplazamiento y deformación
O
P
Q
O’
P’
s
t
' 's
O Q OQ
OQ
' 't
O P OP
OP
Q’
' 'limtP O
O P OP
OP
' 'limsQ O
O Q OQ
OQ
,lim ( ')stP Q O
Valores medios
Valores instantáneos
'st '
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
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Deformación en el entorno de un punto
( , , )P x y z
( , , )Q x dx y dy z dz
dx
dr dy
dz
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dx
dr dy
dz
u
( , , )Q x dx y dy z dz
'P
( , , )P x y z
Deformación en el entorno de un punto
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u du
( , , )Q x dx y dy z dz
'P
'Q
( , , )P x y z
Deformación en el entorno de un punto
dx
dr dy
dz
u
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'
' '
'
dx
dr dy
dz
( , , )Q x dx y dy z dz
'P
'Q
( , , )P x y z
Deformación en el entorno de un punto
dx
dr dy
dz
u du
u
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Deformación en el entorno de un punto
du
dr
( , , )Q x dx y dy z dz
'P
'Q
( , , )P x y z
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
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( , , )Q x dx y dy z dz
'P
'Q
TRASLACIÓN
( , , )P x y z
Deformación en el entorno de un punto
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
du
dr
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( , , )Q x dx y dy z dz
'P
'Q
“TODO LO DEMÁS”
( , , )P x y z
Deformación en el entorno de un punto
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
du
dr
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( , , )Q x dx y dy z dz
'P
'Q
“TODO LO DEMÁS”
GIRO Y DEFORMACIÓN
( , , )P x y z
Deformación en el entorno de un punto
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
du
dr
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Q Pu u du
( , , )P x y z
'P
'QGIRO YDEFORMACIÓN
( , , )Q x dx y dy z dz
Deformación en el entorno de un puntoSignificado físico del tensor de deformación
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
du
dr
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2
2
2
O
O
O
Q P
Q P
Q P
u u uu u dx dy dz d
x y z
v v vv v dx dy dz d
x y z
w w ww w dx dy dz d
x y z
GIRO YDEFORMACIÓNTRASLACIÓN
Deformación en el entorno de un punto
Q Pu u du
du
dr
Q
'P
'Q
P
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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2
2
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O
O
O
Q P
Q P
Q P
u u uu u dx dy dz d
x y z
v v vv v dx dy dz d
x y z
w w ww w dx dy dz d
x y z
GIRO YDEFORMACIÓNTRASLACIÓN
Deformación en el entorno de un punto
du
dr
Q
'P
'Q
P
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
Q Pu u du
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GIRO YDEFORMACIÓNTRASLACIÓN
Q P
Q P
Q P
u u uu u dx dy dz
x y z
v v vv v dx dy dz
x y z
w w ww w dx dy dz
x y z
Q P
u u u
x y zu u dx
v v vv v dy
x y zw w dzw w w
x y z
Deformación en el entrono de un puntoSignificado físico del tensor de deformación
Q Pu u du
du
dr
Q
'P
'Q
P
dx
dr dy
dz
'
' '
'
dx
dr dy
dz
u du
u
u
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GIRO YDEFORMACIÓN
TRASLACIÓN
1 12 2
1 12 2
1 12 2
u u v u w
x y x z x
u v v v w
y x y z y
u w v w w
z x z y z
GIRODEFORMACIÓN
Deformación en el entorno de un punto
Q Pu u du
Q P
u u u
x y zu u dx
v v vv v dy
x y zw w dzw w w
x y z
2 2
t t A A A A
A
1 12 2
1 12 2
1 12 2
0u v u w
y x z x
u v v v w
y x y z y
u w v w w
z x z y z
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
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x
y
dx
dy
x
y Deformaciónen dirección x
x
yDeformaciónen dirección y
x
yDeformación
angular
Deformación
variación de lasposiciones relativas
de los puntosdel dominio
Puntos cercanos
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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dxxu
uu
x
y
dx
dy
x
yDeformaciónen dirección x
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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dxxu
uu
x
y
dx
dy
x
yDeformaciónen dirección x
limix
f ix x
x il Ox
udx u dx u dxl l ux
l dx x
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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dxxu
uu
x
y
dx
dy
x
yDeformaciónen dirección x
limix
f ix x
x il Ox
udx u dx u dxl l ux
l dx x
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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dxxu
uu
x
y
dx
dy
x
yDeformaciónen dirección x
limix
f ix x
x il Ox
udx u dx u dxl l ux
l dx x
x
u
x
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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dyyv
v
v
x
y
dxdy
x
y
Deformaciónen dirección y
limiy
f iy y
y il Oy
vdy v dy v dy
l l vyl dy y
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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dyyv
v
v
Concepto de desplazamieno y deformación
x
y
dxdy
x
y
Deformaciónen dirección y
limiy
f iy y
y il Oy
vdy v dy v dy
l l vyl dy y
y
v
y
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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vv dx
x
v
uu dy
y
u
x
y
dxdy
x
y
Deformaciónangular
,limi ix y
i fxy
l l O
uv u dy uv dx v v uyxdx dy x y
a
b
tg ; tg , 1
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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vv dx
x
v
uu dy
y
u
x
y
dxdy
x
y
Deformaciónangular
,lim ( )i ix y
i fxy
l l O
uv u dy uv dx v v uyxdx dy x y
a
b
xy
v u
x y
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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xy
xz
yz
u v
y x
u w
z xv w
z y
x
y
z
u
xv
y
w
z
El problema elástico
El problema elástico
F(x,y,z) u(x,y,z)
e(x,y,z)
Rel. cinemáticas
Comportamiento
Equilibrio
s(x,y,z)
Relacionescinemáticas
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
TENSOR DEDEFORMACIONES
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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TENSOR DEDEFORMACIONES
Deformaciones linealesinstantáneas
en las direcciones del S.R.
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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TENSOR DEDEFORMACIONES
Deformaciones linealesinstantáneas
en las direcciones del S.R.
¿Deformaciones angulares instantáneasen los planos de referencia?
¿Por qué 1/2?
Simétrico
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
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x
y
a
b
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
a
b
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
Bisectrices
a
b
4
4
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
a
b
4
4
Bisectrices
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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4
4
x
y
a
b
4
4
E1
E2
Bisectrices
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
a
b
4
4
2
E1-E2
4
4
E1
E2
Bisectrices
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
a
b
4
4
0 Obviedad!!!
E1-E2
4
4
E1
E2
Bisectrices
2
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
a
b
4
4
0 Obviedad!!!
,limi ix y
i fxy
l l O 2xy / 2xy
E1-E2
4
4
E1
E2
Bisectrices
2
Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
TENSOR DEDEFORMACIONES
Deformaciones linealesinstantáneas
en las direcciones del S.R.
Semi-deformaciones angulares instantáneasx xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Otra notación
Simétrico
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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El vector deformación. Componentes intrínsecas.(Deformación en el entorno de un punto.)
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
l
n m
n
Vector deformación
dr
du
'dr
u
u du
( , , )P x y z
( , , )Q x dx y dy z dz
n
2 2 2 1l m n
u
'dr
dr
du
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1 n dr
·n n
Componente normal
n dr
1 12 2
1 12 2
1 12 2
·x xy xz
xy y yz
xz yz z
l l
m m
n n
El vector deformación. Componentes intrínsecas.(Deformación en el entorno de un punto.)
Vector deformación
2 2 2 1l m n
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
l
n m
n
n
'dr
dr
du
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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1
2dr
Componente normal
El vector deformación. Componentes intrínsecas.(Deformación en el entorno de un punto.)
Vector deformación
2 2 2 1l m n
1 12 2
1 12 2
1 12 2
·x xy xz
xy y yz
xz yz z
l l
m m
n n
n
'dr
dr
du
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
l
n m
n
·n n
n dr
1 n dr
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Componente normal
2
2 1
2t n
du
dr
Componente angular
El vector deformación. Componentes intrínsecas.(Deformación en el entorno de un punto.)
Vector deformación
2 2 2 1l m n
1 12 2
1 12 2
1 12 2
·x xy xz
xy y yz
xz yz z
l l
m m
n n
n
'dr
dr
du
1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
l
n m
n
·n n
1
2dr
n dr
1 n dr
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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x
y
z
dx
dz
dy
x1dx
z1dz
y1dy
?fV V V
V
fV
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x
y
z
dx
dz
dy
x1dx
z1dz
y1dy
fV V V
(1 ) · (1 ) · (1 ) · ·x y zdx dy dz dx dy dz
V
fV
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x
y
z
dx
dz
dy
x1dx
z1dz
y1dy
?fV V V
(1 ) · (1 ) · (1 ) · ·x y zdx dy dz dx dy dz
( ) · ·x y z dx dy dz e V
Ve
V
Incrementounitario
de volumen
V
fV
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Sea
1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 03 3
0 0 1 0 0 1
O J e
ε 1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
Igual incremento de volumen
3 3
e e
ε I ε I
Tensor esféricode deformación
Tensor desviadorde deformación
3
3
3
x xy xz
Dxy y yz
xz yz z
e
e
e
ε
Contiene la informacióndel cambio de volumen
Contiene la informacióndel cambio de volumen
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
Capítulo 2.2: El tensor de deformaciónElasticidad y resistencia de materiales. 2011/2012
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• Componentes intrínsecas
• Circulos de Möhr
• Deformaciones y direcciones principales
• Invariantes
• Deformaciones octaédricas
• Deformación plana
• Tensor esférico y desviador
• Tensor simétrico
,n
, ,I II III
1 3oct I 22 21 29 3
oct I I
O octσ IºD oct σ σ Ι
1 x y z I II IIII
22 2 2
I II I III II III
x y x z y z xy xz yz
I
3 det( )I σ
• Componentes intrínsecas
• Circulos de Möhr
• Tensiones y direcciones principales
TENSIÓN
• Invariantes
• Tensiones octaédricas
• Tensión plana
• Tensor esférico y desviador
• Tensor simétrico
12,n
, ,I II III
I II III, , ,n , n , n
1 3oct J 21 2 21 22 9 3
oct J J
O octε ID oct ε ε I
1 x y z I II IIIJ e
22 2 2
I II I III II III
x y x z y z xy xz yz
J
3 det( )J ε
DEFORMACIÓN
Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
I II IIIn , n , n
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
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x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Ecuaciones de compatibilidad
( , , )f x y z ¿Es válida cualquier función?
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x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Ecuaciones de compatibilidad
( , , )f x y z ¿Es válida cualquier función?
Se producirían HUECOS y SOLAPES
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x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Ecuaciones de compatibilidad
( , , )f x y z ¿Es válida cualquier función?
Se producirían HUECOS y SOLAPES
Campo de desplazamientosDISCONTINUO
NO UNIVALUADO
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x xy xz
xy y yz
xz yz z
ε
Ecuaciones de compatibilidad
( , , )f x y z ¿Es válida cualquier función?
Se producirían HUECOS y SOLAPES
Campo de desplazamientosDISCONTINUO
NO UNIVALUADO
INACEPTABLE
NO !!!
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Ecuaciones de compatibilidad
¿Es posible encontrar un campo de desplazamientos
para cualquier tensor de deformación?
xy
xz
yz
u v
y x
u w
z xv w
z y
x
y
z
u
xv
y
w
z
Sistema de seis ecuaciones con tres incógnitasC
PUEDE SER INCOMPATIBLE
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Ecuaciones de compatibilidad
2 22
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
2
1
2
1
2
xy yx
xz x z
yz y z
x y y x
x z z x
y z z y
2
2
2
xy yzx xz
y yx yz zx
zy xyz zx
y z x y z x
z x y z x y
x y z y x z
Ecuacionesde compatibilidad
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xy
xz
yz
u v
y x
u w
z xv w
z y
x
y
z
u
xv
y
w
z
El problema elástico
El problema elástico
F(x,y,z) u(x,y,z)
e(x,y,z)
Rel. cinemáticas
Comportamiento
Equilibrio
s(x,y,z)
Relacionescinemáticas
2
2
2
xy yzx xz
y yx yz zx
zy xyz zx
y z x y z x
z x y z x y
x y z y x z
2 22
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
2
1
2
1
2
xy yx
xz x z
yz y z
x y y x
x z z x
y z z y
Ecs. De compatibilidad
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
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1 12 2
1 12 2
1 12 2
x xy xz
xy y yz
xz yz z
Deformación plana
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12
12
0
0
0 0 0
x xy
xy y
12
12
x xy
xy y
x
y
z
Lh
1h
L
Deformación plana
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Fuerzas
superficiales
volumétricas
,
,
0
xx
s y y
z
F x yFF F F x y
F
,
,0
V
X x yXF Y Y x y
Z
y
x
n
12
12
cos
sinx xy
xy y
n
Deformación plana
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1,
2y xy
n
1
2
III
2
21
2 4x y
xyR
2x yO
Deformación plana
1,
2x xy
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1,
2y xy
1
2
III
Deformación plana
1,
2x xy
y
x
n
2
cos 2 2n n O R
2
1sin 2 2
2t R
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CAPÍTULO 2.2:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1. Introducción
2. Concepto de desplazamiento y deformación
3. Deformación en el entorno de un punto
4. Significado físico del tensor de deformación y de la matriz de
giro
5. El vector deformación. Componentes intrínsecas
6. Tensor esférico y tensor desviador
7. Correlación tensor de tensión, tensor de deformación
8. Ecuaciones de compatibilidad
9. Deformación plana
Medidas de deformación: galgas extensométricas
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Medidas de deformación: galgas extensométricas
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Medidas de deformación: galgas extensométricas
Puntode medida
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Medidas de deformación: galgas extensométricas
Puntode medida
Galga
Rosetados galgas a 90º
Rosetatres galgas
Rosetapara análisis de
tensiones residuales
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Elasticidad y Resistencia de Materiales
Capítulo 3:EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
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Empecemos por un ejemplo
3 6 2
6 2 3 3
2·10 5·10
10 6·10 3·10
0
x y
x y
u
¿Cuál es el tensor de deformaciones?¿Es compatible?
Partiendo del tensor de deformaciones, ¿podemos llegar al campo de desplazamiento?