03 EF Barra Avanzados

7/23/2019 03 EF Barra Avanzados

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03 - Elementos de finitosLagrangianos para

tensin/compresin axial

Diego Andrs Alvarez Marnrofesor Asistente

!niversidad "acional de #olom$ia%ede Manizales


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olinomios de Lagrange


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&'nciones de forma () nodos*


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&'nciones de forma(3 nodos*


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&'nciones de forma(+ nodos*


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,nterpolacinisoparamtrica


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ipos de interpolacin

,soparamtrica (m.n*

%'perparamtrica (mn*

%'$paramtrica (mn*


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,ntegracin n'mrica

#'ando las integrales m'1 comple2as se res'elvenmediante mtodos de integracin n'mrica El errorde la aproximacin 4'e depende del mtodo 4'e se'se 1 p'ede llegar a ser tan pe4'e5o como se

desee

%'mas de 6iemannMtodo de "e7ton-#otes (trapecio8 %impson8 etc*Mtodo de 6om$erg (interpolaciones de6ic9ardson*#'adrat'ras de :a'ss (e2; :a'ss-Legendre8 :a'ss-


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#'adrat'ras de :a'ss-Legendre

La pop'laridad de la c'adrat'ra de :a'ssLegendre se de$e a 4'e 'tiliza 'n n'meromnimo de p'ntos de integracin para conseg'ir'n error determinado en el calc'lo de la integral8por consig'iente minimiza el n'mero de veces4'e 9a1 4'e eval'ar el integrando


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#'adrat'rasde :a'ssLegendre


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#'adrat'rasde :a'ssLegendre


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#'adrat'ras de :a'ss-Legendre


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=6:A",>A#,=" ?A%,#A DE !"6=:6AMA DE E&


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%eleccin del tipo de elemento

En caso 4'e se tenga 'na cierta idea de laforma polinmica de la sol'cin8 conviene'tilizar elementos con f'nciones de forma delmismo grado 4'e la sol'cin conocida (rara

vez oc'rre en la pr@ctica* En zonas donde se int'1a 4'e p'eden existir

gradientes de esf'erzos elevados es m@s

adec'ado 'tilizar elementos de ma1or orden(mtodo p* o mallas m@s t'pidas (mtodo 9*


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%eleccin del tipo de elemento

De$e evitarse colocar 'n elemento pe4'e5ocontig'o a 'no grande La transicin en tama5ode$e ser grad'al

%e recomienda 'tilizar elementos finitos depocos nodos (pero no tan pocos*

En el caso de elementos Lagrangianos8 tenerc'idado con el pro$lema de 6'nge or lo tanto

no es $'eno esco2er tantos nodos


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#onvergencia de la sol'cin

En lo posi$le8 se de$en 9acer an@lisis conmallas cada vez m@s t'pidas8 de modo 4'epodamos o$servar si la sol'cin 9a convergido


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6e4'isitos necesariospara la convergencia de


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4 p gla sol'cin

Condicin de continuidad: el campo de

desplazamientos de$e ser contin'o al interior de cadaelemento

Condicin de derivabilidad: la proximacinpolinmica escogida de$e ser deriva$le al menos

9asta el orden de las derivadas 4'e aparecen en elB or e2emplo en

%olo aparecen derivadas de primer orden8 por lo 4'elas f'nciones de forma lineales son s'ficientes

Condicin de integrabilidad:


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Condicin de integrabilidad:

Las f'nciones de forma de$en ser tales 4'e lasintegrales 4'e aparecen en el B sean integra$les La

derivada de orden mde 'na f'ncin es integra$le si s'sm-1 primeras derivadas tam$in lo son or lo tanto8 sien el B aparecen derivadas de los desplazamientosde orden m8 dic9os desplazamientos8 1 por consig'iente

las f'nciones de forma 'tilizadas para aproximarlos8de$en tener contin'idad de clase Cm-1

=$serve 4'e en n'estro caso existen derivadas de ordenC8 por lo tanto la f'ncin de forma de$e ser al menos de

orden C0


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Condicin de parcela:

#ondicin de deformacin constante;

A medida 4'e la malla de elementos finitos se refina8 lascondiciones dentro de cada elemento se aproximar@nm@s a las de 'n estado de deformacin constante

#ondicin de slido rgido;

%i el elemento se m'eve como 'n slido rgido8 ladeformacin dentro del elemento de$e ser n'la en s'

interior Esta condicin se satisface c'ando

6e4'isitos deseables para la


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6e4'isitos deseablespara laconvergencia de la sol'cin

Condicin de compatibilidad:

Los movimientos caractersticos del pro$lema8tales como desplazamientos en pro$lemas de

elasticidad8 desplazamientos 1 giros en placas 1l@minas de$en ser contin'os entre elementos(los elementos 4'e satisfacen este principio sellaman elementos conformes 1 si no lo 9acen

elementos incompatibleso no conformes* %es'giere refinar progresivamente la malla


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Condicin de estabilidad: El rango correcto de la matriz de rigidez de 'n

elemento aislado 1 sin vinc'laciones externas de$eser ig'al al nmero de movimientos de slido rgido

de 'n elemento

6igid $od1 mode . modos de deformacin de

energa n'la; son los correspondientes a losvalores propios n'los de la matriz de rigidez delelemento


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En la pr@ctica s'cede con frec'encia 4'ede$ido a la eval'acin inexacta de alg'nostrminos de K(e* (por e2emplo por medio detcnicas de integracin red'cida*8 seintrod'cen en el elemento mecanismosinternos adicionales a los de slido rgidoDic9os mecanismos no son desea$les 1 'nelemento ptimoF de$era estar li$re de ellos


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Condicin de invarianza: !n elemento no de$e tener direcciones preferentes

La invarianza de 'n elemento est@ garantizada si

s's f'nciones de forma son polinomios completos

#onsideraciones so$re la compa-


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#onsideraciones so$re la compati$ilidad 1 e4'ili$rio de la sol'cin

La sol'cin por el ME& es aproximada 18 porconsig'iente8 en general no satisface losre4'isitos de e4'ili$rio 1 compati$ilidad 4'eseran exigi$les a la sol'cin exacta %in

em$argo8 en el ME&;

La sol'cin es compati$le dentro de los elementos

La sol'cin p'ede ser o no ser compati$le a lo

largo de los contornos interelementales La compati$ilidad se satisface siempre en los

nodos

#onsideraciones so$re la compa-


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#onsideraciones so$re la compati$ilidad 1 e4'ili$rio de la sol'cin El e4'ili$rio de f'erzas 1 momentos se satisface

siempre en los nodos

"ormalmente no existe e4'ili$rio de tensionesentre elementos or lo tanto al final del an@lisis se

de$e realizar 'na interpolacin entre los esf'erzosdel elemento

Los esf'erzos no est@n en e4'ili$rio en el interiordel elemento

#ondiciones para la convergencia


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#ondiciones para la convergenciade los elementos isoparamtricos

Los elementos isoparamtricos satisfacen; la condicin de contin'idad del campo geomtrico

de desplazamientos

el criterio de parcela la condicin de invarianza

la condicin de compati$ilidad de desplazamientos

la condicin de invarianza

ipos de error en la sol'cin de


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ipos de error en la sol'cin deelementos finitos

Error de discretizacin Error de aproximacin de la geometra

Error en el c@lc'lo de las integrales del

elemento Errores en la sol'cin del sistema de

ec'aciones

Errores asociados a la ec'acin constit'tiva

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