03 Polinomios Especiales s

7/25/2019 03 Polinomios Especiales s

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27Centro Preuniversitario de la UNS CEPUNS Semana 03

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS

Ingreso 2015LGEBRA

Polinomios Especiales

I. LECTURA MOTIVADORA

EL MUNDO DE LA MATEMTICA

La matemtica es una ciencia con muchavitalidad que durante el siglo xx desarrollo ycre nuevas reas de gran impacto en otrasciencias, en la tecnologa, la ingeniera, La

economa, la biologa, las finanzas y elmundo en general.As, la investigacin de operaciones, losfractales (la geometra de la naturaleza y suutilizacin en las artes), las ondculas (suuso para para el reconocimiento de huellasalgoritmo adoptado por el FBIy tcnicasde compresin de imgenes fijas), laborrosidad (el control borroso y suaplicacin en aparatos electrodomsticos derefrigeracin, de aire acondicionado, en

frenos, entre otros), los sistemas dinmicos,la teora de la informacin, los cdigos y la criptografa, la ecuacin de black-Scholes que permitecalcular el valor de la opcin de compra de acciones, la teora de juegos y dentro de sta laformulacin de John Nash, utilizada en econometra, que le vali el premio Nobel (1994); el grandesarrollo de la probabilidad, la estadstica y del anlisis de datos se encuentran entre los logrosdel siglo que recientemente finaliz.Ese dinamismo de la matemtica, al igual que el crecimiento explosivo de la ciencia y latecnologa, genera un problema clave para los ciudadanos de cualquier pas, por ello estos tienenque estar informados de algunos aspectos centrales que les ataen en cuanto al desarrollo de lasciencias, entre estas la matemtica, puesto que repercuten de alguna forma en el progreso de suspropios pases y en la sociedad en general.La evolucin y el vigor de la matemtica no se detienen. Por el contrario, se plantean nuevosdesafos y se resuelven problemas antiguos y recientes. Esto aunado a su estrecha relacin conla informtica, favorecindose mutuamente, lo que permite realizar numerosos clculos con granrapidez y precisin e igualmente hacer representaciones grficas en dos y tres dimensiones.

Para algunos, el tiempo es la razde todos los problemas sobre todo

en el mundo actual donde nadie tiene tiempo para nada y todo el mundo

corre para llegar puntualmente a los sitios.

Supongo que ste relojno es una metfora sobre el tiempo, sino que

est diseado para amantes de las matemticas que con un clculo

mental rpido saben que la raz cuadrada de 4 son las dos en punto.
http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=bgXeQfSnlVjQuM&tbnid=Su1ElTcnwJL4zM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.arcigaymilano.org/&ei=u4kcU-7XBqb90wH58YBQ&bvm=bv.62578216,d.dmQ&psig=AFQjCNFaaqGIKjfTMqPYKGEv8TFV41iwVA&ust=1394461855470776


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Centro Preuniversitario de la UNS CEPUNS Algebra


TEMA N 3: POLINOMIOS ESPECIALES

COMENTARIO PREVIO

POLINOMIO ENTERO EN X.Unpolinomio en xes cualquier suma finitade monomios en x. Es necesario ser

reiterativo que un polinomio en x es unaexpresin algebraica Racional Entero. Otromodo de decirlo es el siguiente:

Recordar:

kkxa de la suma, es un trmino del

polinomio. Si el coeficiente ka es cero, el

trmino kkxa ser omitido. El coeficiente na

de la potencia ms alta de x es el coeficienteprincipal del polinomio y si

na 0, se dice

que el polinomio tiene GRADO n.

Un polinomio en x puede ser consideradocomo una expresin algebraica obtenidaempleando nicamente sumas, restas ymultiplicaciones que incluyen a x. Enparticular, las expresiones:

2

2

1 53 ; ; 3 2

3 2

x

x x x

x

No son polinomios enteros en x puesexisten divisiones entre variables, o racesen las que existen variables.

Los coeficientes de los polinomios sepueden elegir de algn sistema matemticodistinto del de los nmeros reales. Sin

embargo, a menos que se especifique otracosa, el trmino POLINOMIO se referirsiempre a un polinomio con coeficientesreales.

Puesto que los polinomios, y los monomiosque constituyen los polinomios, sonsmbolos que representan nmeros reales,todas las propiedades conocidas puedenaplicarse. Si se llevan a cabo sumas, restasy multiplicaciones con polinomios, se puede

simplificar entonces el resultado haciendouso de las propiedades de los nmerosreales.

Es frecuente asignar letras maysculas P,Q, R, S y encerrar en parntesis a la x, paradistinguir un polinomio de otro y sealar lasvariables de la misma, as:

P (x) = 3 constante

Q (x) = 4x + 5 lineal

R (x) = 2x2+ 4x 2 cuadrtico

S (x) = x3+ 5x27x + 1 cbico

Cuando el coeficiente principal es igual a launidad se le llama: POL INOMIO MNICOcomo el polinomio S.

Cuando los coeficientes son primos entre sise dice que es un POLINOMIO PRIMITIVO

como Q y S observando que R no esprimitivo.

Ejemplo:2( ) 11 4P x x x ; es un

polinomio mnico de segundo grado(cuadrtico).

Definicin: un polinomio en x es unaexpresin de la forma:

1

( ) 1 1 0

n n k

x n n kP a x a x a x a x a

En donde n es un entero no negativo y los ia

son nmeros reales, n es el grado de P(x)

1 2 2 1 0{ ; ; ;...; ; ; }n n na a a a a a

Son loscoeficientes;

0na es el coeficiente principal.

0a es el trmino independiente

1na P(x) es Mnico.


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II. INFORMACIN TERICA

POLINOMIOS ESPECIALESSon aquellas expresiones enteras cuyascaractersticas (grado, coeficientes yvariables) y por la forma como se presentan,guardan ciertas propiedades implcitas que

las hacen notables. En este nivel, por susaplicaciones usuales, nos interesa el estudiode los siguientes polinomios:

1. POLINOMIO ORDENADOCon respecto a una variable, es aquelpolinomio en la cual los valores de losexponentes de dicha variable, sloaumentan o disminuyen segn que laordenacin sea CRECIENTE oDECRECIENTE.

La variable que presenta estacaracterstica se denominaORDENATRIZ.

EjemplosEn el polinomio:

7 2 5 4 3 6 9( ; ) 6 5 8 4P x y x y x y x y y

La variable x es ordenatriz decrecientede P.La variable y es ordenatriz creciente deP .En la expresin racional:

8 5 4 9 7 4 10

; 2 x y 3x y 0,6x y x y

x yQ

No existe una ordenacin respecto dex.Respecto de y est ordenado en formaCRECIENTE.

2. POLINOMIO COMPLETOCon respecto a una variable, es aquelpolinomio en la cual, los valores de losexponentes de dicha variable aparecende manera consecutiva desde el mayorhasta el cero inclusive, sin interesar laordenacin presentada.

Por ejemplo:El polinomio mostrado

4 3 2 2 4 5 6

; 6 xy 5x y 7x y 8x y 2

x yF y

Es completo respecto de x, peroincompleto respecto a y. Adems eltrmino que no depende de x es

(2y6). Es decir:

6(x)T.I. 2 y

PROPIEDADES USUALES

COROLARIO 1En todo polinomio completo de una variable,el nmero de trminos es igual al grado dela expresin aumentado en la unidad.

Es decir: # t rminos grado 1

EjemplosEn el polinomio:

3 5 2 4( ) 2 3 5 6 2 9P x x x x x x

# trminos = grado (P) + 1# trminos = 5 + 1 = 6

COROLARIO 2En todo polinomio completo y ordenado deuna variable, la diferencia de grados (envalor absoluto) de dos trminosconsecutivos, es igual a la unidad.

k k 1grado t - grado t 1

EjemploEn el polinomio:

Veamos:|Grado (t2)grado(t3)|= |76|= |1|= 1

|Grado (t5)grado(t6)|= |43|= |1|= 1

{

9

8

8

72

7

63

6

54

5

45

4

36

3

27

2

18

1

0)x(

T

ax

T

ax

T

ax

T

ax

T

ax

T

ax

T

ax

T

ax

T

aP +++++++={ { { { { { { {


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3. POLINOMIO HOMOGNEOUn polinomio de dos o ms trminos yms de una variable es homogneo, sidichos trminos presentan el mismogrado absoluto, denominado grado dehomogeneidad.

EjemploEn el polinomio:

8 4 5 7 3 9 1 1

( x )

1 2 3 4

P 7 x y 9 x y 8 x y 4 xy

T T T T

GA(T1) = GA(T2) = GA(T3) = GA(T4) = 12

Es decir:Grado de homogeneidad (P) = 12

COROLARIO 4Todo polinomio homogneo P(x, y) degrado n verifica la siguiente sustitucinliteral:

n

(mx,my) (x,y)P m P ;m R*

Donde n es el grado de homogeneidady la constante m es un escalar real.

4. POLINOMIOS IDNTICOSDos o ms polinomios del mismo gradoy en las mismas variables son idnticos,si los valores numricos resultantes dedichas expresiones son iguales, paracualquier sistema de valores asignadosa sus variables. Es decir:

(x,y) (x,y) (a,b) (a,b)P Q P Q ;{a ,b} R

Ejemplo:Dados:

P(x, y)= (x + y)4(xy)4

Q(x, y)= 8xy (x2+y2)

Afirmamos que P y Q son idnticos,debido a que al evaluarlos para:

4 4

1;1

2 2

1,1

1 1 1 1 161, 1,

8 1 1 1 1 16

Px y

Q

Del mismo modo, para:

4 4

2;1

2 2

2,1

2 1 2 1 802, 1,

8 2 1 2 1 80

Px y

Q

Los valores numricos resultantessiempre son iguales

TEOREMA 1Dos polinomios de las mismascaractersticas, tales como:

P(x,y)=a0xm+a1x

nyp+ a2xqyr +...+aky

s

Q(x,y)=b0xm+b1x

nyp+b2xqyr +...+bky

s

son idnticos, si los coeficientes de sus

respectivos trminos semejantes, soniguales. Es decir:

0 0 1 1 2 2 k k a b ; a b ; a b , ... ,a b

Ejemplo:Si son idnticos los polinomios:

P(x, y, z)= (a + b)x5+(a + c)y3+(x + a)x4

Q(x, y, z) = 5x5

+ 3y3+ 4x

4Calcular el valor de (a + b + c)

Por el teorema 1:

a + b = 5 ................. (1)b + c = 3 ..................... (2)c + a = 4 ..................... (3)

Sumando las relaciones: 2(a + b + c)=12Simplificando: a + b + c = 6

5. POLINOMIO IDNTICAMENTE NULOEs aquel polinomio de grado no definido,cuyo valor numrico resultante siemprees igual a cero, para cualquier sistemade valores que asumen sus variables. Esdecir:

(x,y) (a,b)P 0 P 0 ; {a,b} R


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Ejemplo:Dado

P(x,y)= (x+4y)(x+y)(x+3y)(x+2y)+2y2

Afirmamos que P es idnticamente nulo,debido a que al evaluarlo para:

1;11, 1, 5 2 4 3 2 0x y P De igual manera, para:

1; 11, 1, 3 0 2 1 2 0x y P Los valores numricos siempre resultan

ser iguales a cero.

TEOREMA 2Un polinomio de la forma:

1 20 1 2 1( ) m m m

m mP x a x a x a x a x a

es idnticamente nulo, si todos suscoeficientes son iguales a cero. Es decir:

0 1 2 m 1 ma a a ... a a 0

Ejemplo:Calcular el grado de la expresin:

a b b 4c a1 c(x,y)R (xy) x y Si el polinomio mostrado:

P(x)= (xa)2+ b(x3) + cx2

Es idnticamente nulo considerandoc


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Puede reducirse a monomio. Segnesto, proporcionar su valor reducido.

a) -5x b) 5x c) 10xd) -8x e) 7x.

Resolucin

Al reducirse en un monomio, lostrminos son semejantes; luego:

6 41

a b a b

Luego:

4

6

a bsumando ambos miembros

a b

2a = 10 a = 5 b = -1Se pide el trmino reducido:

(a + b2- ab + b - a) x = (b2- ab + b) x

Reemplazando: a = 5; b = - 1

[(-1)2- (5) (-1) + (-1)] x

R(x) = [1 + 5 - 1] x = 5x

RESPUESTA "b"02. De las siguientes expresiones, son

algebraicas:

I. 25log 32x x

II.3 45 45 2x Cos x

III. .......2 4 8

x x x

a) Slo III b) I y II c) Todasd) II y III e) II

Resolucin

Premisa I:

25log 32x x , si es una expresin

algebraica.Observa que el resultado de 5log 32 es

un nmero real y multiplica a la variable!

Premisa II:3 4

5 45 2x Cos x , tambin es unaexpresin algebraica ya que

145

2

Cos .

Premisa III:

.....2 4 8

x x x ,

Antes de clasificar cualquier expresin,se tendr que reducir lo mximo que sepueda, luego:

1 1 1...

2 4 8

x

Reduciendo la sucesin convergente:1 1 1

....2 4 8

S

1 1 1 1.....

2 2 2 4

S

S

1 11

2 2 2 2

S SS S

Finalmente la expresin reducida ser:

...2 4 8

x x x

x

Si es expresin algebraica.RESPUESTA "c"

03.Si

1

x

xP

x

; 1

1x

F

x

Y adems G (x) = x. Halle el valor dex cuando:

1

( )10

P F G x

a) 2 b) 1/2 c) 1/8d) 8 e) 1/10

Resolucin


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En la expresin: 1

( )10

P F G x

Reemplacemos G(x) = x:

1

10P F x

Ahora es conveniente que en:

1x

xPx

Hagamos el cambio de x por F (x):

( )

( )

1 ( )F x

F xP

F x

Reemplazando simultneamente losdatos:

11 1

1101

1

x

x

Esto es una ecuacin con incgnita x:

1

1 1

210

1

x

x

x

Simplificando en la derecha:1 1

10 2x

De donde: x = 8

RESPUESTA "D"

04.Dados dos polinomios P y Q, donde elgrado absoluto de Q es 30 y el menorexponente de x en P es 6. Indicar el

grado absoluto P menos el grado relativoa y en Q.

3 5 2 7 1 2( ; ) 4 7 2

a b a b a bx yP x y x y x y

3a 1 2b 4 3a 4 2b 5 3a 7 2b 3(x;y)

1 1Q 2x y x y x y

3 2

a) 2 b) 3 c)4d) 5 e) 6

RESOLUCION

Por dato del problema:Menor exponente de x en P:a+1=6 a= 5Asimismo: G.A.(Q) = 3a + 2b + 1 = 30GA (Q) = 3(5) + 2b + 1 = 30 b = 7

Luego: G.A.(P) = a + b + 9 = 5 + 7 + 9 G.A.(P) = 21 .. ()

Ahora hallamos el grado relativo de yen el polinomio Q:G.R (y) = 2b + 5 = 2(7) + 5 G.R. (y) = 19 .. ()

Nos piden:G.A.(P)G.R.(y)Q= 2119= 2

RESPUESTA "a"

06.Calcular el valor de2

n

mF

; si el

grado absoluto del polinomio:

1 4 8 3 2

( ; )

2 3

3 12

4 7

6

m n m n m n

x y

m n

R x y x y x y

x y

Es 18 y adems el grado relativo a x es5 unidades menor que el grado relativo a

ya) 64 b) 4096 c) 1296d) 81 e) 84

RESOLUCIN

Exp. de x m + 1 m m 3 m 2

Exp. de y n + 4 n+8 n + 2 n + 3

Grados

absolutosen cadamonomio

m+n+5 m+ n+8 m+n1 m+n+1

Por dato del problema:GA= m + n + 8 =18 m + n = 10( )

GR(X) + 5 = GR(y)

m + 1 + 5 = n + 8 mn = 2 ( )


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Luego de ( ) ( ) se obtiene:

2m = 12 m = 6 n = 44

2

6F

81F

RESPUESTA "d"

IV. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

lgebra: tomo I Ediciones lumbreras 2013.lgebra: Teora y Prctica I, autor: MximoVilln Bejar.lgebra: Teora y Prctica I, autor: JorgeArismendiz Campos.

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