03A_ESFERA-1

Principios fundamentales

1.1 Coordenadas geográficas1.2 Contorno aparente

1.4 Situación de puntos en la superficie

Sección plana

Intersección recta-esfera

Sombras

2.1 Plano proyectante

2.2 Plano oblicuo

ESFERA

1

2

3

5

Sugerencias: [email protected] o buzón en el espacio Moodle de la asignatura.

1.3 Representación

5.1 Principios fundamentales5.2 Penumbra5.3 Posición del foco5.4 Sombra propia y arrojada de la esfera5.4 Cuenco esférico5.5 Foco a distancia finita Teorema de Dandelín5.6 Sombras de cúpulas

7

2.3 Cúpulas y bóvedas

Bibliografía orientativaGE

OM

ETR

ÍA D

ES

CR

IPTI

VA

-E

SC

UE

LA T

ÉC

NIC

A S

UP

ER

IOR

DE

AR

QU

ITE

CTU

RA

–U

NIV

ER

SID

AD

PO

LITÉ

CN

ICA

DE

MA

DR

ID

Intersección de superficies66.1 Cono - Esfera6.2 Cilindro - Esfera6.3 Prisma - Pirámide - Esfera

4 Planos tangentes

O1

O2O3

xy

z

Hemisferio sur

La superficie esférica es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan de uno interior llamado centro.Se llama esfera al espacio generado por una superficie esférica y su interior. A veces se usa esfera y superficie esférica como sinónimos.

eje

Paralelos. Secciones por planos perpendiculares al eje.

Las proyecciones ortogonales de la esfera sobre los planos de proyección son circunferencias del mismo radio que la esfera

Meridianos. Secciones por planos que pasan por el eje

plano diametral

La distancia del centro a un punto de la superficie esférica es el radio, y las rectas o planos que pasan por el centro son el diámetro y plano diametral.Un plano diametral divide a la esfera en dos partes iguales llamadas hemisferios.

ESFERA. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Hemisferio norte

1G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Huso esférico

Sector esférico

Casquete esférico

Triángulo esférico

ESFERA. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Huso esféricoSector esféricoCasquete esféricoTriángulo esférico

1G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

ESFERA.

DISTANCIA GEOGRÁFICA ENTRE DOS PUNTOS DE LA TIERRA.

Como la Tierra es, aproximadamente una esfera podemos aplicar los conceptos de la trigonometría esférica para calcular la distancia entre dos puntos.

Cada punto M de la Tierra está localizado por suscoordenadas geográficas: longitud y latitud

Se denomina longitud del punto M la graduación del arco AB (medido sobre el ecuador, siendo G el meridiano de Greenwich). Se determina la posición indicando si está al Este (+) o al Oeste (-).

El arco BM determina la latitud del punto M. Se determina la posición si está al Norte (+) o al Sur (-) del Ecuador.

AB

G

M

Ecuador

Zona o Sector esférico. Parte de la superficie esférica limitada por dos secciones paralelas.

Huso esférico. Parte de superficie esférica limitada por dos semicircunferencias máximas con diámetro común, llamadas lados del huso.

Casquete esférico, cada una de las dos partes en que un plano divide a la superficie esférica

h

c

c’

Or

c

ESFERA. COORDENADAS GEOGRÁFICAS 1.1G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

La representación más inmediata de cualquier figura es el dibujo de su contorno aparente sobre el plano de proyección. Esta operación depende del tipo de proyección y del ángulo de la dirección de proyección respecto al plano de proyección.

• Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, o sea un punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a lo que se denominaproyección cilíndrica.

• Si dichos rayos son perpendiculares al plano de proyección estamos ante una proyección cilíndrica ortogonal; en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante una proyección cilíndrica oblicua.

• Si el origen de los rayos es un punto propio, la proyección es central o cónica.

Proyección cilíndrica ortogonal

Proyección cilíndrica oblicua

Proyección central o cónica

Plano de proyección

contorno

contornocontorno

dp. Dirección de proyecciónVp. Centro de proyección cónicaσ: Línea de tangencia

σ

σ

σ

dp dpVp

Proyección cilíndrica ortogonal

Proyección cilíndrica oblicua

Proyección central o cónica

contornocontornocontorno

σσ

σ

dp

Vp

dp

ESFERA. CONTORNO APARENTE 1.2G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

En proyección cónica, la representación de la esfera es en general una elipse consecuencia del corte por el plano del cuadro al cono tangente desde el punto de vista (V).

En proyección cilíndrica, será la proyección de la línea de contacto del cilindro circunscrito a la esfera paralelo a la dirección de proyección.

ESFERA. REPRESENTACIÓN

e

e

V

V

σ

σ

σ

σ

dp

σ: Línea de tangencia

V

σ σ

1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Sistema Planos de proyección Sistema de proyección Contorno de la esfera

Diédrico Dos Proyección cilíndrica ortogonal

2 circunferencias de radio el de la esfera

1 circunferencia de radio el de la esfera


1 elipse

1 circunferencia ó 1 elipse

Planos acotados Uno Proyección cilíndrica ortogonal

Perspectiva axonométrica Uno Proyección cilíndrica ortogonal

Perspectiva caballera/militar Uno Proyección cilíndrica oblicua

Perspectiva cónica Uno Proyección central o cónica

Esfera en diédrico: se representa por dos circunferencias de radio el de la esfera.

El contorno aparente horizontal c1 corresponde en alzado al diámetro c2.

El contorno aparente vertical m2 corresponde en planta al diámetro m1

O1

O2 c2

c1

m2

m1

ESFERA. REPRESENTACIÓN EN SISTEMA DIÉDRICO 1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID






1 elipse






Esfera en el sistema de planos acotados. El contorno es una circunferencia máxima y la cota del centro.

O(5)

c(5)

ESFERA. REPRESENTACIÓN SISTEMA PLANOS ACOTADOS 1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O(5)

c(5)






1 elipse






Esfera en axonometría ortogonal (dirección de proyección normal al plano de proyección). El contorno es una circunferencia de radio el de la esfera

X’

Y’

Z’

c’

c’ 1

c’ 2c’ 3

ESFERA. REPRESENTACIÓN AXONOMETRÍA ORTOGONAL 1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

a

Esfera en perspectiva militar. El contorno aparente es una elipse con un eje perpendicular y otro paralelo al eje proyectado.

YY

XX

R

Z’

Z’

(dp)

R

O

O2

O1

O3

a = Rb = R √ 2

a=R

b=R√2

O

R

(dp)R

R=1






1 elipse






ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA MILITAR 1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID


Perspectiva cónica Uno Proyección cónica 1 circunferencia ó 1 elipse *

A. Circunferencia. Esfera con el centro alineado con la dirección principal

B. Elipse. Esfera con el centro no alineado con la dirección principal

P

P

PCPC

PG

PG

PC

PG

V

circunferencia

PC

PG

V

elipse

ESFERA. REPRESENTACIÓN PERSPECTIVA CÓNICA

* La esfera no corta ni es tangente al plano de desvanecimiento. Si es tangente, la perspectiva seráparábola; si es secante, hipérbola.

1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

LH P D

PL. Cuadro

D

P

O

V

LH

P

PC



1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID



PL. Cuadro

PL. Horizonte

V

(V)

O

(O)(1)

(2)

1

2

1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID


V

La representación de la esfera es en este caso una elipse debida al corte por el plano del cuadro del cono tangente a la esfera con vértice en el punto de vista.


1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Sea V el punto de vista del observador y la esfera de centro O situada exterior al plano de desvanecimiento de imágenes. Si desde el punto de vista trazamos los rayos visuales tangentes a la esfera, se forma el cono visual de la esfera. El cono visual de la esfera es de revolución de eje VO y la sección producida en él por plano del cuadro es la perspectiva de la esfera. En la posición del dibujo, la perspectiva de la esfera es una elipse contenida en el plano del cuadro de puntos AB y focos F’G’ .

Teorema de Dandelín: Todo plano no incidente con el vértice de un cono de revolución corta a éste según una cónica cuyos focos son los puntos de tangencia del plano con las esferas inscritas al cono y tangentes a dicho plano.

VP

PL. C

UAD

RO

0

01 PL. GEOMETRAL

PUNTO DE VISTA

V1

PL. HORIZONTE

PL. D

ESVA

NEC

IMIE

NTO

A

B

F’

G’

A’

B’


F G

1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID


F

G

R

V

R

G

F

Del teorema de Dandelín se deduce la obtención de los focos de la sección:

1. Obtención de los extremos del diámetro FG de la esfera, perpendicular al plano del cuadro

2. Proyección desde el punto de vista de los puntos FG que serán los focos de la elipse.


1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

F

G

R

V

(O)

(F)

(A)

(B)

(G)

O

(V)

P

FG

B

A



LH

LT

R

R

1.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Para situar un punto en la superficie esférica, se traza una sección por un plano paralelo a uno de los planos de proyección.

La proyección sobre el plano paralelo es una circunferencia y sobre ella se sitúan las dos posiciones del punto.

P1

P2

P’2

O1

O2

P1

P’

P

P2

P’2

O2

O1

O3

O

ESFERA. SITUACIÓN DE PUNTOS EN LA SUPERFICIE 1.4G

EO

ME

TRÍA

SC

UE

LA T

ÉC

NIC

A S

UP

ER

IOR

DE

AR

QU

ITE

CTU

RA

–U

NIV

ER

SID

AD

PO

LITÉ

CN

ICA

DE

MA

DR

ID D

ES

CR

IPTI

VA

-E

Según la posición del plano respecto a los planos de proyección, la proyección ortogonal de la sección es circunferencia o elipse:

Plano paralelo a uno de los planos de proyección:

La sección se proyecta como circunferencia.

Plano oblicuo respecto a los planos de proyección:

La sección se proyecta como elipse.

PLANO FRONTAL

CIRCUNFERENCIA

PLANO HORIZONTAL

CIRCUNFERENCIA

ESFERA. SECCIÓN PLANA 2G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Un plano puede ser tangente a la esfera o seccionarle.Siempre la curva de la sección plana es una circunferencia.Y si el plano pasa por el centro de la esfera la sección es una circunferencia máxima de radio R

R

O

P

P1

R

O

r

O

I

A

B

El plano es tangente en P a la esfera El plano corta, con una sección de radio r El plano pasa por el centro de la esfera

R

B

AO

r

d

I

ESFERA. SECCIÓN PLANA 2G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

P2

P1 A1 B1

C1

D1

A2

B2

C2-D2

El plano es tangente en P a la esfera El plano corta a la esfera según circunferencia que se proyecta en horizontal como la elipse ABCD. Los puntos M y N son de contacto de la sección con el contorno aparente c1-c2

La sección por el centro de la esfera es una circunferencia de radio máximo y la obtención de los extremos de los ejes de la elipse, es inmediata.

A1 B1

B2

A2

C1

D1

C2- D2

M2- N2

M1

N1

c2

c1

ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE 2.1G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O1

M1-N1-

V1

O2

1

2

(V)

(1)

(2)

r

r

M2

N2

V21 2

r

O

O1

O2

O3

V1

Proyección de la secciónVerdadera Magnitud de la sección

Puntos importantes:

Centro de la sección.

Ejes y extremos de la sección.

Puntos de contacto (si los hay) con los contornos aparentes.

ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE 2.1G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O2

O1

Hα

r

r

P1

P2

1

2

34

5

6

El plano proyectante a corta a la esfera según un círculo de diámetro 1-2.

La proyección vertical es una elipse de centro P2 y ejes los segmentos 3-4 y 5-6.

El eje mayor mide el diámetro del círculo obtenido en planta sobre la traza horizontal del plano a, en verdadera magnitud.

El eje menor 3-4 se obtiene al proyectar los puntos 1-2 contenidos en c1 (contorno aparente horizontal).

c1

c2

ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL 2.1G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O1

Hα

M1- N1

O2

M2

N2

M-N: Puntos de contacto de la sección con el contorno aparente.

c1

c2

d1

d2


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O1

Hα

M1-N1-

V1

O2

1

2

(V)

(1)

(2)

r

r

M2

N2

V21

2

r

Verdadera magnitud de la sección.

El abatimiento del plano a y de la sección.


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O1

• PLANO HORIZONTAL

ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO OBLICUO 2.2G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O1

• PLANO VERTICAL


O2


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O1

O2

• PLANO OBLICUO

• PLANO VERTICAL



EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O1

O2

90º

• PLANO VERTICAL• PLANOAUXILIAR


• PLANO OBLICUO


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O1

O2

90º


• PLANO OBLICUO

• PLANOAUXILIAR

O3


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O3

M

• PLANO OBLICUO


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O3

M

O2

O1

• PLANO OBLICUO


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

A2

B2

C2

A1

B1

C1

O2

O1

O3

B3

C3

A3

Tres puntos ABC determinan un plano. La sección plana a la esfera es en el espacio una circunferencia.

Situamos el plano como proyectante mediante un cambio de plano, obteniendo para ello una horizontal cualquiera del triángulo ABC.

ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO DADO POR TRES PUNTOS ABC 2.2G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

4

B3

A3

A2

A1

B2

C2

B1

C1

O

O

1

3-41

23

5-6

5

6

En el alzado del cambio de plano, podemos observar los tres puntos ABC alineados y con ello el corte en verdadera magnitud con la esfera de centro O.

Los puntos 1-2, se encuentran sobre el contorno aparente correspondiente a la dirección del alzado en el cambio de plano.

La perpendicular trazada desde O3 a la recta nos determina los puntos 5-6, extremos de uno de los ejes en planta.

Los puntos 3-4 son los de contacto del contorno en planta con la sección. Puntos interesantes ya que nos van a determinar la zona oculta de la sección en planta.

ESFERA. SECCIÓN PLANA. PLANO DADO POR TRES PUNTOS ABC 2.2

O

C3

GE

OM

ETR

ÍA D

ES

CR

IPTI

VA

-E

SC

UE

LA T

ÉC

NIC

A S

UP

ER

IOR

DE

AR

QU

ITE

CTU

RA

–U

NIV

ER

SID

AD

PO

LITÉ

CN

ICA

DE

MA

DR

ID

2

ESFERA. CÚPULAS Y BÓVEDAS

CÚPULA DE BOHEMIABÓVEDA VAÍDA SOBRE PECHINAS CON TAMBOR

2.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Bóveda Vaída. Está formada por un hemisferio esférico cortado verticalmente por dos pares de planos paralelos entre sí y perpendiculares a los otros dos. Por su configuración final es muy apropiado para cubrir espacios cuadrados.

Bóveda vaída Hemisferio esférico y planos verticales Abatimiento de los cuatro planos verticales

Secciones esféricas que se retiran para conformar la bóveda

ESFERA. BÓVEDA VAÍDA 2.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Planta

Alzado

Bóveda Vaída. Proyecciones ORTOGONALES

O2

O1

O2

O

R

r

O1R

rd


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Bóveda Vaída. Proyección en perspectiva oblicua: Perspectiva Caballera


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

R=1

x

y

Z’R=1Z’

x

y

O O

U’=U

U=radio

(dp)

D

Proyección en perspectiva oblicua: Caballera

A

B

C

O R

r

Dado que en esta representación la planta está en verdadera magnitud, podemos obtener los radios de diez secciones y trazar las circunferencias a las alturas correspondientes para obtener puntos en perspectiva directamente.

El contorno aparente se puede dibujar como envolvente de las circunferencias trazadas.

R

R

A

B

R

O

C


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

Proyección en perspectiva ortogonal: Axonometría

A

B

C

La perspectiva axonométrica de la semiesfera es una circunferencia del radio de la esfera. La sección por el plano XOY es una circunferencia máxima que se proyecta en perspectiva como elipse.

El TRIÁNGULO DE TRAZAS ABC nos determina las reducciones de los ejes.

Y’

X’

Z’

A’B’

C’


EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O R

r

ESFERA. BÓVEDA SOBRE PECHINAS 2.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

iglesia de Santa Irene,en Constantinopla.

ESFERA. CÚPULAS 2.3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

13

2

V

V

3

1

2

V

1-2 3

O

OO

O

Cuando una recta intersecciona a una esfera se hace un cambio de proyección para llevar la recta a una posición frontal, se traza el plano proyectante vertical que contiene a la recta para obtener la circunferencia de sección; el corte de ésta con la recta son los puntos M-Nbuscados.

r1

r2

O1

O2

r1

r2

O1

O2

M1

N1

M2

N2

O1

O2

c1

c’1

N’

M’

M1

N1

M

N

M

La esfera es una superficie de segundo grado de ecuación: x² + y² + z² = r²Una recta le corta en dos puntos, en uno o en ninguno.

r r r

DATOS: Esfera O y recta r

ESFERA. INTERSECCIÓN CON RECTA

M

N

r

r1

M1N1

3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

La intersección de recta con esfera puede resolverse considerando la esfera como una superficie de revolución de eje vertical. Los giros que se efectúen en la esfera y la recta hasta situarla en posición de recta frontal, no afectan al contorno aparente de la esfera.

DATOS: Esfera O y recta r

r1

r2

O1

O2

r2

O2

M2

N2

r1

O1

M1

N1

eje

r2

O2

r1

O1

r1

r2

eje

ESFERA. INTERSECCIÓN CON RECTA 3G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

ESFERA. PLANOS TANGENTES 4G

EO

ME

TRÍA

DE

SC

RIP

TIV

A -

ES

CU

ELA

TÉ

CN

ICA

SU

PE

RIO

R D

E A

RQ

UIT

EC

TUR

A –

UN

IVE

RS

IDA

D P

OLI

TÉC

NIC

A D

E M

AD

RID

O

O

L

PO

O

2

1P

L

R

R

t 2

t 1

PO

O

R

1

2

Plano tangente desde un punto P de la superficie

Planos tangentes paralelos a la dirección exterior L

03A_ESFERA-1

Documents

Transcript of 03A_ESFERA-1