04 ConceptosEstimadores Parte-I

7/23/2019 04 ConceptosEstimadores Parte-I

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Universidad Nacional Agraria La Molina Departamento de Manejo Forestal

FR2010 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL

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CONCEPTOS

SOBRE ESTIMACIONES Y ESTIMADORES Primera Parte1

Los datos de la muestra nos permiten hacer estimaciones de los parmetros de la poblacin.

Parmetros notables para los cuales deseamos proporcionar estimaciones son: la media de la

poblacin, ; la diferencia entre dos medias poblacionales, 1-2; una determinada proporcin

poblacional, p; la diferencia entre dos proporciones poblacionales, p1-p2; la varianza de la poblacin,2y la razn entre dos varianzas poblacionales, 21/22 .

Un estimadores un procedimiento, expresado a manera de regla o frmula, por medio del cual se

obtiene un valor numrico denominado estimacin. La frmula representa el estimador, mientras que

el resultado numrico es la estimacin.

Un buen estimador del parmetro poblacional es aquel cuya media obtenida a partir de todas las

muestras aleatorias que sea posible extraer, con un tamao n dado, de la poblacin que interesa, es

igual al parmetro, lo que significa que se trata de un estimador insesgado.

As, x , el valor promedio de calculado a partir de todas las muestras aleatorias posibles de untamao determinado extradas de la poblacin, es igual a . Cuando el muestreo se hace conreemplazo, la varianza muestral s2=(xi- x )

2/(n-1) es un estimador insesgado de la varianza

poblacional 2==(xi-)2/N. Cuando el muestreo se hace sin reemplazo, la varianza muestral s

2=(xi-

)2/(n-1) es un estimador insesgado de la varianza poblacional S

2==(xi-)

2/(N-1).

Cada una de las muestras posibles de obtener de la poblacin de inters arrojarn una estimacin.

Unas estimaciones estarn ms cerca del parmetro que se est calculando que otras. La construccin

de un intervalo nos permite establecer el grado de confianzaque se puede tener de que el intervalo

incluya dentro de sus valores lmite el parmetro que se estima. El intervalo se denomina intervalo de

confianza.

Intervalo de confianza (I.C.) para una media poblacional

1. Construccin del I.C. para la media de una poblacin normalmente distribuida, siendo 2conocida.La probabilidad de que una muestra aleatoria simple de tamao n produzca una media x que se

encuentre entre dos puntos ay bpuede expresarse como:

P( x a x b) = 1 -

Si ambos puntos estn a igual distancia de la media x

= , y expresamos esta distancia en trminosde errores estndar, entonces podemos escribir:

a= - k(/n), b= + k(/n)

donde kindica la cantidad de errores estndar que representa la distancia.

La primera expresin de probabilidad puede ahora escribirse as:

P[- k(/n) + k(/n)] = 1 -

Observe el siguiente grfico:

1-

/2 /2

- k(/n) x = + k(/n)

1Responsable: Ing.For. Carlos R. Vargas Salas

Fuente principal: Daniel, Wayne 1988.Estadstica con aplicaciones a las ciencias sociales y a la educacin.

McGraw-Hill. Mxico. 504 p.

x


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Dado que el estadstico sigue una distribucin normal, cuando la expresin 1- tiene un valordefinido entonces se puede reemplazar k por un valor z.

As, cuando 1-= 0.95, k=1.96 y la ecuacin anterior se convierte en:

P[- 1.96(/n) + 1.96(/n)] = 0.95

Por lgebra puede transformarse la frmula anterior en la que sigue:

P[ x - 1.96(/n) x + 1.96(/n)] = 0.95

Ella expresa que la probabilidad de que el parmetro desconocido est entre dos puntos que seubican a 1.96 errores estndar de distancia de la media muestral , es igual a 0.95.

A diferentes valores de 1-les correspondern diferentes valores z. As, a una probabilidad de 0.99le corresponder un valor zigual a 2.58.

Volviendo al factor ky a las distancias medidas en errores estndar a partir de la media muestral, si

obtuviramos una serie numerosa de muestras aleatorias de tamao ny para cada una construimos un

intervalo, tendremos una serie de intervalos [ x 1 k(/n), x 2 k(/n), x 3 k(/n), . . .], todosde la misma amplitud. Como el promedio de las muestras flucta alrededor de la media poblacional,

los intervalos de confianza tambin fluctuarn, determinando que una proporcin igual a 100(1-)%de ellos contenga a .

Cuando se desea calcular una media poblacional, no se requiere extraer de la poblacin una serie

numerosa de muestras aleatorias simples, sino solamente una. Si denotamos con x 0 la media de tal

muestra nica obtenida en una situacin normal, el intervalo que se puede construir para la estimacin

de ser:

0 k(/n)

Este intervalo es apenas uno de muchos intervalos, de los cuales el 100(1-)% de ellos contiene a .La expresin correspondiente a la probabilidad de ocurrencia de la media poblacional en el intervalo

de confianza del 100(1-)% es:

C[ x 0- k(/n) 0+ k(/n)] = 1-

Donde Cindica que se trata de un enunciado de confianza ms que de probabilidad. En la expresin,

1 - se denomina coeficiente de confianzae indica el grado de confianza que tenemos en que nuestrointervalo nico contenga a . El coeficiente de confianza expresado en forma de porcentaje recibe elnombre de nivel de confianza.

Las constantes k de la expresin se cambian en valores z/2 cuando se selecciona el valor del

coeficiente de confianza. z/2 es llamado factor de confiabilidad y (/n) es el error estndar delestimador.

x

/2 /2

x = x 1

xnI.C.


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2. Construccin del I.C. para la media de una poblacin normalmente distribuida, siendo 2desconocida.

La desviacin estndar de la muestra, , se utiliza como estimacin de ;entonces, s/n, estimacin de la desviacin estndar de la poblacin de medias, reemplaza a /nenla ecuacin.

Pero es la cantidad ( - )/(/n) la que se distribuye como la variable normal estandarizada z y noel valor ( x - )/(s/n). Cuando la poblacin de la que proviene la muestra se aproximaa la normal,este ltimo valor sigue una distribucin conocida como distribucin tde Student, con n-1 grados de

libertad.

Curva normal z

/2 1- /2

-2 -1 0 1 2 t

Por ello, en lugar de zutilizamos un valor tpara el enunciado de confianza:

C[ x 0 t/2,n-1(s0/n) x 0 + t/2,n-1(s0/n)] = 1-donde s0es la desviacin estndar de la muestra especfica extrada. t/2, n-1seala el valor de tdonde

la ordenada define, en cada cola de la curva de la distribucin t correspondiente a n-1 grados de

libertad, una probabilidad igual a /2. Los valores t se encuentran en tablas de percentiles de ladistribucin t, donde figuran organizados en columnas, correspondientes al percentil 1 de inters,

y filas, correspondientes a los grados de libertad determinados por el tamao de la muestra de donde

proviene s0.

3. Construccin del I.C. para la media de una poblacin no distribuida normalmenteCuando se obtiene una muestra de una poblacin que no se distribuye normalmente, el tamao n

debe ser grande (30), porque la distribucin muestral de x no es normal cuando las muestras sonpequeas y han sido extradas de poblaciones no distribuidas normalmente. El teorema del lmite

central nos permite resolver los casos de poblaciones no normales infinitas (o cuando el muestreo se

hace con reemplazamiento) con la frmula indicada en el subttulo 1, es decir:

C[ x 0 z/2(s0/n) x 0 + z/2(s0/n)] = 1-Como se observa, puede utilizarse el valor z an cuando se desconoce el valor de la desviacin

estndar de la poblacin, , debido a que el tamao de la muestra es grande y entonces la distribucinde los valores x /(s0/n) se aproxima bastante a la distribucin normal estandarizada. Aunque esdeseable contar con muestras grandes, sin embargo, es usual emplear el valor t tabular

correspondiente, segn los grados de libertad y el nivel de confianza.

Cuando el muestreo se hace en una poblacin finita que no est distribuida normalmente, y elmuestreo es sin reemplazamiento, entonces debe incluirse en la frmula el factor de correccin para

poblaciones finitas (cpf), como se muestra en la siguiente frmula:

Normalmente, el factor cpf puede dejarse de lado si la muestra representa slo una pequea

proporcin de la poblacin (esto es, si n/N es menor o igual a 0.05)

( ) ( )12 = nxxs i

( ) =

+

11

)/(,1

)/(, 012/012/N

nNnstx

N

nNnstxC nn

Curva de distribucin t para n2-1



n1 > n2 > n3

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