04 flujo de campo electrico

FÍSICA II. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 4: FLUJO DE CAMPO

ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Flujo de campo eléctrico. Ley de Gauss.

Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Física II para estudiantes de Ingeniería,

Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Física II en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



4.1.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS PUNTUALES.

1. [TM] Medidas cuidadosas del campo eléctrico en la superficie de una caja negra indican

que el flujo neto que sale de la superficie de la caja es 6.0 kN.m2/C. a) ¿Cuál es la carga

neta en el interior de la caja? b) Si el flujo neto que sale de la superficie de la caja fuese

cero, ¿podría obtenerse la conclusión de que no hay ninguna carga en el interior de la caja?

Explique sus respuestas.

Respuesta: a) C 103125.5 8q

2. [RH] Separamos la carga de un conductor aislado originalmente sin carga sosteniendo

muy cerca una varilla de carga positiva, como se indica en la figura. Calcule el flujo que

pasa por las cinco superficies gaussianas mostradas. Suponga que la carga negativa

inducida en el conductor es igual a la carga positiva q de la varilla.

Respuesta: 0

1

q ,

0

2

q ,

0

3

q , 04 ,

0

5

q

3. [TM] ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una cara de un cubo que tiene una carga

puntual de C 00.3 en su centro?

Respuesta: /CN.m 45.56470 2E

4. Una carga puntual C 104 8q se halla en el centro de una superficie cúbica de 4 cm

de arista. Calcule el flujo del campo eléctrico en dicha superficie cerrada.


5. [RH] Una carga puntual de C .841 está en el centro de una superficie cúbica gaussiana,

de 55 cm de lado. Calcule E a través de la superficie.

Respuesta: /CkN.m 208 2E



6. [RS] Una carga de C 170 está en el centro de un cubo con una arista de 80.0 cm. a)

Determine el flujo total a través de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el flujo a

través de la superficie total del cubo. c) Cambiarían sus respuestas a los incisos a) y b) en

caso de que la carga no estuviera ubicada en el centro? Explique por qué.

Respuesta: a) /CMN.m 20.3 2E ; b) /CMN.m 21.19 2E

7. [TM] Una carga puntual está colocada en el centro de un cubo imaginario de 20 cm de

lado. El flujo eléctrico que sale de una de sus caras es –1.50 kN.m2/C. ¿Cuánta carga hay en

su centro?

Respuesta: C 109687.7 8q

8. [RS] Una carga puntual positiva Q está en el centro de un cubo de arista L. Además otras

seis cargas puntuales negativas idénticas q están colocadas simétricamente alrededor de Q

como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del

cubo.

Respuesta: 0

6

qQE

9. [RS] Las cargas siguientes están localizadas en el interior de un submarino: C 00.5 ,

C 00.9 , C 0.27 y C 84.0 . a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del

submarino. b) Cómo es el número de líneas de campo eléctrico que salen en comparación

con las que entran, igual o menor?

Respuesta: a) /CMN.m 89.6 2E ; b) El número de líneas que entra excede el número

de líneas que sale por 2.91 veces o más



10. [RS] En la figura se muestran cuatro superficies cerradas, S1 a S4, así como las cargas –

2 Q, Q y –Q. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la

página). Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie.

Respuesta: S1: 0

QE

, S2: 0E , S3:

0

2

QE

, S4: 0E

11. [RS] Una carga puntual q está ubicada en el centro de un anillo uniforme que tiene una

densidad de carga lineal y un radio a, según se observa en la figura. Determine el flujo

eléctrico total a través de una esfera centrada en la carga puntual y de radio R, siendo

aR .

Respuesta: 0

qE

12. [RS] Una carga puntual de C 0.12 está colocada en el centro de un cascarón esférico

con un radio de 22.0 cm. ¿Cuál es el flujo eléctrico total que pasa a través de a) la

superficie del cascarón y b) cualquier superficie hemisférica de la misma? c) Dependen los

resultados del radio del cascarón? Explique su respuesta.

Respuesta: a) /CMN.m 36.1 2E ; b) /CkN.m 678 2E

13. [TM] El campo eléctrico justo por encima de la superficie de la Tierra, medido

experimentalmente, es de 150 N/C, dirigido hacia abajo. a) ¿Cuál es el signo de la carga



neta en la superficie de la Tierra en estas condiciones? b) A partir de este dato, ¿qué carga

total se puede estimar que exista sobre la superficie de la tierra?

Respuesta: a) Positiva; b) 677218.35 C

14. [RS] El campo eléctrico presente en la superficie total de un casarón esférico delgado

con un radio de 0.750 m tiene un valor de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de

la esfera. a) ¿Cuál es la carga neta en el interior de la superficie de la esfera? b) ¿Qué se

puede concluir en relación con la naturaleza y distribución de la carga en el interior de la

envoltura esférica?

Respuesta: a) nC 6.55q ; b) La carga negativa tiene una distribución esféricamente

simétrica

15. [RS] Una esfera de radio R rodea una carga puntual Q, que se encuentra en su centro. a)

Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo es

)cos1(2 0

Q

E . ¿Cuál es el flujo correspondiente para b) º90 y c) º180 ?

Respuesta: b) 02

QE ; c)

0

QE

16. [RS] Una carga puntual Q se localiza justo por encima del centro de la cara plana de un

hemisferio de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico que pasa a) a

través de la superficie curva y b) a través de la cara plana?

Respuesta: a) 02

QE ; b)

02

QE



4.2.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES

REGULARES PLANAS.

Campo eléctrico constante.

17. [RS] Un campo eléctrico de magnitud 3.50 kN/C es aplicado a lo largo del eje de las x .

Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350 m de ancho y 0.700 m

de largo suponiendo que a) el plano es paralelo al plano zy , b) el plano es paralelo al

plano yx , c) el plano contiene el eje de las y , y su normal forma un ángulo de 40º con el

eje de las x .

Respuesta: a) 858 N.m2/C; b) 0; c) 858 N.m

2/C

18. [RH] La superficie cuadrada de la figura mide 3.2 mm por lado. Está inmersa en un

campo eléctrico uniforme con N/C 1800E . Las líneas del campo forman un ángulo de

65º con la normal “que apunta hacia afuera”, como muestra en la figura. Calcule el flujo

que atraviesa la superficie.

Respuesta: –7.8 mN.m2/C

19. Una superficie plana que tiene un área de 32 m2 se rota en un campo eléctrico uniforme

de intensidad E = 6.2105 N/C. Calcule el flujo eléctrico a través del área cuando el campo

eléctrico está: a) perpendicular a la superficie, b) paralelo a la superficie y c) haciendo un

ángulo de 75º con el plano de la superficie.

Respuesta: a) 0E ; /CN.m 10984.1 27E ; c) /CN.m 109164.1 27E

20. [TM] Consideremos el campo eléctrico uniforme ji N/C)4(N/C) 3( . a) ¿Cuál es el

flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al

plano y z? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano

forma un ángulo de 30º con el eje x?



Respuesta: a) /CN.m 03.0 2E ; b) /CN.m 109808.5 23E

21. [RS] En un día en el cual existe la amenaza de una tormenta eléctrica existe un campo

eléctrico vertical de magnitud 2.00104 N/C por arriba de la superficie de la Tierra. Un

automóvil con un tamaño rectangular de 6.00 m por 3.00 m circula por una carretera con

una inclinación descendente de 10.0º. Determine el flujo eléctrico que corre a través del

fondo del automóvil.

Respuesta: 355 kN.m2/C

22. [RS] En un campo eléctrico uniforme se hace girar un lazo con un diámetro de 40.0 cm

hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esa

posición tiene un valor de 5.20105 N.m

2/C. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?

Respuesta: 4.14 MN/C

23. [RS] Imagine una caja triangular cerrada en reposo en un campo eléctrico horizontal

con una magnitud de N/C 1080.7 4E , como se muestra en la figura. Calcule el flujo

eléctrico a través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, c) la

superficie total de la caja.

Respuesta: a) –2340 N.m2/C; b) 2340 N.m

2/C; c) 0

24. [RS] Un campo eléctrico uniforme jbiaE atraviesa por una superficie de área A.

¿Cuál es el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) en el plano

zy , b) en el plano zx y c) en el plano yx ?

Respuesta: a) AaE ; b) AbE ; c) 0

25. [RH] Un cubo con bordes de 1.4 m presenta la orientación que se indica en la figura,

dentro de una región de un campo eléctrico uniforme. Calcule el flujo eléctrico que pasa



por la cara derecha si el campo está dado por a) iN/C) 6( , b) jN/C) 2( y c)

ji N/C)4(N/C) 3( . d) Calcule el flujo total a través del cubo para esos campos.

Respuesta: b) 0

26. [RH] El flujo eléctrico neto que atraviesa las caras de un dado (un miembro de un par

de dados) tiene una magnitud en unidades de 103 N.m

2/C igual al número N de puntos en la

cara (1 a 6). El flujo se realiza hacia adentro con número N impares y hacia afuera con los

números N pares. ¿Cuál es la carga neta dentro del dado?


27. [RS] Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de

4.00 m está colocada en un campo eléctrico vertical de 52.0 N/C. Calcule:

a) El flujo eléctrico total que pasa a través de las cuatro superficies inclinadas de la

pirámide.

b) El flujo eléctrico que pasa a través de la base.

c) Verifique que el flujo eléctrico total a través de la pirámide es cero.

Respuesta: /CN.m 1872 2E

28. [RS] Una carga puntual Q está localizada sobre el eje de un disco de radio R a una

distancia b del plano del disco (Figura).

a) Determine el flujo eléctrico de la carga que pasa a través del disco.

x

y

z

1.4 m



b) Demuestre que en el caso de que una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a

través del disco, entonces R sería igual a b3 .

Respuesta:

2

1

)(1

2 220 bR

bQE

29. [RS] a) A una distancia d de un plano infinito está localizada una carga puntual q.

Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la carga puntual. b) Si una carga

puntual q está localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea

perpendicular a dicho cuadrado y que pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico

aproximado que pasa a través del cuadrado debido a la carga puntual. c) Explique por qué

las respuestas a los incisos a) y b) son idénticas.

Respuesta: a) 02

QE ; b)

02

QE ; c) El plano y el cuadrado son similares a la carga

30. [RS, RH] En la figura, la línea ag es la diagonal de un cubo. En la extensión de la línea

ag, muy cerca al vértice a del cubo, se encuentra una carga puntual q. Determine el flujo

eléctrico a través de cada una de las caras del cubo que se encuentran en el punto a.



Respuesta: 024

QE

31. [DF] Sea un paralelepípedo de base cuadrada de longitud a y con altura 2a, como se

indica en la figura. Una partícula con carga Q se encuentra situada en el punto medio de

una de las aristas largas. a) ¿Cuál es el flujo a través de la cara cuadrada A? b) ¿Cuál es el

flujo total en las seis caras del paralelepípedo?

Respuesta: 024

QE

32. [RH] Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme como

se ve en la figura. El borde, un círculo de radio a, está alineado de manera perpendicular al

campo. Determine el campo eléctrico que cruza la red en relación con la normal hacia

afuera.

Respuesta: EaE

2

Campo eléctrico variable.

33. Considere la superficie cúbica cerrada de lado 2 m que se muestra en la figura.

a

A

Q

a

2a



Encuentre el flujo del campo eléctrico E

en cada cara del cubo si:

a) iE 5.0

b) ixE 2.0

c) jyixE 04.01.0

(Las componentes de E

están medidas en N/C)

Respuesta: a) 0E ; b) /CN.m 6.1 2E ; c) /CN.m 48.0 2E

34. En el problema 33, ¿Cuál es la carga neta en el interior del cubo en cada caso?

Respuesta: Eq 0 ; a) 0q ; b) C 10416.1 11q ; c) C 10248.4 12q

35. [RH] Determine el flujo neto que atraviesa el cubo de la figura si el campo eléctrico

está dado por a) jyE N/C.m) 3( y b) jyi ]N/C.m)3(N/C 6[N/C) 4( . c) En cada

caso, ¿cuánta carga contiene el cubo?

x

y

z

1.4 m

x

y

z



Respuesta: a) Cara sobre el plano y = 1.4 m: /CN.m 232.8 2E . Todas las demás caras:

0E . b) Cara sobre el plano x = 0: /CN.m 84.7 2E . Cara sobre el plano x = 1.4 m:

/CN.m 84.7 2E . Cara sobre el plano y = 0: /CN.m 76.11 2E . Cara sobre el

plano y = 1.4 m: /CN.m 992.19 2E . Cara sobre el plano z = 0 y z = 1.4 m: 0E . c)

C107.2888 -11q y C107.2888 -11q

36. [RH] Las componentes del campo eléctrico en la figura son 0xE , 21

ybEy , 0zE ,

donde 21

N/c.m 8830b . Calcule a) el flujo E a través del cubo y b) la carga dentro de él.

Suponga que cm 0.13a .

Respuesta: 1)2(2

5

abE , /CN.m 2866.22 2E , C 109733.1 10q

37. [RS] Un campo eléctrico no uniforme tiene la expresión kxcjzbiyaE , donde

a, b y c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular

en el plano yx que se extiende de x = 0 hasta x = w y de y = 0 hasta hy

Respuesta: 2

21 whcE

38. [RS, DF] La superficie cerrada de dimensiones m 400.0 ba y m 600.0c está

colocada como se observa en la figura. La arista izquierda de la superficie cerrada está

ubicada en la posición ax . El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está

dado por ixE )0.20.3( 2 N/C, donde x está expresado en metros. Calcule el flujo

x

y

z

a

a

a

a



eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta que se encuentra

dentro de la superficie?

Respuesta: /CN.m 269.0 2E ; pC 38.2q

39. El campo eléctrico en una región del espacio es:

0para20

0para20

xi

xiE

Un cilindro recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen del

sistema de coordenadas con respecto al cual se ha medido E

, y su eje está situado a lo

largo del eje x de modo que una de las caras está en x = 10 cm y la otra en x = –10 cm.

a) ¿Cuál es el flujo de E

en cada una de estas caras?

b) ¿Cuál es el flujo de E

en el manto del cilindro?

c) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro?

d) ¿Qué distribución de carga podría dar origen a este campo eléctrico y cómo debería estar

ubicada?

Respuesta: a) /CN.m 1571.0 2E ; b) 0; c) pC 78.2q ; d) Puede tener cualquier

distribución. Cualquiera carga puntual o distribución de carga continua, positiva o negativa,

debe sumarse algebraicamente a C 1078.2 12q

40. [TM] Un campo eléctrico dado por iE N/C) 300( para 0x y iE N/C) 300( para

0x . Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 4 cm de radio tiene su centro en el

origen y su eje está situado a lo largo del eje x de modo que una de las bases está en



cm 10x y la otra en cm 10x . a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada base? b)

¿Cuál es el flujo que atraviesa toda la superficie curvada (lateral) del cilindro? c) ¿Cuál es

el flujo neto que atraviesa toda la superficie cilíndrica? d) ¿Cuál es la carga neta en el

interior del cilindro?

Respuesta: a) /CN.m 5080.1 2E ; b) 0; c) /CN.m 0160.3 2E ; d) C 106704.2 11q

4.3.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES

REGULARES CURVAS.

41. [RS] Calcule el flujo eléctrico total a través de una superficie paraboloide debido a un

campo eléctrico uniforme de magnitud E0 en la dirección que aparece en la figura.

Respuesta: ErE

2

42. [S] Un cono con una base de radio R y altura h se coloca en una mesa. Si un campo

uniforme horizontal E penetra en el cono, como se muestra en la figura, determine:

a) El flujo eléctrico que entra por el lado izquierdo del cono.

b) El flujo eléctrico que sale por el lado derecho del cono.

c) Verifique que el flujo eléctrico total a través del cono es cero.

Respuesta: hrEE

43. [WM] Un cono con una base de radio R y altura h se coloca en una mesa. Si un campo

uniforme horizontal E penetra en el cono, como se muestra en la figura, determine:

a) El flujo eléctrico que entra por la base del cono.

b) El flujo eléctrico que sale por la superficie lateral del cono.



c) Verifique que el flujo eléctrico total a través del cono es cero.

Respuesta: a) ERE

2 ; b) ERE

2

44. [RH] Calcule E en a) la base plana y en b) la superficie curva de un hemisferio de

radio R. El campo E es uniforme y paralelo al eje del hemisferio; las líneas de E entran por

la base plana. Utilice la normal que apunta hacia afuera.

Respuesta: a) ERE

2 ; b) ERE

2

45. [RS] Una esfera hueca no conductora y sin carga, con un radio de 10.0 cm, rodea una

carga de C 0.10 localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Una

broca de radio 1.00 mm es alineada a lo largo del eje de las z , y se hace una perforación en

la esfera. Calcule el flujo eléctrico a través de la perforación.


46. [DF] Un campo uniforme E penetra una superficie que tiene forma de un cilindro de

radio R cortado por la mitad (como indica la figura). Las líneas de campo entran

perpendicularmente por la base que tiene forma rectangular plana, de longitud L y ancho

2R.



a) Calcule el flujo del campo eléctrico a través de las superficies planas y curvas del

semicírculo.

b) Demuestre que la carga encerrada por la superficie entera es cero.

Respuesta: Superficie plana: ELRE 2 . Superficie curva: ELRE 2

4.4.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES

CONTINUAS DE CARGA.

Varillas.

47. [DF] Una línea recta de carga infinita, con densidad , atraviesa un cubo de lado a,

perpendicularmente a dos de sus caras y por sus centros, como se indica en la figura. ¿Cuál

es el flujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo?

Respuesta: Cara que intersectan la línea de carga: 0E , Caras que no intersectan a la

línea de carga: 04

aE

48. [RS] Una carga lineal infinitamente larga con una carga uniforme por unidad de

longitud está a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura. Determine el

flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como

resultado de la carga lineal. Tome en cuenta cuando dR y dR .



Respuesta: a) 0E ; b) 0

222

dRE

Esferas.

49. Una esfera no conductora de radio R = 1 m tiene una densidad de carga

34C/m102 . ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico de esta esfera en otra esfera

concéntrica con la cargada y de radio:

a) r = R/2 b) r = 2 R

Respuesta: a) /CN.m1083.11 26E ; b) /CN.m1066.94 26E

50. Una esfera no conductora tiene un radio igual a 1 m y una densidad de carga

310 C/m 102 . Calcule el flujo del campo eléctrico de esta esfera en un cubo de arista

0.5 m y cuyo centro coincide con el centro de la esfera.


51. [RS] Una esfera sólida aislante, de radio a, tiene una densidad de carga volumétrica

uniforme y tiene una carga positiva total Q. Una superficie de radio r, que comparte un

centro común con la esfera aislante, se infla partiendo de r = 0. a) Encuentre una expresión

para el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie de la esfera como función de r para

R



ar . b) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico para ar . c) grafique el flujo en

términos de r.

Respuesta: a) 3

0

3

a

rQE

; b)

0

QE

52. [RH] Una esfera conductora cargada uniformemente de 1.22 m de radio tiene una

densidad de carga superficial de 2C/m .138 . ¿Cuál es el flujo eléctrico total que sale de su

superficie?

Respuesta: /CN.m107174.1 27E

Cilindros.

53. Un cilindro de radio a y longitud L tiene una carga uniforme 0 . Determinar el flujo en

la superficie exterior del cilindro.

Respuesta: 0

2

0

LaE

4.5.- UN PLANO DE CARGA.

54. Determinar el flujo a través de la superficie plana de área “A” que se encuentra cerca de

un plano no conductor e infinito que lleva una carga por unidad de área “ ”.

a

L



Respuesta:

cos

2 0

AE

4.6.- UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ESFÉRICAMENTE SIMÉTRICA.

No conductores.

55. Una esfera no conductora tiene un radio igual a 1 m y una densidad de carga

310 C/m 102 .

a) Calcule la magnitud del campo eléctrico de la esfera en uno de los vértices de un cubo de

arista 0.5 m y cuyo centro coincide con el centro de la esfera.

b) Calcule la magnitud del campo eléctrico de la esfera en uno de los vértices del cubo.

Respuesta: b) N/C 2618.3E

56. [TM] Si el módulo de un campo eléctrico situado en la atmósfera es N/C 103 6 , el aire

se ioniza y comienza a conducir la electricidad. Este fenómeno se denomina ruptura

dieléctrica. Una carga de C18 se sitúa en una esfera conductora. ¿Cuál es el radio mínimo

de una esfera que pueda soportar esta carga sin que se produzca la ruptura dieléctrica?

Respuesta: m 2322.0R

57. Calcule la magnitud del campo eléctrico de una esfera no conductora de radio R y carga

Q uniformemente distribuida en un punto que está a una distancia r de su centro siendo:

a) r R b) r < R

c) Grafique E

en función de r.

Respuesta: a) i) 3

04 R

rQE

; ii)

2

04 r

QE

; b) i)

03

rE ; ii)

2

0

3

3 r

RE

58. [RS] Una esfera sólida de radio 40.0 cm tiene una carga positiva total de C26

distribuida uniformemente en su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico a las

siguientes distancias del centro de la esfera: a) 0 cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm, d) 60.0 cm.

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 106512.3 5E ; c) N/C 104605.1 6E ; d)

N/C 104910.6 5E



59. [TM] Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme

3nC/m 450 . Determinar el campo eléctrico en a) cm 2r , b) cm 9.5r , c)

cm 1.6r y d) cm 10r .

Respuesta: a) N/C 8227.338E ; b) N/C 5270.999E ; c) N/C 4145.983E : d)

N/C 9285.365E

60. [RS] Una esfera sólida de plástico con un radio de 10.0 cm tiene una carga de densidad

uniforme en todo su volumen. El campo eléctrico existente a 5 cm del centro es de 86.0

kN/C y está dirigido radialmente hacia el interior. Determine la magnitud del campo

eléctrico a 15.0 cm del centro.

Respuesta: a) 35 C/m 105688.4 ; b) N/C 106444.7 4E

61. [TM] Una esfera no conductora de radio m 1.0R posee una densidad de carga

volumétrica uniforme. El módulo del campo eléctrico en Rr 2 es 1883 N/C. a) ¿Cuál es

la densidad de carga volumétrica? b) Determinar el módulo del campo eléctrico en

Rr 5.0 desde el centro de la esfera.

Respuesta: a) 36 C/m 102 ; b) N/C 3766E

62. [RS] Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de

plomo-208, que contiene 82 protones y 126 neutrones. Suponga que el núcleo de plomo

tiene un volumen igual a 208 veces el volumen de un protón, considere al protón como una

esfera de radio 1.20×10–15

m.

Respuesta: N/C 103358.2 21E

63. [RH] En un trabajo publicado en 1911, Ernest Rutherford señalaba, a fin de hacerse una

idea de las fuerzas necesarias para desviar una partícula alfa a través de un gran ángulo;

consideremos un átomo que contenga una carga puntual positiva Ze en su centro y que esté

rodeado de una distribución de electricidad negativa, Ze distribuida uniformemente en

una esfera de radio R. El campo eléctrico … a una distancia r del centro en un punto dentro

del átomo (es)

32

0

1

4 R

r

r

ZeE

. Verifique la ecuación anterior.



64. [DF] Una esfera no conductora de radio R y densidad de carga uniforme , tiene una

cavidad esférica de radio R21 como se indica en la figura.

a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el punto A (que está en la línea que

une el centro de la esfera con el centro del hueco) es

2

212

0

3

)(8

11

3 Rrr

RE

,

siendo

r la distancia del centro de la esfera al punto A.

b) Demuestre, por dos mecanismos diferentes, que el campo eléctrico en el punto A ubicado

a una distancia r >> a está dada por 2

0

3

24

7

r

RE

.

65. [RS] Una esfera de radio 2 a está hecha de un material no conductor con una densidad

de carga volumétrica uniforme . (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico).

Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en la figura.

demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado por 0xE ,

03

aEy . Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la sobreposición del campo

r

R A

r



debido a la esfera original sin perforación más el campo debido a una esfera del tamaño de

la cavidad con una densidad de carga negativa uniforme de .

66. [RH] Una región esférica tiene una carga uniforme por unidad de volumen . Sea r

el

vector que del centro de la esfera se dirige a un punto general P dentro de ella. a)

Demuestre que el campo eléctrico en P está dado por 03

rEy . b) Una cavidad esférica se

crea en ella , como se aprecia en la figura. Mediante el concepto de superposición

demuestre que en todos los puntos de la cavidad el campo eléctrico es 03

rEy (campo

uniforme), donde a

es el vector que conecta el centro de la esfera al de la cavidad. Nótese

que ambos resultados no dependen del radio de la esfera ni del de la cavidad.

x

y

a

x

y

a2

a



67. [TM, DF] Una capa esférica fina de radio R (Figura) tiene una carga total Q. Un

pequeño trozo circular es extraído de la superficie. a) ¿Cuál es el valor del módulo,

dirección y sentido del campo eléctrico en el centro del hueco que deja el “tapón” extraído?

b) Utilizando el resultado del apartado a), calcular la fuerza eléctrica sobre el “tapón”

cuando se vuelve a colocar en el hueco. c) A partir de estos últimos resultados, calcular la

“presión electrostática” (fuerza/unidad de área) existente en toda la esfera.

Respuesta: a) 02

E ; b)

02

AF ; c)

0

2

2

P ; d)

2

08 R

QE

,

2

08 R

AQE

,

4

0

2

2

32 R

QP

68. [RH] Una esfera no conductora sólida de radio R tiene una distribución de carga

uniforme, con una densidad RrS / donde S es una constante, y r la distancia del

centro de la esfera. Demuestre que a) la carga total en la esfera es 3RQ S y b) el

campo eléctrico dentro de la esfera está dado por 2

2

04

1r

R

QE

.

69. [TM] Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga

volumétrica proporcional a la distancia desde el centro: rA para Rr , siendo A una

constante; 0 para Rr . a) Hallar el campo eléctrico rE , generado tanto en el interior

como en el exterior de la distribución de carga y representar rE en función de r. b) Dibujar

una gráfica del módulo del campo eléctrico como función de la distancia r medida desde el

centro de la esfera.

Agujero

Tapón



Respuesta: a) 2rAkE ; b)

2

4

r

RAkE

70. [TM] Una esfera de radio R contiene una densidad de carga volumétrica rB / para

Rr , donde B es una constante y 0 para Rr . a) Hallar las expresiones del campo

eléctrico dentro y fuera de la distribución de carga. b) Hacer una gráfica del módulo del

campo eléctrico en función de la distancia al centro de la esfera.

Respuesta: a) 02

BE ; b)

2

0

2

2 r

RBE

71. [TM] Una esfera de radio R contiene una densidad de carga volumétrica 2/ rC para

Rr , donde C es una constante y 0 para Rr . a) Obtener las expresiones del campo

eléctrico dentro y fuera de la distribución de carga. b) Hacer una gráfica del módulo del

campo eléctrico en función de la distancia al centro de la esfera.

Respuesta: a) 02

aE ; b)

2

0

2

2 r

RaE

72. [RS] Una esfera aislante sólida de radio R tiene una densidad que varía en función de r

de acuerdo con la expresión 2rA , donde A es una constante y r está medida desde el

centro de la esfera. A) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico exterior de la esfera

( Rr ) es igual a 2

0

5

5 r

RAE

. b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico interior

de la esfera ( Rr ) es igual a 0

3

5

rAE .

Respuesta: a) r

CE

0 ; b)

2

0r

RCE

73. [RS] Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga

expresada por r

a , siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una

función de r.



74. [DF] Una esfera maciza de radio a tiene una distribución de carga

a

r10 que

varía con el el radio, siendo 0 una constante y r una distancia variable radial. Determinar

a) ¿Cuál es el campo eléctrico dentro de la distribución, ar ?

b) ¿Cuál es el campo eléctrico fuera de la distribución, ar ?

b) Coinciden las expresiones obtenidas en (a) y (b) para los puntos de la frontera r = a?

c) El punto del valor máximo del campo eléctrico.

Respuesta: a)

a

rrE

43

1

0

0

; b)

2

0

3

0

12 r

aE

; c) Si; d)

0

0

max9

aE

75. [DF] En un modelo propuesto para un núcleo atómico ligero, la carga está distribuida

en una especie de nube esférica de radio a , con una densidad volumétrica que depende de

la distancia r al origen

2

2

0 1)(a

rr para ar .

a) Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la nube.

b) ¿A qué distancia radial, tienen E el máximo valor?

a

a



Respuesta: a)

2

2

0

0

53

1

a

rrE

; b)

2

0

3

0

15

2

r

aE

; c)

0

0

max27

52

aE

76. [RH] La región esférica bra tiene una carga por unidad de volumen de r

A ,

donde A es una constante. En el centro ( 0r ) de la cavidad encerrada hay una carga

puntual q. ¿Cuál debería ser el valor de A para que el campo eléctrico en la región

bra tenga una magnitud constante?

Respuesta: 22 a

qA

77. En el interior de una esfera maciza cargada no conductora de radio R existe un campo

eléctrico radial y de magnitud constante 0E .

a) Demuestre que la densidad de carga de esta esfera es: r

Er 002)(

para Rr 0 .

b) Calcule E

de esta esfera para Rr .

Respuesta: b) 2

2

0

r

REE

78. [DF] Una carga está distribuida en una esfera de radio R = 1 m con una densidad que

depende únicamente de la distancia radial r. Se sabe que el campo eléctrico en el interior de

la esfera está dado por la siguiente expresión 0

2

4

rE . ¿Cuál es la densidad de carga )(r

en C/m3?

Respuesta: rr )(

79. [TM] Una corteza esférica no conductora y gruesa de radio interior a y de radio exterior

b posee una densidad de carga volumétrica uniforme. Determinar el campo eléctrico en

todos los puntos.

Respuesta: ar : 0E ; bra : 2

0

33

0

3

)(

r

arE

; br :

2

0

33

0

3

)(

r

abE



80. Un cascarón esférico no conductor tiene una densidad de carga constante. El radio

interno del cascarón es a y el externo es b. Construya el gráfico de E

en función de r

(siendo r la distancia del centro del cascarón al punto donde se calcule E

), si

36 C/m 102 , m 15.0a y m 25.0b . (Trabaje con el siguiente dominio de E

:

m 30.00 r )

81. Una esfera maciza no conductora de radio b con una cavidad esférica de radio a tiene

una distribución uniforme de carga y su carga total es Q. Determinar el campo eléctrico en

los puntos:

a) ar b) bra c) br


33

)(

)(

rab

arQkE

; c)

2r

QkE

82. [TM, DF] La mecánica cuántica considera que el electrón del átomo de hidrógeno no es

puntual, sino que le asigna una distribución de carga extendida en todo el espacio cuya

expresión es area

er /2

3)(

, donde r es la distancia al centro del núcleo, y a es el

a

b

a

b



denominado radio de Bohr (a = 0.0529 nm). Recordar que el núcleo de un átomo de

hidrógeno está formado por un protón que es una carga unidad positiva que se puede

considerar puntual. Calcular el campo eléctrico generado a una distancia r del núcleo.

Considerar el protón como una carga puntual.

Respuesta: 22

0

2

22

4

)22(

ra

erraaqE

a

r

e

83. [RS] Un protón gira con una velocidad km/s 294v fuera de una esfera cargada de

radio cm 13.1r . Determine la carga de la esfera.


84. [RS] Una partícula con una carga de nC 0.60 está colocada en el centro de un

cascarón esférico no conductor con un radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de

25.0 cm. El cascarón esférico tiene una carga con una densidad uniforme de 3C/m 33.1 .

Un protón está en movimiento en una órbita circular justo en el exterior del cascarón

esférico. Calcule la velocidad del protón.

Respuesta: m/s 109405.5 5v

85. [RS] Considere un cascarón esférico delgado con un radio de 14.0 cm y una carga total

de C 0.32 distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico

a) a 10.0 cm y b) a 20.0 cm del centro de distribución de la carga.

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 101900.7 6E

86. [TM] Una corteza esférica de radio 6 cm posee una densidad superficial uniforme de

carga 2nC/m 9 . Determinar el campo eléctrico en a) cm 2r , b) cm 9.5r , c)

cm 1.6r y d) cm 10r .

Respuesta: a) 0E ; b) 0E ; c) N/C 4145.983E ; d) N/C 9285.365E

87. Una esfera de radio a que posee una densidad de carga constante 0 se halla rodeada

por un cascarón esférico con densidad de carga 0 , de radio interno b ( ab ) y radio

externo c, como muestra la figura.



a) Determinar el campo eléctrico en los puntos:

i. ar ii. bra iii. crb iv. cr

b) Si un electrón gira en trayectoria circular de radio “ r ” concéntrica a las esferas y

colocadas entre ellas, determinar la energía cinética del electrón.

Respuesta: a). i) 0

0

3

rE ; ii)

2

0

3

0

3 r

aE

; iii)

2

0

333

0

3

)(

r

rbaE

; iv)

2

0

333

0

3

)(

r

cbaE

; b)

0

2

6

rEC

88. Dos cascarones esféricos de radios a y b concéntricos poseen carga 5 q (q > 0) y –3q

respectivamente. Encuentre el campo eléctrico en puntos que están a una distancia r del

centro de los cascarones siendo:

a) ar b) bra c) br


04

5

r

qE

; c)

2

04

2

r

qE

89. [RH] Dos cascarones esféricos y concéntricos con carga eléctrica tienen un radio de

10.0 y 15.0 cm. La carga en el cascarón interno es de 40.6 nC y la del cascarón externo es

a

b

q5

q3

b c

a



de 19.3 nC. Calcule el campo eléctrico en a) r = 12.0 cm, b) en r = 22.0 cm y c) en r = 8.18

cm del centro de los cascarones.

Respuesta: a) N/C 105340.2 4E ; b) N/C 101123.1 4E ; c) 0E

90. [TM] Una esfera sólida de 1.2 m de diámetro con su centro sobre el eje x en m 4x ,

tiene una carga volumétrica uniforme de densidad 3C/m 5 . Una corteza esférica

concéntrica con la esfera tiene un diámetro de 2.4 m y una densidad de carga superficial

uniforme 2C/m 5.1 . Calcular el módulo y la dirección del campo eléctrico en a)

m 5.4x , 0y ; b) m 0.4x , m 1.1y y c) m 0.2x , m 0.3y .

Respuesta: a) iE N/C) 104117.9( 4 ; b) jE N/C) 100706.2( 5 ; c)

N/C 100058.7 4E , º69.303

91. [TM] Un plano infinito paralelo al plano y z en m 2x posee una densidad de carga

superficial uniforme 2C/m2 . Una carga lineal infinita de densidad uniforme

C/m4 pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el eje x en el plano x y. Una

esfera sólida no conductora con una densidad de carga volumétrica 3C/m6 y radio

0.8 m está centrada sobre el eje x en m 1x . Calcular el módulo y la dirección del campo

eléctrico en el plano x y en m 5.1x , m 5.0y .

Respuesta: Campo de la esfera: N/C 105972.1 5E , º45 . Distancia perpendicular

entre la línea y la carga de prueba: R = 0.7071 m. Campo de la línea de carga:

N/C 100168.1 5E , º315 . Campo del plano infinito: N/C 101294.1 5E , º180 .

Campo resultante: N/C 102786.8 4E , º72.29

Conductores.

92. [TM] Consideremos dos esferas conductoras concéntricas (Figura). La esfera exterior es

hueca y en ella se ha depositado una carga –7Q. La esfera interior es sólida y en ella hay

una carga +2Q. a) Supongamos que se conecta un alambre entre ambas esferas. Una vez

alcanzado el equilibrio electrostático, ¿Cambia el campo eléctrico de la superficie de la

esfera interna al conectar el cable? Si es así, ¿cómo cambia?



93. [RS] Un esfera conductora hueca está rodeada por un cascarón conductor esférico

concéntrico de radio mayor. La esfera tiene una carga –Q y el cascarón exterior una carga

+3Q. Las cargas están en equilibrio electrostático. Utilizando la ley de Gauss, determine el

campo eléctrico presente en todas las regiones.

Respuesta: ar : 0E , bra : 2

04 r

QE

, br :

2

04

2

r

QE

94. [RH] Una esfera conductora cargada uniformemente de 1.22 m de radio tiene una

densidad de carga superficial de 2C/m .138 . Calcule el campo eléctrico en la superficie

de la esfera.


95. [RH] Unos vehículos espaciales que viajan por los cinturones de radiación terrestre

chocan con los electrones atrapados. Puesto que en el espacio no hay tierra, la acumulación

resultante de la carga puede ser considerable y dañar los componentes electrónicos,

ocasionando perturbaciones en los circuitos de control y anomalías en la operación. Un

satélite esférico metálico de 1.3 m de diámetro acumula C .42 de carga en una revolución

orbital. Calcule el campo eléctrico resultante afuera de la superficie del satélite.

a

b

Q2

Q7




96. Una esfera de cobre tiene un radio R = 15 cm. y posee una carga de C 102 6 . Calcule

la magnitud del campo eléctrico en puntos situados:

a) Dentro de la esfera, a una distancia de 10 cm de su centro.

b) En la superficie de la esfera.

c) Fuera de la esfera, a una distancia de 20 cm de su centro.

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 109889.7 5E ; c) N/C 104938.4 5E

97. [RS] Una esfera sólida de cobre con un radio de 15.0 cm tiene una carga de 40.0 nC.

Determine el campo eléctrico a) a 12.0 cm, b) a 17.0 cm y c) a 75.0 cm del centro de la

esfera. d) ¿Cuáles serían sus respuestas si la esfera fuese hueca?

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 102439.1 4E ; c) N/C 11.639E ; d) La misma

98. El campo eléctrico creado por una esfera conductora de radio 2.5 m tiene una magnitud

máxima de 105 N/C. Calcule la densidad de carga de la esfera.

Respuesta: 27 C/m 1085.8

99. Una esfera conductora posee una densidad de carga 27 C/m 1085.8 . La magnitud

del campo eléctrico en un punto situado a 2 m de la superficie de la esfera es 3.6104 N/C.

Calcule:

a) El radio de la esfera. b) E

en la superficie de la esfera.

Respuesta: a) m 3R ; b) N/C 105E

100. [RH] La ecuación 0/E nos da el campo eléctrico en puntos cercanos a una

superficie conductora cargada. Aplíquela a una esfera conductora de radio r que tiene una

R



carga q en su superficie; demuestre después que el campo eléctrico fuera de ella es el

mismo que el de una carga puntual en el centro de la esfera.

Respuesta: 2

04 r

qE

101. [RS] Un cascarón esférico conductor con un radio de 15.0 cm tiene una carga neta de

C 40.6 distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico a)

justo por dentro del cascarón y b) justo por fuera del cascarón.

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 105565.2 6E

102. [RH] Un cascarón esférico delgado metálico sin carga tiene una carga puntual q en su

centro. Por medio de la ley de Gauss, obtenga las expresiones del campo eléctrico a) dentro

del cascarón y b) fuera de él. c) ¿Tiene el cascarón algún efecto en el campo debido a q? d)

Produce la presencia de q algún efecto en el cascarón? e) Si mantenemos una segunda carga

puntual fuera del cascarón, experimenta una fuerza? f) ¿Experimenta una fuerza la carga

interna? g) ¿Contradice esto a la tercera ley de Newton? Explique su respuesta afirmativa o

negativa.

Respuesta: a) 2

04 r

qE

; b)

2

04 r

qE

; c) Si. Si la carga es movida del centro, el

campo interno al cascarón sería distorsionado, y no podríamos aplicar la ley de Gauss para

encontrarlo.; d) Si. q induce cargas en las superficies interna y externa del cascarón. Habrá

una carga –q en la superficie interna y q en la superficie externa. e) Si. Existe un campo

eléctrico fuera del cascarón. f) No. El campo eléctrico en el exterior del cascarón no actúa a

través del conductor. El conductor actúa como un escudo. g) No, porque la carga externa

a



nunca experimentó atracción electrostática o repulsión de la carga interna. La fuerza es

entre el cascarón y la carga externa.

103. Dos cascarones esféricos conductores concéntricos tienen radios 0.2 m y 0.3 m

respectivamente. A 0.25 m del centro de ambos cascarones el campo eléctrico tiene módulo

90 N/C y a 0.35 m del centro el campo eléctrico tiene magnitud 45 N/C. Calcule la carga de

cada cascarón. (Note que hay más de una solución y que éstas dependen de la dirección del

campo).

Respuesta: Si el campo en r = 0.25 m es radial hacia afuera: C102587.6 10

1

q , para lo

cual es posible: C102517.1 11

2

q ó C102392.1 9

2

q . Si el campo en r = 0.25 m

es radial hacia adentro: C102587.6 10

1

q , para lo cual es posible C102392.1 9

2

q ó

C102517.1 11

2

q

104. [TM] Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un radio interior a

y un radio exterior b. Se coloca una carga puntual q en el centro de la corteza. a) Utilizar la

ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio para hallar el campo

eléctrico en cada una de las regiones ar , bra y br . b) Determinar la densidad de

carga en la superficie interna ( ar ) y en la superficie externa ( br ) de la corteza.

Respuesta: a) ar ; 2

04 r

qE

, bra : 0E ; br :

2

04 r

qE

105. [TM] Una carga puntual positiva de C .52 se encuentra en el centro de una corteza

conductora esférica sin carga, de radio interior 60 cm y de radio exterior 90 cm. a)

Determinar las densidades de carga de las superficies interior y exterior de la corteza y la

carga total de cada superficie. b) Determinar el campo eléctrico generado en cualquier

a

b



punto. c) Repetir a) y b) para el caso en que se añade una carga neta de C .53 a la

corteza.

Respuesta: a) 27 C/m 105262.5 i ; 27 C/m 104561.2 o ; C 105.2 6iq ,

C 105.2 6

0

q ; b) m 6.0r ;

4

2

102469.2

rE

, m 9.0m 6.0 r : 0E ; m 9.0r :

4

2

102469.2

rE

106. Un cascarón metálico esférico de radios R1 y R2 tiene una carga neta igual a Q (Q > 0).

En el centro del cascarón se coloca una carga puntual q (q > 0).

Calcule E

en puntos que están a una distancia r de la carga puntual para:

a) r < R1 b) R2 > r > R1 c) r > R2

Respuesta: a) 2

04 r

qE

; b) 0E ; c)

2

04 r

QqE

107. [RS] Una esfera aislante sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme y

una carga total Q. Colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca,

conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se

puede observar en la figura. a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones

ar , bra , crb y cr .

1R

2R

q



Respuesta: a) ar : 03

rE , b) bra :

2

0

3

3 r

aE

, crb : 0E , cr :

2

0

3

3 r

aE

108. [RS] Para la configuración que aparece en la figura del problema 107, suponga que

cm 00.5a , cm 00.20b y cm 00.25c . Además, suponga que el campo eléctrico en un

punto 10.0 cm del centro tiene un valor medido de 3.60105 N/C, radial hacia adentro, en

tanto que el campo eléctrico en un punto a 50.0 cm del centro es 2.00102 N/C radial y

hacia afuera. Con esta información encuentre a) la carga existente en la esfera aislante, b) la

carga neta de la esfera conductora hueca y c) las cargas en las superficies interna y externa

de la esfera conductora hueca.

Respuesta: a) C 104 7q ; b) C 100556.4 7q ; c) C 104 7iq , C 1056.5 9

0

q

109. [DF] Una esfera no conductora de radio a y carga uniforme + Q está situada en el

centro de una esfera metálica hueca de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca

exterior contiene una carga –Q. Halle )(rE en las regiones siguientes:

a) dentro de la esfera sólida (r < a).

b) entre la esfera maciza y la hueca (a < r < b).

c) dentro de la esfera hueca (b < r < c).

d) fuera de la esfera hueca (r > c).

Respuesta: a) 3

04 a

rQE

; b)

2

04 r

QE

; c) 0E ; d) 0E

b c

a



110. [RH] La figura muestra una carga q formando en una esfera conductora uniforme de

radio a y colocada en el centro de un cascarón conductor esférico de radio interno b y de

radio externo c. El cascarón externo tiene una carga de q . Determine )(rE en los sitios

a) dentro de la esfera ( ar ), b) entre la esfera y el cascarón ( bra ), c) dentro del

cascarón ( crb ) y d) fuera del cascarón ( cr ). e) ¿Qué cargas aparecen en las

superficies interna y externa del cascarón?


04 r

qE

; c) 0E , d) 0E

111. [RS] Una esfera conductora sólida con un radio de 2.00 cm posee una carga de

C 00.8 . Concéntrica con la esfera sólida, un cascarón esférico conductor tiene un radio

interior de 4.00 cm y un radio exterior de 5.00 cm con una carga total de C 00.4 .

Encuentre el campo eléctrico en las siguientes distancias del centro de esta configuración

de cargas: a) cm 00.1r , b) cm 00.3r , c) cm 50.4r y d) cm 00.7r .

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 109889.7 7E ; c) 0E , d) N/C 103367.7 6E

112. [RS] Una esfera aislante y sólida, de 5.00 cm de radio, tiene una carga positiva neta de

C 00.3 , con distribución uniforme en todo su volumen. Concéntrico a la esfera hay una

b c

a

b c

a



cubierta esférica conductora con radio interior de 10.0 cm y radio exterior de 15.0 cm, que

tiene carga neta de C 00.1 , como se muestra en la figura. a) Considere una superficie

gaussiana esférica de 16.0 cm de radio y encuentre la carga encerrada por esta superficie. b)

¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el punto D, a la derecha de la cubierta y a un

radio de 16 cm? c) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en el punto D. d) Encuentre

el vector de campo eléctrico en el punto C, a 12.0 cm de radio. e) Considere una superficie

gaussiana esférica a través del punto C y encuentre la carga neta encerrada por esta

superficie. f) Considere una superficie gaussiana esférica de 8.00 cm de radio y encuentre la

carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el vector de campo eléctrico en el

punto B, a 8 cm de radio. h) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto

A, a 4.00 cm de radio, y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. i) Encuentre

el vector de campo eléctrico en el punto A. j) Determine la carga sobre la superficie interior

de la cubierta conductora. k) Determine la carga sobre la superficie exterior de la cubierta

conductora.

113. Una esfera conductora de radio a está colocada en el centro de un casquete esférico no

conductor cuyo radio interno es b y radio externo c, tal como se muestra en la figura. En la

esfera interna está distribuida uniformemente una carga +Q, y en el casquete externo la

carga es –Q. Determine E (r) para a) r < a, b) a < r < b, c) b < r < c , d) r > c.

10 cm

15 cm

5 cm



Respuesta: a) r < a; 0E ; b) a < r < b: 2

04 r

QE

; c) b < r < c:

2

0

33

33

4 r

Qbc

rc

E

; d) r >

c: 0E

114. [TM] Consideremos las tres esferas metálicas concéntricas de la figura. La esfera I es

sólida con el radio R1. La esfera II es hueca con el radio R2 más interno y el radio R3

externo. La esfera III es hueca con radio R4 más interno y radio R5 externo. Inicialmente las

tres esferas tienen una carga nula. A continuación, añadimos una carga 0Q a la esfera 1 y

una carga positiva 0Q a la esfera III. a) Una vez que las cargas han alcanzado el

equilibrio, el campo eléctrico en el espacio comprendido entre las esferas I y II, está

dirigido hacia el centro, se aleja del centro o ninguna de ambas cosas? b) Representar E en

función de r para todo valor de r.

Respuesta: a) Hacia el centro. b) 0; f) 1Rr , 32 RrR , 4Rr : 0E , 21 RrR y

43 RrR : 2

04 r

QE

b c 1R 2R 3R 4R 5R

b c

a



4.7.- UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CILÍNDRICAMENTE SIMÉTRICA.

No conductores.

115. [WM] Aplicando la ley de Gauss, demuestre que el campo eléctrico a una distancia y

de una barra infinita, orientada según el eje x y cargada con densidad de carga lineal está

dado por la expresión y

kE

2 . Este resultado coincide con el obtenido en el capítulo 3,

mediante cálculo directo de campo.

116. [RS] Un filamento largo y recto tiene una carga por unidad de longitud de

C/m 0.90 . Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias del filamento,

medidas perpendicularmente a su longitud del mismo: a) 10.0 cm, b) 20.0 cm y c) 100 cm.

Respuesta: a) N/C 106178.1 7E ; b) N/C 107036.7 6E ; c) N/C 106178.1 6E

117. [RS] Un filamento recto uniformemente cargado de 7.00 m de longitud tiene una carga

positiva total de C 00.2 . Un cilindro de cartón sin carga de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm

de radio, rodea el filamento en su parte central, teniendo a este como el eje del cilindro.

Utilizando aproximaciones razonables, determine a) el campo eléctrico en la superficie del

cilindro y b) el flujo eléctrico total a través de dicho cilindro.

Respuesta: a) N/C 101357.5 4E ; b) /CN.m 3766.645 2E

118. [RH] Una línea infinita de carga produce un campo de N/C 1052.4 4 a una distancia

de 1.96 m. Calcule la densidad de carga lineal.

Respuesta: C/m 109286.4 6

119. [TM] Una densidad lineal de carga infinita está localizada a lo largo del eje z. Una

masa m que posee una carga q de signo opuesto al de , se encuentra en una órbita circular

en el plano x y alrededor de la carga lineal. a) Deducir una expresión para la velocidad de la

partícula. b) Deducir una expresión para el periodo de la órbita en función de m, q, R y ,

siendo R el radio de la órbita.

Respuesta: a) m

qv

02

; b)

q

mRT

02

2



120. [TM] Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme C/m 1.5 es paralela

al eje y en m 2x . Una carga puntual C3.1 está localizada en m 1x , m 2y .

Determinar el campo eléctrico en m 2x , m 5.1y .

Respuesta: N/C)1296.4180 101357.5( 4 jiE

121. – [TM] Un cilindro no conductor infinitamente largo de radio R posee una densidad de

carga volumétrica uniforme 0)( r .

a) Demostrar que el campo eléctrico viene dado por 0

0

2

rEr cuando Rr 0 , y por

r

REr

0

2

0

2

cuando Rr , donde r es la distancia desde el eje del cilindro.

b) Demuestre que si el cilindro es infinitamente delgado (línea de carga) el campo a una

distancia r viene dado por r

Er

02

. Este resultado coincide con el que habíamos

obtenido en el capítulo 3, mediante cálculo directo de campo y en el problema 115.

122. [TM] Un cilindro de longitud 200 m y radio 6 cm posee una densidad de carga

volumétrica uniforme 3nC/m 300 . Utilizar las fórmulas dadas en el problema 121 para

determinar el campo eléctrico en un punto equidistante de los extremos en a) cm 2r , b)

cm 9.5r , c) cm 1.6r y d) cm 10r .

Respuesta: a) N/C 8227.338E ; b) N/C 5270.999E ; c) N/C 4142.2999E ; d)

N/C 6427.1829E

123. [RS] Un cilindro aislante de longitud infinita y de radio R tiene una densidad de carga

volumétrica que varía en función del radio de la forma siguiente

b

ra0 siendo 0 ,

a y b constantes positivas y r la distancia al eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss para

determinar la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias radiales a) Rr y b)

Rr .

Respuesta: a)

b

raE

320

0

; b)

b

Ra

r

RE

320

2

0



124. Un cilindro de longitud infinita y radio R tiene una densidad de carga

2

2

02

1

R

r , siendo 0 una constante positiva y r la distancia del eje del cilindro a un

punto de él.

a) ¿Qué superficie gaussiana conviene elegir para calcular E

creado por el cilindro en

puntos para los cuales Rr ?

b) Demuestre que la carga encerrada por la superficie gaussiana que eligió en a) es

2

222

0

2

)(

R

rRrLq

c) Encuentre E

en un punto que está en el interior del cilindro a una distancia r de su eje.

Respuesta: c) 2

0

22

0

4

)(

R

rRrE

125. [TM] Un cilindro no conductor, de longitud infinita y radio R contiene una

distribución de carga rar )( , siendo a constante. Hallar las expresiones del campo

eléctrico generado por este cilindro en todos los puntos del espacio, es decir, una expresión

para a) Rr y otra para b) Rr .

Respuesta: a) 0

2

3

raE ; b)

r

RaE

0

3

3

126. [TM] Un cilindro de radio a, sólido, infinitamente largo y no conductor, contiene una

densidad volumétrica de carga distribuida no uniformemente. Esta densidad varía con

respecto de la distancia al eje del cilindro, medida sobre su perpendicular, según la

expresión 2)( rbr , donde b es una constante. Obtener expresiones del campo eléctrico

a) ar y b) ar .

Respuesta: a) 0

3

4

rbE ; b)

r

RbE

0

4

4



127. [TM] Un cilindro de radio 3 cm está construido con un material no conductor y posee

una distribución de carga volumétrica dada por rCr /)( , donde 3nC/m 200C .

Calcular el campo eléctrico para todos los valores de r.

Respuesta: cm 3r : N/C 102588.2 4E , cm 3r : r

E6454.677

, con ]m[r

128. [TM] Una corteza cilíndrica no conductora, gruesa e infinitamente larga, de radio

interior a y radio exterior b, posee una densidad de carga volumétrica uniforme .

Determinar el campo eléctrico en todos los puntos.

Respuesta: ar : 0E , bra : r

arE

0

22

2

)(

, br :

r

abE

0

22

2

)(

129. [TM] Demostrar que el campo eléctrico debido a una corteza cilíndrica uniformemente

cargada e infinitamente larga de radio R y que posee una densidad de carga superficial ,

viene dado por: 0E cuando Rr 0 y r

RE

0

cuando Rr .

130. [TM] Una corteza cilíndrica de longitud 200 m y radio 6 cm posee una densidad de

carga superficial uniforme 2nC/m 9 . Hallar el campo eléctrico en a) cm 2r , b)

cm 9.5r , c) cm 1.6r y d) cm 10r . Utilizar los resultados del problema 129.

Respuesta: a) 0E ; b) 0E ; c) N/C 8047.999E ; d) N/C 8809.609E

131. [RS] Un cascarón cilíndrico con un radio de 7.00 cm y longitud de 240 cm tiene una

carga distribuida de manera uniforme sobre su superficie curva. La magnitud del campo

eléctrico en un punto que está a 19.0 cm radialmente hacia afuera de su eje (medido a partir

del punto medio de la envoltura) es de 36.0 kN/C. Determine a) la carga neta sobre la

envoltura y b) el campo eléctrico que existe en un punto a 4.00 cm del eje, medido

radialmente hacia afuera del punto medio de la envoltura.

Respuesta: a) C 101326.9 10q ; b) 0E

132. [RH] Una carga positiva se distribuye uniformemente a través de un cascarón

cilíndrico largo no conductor de radio interno R y de radio externo 2 R. ¿A qué profundidad



radial debajo de la superficie externa de la distribución de carga será la fuerza del campo

eléctrico la mitad del valor superficial?

Respuesta: RRr 557.08

7313

133. [RS] Un cascarón aislante cilíndrico de longitud infinita, con radios interno y externo

a y b, respectivamente, tiene una densidad de carga volumétrica . Una línea de densidad

de carga lineal uniforme está colocada a lo largo del eje del cascarón. Determine el

campo eléctrico en todos los sitios.

Respuesta: ar : r

E02

, bra :

r

arE

0

22

2

)(

, br :

r

abE

0

22

2

)(

134. Un cilindro no conductor de longitud infinita y radio R1 tiene una densidad de carga

. Posee una cavidad cilíndrica coaxial de radio R2. Calcule la densidad de carga lineal que

debe haber en el eje del cilindro para que el campo eléctrico en el exterior del cilindro sea

cero.

Respuesta: )( 2

2

2

1 RR

135. [TM] Un contador Geiger es un típico aparato de un laboratorio de física Nuclear que

sirve para detectar radiación. Este instrumento está constituido por un tubo cilíndrico que

tiene un hilo recto de metal a lo largo de su eje central.

1R 2R



a) El diámetro del hilo debe ser de 0.500 mm y el diámetro interior del tubo de 4.00 cm. El

tubo se llena de un gas diluido en el que se establece una descarga eléctrica con la que se

produce la ruptura dieléctrica que sucede cuando el campo eléctrico alcanza

N/C 1050.5 6 . Determinar la máxima densidad de carga lineal que tiene que llevar el hilo

para que no se produzca la ruptura dieléctrica. Asumir que el tubo y el hilo son

infinitamente largos.

b) Supóngase que el radio del alambre central mide m 25 , que el radio del cilindro mide

1.4 cm y el tubo tiene una longitud de 16 cm. El campo eléctrico en la pared del cilindro es

N/C 109.2 4 . Calcule la carga positiva en el alambre central.

Respuesta: a) C/m 106495.7 8 ; b) C 106139.3 9

136. [TM] Suponer que la radiación ionizante produce un ión y un electrón a la distancia de

1.50 cm desde el eje del hilo central del tubo de Geiger del problema 135 a). Suponer que el

hilo central está positivamente cargado con una densidad lineal de carga igual a 76.5 pC/m.

En este caso, ¿qué velocidad adquirirá el electrón cuando impacte con el hilo?

Respuesta: m/s 109179.4 5v

137. [DF] Dos cascarones esféricos concéntricos, no conductores y de radio R y 2 R

respectivamente, tienen cargas distribuidas uniformemente.

a) Si un electrón (masa m y carga –e) gira con una rapidez v0 en una órbita circular de radio

r comprendido entre R y 2 R. ¿Cuál es la densidad de carga 1 del cascarón interno?

b) Si el campo eléctrico es nulo en un punto ubicado a distancia radial 3 R, ¿Cuál es la

densidad de carga 2 del cascarón externo?

Respuesta: a) re

vm 0

2

01

; b)

re

vm

4

0

2

02

138. [RH] La figura muestra una sección a través de dos largos cilindros concéntricos

delgados de radio a y b. Transportan cargas iguales y opuestas por unidad de longitud .

Por medio de la ley de Gauss pruebe que a) E = 0 cuando r < a y que b) entre los cilindros

E está dado por r

E

02

1



139. [RH] En la geometría del problema 138, un positrón gira en una trayectoria circular

entre los cilindros y concéntrica con ellos. Determine su energía cinética en electrón –

volts. Suponga que nC/m 30 . (¿Por qué no necesita conocer el radio del los cilindros?)

Respuesta: 04

eEc , eV 63.269cE

140. [TM] Consideremos dos cortezas cilíndricas concéntricas infinitamente largas. La

corteza interior tiene un radio R1 y posee una densidad de carga superficial uniforme 1 ,

mientras que la exterior tiene un radio R2 y una densidad de carga superficial uniforme 2 .

a) Utilizar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en las regiones 1Rr , 21 RrR

y 2Rr . b) ¿Cuál deberá ser el cociente de las densidades 12 / y el signo relativo de

ambas para que el campo existente sea cero cuando 2Rr . ¿Cuál es entonces el campo

eléctrico entre las cortezas?

Respuesta: a) 0E , r

RE

0

11

,

r

RRE

0

2211

; b)

2

1

1

2

R

R

,

r

RE

0

11

141. [RH] Dos grandes cilindros concéntricos cargados tienen un radio de 3.22 y de 6.18

cm. La densidad de carga superficial en el cilindro interno es de 2C/m1.24 y la del

cilindro externo es de 2C/m0.18 . Determine el campo eléctrico en a) r = 4.10 cm y b) r

= 8.20 cm.

Respuesta: a) N/C 101377.2 6E ; b) N/C 106331.4 5E

ba



142. Dos cascarones cilíndricos muy largos de radios a y b respectivamente tienen el eje

común. La carga del cascarón tiene igual valor absoluto a la del otro pero distinto signo.

a) ¿Cuál es la relación entre las densidades superficiales de carga de estos cascarones?

b) Si la densidad superficial de carga del cascarón de radio a es , ¿Cuál es E

en puntos

que se encuentran en la parte central de los cascarones y a la distancia:

i) ar del eje. ii) bra del eje. iii) br del eje.

Respuesta: a) b

a

a

b

; b) i) 0E , ii)

r

aE

0

, iii)

r

aE

0

Conductores.

143. [RS] Una varilla de metal larga y recta tiene un radio de 5.00 cm y una carga por

unidad de longitud de 30.0 nC/m. Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias,

medidas perpendicularmente al eje de la varilla: a) 3.00 cm, b) 10.0 cm y c) 100 cm

Respuesta: a) 0E ; b) N/C 5311.5392E ; c) N/C 2531.539E

144. [RH] Un alambre recto, delgado y muy largo transporta nC/m 60.3 de carga

negativa fija. Debe quedar rodeado por un cilindro uniforme de carga positiva, de radio

1.50 cm y coaxial con el alambre. La densidad de carga volumétrica del cilindro debe

escogerse de modo que el campo eléctrico neto fuera de él sea cero. Calcule la densidad de

carga positiva que se requiere .

Respuesta: 36 C/m 100930.5

ba



145. [TM] La figura muestra la sección transversal de una porción de un cable concéntrico

infinitamente largo. El conductor interno posee una carga de 6 nC/m; mientras que el

conductor externo está descargado. a) Determinar el campo eléctrico para todos los valores

de r, siendo r la distancia desde el eje del sistema cilíndrico.

Respuesta: a) cm 5.1r : 0E , cm 5.4cm 5.1 r : r

E85.107

, cm 5.6cm 5.4 r :

0E , cm 5.6r : r

E85.107

. ]m[r

146. Un cilindro no conductor de longitud L y radio a tiene una carga por unidad de

volumen 2

2

0a

r , en donde 0 es una constante y r es una distancia variable radial.

Está rodeado por un cascarón cilíndrico conductor de carga total –2 q y radio b .

Determinar el campo eléctrico en los puntos:

a) ar b) bra c) br

9 cm

3 cm

13 cm



Respuesta: a) 2

0

3

0

4 a

rE

; b)

r

aE

0

2

0

4

; c)

Lr

qLaE

0

2

0

4

4

147. [RH] Un cilindro conductor muy grande (longitud L) que tiene una carga total + q está

rodeado por un cilindro conductor (también de longitud L), con una carga total –2 q, como

se muestra en la figura. Use la ley de Gauss para determinar a) el campo eléctrico en los

puntos fuera del cascarón conductor, b) la distribución de carga en él y c) el campo

eléctrico en la región situada entre los cilindros.

Respuesta: a) Lr

qE

02

; b) Una carga – q en la superficie interior y la carga restante – q

en la superficie exterior.; c) Lr

qE

02

ba

L

ba

L



148. Un cilindro conductor de longitud L tiene una carga total –6 q y radio a. Está rodeado

por un cascarón cilíndrico conductor de carga total +2 q, radio b y longitud L. Determinar

el campo eléctrico en los puntos:

a) ar b) bra c) br

Respuesta: a) 0E ; b) Lr

qE

0

3

; c)

Lr

qE

0

2

149. [RS] Un alambre largo y recto, rodeado por un cilindro de metal hueco cuyo eje

coincide con el suyo, tiene una carga por unidad de longitud , y el cilindro una carga por

unidad de longitud 2 . Con esta información, utilice la ley de Gauss para determinar a) la

carga por unidad de longitud en las superficies interna y externa del cilindro y b) el campo

eléctrico exterior al cilindro, a una distancia r de su eje.

Respuesta: a) i , 3o ; b) r

E02

3

150. [RH] La figura muestra una sección a través de un tubo metálico largo de paredes

delgadas y de radio R, el cual tiene una carga por unidad de longitud en su superficie.

Obtenga la expresión de E para varias distancias r respecto al eje del tubo, considerando

tanto a) Rr como b) Rr . c) Grafique sus resultados en el intervalo de 0r a

cm 5r . Suponiendo que C/m 100.2 8 y cm 0.3R . (Sugerencia: utilice superficies

gaussianas coaxiales con el tubo metálico.)

ba

L



Respuesta: a) 0E ; b) r

E02

; c)

rE

5021.359 , ]m[r

151. [RH] En la figura se muestra una carga puntual nC126q en el centro de una cavidad

esférica de radio 3.66 cm en un trozo de metal. Con la ley de Gauss determine el campo

eléctrico en el punto P1, a la mitad de distancia del centro de la superficie y b) en el punto

P2.


R



BIBLIOGRAFÍA.

ALONSO, M y FINN, E. Física,Volumen 2, Adisson – Wesley, 1992.

FIGUEROA, D, Interacción eléctrica, Quinta Edición., Caracas, 2012.

RESNICK, R, HALLIDAY, D y KRANE, K, Física, Volumen 2., 5a Edición., Grupo

Editorial Patria S.A. de C.V., México, 2007.

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International Thomson Editores, S.A. de C.V., México, 2005.

TIPLER, P y MOSCA, G, Física para la Ciencia y la Tecnología, Volumen 2, Sexta

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04 flujo de campo electrico

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