04. Formulario de Funciones

8/6/2019 04. Formulario de Funciones

http://slidepdf.com/reader/full/04-formulario-de-funciones 1/4

Formulario de Algebra I Funciones

www.carlos-eduardo.webs.tl 1

Funciones

Definición de función

Una función es una relación binaria que cumple dos condiciones.

B A f →:

( ){ } B y A x y x B A f ∈∈=×= , / ,

Condición de Existencia:

( ) ( ) x f y f y x B y A x =∨∈∈∃∈∀ , / ;

Condición de Unicidad:

Si: ( ) ( ) 2121 ,, y y f y x f y x =⇒∈∧∈

Dominio de una función

[ ] ( ){ } x f y A x f Dom =∈= /

Rango de una función

[ ] ( ){ } x f y B y f Rg =∈= /

Expresiones que se debe evitar

0

a; n a2

− ; ( )0log ; ( )a−log ; )arcsin(a 1>a ; )arccos(a 1>a

Composición de funciones

Sean B A f →: y C Bg →:

Donde la condición es: ( ) ( )g D f I =

( ) B Ag f →:o ⇒ ( )( ) ( )[ ] xg f xg f =o

( ) A B f g →:o ⇒ ( )( ) ( )[ ] x f g x f g =o





Clasificación de funciones

Función Inyectiva:

( ) ( ) 212121 / , x x x f x f A x x ≠⇒≠∈

∨ ( ) ( ) 212121 / , x x x f x f A x x =⇒=∈

Función Sobreyectiva:

( ) ( ) x f y f y x A x B y =∨∈∈∃∈∀ , / ;

Función Biyectiva:

Si es una función inyectiva y sobreyectiva, entonces es una función biyectiva.

Función Inversa

( ) ( ){ } x f y A x x y f =∧∈=− / 1

Operaciones de funciones

Suma: ( )( ) ( ) ( ) xg x f xg f ±=±

Suma por una constante: ( )( ) ( ) k x f xk f ±=±

Producto: ( )( ) ( ) ( ) xg x f xg f ⋅=⋅

Producto por una constante: ( )( ) ( ) xkf xkf =

Cociente: ( )( )( ) xg

x f x

g

f =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ; ( ) 0≠ xg

Valor Absoluto: ( )( ) ( ) x f x f =

Función Par e Impar

Función Par:

( ) ( ) x f x f −=

Función Impar:

( ) ( ) x f x f −=−





Función Identidad

A A I A →: tal que ( ) x x I A =

Propiedades:

o Sea una función B A f →: , y dos funciones identidades A A I A →: y

B B I B →: tenemos que:

( )( ) ( )( ) ( ) x f x I f x I f A A ==o

( )( ) ( )( ) ( ) x f x f I x f I B B ==o

o Sea una función invertible B A f →: , tal que A B f →− :1

, entonces:

A I f f f f ==−−

oo11

o Sean B A f →: y C Bg →: funciones invertibles, entonces:

( ) 111 −−−= f gg f oo

Imagen directa

Sea B A f →: y A A ⊂1 , se llama imagen directa de 1 A por f el conjunto de las imágenes de

todos los elementos de 1 A . Es decir:

( ) ( ){ } y x f A x B y A f =∧∈∃∈= 11 /

O bien: ( ) ( ) x f y A x A f y =∈∃⇔∈ / 11

Imagen inversa

Sea B A f →: y B B ⊂1 , se llama imagen inversa de 1 B por f el conjunto de los A x∈ tales

que ( ) B x f ∈ . Es decir:

( ) ( ){ }11

1 / B x f A x B f ∈∈=−

O bien: ( ) ( ) 11

1 B x f B f y ∈⇔∈−





Análisis de Gráficas

Simetrías:

Simetría con el Eje X: ( ) ( ) y xF y xF −= ,,

Simetría con el Eje Y: ( ) ( ) y xF y xF ,, −=

Simetría con el Origen: ( ) ( ) y xF y xF −−= ,,

Asintotas:

Asintotas Verticales:

( ) 0= y D ( ( ) y D : Denominador cuando y está despejado)

Asintotas Horizontales:

( ) 0= x D ( ( ) x D : Denominador cuando x está despejado)

Intersecciones con los Ejes Coordenados:

Intersecciones con el Eje X:

( ) 0

0

=

=

x f

y

Intersecciones con el Eje Y:

( )0

0

f y

x

=

=

Transformaciones:

Traslación Horizontal a la Derecha: ( )c x f y −=

Traslación Horizontal a la Izquierda: ( )c x f y +=

Traslación Vertical hacia Abajo: ( ) c x f y −=

Traslación Vertical hacia Arriba: ( ) c x f y +=

Reflexión con el Eje X: ( ) x f y −=

Reflexión con el Eje Y: ( ) x f y −=

Reflexión sobre el Origen: ( ) x f y −−=

04. Formulario de Funciones

Documents

Transcript of 04. Formulario de Funciones