04 Movimiento Armonico Amortiguado
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7/30/2019 04 Movimiento Armonico Amortiguado
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl
18/11/2005 Jorge Lay Gajardo [email protected] 5
Movimiento armnico amortiguado
Si existe una fuerza debida al medio en elque est sumergido el cuerpo que oscila,
existe una amortiguacin del movimiento.
Si la fuerza de amortiguacin es del tipo
= dx
F bdt
Entonces la segunda ley de Newtonaplicada al cuerpo unido al resorte,
produce la ecuacin:
= 2
2
d x dxm b kx
dtdt
+ + =2
2
d x dxm b kx 0
dtdt
Cuya solucin es de la forma:
( )
= +
bt
2m0x A e cos t
Con A0 y ` constantes.
Note que si t=0 y =0, entonces x=A0.
`es la frecuencia angular del m.a.s.
amortiguado y es de la forma:
= 2
22
b`
4m
Dondeb
2mes el denominado coeficiente
de amortiguamiento (), que obviamentetiene dimensiones de frecuencia.
El inverso de tiene dimensiones de
tiempo y es el denominado tiempo de
relajacin (), es decir, el tiempo que
demanda retornar a la posicin de
equilibrio.
= =
b 1
2m
es la frecuencia del m.a.s. sin
amortiguacin.
Entonces se puede escribir:
( )
= + t
0x A e cos t
= 2 2`
Dependiendo del valor del coeficiente de
amortiguamiento, se pueden tener los
casos:
a) = , que produce `=0
En este caso, se habla de movimiento
amortiguado crticamente y el cuerpo
vuelve rpidamente a la posicin de
equilibrio, sin oscilar, pasando a lo mas,
una vez por la posicin de equilibrio.
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x(m)
t(s)
A
b) < que produce ` que produce `>0.
En este caso, se produce un
amortiguamiento dbil, o subamortiguado,
que permite oscilaciones con frecuencia
prxima a la frecuencia natural.
x(m)
t(s)
A
-A
x=A0e-t
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Movimiento oscilatorio forzado.
Un caso interesante resulta cuandoadicionalmente a la fuerza amortiguadora
se le agrega una fuerza externa peridica
al sistema.
Si la fuerza externa es del tipo:
= e e0F F cos t
Entonces la ecuacin de movimiento del
oscilador ser:
+ =2
e0 2
dx d xkx b F cos t m
dt dt
Que se puede escribir como:
+ + =
20
e2
Fd x b dx k
x cos tm dt m mdt
Y recordando que: = b
2my = 2
k
m
+ + = 2
2 0e2
Fd x dx2 x cos t
dt mdt
Donde es la frecuencia natural del
sistema y e es la frecuencia de la fuerza
impulsora.
Esta ecuacin tiene dos partes, siendo la
solucin transitoria igual que la del
movimiento subamortiguado.
La solucin estacionaria de esta ecuacin
diferencial es del tipo:
( )= ex Acos t
Donde la amplitud viene dada por:
= +
0
2 2 22 2e e2
FA
m ( ) b
Y la fase inicial por:
=
e2 2
e
btg
m( )
Note que la fuerza impulsora y el
desplazamiento oscilan con igual
frecuencia pero desfasadas en .
La amplitud tiene un mximo cuando =e,
produciendo el fenmeno denominado
resonancia.
