Figura 1

BIPOLOS ELECTRICOS EN CORRIENTE ALTERNA

1. OBJETIVOS- Analizar las conexiones serie y paralelo, y determinar las equivalencias de dichas

conexiones de las fuentes de tensión y fuentes de intensidad de corriente.- Analizar un circuito resistivo en corriente alterna.- Analizar un circuito inductivo en corriente alterna.- Analizar un circuito capacitivo en corriente alterna.- Analizar un circuito RL en corriente alterna.- Analizar un circuito RC en corriente alterna.- Analizar y determinar la impedancia equivalente de un circuito pasivo.

2. MARCO TEORICO

2.1. BIPOLOS ELECTICOS ACTIVOS

- Fuente de TensiónEn electricidad se llama fuente de tensión al bipolo eléctrico activo que es capaz de generar una diferencia de potencial entre sus terminales, mantiene constante permanente el valor eficaz, y la entrega de la corriente depende de la potencia.

v (t )=vm∙ sin ωt

i (t )=im ∙ sin ωt+ϕ

(1)

(2)

Potencia instantánea P(t )=v (t )∙ i(t )P(t )>0 > Entrega EnergíaP(t )<0 > Recibe Energía

Energía E(t)=∫P(t )∙ dtFuente de tensión ideal y real.

F.T. Ideal F.T. RealFigura 2

Figura 3

F.I.C. Ideal F.I.C. RealFigura 4

- Fuente de Intensidad de corrienteEn electricidad se llama fuente de intensidad de corriente al bipolo eléctrico activo que es capaz de proporcionar una corriente eléctrica.

i (t )=im ∙ sin ωt

v (t )=vm∙ sin ωt +ϕ

Potencia instantánea P(t )=v(t )∙ i(t )

Energía E(t)=∫P(t )∙ dtFuente de intensidad de corriente ideal y real.

Figura 5

2.2. BIPOLOS ELECTRICOS PASIVOS

- Circuito Resistivo en corriente alterna.Consideremos un circuito que contiene un resistor puro en serie con un generador de C.A. como se observa en la Fig 5.

Este es un circuito ideal en el que los efectos inductivos y capacitivos son despreciables.

Numerosos dispositivos de uso doméstico como lámparas, calentadores y tostadores, se aproximan a una condición de resistencia pura.

Aplicando la ley de las mallas de Kirchhoff a este circuito:

v(t)−v R=0 (3)

Encontramos que la diferencia de potencial entre las terminales de la fuente, es igual a la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia, por tanto:

vR=vm ∙sin (ωt )=iR ∙R (4)

Donde vR es la caída de tensión instantánea en la resistencia, por lo tanto la corriente instantánea será:

iR=vm

R∙sin (ωt )

(5)

Si la resistencia es óhmica (R es independiente de v e i), la dependencia temporal de i es:

iR=I R ∙ sin(ωt )IR=

vm

R(6)

Donde la amplitud de la corriente, es constante.

La Fig. 6 muestra los fasores generatrices de iR y vR para el circuito resistivo puro de la Fig. 5.

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Como iR y vR varían según sin(ωt), Ecs. (4) y (6), alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo, por lo tanto se dice que están en fase.

En la Fig.7 (b) puede verse que para un circuito de corriente alterno puramente resistivo, el voltaje y la corriente están en fase o dicho de otro modo, el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente es cero.

El diagrama de fasores, Fig.7 (a) nos muestra esta relación con iR y vR paralelos, mientras rotan en sentido anti horario.

ENLOS CIRCUITOS RESISTIVOS PUROS LA CORRIENTE Y LA TENSIÓN ESTÁNENFASE.

- Circuito Inductivo en corriente alterna.En la Fig. 8 se na fuente de corriente alterna conectada a una inductancia, formando un circuito puramente inductivo.

Aunque realmente la mayoría de las inductancias poseen una resistencia apreciable en sus bobinados, supondremos por simplicidad que esta inductancia posee una resistencia suficientemente baja como para poderla despreciar.

Aplicando la regla de las mallas de Kirchhoff a este circuito se obtiene:

v(t)−v L=0 (7)

Por lo tanto:

vL=vm ∙sin (ωt ) (8)

Como vL=L∙ didt podemos escribir:

L ∙d iL

dt=vm∙ sin (ωt )

(9)

Para obtener la corriente integramos ambos miembros de la ecuación anterior, es decir:

∫ d iL=vm

L∙∫sin(ωt) ∙ dt

Los límites de integración se ignoran ya que dependen de las condiciones iniciales, las cuales no son importantes en esta situación, por lo tanto:

iL=−vm

ω∙ L∙cos (ωt )+ K

(10)

La constante de integración representa una componente continua de la corriente. Como la fuente produce una f.e.m. que oscila simétricamente respecto al cero, no puede existir esta componente continua y la constante de integración debe ser cero, usando propiedades trigonométricas se puede escribir.

iL=I L ∙ sin(ωt−π2 ) I L=

vm

ωL(11)

Donde I L es la amplitud de la corriente. Por analogía con la resistencia, definimos la reactancia inductiva X L , como:

X L=ω∙ L (12)

De forma que la amplitud de la corriente es:

I L=vm

XL

(13)

La amplitud de la corriente es proporcional a la inversa de la reactancia inductiva. La unidad SI de la reactancia inductiva es el ohmio (Ω).

Figura 9

Figura 10

En los circuitos inductivos, la reactancia inductiva limita la corriente, de la misma forma que la resistencia limita la corriente en los circuitos resistivos y la reactancia capacitiva lo hace en los circuitos capacitivos.

La reactancia inductiva es directamente proporcional a la inductancia del inductor y a la frecuencia ω. Una inducción, impedirá poco el paso de una corriente que varía lentamente, pero impedirá fuertemente el paso de una corriente de variación rápida.

La comparación de las expresiones de vL e iL, ec. (8) y ec. (10) nos indica que sus oscilaciones se encuentran desfasadas π /2 rad.

La Fig. 9 muestra cómo se generan las gráficas de iL y vL frente a ωt a partir del correspondiente diagrama de fasores, y en ellos se observa claramente la diferencia de fase entre ellas.

EN LOS CIRCUITOS INDUCTIVOS PUROS LA CORRIENTE ESTÁ ATRASADA 90° RESPECTO DE

LA TENSIÓN.

- Circuito Capacitivo en corriente alterna.En la Fig.10 se muestra una fuente de corriente alterna conectada a un condensador, formando un circuito de corriente alterno puramente capacitivo.

La regla de las mallas de Kirchhoff aplicada al circuito da:

v (t )−vc=0 (14)

Por lo tanto:

vc=vm ∙ sin ( ωt ) (15)

Donde la caída de tensión del capacitor es vc=qc , entonces:

qC

=vm∙sin (ωt ) (16)

Derivando respecto del tiempo:

ic=dqdt

=C ∙ vm∙ ω ∙cos(ωt) (17)

Usando propiedades trigonométricas, se puede reescribir:

ic=I C ∙ sin(ωt+ π2 ) I c=

vm

1Cω

(18)

Donde I C es la amplitud de la corriente oscilante. Por analogía definimos la reactancia capacitiva XC como:

XC= 1ω∙C

(19)

Por lo tanto, la amplitud de la corriente es:

I C=vm

XC

(20)

La amplitud de la corriente resulta inversamente proporcional a la reactancia capacitiva. Obsérvese que las unidades de la reactancia capacitiva son las mismas que las de la resistencia, así que la unidad SI de la reactancia capacitiva es también el ohmio (Ω).

En los circuitos puramente capacitivos, la reactancia capacitiva limita la amplitud de la corriente de forma similar a como la limita la resistencia en los circuitos resistivos. Sin embargo, al contrario de lo que ocurre con la resistencia, la reactancia capacitiva depende de la frecuencia; es proporcional a la inversa de la frecuencia. La reactancia capacitiva es también proporcional a la inversa de la capacidad del condensador, de manera que para una misma frecuencia, un condensador de menor capacidad impide el paso de la corriente en mayor medida que otro de capacidad más alta.

Comparando las expresiones de vC e iC, Ec. (15) y (18), observamos que se encuentran desfasadas en (π /2)rad.

La Fig.11 muestra cómo se generan las gráficas de iC y vC frente a ωt a partir del correspondiente diagrama de fasores, y en ellos se observa claramente la diferencia de fase entre ellas.

Figura 11

Figura 12

ENLOS CIRCUITOS CAPACITIVOS PUROS LA CORRIENTE ESTÁ ADELANTADA 90° RESPECTO DE

LA TENSIÓN.

- Circuito RL.

Sea la conexión RL serie, de la figura 12, que está operando en régimen permanente de corriente alterna; esto quiere decir que desde hace un tiempo suficiente como para que haya desaparecido cualquier fenómeno transitorio, tiene aplicado un voltaje sinusoidal tal como.

v=vm ∙ sin (ωt )

En estas condiciones, la corriente estará dada por la solución particular de la ecuación de malla.

vm∙ sin (ωt )=R ∙ i+L ∙ didt

(21)

Solución de la forma:

i=vm

√R2+ (ωL )2∙sin(ωt−tan−1( ωL

R ))im=

vm

√R2+ (ωL )2

(22)

Figura 13

La solución entre las amplitudes del voltaje y la corriente se conoce como módulo de la impedancia y se simboliza por Z; o sea.Z=

vm

im

(23)

Por lo tanto:

Z=√R2+ (ωL )2 φ=tan−1(ωLR ) (24)

- Circuito RC.

Para un circuito RC serie como la de la figura 13, la ecuación de la malla es:

vm∙ sin (ωt )=R ∙ i+ 1C

∙∫ i ∙ dt (25)

La solución particular de esta ecuación resulta ser:

i=vm

√R2+( 1ωC )

2∙ sin(ωt+ tan−1( 1

ωRC )) (26)

Por lo tanto:

Z=√R2+( 1ωC )

2φ=−tan−1( 1

ωRC ) (27)

El signo negativo de φ surge de la forma general de la corriente indica que, en este caso, la corriente se adelanta respecto del voltaje.

2.3. EQUIVALENCIA DE IMPEDANCIAS.Una impedancia equivalente es un circuito equivalente de un circuito con elementos el cual presenta la misma impedancia entre todos sus terminales tal cual como el circuito original. Este artículo describe las transformaciones matemáticas entre los circuitos de impedancia lineal y pasivos más comunes en los circuitos electrónicos.

Cuando se quiere calcular Zeq, si el circuito es mixto, impedancias en serie o en paralelo.

DELTA – ESTRELLA (Δ->Υ). Producto de resistencias adyacentes sobre la suma total de las resistencias.

ESTRELLA – DELTA (Υ->Δ). Sumatoria de los productos de la combinación de las resistencias sobre la resistencia opuesta.

DELTA – ESTRELLA (Δ->Υ) ESTRELLA – DELTA (Υ->Δ)

Delta - Estrella Estrella - Delta

Za=Z1 ∙ Z3

Z1+Z2+Z3

Zb=Z1 ∙ Z2

Z1+Z2+Z3

Zc=Z1∙ Z2

Z1+Z2+Z3

Z1=Z1 ∙Z2+Z1 ∙ Z3+Z2∙ Z3

Zc

Z2=Z1 ∙ Z2+Z1 ∙ Z3+Z2 ∙ Z3

Za

Z3=Z1 ∙Z2+Z1 ∙ Z3+Z2 ∙ Z3

Zb