05. Polinomios

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera. Un coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a una variable. Una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado. Expresiones algebraicas son todas aquellas que combinan constantes y variables mediante operaciones. Ejemplos.

1) 432

9 zyx , el coeficiente es 9 y las variables son 432 zyx

2) 4

85

7

2

3

4

d

cba +− , los coeficientes son

3

4− y 7

2; las variables son 85ba y

4d

c

Un término algebraico es cada sumando de una expresión algebraica. Los términos poseen grados de dos tipos: • Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de las literales que forman al término. • Grado relativo. Es aquel exponente que tiene una literal específica. Ejemplos.

1) En el término 432

5 zyx , el grado absoluto es 9 y el grado relativo de la literal x es 2 .

2) En el término 657 bca , el grado absoluto es 12 y el grado relativo de la literal b es 1 .

Se define como monomios a las expresiones algebraicas que constan de un solo término. Ejemplos.

1) cba 245

2) ( )433

11

2yx−

3) 75 a

El valor numérico de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las literales por valores específicos, después de efectuar las operaciones indicadas.


2

Ejemplos.

1) Si en el monomio ba24 , las literales toman los valores 2=a y 3−=b , su valor numérico es:

( )( ) 483242 −=−

2) Si en el monomio 23

3

4yzx− , las literales toman los valores 1−=x , 9=y y

2

1=z , su valor

numérico es: ( ) 32

191

3

42

3 =

−−

Términos semejantes. Son aquellos que tienen la parte literal igual. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Ejemplos.

1) 23x y 2

7x son términos semejantes

2) 342

2

5npmk y

43212 mpnk− son términos semejantes

3) ba22 y 26ab no son términos semejantes

Suma de monomios Para sumar monomios tienen que ser semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de cada monomio. Ejemplos. Sumar los siguientes monomios:

1) 44444194825 xxxxx =+++

2) cbabcacbacba 525252521027 =++

3) 3333

12

7

4

5

2

1

3

4yzyzyzyz =

−++

Resta de monomios Para restar monomios también es necesario que sean semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la resta de los coeficientes de cada monomio. Ejemplos.

1) 2222242411 xxxxx =−−−

2) 344334347121015 mkkmmkmk −=−−

3) cabacbcabcab2222

10

112

2

1

5

2 −=−

−−


3

Multiplicación de monomios Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada literal. Ejemplos.

1) ( )( ) 8531052 xxx =

2) ( )( )( ) 638455223284734 hgfehfhgegfe −=−

3) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2520161236624

433

22

300021612525 zy,zyzyzyzyzyyz −=−=−−

División de monomios Para dividir dos monomios, tampoco es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los exponentes que se requieran, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada literal. Ejemplos.

1) 3

2

5

26

12a

a

a =

2) zxzyx

zyx 2

52

254

4

16

64 =

3) 4

33

343

72

4356

6

8

48

m

nknmk

nmk

nmk −=−=−

−

OPERACIONES CON POLINOMIOS Un polinomio en x de grado n es una expresión del tipo:

( ) n

no xaxaxaxaxaaxP ++++++= ⋯

4

4

3

3

2

21

donde ∈n N y no a,,a,a,a ⋯21

son coeficientes reales y se lee como “ P de x ”.

El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos. Ejemplos. 1) 32

8625 xxx +−+ el grado es 3

2) 243101282 xxxx +−+− el grado es 4

3) 235243

57812714 xmmxmxmmx +−+++ el grado con respecto a x es 5 Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de manera descendente (posicionándola de mayor a menor grado) o de forma ascendente (ubicándola de menor a mayor grado). Ejemplos.


4

1) El polinomio xxxx 105692342 +−+− ordenado de forma descendente es:

910256234 −++− xxxx

2) El polinomio 3322

57128 xyyxyx +−+ ordenado de forma ascendente con respecto a x es:

yxyxxy3223

78512 −++ Completar un polinomio es añadir los términos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0 . Ejemplo.

El polinomio 463

513928 xxxx −−−− ordenado de forma descendente y completándolo es:

2908501323456 −−++−+− xxxxxx

Suma de polinomios Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo ( )+ , dejando el mismo signo de cada uno de los términos que se hallan dentro de él y se simplifican los términos que sean semejantes. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 491124735112473522222 −−=−+++−=−+++− xxxxxxxxxx

2) ( ) ( ) kkkkkkkkkkkkkk 4212587364212587365324253242 −+++−−+=−+++−−+

82812722345 −+++−= kkkkk

3) ( ) ( ) ( )271193584163333222233 +−+−+−++−+ abbabaabbababaab

1241362711935841632233333222233 +−+=+−+−+−++−+= abbabaabbabaabbababaab

4)

+−+

+++

+− xxxxxx5

61

4

3

2

11

5

84

2

5

3

4

6

7 222

3

17

15

58

20

97

5

61

4

3

2

11

5

84

2

5

3

4

6

7 2222 ++=+−+++++−= xxxxxxxx

Resta de polinomios Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (-), cambiando el signo de cada uno de los términos del sustraendo y se simplifican los términos que sean semejantes. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 562725495627254923232323 −++−−++=+−−−−++ xxxxxxxxxxxx

7116223 −++= xxx

2) ( ) ( )aaaaaaaaa 3945731449254632354 +−−+−−+−−+

aaaaaaaaa 3945731449254632354 −++−+−+−−+=

21239119423456 ++−−+−= aaaaaa

3) ( ) ( ) ( )pkpkkppkpkkppkpk22342234232

3615524484105 −+−−+−−+−+


5

pkpkkppkpkkppkpk22342234232

3615524484105 +−−+−+−+−+=

71312144223 −++−= kppkpk

4)

+−−−

+−−

+− 73

1

4

11

2

9

5

12

3

4

7

8

6

5

3

2 222 xxxxxx

15

59

7

1

12

317

3

1

4

11

2

9

5

12

3

4

7

8

6

5

3

2 2222 −+−=−++−+−+− xxxxxxxx

Producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los términos del polinomio por el monomio, es decir, es una suma de producto de monomios. Ejemplos.

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8222723252827352222232422342 xxxxxxxxxxxxxx −++−=−++−

2345616414610 xxxxx −++−=

2) ( )( )225342373621095 bababaabba −++−+−

432423357664351530105045 babababababa +−−+−−=

3) ( )32342534342102261284

2

3ehghehfgehefgfe −++−−

3343244234543628453831533918126 hgfehgfegfehgfegfehgfe −++−−=

4) 543543322

5

215

15

615

15

2

3

153 aaaaaaaaaa +−=+−=

+−

Multiplicación de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se multiplican todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero y se reducen los términos semejantes. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Ejemplos.

1) ( )( ) 1242241035206211227465322323422 +−+−+−+−=+−+− xxxxxxxxxxxx

1252654112234 +−+−= xxxx

2) ( )( ) 422332242222361444819216644169124 bbaabbabaabababa −++−−=−+−

432234364812819264 babbabaa −++−=

3) ( )( ) 44722243462234322515215106653152 zyzyzyyzzyzyyzzyyzyzyz −−−−+=−−+−−

yzzyzyyz ++−++ 2332565530

División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del dividendo por el divisor, es decir, es una suma de cociente de monomios.


6

Ejemplos.

1) xxxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx7425

12

84

12

48

12

24

12

60

12

84482460 234

2

3

2

4

2

5

2

6

2

3456

+−−=+−−=+−−

2) 3131885

155659040 42233

3

353253643

−+++−=−

+−−−yywywy

yw

ywywywywyw

3) 342

344546653376445

6

9024366054

rqp

rqprqprqprqprqp −−−−

2243343

1546109 prppqrqprp −−−−= Cociente de dos polinomios Para dividir dos polinomios se efectúa el siguiente procedimiento: • Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable. • Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene el primer

término del cociente. • Se resta del dividendo el producto del primer término del cociente por el divisor y se obtiene el primer

residuo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir términos semejantes con el dividendo).

• Se bajan los términos restantes del dividendo sumándolos al residuo anterior. • Se divide el primer término del residuo por el primer término del divisor, obteniendo así el segundo

término del cociente. • Se procede de forma análoga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al del divisor. • Comprobar el resultado mediante el algoritmo: ( )( ) dividendoresiduodivisorcociente =+ Ejemplos.

1) Dividir 95256234 +−−− xxxx por 3+x

Solución.

1129

42

3311

911

62

952

279

95259

3

952563

23

2

2

23

23

34

234

−+−

++−

−−

+−

++−−−

−−

+−−−+xxx

x

x

xx

xx

xx

xxx

xx

xxxxx

Comprobación: ( )( ) 42336273112942112932323423 +−+−+−+−=+−+−+ xxxxxxxxxxx

95256234 +−−−= xxxx


7

2) Dividir 14232234 ++−+ xxxx por 1

2 +− xx Solución.

152

0

1

1

555

1445

222

142321

2

2

2

23

23

234

2342

++

−+−

+−

−+−

++−

−+−

++−++−

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

Comprobación: ( )( ) 015252520152122323422 ++++−−−++=++++− xxxxxxxxxxxx

14232234 ++−+= xxxx

3) Dividir 8

3 +x por 2+x Solución. Completando el polinomio y efectuando la división:

42

0

84

84

42

802

2

8002

2

2

2

23

23

+−

−−+

+++−

−−

++−+xx

x

x

xx

xx

xx

xxxx

Comprobación: ( )( ) 8084242042232232 +=++−++−=++−+ xxxxxxxxx

83 += x

4) Dividir 914223023 +−− kkk por 35 +k

Solución.


8

286

3

610

910

2440

91440

1830

914223035

2

2

2

23

23

+−

−−+

++−−

−−+−−+

kk

k

k

kk

kk

kk

kkkk

Comprobación: ( )( ) 362418104030328635

2232 ++−++−=++−+ kkkkkkkk

914223023 +−−= kkx

5) Dividir 3223422430 babbaa +−+ por ba 46 −

Solución. La división se ejecutará respecto a la variable a :

22

32

32

22

322

23

3223

45

0

46

46

1624

42224

2030

42243046

baba

bab

bab

abba

babba

baa

babbaaba

−+

−+−

+−+−

+−+−+−

Comprobación: ( )( ) 32222322

416206243004546 babbaabbaabababa +−−−+=+−+−

3223422430 babbaa +−+=

VALOR Y GRÁFICA DE POLINOMIOS EN UNA SOLA VARIABLE Dado un polinomio de la forma:

( ) nn

nno xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −

−1

1

3

3

2

21

Se conoce como valor de un polinomio ( ) nn

nno xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −

−1

1

3

3

2

21 para cx = , al valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la variable, x , por el número c y se

realizan las operaciones. Se denota como ( )cP y se lee “ P de c ”.


9

Ejemplos.

1) Evaluar el polinomio ( ) 14852 ++−= xxxP para 3=x .

Solución.

( ) ( ) ( ) 714244514383532 −=++−=++−=P

2) Evaluar el polinomio ( ) 5674234 ++++= xxxxxP para 2−=x .

Solución.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5512283216526272422234 =+−+−=+−+−+−+−=−P

3) Evaluar el polinomio ( ) 2710823 +−+= xxxxP para

4

1=x .

Solución.

=+−+=+−+=+

−

+

=

2

4

7

8

5

8

12

4

7

16

10

64

82

4

17

4

110

4

18

4

123

P

18

8

8

161451 ==+−+=

Como se definió en el subtema I.6, el plano cartesiano es un sistema formado por dos ejes numéricos reales perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. El eje horizontal ( )x recibe el

nombre de eje de las abscisas y el eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.

La gráfica de un polinomio está formada por el conjunto de parejas coordenadas ( )y,x que cumplen o

satisfacen la regla de correspondencia ( )xP .

Los polinomios ( )xP pueden evaluarse para todo ∈x R y por ello se unen los puntos obtenidos para obtener sus gráficas.

Para fines prácticos, para valores diferentes de x se pueden obtener los valores de ( )xP , generando

puntos de coordenadas ( )[ ]xP,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman su gráfica.

La variable x recibe el nombre de variable independiente y a ( )xP se le conoce como variable

dependiente, es decir, que está en función de la variable x . Ejemplo. Tabular y graficar los siguientes polinomios en los intervalos pedidos:

1) ( ) 62 −−= xxxP en el intervalo [ ]65,−

Solución. Tabulando con los valores enteros del intervalo:


10

x ( )xP

5− ( ) ( ) 2465256552 =−+=−−−−

4− ( ) ( ) 1464166442 =−+=−−−−

3− ( ) ( ) 66396332 =−+=−−−−

2− ( ) ( ) 06246222 =−+=−−−−

1− ( ) ( ) 46116112 −=−+=−−−−

0 ( ) 66006002 −=−−=−−

1 66116112 −=−−=−−

2 46246222 −=−−=−−

3 06396332 =−−=−−

4 664166442 =−−=−−

5 1465256552 =−−=−−

6 2466366662 =−−=−−

x

15

-4 6

10

-5

-10

4

20

25

-6 2-2 531-3-5 -1

5

y

2) ( ) 89623 +−+−= xxxxP en el intervalo [ ]51,−

Solución. Tabulando con los valores enteros del intervalo: x ( )xP

1− ( ) ( ) ( ) 24896181916123 =+++=+−−−+−−

0 ( ) ( ) 8800080906023 =+−+=+−+

1 ( ) ( ) ( ) 4896181916123 =+−+−=+−+−

2 ( ) ( ) ( ) 681824882926223 =+−+−=+−+−

3 ( ) ( ) ( ) 8827542783936323 =+−+−=+−+−

4 ( ) ( ) ( ) 4836966484946423 =+−+−=+−+−

5 ( ) ( ) ( ) 1284515012585956523 −=+−+−=+−+−


11

x

16

-8

y

2 5

-16

8

4

12

-4

-12

1 4

20

24

-1 3

3) ( ) 5924 +−= xxxP en el intervalo [ ]33,−

Solución. Tabulando con los valores enteros del intervalo: x ( )xP

3− ( ) ( ) 558181539324 =+−=+−−−

2− ( ) ( ) 1553616529224 −=+−=+−−−

1− ( ) ( ) 3591519124 −=+−=+−−−

0 ( ) ( ) 5500509024 =+−=+−

1 ( ) ( ) 3591519124 −=+−=+−

2 ( ) ( ) 1553616529224 −=+−=+−

3 ( ) ( ) 558181539324 =+−=+−

x

10

-5

y

-3 -2 -1 1 2 3

-10

5

-15


12

4) ( ) 92 +−= xxP en el intervalo [ ]44,−

Solución. Tabulando en con los valores enteros del intervalo: x ( )xP

4− ( ) 7916942 −=+−=+−−

3− ( ) 099932 =+−=+−−

2− ( ) 594922 =+−=+−−

1− ( ) 891912 =+−=+−−

0 ( ) 990902 =+=+−

1 ( ) 891912 =+−=+−

2 ( ) 594922 =+−=+−

3 ( ) 099932 =+−=+−

4 ( ) 7916942 −=+−=+−

x

6

-6

y

-2 3

-10

2

-2

4

-4

-8

-1 2

8

10

-3 1-4 4

05. Polinomios

Documents

Transcript of 05. Polinomios