06 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

7/27/2019 06 REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

1/10

1

Captulo

REDUCCI N AL PRIMER CUADRANT6OBJETIVO:El objetivo del presente captulo es:

* C alcular las razones trigonomtricas de un ngulo que no es agudo, en funcin de otro que s lo sea; reconociendo

previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.

* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn;2

n.T.R

* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ngulos cuya suma de medidas es 180 360

CASOS

I . ngu los cuyas medidas es tn en < 90 ; 360> :En este caso, el ngulo original " " se descompone como lasuma o resta de un ngulo cuadrantal ( 90 ; 180 ; 270 360) con un ngulo que sea agudo; para luego aplicar :

).(T.RC o220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

D onde el signo )( que deber anteponerse al resultado depender del cuadrante al que pertenezca el ngulo original " "

Por ejemplo; calculemos:

* 2

3

30Cos)3090(Sen120Sen)(

* 2

160C os)60180(Cos120C os

)(

* 330Cot)30270(Tan240Tan

)(

* 230Csc)30360(Csc330Csc

)(

* )(Sen170Sen

* )(C os200C os

* )(T an260T an

* )(Sen320Sen

I I . ngu lo cuya medida es mayor que 360:En este caso, se procede de la siguiente manera:

R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360

q

Residuo


2/10

2

Por ejemplo, calculemos:

*2

360Sen2580Sen * Tan 3285 = Tan45 = 1

2580 360

2520 7

60

3285 360

3240 9

45

* Sec1200 = Sec120 = Sec(90 + 30) = C sc30 = 2

1200 360

1080 3

120

( )

* Sen 3180 =

Si el ngulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:

*

133 4

132 331

127 6

126 211

12

1Sen

2Sen133

2

1

3

1Cos

3127Cos *

Es decir, si fuese: 2ba;b

a.T.R

Se divide: a 2bq

r este residuo reemplaza al numerador "a"

*

1315 8

51 164

35

3

1345

31345Sen

*

4

3Tan

41315Tan

I I I . ngu los de medida negat iva:Se procede de la siguiente manera:

Sen(-x) = -Senx C sc(-x) = -C scx

C os(-x) = C osx Sec(-x) = Secx

T an(-x) = - T anx C ot(-x) = - C otx


*2

245Sen)45(Sen *

2

160C os)60(C os

* 3)30Cot()3090(Tan120Tan)120(Tan

)(

* Cos (- 200 ) =

IV. ngu los relacionados:

1.

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

180yx:Si

2.


3/10

3

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

360yx:Si


7

6C os

7

5C os

7

4C os

7

3C os

7

2C os

7

C osC

En esta expresin note que:

7

6C os

7C os

7

6

7

7

5C os

7

2C os

7

5

7

2

7

4C os

7

3C os

7

4

7

3

L uego:

7

6C os

7

5C os

7

4C os

7

4C os

7

5C os

7

6C osC

Reduciendo, quedara C = 0


4/10

4

EJERCICIO S PROPUESTOS

01. Seale el valor de: Sen120

a) 1/2 b) -1/2 c)2

3

d) 2

3e) 2

2

02. H allar: Cos330

a) 1/2 b) -1/2 c)2

3

d)2

3 e)2

2

03. C alcule: E = T g150.Sen315

a)46 b)

46 c)

66

d)6

6 e)4

2

04. H allar el valor de: Sen1680

a) 1 b) -1 c) 1/2

d) -1/2 e)2

3

05. D eterminar el valor de: C os1200

a) 1 b) 0 c) 1/2

d) -1/2 e)2

3

06. Hallar: )45(T g)60(C osE

a) 1/2 b) -1/2 c) 0

d) 1 e) 2

07. H allar: E = Sen(-30)+ Tg(-53)

a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6

d) 0 e) 1

08. Seale el equivalente de: Cos(180+ x)

a) C osx b) -C osx c) Senx

d) -Senx e) -Secx

09. D eterminar el equivalente de: Sen(360-x)

a) -Senx b) Senx c) C osx

d) -C osx e) C scx

10. D etermina el equivalente de:2

].32]Sen

a) 1 b) -1 c) 0

d) 1/2 e) -1/2

11. H allar el valor de: C os1741

a) 1 b) -1 c) 0

d) 1/2 e) -1/2

12. H allar:3

.17T g

a) 1 b) -1 c) 3

d) 3 e)3

3

13. D el grfico, calcule: T g

A

C

BM

45

a) 1 b) 2 c) -1

d) -2 e) 3/4

14. D el grfico, hallar: Tg

A

C

B37

D

a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7

d) -3/7 e) -4/7

15. H allar el equivalente de:

)90x(C os

)180x(SenM

a) 1 b) -1 c) T gx

d) C tgx e) -T gx


5/10

5

16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;

x es agudo

C alcular: M = Sec(-x) + C sc(-x)

a)2

5b)

2

5 c)6

13

d) 6

13

e) 55

17. Reducir:

)x180(C ot)x360(Sec)x180(C os

)x270(C sc)x180(T an)x90(SenA

a) 1 b) 1 c) xT an2

d) xC ot2

e) xT an2

18. Simplificar:

)(T an2

3Sec)2(C ot)(Sen

C

a) 2T an b) 2T an c) 2C tg

d) 2C tg e) 1

19. Simplificar:

x

2

3C os)x(T an

x2

3T an)x(Sen

C

a) C otx b) xCot2 c) xCot

2

d) - C otx e) xCot3

20. Si :2

A0

Evaluar:

A

2

3T an)A(C osA

2SenF

)A(C sc)A2(C tgA2

Sec

a) 2 SenA b) 2SenA c) 2CscAd) 2C scA e) 2SecA

21. Calcular:

240T an31315T an4

1120Sec2M

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 2

22. Calcular:

300C os210C os

150T an240Sen135SenC

a)3

6b)

3

6 c)3

62

d) 3

62

e) 3

2

23. Calcular:

14920C os2

)13383Sen2) (13000Sec2(U

a)2

1b)

2

1 c)4

1

d)4

1 e)4

3

24. M arque Ud. la afirmacin correcta:

a) Sen ( 750) = 0,5

b) 35,0)1110(C os

c)3

3)1830(T an

d) 3)3270(C tg e) + Sen2534 = Cos14

25. H allar el valor numrico de:

225C tg330T an780T an

780Sen330T an225SenF

222

222

a)12

31b)

20

33c)

44

1

d)20

33 e)12

31

26. Sim plificar las expresiones:

)(Sen

)360(Sen

)180(C os

)(C osa

Sen

)90(C os

)(C os

)90(Senb

a) a = 0 y b = 2b) a = 1 y b = 2c) a = 2 y b = 2d) a = 0 y b = 0

e) a = 1 y b = 2

27. S i: x + y = 180 y + z = 270C alcule el valor de:

C tgz

T any

Seny

SenxJ


6/10

6

a) 1 b) 0 c) - 3

d) 2 e) - 5

28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; yxH allar: C tgx

a) 12 b) 21 c)

2

12

d)2

21 e) 12

29. Simplificar la expresin:

)360(T an)450(Sen)540(C os

)2160(T an)90(Cos)180(SenE

Sabiendo que : 2Sec2

Entonces E es igual a :

a) 2 b) 1 c) 1d) 2 e) 0

30. El valor de la expresin:

2C sc)(Sec)2(C tg

6T an)(C os

2

3Sen

E

C uando :6

es:

a) 1 b) 1 c) 0d) 2 e) 2

31. C alcular el valor de:

C os10+ Cos30+ Cos50+ .... + Cos170

a)2

1b) 0 c)

2

3

d) 1 e)4

3

32. Calcular: trminos20

30

29C os.. .

30

3C os

30

2C os

30C osT

a) 0 b) 1 c) - 1

d) 2 e) - 2

33. El valor de la siguiente expresin:

12

7Cos

12Sen

12Cos

12

7Sen

Es igual a:

a) 0 b) 1 c) - 1

d) 2 e) - 2

34. Simplificar:

)9(C tg)7(Csc)5(Cos

2

9Sec

2

7Sen

2

5T an

K

a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2

35. En un tringulo ABC se cumple:

Sen (B + C) = CosC

D icho tringulo es :

a) Escaleno b) R ectngulo

c) I ssceles d) A cutngulo

e) Equi ltero

36. En un tringulo A BC , se cumple que:

Cos (A + B) = CosC

Entonces el valor de A + B es :

a)4 b) 3 c) 32

d)6

e)

2

37. Calcular:

BSenACo22

Si se sabe que A y B son ngulos suplementarios.

a) 1 b)2

1 c) 0

d)2

1e) 1

38. Si A y B son ngulos complementarios, al simplificar:

)B3A4(T an)BA2(C os

)B3A2(T an)B2A(SenE

Se obtiene:

a) 3 b) 2 c) 2

d) 1 e) 1

39. En un tringulo A B C , cuales de las siguientes

proposiciones se cumplen:

I. SenA = Sen( B+ C )

II. C osA = C os( B+ C )

I II . SenB = -Sen(A+ 2B+ C)

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FVF e) FFF

40. Si :2

cba y Sen(a + b) = - Senc

Cul de los siguientes resultados es verdadero?

a) 04

c42C os


7/10

7

b) 04

c4C os

c) 02

c4C os

d) 04

c4C os

e) 0)c4(C os

41. C alcule el valor de:

4

175Sec

4

37T anR

a) 21 b) 22 c) 2

d) 2 e) 21

42. El valor que asume la expresin:

6C sc)(Sec

2

3C tg

)(T an)2(C os2

Sen

C uando :3

es:

a)13

133 b)

13

331

c)3

133 d)

3

133

e)3

331

43. Sabiendo que:

12

77C os

2

55Senm

C alcular:

C tgT anEen trminos de m.

a) 2m b)2

m c) 2md) m e) m

44. Si : 1035360)k1( , Zk

El valor de : )5,22(Sen ser:

a)2

32 b)

2

32

c)2

22 d)

2

22

e)2

22

45. Q u relacin existe entre a y b sabiendo que:

04

b2a36C tg

8

b3a2T an

a)2

1b)

3

1c)

4

1

d)

5

1e)

6

1

46. S i : SenA 2CosA = 0Entonces el valor de:

)A180(C os)A180(C sc)A360(Sen

)A270(C tg)A180(Sec)A90(T anE

es:

a) 5 b) 5 c)4

5

d)4

5 e) 4

47. Ha llar sabiendo que est en el tercer cuadrante, espositivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas

y:

11SenC os

a)22

75b)

22

73c)

22

71

d)22

69e)

22

67

48. Si es la medida de un ngulo agudo tal que:

Sen1996C osC alcular el valor de:

15Sen15C scE

a) 1 b) 1,5 c) 2

d) 2,5 e) 3

49. Sabiendo que:

Zk;2

kT anM

Zn;(-1)nC scN n

C alcular:

M N

NME

22

a) SenT an b) SenT an

c) C osC tg d) C osC tg

e) 1


8/10

8

50. D el grfico.

xa

b

y

D eterminar:

CosbCosa6

baCos6

SenbSena3

baSen3

K

a)2

1 b)3

1 c)4

1

d)2

1e)

3

1

51. Sabiendo que:

56

2n

nCotx2)x)1(!n(T an

D onde: ICx C alcule: W = Secx . Tanx

a) 32 b) 6 c) 23

d) 62 e)6

6

52. Si : ABCD : cuadradoC alcule: T anT anW

2630'

P

B C

A D

N

M

a) 2 b) 1 c) - 2

d) 1 e)2

3

53. D el grfico calcule:

55C ot3W Si: O A = O B

A

BO

2

3

4

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

54. D el grfico, hallar " C ot " en funcin de " ".Si : AB = BC

B

C

A x

y

a) 1T an b) 1T an c) 1T an

d) 1C ot e) 1C ot

55. D el grfico, calcule: C os

r

R

a)R2

rb)

R2

r c)r2

R

d)r2

R e)r4

R

56. En un tringulo ABC , se sabe que:

SenC)CB(C os2)BA(Sen C alcular:

C4SenB4SenA4Sen1

A2C osC2C osB2C os1W

a) 1 b) 2 c) 4

d) 1 e)2

1


9/10

9

57. Cul es la medida del mayor ngulo " " que cumple:

C os7

2Sen

Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.

a)14

97b)

14

101c)

14

103

d)1495 e)

1499

58. D e acuerdo al grfico, calcule:

6T an

4

3C os

3

2Sen

K

y

x

a)12

6b)

12

3c)

12

6

d)12

3 e)6

6

59. Reduzca:

2

79Cos5)82(Sen4

2

57Cot3)57(T an2

G

a) Sec9

5b) Sec

9

1c) Sec5

d) C sc e) C sc9

2

60. Seale el signo de cada una de las expresiones:

11

12T an1

7

36C os

7

20Sen

R

8

21C ot

7

27C sc

8

25SenH

5

9Sec9

44C scG

a) (+ ) ; () ; ( ) b) (+ ) ; () ; ( + )c) (+ ) ; (+ ) ; (+ ) d) () ; ( ) ; ( + )e) ( ) ; ( + ) ; ( + )


10/10

10

avesClaves

c

c

c

e

d

b

e

b

a

a

b

d

d

d

b

d

e

d

b

d

d

b

a

c

c

c

d

e

b

d

b

a

a

c

b

e

e

e

b

b

e

a

e

d

c

a

a

b

a

a

b

d

b

e

b

b

d

c

c

b

01.

02 .

03 .

04 .

05 .

06 .

07 .

08 .

09 .

10 .

11 .

12 .

13 .

14 .

15 .

16 .

17 .

18 .

19 .

20 .

21 .

22 .

23 .

24 .

25 .

26 .

27 .

28 .

29 .

30 .

31 .

32 .

33 .

34 .

35 .

36 .

37 .

38 .

39 .

40 .

41 .

42 .

43 .

44 .

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50 .

51 .

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53 .

54 .

55 .

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57 .

58 .

59 .

60 .

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