Formulario de Calculo I Límites

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Límites

1. Función Acotada.

Una función se llama acotada en un intervalo dado , , si existen unos números y tales que:

≤ ≤

para ∈ , .

El número = inf∈ , se llama ínfimo de la función , y el número

= sup∈ , se llama supremo de la función en el intervalo considerando , .

2. Oscilación de la Función.

Se llama oscilación de una función a la diferencia − en el intervalo , .

3. Límite de una función.

La definición del límite de una función es:

lim→ =

Si: ∀ > 0;∃ > 0 Tal que: | − | < Siempre que: 0 < | − | <

4. Primera Condición de Existencia del Límite.

Para la existencia del límite de la función, es necesario y suficiente que para cada sucesión

→ , ≠ = 1,2,3, … se cumpla la igualdad ∈ lim→ =

5. Criterio Cauchy.

El límite de la función en el punto existe cuando, y sólo cuando, para cualquier > 0 existe un número > 0 tal que: | ′ − ′′ | <

Si: 0 < | ′ − | < y 0 < | ′′ − | <

Donde: y ′′ son dos puntos cualesquiera del campo de definición de la función .

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6. Límites al Infinito.

Existen tres casos de Límites al Infinito:

CASO I: lim→ = ∞

Si: ∀ > 0;∃ > 0 Tal que: | | > Siempre que: 0 < | − | < CASO II: lim→ =

Si: ∀ > 0;∃ > 0 Tal que: | − | < Siempre que: | | > CASO III: lim→ = ∞

Si: ∀ > 0;∃ > 0 Tal que: | | > Siempre que: | | >

7. Teoremas de Límites.

- Si: lim→ = ; lim→ = ⟹ =

- lim→ =

- lim→ ∙ = ∙ lim→

- lim→ ± = lim→ ± lim→

- lim→ ∙ = lim→ ∙ lim→

- lim→ = →→ ; ≠ 0

- lim→ = lim→

- lim→ log = log lim→

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8. Operaciones conocidas. > 0

Operaciones con Cero 0 + 0 = 0 0 − 0 = 0 0 ∙ 0 = 0 + 0 = − 0 = ∙ 0 = 0 0 = 0 0 = ∞ 0 = 0 = 1

Operaciones con Infinito ∞+∞ = ∞ ∞ ∙ ∞ = ∞ ∞ = ∞ ∞+ = ∞ ∞− = ∞ ∞ ∙ = ∞ ∞ = ∞ ∞ = 0 ∞ = ∞ = ∞ > 1 = 0 < 1 ∞+ 0 = ∞ ∞− 0 = ∞ ∞0 = ∞ 0∞ = 0 0 = 0

Operaciones Transcendentales sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan0 = 0 csc 0 = ∞ sec 0 = 1 cot 0 = ∞ log 0 = −∞ log∞ = ∞

9. Indeterminaciones.

00 =?∞∞ =? 0 ∙ ∞ =?∞ =? ∞ − ∞ =?1 =?0 =?

10. Límites Laterales.

Se llama Límite Lateral Derecho de la función cuando el límite se acerca por la derecha al punto a: lim→ =

Si: ∀ > 0;∃ > 0 Tal que: | − | < Siempre que: 0 < | − | <

Se llama Límite Lateral Izquierdo de la función cuando el límite se acerca por la izquierda al punto a: lim→ =

Si: ∀ > 0;∃ > 0 Tal que: | − | < Siempre que: 0 < | − | <

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11. Segunda Condición de Existencia del Límite.

Para que el límite exista y sea único de la función en el punto , es necesario y suficiente que cumpla la siguiente igualdad:

lim→ = lim→

12. Límites Parciales.

Si para alguna sucesión → ≠ se verifica la igualdad: lim→ = el número (o símbolo ∞) se llama límite parcial (finito o infinito, respec vamente) de la función en el punto . Se denota el Límite Parcial Máximo o Límite Superior de la función en el punto a: lim→ =

Se llama el Límite Parcial Mínimo o Límite Inferior de la función en el punto a: lim→ =

13. Tercera Condición de Existencia del Límite.

Para que el límite (finito o infinito, respectivamente) exista de la función en el punto

, es necesario y suficiente que cumpla la siguiente igualdad: lim→ = lim→

14. Límites Notables. Existen los siguientes límites notables:

lim→ sin = 1 lim→ 1 − cos = 0 lim→ 1 + = lim→ 1 + 1 = lim→ − 1 = ln lim→ − 1 = 1

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15. Tipos de Límites.

- Límites Algebraicos - Límites Trigonométricos - Límites Trigonométricos Inversos - Límites Exponenciales - Límites Logarítmicos - Límites Combinados - Límites Trigonométricos Hiperbólicos - Límites Trigonométricos Hiperbólicos Inversos - Límites Especiales

16. Métodos de Resolución.

- Método de Factorización - Método de Racionalización - Método de Descomposición Algebraica - Método de Cambio de Variable - Método de Aplicación de Artificios - Método de Aplicación de Varios Métodos

17. Aplicaciones de los Límites.

Asíntotas Oblicuas: Asíntota Oblicua Derecha: Es una recta de la forma: = + Donde: = lim→ = lim→ −

Asíntota Oblicua Izquierda: Es una recta de la forma: = + Donde: = lim→ = lim→ −