1 Análisis Matemático II Presentaciones en el Aula TEMA 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de...
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Análisis Matemático IIPresentaciones en el Aula
TEMA 2Ecuaciones diferenciales ordinarias
de segundo orden
Autor: Gustavo Lores 2015
Facultad de Ingeniería
Análisis Matemático II – Presentaciones en el Aula - Tema 2 – Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 2
Ejemplo: la caída libre de un cuerpo
¿Se podrá establecer una ecuación diferencial que describa el desplazamiento como función del tiempo de un objeto que cae?
Si no se tiene en cuenta la resistencia del aire, la única fuerza que actúa es la debida a la aceleración de la gravedad.
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Ejemplo: la caída libre de un cuerpo
Relación entre desplazamiento, velocidad y aceleraciónLa velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo
La aceleración media durante un intervalo de tiempo pude interpretarse como el cambio de velocidad que se produce en ese intervalo
Combinando (1) y (2) se puede obtener una expresión que relacione el desplazamiento con la aceleración para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En este caso, la aceleración instantánea es constante e igual a g
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Ejemplo: la caída libre de un cuerpo
Resolviendo la EDO de segundo orden
Solución general del problema
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Ejemplo: la caída libre de un cuerpo
Para nombrar a las constantes se puede establecer que cuando t=0 se tiene que C1=v=v0 y que además C2=x=x0
A partir de esta solución general se puede analizar un caso particular. Será necesario conocer dos condiciones: el valor de la función en un punto y el de su derivada en el mismo punto. Son las “condiciones iniciales”. En este caso, los valores de v0 y de x0Por ejemplo si v0 =0 y x0 =0 se tiene que
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Ejemplo: la caída libre de un cuerpo
Para diferentes condiciones iniciales se obtienen desplazamientos en función del tiempo diferentes, según se ve
Cada una de ellas es una solución particular que surge de la solución general estableciendo dos condiciones iniciales. En este caso desplazamiento y velocidad iniciales.
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Des
plaz
amie
nto
x
Tiempo t
Algunas soluciones del problema
x(10,0) x(20,0) x(10,10) x(20,-10)
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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EDO lineales de segundo orden. Marco conceptual.
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Soluciones de las EDO2°OLCC homogéneas.
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Soluciones de las EDO2°OLCC homogéneas.
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Soluciones de las EDO2°OLCC homogéneas.
Ecuaciones diferenciales lineales de 2do orden homogéneas. Solución general Ecuación diferencial 0 byayy
Ecuación característica (e.c.) 2 0 a b 241 ab
Caso Raíces ecuación característica Bases Solución General
1
Reales distintas
121
24 a a b
221
24 a a b
e x 1
e x 2 y c e c ex x 1 2
1 2
2 Real doble
12 a
e ax 2
x e ax 2
y c c x e ax 1 2
2
3
Complejas conjugadas
1
2
1212
a i
a i
e xax 2 cos
e xax 2 sen
y e A x B xax 2 cos sen
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Soluciones de las EDO2°OLCC no homogéneas.
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Cálculo de z(x): Variación de parámetros.
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Soluciones de las EDO2°OLCC no homogéneas.Ecuación diferencial [91] xrbyayy
Ecuación característica de [92] 2 0 a b Se define 241 ab
Forma de r x Raíces de la
ecuación característica
Forma a proponer para la solución sin constantes de [91]
0 no es raíz p xm[ ]
p xm[ ] 0 es raíz simple x p xm [ ]
0 es raíz doble x p xm2 [ ]
no es raíz p x emx
[ ]
xm exp ][ es raíz simple p x x em
x[ ]
es raíz doble p x x emx
[ ] 2
p x xm[ ] cos i no son raíces p x x q x xm m[ ] [ ]cos sen
p x xm[ ] sen i son raíces x p x x q x xm m [ ] [ ]cos sen
e p x xxm
[ ] cos
xsenxpe mx ][
i no son raíces e p x x q x xxm m
[ ] [ ]cos sen
i son raíces e x p x x q x xxm m
[ ] [ ]cos sen
Referencias: p xm[ ] representa un polinomio en x de grado m
representa un número real.
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Autor: Gustavo Lores 2015
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