1. ARITMÉTICA

En el desarrollo del saber de los pueblos antiguos, el aspecto matemático fue

evolucionando hasta representar objetos por medio de símbolos, naciendo así el

primer conjunto de números, llamados números naturales. El concepto de número

natural sufre una serie de ampliaciones a través del desarrollo de las matemáticas;

una de éstas es la de considerar al cero como un número, que representaría a todos

los conjuntos nulos o carentes de elementos, otra ampliación es la que se refiere a

los números fraccionarios y a los números irracionales; esta nos lleva al concepto

de número negativo, que transforma a todo el sistema numérico.

De esta manera, definiremos la Aritmética como la rama de las

matemáticas que estudia los números y las operaciones que con ellos se

pueden realizar.

Esta rama sobresale por su exactitud y precisión, es extensa y útil en sus

aplicaciones, se estudian las propiedades esenciales de los números, las relaciones

numéricas entre sí y las 4 operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación

y división) con enteros y fracciones; así como el cálculo de potencias, raíces y

logaritmos. Se basa en el uso de diez cifras o guarismos y de numerosos signos.

El conocimiento de la Aritmética ha tenido una gran influencia en el desarrollo

de las Ciencias Naturales, Económicas, Administrativas y Tecnológicas.

SISTEMAS NUMÉRICOS

1. Números naturales:

A través de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de contar, y

diferentes ideas para poder hacerlo, probablemente en sus inicios lo hizo utilizando

los dedos de sus manos y después con rayas en el suelo, piedras, varas etc.,

motivando con ello tener que agrupar y formar los diferentes Sistemas Numéricos.

Pero, ¿qué contaba?, contaba la cantidad de animales que tenía que cazar,

la extensión de sus tierras, la cantidad de personas de las tribus enemigas, etc.

Como podrás darte cuenta y si reflexionas un poco, todos tenemos la

necesidad de contar, piensa un poco y pregúntate ¿cuánta gente vive en tu casa?,

¿Cuál es el salario de tu papá?, ¿cuántas cuadras hay de tu casa a la escuela?,

observa que es importante el proceso de contar y que para ello existe un tipo de

números que analizaremos a continuación.

¿Cuántos estudiantes se encuentran en el salón? ______ ¿cuántos hombres?

______ ¿cuántas mujeres? ______ , ¿cuántos años tienes? _____.

¿Aproximadamente cuantos estudiantes conforman tu escuela? ______.

¿Cuántos habitantes serán en tu ciudad? _______, ¿y en tu estado? _______,

¿en tu país? _________ ,¿en el mundo? __________________.

¿Cuántas hojas de cuaderno tamaño profesional en total, hay en tu grupo?

____________, ¿cuántas páginas? _______, ¿aproximadamente cuál será el total

de páginas en toda la escuela? ______________.

Muchos números, ¿verdad?. Unos pequeños, unos grandes, otros mucho

más grandes. ¿Cómo supiste todo esto?, claro, a través de los años e incluso desde

tu infancia dentro de tu hogar.

Pero aterricemos esta idea, tratemos de sintetizar sus características

recordando como le hiciste para contestar las primeras cuatro preguntas.

1. El conjunto de números que nos sirven para ________________ se llaman

naturales.

2. Todo número natural tiene un número antes que él, que se llama

_______________ y uno que le sigue llamado ________________.

3. El único número que no tiene antecesor pero sí un sucesor es el

___________.

4. Entonces este conjunto de números inicia con el número ____________ y

termina con el número ____________. ¿Seguro? ________.

Los números naturales son los que sirven para contar, lo representamos con

la letra N, y consta de los siguientes elementos:

N = 1, 2, 3, 4, 5, ... ,

Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de

los números naturales comenzando con el uno.

Cuando una cantidad continua ha sido real o imaginariamente seleccionada en

elementos artificiales iguales, el conjunto de esos elementos se comporta de una

manera similar a las cantidades discretas y puede por lo tanto ser objeto de conteo.

A partir del concepto anterior podríamos contestar lo siguiente:

1. Levanta un inventario de pupitres de tu salón. _________

2. ¿Cuántas especialidades hay en tu plantel? _________

3. Realiza un conteo de focos o lámparas que hay en tu Plantel._________

4. ¿Cuántos cuadernos tienes en este momento? _________

5. ¿Cuántos salones tiene tu escuela? _________

6. Cuántos maestros diferentes te dan clase? _________

7. ¿Cuántas materias cursas en este semestre? _________

8. ¿Cuántos jugadores conforman un equipo de fútbol soccer?________

9. ¿Cuántas naranjas son dos docenas? _________

10. ¿A cuántos gramos equivale medio Kilogramo? _________

2. Números enteros:

Los números enteros son aquellos que se utilizan comúnmente en la vida diaria.

Ejemplo:

Se encuentra un caracol en el fondo de un pozo que mide 6 m de profundidad; para

salir sube 3 m durante el día y en la noche desciende 1 m, ¿Cuánto tiempo tardará

en salir del pozo?.

Definición: Los números enteros es el conjunto formado por los enteros positivos y

negativos incluyendo al cero. Los podemos representar gráficamente sobre la recta

numérica, donde el cero es el punto de partida, a la derecha son positivos y a la

izquierda negativos.

Operaciones con números enteros:

Propiedades de los números:

Los aspectos preliminares para la realización de las cuatro operaciones básicas, es

el uso de la ley de los signos y el uso de los signos de agrupación que auxilian a la

demostración de las propiedades:

a) Asociativa: Sin importar de que manera se agrupen los sumandos, la suma o

total no se altera. ejemplo: 3 + 4 + 5 + 6 = ( 3 + 4) + ( 5 + 6 ) = 3 + (4 + 5 + 6 )

NEGATIVO

S - 5 - 4 - 2 - 1 - 3 0

1 1 2 3 4 5

POSITIVOS

b) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma

ejemplo: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 = 2 + 4 + 3

c) Distributiva: Esta ley relaciona el producto con la suma, y dice; un producto

puede ser igual a una suma y recíprocamente, la suma igual a un producto,

puesto que la igualdad es simétrica.

ejemplo : 3 ( 4 + 5 ) = ( 3 ) ( 4 ) + ( 3 ) ( 5 )

3 ( 9 ) = 12 + 15

Signos de agrupación:

( ) paréntesis

[ ] corchetes

{ } Llaves

Barra o vinculo

Aplicaciones:

Contesta las siguientes preguntas.

a) Si tienes $20.00 y compras 4 artículos de $5.00 cada uno, después de la compra,

¿Cuánto dinero te sobró?

R. ________________________________

b) ¿Qué temperatura crees que haya en el polo norte?

R. ________________________________

c) Tienes 24 refrescos y llegan a tu casa 30 amigos, si les das un refresco a cada

uno de ellos;

27 = 27

1.- ¿Repartimos todos los refrescos? R. ______________________

2.- ¿Te sobran o te faltan? R. ______________________

3.- ¿Cómo representas ese número? R. ______________________

d) ¿Cómo se llaman los números que utilizaste para dar las respuestas anteriores?

_________________________

Jerarquía de las operaciones:

Deben efectuarse en el siguiente orden, el cual es el utilizado por las calculadoras

científicas:

a) Potencias y raíces

b) Después cocientes y productos

c) Y al final sumas y restas

Observa los siguientes ejemplos de operaciones, eliminando signos de agrupación:

a) 4(5 - 7) = 20 - 28 = - 8

b) 6(4 -10) + (5 + 2) (8 - 1) = 6(-6) + 7(7) = -36 + 49 = 13

c) (3 - 5){ -4 + (2 - 7)(6 - 3) - (3 - 10)} =-2{-4 + (-5)(3) -(-7)} = -2{-4 -15 +7} = -2{-12}

= 24

3. Números racionales:

Los números racionales son aquellos que se representan en forma de

fracción:

b

a a y b son números enteros

b 0, porque la división por cero no existe

b

a

b

a

5

6

4

3

Los números enteros a y b reciben el nombre de “términos de la fracción”,

separados mediante una línea horizontal, como se muestra:

Otras formas de representación son:

a) Como una división: = k = a b (representación decimal)

b) Como una razón: (comparación de partes iguales “a” es a “b”)

Una fracción puede ser:

a) Impropia: Si el numerador es mayor que el denominador.

ejemplo:

b) Propia: Si el numerador es menor que el denominador.

ejemplo:

c) Mixta: Si está formada por una parte entera y una fracción propia.

ejemplo: 3

25

Fracciones equivalentes:

Son aquellas que se escriben en forma diferente, pero tienen el mismo valor.

ejemplos:

7

2 numerador

denominador

Indica las partes que se toman de la unidad

Indica el número de partes en que se divide la unidad

10

6

Es equivalente a 5

3

6

15

Es equivalente a 2

5

Las fracciones equivalentes son muchas y variadas, para hallarlas bastará con

multiplicar al numerador y denominador por un mismo número.

Ejemplos:

La comparación de cada par de números racionales, nos proporciona una razón de

orden, indicado con los símbolos:

> Mayor que

< Menor que

Las fracciones equivalentes con el signo = Igual

Para determinar si una fracción es mayor o menor que otra se efectúan los

siguientes pasos:

Ejemplo 1

Se escriben las fracciones separadas por un espacio es decir:

Multiplicar el numerador 3 de la primera fracción por el denominador 3 de la segunda

fracción: 3 x 3 = 9

Multiplicar el numerador 1de la segunda fracción por el denominador 2 de la primera

fracción: 1 x 2 = 2

Identificar el numerador que dé el mayor producto, el cual será la fracción mayor,

en este caso el producto mayor es 9, por lo que la fracción que tiene el numerador

3 es mayor, es decir:

2

3

3

1

=

3

2

4

4

12

8 =

7

5

3

3

21

15

2

3 >

3

1

que se lee tres medios es mayor que un tercio.

Ejemplo 2

Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor

5 x 4 = 20

8 x 3 = 24

El mayor producto es 24 y corresponde al denominador 8 por lo tanto

que se lee cinco tercios menor que ocho cuartos.

Ejemplo 3

Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor

- 1 x 2 = - 2

- 3 x 2 = - 6

El mayor producto es - 2 y corresponde al denominador 1 por lo tanto

que se lee menos un medio es mayor que menos tres medios.

Nota: recuerda que en el caso de los números negativos, el mayor es el que se

encuentra situado más a la derecha en la recta numerica.

3

5

4

8

- 2

1

2

3 -

3

5 <

4

8

- 2

1 >

2

3 -

Si los valores de los productos cruzados coinsiden, las fracciones son iguales

Ejemplo:

El producto 3 x 4 = 12 y el producto 6 x 2 = 12 . Por lo tanto las fracciones son

iguales.

EJERCICIO:

1. Al repartir un pastel a nueve personas, habrá que dividir el pastel en partes

iguales, a cada una de las partes se les llama:______________

2. Un padre de familia deja un terreno como herencia a sus tres hijos, el cual tiene

las siguientes dimensiones: 63 m de largo y 15 m de ancho ¿cuánto le

corresponde en fracción de terreno a cada hijo, si se reparte

equitativamente?__________________

¿Obtener la cantidad de área que le corresponde a cada hijo?

3. Escribe los símbolos de >; < ó =, entre cada pareja de números racionales

según corresponda:

2

3 =

4

6

7

4

5

2 1)

8

31

7

19 2)

2

1

4

2

3) 2

7

6

21 4)

10

6

8

3 5)

9

2

3

7 6)

3

1

9

3 7)

4

5

6

5 8)

4

3

7

3 9)

7

4

14

8 10)

4

2

4

1

4

3

Actividad : “ Suma y resta de fracciones con igual denominador”

Material que se utiliza para un equipo de 5 estudiantes:

10 hojas blancas tamaño carta.

Tijeras para papel.

Regla o escuadra.

Técnica:

a) Se corta la hoja en 4 partes iguales.

b) Se suman + =

c) Se empalman las tiras representativas en una hoja blanca que nos represente

el entero y se comprueba el resultado.

Actividad : “Resta de fracciones con el mismo denominador”.

Material por equipo:

10 hojas blancas tamaño carta.

Tijeras para papel.

Regla o escuadra.

Técnica:

a) Se siguen los pasos semejantes que la actividad 1, sólo que ahora en lugar de

empalmar tiras representativas de papel, se quitan.

4. Números irracionales

¿Alguna vez has utilizado números irracionales?

4

2

4

1

4

1 - =

Se desea calcular la longitud de un lado de una pista de baile de forma cuadrada,

cuya área es 16 u2

Si A = x2 , obteniendo raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que:

El resultado obtenido es el número que multiplicado por si mismo nos da el valor de

16 esto es ( 4 ) ( 4 ) ó ( -4 ) (-4 ), el valor negativo se desprecia , el valor del lado del

cuadrado es :

X = 4 u

¿Qué crees que sucedería, si el área del cuadrado fuera de 2 U2?

¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 2?

Si hacemos ( 1 ) ( 1 ) = 1 y ( 2 ) ( 2 ) = 4, entonces el número buscado deberá estar entre 1 y 2.

Definimos los elementos:

x = lado del cuadrado

A = área del cuadrado

La fórmula del área del cuadrado es:

A = ( x ) ( x ) = x2

A = 16 u2

x

x

A = X2 Por lo tanto

A Sustituyendo el valor del área = X

16 = X

A 2 = X =

Aproximándonos al número buscado, por ejemplo:

Este resultado es mayor que nuestro 2 por lo tanto, el número es menor de 1.5, que

es el equivalente en decimal a 2

3 ; de lo anterior podrás observar que no es fácil

expresar 2 como el cociente de dos números.

Ahora recurre a tu calculadora y obtendrás:

Definición de número irracional:

Número Irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por la letra Q; como son:

2 , 17 , 5

3, entre otros, o constantes numéricas como: , e, etc.

Cuando trabajamos con irracionales, éstos se aproximan a un racional, dependiendo de la precisión deseada. Ejemplo:

= 3.14 (con dos decimales).

= 3.1416 (con cuatro decimales).

= 3.14159265 (con ocho decimales)

= 3.1415926535897932384626433832795 (con 31 decimales)

Observa los siguientes números y subraya los irracionales:

2 ; 16 ; 9

4 ;

5

3 ; = 3.14156 . . .

2 = 1.4142135...... Por lo tanto podemos decir que este es un número irracional

= 2

3

4

9

2

3

Investiga si en otras materias se usan números irracionales.

Actividad No. 1

Comprobación aproximada del valor del número irracional .

Material:

Tapas circulares de diferentes tamaños

Cinta métrica

Regla

Lápiz y borrador

Procedimiento:

Se miden el perímetro y el diámetro de cada tapa anotando en una tabla los valores correspondientes. Se divide el valor del perímetro entre el valor del diámetro y se anota en la tabla.

Tabla sugerida:

TAPA

PERÍMETRO

DIÁMETRO

PERÍMETRO

DIÁMETRO

1

2

3

Observa que todos los resultados obtenidos tienen un valor aproximado de 3.1.....,

no importando el tamaño de la tapa, a este valor se le llamo “”.

5. Números reales

USO COTIDIANO DE LOS REALES:

En una planta industrial los trabajadores tienen una jornada diaria de trabajo de 8

horas de lunes a sábado. Todo trabajo realizado después de este tiempo se

contabiliza como tiempo extra y se lleva un registro por trabajador.

La empresa paga el salario mínimo durante el tiempo normal y por cada hora extra

paga el doble, de lunes a viernes. Paga el triple, por tiempo extra del sábado, y si

labora en domingo paga el cuádruple por hora trabajada. El supervisor de

producción recopiló la siguiente información de un equipo de trabajo:

NOMBRE LUN. MAR. MIE. JUE. VIE. SAB. DOM.

A. MARTÍNEZ 8 9.5 12.4 11.3 8 12.5 3.1

J. CRUZ 8 8.5 9.3 9 8.5 9.4 2

R. NAVARRETE 10 9.6 12.5 8 11.5 8.3 3.5

HERNÁNDEZ 8 8 8 8.7 8 9 0.0

R. ALBOR 8.5 9.8 8.7 8 9.3 9.5 2.5

N. AGUILAR 9 9.5 8.2 8 8 10.5 3.5

C. FERNÁNDEZ 8.5 8.5 9.5 10.3 10.5 9.7 2

EJERCICIO :

1. ¿Qué trabajador ha laborado el mayor número de horas de trabajo semanalmente?

R. ___________________________________________

2. ¿Cuál es el trabajador que laboró el menor número de horas extras?

HORAS DIARIAS TRABAJADAS

R. ___________________________________________

3. ¿Cuánto ganó Martínez por su horario normal?

R. ___________________________________________

4. ¿Cuánto pagó la empresa a la semana por este equipo de trabajo?

R. ___________________________________________

5. ¿Cuánto pagó la empresa por las horas extras?

R. ___________________________________________

6. Por el horario normal ¿cuánto pagó la empresa?

R. ___________________________________________

7. Sí estos empleados trabajaran bajo el mismo ritmo durante un mes ¿Cuál sería la nómina a pagar mensualmente?, ¿Cuánto al año?

R. ___________________________________________

Números reales:

El conjunto de números reales está formado por el conjunto de números racionales

e irracionales y pueden ser positivos o negativos, pueden ser representados en una

recta numérica continua observándose que a cada número le corresponde “uno y

solo uno” de los puntos de la recta, por ejemplo dado R = { -7, , 3/5, 4 }

Se pueden realizar entre ellos las 4 operaciones básicas, la potenciación y la

radicación.

0 -7

4

5

3

Potenciación:

Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo

indique el exponente: an = ( a )( a )( a ) . . .

53 = (5)(5)(5) = 125

Base: Es el número que se multiplica por si mismo.

Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base.

Potencia: Es el resultado de la operación.

Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer

las propiedades o leyes de los exponentes.

m>n nm

n

m

aa

a

n

m

a

a m =n 10 aa

a

a nm

n

m

m <n mnn

m

aa

a

1

Radicación:

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

82 = 64

64 = 8

POTENCIA

EXPONENTE

BASE

Un radical, también puede expresarse en forma de una potencia de exponente

fraccionario, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del exponente

será el exponente del radicando, y el denominador el índice de la raíz.

Ejemplo: 5

3

5 3 xx ; 3

7

3 7 55

Reglas de los signos de radicación:

a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva

4643 ; 7 2128

b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa

4643 ; 25129

c) Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor

absoluto, pero de diferente signo

24 525 aa ; 440966

d) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de

los números reales, ya que su resultado es visto en el campo de los números

imaginarios.

No hay solución en el campo de los números

reales, porque no existe un número que al

multiplicarse por si mismo nos de un resultado

igual a – 7.

a a n

m =

n

m

Exponente fraccionario

Base Radicando

Exponente del Radicando

Índice

Radical

77 i

Simplificación de radicales:

Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma más simple. Ejemplo:

Simplificar 12

Solución:

Descomponer el 12 en sus factores primos:

Significa que 12 se puede escribir de la forma :

12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3

Cambiando la expresión de = =

Ejemplo:

Simplificar

Solución: Se descompone en factores primos el número 432

12 6 3 1

2 2 3

432 3

432 216 108

54 27 9 3 1

2 2 2 2 3 3 3

22 x 3

3

12

22 3 x 12 =

12 = 2

Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley

de los exponentes podemos escribir esta expresión como: 432 = 24 x 33, como el

índice de la raíz es 3, entonces, escribimos esta expresión en función del índice de

la raíz: 432 = 23 x 2 x 33, esto es, que:

3 333 )3)(2)(2(432 Efectuando las operaciones, se tiene:

333 33 262)3)(2()3)(2)(2(

Ejemplo:

Simplificar: 32

Expresamos la raíz de la raíz, en función de un solo radicando, es decir:

4 3232 = Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2

Por lo tanto: 44 44 22)2(232

Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con

diferente índice.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Razones y proporciones

Actividad :

Se multiplican los índices de los radicales.

El objetivo es establecer comparaciones para comprender los conceptos de razón

y proporción.

Material:

Una cubeta de plástico.

Un recipiente de dos litros.

Un recipiente de 100ml, (0.1 litro)

Agua

Desarrollo:

De una cubeta llena de agua, vierte el contenido en el recipiente de dos litros, hasta

completar un litro y medio, ayudado por el recipiente de 100 ml.

Observa cuantas veces se tuvo que llenar el recipiente de 100 ml.

Haz la comparación entre litro y medio y 100 ml de los dos recipientes.

Conclusión:________________________________________________________

__________________________________________________________________

¿Cuál es el resultado de dividir 1500 ml (1.5 lts.) entre 100 ml.?, ¿será esta la

operación una

razón?.________________________________________________________

Razón: Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma

especie. Cuando se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia (razón

aritmética) y por cociente (razón geométrica).

La razón se compone de dos términos, antecedente y consecuente, ejemplo:

Antecedente 9 - 5 consecuente

9

5

Antecedente

consecuente

Proporción: Se define como la igualdad entre dos razones y se escribe como:

6 - 4 = 10 - 8 Proporción aritmética

2 : 1 :: 6 : 3

Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de

ellas, la otra también varía.

Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra también

aumenta o cuando disminuye una la otra también lo hace.

Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o

cuando disminuye una de ellas la otra aumenta.

Tanto por ciento: Se llama Tanto por ciento de una especie ó unidad, a una ó varias

de las cien partes en que se puede dividir dicha especie ó unidad; y se simboliza

por:

% 100

n

Ejemplos:

1. La mamá de Luis va a comprar tela para mandar hacerse un vestido. El metro

de tela de popelina cuesta $ 15.00, mientras que el de seda cuesta $ 90.00.

¿cuántos metros de popelina puede comprar?, con el dinero que necesita para

Proporción geométrica

2

1

6

3

=

Razón Razón

la compra de un metro de seda?. Y ¿ cuál es la diferencia entre el costo de un

metro de seda y un metro de popelina?

Datos:

Precio del metro de popelina = $15.00

Precio del metro de seda = $90.00

X = diferencia de precio de seda y popelina

Y = cociente de precio de seda entre popelina

Operaciones:

X = precio de 1m de seda – el precio de 1m de popelina

X = $90.00 - $15.00

X = $75.00; este resultado se le llama razón aritmética

2. Un estudiante del C.E.T.i.s. No. 163 va a comprar sus útiles escolares y cursará

7 materias; en cada una utilizará una libreta que le cuesta $15.00 ¿cuánto tendrá

que pagar por 7 libretas?

Datos:

Una libreta = $15.00

7 libretas = $X

Operaciones:

x

7

15

1 o 115: :7 : x a esta igualdad se le llama proporción

Y = Costo de un metro de seda

Costo de un metro de popelina

Y = 6 veces más caro el metro de seda; a este resultado se le llama

razón geométrica

$15.00

$90.00 Y =

= 6

Despejando X resulta:

X = ( 7 ) ( 15 )

X = $105.00

Se observa que a más libretas compradas más dinero gasta, a esto se le llama

proporción directa.

3. Dos estudiantes de computación tardan en capturar un trabajo 2.5 hrs.; 5

estudiantes ¿cuánto tiempo necesitan para realizarlo?

Datos:

2 estudiantes

5 estudiantes

tiempo 1 = 2.5 hrs.

tiempo 2 = X

Operaciones:

Procediendo en forma directa quedaría:

x

5.2

5

2 en donde 25.6

2

)5.2)(5(x hrs.

Esto es un error ya que no es posible que 5 estudiantes ocupen más tiempo en

realizar el trabajo, lo cual nos indica que la proporción no es directa, sino inversa, y

procedemos de la siguiente manera:

Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporción inversa, es decir:

5.25

2 x 1

5

)2)(5.2(x hr. Este resultado es el correcto.

1. Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, ¿Cuáles son las razones aritmética y

geométrica de lo que tiene Pedro en relación a lo que tiene Juan?

R = Razón aritmética = $10.00

Razón geométrica = El doble

2. El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado

se hace un descuento del 12%, ¿Cuánto paga un cliente al adquirir de contado

el refrigerador? R = $7,216.00

3. La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobús tarda en recorrer

ésta distancia 2.75 hrs. a 80 km/hr, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma

distancia si aumenta la velocidad a 110 km/hr? R = 2 hrs

4. Si al papá de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganaría

$3,795.00, ¿Cuánto gana actualmente?. R = $3,450.00

5. En un grupo de 54 estudiantes, el 33.33% son mujeres, ¿Cuántos hombres hay

en el grupo?. R = 36 hombres

6. Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó?.

R = $48.00

7. Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero él tiene

$80,000.00 y le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado

lo restante lo pagará en letras mensuales cargadas al 8%, ¿Cuánto pagará el

agricultor finalmente?. R = $57,152.00

8. Calcule el porciento indicado en cada caso:

20% de 50 R = 10

140% de 1000 R = 1400

0.5% de 200 R = 1

9.- En la plaza Cristal, ofrecen un descuento del 35% en el departamento de

farmacia. Una señora compró medicinas por un monto de $1300.00. ¿ Cuánto pagó

en total, considerando su descuento? R = $845.00