1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 1.- NÚMEROS...

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 1.- NÚMEROS REALES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 1 -

1.- CONJUNTOS DE NÚMEROS. APROXIMACIONES Repaso: conjuntos de números

Enteros positivos o números naturales ( ).

Enteros negativos. Ejemplo:-7

N Ejemplo : 2

El número 0

. Ejemplo : 2,75

. Ej

Números enteros (Z)

Decimales exactos

Periódicos puros

Decimales periódicos

Racionales (Q)

Números reales (R)�

�

emplo : 5,333... 5, 3

. Ejemplo : 7,4666... 7, 4 6

. Ejemplo : 3,1010010001....(I)

Periódicos mixtos

Irracionales (decimales no periódicos)

Los números que son racionales o irracionales, o sea todos, se llaman números reales. El conjunto de los números reales se representa con la letra ℝ.

R = Q U I N Z Q

Número entero: a

a , pues a : 1 a1

Decimal exacto: ��

sin

44

,1 0000

��número coma

cifrasceros

abcdefab cdef

Periódico puro: ��

�3

3

,999cifras

nueves

abcde abab cde

Periódico mixto: � �

�

��4 33 4

, cdef999 0000cifras cifrasnueves ceros

abcdefghi abcdefab ghi

Repaso: aproximaciones y errores

Para redondear un número a una determinada cifra Si la cifra que le sigue es menor que 5, dejamos igual la cifra por la que estamos redondeando Si es mayor o igual que 5, le sumamos 1. Después sustituimos por ceros todas las cifras que le siguen Para redondear con la calculadora científica, puedes usar la función Fix. Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Fix, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona del 0 al 9 según el número de cifras decimales a las que quieras redondear, por ejemplo, si queremos todos los resultados redondeados con 2 cifras decimales teclearemos 2.

Algunas veces, en lugar del redondeo se usa el truncamiento que consiste en sustituir por ceros las cifras a partir de una dada.

El error absoluto (EA) es la diferencia (tomada en valor absoluto) entre el valor exacto o real (VR) y el valor aproximado (VA): A R AE = V V

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real, tomado en valor absoluto

RR

EE =|V |


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 2 -

Cota de error absoluto Una cota de error absoluto que es el mayor error que se puede cometer cuando se redondea el número a un cierto orden y siempre coincide con la mitad del orden de la cifra a la que se esté redondeando. Por ejemplo, si el redondeo es a las décimas una cota de error absoluto es 0,1:2 = 0,05, si es a las centésimas sería 0,01:2 = 0,005 ; etc Si el redondeo es a las unidades una cota de error es 1:2 = 0,5, si es a las decenas sería 10:2 = 5 ; si es a las centenas sería 100:2 = 50, etc Si al realizar una medida cuyo valor real es VR con precisión “p” hemos obtenido como valor

aproximado VA significa que VA – p < VR < VA + p – p < VR – VA < p | VR – VA |< p

Es decir, el error absoluto, EA , es menor que p.

Luego, la precisión de la medida siempre es una cota de error absoluto. Por ejemplo, si una cinta métrica tiene una precisión de 5 mm y medimos una barra de hierro y obtenemos 70 cm, la longitud de la barra estará entre 70 cm – 0,5 cm y 70 cm + 0,5 cm . O sea, entre 69,5 cm y 70,5 cm. Una cota de error absoluto es 0,5 cm Puedes observar cómo se propagan los errores cuando se trabaja con aproximaciones en la suma y producto , en la resta y en la división.

ACTIVIDADES 1.- Indica qué tipo de número es cada uno de los siguientes (natural, entero negativo, decimal exacto, decimal periódico puro, decimal periódico mixto o irracional). Para los que sean racionales halla la fracción generatriz irreducible:

a) 2,3555…. b) – 5 c) 3,030030003... d) 2 e) 162 f) 12

g) 1,34555…. h) 9 i) 2 j) 1,25 k) 2,454545….. 2.-

3.- Halla una cota de error absoluto cometido al dar las siguientes aproximaciones: a) Asistentes a un concierto: 12 000 personas b) Distancia entre dos localidades: 65,6 km c) Precio de una moto: 8 900 € d) Número de habitantes de una ciudad: 5 millones e) Longitud de una varilla: 2,3 m


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 3 -

2.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES. INTERVALOS Y ENTORNOS

Repaso: representación de números reales - Representación de fracciones:

316

31 6 31 6.5 1 31 1

31 6.5 1 51 5 6 6 6 6 6

- Representación de números decimales:

- Representación exacta de raíces cuadradas

Si sólo queremos hacer la representación gráfica aproximada de un número tomamos una aproximación y representamos el valor aproximado. Esto se suele hacer cuando el decimal tiene más de dos cifras decimales o cuando queramos representar de forma aproximada un número irracional. Fíjate en la representación aproximada del número π

Repaso: intervalos de la recta real

Un intervalo de la recta es un segmento o una semirrecta. Los segmentos corresponden a los números reales comprendidos entre otros dos. Las semirrectas son todos los números reales mayores o menores que un número dado.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 4 -

Hay ocho tipos de intervalos:

Los signos ≤ y ≥ nos indican que el extremo está incluido (intervalo cerrado) y los signos < y > nos indican que no está incluido (intervalo abierto) Los signos corchetes nos indican que el extremo está incluido (intervalo cerrado) y los paréntesis nos indican que no está incluido (intervalo abierto)

Unión de intervalos Es el conjunto formado por todos los puntos de ambos intervalos. La unión de dos intervalos A y B se representa por A U B y se lee “A unión con B”

Ejemplo: Si A = [–5 , –1 ] , B = [–3 , 2 )

A U B = [–5 , 2 )

Intersección de intervalos

Es el conjunto formado por los puntos comunes a los intervalos. La intersección de dos intervalos A y B se representa por A ∩ B y se lee “A intersección con B”

Ejemplo: Si C = ( – , 1 ], D = (0 , ) C ∩ D = ( 0 , 1 ]

Intervalos en forma de valor absoluto

1er tipo: |x| < a: Empecemos con un ejemplo: ¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es menor que 5?

Observamos que son todos los números comprendidos entre – 5 y 5:

x 5 5 x 5 ( 5, 5) En general, x a a x a ( a, a)


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 5 -

2º tipo: |x| > a: Veamos ahora: ¿cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es mayor que 5? Lógicamente, serían los que no están entre – 5 y 5. Es decir, los mayores que 5 o menores que – 5

x 5

x 5 ó ( , 5) (5, )

x 5

∪ . En general,

∪

x a

x a ó ( , a) (a , )

x a

Entorno de un punto

Veamos primero cómo se calcula la distancia entre dos números a y b, que se escribe d(a, b): d(a, b) = |a − b|

Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es d(−5, 4) = |−5 − 4| = |−9| = 9 unidades

Sea un intervalo (a , b) , a b

m su punto medio2

y d(a,b) b a

r su radio2 2

Se llama entorno de centro m y radio r y se representa por E(m, r) al intervalo (m – r, m + r)

Ejemplo: E(1, 2) = (1 – 2, 1 + 2) = (– 1, 3)

ACTIVIDADES

1 Sean A = { x R / | x | 5 } B = { x R / 3 x < 7 } C: (– , 1 ] D = E(3; 7) E = { x R / x > 0 } a) Represéntalos en la recta numérica y exprésalos de todas las formas posibles b) Determina A U B y C ∩ D 2 Expresa en forma de unión de intervalos { x R / |x| > 4 }

3

4 Escribe en forma de entorno los siguientes intervalos: a) (2,75 ; 7,25) b) (–4 , 9)

3.- OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Repaso: uso de fracciones en la calculadora Se puede introducir una fracción en la calculadora científica CASIO usando la tecla a b/c El proceso es: numerador a b/c denominador.

Por ejemplo, para introducir 34

es: 3 a b/c 4. Aparecerá en la pantalla 3 ┘4 , que significa 34

Se puede simplificar una fracción directamente con la calculadora científica. Antes prepara la calculadora para simplificar fracciones: Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Disp, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona d/c pulsando 2 Para obtener la fracción irreducible directamente usando la calculadora científica CASIO introduces la fracción original en la calculadora y pulsas la tecla

Ejemplo: 9945

6435: 9945 a b/c 6435 =. Obtendrás 17 ┘11, que significa que

17

11es la fracción irreducible


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 6 -

Repaso: cálculo de potencias y sus propiedades

�n

n veces

a a.....a

nn

n

a , si n es par( a)

a , si n es impar

1a a 0a 1 n n

na ab b

nn1

aa

n na b

b a

m n m na a a m

m n m nn

aa : a a

a nm mna a m m ma b (ab) m m mab a b

mm

ma a

bb

Cualquier potencia se puede hallar con la calculadora científica CASIO. El proceso es: base exponente . Por ejemplo, 215 se calcula así 2 15 . Da 32 768

Ejercicios resueltos:

1) � �21 70,5 0,333... 5 : 0,16 1,36

4 35

= 1 1 21 7 1 41 1 1 1 7 1 41 1 1 6 41 15 : :

2 3 4 35 6 30 2 3 4 35 6 30 2 12 5 30 4

2)

223

5( 2)1 3.( 2) : =

25

2( 2) ( 2)

1 3 25 3 25 8 3 25 14 71 3. 1 1

8 8 4 8 8 8 8 8 8 4: :

3)

46 5

6 6

16 9

2

3 2

=

4 56 1 2 6 6 4 10 4 22 4

6 6 6 6 6 6

(2 . 3) 2 3 2 3 2 3 3 2 1 163 2 . 16

9 93 2 3 2 3 2

4)

32 2

42 3 10

x y

x y y

6 26 8 2 12 10 14 0 14

8 12 10x y

x y x y xx y y

Repaso: soluciones de un radical: Dependiendo del índice, si es par o impar y del radicando, si es positivo o negativo, un radical puede tener 2, 1 o ninguna solución:

Índice par Índice impar

Radicando positivo 2 soluciones opuestas.

Por ejemplo, 4 81 3

1 solución positiva.

Por ejemplo, 3 125 5

Radicando negativo Ninguna solución.

Por ejemplo, 4 no existe

1 solución negativa.

Por ejemplo, 3 8 2

Repaso: radicales con la calculadora científica CASIO Para cualquier radical el proceso es: índice SHIFT radicando

Ejemplo: 5 100 5 SHIFT 100 Nos da 2.511886432.

Para raíces cuadradas el proceso es: radicando .

Ejemplo: 7 7 Nos da 2.645751311.

Para raíces cúbicas el proceso es: SHIFT 3x radicando .

Ejemplo: 3 40 SHIFT 3x 40 Nos da 3.419951893.

Repaso: radical y su relación con las potencias mn m na a

m n mna a

Repaso: Simplificación de radicales: n:dn m m:da a

siendo d un divisor común.

Ejemplo: 312 12 48 8 4 2 35 5 5 25

: :


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 7 -

Repaso: Reducción de radicales a mínimo común índice Para reducir radicales a mínimo común índice se toma como índice común el mcm de los índices. El común índice se divide entre cada índice y el resultado se multiplica por el exponente del

radicando. Ejemplo: 6 3 y 8 75 ; mcm(6, 8) = 24 24 4

3 y 24 215

Repaso: Producto y cociente de radicales: n n na b ab n

nn

a abb

.

Ejemplos: 3 3 3 32 5 2.5 10

7 733

Si no tuviesen el mismo índice se reducen a común índice y se aplican las reglas anteriores

Repaso: Potencia de un radical: m nn mA A . Por ejemplo, 3 55 32 2 .

En particular, n nn nA A A . Por ejemplo, 7 77 73 3 3

Repaso: Raíz de un radical: m n mnA A . Por ejemplo, 3 65 5

Repaso: Raíz de un producto y de un cociente: n n nab a b n

nn

a ab b

.

Ejemplos: 33 32.5 2 5

7 73 3

Repaso: Extracción e introducción de factores en la raíz: - Para extraer factores de la raíz se factoriza el radicando y se expresa, si es posible, como potencia de exponente el índice de la raíz los factores de la descomposición. Después se usa la siguiente regla

nn n n n nn n na b a b a b a b a b

Ejemplos: factorizando 3 3 3 33 3 35 3 5 3 3 2 3 2 2 33 864 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 6 2 6 4

333 3 33 340 2 5 2 5 2 5

- Para introducir un factor en la raíz se eleva el factor al índice de la raíz:

nn n n n nn n na b a b a b a b a b Ejemplo: 3 3 332 5 2 5 40

Repaso: Suma y resta de radicales: para poder sumar o restar términos con raíces, todos los términos deben llevar la misma raíz. Para realizar las sumas y restas se saca factor común el radical

La regla es: n n nM A N A (M N) A . Por ejemplo, 3 3 3 3 35 7 7 2 7 (5 1 2) 7 6 7 Algunas veces es necesario extraer factores del radical para poder realizar las sumas/restas.

Ejercicios resueltos

1)

3 3 3 9 3 9 324 24 8

6 6 108 72 177 593 94 33 933 9

8 8 8

4 18

a b a a

b b b b. bb . bb . b

a b a b a b

b


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 8 -

2)

63 3 2187a)

11 11

211 1 448 4. 1442 48 48b) 3

1 1 1 4836 36 36

1 2 2 1 3 2 2 6 32 ( 6) 4 2 3 3 0 4 4

4 3 4 3(3.2 ) (2 .3 ) 3 2 2 .3

c) 2 3 2 3 3 812 3 2 3

3 15 2 40 45 40 8045 40 70 60 80 35 60 135 15

2 35 60 70 35 60 60(3 ) ( 3.5 ) 3 3 5

d) 3 5 3 5(3 5) ( 3.5) 3 5 3 .5

2 2e) 3 2 3 .3 2 .3 3 2.3 3 2 3 5 3 75

4 8 4 16 2 4 44 4f) 5 a ab 5 ab a 25ab a 126 4 3 3 1912g) x x (x ) x

84 42 3 4 3 7 8h) 3 3 .3 3 3 3 .3 3 2187

21 3 1 1 3 3 7 3

i) 2. .2 2 4 2 2 2 4 2

42 3 912 512

3 3 4x x x x

j) xx x x

1 2 30 11 11 114 2 60 11 55 5 5 5 11k) 2 3 4 3 4 3 3 4 3 3 4 243 243

3 33 3 3 3 3 3l) 3 3a 2a 2 3 3a 3 2a2 3 7a 3

33 6 182 3 4 73 18m) 2 2 2 2 2 128 2 3 2 2 3 3 2 3 5 5 6 5 6

n)63 2 3 2 6 6 6 6

Racionalización de fracciones con radicales Racionalizar una fracción radical con alguna raíz en el denominador es transformarla en otra fracción equivalente pero que NO tenga ninguna raíz en el denominador.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 9 -

- Repaso: Racionalización con denominadores del tipo A B .

Ejemplo:

2

Se multiplica por b 5a . b 5a b 5a b5a

3b3 b 3 b . b 3 b

- Repaso: Racionalización de fracciones con denominadores del tipo n

A B Ejemplos:

35 3 3 35 5 5Multiplico por y

2 2 3 55 5 5 5

y 2x y 2x y2x 2x.

3y3 y 3 y y 3 y

4 3 4 4 43 3 3Multiplico por 3

4 4 4 47 7 3 4

1 1 3 3 3.

33 3 3 3

Racionalización de fracciones con denominadores binómicos con alguna raíz cuadrada

En el denominador hay suma/resta de dos términos en los que aparece alguna raíz cuadrada

Por ejemplo, si la fracción es del tipo

N

A B C D se multiplica numerador y denominador por

A B C D y se llega así a una fracción sin raíz en el denominador:

N A B C D.

A B C D A B C D

N.(A B C D)

(A B C D).(A B C D)

2 2

N.(A B C D)

(A B) (C D)

2 2

N.(A B C D)

A B C D

Si el denominador fuese una expresión del tipo A B C D , se multiplicaría por A B+C D Las expresiones A B+C D y A B C D se dice que son conjugadas

Ejemplos:

1) Multiplico por 3 2 (expresión conjugada)2 2

7 7 3 2 7(3 2) 7(3 2). 3 2

73 2 3 2 3 2 3 ( 2)

2) 2 2

. ( ) )

) . ( ) )

Semultiplicapor ( 3 5 5 3 )15 15 3 5 5 3 3 75 5 45 15 3 15 5 15( 3 545 75 303 5 5 3 (3 5 5 3 3 5 5 3 (3 5) (5 3

) )Simplificando se obtiene : 15( 3 5 ( 3 5 5 3

30 2 2

3)

ACTIVIDADES

1.- Realiza las siguientes operaciones combinadas dejando el resultado como fracción irreducible:

a)3

4.3,2:

3

12

4 23

23

⌢ b)

3

12

2

31

2 3 .5,1:3,1.4⌢

c) � �

�

15

12

0, 21 0, 12

0, 3

2.- Reduce lo máximo posible: a)

46 4 6

6 6

16 4 6

3

3 2

b)

6 1 4

2 3 2 3 2

(a ) b

a (a b ) b

c)

4 1 3 2 5

5 3 2 2 2

(x ) y (6x )

(3y) (12x y ) (2y)


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 10 -

3.- Reduce lo máximo posible: a)

2-33

-23

10.6

12 : 0,16 8

⌢

⌢ b)

9 2 5 2 34

3 1

x y (xy )

xy y xc)

23

5 34

2

3 2

2:

cb

a

cb

a

d) 2182326504 e) 22

323213

f)

2

1

3

2

2

)2(3

3

22

5·6

4.- Racionaliza y simplifica: a) 2 72 - 3 50 4 32 2 98

54 25

25 2

b)

a

abba

c) 84 cba

bc

d)

6

2 3 18 e)

2236

1923

f)

18283

3262

g) 33548

243722

4.- REPASO: LOGARITMOS

Concepto de logaritmo: La solución de la ecuación 2x = 6 es el número al que hay que elevar el “2” para obtener el “6”. Se llama el logaritmo en base 2 de 6 y se escribe así: log

2 6.

En general, si a > 0 , a ≠ 1 , loga N = x ax = N

Si la base es 10, entonces log

10 N se escribe simplemente como log N y se llama logaritmo decimal

de N o de Briggs. Si la base es el número “e”, entonces log

e N se escribe simplemente como ln N ó L n y se llama

logaritmo neperiano o logaritmo natural de N . El número e = 2,718281828…. es un número irracional y tiene gran importancia en Matemáticas.

Ejemplos:

225 55 5

23 3 3 3

1 1 2log log log 3 log 3

9 53

3 4

1log

8 3

xx 2 2xx 3 2 3 33 3 334

1 1 1 2x 9log x 4 2 2 2 2 2 3 x

8 8 3 22

x 3x

0,4 0,4

2 8 2log 0,064 log 0,064 x 0,4 0,064 x 3

5 125 5

Cálculo de logaritmos con la calculadora: La calculadora científica CASIO nos permite calcular tanto logaritmos decimales como neperianos usando las teclas log y ln , respectivamente.

Ejemplos: log 3 log 3 . Nos da 0,477121254… ln 20 ln 20 . Nos da 2,995732274…

Está demostrado que todos los logaritmos que no den un resultado exacto (número entero o decimal exacto o periódico) son números irracionales.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 11 -

Propiedades de los logaritmos:

Fórmula de cambio de base: ba

b

log Nlog N

log A Si b = 10:

alog N

log Nlog a

, si b = e:a

ln Nlo g N

ln a

Cualquiera de estas dos últimas fórmulas nos permite hallar el logaritmo en base a de un número usando la calculadora científica.

Por ejemplo, aplicando la primera fórmula: 2log 7

log 7 2,807354922....log2

Si aplicamos la segunda fórmula obtenemos el mismo resultado: 2ln 7

log 7 2,807354922....ln 2

Ejercicios resueltos Ejemplos:

1) Sabiendo que alog x 5 , alog y 2 calcula, 3

a 2

x ylog

ay

13 2 13 22a a a a a a a a2

x y 1 1log log x log y log (ay ) 3 log x log y (log a 2 log y ) 3 .5 .2 (1 2 .2) 11

2 2ay

2) Calcula x sabiendo que log x log 12 2 log 6 log 3

2 12 12: log log 12 log 6 log 3 log log 3 log .3 log 1 1

36 36

x xSo lución

3)

4) Pasar a forma algebraica: 1

log A logx 2 3log32

33 3

x . 1 00 x . 1 00 1 00 xlo g A lo g x lo g 10 0 lo g 3 lo g A lo g A

2 73 3

5)

6) Usando logaritmos decimales calcula el valor de 23 35 1 , 4 1 0 0 1 , 50 , 4

dando el resultado en

notación científica: 23 33 3

1 2 ,8 6 2 0 ,8 6 2 1 2 1 2 1 3

5 1 , 4 1 0 0 1 ,5 5 1 , 4 1 0 0 1 ,5 1A lo g A 2 lo g 2[3 lo g 5 1 , 4 ( ) lo g 1 0 0 1 ,5 lo g 0 , 4 ] 1 2 , 8 6 230 , 4 0 , 4

Lu e g o , A 1 0 1 0 .1 0 0 ,1 3 7 4 .1 0 1 , 3 7 4 .1 0


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 12 -

7) ¿Cuántos años estuvo impuesto un capital de 20000 € en un Banco si colocado al 0,5% de interés compuesto anual produjo unos intereses de 1553,65 €? El capital final es Cf = 20000 + 1553,65 = 21553,65 €

t t tf ff

fSustituyendo

C CC C(1 i) (1 i) log log(1 i) t log(1 i)

C CC 21553,65 21553,65

log log logC 20000 20000Luego, t 15 años

log(1 i) log(1 0,005) log(1,005)

ACTIVIDADES 1.- Halla usando la definición del logaritmo y sin usar las teclas log y ln de la calculadora científica:

a) 2log 2 2 2 b) ln 2

3

e1e

c)

38 16

2log d) 3

2 3 5

1

2532log log 81 log

2.- Usando que loga x = 7, log

a y = 3 y las propiedades de los logaritmos calcula

7

a 3y x

logax

3.- Desarrollar usando propiedades de los logaritmos:

a) 3

310log

ab

ba b)

35 2 5

5 123 3

x y blog

x a b c)

54

3

(xy)log

100 xy d)

3 xlog(100x) log

1000

4.-

5.-

6.- Usando logaritmos decimales calcula 23 11

54

300 49

10dando el resultado en notación científica:

7.- La siguiente fórmula calcula la cantidad de energía liberada por un seísmo en la escala de Richter log 1,5 11,8E R ; donde: E: energía liberada, medida en ergios; R: magnitud del seísmo, en grados de la escala de Richter. a) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007, en el fiordo de Aysén, fue de 6,3 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo? b) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillán, ocurrido en 1939, sabiendo que liberó una energía de 7,079.1016. 8.- Se invierten 4 500 € al 2,15% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tiempo debe pasar para tener 5 000 €?

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 1.- NÚMEROS...

Documents

Transcript of 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 1.- NÚMEROS...