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1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDADES 8, 9 y 10.- FUNCIONES-1ª PARTE PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Página 1 - 1.- FUNCIONES ELEMENTALES Una función f es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real y = f(x). Las letras x e y se llaman variables. Se dice que y es la imagen de x. El conjunto de todos los puntos del plano (x, y) que cumplen la fórmula o ecuación y = f(x) se llama gráfica de la función f. Por tanto, para que la relación entre la “x” y la “y” sea una función no puede haber valores de “x” a los que les corresponda más de un valor de “y”. Ejemplos: 1) La fórmula y = x NO corresponde a una función pues, por ejemplo, a x = 4 le corresponden dos valores de y, que son y = 2 , y = –2 2) La gráfica NO corresponde a una función porque hay valores de “x” a los que les corresponde dos valores de y 2 lineales : y mx de grado menor que 2 : afines : y mx n cons tantes : y n polinómicas : cuadráticas : y ax bx c de grado mayor que 2 : y p(x), con gradop 2 Funciones elementales : p(x) racionales : y . Caso particular q(x) x a k :y (de proporcionalidad inversa) x con radicales : y g(x) exponenciales : y a logarítmicas : y log x Directas : y senx, y cosx, y tgx trigonométricas : Inversas : y arcsenx, y arccosx, y arctgx Dominio de definición y recorrido de una función El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores “x” para los que existe f(x). Se representa por D(f). El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable “y”. Se representa por Rec(f) ó también por Im(f) Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 X Y D(f) = R – { – 4} Rec(f) = (–∞, 5]

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1.- FUNCIONES ELEMENTALES Una función f es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real y = f(x). Las letras x e y se llaman variables. Se dice que y es la imagen de x. El conjunto de todos los puntos del plano (x, y) que cumplen la fórmula o ecuación y = f(x) se llama gráfica de la función f. Por tanto, para que la relación entre la “x” y la “y” sea una función no puede haber valores de “x” a los que les corresponda más de un valor de “y”.

Ejemplos:

1) La fórmula y = x NO corresponde a una función pues, por ejemplo, a x = 4 le corresponden dos valores de y, que son y = 2 , y = –2

2) La gráfica NO corresponde a una función porque hay valores de “x” a los

que les corresponde dos valores de y

2

lineales : y mx

de grado menor que 2 : afines : y mx n

constantes : y n

polinómicas : cuadráticas : y ax bx c

de grado mayor que 2 : y p(x), con gradop 2

Funciones elementales :p(x)

racionales : y . Caso particularq(x)

x

a

k: y (de proporcionalidad inversa)

x

con radicales : y g(x)

exponenciales : y a

logarítmicas : y log x

Directas : y senx, y cosx, y tgxtrigonométricas :

Inversas : y arcsenx, y arccosx, y arctgx

Dominio de definición y recorrido de una función

El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores “x” para los que existe f(x). Se representa por D(f). El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable “y”. Se representa por Rec(f) ó también por Im(f)

Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

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X

Y

D(f) = R – { – 4} Rec(f) = (–∞, 5]

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Puntos de corte de una gráfica con los ejes de coordenadas

Con el eje X: Como la ecuación del eje X es y = 0, para calcular los puntos de corte de la gráfica de

una función f(x) con el eje X resolvemos el sistema y f(x)

y 0

. Obtenemos la ecuación f(x) = 0.

Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje X Con el eje Y: Como la ecuación del eje Y es x = 0, para calcular el punto de corte con el eje Y

resolvemos el sistema y f(x)

x 0

. Obtenemos entonces x = 0 , y = f(0), que da lugar al punto (0, f(0)).

Si no existe f(0) entonces la gráfica no corta al eje Y

Por ejemplo, si 5x 6

f(x)x 3

, para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación

5x 6 6 60 5x 6 0(x 3) 5x 6 0 x . El punto de corte es P( ,0)

x 3 5 5

Para calcular el punto de corte con el eje Y hallamos 5.0 6

f(0) 20 3

. El punto de corte es Q(0, –2)

Estudio del signo de una función

Estudiar el signo de una función es determinar los intervalos del eje X donde f(x) > 0 (o sea la gráfica está “por encima” del eje X) y los intervalos donde es f(x) < 0 (o sea la gráfica está “por debajo” del eje X).

Por ejemplo, esta función corta al eje X en los puntos (–1, 0) y (3, 0).

Por tanto, la función es positiva en el intervalo (– 1, 3) pues en este intervalo la gráfica está por “encima” del eje X y negativa en el resto, es decir en (–∞,–1) U (3, ∞)

Puntos de corte de dos gráficas

Para calcular los puntos de corte de las gráficas de dos funciones f y g a partir de las fórmulas

resolvemos el sistema de ecuaciones y f(x)

y g(x)

. Si el sistema no tiene solución entonces las gráficas

no se tocan

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Ejemplos: 1) Calcular los puntos de corte de las gráficas de las funciones f(x) = x2 , g(x) = 5x – 6 . Debemos

resolver el sistema 2y x

y 5x 6

. Igualando, x2 = 5x – 6 →x2 – 5x + 6 = 0→ x = 2, x = 3

Si x = 2, y = 22 = 4 → Punto P(2, 4) Si x = 3, y = 32 = 9 → Punto Q(3, 9)

Los puntos de corte de las gráficas son P y Q 2) Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b g(x) = – x2 + c. Determínese a, b y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y (1, 0)

Solución 2

2

La gráfica de f pasa por ( 2, 3) f( 2) 3 ( 2) a . ( 2) b 3 2a b 7

La gráfica de g pasa por ( 2, 3) g( 2) 3 ( 2) c 3 c 1

2

2

La g rá fic a d e f p a sa p o r (1 , 0 ) f (1 ) 0 1 a .1 b 0 a b 1

La g rá fic a d e g p a sa p o r (1 , 0 ) g(1 ) 0 1 c 0 c 1

2a b 7Re so lv iendo el sistem a obtenem os a 2 , b 3 . Luego , a 2 , b 3, c 1

a b 1

3) Ley de oferta y demanda Puedes ver en qué consiste esta ley en el enlace https://economipedia.com/definiciones/ley-de-oferta-y-demanda.html y ver un caso real en el video del siguiente enlace https://www.youtube.com/watch?v=LrVhhHVEgHs

Simetría de una función

Funciones pares: Una función es par si su gráfica es simétrica respecto del eje Y. Las funciones pares cumplen f(–x) = f(x)

Ejemplo: La función f(x) = 7x4 – 3x2 + 2 es par porque f(–x) = 7(–x)4 – 3(–x)2 + 2 = 7x4 – 3x2 + 2 = f(x) Funciones impares: Una función es impar si su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Las funciones impares cumplen f(–x) = – f(x)

Ejemplo: La función f(x) = 2x3 – 5x es impar porque f(–x) = 2(–x)3 – 5(–x) = –2x3 + 5x = –f(x)

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ACTIVIDADES 1.- En las siguientes funciones estudia el dominio, el recorrido y el signo:

a) b)

c) d) X

Y

063 8 10

2.- Sea f la función dada por la gráfica -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

Calcula: a) D(f) b) Rec(f) c) f(2) d) f(–3) e) El intervalo donde f es negativa f) Los valores de x para los que f vale 3

3.- Dada la función 7x 4

f(x)5x 2

determina: a) f(–0,75) b) Los puntos de corte con los ejes

c) La solución de la ecuación f(x) = –3 d) El intervalo donde f(x) es negativa

2.- OPERACIONES CON FUNCIONES.

Dadas dos funciones f y g se definen las siguientes operaciones:

Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Ejemplo: Si f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x – 4 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 + 2x – 4 = 5x – 3 Función opuesta: (–f)(x) = – f(x) Ejemplo: Si f(x) = 2x – 4 (–f)(x)= –f(x) = –2x + 4 Resta de funciones: (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Ejemplo: Si f(x) = x2 – 3, g(x) = x + 3 (f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – 3 – x – 3 = x2 – x – 6

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Producto de un número por una función: (a.f)(x) = a.f(x)

Ejemplo: Si f(x) = x2 + x – 2 (3f)(x) = 3f(x) = 3x2 + 3x – 6 Producto de funciones: (f.g)(x) = f(x) . g(x)

Ejemplo: Si f(x) = x2 – 3, g(x) = x + 3 (f.g)(x) = f(x)g(x) = (x2 – 3)(x – 3) = x3 – 3x2 – 3x + 9

Función inversa para el producto:

1f

(x) = 1

(fx )

Ejemplo: Si f(x) = x2 + x – 2 2

1 1 1(x)

f f(x) x x 2

Cociente de funciones:

fg

(x) = (fx )

g (x )

Ejemplo: Si f(x) = x2 – 3, g(x) = x + 3 2f f(x) x 3

(x)g g(x) x 3

Composición de funciones: Dada una función f que transforma x en y = f(x) y otra función g que

transforma y en g(y), f gx y f(x) g(y) g[f(x)] . Se define la función compuesta de f con g así: (g o f) (x) = g[ f(x) ]

Ejemplo: Si f(x) = x2, g(x) = x – 2, entonces (f o g)(x) = f[g(x)] = [g(x)]2 = (x – 2)2.

Observa que (g o f)(x) = g[f(x)] = f(x) – 2 = x2 – 2. Función recíproca o inversa para la composición: Si f es una función que transforma x en y = f(x)

fx y f(x) , se define la función recíproca de f, en caso de que exista, como la función f–1 que

transforma y en x: 1 1fy f(x) x f (y)

. Es decir 1y f(x) x f (y) Para calcular la fórmula de f –1(x) a partir de la fórmula de f(x) el proceso es el siguiente:

1º) Escribimos y = f(x) e intercambiamos “x” por “y” 2º) Despejamos “y”

La función f –1 siempre cumple: f –1[f(x)] = f [f –1(x)] = x

Ejemplo:

Para hallar la inversa de 2

f(x)x 3

hacemos:

int ercambiando x por y despejando y2 2 2 3xy x xy 3x 2 y

x 3 y 3 x

Luego, la función recíproca de f es 1 2 3xf (x)

x

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- Página 6 -

Las gráficas de las funciones f y g = f –1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer

cuadrante, y = x:

Ejercicios resueltos

1) Realiza las siguientes composiciones de funciones:

a) f o g , siendo f(x) = 2

1

6 3x , g(x) = 2x 2 .

Solución: o2 2 22 2

1 1 1 1(f g)(x) f[g(x)]

6 3.[g(x)] 6 3.(x 2) 3x6 3.[ x 2]

b) n o m , siendo m(x) = 27x + 3 , n(x) = log

2 x

Solución: o7x 3

2 2(n m)(x) n[m(x)] log [m(x)] log [2 ] 7x 3

c) f o f , siendo f(x) = x 9

x

Solución: o

x 9 x 9 9x9f(x) 9 10x 9x x(f f)(x) f[f(x)]

x 9 x 9f(x) x 9x x

2) Calcula la función recíproca de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x + 7

Solución: int ercambiando x por y despejando y 1x 7 x 7y 2x 7 x 2y 7 y f (x)

2 2

b) g(x) = 2x 3

Solución: 2intercambiando x por y despejando y2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 21 2

y x 3 x y 3 x y 3 x y 3

x 3 y x 3 y. Hay dos inversas : g (x) x 3 ; g (x) x 3

Luego, la función recíproca de f es 1 x 7f (x)

2

c) h(x) = 3x 2x 1

Solución: intercambiando x por y despejando y

1

3x 2 3y 2y x xy x 3y 2

x 1 y 1

x 2 x 2xy 3y x 2 (x 3)y x 2 y h (x)

x 3 x 3

d) i(x) = 1 – 5.3x + 2

Solución: intercambiando x por y despejando yx 2 y 2 y 2

y 2 y 2 13 3 3 3

y 1 5.3 x 1 5.3 5.3 1 x

1 x 1 x 1 x 1 x3 log (3 ) log y log 2 i (x) log 2

5 5 5 5

e) j(x) = 6 – log

2 (x+1)

Solución: intercambiando x por y despejando y

2 2 26 x 6 x 1 6 x

y 6 log (x 1) x 6 log (y 1) log (y 1) 6 x

2 y 1 y 2 1 j (x) 2 1

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- Página 7 -

Construcción de gráficas por traslación

1) La gráfica de la función “f(x) + k” se obtiene trasladando la gráfica de f(x) |k| unidades. Se trasladará hacía arriba, si k > 0 ó hacía abajo, si k < 0.

Ejemplos

2) La gráfica de la función “f(x – k)” se obtiene trasladando la gráfica de f(x) |k| unidades. Se trasladará hacía la derecha, si k > 0 ó hacía la izquierda, si k < 0.

Ejemplos

En general, la gráfica de la función “f(x – a) + b” se obtiene trasladando la gráfica de f(x) “a” unidades en horizontal y “b” unidades en vertical

Construcción de gráficas por simetría La gráfica de “– f(x)” es la simétrica de la gráfica de f(x) respecto del eje X.

Ejemplo

Construcción de gráficas por dilatación o contracción

La gráfica de la función “k.f(x)”, con k > 0 se obtiene multiplicando por k cada valor “y” de la gráfica de f(x). Por tanto, si k > 1 la gráfica de f(x) se “estira” y si k < 1 se “contrae”.

Ejemplos

Si k es negativo, se obtiene la gráfica de “–kf(x)” y, después, se halla su simétrica respecto del eje X.

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- Página 8 -

ACTIVIDADES 1.- Realiza las siguientes composiciones de funciones:

a) f o g y g o f , siendo f(x) = 3x – 4 , g(x) = x2 + 1 b) f o g , siendo f(x) = 2

1

2 2x , g(x) = 2x 1

c) g o f , siendo f(x) = 32x – 1 , g(x) = log3 x d) f o f , siendo f(x) =

x 1

x

2.- Calcula la función recíproca de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x – 5 b) f(x) = 2x 4

c) f(x) = 2x 1

x 2

d) f(x) = 1 + 3.2x – 1 e) f(x) = 5 + log (x – 3)

3.- Dadas 1

f(x)x 1

, 2x 1

g(x)x 9

, calcular: a) (f o g)(x) b) (g o f) c) f –1(x) d)

1f

g(x)

4.- Dadas las funciones 2

f(x)x 3

, g(x) = 2x +3, hallar f o g, g o f y la inversa de la función f

5.- Si x 1

f(x)x 1

, ¿Qué relación existe entre f(1/x) y f(x)?

3.- FUNCIONES POLINÓMICAS Son aquellas de la forma f(x) = p(x) siendo p(x) un polinomio. Su dominio de definición es R, pues la fórmula se puede hallar para cualquier valor de “x”. Así, por ejemplo, si f(x) = x2 – 3x + 1 entonces la fórmula se puede calcular para cualquier número real. Por tanto, D(f) = R

Funciones polinómicas de grado menor que 2 Todas estas funciones tienen como gráfica una línea recta. El coeficiente de x, o sea m, es la pendiente de la recta. Si la pendiente es positiva la función es creciente, si es negativa la función es decreciente y si es cero es constante. Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos: - Funciones lineales: Son del tipo f(x) = mx , con m 0. La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0, 0).

Por ejemplo: f(x) = 3x , f(x) = –2x son funciones lineales.

X

Y

Función creciente

y = 3x 3

1

m = 3 > 0

X

YFunción

decrecientey = -2x

-2

1

m = -2 < 0

- Funciones afines: Son del tipo f(x) = mx + n, con m , n 0. La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0, 0). El término independiente de la fórmula, n, se llama ordenada en el origen y la recta corta la eje Y en el punto (0, n)

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Por ejemplo: f(x) = 2x – 5 , f(x) = –3x + 1 son funciones afines.

X

Y

y = 2x - 5

-5

1

-3

La pendiente es 2 y la ordenada en el origen –5

X

Y

y = -3x + 1

-2

11

La pendiente es –3 y la ordenada en el origen 1

- Funciones constantes: Son del tipo f(x) = n. La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n).

Por ejemplo: f(x) = 1 , f(x) = –5 son funciones constantes.

X

Y

y = 1

1

X

Y

y = -5-5

Ejercicios resueltos

1) Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos 6 meses, nos gastaremos en total 246 €, y si estamos 15 meses, nos costará 570 €. Calcula cuánto nos gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año Solución: x = nº de meses, y = precio en €. La gráfica es una recta que pasa por P(6, 246) Q(15,570)

r r

324Como d PQ (9,324) m 36 r : y 246 36(x 6) r : y 36x 30

9

��� ������

Entonces, 1 año = 12 meses; el precio es y = 36 . 12 + 30 = 462 € 2) Un fabricante debe entregar sus productos en un radio de 600 km. Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones:

Transportista A: 0,60 €/km Transportista B: 45 € fijos y 0,50 €/km a) Escribe la fórmula de la función km-precio para cada transportista Solución: Transportista A: y = 0,60x Transportista B: y = 0,50x + 45 b) Representa gráficamente las dos funciones anteriores usando los mismos ejes de coordenadas

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c) Calcula el punto donde se cortan y explica su significado. 0,60x = 0,50x + 45 x = 450 , y = 270 Se cortan en el punto (450, 270) que significa que para 450 km los dos transportistas cobran lo mismo, 720 € d) Averigua cuál de ellos sale más barato para un recorrido de 400 km. x = 400 Transportista A: y = 0,60 . 400 = 240 € Transportista B: y = 0,50 . 400 + 45 = 245 € Sale más barato el transportista A. También se podría haber obtenido a partir de las gráficas porque para x = 400 la gráfica del transportista A está por debajo de la del transportista B. e) ¿Y para 500 km? x = 500 Transportista A: y = 0,60 . 500 = 300 € Transportista B: y = 0,50 . 500 + 45 = 295 € Sale más barato el transportista B. También se podría haber obtenido a partir de las gráficas porque para x = 400 la gráfica del transportista B está por debajo de la del transportista A.

Funciones cuadráticas Son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de 2º grado, f(x) = ax2 + bx + c, siendo a ≠ 0 y su gráfica es una parábola. Si a > 0, la parábola tiene las ramas hacía arriba. Decimos entonces que la función es convexa

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vértice

e = eje de simetría

El vértice V es un mínimo absoluto

Si a < 0, la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vérticee = eje de simetría

El vértice V es un máximo absoluto

El vértice de la parábola, V(xv , yv) , se calcula por las fórmulas: f( )

v

v v

bx =

2a

y = x

Ejercicios resueltos

1) Elabora la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:

a) f(x) = 3x2 – 3 Solución

2v v

2

b 0x 0, y f(0) 3.0 3 3 V(0, 3)

2a 2.3x 1 (1,0)

Puntos de corte con el eje X : 0 3x 3x 1 ( 1,0)

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b) 21f(x) x x 3

5 Solución

2

v v

. 52 2

b 1 5 5 1 5 5 25 5 7 5 7x , y f( ) 3 3 V( , ). Puntos de corte con el eje X :

12a 2 2 5 2 2 20 2 4 2 42.5

x 0 510 x x 3 0 x 5x 15 (incompatible) no corta al eje X. Tabla de valores :

y 3 35

2) Se considera la función f(x) = mx2− nx + 4. Calcula los valores de los parámetros m y n para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 10)

Solución 2

v

La gráfica pasa por (1, 10) f(1) 10 10 m.1 n.1 4 m n 6Resolviendo el sistema, m 6, n 12n

x 1 1 n 2m2m

3) La temperatura de una habitación según las horas transcurridas viene dada por la tabla

a) Halla la función cuadrática que se ajusta a los datos Solución

2

2 2

2

La gráfica pasa por (2, 15) f(2) 15 15 a.2 b.2 c 4a 2b c 15

f(x) ax bx c La gráfica pasa por (3, 16) f(3) 16 16 a.3 b.3 c 9a 3b c 16

La gráfica pasa por (5, 12) f(5) 12 12 a.5 b.5 c 25a 5b c 12

Resolviendo el

2sistema, a 1, b 6, z 7. Luego, f(x) x 6x 7

b) Calcula la temperatura cuando han transcurrido 4 h. Solución: 2x 4 f(4) 4 6.4 7 15ºC

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4) Dibuja en los mismos ejes las rectas y = 4x , y = 8 – 4x y la parábola y = 2x – x2 y encuentra los puntos de contacto.

Solución 2 2

v v

22 2

2

2y 2x x . Vértice : x 1 ; y 2.1 1 1 V(1, 1); rectas : y 4x , y 8 4x

2.( 1)

y 2x xPuntos de corte : 2x x 4x x 2x 0 (soluciones : x 0, x 2)

y 4x

x 0 y 4.0 0 P(0, 0) ; x 2 y 4.( 2) 8 Q( 2, 8)

y 2x x2x

y 8 4x

2 2x 8 4x x 6x 8 0 (soluciones : x 2, x 4)

x 2 y 8 4.2 0 R(2, 0) ; x 4 y 8 4.4 8 Q(4, 8)

y 4x4x 8 4x 8x 8 (solución : x 1). x 1 y 4.1 4 T(1, 4)

y 8 4x

5) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7 a) Representa la gráfica de la función f.

Solución

2v

2

2

12Vértice : t 6 ; f(6) 6 12.6 31 5 V(6, 5)

2.( 1)

f(4) 4 12.4 31 1 punto inicial : (4, 1)

f(7) 7 12.7 31 4 punto final : (7, 4)

b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? Solución Alcanza el beneficio máximo para t = 6 (a los 6 años) y asciende a 5 millones de euros

c) ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este? Solución Alcanza el beneficio mínimo para t = 4 (a los 4 años) y es de 1 millón de euros

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Funciones polinómicas de grado superior a dos Su gráfica ya no es ni una recta ni una parábola.

Ejercicio resuelto Tomando un cartón rectangular de dimensiones 2,1 dm x 1,6 dm se construye una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado x en cada esquina y luego doblando las cuatro pestañas:

a) Halla la función superficie y la función volumen de la caja Solución: La función superficie es S(x) = 16 . 21 – 4x2 = 336 – 4x2. La función volumen es V(x) = (21 – 2x)(16 – 2x)x = 4x3 – 74x2 + 336x b) Determina el dominio de definición de las funciones anteriores Solución: Para que se pueda recortar el cuadradito, el lado x debe ser menor que la mitad del lado menor del cartón. Luego, 0 < x < 8. Por tanto, el dominio es el intervalo (0, 8) c) Halla la superficie y el volumen de la caja para x = 2,5 cm Solución: S(2,5) = 336 – 4.2,52 = 311 cm2 V(2,5) = (21 – 2.2,5)(16 – 2.2,5)2,5 = 16. 11 . 2,5 = 440 cm3 d) Calcula las dimensiones del cuadradito que tenemos que recortar si queremos obtener una caja de 3 dm2 de superficie Solución: 3 dm2 = 300 cm2. Luego, S(x) = 300 → 336 – 4x2 = 300 → 4x2 = 36 → x = 3 Debemos recortar un cuadradito de 3 cm de lado. e) ¿Qué dimensiones de debe tener el cuadradito para obtener una caja con capacidad de 0,33 litros? Solución: 0,33 l = 0,33 dm3 = 330 cm3. Luego, V(x) = 330 → 4x3 – 74x2 + 336x = 330 4x3 – 74x2 + 336x – 330 = 0. Resolviendo obtenemos x = 5 Debemos recortar un cuadradito de 5 cm de lado.

ACTIVIDADES 1.- Halla el punto de corte con los ejes de coordenadas de la recta que pasa por P(–2, 3) y Q(–1, – 2)

2.- Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de forma que a medida que A se va vaciando, B se va llenando. El depósito A está lleno y tiene una capacidad de 35 litros y se vacía a razón de 2 litros por minuto. El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de 1,5 litros por minuto.

a) Escribe las fórmulas de las funciones tiempo-litros del depósito, represéntalas en los mismos ejes, calcula el punto donde se cortan y explica su significado. b) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos c) ¿Y a los 12 minutos? 3.- Elabora la gráfica de las funciones cuadráticas: a) y = 6x – x2 b) y = 2x2 c) y = –x2 + 2x – 1 4.- Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(−4, −5), B(−2, 3) y C(3, −12)

5.- Dada la función cuadrática 21 3f(x) x x

2 2

a) Halla su vértice y los puntos de corte con los ejes.

b) Representa en los mismos ejes de coordenadas la función anterior y la función lineal 3

y x4

y halla los puntos de corte de ambas funciones.

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6.- Sean f(x) = x2 − 2x +3 y g(x) = (1/2)x2 + 1. Dibuja sus gráficas usando los mismos ejes de coordenadas y halla su punto de corte.

7.- Considera las funciones f(x) = 6x – x2 y g(x) = x2 – 2x. Dibuja sus gráficas usando los mismos ejes de coordenadas y halla sus puntos de corte.

8.- Sea f: R → R la función definida por f(x) = –x2 + 2x + 3. Dibuja la gráfica de f y la recta 2x + y – 7 = 0 en los mismos ejes. Después calcula el punto de corte.

9.- Sea f: R → R la función definida por 29 x

f(x)4

. Dibuja la gráfica de f y la recta x + 2y = 5 en los

mismos ejes y calcula el punto de corte. 10.- Considera las siguientes curvas y = x2, y = 2 – x2, y = 4. Dibújalas en los mismos ejes y calcula los puntos de corte. 11.- Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula

B(x) = – 0,01x2 + 10x – 900, siendo x el número de artículos fabricados. a) Calcula el vértice de la gráfica e indica el número de artículos que deben fabricarse al mes para que el beneficio sea máximo y también dicho beneficio máximo. b) Calcula los puntos de corte de la gráfica con el eje X e indica el número de artículos para el cual el beneficio es nulo. 12.- Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es “x” euros, su beneficio diario, en euros, será: B(x) = −10x2 + 100x − 210, para x > 0. a) Haz la gráfica de la función b) Indica a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio y cuál es ese beneficio máximo 13.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “y” (en metros) a la que se encuentra en cada instante “x” (en segundos) viene dada por la expresión: y = –5x2 + 40x a) Averigua en qué momento alcanza la altura máxima y cuál es esa altura. b) ¿En qué momentos está en el suelo? 14.- Para cierto tipo de bengala se ha comprobado que el porcentaje de luminosidad (Y en porcentaje) que produce viene dado en función del tiempo (X en minutos), a través de la función f(x) = 100x – 25x2. a) ¿Qué porcentaje de luminosidad se produce al cabo de medio minuto? b) ¿Cuál fue el tanto por ciento de luminosidad máxima y en qué momento se produjo? c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se apaga la bengala? 15.- Dada la función f(x) = x2. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:

g(x) = x2 + 3 h(x) = x2 – 1 i(x) = (x – 5)2 j(x) = (x + 2)2 k(x) = –x2 l(x) = 3x2 m(x) = 21x

2

16.- Se tiene una cartulina rectangular de dimensiones 8 dm x 4 dm De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de hacer una caja sin tapa. a) Halla la función superficie y la función volumen de la caja b) Determina el dominio de definición de las funciones anteriores c) Calcula las dimensiones del cuadradito que tenemos que recortar si queremos obtener una caja de 31 dm2 de superficie e) ¿Qué dimensiones de debe tener el cuadradito para obtener una caja con capacidad de 12 litros?

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4.- FUNCIONES RACIONALES Y FUNCIONES CON RADICALES

Su fórmula es del tipo p(x)

f(x)q(x)

siendo p(x) y q(x) polinomios. Su dominio corresponde a todos los

números excepto los que anulan al denominador: D(f) = R – { x / q(x) = 0 } Ejemplos:

1) Si 3x 2

f(x)x 1

, entonces x – 1 = 0 ↔ x = 1. Luego, D(f) = R – {1}

2) Si 2

2x 1

f(x)5x 3x

, entonces 5x + 3x2 = 0 ↔ x = 0, x =

53

. Luego, 5

D(f) R 0,3

3) Si 2

1f(x)

x x 1

, entonces x2 + x + 1 = 0 no tiene solución. Luego, D(f) = R

Funciones de proporcionalidad inversa

Son aquellas del tipo k

yx

, siendo k ≠ 0. En estas funciones, D(f) = R – { 0 } y se cumple que x e y

son i.p, pues xy = cte = k. La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas (este tipo de hipérbolas se llaman equiláteras). Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas. Si k > 0, la función es decreciente y la gráfica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes.

Ejemplo:

Si k < 0, la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes.

Ejemplo:

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas

Ejercicios resueltos 1) Halla la fórmula de esta función de proporcionalidad inversa.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

Solución

kComo la gráfica es una hipérbola, la fórmula es del tipo y

xk 6

Como la gráfica pasa por ( 3,2) entonces 2 k 6. Luego, la fórmula es y3 x

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2) La distancia entre dos ciudades es 180 km. Halla la fórmula de la función que relaciona el tiempo y la velocidad media con que se recorre dicha distancia.

Solución 180

Si x tiempo e y velocidad dis tancia velocidad x tiempo 180 y.x yx

3) A partir de la gráfica de 2

f(x)x

vamos a dibujar la gráfica de 2

g(x) 5x 3

Forma mixta de una función racional

Sea p(x)

f(x)q(x)

una función racional. Hacemos la división p(x) q(x)

r(x) c(x)

Usando la regla de la división: p(x) = q(x) . c(x) + r(x), siendo el grado de r(x) < grado de q(x). Dividiendo los dos miembros de la igualdad entre q(x) se obtiene: p(x) q(x).c(x) r(x)q(x) q(x) q(x)

p(x) r(x)

f(x) c(x) (esta es la forma mixta de la fracción)q(x) q(x)

Ejemplo: Para la función racional 26x 5x 1

f(x)2x 7

: 26x 5x 1 2x 7

r 57 3x 8 c(x)

.

Por tanto, la forma mixta es 57

f(x) 3x 82x 7

Funciones con radicales

Son funciones cuya fórmula es del tipo nf(x) g(x)

* Si el índice es par el radicando debe ser mayor o igual que cero. Es decir, si nf(x) g(x) , con n par entonces D(f) = { x / g(x) ≥ 0}

Ejemplos: 1) Si f(x) 3 2x , entonces D(f) es el conjunto solución de la inecuación 3 – 2x ≥ 0 .

Como 3 – 2x ≥ 0 ↔ 3 ≥ 2x ↔ 3

x2 ,

3D(f) ( , ]

2

2) Si 2

x 4f(x)

x 5x 6

, entonces 2x 4 0 x 4 ; x 5x 6 0 x 2, x 3

2

2

4 2 3

x 4 0

x 5x 6 0 0

x 40

x 5x 6

. Luego, D(f) [ 4, 2) (3, )

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3) Si

2

2

x 4f(x) =

x 9 entonces 2 2x 4 0 x 2, x 2 ; x 9 0 x 3, x 3

2

2 2D(f) ( , 2] [2, ) 3

x 4 0 0

4) Si f(x) 2x 6 1 x , entonces D(f) es el conjunto de valores de x que cumplen 2x + 6 ≥ 0 y 1 – x ≥ 0 . La raíz del polinomio 2x 6 es x 3 y la del polinomio 1 x es x 1

3 1

2x 6 0 . Luego, D(f) [ 3, 1]

1 x 0

* Si el índice es impar, entonces su dominio es R, pues las raíces de índice impar se pueden calcular para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si 3f(x) x 2 , entonces D(f) = R.

ACTIVIDADES 1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las funciones:

a) 1

f(x)2x 5

b) f(x) = 2

4x 1

x 5x 6

c) f(x) =

2

3x

x 1

2.- Dibuja las hipérbolas: a) f(x) = 12/x b) f(x) = –3/x

3.- Calcula la fórmula de la función f -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

X

Y

4.- Dada la función 5

f(x)x

. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:

(Nota: obtén primero la forma mixta) 3x 5

g(x)x

2x 5h(x)

x

5

i(x)x 1

4x 7

j(x)x 3

x 3

k(x)x 2

5.- Para realizar una zanja 4 trabajadores tardan 15 días. Se pide: a) Fórmula de la función que relaciona x = nº de trabajadores con y = tiempo. b) Número de trabajadores necesarios para hacer la zanja en 12 días

6.- Dada 3

f(x)x

. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja la gráfica de la función f(x 2) 4

7.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las funciones: a) f(x) 3x 1

b) 2f(x) x 2x 3 c) f(x) =

2

3x 2

x 5x 6

d) f(x) = 29 x e) 2f(x) x 2x f)

1f(x)

x

g) 3 x

f(x) 15 x

h) 4

25

x

xxf i)

1

42

x

xxh j) f(x) = x 3 x 1 k) f(x) = x x +1

8.- Dada la función f(x) x . Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:

g(x) = x 2 h(x) = x 3 i(x) = 2 x

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5.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Funciones exponenciales de base a Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = ax , con a > 0, a ≠ 1

La gráfica de este tipo de funciones corta al eje Y en el punto (0, 1) y tiene como asíntota horizontal al eje X. En estas funciones, D(f) = R

Si a > 1, es creciente.

Ejemplo: X

Yy = 2x

1

Si a < 1, es decreciente.

Ejemplo: X

Yy = (⅓)x

1

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje X y además Rec(f) = (0, ∞) La función exponencial más importante en matemáticas es la de base el número “e”:

f(x) = ex , siendo e = 2,718281828…, que es un número irracional.

Funciones logarítmicas de base a Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = loga (x), con a > 0, a ≠ 1. En estas funciones D(f) = (0, ∞), pues sólo existe el logaritmo de un número positivo. La gráfica de la función logarítmica de base a es una curva que corta al eje X en el punto (1, 0) y tiene como asíntota vertical al eje Y.

Si a > 1, es creciente. Ejemplo:

X

Yy = log2 (x)

1

Si a < 1, es decreciente. Ejemplo:

X

Y

y = log1/3 (x)

1

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje Y y además Rec(f) = R

La función logarítmica más importante es la función logaritmo neperiano: f(x) = ln(x)

Las funciones f(x) = loga (x) y g(x) = log1/a (x) = –loga x son simétricas respecto del eje X

Por ejemplo,

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Las funciones f(x) = ax y g(x) = loga x son simétricas respecto de la recta y = x (bisectriz del I y III

cuadrantes). Por ejemplo:

Ejercicios resueltos 1) Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f(x) = x

6 x

2 2

Solución: x x

6 x 0 x 6 x 6f está definida sólo cuando D(f) ( , 6] 1

x 12 2 0 2 2

b) 3 (log x 1)

f(x) =2x + 3

Solución: x 1

x 1 0f está definida sólo cuando x 1 D(f) (1, )3

2x 3 0 x2

c) f(x) log(x 1)

Solución: log(x 1) 0 x 1 1 x 0

f está definida sólo cuando x 0 D(f) [0, )x 1 0 x 1 x 1

2) Calcula la fórmula de la función f cuya gráfica es

a) -1 1 2-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

Solución: x

1 x

La fórmula es del tipo y a . Como la gráfica pasa por (1,5)

entonces 5 a a 5. Luego, la fórmula es y 5

b)

Solución: a

1a 1

4

La fórmula es del tipo y log x. Como la gráfica pasa por (4, 1) entonces

1 11 log 4 a 4 4 a . Luego, la fórmula es y log x

a 4

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1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDADES 8, 9 y 10.- FUNCIONES-1ª PARTE PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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3) Determinar a y b sabiendo que la gráfica de la función g(x) = abx pasa por los puntos A(0, 5) y B(2/3, 5/4).

Solución

2 20 3 3

3 32 2 b debe ser positivo23 3

2 5 5g(0) 5 5 a.b a.1 a a 5 ; g( ) a.b 5. b

3 4 4

1 1 1 1 1Luego, b b b b b

4 4 64 8 8

4) Determinar a y b sabiendo que la gráfica de la función f(x) = loga (x + b) pasa por los puntos A(b, 3)

y B(3b, 4).

Solución:

3 Dividiendo la 2ªa ecuación entre la 1ª 3

4a

f(b) 3 3 log (2b) a 2ba 2. Luego, 2 2b b 4

f(3b) 4 4 log (4b) a 4b

5) El crecimiento de dos cultivos diferentes de bacterias queda determinado, respectivamente, por C(t) = 5 . 1,5t , C´(t) = 3,2 . 1,6t (t medido en horas y C(t) en miles). ¿Al cabo de cuánto tiempo coincidirá el número de individuos de cada tipo?

Solución:

tt t t

t1,5 3,2 log 0,64

5 . 1,5 3,2.1,6 0,9375 0,64 t.log 0,9375 log 0,64 t 75 log 0,93751,6

Dentro de 7 horas

6) Una tribu de indios observa que la manada de búfalos del territorio donde se han instalado se reduce según una función de decrecimiento exponencial dada por f(t) = kat, t en días. Al principio había 1944 búfalos y 12 días después había sólo 1296 búfalos en la manada. Si se mantiene el decrecimiento exponencial, calcular cuántos días tendrán que pasar para que deban abandonar la pradera, sabiendo que esa tribu cambia de territorio cuando quedan menos de 100 búfalos.

Solución

012

12

12 t12

1944 ka kSegún el enunciado, f(0) 1944 y f(12) 1296. Luego, 1296 1944a

1296 ka

1296 2 2a a 0,97. Por tanto, f(t) 1944.0,97

1944 3 3

t t

100log100 100 1944100 1944.0,97 0,97 log t .log 0,97 t 97 días

1944 1944 log 0,97

ACTIVIDADES 1.- Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) = log (3x – 1)

b) f(x) = log2 (x2 – 3x + 2) c) f(x) = log (x2 – 6x + 9) d) f(x) = ln(x)

2 3x e)

xlog

1 xf(x) 3

2.- Haz la gráfica de las funciones exponenciales y logarítmicas: a) f(x) = 3x b) f(x) = log

3 x

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3.- Calcula la fórmula de la función f cuya gráfica es

a) -1 1 2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

b)

4.- Determinar b sabiendo que la gráfica de la función f(x) = bx pasa por el punto (–2, 4). Calcular f(3)

5.- Determinar a sabiendo que la gráfica de la función f(x) = loga x pasa por el punto (3, 2).

6.- Algunos expertos estimaron, a comienzos de los años noventa, que el nº de enfermos de SIDA

crecía según la fórmula E(t) = 1000 . 1,2t , siendo t el nº de años transcurridos a partir de 1990. Según la fórmula, a) ¿Cuántos enfermos habría en el año 2020? b) Si siguiera el mismo ritmo, ¿en qué año se llegaría al medio millón de afectados?

7.- Una ameba se reproduce por bipartición cada minuto y actualmente hay 163 840 amebas con lo cual la fórmula que permite hallar el nº de amebas es f(t) = 163840.2t. ¿Cuánto tiempo hace que había 5 amebas? 8.- Dada la función f(x) = 2x. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las funciones:

g(x) = 2x – 1 h(x) = 2x+2 i(x) = –2x j(x) = 3.2x 9.- Dada la función f(x) = log

2 x. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las

funciones: g(x) = log2 x + 3 h(x) = log

2 (x – 5) i(x) = | log

2 x | j(x) =

2

1log x

2

6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un

intervalo diferente. Por ejemplo, y = x 3 , si x 4

x , si x 4

− <− ≥

es una función definida en dos intervalos:

En (–∞ , 4 ) la gráfica es la semirrecta abierta y = x – 3 de extremo A(4, 1) En [4, ∞ ) la gráfica es la gráfica es la semirrecta cerrada y = –x de extremo B(4, – 4)

X

Y

4y = x - 3

y = - x

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Función valor absoluto

Es la función cuya fórmula es

x,six 0y |x|x,six 0

Valor absoluto de una función

El valor absoluto de una función, |f| , se define así:

f x si f x 0| f | (x) f x

f x si f x 0

.

Por tanto, la función |f| siempre se podrá expresar como una función definida a trozos. La gráfica de la función |f| se puede obtener a partir de la gráfica de f “doblando” hacía arriba la parte de gráfica que haya por debajo del eje X.

Ejemplos

Función parte entera

Es la función cuya fórmula es y = Ent(x) = “número entero ≤ x”

Ejercicios resueltos

1) Calcula el dominio de definición de la función f(x) =2

x 5, si x 0

2x 1

x 2x, si x 0

x 2

Solución

2

x 5 1no se puede calcular cuando 2x 1 0, o sea si x . Pero como esta

2x 1 2expresión se define para x 0 siempre se podrá calcular para estos valores

x 2xno se puede calcular cuando x 2 0, o sea si x 2.

x 2Por tanto, D(f) R 2

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- Página 23 -

2) Dibuja la gráfica de la función 2

2, si x 1

xf(x)

x 4x 5 , si x 1

Solución

3) Dibuja la gráfica de la función y =

2

5, si x 2

x 2x 3, si 2 x 4

x 2, si x 4

Solución

4) Dibuja la gráfica de la función

x2 , si x 0

f(x) log x, si 0 x 10

x 11, si x 10

Solución

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- Página 24 -

5) El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de ptas

produce una ganancia de

2x 8x 8, si 0 x 5

50 25 5f(x)5

, si x 52x

millones de ptas,

a) Representa la función f(x) Solución

b) Halla la inversión que produce máxima ganancia Solución 5 millones de ptas c) Halla el valor de la inversión que produce ganancia nula. Solución 4 millones de ptas 6) Expresa como una función definida a trozos:

a) f(x) = |x – 3|

Solución: 3

x 3, si x 3Como x 3 0 x 3 x 3 0 f(x) | x 3 |

x 3, si x 3f(x) | x 3 | x 3 0 x 3

b) f(x) = |x2 – 5x + 4|.

Solución:

2 2

2 2 2 2

22

2

1 4x 1

Como x 5x 4 0 x 5x 4 0 0x 4

f(x) | x 5x 4 | x 5x 4 0 x 5x 4 0 x 5x 4

x 5x 4, si x 1 ó x 4f(x) | x 5x 4 |

x 5x 4, si 1 x 4

c) f(x) = |x + 1| + |x – 1|

Solución:

Como x 1 0 x 1 ; x 1 0 x 1

1 1

x 1 0

x 1 0

f(x) | x 1 | | x 1 | x 1 ( x 1) 2x 0 x 1 ( x 1) 2 0 x 1 x 1 2x

2x, si x 1

f(x) | x 1 | | x 1 | 2, si 1 x 1

2x, si x 1

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d)

2x 2 x, si x 1

f(x) 1, si 1 x 1

| x 2 |, si x 1

Solución:

2x 2 x, si x 11 2

1, si 1 x 1Como x 2 0 x 2 x 2 0 f(x)

x 2, si 1 x 2| x 2 | x 2 0 x 2

x 2, si x 2

ACTIVIDADES

1.- Calcula el dominio de las funciones: f(x) =2

2x 4, si x 0

x 1

x 3x 2 , si x 0

g(x) = 2

3x 1, si x 1

2x 1

x 4, si x 1

2.- Dibuja la gráfica de f(x): a) 2

2

1 , si x 0

f(x) x 1 , si 0 x 4

x 8x 17 , si x 4

b)

2x2x , si x 4f(x) 22x 8 , si x 4

c)

x

2

2 , si x 1

f(x) x 3 , si 1 x 2

x 3 , si x 2

d) 2

2x 3, si x 1

f(x) x 2, si 1 x 1

ln x, si x 1

e) f(x) =

2

1, si x 3

x 4, si 3 x 3

6 2x, si x 3

3.- El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

25x 40x 60 , si 0 x 6f(x) 5x

15 , si 6 x 102

donde x representa el gasto en publicidad, en miles de €.

a) Representa la función f. b) Calcula el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) Calcula el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo? 4.- El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la

función B(t) expresada a continuación

21t t 5 , si 0 t 6

8B(t)t 1

, si 6 t 122

, t es el tiempo transcurrido en

meses. Representa gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió? 5.- Expresa como una función definida a trozos y dibuja la gráfica:

a) f(x) = |2x + 4| b) f(x) = |–x2 + 2x + 15| c) f(x) = |x + 2| + |x – 3| d)

2x , si x 2

f(x) 5, si 2 x 1

| x 3 |, si x 1

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7.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Periodicidad de una función Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo cada cierto intervalo del eje X.

La longitud del intervalo se llama periodo de la función y se representa con la letra p.

Función periódica de periodo p

Ejemplos:

Función periódica de periodo p = 4 Función periódica de periodo p = 3

Hay funciones que no son periódicas. Por ejemplo, la función cuya gráfica es

Si f es una función periódica de periodo p, se cumple que f(x + p) = f(x)

Funciones trigonométricas directas

y = sen x

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-2

-1

1

2

X

Y

sen: R → [–1, 1] periodo = 2π

y = cos x

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-2

-1

1

2

X

Y

cos: R → [–1, 1] periodo = 2π

y = tg x

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

X

Y

tg): R – {π/2 + kπ} → R, periodo π

En todas las funciones trigonométricas el ángulo x debe expresarse en radianes

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Funciones trigonométricas inversas o recíprocas

arcsen: [–1, 1] → [–π/2, π/2]

arccos: [–1, 1] → [0, π]

arctg: R → (–π/2, π/2)

Ejercicios resueltos

1) f(x) = sen(5x) – 2 , hallar f –1 y D(f –1)

Solución:

int ercambiando x por y despejando y

1

y sen(5x) 2 x sen(5y) 2 x 2 sen(5y)

arcsen(x 2) arcsen(x 2)arcsen(x 2) 5y y f (x)

5 5

restamos 21 1Para que exista f debe ser 1 x 2 1 1 2 x 1 2 3 x 1 D(f ) [ 3, 1]

2) 1 x

f(x) arctg1 x

, hallar D(f), f –1 y D(f –1)

Solución: Para que exista f debe ser x 1 0 x 1 D(f) R 1

intercambiando x por y despejando y

1

1 x 1 y 1 yy arctg x arctg tgx

1 x 1 y 1 y

1 tgx 1 tgxtgx y tgx 1 y y y tgx 1 tgx y(1 tgx) 1 tgx y f (x)

1 tgx 1 tgx

1 1x k

x k 32Para que exista f debe ser D(f ) R k , k´23 2 4tgx 1 x k´4

3) 1

f(x)2senx 1

, hallar D(f), f –1 y D(f –1)

Solución: 1Para que exista f debe ser 2senx 1 0 senx x 2k D(f) R 2k

2 6 6

int ercambiando x por y despejando y

1

1 1y x 2xseny x 1

2senx 1 2seny 1

x 1 x 1 x 1seny y arcsen f (x) arcsen

2x 2x 2x

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1

x 1 x 1 x 1 2x1 0 1 0

x 1 2x 2x 2xParaqueexista f debe ser 1 1 y 2x 0 y x 0 y x 0 y x 0x 1 x 1 x 1 2x2x

1 1 0 02x 2x 2x

10 1

3x 1 30

1 3x 12x y x 0; 3x 1 0 x ; 2x 0 x 0; 1 x 0 x 1 01 x 3 2x

02x

1 x2x

1 1D(f ) ( , ] [1, )

3

0

4) f(x) = tg(3x + π/2) , hallar D(f) y f –1

Solución: k kPara que exista f debe ser 3x k 3x k x D(f) R

2 2 3 3

intercambiando x por y despejando y

1

y tg(3x ) x tg(3y ) arctgx 3y2 2 2

arctgx arctgx2 2y f (x)

3 3

ACTIVIDADES

1.- Resuelve los siguientes apartados: a) 1

f(x)cos x

, hallar D(f), f –1 y D(f –1)

b) 1

f(x)2cosx 1

, hallar D(f), f –1 y D(f –1) c) x 3

f(x) arccos4

, hallar D(f) y f –1

d) f(x) = cos(2x) , hallar f –1 y D(f –1) e) f(x) = 3 sen x , hallar f –1 y D(f –1) f) f(x) = 2cos x + 3, , hallar f –1 y D(f –1) g) f(x) = 2tg (x/3) , hallar D(f), f –1 y D(f –1) h) f(x) = sen(5x) – 2 , hallar f –1 y D(f –1) i) f(x) = cos(x – 4) , hallar f –1 y D(f –1)

j) f(x) = arcsen(2x – 1) , hallar D(f) y f –1 k) 6x 5

f(x) arcsenx

, hallar D(f) y f –1

l) f(x) = tg(2x – π) , hallar D(f) y f –1 2.- Dada la función f(x) = sen x. Dibuja su gráfica y, a partir de ella, dibuja las gráficas de las siguientes funciones:

g(x) = sen x + π h(x) = sen(x – π/2) i(x) = –sen x j(x) = 2 sen x k(x) = 1

sen x2