1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDADES 8, 9 y 10...

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDADES 8, 9 y 10.- FUNCIONES-2ª PARTE PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- LÍMITE PUNTUAL DE UNA FUNCIÓN

Límites por la izquierda y por la derecha de un punto

Para dar las definiciones vamos a tomar como ejemplo la función 2x 1 , si x 3

y f(x) 1, si x 3

x 3

El límite de la función f(x) cuando x tiende a 3 por la izquierda, que se representa por

x 3lim f(x)

,

es el valor, si es que existe, al que se aproximan o tienden los valores de “y” cuando le damos valores a x menores que 3, cada vez más próximos a 3. Podemos calcular el límite mediante una tabla de valores:

Observamos que los valores de y se aproximan a 5 cada vez más, luego x 3lim f(x) 5

.

En general, el límite de una función f(x) cuando x tiende al punto “a” por la izquierda, que se representa por

x alim f(x)

, es el valor, si es que existe, al que se aproximan o tienden los valores de

“y” cuando le damos valores a x menores que “a”, cada vez más próximos a “a”. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- El límite de la función f(x) cuando x tiende a 3 por la derecha, que se representa por

x 3lim f(x)

,

es el valor, si es que existe, al que se aproximan o tienden los valores de “y” cuando le damos valores a x mayores que 3, cada vez más próximos a 3. Podemos averiguar el límite mediante una tabla de valores:

Observamos que los valores de y se hacen cada vez más grandes e infinitamente grandes

En estos casos, se dice que el límite es +∞, luego x 3lim f(x)

.

En general, el límite de una función f(x) cuando x tiende al punto “a” por la derecha, que se representa por

x alim f(x)


“y” cuando le damos valores a x mayores que “a”, cada vez más próximos a “a”. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Si los valores de “y” se van haciendo cada vez más grandes e infinitamente grandes (por ejemplo, 100, 1000, 10 000, etc.) se dice que el límite es +∞

Si los valores de “y” van siendo negativos y se van haciendo cada vez más grandes e infinitamente grandes, en valor absoluto (por ejemplo, –100, –1000, –10 000, etc), se dice que el límite es –∞

Los límites por la izquierda y por la derecha se llaman límites laterales

Interpretación gráfica de los límites laterales

Gráficamente significa que al acercarnos cada vez más al valor x = 3:

- La gráfica que hay a la izquierda de 3 tiende al punto de valor y = 5 - La gráfica que hay a la derecha de 3 se dirige hacia arriba

x 3– 2,8 2,9 2,99 … como cuando x < 3, y = 2x – 1 4,6 4,8 4,98 …

x 3+ 3,01 3,001 3,0001 …

como cuando x > 3, y = 1

x 3 100 1000 10000 …


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Límite de una función en un punto

Decimos que una función f tiene límite en un punto “a” cuando los límites laterales son iguales, es decir, cuando

x a x alim f(x) lim f(x)

. El límite de la función f cuando x tiende al punto “a”, x alim f(x)

, es

el valor común de los límites laterales. En la función del ejemplo, x 3lim f(x)

pues los límites laterales

no coinciden:x 3lim f(x) 5

x 3lim f(x)

Observaciones: - Si sólo se puede calcular uno de los límites laterales porque la función no esté definida a la izquierda o a la derecha del punto “a”, diremos que la función tiene límite.

- Para poder calcular los límites laterales en el punto x = a no es necesario que exista f(a). Por ejemplo, en la función f representada

x 5x 5Como sólo existe lim f(x) 2 lim f(x) 2

x 4x 4Como sólo existe lim f(x) 3 lim f(x) 3

x 4No existe f( 4) pero si existe lim f(x) 0

Propiedades fundamentales de los límites puntuales.

Si dos funciones f(x) y g(x) tienen límite cuando x tiende a “a” entonces:

1)

x a x a x alim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) 2)

x a x a x alim f(x).g(x) lim f(x) . lim g(x) 3)

x a

x ax a

lim f(x)f(x)

limg(x) lim g(x)

Reglas para el cálculo de límites

Si x alim f(x) L

y x alim g(x)

x alim [f(x) g(x)] L

. Este resultado se expresa así: L

También se cumplen las siguientes reglas:

L Indeterminación

. , si L 0

L., si L 0

0. Indeterminación

L0

0

0 0

L0

00

Indeterminación Indeterminación

, si L 1Si L 0, L

0, si L 1

0 0

0 Indeterminación 00 Indeterminación 1 Indeterminación


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Cálculo de límites puntuales usando la fórmula

Basándose en las propiedades de los límites puntuales, si la función f viene dada por una fórmula, para calcular

x alim f(x)

, se sustituye “x” por “a” en la expresión de f(x).

Por ejemplo, si f(x) = 3x – 1 entonces x 2 x 2lim f(x) lim (3x 1) 3.( 2) 1 7

Veamos algunos casos particulares: Límite de una función constante: El límite es el mismo número. Por ejemplo,

x 3lim 7 7

Límite de una función definida a trozos: Si la función es definida a trozos y “a” es el punto donde cambia de expresión la función, tenemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden. Recordemos que sólo existirá el límite cuando coincidan los límites laterales.

Ejemplos:

2

11 x , si x 2f(x)

log (x), si x 2

, entonces x 2x 2

2 2x 2x 2

lim f(x) lim 11 x 11 2 3

lim f(x) lim log (x) log (2) 1

x 2lim f(x)

x

3

e , si x 0f(x)

x x 1, si x 0

, entonces

3 3

x 0x 0x 0

x 0x 0

lim f(x) lim (x x 1) 0 0 1 1

lim f(x) lim e e 1

x 0lim f(x) 1

Límites del tipo L0

: Si al calcular x alim f(x)

obtenemos L0

, siendo L 0, usamos que L0 .

Debemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden. Sólo existirá el límite cuando coincidan los límites laterales.

Ejemplos:

a) 3 3

x 3

(x 1) ( 3 1) 8lim

x 3 3 3 0

. Para averiguar si los límites laterales valen +∞ ó –∞ debemos

ver que signo tiene la fracción a la izquierda y a la derecha de –3, respectivamente. 3 3

probamos, por ejemplo, con x 3,1

x 33 3

probamos, por ejemplo, con x 2,9

x 3

( 3,1 1) (x 1)x 3 lim

3,1 3 x 3

( 2,9 1) (x 1)x 3 lim

2,9 3 x 3

3

x 3

(x 1)lim

x 3

b) 2 2x 1

x 5 1 5 4lim

0x 2x 1 1 2.1 1

. Para averiguar si los límites laterales valen +∞ ó –∞

debemos ver que signo tiene la fracción a la izquierda y a la derecha de 1, respectivamente.

probamos, por ejemplo, con x 0,92 2

x 1

probamos, por ejemplo, con x 1,12 2

x 1

0,9 5 x 5x 1 lim

0,9 2.0,9 1 x 2x 1

1,1 5 x 5x 1 lim

1,1 2.1,1 1 x 2x 1

2x 1

x 5lim

x 2x 1


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Indeterminaciones del tipo 00

en funciones racionales: Si al calcular x a

p(x)lim

q(x), obtuviéramos la

indeterminación 00

, para resolverla y poder calcular el límite debemos dividir los dos polinomios

por (x – a) ó factorizarlos y simplificarlos por (x – a). Ejemplos

4 3 4 3

3 2 3 2x 2

3 3

2 2x 2

x 2x x 2 2 2.2 2 2 0lim Indeterminación

0x 4x 11x 2 2 4.2 11.2 21 2 0 1 2 1 4 11 2

x 1 2 1 92 2 0 0 2 2 2 12 2 lim

17x 6x 1 2 6.2 11 0 0 1 0 1 6 1 0

2 2

2 2x 1

x 1

x x 2 ( 1) ( 1) 2 0lim Indeterminación

0x 2x 1 ( 1) 2( 1) 11 1 2 1 2 1

x 2 31 1 2 1 1 1 lim

x 1 01 2 0 1 1 0

Por la izda de 1 probamos por ejemplo con x 1,1

x 1

Por la dcha de 1 probamos por ejemplo con x 0,9

x 1

x 2 x 2lim

x 1 x 1x 2 x 2

limx 1 x 1

x 1

x 2lim

x 1

2

2x 1

x x 2lim

x 2x 1

2

2x 2 x 2 x 2

x 2 x 2x 0 0 x 2 x(x 2) 1 1 7lim lim lim x 2

x 2 0 0 (x 2)(x 2) x 2 x 2 2 2 4x 4

Indeterminaciones del tipo 00

en expresiones con radicales: Algunas veces aparece la

indeterminación 00

en expresiones con radicales. Entonces, para calcular el límite se utiliza la

expresión conjugada. Ejemplo

x 2 x 2

. ( x 3 1)

. ( x 3 1)x 2 0 x 2 (x 2)( x 3 1)

lim . x 3 1 lim ( x 3 1) 20 x 2x 3 1 x 3 1

ACTIVIDADES

1.- Calcula: a) 2

x 1lim(3x 6x 1)

b) 3 2

x 5lim( x 2 x)

c) 2

x 5

x 1, si x 5lim f(x), siendo f(x)

6x 7, si x 5

d)

2

x 1

x 2x 5, si x 1lim f(x), siendo f(x)

3x 5, si x 1

e) f(x) =

21 x , si x 3

5 , si x 3

2x 2 , si x 3

, x 3lim (fx ),

x 0lim (fx )

x 4lim (fx )


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2.- Calcula: a)2

2x 0

x 6x 9lim

x

b)

2

2x 5

x 1lim

x 5x

c)

2x 1

6lim

x 2x 1

d)2

2x 3

x 6 1lim

x 3x 3x

e)

2

x 2

2

x 1, si x 2

x 2lim f(x), siendo f(x)1

, si x 2x 4x 4

3.- Calcula: a)3 2

3 23

5 3 9lim

7 15 9x

x x x

x x x

b)

2

25

25lim

5x

x

x x

c)

3 2

4 31

6 5lim

1x

x x x

x x x

d)4 3 2

4 3 22

4 5 4 4lim

4 4x

x x x x

x x x

e)

4 2

4 31

6 8 3lim

2 2 1x

x x x

x x x

4.- Calcula: a) x 0

xlim

3 x 3 b)

x

xlimx 110

c)0

2 2limx

x

x

d)

2

2x 2

3 5 xlim

x 4

2.- RELACIÓN ENTRE CONTINUIDAD Y LÍMITE PUNTUAL

Concepto de continuidad en un punto Para que una función sea continua, su gráfica no puede tener ninguna rotura. Por ejemplo, la siguiente función no es continua en x = a porque las ramas no “conectan”. Fíjate que los límites laterales en x = a son distintos, pues

x a x alim f(x) b , lim f(x) c

. O sea, no existe x alim f(x)

Tampoco es continua, en x = a, la siguiente función, porque aunque las ramas conectan (existe

x alim f(x)= b), dicho límite no coincide con f(a), pues f(a) = c. Por eso su gráfica tiene un “agujero”

Esto quiere decir que para que una función f sea continua en x = a debe cumplir que

x alim f(x)= f(a).

O lo que es lo mismo, se tienen que dar las siguientes condiciones: C1: Debe existir f(a) C2:

x a

lim f(x) =x a

lim f(x)= f(a)


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Se puede demostrar, usando propiedades de los límites, que todas las funciones que no sean definidas a trozos son continuas en su dominio de definición. Para las funciones definidas a trozos hay que estudiar aparte la continuidad en los puntos donde cambia la expresión de la función.

Tipos de discontinuidades

Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua. Hay varios tipos de discontinuidades.

1) Discontinuidad asintótica o de salto infinito: Se da cuando

x a

lim f(x) y/o

x a

lim f(x) .

Ejemplos:

x a

lim f(x)

x a

lim f(x)

x a

lim f(x)

x a

lim f(x) L

x a

lim f(x)

x alim f(x)

( f(a) ) ( f(a) ) (f(a) = b ) Cuando una función f tiene una discontinuidad asintótica en x = a, la gráfica tiene una asíntota vertical cuya ecuación es A.V. : x a

Por ejemplo, si f es la función dada por la gráfica

la recta de ecuación x = 3 es una asíntota vertical, pues

x 3

lim f(x)


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2) Discontinuidad de salto finito: Se da cuando

x a

lim f(x) b ,

x a

lim f(x) c , pero b ≠ c

Ejemplos:

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) c

x a

lim f(x) c

x a

lim f(x) c

(f(a) = c ) ( f(a) ) (f(a) = d ) 3) Discontinuidad evitable: Se da cuando

x alim f(x) b , pero b ≠ f(a)

Ejemplos:

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

(f(a) = c) ( f(a) ) Ejercicios resueltos

1) Estudia la continuidad de la función 2

1, si x 0

x 4f(x) x 3 , si 0 x 2

x 1 , si x 2

en su dominio y clasifica sus

discontinuidades, en caso de que exista alguna. Solución

Observamos que D(f) = R y para x ≠ 0, x ≠ 2 es una función continua porque cada expresión corresponde a una función continua

Para x = 0: x 0x 0

x 0x 0

1 1lim f(x) lim

x 4 4lim f(x) lim (x 3) 3

x 0

lim f(x). Luego,f tiene una discontinuidad de salto finito en x 0

Para x = 2: x 2x 2 2

2

x 2x 2

lim f(x) lim (x 3) 5

, f(2) 2 1 5 . Luego,f es continua en x 2lim f(x) lim (x 1) 5


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2) Calcula a y b para que la función

2

2

2x a , si x 1

f(x) 3x b , si 1 x 1

logx a , si x 1

sea continua

Solución 2 2

x 1 x 1 x 1 x 12

x 1 x 1x 1 x 1

lim f(x) lim (2x a) 2 a lim f(x) lim ( 3x b) b 3

lim f(x) lim ( 3x b) b 3 lim f(x) lim (logx a) log 1 a a

f( 1) 2 a f(1) log 1 a a

para que sea continua en x 1 debPor tanto,

e ser 2 a b 3

para que sea continua en x 1 debe ser b 3 a

Resolviendo el sistema obtenemos : a 1 , b 4

3) Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de

enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

2t , si 0 t 5P(t) 100t 250

, si t 5t 5

a) Estudia la continuidad de la función P(t) Solución

Observamos que D(f) = R y para t ≠ 5 es una función continua porque cada expresión corresponde a una función continua.

2 2

t 5t 5 2

t 5t 5

lim P(t) lim t 5 25

, P(5) 5 25. Luego, la función P(t) es continua en R100t 250 100.5 250lim P(t) lim 25

t 5 5 5

b) ¿Qué porcentaje de células habrá afectadas cuando pase un año.

Solución: 1 año = 12 meses → P(12) = 100.12 250

55,88%12 5

ACTIVIDADES 1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones en su dominio y clasifica sus discontinuidades, en caso de que exista alguna:

a) f(x) =

2

2x 3, si x 5

32, si x 5

x 9

b) f(x) =

2

5x 6, si x 2

20, si x 2

x 1

c)

x 1e , si x 0f(x) 1

, si x 0x

d) 2x x 6 , si x 2

f(x)x 2 , si x 2

2.- Halla el valor de los parámetros para que sean continuas las siguientes funciones:

a) 2

2

x 2ax 3 , si x 1f(x)

ax 6x 5 , si x 1

b) f(x) =

2x mx 3, si x 2

5x 7 , si x 2 c)

12

1

12

xsi

xsib

xsiaxx

xfx

d) 2

2

3x 2, si x 0

f(x) x 2acos(x), si 0 x

ax b, si x

3.- Los ciudadanos de cierto estado pagan en concepto de impuestos una cantidad f(x), en euros,

donde x es el ingreso anual en miles de euros, siendo

22,16x , si 0 x 10

f(x)21,6x, si x 10

a) Estudia su continuidad b) ¿Qué % de sus ingresos paga un ciudadano que gana 9000 € anuales?


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3.- LÍMITE EN EL INFINITO DE UNA FUNCIÓN

Límite en ∞

Sea, por ejemplo, la función 6x 1

y f(x)3x

. El límite de la función f(x) cuando x tiende a ∞, que se

representa por xlim f(x)

, es el valor, si es que existe, al que se aproximan o tienden los valores de “y”

cuando le damos valores a x muy grandes y cada vez más grandes. Podemos averiguar el límite mediante una tabla de valores:

Observamos que los valores de y se aproximan a 2 cada vez más, luego xlim f(x) 2

.

Interpretación sobre la gráfica:

X

Y

2

Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la derecha, se aproxima cada vez más a la recta horizontal de ecuación y = 2.

Límite en – ∞

Sea, por ejemplo, la función 2y f(x) 3x . El límite de la función f(x) cuando x tiende a –∞, que se representa por

xlim f(x)


“y” cuando le damos valores negativos a x muy grandes, en valor absoluto, y cada vez más grandes. Podemos averiguar el límite mediante una tabla de valores:

Observamos que los valores de y se hacen infinitamente grandes, luego xlim f(x)

.

Interpretación sobre la gráfica:

X

Y

Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la izquierda, tiende hacia arriba

Nota: Las propiedades de los límites puntuales y las reglas para el cálculo de límites son también válidas cuando x → ∞ y cuando x → – ∞

x ∞ 100 200 300 … 6x 1

y3x

2,0033 2,0017 2,0011 …

x –∞ –100 –200 –300 … 2y 3x 30 000 120 000 270 000 …


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Asíntotas horizontales Decimos que una función f tiene una asíntota horizontal si alguno de los límites en ∞ ó –∞, o los dos, son un número, L. La ecuación de la asíntota horizontal es A.H. : y L

Por ejemplo, la función cuya gráfica es

X

Y

2 tiene una asíntota

horizontal en ∞, que es la recta de ecuación A.H.: y = 2, porque

xlim f(x) 2

Ejercicio para completar en clase

Considera la función f cuya gráfica es

X

Y

3-6

-2

5

Determina: a) xlim f(x)= b)

xlim f(x) = c) La ecuación de su asíntota horizontal en – ∞:

d) La ecuación de su asíntota vertical: e) El tipo de discontinuidad que tiene la función en x = 3:

Asíntotas de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Las funciones exponenciales de base “a” sólo tienen una asíntota horizontal, que es el eje X (de

ecuación y = 0) ya que x

xlim a 0, cuando a 1

y x

xlim a 0, cuando 0 a 1

.

No tiene asíntotas verticales porque son funciones continuas ni, por supuesto, oblicuas:

Ejemplos: X

Yy = 2x

1

X

Yy = (⅓)

x

1

Las funciones logarítmicas de base “a” sólo tienen una asíntota vertical, que es el eje Y (de ecuación x = 0) ya que

ax 0lim log x

. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas:

Ejemplos: X

Y y = log2 (x)

1 X

Y

y = log1/3 (x)

1

La única función trigonométrica, de las estudiadas en el tema anterior, que tiene asíntotas es la función tangente: tiene asíntotas verticales.

y = tg x

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

X

Y


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Límite en el infinito de una función polinómica

Observemos primero que si n > 0, n

xlim x

y nx

a alim 0

x

.

Entonces, si tenemos que calcular el límite en ∞ de un polinomio, por ejemplo, p(x) = ax2 + bx + c :

� �

22 2 2 2 2 2

2 2 x x

tiende tiendea 0 en a 0 en

ax bx c b cComo ax bx c .x (a ).x ax lim (ax bx c) lim (ax )

xx x

Este resultado es válido para cualquier polinomio.

Es decir, si p(x) es un polinomio, n n

x xlim p(x) lim ax , siendo ax el término de mayor grado de p(x)

Para calcular xlim p(x)

también se puede usar la regla anterior

Ejemplos: 3 3

x xlim ( 7x 3x 2) lim ( 7x ) 7. 4 2 4

x xlim (x 5x x 4) lim x

5 2 5 5

x xlim ( 2x 7x 1) lim ( 2x ) ( 2).( ) 2.( )

Por tanto, las funciones polinómicas no tiene asíntotas horizontales porque su límite es ∞ ó –∞.

Límite en el infinito de una función racional

Sea p(x)

f(x)q(x) una función racional y sea axm el término de mayor grado de p(x) y bxn el de mayor

grado de q(x). Entonces,

mm

x xn nx x

x x

lim p(x) lim axp(x) axlim lim

q(x) lim q(x) lim bx bx

Para calcular x

p(x)lim

q(x) se puede usar la regla anterior.

Veamos algunos ejemplos:

1) m > n→5 3 5

4 4x x x

3x 2x 1 3x 3 3lim lim lim x .

4 44x 7x 9 4x

;

7 75

2 2x x x

2x 2x 2x 2 2lim lim lim x .

3 33x 1 3x

En este caso el límite es ∞ ó –∞ y no hay asíntota horizontal.

2) m = n → 3 2 3

3 3x x x

6x x 3 6x 6lim lim lim 3

22x 4x 7 2x

9 4 9

9 9x x x

5x x 1 5x 5 5lim lim lim

7 77x x 3 7x

En este caso el límite es ab

y la asíntota horizontal es a

A.H. : yb

3) m < n →3 2 3

8 8 5x x x

x x x 1 1lim lim lim 0

6x 2x 1 6x 6x

x x

5 5 5lim lim 0

4x 3 4x

En este caso el límite es 0 y la asíntota horizontal es A.H. : y 0 Resumiendo

x

, si m n

p(x) alim , si m n

q(x) b0, si m n

, siendo axm el término de mayor grado de p(x) y bxn el de mayor grado de q(x).

También se puede hallar el límite de una función racional dividiendo todos los términos de la fracción entre la mayor potencia de x que aparezca en la misma.


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Ejercicios resueltos:

1)

33

522

33

15436

33

154

1

12 26266266

x

xxlim

x

xxxlim

x

xx

x

xlim

xxx

2) La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, x, según la

función

150 5x, si 10 x 50

100C(x)200 10x

, si x 5025 3x

donde C y x están expresadas en miles de euros. Calcula la

asíntota horizontal e interprétala en el contexto del problema. Solución

Interpretación: cuando la liquidez tiende a ser infinitamente grande la cantidad de dicada a créditos tiende a 10/3 ≈ 3333 €

Asíntotas oblicuas Una recta y = mx + n es una asíntota oblicua de una función f(x) en ∞ si

xlim f(x) (mx n) 0

.

Gráficamente significa que cuando x → ∞ la gráfica de f(x) se aproxima cada vez más a la recta y = mx + n. Análogamente se define la asíntota oblicua en –∞. Por ejemplo, la recta que se indica en el siguiente dibujo es una asíntota de la gráfica de la función en ∞ y en –∞.

Esto significa que las funciones polinómicas de grado mayor que 1 no tiene asíntotas oblicuas. Asíntotas oblicuas de una función racional: Cuando en una función racional el grado del numerador es 1 más que el grado del denominador, la función racional tiene como asíntota oblicua en ∞ la recta de ecuación A.O. : y = c(x), siendo c(x) el cociente de la división p(x) : q(x)

Demostración: Sea p(x)

f(x)q(x)

p(x) r(x)f(x) c(x) (forma mixta de la fracción)

q(x) q(x)

Entonces, x x

r(x)lim f(x) c(x) lim 0, pues el grado de r(x) grado de q(x)

q(x)

Análogamente se hace en –∞.

Ejemplo: Calcula la asíntota oblicua de la función racional 26x 5x 1

f(x)2x 7

26x 5x 1 2x 7

r 57 3x 8 c(x)

. Por tanto, la asíntota oblicua es A.O. : y = 3x + 8


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- Página 13 -

Posición de una gráfica respecto de la asíntota horizontal u oblicua en el infinito La gráfica está por encima de la asíntota en ∞ cuando y

gráfica > y

asíntota. O sea, y

gráfica – y

asíntota > 0

La gráfica estará por debajo de la asíntota en ∞ cuando y

gráfica < y

asíntota. O sea, y

gráfica – y

asíntota < 0

El mismo razonamiento se puede hacer en –∞.

Ejemplo. Determina la posición de la gráfica de la función 3

2x

f(x)x 9

respecto de su asíntota

Solución: Como el grado del numerador es 1 más que el del denominador, la función racional tiene una asíntota oblicua.

La calculamos: 3 2x x 9

r 9x x c(x)

. Por tanto, la asíntota oblicua es A.O. : y = x ,

29x

f(x) xx 9

ygráfica – yasíntota = 3

2 2

Es 0, cuando xx 9xx

Es 0, cuando xx 9 x 9

Luego, la gráfica está encima de la asíntota en +∞ y está por debajo de la asíntota en –∞

Ejercicios resueltos

1) Calcula los límites en ∞ y las asíntotas horizontales u oblicuas de

2x 2, si 0 x 2

2x 3f(x)8x 10

, si x 2x 1

Solución: x x

8x 10lim f(x) lim 8

x 1

. Luego, la asíntota horizontal es A.H.: y = 8.

2) Halla las asíntotas de la función 6x 5

f(x)3x 3

, la posición de la gráfica respecto de ellas y, usando

que la función no tiene extremos, dibuja de forma aproximada su gráfica

Solución: Observa que, D(f) = R – {1}. Como x 1

x 1

1lim f(x)

01

lim f(x)0

la asíntota vertical es A.V.: x = 1

x

6lim f(x) 2

3 la asíntota horizontal es A.H.: y =2.

ygráfica – yasíntota = Es 0, cuando x6x 5 6x 5 2(3x 3) 1

2Es 0, cuando x3x 3 3x 3 3x 3

Luego, la gráfica está encima de la asíntota en +∞ y está por debajo de la asíntota en –∞


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- Página 14 -

Cálculo de límites en ∞ de funciones con radicales

1) 5 5 5

x x xlim 3x 2x 1 lim (3x 2x 1) lim (3x )

En general, n n

x xlim p(x) lim (ax ), siendo ax el término de mayor grado de p(x)

2)5 5 5 5

2 2 42 2x x x x x

x 3 x x x xlim lim lim lim lim

10010x 9 10x 100x(10x )

3)2 2 2

2 22 2x x x x x

2x 1 (2x 1) 4x 4x 1 4x 4 2lim lim lim lim lim

9 39x x 9x9x x 9x x

4) 3 3 2

3 3 2

3 3 2 3 3 2. x x x 2x

3 3 2

3 3 2x x. x x x 2x

3 3 2 2

3 3 2 3 3 2x x

x x x 2x . x x x 2xlim x x x 2x lim

x x x 2x

x x (x 2x ) 2x xlim lim

x x x 2x x x x 2x

El grado del numerador es 2. El mayor grado de los polinomios del denominador es 3, pero al estar dentro de una raíz cuadrada el grado que se considera es 3/2. Vamos a dividir todo entre x2 que es la potencia con mayor grado en la fracción.

2

2 2

3 3 2 3 3 2 3 3 2x x x

2 2 4 42 2 2 2

x

3 2

2x x 1 12 2

x x x xlim lim limx x x 2x x x x 2x x x x 2x

x x x x(x ) (x )

12 2xlim

1 1 1 2 0x xx x

ACTIVIDADES

1.- Sea la función f(x) cuya gráfica es

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

X

Y

. Halla: a) xlim f(x) b)

xlim f(x)

c) Las ecuaciones de sus asíntotas d) El tipo de discontinuidad que tiene la función en x = –3

2.- Calcula: a) 2

xlim (4 2x 3x )

b) 3 2

xlim ( 4x 5x x 3)

c)

2

2x

5x 4x 9 lím

3x 5

d) 23 2x

4x 1lím

x 2x 3

e)

4

32132

3

xx

xxlim

x f)

432

13lim

3

4

xx

xx

x g)

2 3

x

x 3 xlim

x 1 x 2

3.- Determina todas las asíntotas de las siguientes funciones y la posición de la gráfica respecto de

ellas: a)6x 7

f(x)4x 8

b)2x 5x

f(x)x 3

c)2

2x 1

f(x)x 2x

d)22x 1

f(x)x

e)3x 1

f(x)x 1

f) 3 2

2x 5, si x 2

x 4f(x)

x 3x , si x 2


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- Página 15 -

4.- Sea f(t) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del

tiempo t, medido en meses, transcurrido desde su inauguración:

25t 20t , si 0 t 6

2f(t)90t 240

, si t 6t 4

¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?

5.- Calcula: a) 10

92

x

x lím

x b)

2

2

52

4lim

x

xx

x

c)1

432

4

2

x

xxlimx

6.- Calcula: a) )7(lim 2

xxxx

b) xxxlimx

)1( c) 2

xlim (x x 1)

4.- CONCEPTO DE DERIVADA. CÁLCULO DE DERIVADAS SIMPLES

Concepto de derivada y de función derivada Recordemos que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta.

Cuando la gráfica de una función no es una recta y queremos medir la “pendiente de la gráfica” se utiliza la derivada. Se llama derivada en el punto x = a de una función f , y se representa por f´(a) al valor del siguiente

límite x a

f(x) f(a)f´(a) lim

x a

.

Interpretación geométrica: f´(a) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto A(a, f(a)). La recta tangente es la recta que pasa por A y la que “más se aproxima” a la gráfica de la función en las proximidades del punto A.

X

Y

rtg

f(a) A

a

f´(a) = pendiente de la recta tangente

Usando la definición podemos deducir:

Si f tiene un extremo relativo en x a, entonces f´ a 0, pues la recta tangente es horizontal

Si f´ a 0, entonces f es creciente en x a, pues la recta tangente tiene pendiente positiva

Si f´ a 0,

entonces f es decreciente en x a, pues la recta tangente tiene pendiente negativa

Se llama función derivada de una función f a la función h 0

f(x h) f(x)f´(x) lim

h

Si no existe el límite, se dice que la función no es derivable


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- Página 16 -

Ejercicios resueltos 1) La recta tangente a la gráfica de una función f en un punto P(4, 10) de su gráfica es rtg: y = –5x + 30. Indica cuánto vale f´(4) y si la función es creciente o decreciente en x = 4 Solución: f´(4) = pendiente de la recta tangente = – 5. La función es decreciente en x = 4 por ser la derivada negativa 2) Una función f tiene un mínimo en el punto M(3, 2) , ¿Cuánto vale f´(3)? Solución: Como en los máximos y mínimos relativos la recta tangente es horizontal, entonces f´(3) = 0 porque es la pendiente de una recta horizontal. 3) La recta tangente de una función f en el punto de su gráfica P(4 , 3) pasa también por el punto Q(5 , 9). ¿Cuánto vale f´(4)?

Solución: f´(4) = pendiente de la recta tangente t. Pero como t

d PQ (1, 6) ��

, 6

f´(4) 61

4) Usando la definición de derivada en un punto halla f´(–7), siendo f(x) = x2 – 2x + 3

Solución:

da 66

2 2 2

x 7 x 7 x 7

2

x 7

f(x) f( 7) x 2x 3 [( 7) 2( 7) 3] x 2x 63f´( 7) lim lim lim

x ( 7) x 7 x 7

( 7) 2( 7) 63 0Dividiendo, entre (x 7) obtenemos lim (x 9) 7 9 16

7 7 0

��

5) Usando la definición de derivada en un punto halla f´(–3), siendo

2f(x)

x

Solución: x 3 x 3 x 3 x 3

x 3 x 3

2 2 2 2 6 2xf(x) f( 3) x 3 x 3 3xf´( 3) lim lim lim lim

x ( 3) x 3 x 3 x 32(3 x) 2 2 2

lim lim3x(x 3) 3x 3( 3) 9

6) Usando la definición de función derivada halla f´(x), siendo f(x) = 7 – 2x Solución:

h 0 h 0 h 0 h 0 h 0

f(x h) f(x) [7 2(x h)] (7 2x) 7 2x 2h 7 2x 2hf´(x) lim lim lim lim lim( 2) 2

h h h h

7) Usando la definición de función derivada halla f´(x), siendo f(x) = x – 2x2

Solución:

2 2 2 2 2

h 0 h 0 h 0

2

h 0 h 0 h 0

f(x h) f(x) [(x h) 2(x h) ] (x 2x ) x h 2(x 2xh h ) x 2xf´(x) lim lim lim

h h h

h 4xh 2h h(1 4x 2h)lim lim lim(1 4x 2h) 1 4x

h h

8) Usando la definición de función derivada halla f´(x), siendo 4

f(x)x

Solución: 2h 0 h 0 h 0 h 0 h 0

4x 4(x h)4 4f(x h) f(x) 4x 4x 4h 4 4x(x h)x h xf´(x) lim lim lim lim lim

h h h hx(x h) x(x h) x


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- Página 17 -

Tabla de derivadas

Función constante: c 0, . Ejemplo: 6 0,

Función potencia: k k 1x kx, siendo k ∈ R

Ejemplo: 3 2x 3x,

Casos particulares

x 1, 2x 2x,

21 1x x

,

1x

2 x

,

Función exponencial: x xa a .lna, con a > 0, a ≠ 1

Ejemplo: x x2 2 .ln2,

Caso particular: x xe e,

Función logaritmo: a

1log x

x lna

, con a > 0, a ≠ 1

Ejemplo: 3

1log x

x ln3

,

Caso particular: 1lnx

x,

Función seno: senx cosx, Función arco seno: 2

1arcsenx

1 x

,

Función coseno: cosx senx, Función arco coseno: 2

1arccosx

1 x

,

Función tangente: 22

1tgx 1 tg x

cos x, Función arco tangente: 2

1arc tgx

1 x,

Reglas de derivación

Si f y g son dos funciones derivables, se cumple:

Derivada de la combinación lineal de dos funciones

af bg af´ bg´,

En particular,

f g f´ g´, af af´,

Ejemplo:

2 23x 5x 4 3 x 5 x 4 6x 5, , , ,

Derivada del producto

fg f´g fg´,

Ejemplo:

2 2 2

2

x lnx x lnx x lnx

12xlnx x 2xlnx x x(2lnx 1)

x

, , ,

Derivada del cociente

2f f´g fg´g g

,

Ejemplo:

x xx

2

x x x

2 2

e x e xex x

e x e .1 e (x 1)

x x

, ,,

Ejercicio resuelto

Usando la tabla de derivadas y las reglas de derivación calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) 3 21 1f(x) x x 2x 3

3 2 Solución: 2 21 1

f´(x) 3x 2x 2.1 0 x x 23 2

b) 3 5 2

1 5f(x) 1

2x 4 x Solución:

2 73 45 54 5 7

1 5 1 5 2 3 1Como f(x) x x 1 f´(x) ( 3)x x 0

2 4 2 4 5 2x x

c) f(x) = ex(x2 – x + 1). Solución: x 2 x 2 x 2 x x 2f´(x) (e )´(x x 1) e (x x 1)´ e (x x 1) e (2x 1) e (x x)


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- Página 18 -

d) f(x) = x arctg x – 2arcsen x

Solución: 22 2 2

1 2 x 2f´(x) (xarctgx)´ 2 (x)´arctgx x(arctgx)´ arctgx

1 x1 x 1 x 1 x

e) 4

( )( 2)(2 1)

f xx x

Solución: 2

2 2 2 2 24 0.(2x 5x 2) 4(4x 5) 16x 20

Como f(x) f´(x)2x 5x 2 (2x 5x 2) (2x 5x 2)

f) senx

f(x)2 cosx

Solución:

2 2

2 2 2 2(senx)´(2 cosx) senx(2 cosx)´ cosx(2 cosx) senxsenx 2cosx cos x sen x 2cosx 1

f´(x)(2 cosx) (2 cosx) (2 cosx) (2 cosx)

ACTIVIDADES

1.- Sea la función f dada por la siguiente gráfica: X

Y

46

-2 (6,-2)

(4,11)

(La línea discontinua es la recta tangente en x = 6) a) Calcula f´(6) b) Explica cuánto vale f´(– 2) y f´(4) c) Explica si f´(0) es positivo o negativo 2.- Usando la definición de derivada en un punto calcula:

a) f´(3), siendo f(x) = x2 b) f´(–2), siendo 3

f(x)x

3.- Usando la definición calcula la función derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 1 – 5x b) f(x) = x2 – x c) 1

f(x)x

4.- Halla la función derivada de la función f y simplifica el resultado en los siguientes casos:

a) f(x) = –3x5 + 7x2 – 2x + 9 b) f(x) = 14

x3 − x2 + x c) 21f(x) 8lnx x

x

d) f(x) = 3sen x – 5cos x + tg x e) f(x) = arccos x + arcsen x f) 3 2 4f(x) 4 x 3 x 1

g) 22

16 6f(x) x 3

xx h) f(x) = 3ex – x + 7 i) f(x) = (x2 1)(x3 + 2x) j) f(x) = x3 ln x

k) f(x) = 3x ln x l) f(x) = x2cos x m) f(x)= ex(cos x + sen x) n) f(x) = x + xex. ñ) 2

2x x 1

f(x)x x 1

o) 3x 1

f(x)x

p)

22lnx

f(x)x

q) xe

f(x)x 1

r) x

xe 1

f(x)e 1

s)x 22 x

f(x)x

t)

x

x 1f(x)

2 u)

21 5

f(x)3x x 2

v) lnx

f(x) xx


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- Página 19 -

5.- CÁLCULO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Si f es una función que depende de otra función u, y la función u depende de x Entonces, [f(u)]´ = f´(u) . u´. Esta regla se llama “regla de la cadena”).

Ejemplos

72 7 6 2 6 2 6

u

f(x) (x 1) f´(x) (u )´ 7u .u´ 7(x 1) .2x 14x(x 1) ��

22 2

u

1 2lnxf(x) ln x [lnx] f´(x) (u )´ 2u.u´ 2lnx .

x x

��

xx

x 2 x 2 x 2

u

1 1 1 1 ef(x) f´(x) u´ e

ue 1 u (e 1) (e 1)

, ��

u

1 1 1f(x) 2x 1 f´(x) ( u) u´ 2

2 u 2 2x 1 2x 1´

��

u

3x 1 u u 3x 1 3x 1f(x) 2 f´(x) (2 )´ 2 ln2.u´ 2 ln2.(3) (3ln2).2 ��

u

22 23 3

1 1 2x 1f(x) log (x x) f´(x) (log u)´ u´ (2x 1)

uln3 (x x)ln3 (x x)ln3

��

u

2 2 2

1 1 1f(x) arcsen(x 1) f´(x) (arcsenu)´ u´ 1

1 u 1 (x 1) 2x x

��

2 2 2 2

u

2 x 1 2 x (2 x)´(2 x) (2 x)(2 x)´ 2 x ( 1)(2 x) (2 x)1 2 x 4 4f(x) ln f´(x) (lnu)´ .u . . .

2 x u 2 x 2 x 2 x(2 x) (2 x) (2 x) 4 x

��

ACTIVIDADES

1.- Halla la función derivada y simplifica:

a) 2x xf(x) e b) f(x) = ln(3x – 2) c) 3 2f(x) x x 1

d) 1 x

f(x) ln1 x

e) f(x) = arctg(3x + 2) f) f(x) = tg2 x g) 2x 3f(x) 2

h) f(x) = log(x3 + 2) i) f(x) = x3 . e2x – 1 j) f(x) = (x2 + 3x + 1)e−x k) 22 xf(x) x e

l) f(x) (x 1) 3 x m) f(x) = ln(x2 + 3x + 3) – x n) xf(x) ln(xe ) ñ) 3x

1f(x) 4x 5x

e

2.- Calcula las derivadas que se piden: a) f´(1), siendo f(x) = e1− x + ln(x + 2) b) g´(3), siendo g(x) = 2xe3x−1.

6.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

Una función f es derivable en un punto x = a si se cumplen las siguientes condiciones: (C1) f es continua en x = a (C2) Existe f´(a)

Las funciones elementales no definidas a trozos son derivables en todos los puntos donde sean continuas.


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- Página 20 -

Las funciones definidas a trozos pueden ser derivables o no serlo.

Para estas funciones se usa el siguiente criterio: Si u(x), si x a

f(x)v(x), si x a

, siendo u, v funciones

derivables. Entonces f es derivable en x = a si se cumple:

1) f es continua en x = a 2) x a x alim u´(x) lim v´(x) L

. En tal caso, f´(a) = L

Los límites anteriores se llaman derivadas laterales en el punto x = a Si una función f es derivable en un punto x = a entonces la gráfica en el punto A(a , f(a)) no tiene roturas (pues es continua), ni tiene “pico” (pues se puede trazar la recta tangente en A) Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Pero si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Por ejemplo, la función f(x) = |x – 2| es continua en x = 2, pero no es derivable en x = 2.

Ejercicios resueltos

1) Estudia la derivabilidad de la función

x

2

e , si x 0

f(x) 1 x , si 0 x 1

2, si 1 x

x 1

Solución

Para x ≠ 0, x ≠ 1 es derivable siendo

x

2

e , si x 0

f´(x) 2x, si 0 x 1

2, si 1 x

(x 1)

Para x = 0:

x

x 0x 02

x 0x 0

lim f(x) lim e 1, f(0) 1 . Luego,f es continua en x 0

lim f(x) lim (1 x ) 1

x

x 0x 0

x 0x 0

lim f´(x) lim ( e ) 1no coinciden las derivadas laterales. Luego,

lim f´(x) lim ( 2x) 0

f´(0)

Para x = 1:

2

x 1x 1

x 1x 1

lim f(x) lim (1 x ) 0

. Luego,f no es continua en x 0. Por tanto, tampoco es derivable2lim f(x) lim 1

x 1


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- Página 21 -

2) Estudia la derivabilidad de la función 2

2x |x 1|, si x 2

f(x) 6 x, si 2 x 5

2x3x , si x 5

5

y obtén f´(x)

Solución

Como x – 1 = 0 x = 1 x 1 1 x 2

f(x) 2x( x 1) 2x(x 1)

. Luego,

2

2

2

2x 2x, si x 1

2x 2x, si 1 x 2f(x) 10 x, si 2 x 5

2x3x , si x 5

5

Para x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 5 es derivable siendo

4x 2, si x 1

4x 2, si 1 x 2f´(x) 1, si 2 x 5

4x3 , si x 5

5

Para x = 1:

2

x 1x 12

x 1x 1

lim f(x) lim ( 2x 2x) 0, f(1) 0. Luego,f es continua en x 1

lim f(x) lim (2x 2x) 0

x 1x 1

x 1x 1

lim f´(x) lim ( 4x 2) 2no coinciden las derivadas laterales. Luego,

lim f´(x) lim (4x 2) 2

f´(1)

Para x = 2:

2

x 2x 2

x 2x 2

lim f(x) lim (2x 2x) 4. Luego,f no es continua en x 2; tampoco, por tanto, derivable

lim f(x) lim (10 x) 8

Para x = 5: x 5x 5

2

x 5x 5

lim f(x) lim (10 x) 5

, f(5) 5 . Luego,f es continua en x 52xlim f(x) lim (3x ) 5

5

x 5x 5

x 5x 5

lim f´(x) lim ( 1) 1

coinciden las derivadas laterales. Luego, f´(5) 14xlim f´(x) lim (3 ) 1

5

Luego,

4x 2, si x 1

4x 2, si 1 x 2f´(x) 1, si 2 x 5

4x3 , si x 5

5


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- Página 22 -

3) Halla el valor de los parámetros para que la función 1

x lnx a, si x 2f(x) e

bx 1 ln2, si 2 x 4

sea derivable

Solución: Para x ≠ 2 es derivable siendo 1 1

1 , si x 2f´(x) x e

b, si 2 x 4

Para x = 2:

x 2x 2

x 2x 2

lim f(x) lim (x lnx a) 2 ln2 a, f(2) 2 ln2 a . Para que sea continua 2 ln2 a 2b 1 ln2

lim f(x) lim (bx 1 ln2) 2b 1 ln2

x 2x 2

x 2x 2

1 1lim f´(x) lim (1 ) 1x 2 .Para que sea derivable b

2lim f´(x) lim b b

Luego, 2 ln2 a 2b 1 ln2 a 2b 1

1 1a 2 1 a 1 1 a 0. Luego, a 0, b1 1

2 2b b2 2

ACTIVIDADES 1.- Estudia la derivabilidad y obtén la función derivada:

a) 2

2

x 3, si x 1f(x)

2 x , si x 1

b) 3

2

x 1, si x 1f(x)

x 4x 3, si x 1

c)

23 x, si x 1

2f(x)1

, si x 1x

d)

2

2

3 x x, si 0 x 1f(x) 1 x

, si x 1x 4

e) 2

1, si x 0

x 1f(x)

x 3x 1, si x 0

f) 2

x

x

e 1, si x 0f(x)

xe , si x 0

g)

x

2

e , si x 0

f(x) 1 x , si 0 x 1

2, si 1 x

x 1

h) f(x) = x2 − |x|

i) f(x) = x |x – 2| j) f(x) = |x2 − 4| k) f(x) = 2 − x |x| 2.-Halla el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivables:

a)

23 kx , si x 1f(x) 2

, si x 1kx

b) 2

1, si x 0

1 xf(x)

1 mx x , si x 0

c) 2 1

2x x c, si 1 x 02f(x)

1 x , si 0 x 1

d) x

1 kx, si x 0f(x)

e , si x 0

e)

2

a, si 2 x 1

xf(x)

x b, si 1 x 0

2

f) 2

2

ax 3x, si x 2f(x)

x bx 4, si x 2


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- Página 23 -

g) 2ax bx , si 0 x 2

f(x)4 x 1, si 2 x 5

h) a x, si x 1

f(x) bln(x), si x 1

x

i) xx 2e , si x 0

f(x)a b x , si 0 x 1

j) 2

acosx 2x, si x 0f(x) b

a ln(x 1) , si x 0x 1

k)

a1 , si x 1

x 2f(x)

ba , si x 1

x

l) x(ax b)

3ax b, si x 0f(x)

e , si x 0

7.- RECTAS TANGENTE Y NORMAL

La recta tangente a la gráfica de una función f en x0 pasa por el punto A(x0, f(x0)) y su pendiente

es f´(x0). Luego, la ecuación punto-pendiente de la recta tangente es: rtg: y – f(x0)= f´(x0).(x – x0)

La recta normal a la gráfica de una función f en x0 pasa por el punto A(x0, f(x0)) y es perpendicular a la

recta tangente. Por tanto, como ya vimos en los temas de geometría su pendiente es 0

1f´(x )

.

Luego, la ecuación punto-pendiente de la recta normal es: rn: y – f(x0) = 0

1f´(x ) (x – x0)

Para poder calcular dichas ecuaciones es necesario que existan tanto f(x0) como f´(x0). Una vez calculados, sustituimos en la fórmula anterior los valores: " x0 " , " f(x0)" y " f´(x0)" y después reducimos las ecuaciones efectuando las operaciones.

Ejercicios resueltos 1) Halla la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de f(x)= x2 ln x en el punto de abscisa x = e.

Solución x0 = e, f(x0) = f(e) = e2 ln e = e2. 1 = e2.

Como 2 1f´(x) 2xlnx x 2xlnx x x(2lnx 1)

x f´(x0) = f´(e) = e(2ln e + 1) = 3e

rtg: y – e2 = 3e(x – e) → rtg: y = 3ex – 2e2. 2n

1r : y e (x e)

3e

→ 2n

1 1r : y x e

3e 3


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- Página 24 -

2) Una función f es tal que su función derivada es 2

x, si 0 x 3f´(x) 3

2x 7, si 3 x 5

y f(4) = – 2

Halla la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 4.

Solución: x0 = 4, f(x0) = f(4) = – 2 0

f´(x ) f´(4) 2.4 7 1

rtg: y – (–2) = –1(x – 4) → rtg: y = –x +2. n

1r : y ( 2) (x 4)

1

→ nr : y x 6

3) Calcula los valores de a, b y c sabiendo que las gráficas de f(x) = x2 + ax + b y g(x) = c e–(x + 1) se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. Solución: f(–1) = g(–1) = 2 f´(–1) = g´(–1). Como f´(x) = 2x + a , g´(x) = –ce–(x+1).

2

( 1 1)

( 1 1)

( 1) a( 1) b 2

ce 2

2( 1) a ce

a b 1

c 2

a c 2

a = 0, b = 1, c = 2

ACTIVIDADES

1.- Calcula la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de f en los puntos que se indican:

a) f(x) = – x2 + 2x + 3 en el punto de abscisa x = 2. b) f(x) = −x2 + 6x – 5 en el punto de abscisa x = 4.

c) f(x) = 14 x2 + 4 en x = – 2 d) f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2) en el punto de abscisa x = 1.

e) 3

f(x) x en el punto de abscisa x = 1 f) f(x) = ex cos x en el punto de abscisa x = 0 g) f(x) (x 1) 3 x en el punto de abscisa x = −6 y en el punto de abscisa x = 2.

h) x

f(x)lnx en el punto de abscisa x = e. i)

2

2x, si x 2

x 1f(x)

2x 10x , si x 2

en x = 0

2.- Sabiendo que 2x ax b, si 0 x 2

f(x)cx, si 2 x 4

es derivable en todo el dominio y que verifica

f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

3.- Sea la función

x 2

2

e (x ax), si x 0f(x) bx c

, si x 0x 1

. Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es

derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

4.- De una función f se sabe que f(3) = 6 y que su función derivada es 2

5x 2, si 0 x 1f´(x)

x 6x 8, si 1 x 5

Calcula la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.


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8.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA, EXTREMOS, CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Monotonía y extremos de una función

Estudiar la monotonía de una función f consiste en averiguar los intervalos del eje X donde f es creciente, decreciente o constante. Como la derivada representa la pendiente de la recta tangente:

Si f´ x 0, en un intervalo, entonces f es creciente en dicho intervalo

Si f´ x 0, en un intervalo, entonces f es decreciente en dicho intervalo

Si f´ x 0, en un intervalo, entonces f es constante en

dicho intervalo

Una vez determinada la monotonía se pueden deducir cuales son los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) recordando que:

Si la función pasa de ser creciente a decreciente y es continua, entonces hay un máximo relativo

Si la función pasa de ser decreciente a creciente y es continua, entonces hay un mínimo relativo

Si sólo queremos calcular los extremos relativos de una función f podemos usar el siguiente procedimiento que usa la derivada de f´(x), llamada derivada segunda de x (f´´(x)): 1º) Resolvemos la ecuación f´(x) = 0. Si no tuviese solución es porque no hay extremos relativos. 2º) En otro caso, sea x0 una solución:

0 0

0 0

0

Si f´´ x 0 En x se alcanza un mínimo relativo

Si f´´ x 0 En x se alcanza un m

Si f´´(x ) 0 No se puede asegurar si hay o no extremo relati

áximo relativ

vo

o

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Estudiar la curvatura de una función es averiguar los intervalos de la recta donde es convexa (forma de U) ó cóncava (forma de ⋂). La derivada segunda, f´´(x), nos permite averiguarlo:

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es convexa en dicho intervalo

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es cóncava en dicho intervalo

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es una línea recta en d

icho intervalo

Una vez determinada la curvatura se puede deducir los puntos de inflexión que son puntos donde la función es continua y pasa de ser convexa a ser cóncava o al revés.


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- Página 26 -

Ejercicios resueltos Estudia la monotonía, abscisas de los extremos, curvatura y abscisas de los puntos de inflexión 1) f(x) = (1/3)x3 – 4x

Monotonía y extremos: f´(x) = x2 – 4 = 0 x = ±2

( , 2) 2 ( 2, 2) 2 (2, )

f´(x) 0 0

f(x) máximo mínimo

ր ց ր

.

Curvatura y puntos de inflexión: f´´(x) = 2x = 0 x = 0

( , 0) 0 (0, )

f´´(x) 0

f(x) punto de inf lexión

2) 4

33x 1

f(x)x

. Observamos que f no está definida en x = 0.

Monotonía y extremos: f´(x) = 3 3 4 2 6 2 2 4 4

6 6 6 412x (x ) (3x 1)3x 3x 3x 3x (x 1) 3(x 1)

0x x x x

x = ±1

( , 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, )

f´(x) 0

0

f(x) máximo

ր ց mínimoց ր

Curvatura y puntos de inflexión: f´´(x) = 3 4 4 3 3

8 8 54x x (x 1)4x 4x 12

3 3 0 (imposible)x x x

( , 0) 0 (0, )

f´´(x)

f(x)

No hay puntos de inflexión

3) 2

2x 1si x 0

1 2xf(x)

x x 2 si x 0

. Observamos que D(f) = R y que f no es continua en x = 0, luego f´(0)

Monotonía y extremos: Para x ≠ 0, 24

, si x 0f´(x) (1 2x)

2x 1, si x 0

f´(x) = 0 x = 1/2

1 1 1( , 0) 0 (0, ) ( , )2 2 2f´(x)

0

f(x) discontinua mínimo

ր ց ր

No hay máximo relativo.

Curvatura y puntos de inflexión: Para x ≠ 0, 316

, si x 0f´´(x) (1 2x)

2, si x 0

f´´(x) = 0 (imposible)

( , 0) 0 (0, )

f´´(x)

f(x) discontinua

No hay puntos de inflexión


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- Página 27 -

4) f(x) = ex(x2 – x + 1) Monotonía y extremos: f´(x) = ex(x2 – x + 1) + ex(2x – 1) = ex(x2 + x) f´(x) = 0 x = 0, x = –1

( , 1) 1 ( 1,0) 0 (0, )

f´(x) 0 0

f(x) máximo mínimo

ր ց ր

Curvatura y puntos de inflexión: f´´(x) = ex(x2 + x) + ex(2x + 1) = ex(x2 + 3x + 1)

f´(x) = 0 x 0,43 5

xx 2,62

( , 2,6) 2,6 ( 2,6 ; 0,4) 0,4 ( 0,4, )

f´´(x) 0 0

f(x) inf lexión inf lexión

5) f(x) = ln(x2 + 3x + 3) – x.

Monotonía y extremos: 2 2

2 2 22x 3 2x 3 x 3x 3 x x

f´(x) 1x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3

f´(x) = 0 –x2 – x = 0 x = 0, x = –1

( , 1) 1 ( 1,0) 0 (0, )

f´(x) 0 0

f(x) mínimo máximo

ց ր ց

Curvatura y puntos de inflexión: 2 2 2

2 2 2 2( 2x 1)(x 3x 3) ( x x)(2x 3) 2x 6x 3

f´´(x)(x 3x 3) (x 3x 3)

f´(x) = 0 x 0,66 12

xx 2,44

( , 2, 4) 2,4 ( 2,4 ; 0,6) 0,6 ( 0,6, )

f´´(x) 0 0

f(x) inf lexión inf lexión

6) f(x)= ex (sen x + cos x), x (0, π) Monotonía y extremos: f´(x) = ex(sen x + cos x) + ex(cos x – sen x) = ex2cos x = 2excos x

f´(x) = 0 cos x = 0 x = π/2

(0, ) ( , )2 2 2f´(x) 0

f(x) máximo

ր ց

Curvatura y puntos de inflexión: f´´(x) = 2excos x + 2ex(–sen x) = 2ex(cos x – sen x)

f´(x) = 0 cos x – sen x = 0 cotg x = 1 x = π/4

(0, ) ( , )4 4 4f´´(x) 0

f(x) inf lexión

ACTIVIDAD

1 Estudia la monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión: a) f(x) = x3 – 3x2 + 2

b) f(x) = x3 – 2x2 + x c) f(x) = x3 – 1 d) 24

f(x) xx

e) 2x

f(x)x 1

f) 3x 1

f(x)x

g) f(x) = ex (x – 2) h) x

x 1f(x)

e

i)

x xe ef(x)

2

j)

lnxf(x)

x k) f(x) = x2 – 8 ln x

l) f(x) = ln (x2 + 1) m) 2

4, si x 0

xf(x)

x 2x 2 , si x 0


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9.- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Optimizar una función consiste en encontrar los valores de x para los que la función alcanza el valor máximo o el valor mínimo. Las derivadas nos pueden servir para resolver muchos problemas de optimización. Veamos algunos ejemplos: 1) Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.

Resolución

Función a maximizar: volumen de la caja = largo . ancho . alto = (50 – 2x)2x Se trata de calcular el máximo de la función V(x) = (50 – 2x)2x V´(x) = 2(50 – 2x).(–2).x + (50 – 2x)2.1 = (50 – 2x)(–4x + 50 – 2x) = (50 – 2x)(50 – 6x) = = 2500 – 400x + 12x2. Debe ser V´(x) = 0. Resolviendo la ecuación se obtiene: x = 25 (no válido porque no se podría formar una caja) ó x = 25/3 (que sí es válida) Vamos a comprobar que x = 25/3 corresponde al máximo de la función V´´(x) = –400 + 24x → V´´(25/3) = –400 + 24.25/3 = –200 < 0 → corresponde a un máximo. Luego para x = 25/3 el volumen es máximo. Por tanto, la solución es x = 25/3 El volumen será entonces V(25/3) = (50 – 2.25/3)2.25/3 = (100/3)2.25/3 = 250 000/27 ≈ 9259,26 cm3. 2) De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12 800 m2 dividido en tres parcelas iguales

como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los

bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Resolución

Función a minimizar: longitud de la valla = x + x + y + y + y + y = 2x + 4y

Pero como la superficie es 12 800 → xy = 12 800 → 12800

yx

Se trata de calcular el mínimo de la función 12800 51200

L(x) 2x 4 L(x) 2xx x

251200

L´(x) 2x

L´(x) = 0 → 2

2 251200 51200 51200

2 0 2 x 25600 x 1602x x

Vamos a comprobar que x = 160 corresponde al mínimo de la función

2 32 3

51200 102400L´´(x) ( 51200x )´ 51200.( 2)x

x x

,

3102400

L´´(160) 0160

→ corresponde a un mínimo. Luego, x = 160 , 12800

y 80160

Las dimensiones del solar son entonces 160 m de largo y 80 m de ancho


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3) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 €/m y la de los otros lados 10 €/m, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28 800 €.

Resolución

Función a maximizar: área = xy. Pero como cuesta vallarlo 28 800 €, 80x + 10x + 10y + 10y = 28 800

De donde, 90x + 20y = 28 800 → 9x + 2y = 2 880 → 2880 9x

y2

Se trata de calcular el máximo de la función 22880 9x 2880x 9x

A(x) x A(x)2 2

2880 18xA´(x)

2

A´(x) = 0 → 2880

x 16018

Vamos a comprobar que x = 160 corresponde al máximo de la función 18

A´´(x) 92 → A´´(160) < 0 → máximo. Luego, x = 160 ,

2880 9.160y 720

2

Las dimensiones del campo son entonces 160 m x 720 m

ACTIVIDADES 1.- Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia, respectivamente. Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima. 2.- Se quiere hacer una puerta rectangular coronada con un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener 16 m2.

Si es posible, determina la base “x” para que el perímetro sea mínimo. 3.- De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm2, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud. 4.- De entre todos los números positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima. 5.- Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.


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10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Para representar gráficamente una función, o lo que es lo mismo, para dibujar su gráfica, es conveniente obtener fundamentalmente: – El dominio de definición y la continuidad – Las posibles asíntotas verticales y la posición de la gráfica respecto de ellas. – Las posibles asíntotas horizontales u oblicuas y la posición de la gráfica respecto de ellas – La monotonía y los extremos relativos. – La curvatura y los puntos de inflexión – Los puntos de corte con los ejes de coordenadas

Si detectamos que la función es simétrica respecto del eje Y (esto ocurre cuando f(–x) = f(x) ) o simétrica respecto del origen de coordenadas ( esto ocurre cuando f(–x) = –f(x) ) entonces sólo es necesario estudiarla para x > 0 y luego, por simetría, deducir la gráfica para x < 0.

A veces no es necesario obtener todos los puntos anteriores, depende de la función que se tenga que representar.

Ejercicios resueltos 1) f(x) = x3 – 3x2 + 2. Dominio y continuidad: D(f) = R . Es continua en R Asíntotas verticales: Al ser continua no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales u oblicuas: 3

x xlim f(x) lim x

3

x xlim f(x) lim x

.

Como es una función polinómica no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas

Monotonía y extremos: f´(x) = 0 → 3x2 – 6x = 0 x = 0, x = 2

( , 0) 0 (0, 2) 2 (2, )

f´(x) 0 0

f(x) máx mín

ր ց ր

El máximo relativo es M(0, f(0)). Como f(0) = 03 – 3.02 + 2 = 2 → M(0, 2) El mínimo relativo es N(2, f(2)). Como f(2) = 23 – 3.22 + 2 = –2 → N(2, –2)

Curvatura y puntos de inflexión: f´´(x) = 0 → 6x – 6 = 0 → x = 1 ( , 1) 1 (1, )

f´´(x) 0

f(x) punto de inf lexión

El punto de inflexión es I(1, f(1)). Como f(1) = 13 – 3.12 + 2 = 0 → I(1, 0)

Puntos de corte con los ejes: Con el eje X: x3 – 3x2 + 2 = 0 → x = 1 , x 2,72 12

xx 0,72

puntos: (2,7; 0) y (– 0,7; 0) Con el eje Y: x = 0, y = f(0) = 2 punto: (0, 2)


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2) 3

2x

f(x)x 1

Dominio y continuidad: x2 – 1 = 0 x = 1, x = – 1, D(f) = R – {1, – 1} . Es continua en R – {1, – 1} Asíntotas verticales:

x 1 x 1

x 1 x 1

1 1lim f(x) lim f(x)

0 0En x 1 : , A.V : x 1 En x 1 : , A.V : x 11 1

lim f(x) lim f(x)0 0

Asíntotas horizontales u oblicuas:

3

2x x x

xlim f(x) lim lim x

x

3

2x x x

xlim f(x) lim lim x

x No hay A.H.

Como es una función racional con grado numerador 1 más que el del denominador hay A.O. 3 2x x 1

r x x c(x)

. Por tanto, la asíntota oblicua es A.O. : y = x

Para ver la posición de la gráfica respecto de la asíntota hallamos ygráf. – yasínt. 3 3 2

2 2 2

Es 0, cuando x La gráfica está por encima de la asíntota enx x x(x 1) xx

Es 0, cuando x La gráfica está por debajo de la asíntota enx 1 x 1 x 1

Monotonía y extremos:

f´(x) = 0 2 2 3

2 23x (x 1) x 2x

0(x 1)

4 2

2 2x 3x

0(x 1)

x4 – 3x2 = 0 x 0 , x 3

( , 3) 3 ( 3, 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 3) 3 ( 3, )

f´(x) 0

0 0

f(x) máx

ր ց ց ց mínց ր

El máximo relativo es ( 3, f( 3)) . Como 3

2( 3) 3 3

f( 3) 2,62( 3) 1

→ ( 1,7; 2,6)

El mínimo relativo es ( 3, f( 3)) . Como 3

2( 3) 3 3

f( 3) 2,62( 3) 1

→ (1,7; 2,6)

Observa que f es impar, es decir f(–x) = – f(x). Luego es simétrica respecto del origen de coordenadas Curvatura y puntos de inflexión:

f´´(x) = 0

4 2 3 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2

2 2 2 4 2 4

4 2 2 4 2 22

2 3 2 3

x 3x (4x 6x)(x 1) (x 3x )2(x 1)2x (x 1)2x[(2x 3)(x 1) (x 3x )2]

(x 1) (x 1) (x 1)

2x(2x 2x 3x 3 2x 6x ) 2x( 9x 3) 10 2x( 9x 3) 0 x 0, x

3(x 1) (x 1)

,

1 1 1 1 1 1( , 1) 1 ( 1, ) ( , 0) 0 (0, ) ( , 1) 1 (1, )3 3 3 3 3 3f´´(x)

0 0 0

f(x)

punto de inf lexión

El punto de inflexión es (0, f(0)). Como f(0) = 0 → (0, 0)


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 32 -

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X: 3

2x

0 x 0x 1

punto: (0, 0) Con el eje Y: x = 0, y = f(0) = 0 punto: (0, 0)

3) x3 6, si x 2

f(x)|x 5|, si 2 x 10

Como x – 5 = 0 x = 5

[2, 5) [5, 10)

f(x) x 5 x 5

x3 6, si x 2

f(x) x 5, si 2 x 5

x 5, si 5 x 10

Dominio y continuidad: f está dada por expresiones que se pueden calcular para todo valor de x, en particular para los números menores que 10, luego D(f) = (–∞, 10). Para x ≠ 2, x ≠ 5 es continua

xx 5x 2 x 5x 2

x 5x 2 x 5x 2

lim f(x) lim ( x 5) 0lim f(x) lim (3 6) 3

En x 2 : escontinua En x 5 : lim f(x) lim (x 5) 0 escontinualim f(x) lim ( x 5) 3

f(5) 5 5 0f(2) 2 5 3

x 10x 10En x 10, lim f(x) lim (x 5) 5,

f(10) no escontinua

Por tanto, f es continua en su dominio. Asíntotas verticales: No hay por ser continua Asíntotas horizontales u oblicuas:

xlim f(x)

no se puede calcular por ser D(f) = (–∞, 10)

x

x xlim f(x) lim (3 6) 0 6 6 A.H. en : y 6

Para ver la posición de la gráfica respecto de la asíntota hallamos ygráf. – yasínt. x x3 6 ( 6) 3 0 cuando x La gráfica está por encima de la asíntota en

Monotonía y extremos:

f´(x) = 0. Resulta que

x3 .ln3, si x 2

f´(x) 1, si 2 x 5

1, si 5 x 10

(observa que en x =2, x = 5 no es derivable)

Entonces

x3 .ln3 0 , x 2 (imposible)

1 0, 2 x 5 (imposible)

1 0, si 5 x 10 (imposible)

( , 2) 2 (2, 5) 5 (5, 10)

f´(x)

f(x) máx min

ր ց ր

El máximo relativo es (2, f(2)) = (2, 3). El mínimo relativo es (5, f(5)) = (5, 0)


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- Página 33 -

Curvatura y puntos de inflexión:

f´´(x) = 0. Resulta que

x 23 .ln 3, si x 2

f´´(x) 0, si 2 x 5

0, si 5 x 10

. Entonces

x 23 .ln 3 0 , x 2 (imposible)

0 0, 2 x 5

0 0, si 5 x 10

( , 2) 2 (2, 5) 5 (5, 10)

f´´(x)

0 0

f(x) recta recta

. Luego, no hay puntos de inflexión

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X:

x x3

3 6 0 3 6 x log (6) 1,6

x 5 0 x 5 Puntos : (1,6; 0) y (5,0)

x 5 0 x 5

Con el eje Y: x = 0, y = f(0) = 30 – 6 = – 5 punto: (0, –5)

ACTIVIDAD 1.- Dibuja la gráfica de las funciones estudiando primero los puntos que creas necesarios:

a) f(x) = 2x3 – 6x + 4 b) f(x) = x (x – 3)2 c) f(x) = x3 − 3x2 − x + 3 d) f(x) = 14

x3 − x2 + x

e) 29x 3

f(x)x 2x

f) 2

2x x 1

f(x)x x 1

g) 25x 8

f(x)x x 1

h) 2x 1

f(x)x

i) 22

f(x)x 1

j) 2

1, si x 0

x 1f(x)

x 3x 1, si x 0

k) 2

4x, si 0 x 1

16f(x) , si 1 x 3

(x 1)4 x, si 3 x 4

l) x

1 x, si x 0f(x)

e , si x 0

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDADES 8, 9 y 10...

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