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1. MEDIDAS DE ÁNGULOS. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN

ÁNGULO AGUDO

Para medir los ángulos solemos utilizar las siguientes unidades: el grado sexagesimal y

el radián.

Grado sexagesimal: Se denomina grado sexagesimal a la medida del ángulo

central que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Recuerda que un grado equivale a 60 minutos, y cada minuto a 60 segundos,

es decir: ''3600º1'60' ' 1

' 60 1º

.

Luego un ángulo recto mide 90º , uno llano 180º y uno completo 360º.

Radián: Se denomina radián a la medida del ángulo central de una

circunferencia en el que el arco mide la longitud del radio.

Nota:

Un ángulo completo (360º) mide

2 rad (la longitud de toda la

circunferencia).

Y un ángulo llano (180º ) mide

radianes

(media circunferencia)

Observaciones:

* Observa que la apertura del ángulo no depende del tamaño de la

circunferencia.

* Con una simple regla de tres podemos encontrar la equivalencia entre la

medida de un ángulo en radianes y en grados sexagesimales.

Consideremos una circunferencia de radio r = 1,

360 º = 2 rad 180º = rad

Véase:

Ángulo ( grado sexagesimal) Ángulo (en radianes)

180º

º x

Obtenemos )(

)(

º

º180

radx

rad

e lo que se deduce

º180

º·x rad

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Es fácil pasar la medida de un ángulo del sistema sexagesimal a radianes y viceversa.

Véanse los ejemplos:

a) 30º)(º30

º180

radx

rad

radx

6º180·º30

b)

b) º4203

º·180·7º180·

3

7

3

7

radradxrad

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Las razones trigonométricas son relaciones matemáticas entre las medidas de ángulos y

distancias.

Se utilizan en muchas ocasiones, como para el cálculo de alturas y distancias entre

puntos no accesibles, la descomposición de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.....

Definimos las razones trigonométricas de un ángulo agudo independientemente del

triángulo rectángulo que forme, del siguiente modo:

También se definen las razones inversas de las anteriores:

Inversa del seno CosecanteBsen ˆ

1B̂cosec

Inversa del coseno Secante B̂cos

1B̂sec

Inversa de la tangente Cotangente Btg ˆ

1B̂cotg

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Es importante conocer las razones trigonométricas de algunos ángulos agudos, como

son 30º, 45º y 60º.

Recuerda con los siguientes ejercicios resueltos cómo calcularlas.

1.- Halla las razones trigonométricas del ángulo de 45º = rad4

Si consideramos un cuadrado de lado a y trazamos una de sus diagonales, obtenemos dos

triángulos rectángulos iguales e isósceles como los de la siguiente figura

2.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 30º = rad6

y 60º= rad

3

Ejercicios propuestos:

1.- Determina todas las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo cuyos

lados miden 6, 8 y 10 cm.

2.- Halla las razones trigonométricas inversas del ángulo menor en el triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 5 y 10 cm.

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2.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Ejemplo:

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Razones trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante.

Consideremos la circunferencia goniométrica, esto es , de radio r =1.

Trazamos el ángulo y consideremos los puntos A,

A' , A'' y B que se aprecian en el dibujo, y que

forman los triángulos OAA' y O A''B.

Podemos definir las razones trigonométricas de ,

con ayuda de las coordenadas cartesianas de los

puntos A, A' , A''.

sen = '1

'AA

AA

cos = '1

'OA

OA

tg =

s triángulode semejanza

''1

''

'

'

BABA

OA

AA

De este modo, puede apreciarse que las coordenadas cartesianas del punto A(x, y) de la

imagen anterior, coinciden con el sen y cos respectivamente.

Es decir A (sen ,cos )

Razones trigonométricas de un ángulo en el resto de cuadrantes:

Procediendo de la misma forma, las razones trigonométricas en el resto de cuadrantes

serán:

Es importante conocer el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuatro

cuadrantes, pero es sencillo, si nos fijamos en el signo de las coordenadas cartesianas

del punto A (intersección de uno de los lados del ángulo y la circunferencia

goniométrica).

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Proposición 1: Para cualquier ángulo , se verifica 1cos111 sen

Demostración: En cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera

de los catetos, y como el seno y el coseno son las razones entre los catetos y la

hipotenusa, estos valores nunca pueden ser mayores que 1;

sen =hipotenusa

opuestocateto; cos =

hipotenusa

contiguocateto cqd

Nota : sen 90º = 1; cos 0º = 1

sen 270º = -1 cos 270º = -1

Proposición 2: cosec 1,1 y sec 1,1

Demostración: La haremos para cosec y se procede de la misma forma para sec

Por un lado , cosec = sen

1

Por otro lado 11 sen

Luego:

cqd

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen1,1cosec,11,

1

1,1

,11

11

11

1

1

Proposición 3: Tanto la tangente como la cotangente de un ángulo pueden tomar

cualquier valor real es decir: tg y cotg .

Demostración: Es evidente que pueden tomar cualquier valor , considerando que son

cociente de los catetos de un triángulo.

En la siguiente tabla puedes observar las razones trigonométricas de los principales

ángulos

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3.-REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de un ángulo, permitirá calcular

las razones de cualquier ángulo conociendo solo las de los ángulos del primer cuadrante.

Distinguiremos varios casos:

- Ángulos suplementarios: Cuando suman 180º . En el dibujo: )º180( y

Ejemplos: a)

b)

- Ángulos que se diferencian en 180º: En el dibujo: )º180( y

Ejemplo:

- Ángulos mayores de 360º:

Sus razones trigonométricas coinciden con las de su ángulo reducido.

Ejemplo:

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- Ángulos complementarios: Los que suman 90º . En el dibujo )º90( y

Ejemplo:

- Ángulos que suman 360º: En el dibujo, )º360( y

Ejemplo:

- Ángulos negativos: En el dibujo y

Ejemplos:

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4.- RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Relación fundamental de la trigonometría 1cos22 sen

Demostración:

Basta aplicar el Teorema de Pitágoras al

triángulo que se observa en la figura:

cqd

22 sec1tg

Demostración:

Partimos de la relación 1cos22 sen

Dividimos ambos miembros por 0cos2

22

22

cos

1

cos

cos

sen

Simplificamos:

222

22

2

2

2

2

sec1sec1coscos

1

cos

cos

cos

tg

sensen

cqd

22 coseccotg1

Demostración:

Partimos de la relación 1cos22 sen

Dividimos ambos miembros por 02 sen

22

22 1cos

sensen

sen

Simplificamos:

222

22

2

2

2

2

coseccotg1coscos

11cos

ec

sensensensen

sen

cqd

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5.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE

ÁNGULOS

Razones trigonométricas de la suma de ángulos

Proposición : a) ·cos·cos sensensen

b) sensen ··coscoscos

c)

tgtg

tgtgtg

·1

Demostración : Para la demostración consideremos la construcción geométrica de la

figura, en la que el triángulo ADB es rectángulo de hipotenusa AB =1.

De esa forma, el cateto senBD y cosAD .

Observa que los ángulos DAE y BDC son iguales

(sus lados son perpendiculares), llamemos a

dicho ángulo.

Hallemos las razones trigonométricas del ángulo en los triángulos BCD y AED

En el triángulo BCD :

sensenBCsen

BCsen ·

·coscos senCD

sen

CD

En el triángulo AED:

·coscos

senDEDE

sen

·coscoscos

cos AEAE

Procedamos a demostrar las proposiciones:

a) CEBFBF

sen1

CDDE ·cos·cos sensen cqd.

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b) sensenBCAEEFAEAFAF

··coscos1

cos cqd

c)

mossimplifica

tgtg

tgtg

sensen

sensen

sensen

sensensentg

·coscosr denominadoy numerador Dividimos

·1

·coscos

··coscos

·coscos

·cos·cos

··coscos

·cos·cos

cos

cqd

Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos

Proposición 2: a) ·cos·cos sensensen

b) sensen ··coscoscos

c)

tgtg

tgtgtg

·1

Demostración:

Basta considerar las fórmulas de las razones trigonométricas para la suma de

ángulos (Proposición 1) y cambiar el ángulo por , teniendo en cuenta

que :

tgtg

sensen

coscos

Ejercicios propuestos:

1.- Calcula tg 105º , sin calculadora.

2.- a) Calcula las razones trigonométricas de 15º sin usar calculadora.

b) Usando los resultados anteriores, halla tg 75º.

3.- Demuestra que

cos2

3

sen

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6.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL

ÁNGULO MITAD

Ángulo doble

Proposición: a) ·cos22 sensen

b) 22cos2cos sen

c)

21

22

tg

tgtg

Demostración:

Basta sustituir por en las fórmulas trigonométricas de la suma +

a) sen (2 ) = ·cos2·cos·cos sensensensen

b) cos (2 ) = 22cos··coscoscos sensensen

c) tg (2 ) =

21

2

·1 tg

tg

tgtg

tgtgtg

Ángulo mitad

Proposición: a) 2

cos1

2

sen

b) 2

cos1

2cos

c)

cos1

cos1

2

tg

Demostración:

a) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble:

2222 1cos2cos sensensen 221 sen

Fórmula fundamental de la trigonometría

2222 1cos1cos sensen

Luego:

2

cos1

22

2cos1

2

2cos12cos12212cos 222

sensen

sensensen

cqd

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b) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble:

22cos2cos sen 1cos2cos1coscos1cos 22222

Fórmula fundamental de la trigonometría

2222 cos11cos sensen

Luego:

2

cos1

2cos

2

2cos1cos

2

2cos1cos2cos1cos21cos22cos 222

cqd

c) tg

2

=

cos1

cos1

2

cos1

2

cos1

2cos

2

sen

cqd

Ejercicios propuestos:

1.- Demuestra que 3233 sencos·sensen

2.- Calcula tg

8

Solución:

1.-

2.-

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7. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS

Ejercicios:

1.-

2.-

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8.- ECUACIONES Y SISTEMAS TRIGONOMÉTRICAS

Ecuaciones:

Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las que la incógnita es el ángulo que se

quiere calcular.

Estas ecuaciones normalmente tendrán infinitas soluciones que podremos expresar en

grados sexagesimales o en radianes.

Una vez averiguado el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, mediante arco seno

(arcsen) , arco coseno (arccos) o arco tangente (arctg); hallaremos el ángulo ,

conociendo el valor de la razón trigonométrica.

Recuerda:

Veamos algunos ejemplos sencillos:

1.- sen x = 2

3

Como sen x es positivo, el ángulo que buscamos estará en el primer o tercer cuadrantes.

x = arcsen 2

3 = 60º ( en el primer cuadrante) .

Pero x = 120º (2º cuadrante) también es solución de la ecuación.

Todas las demás soluciones se obtendrán sumando o restando vueltas completas a estas

soluciones.

Luego x= 60º + 360º k, k o en radianes x= 3

º + 2 k , k

x= 120º + 360º k, k x= 3

2º + 2 k , k

2.- sen x + cos2x = 1 Solución:

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Sistemas:

Los resolveremos usando los métodos habituales de sustitución o reducción.

Importante: Hay que comprobar las soluciones por si en el proceso de resolución se han

añadido soluciones erróneas.

Ejemplo:

9.- TEOREMA DEL SENO . TEOREMA DEL COSENO.

TEOREMA DE LA TANGENTE

APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Teorema del seno:

Teorema del Coseno:

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Teorema de la tangente:

Resolución de un triángulo cualquiera:

Resolver un triángulo es calcular lo que miden sus lados y sus ángulos. Para ello

podemos usar, dependiendo del caso en el que nos encontremos:

- Razones trigonométricas

- Teorema del Seno

- Teorema del Coseno

- Para triángulos rectángulos:

222

2

22

aPitágoras. de Teorema -

m·n haltura la de Teorema -

·c·b cateto del Teorema -

cb

mana

Veamos algunos casos que pueden presentarse y qué teoremas aplicar para resolver el

triángulo.

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RESUMEN DE TEMA 3: TRIGONOMETRÍA