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INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA Curso 2018/2019 Esther Madera Lastra
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1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA
Definición: Dada una función )(xf , se denomina primitiva de esta función a otra )(xF tal que )()(' xfxF
Esta definición indica que el cálculo de primitivas constituye el proceso inverso al cálculo de derivadas. Es decir, hallar la primitiva de una función es buscar otra función que, al ser derivada, resulte la original.
Si )(xF es una primitiva de )(xf , entonces cualquier otra primitiva de )(xf es de la forma CxF )(
Definición: Se llama integral indefinida de )(xf al conjunto de todas las primitivas de )(xf y se expresa así: dxxf )( .
Se debe cumplir que )()( xFdxxf )()(' xfxF
Ejercicio 1: Calcula la primitiva de estas funciones
2. TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS
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3. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
dxxfkdxxfk )()(
Obviamente •• dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Ejercicio 2: Resuelve las siguientes integrales inmediatas:
4. CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN
Cuando se trate de determinar la primitiva de una función que pase por un determinado punto ),( ba , sólo existirá un valor
de la constante de integración, C , para la que esa condición se cumple. Una vez hallada la integral indefinida, )(xF ,
debemos calcular C imponiendo que baF )(
Ejercicio 4: Halla las funciones que se piden.
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5. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Se trata de integrar una función f(x) compuesta, en la que se sustituye la variable x por otra variable, t, de tal manera que el integrando pase a ser otra integral, g(t) que ahora es mucho más sencilla. Finalmente, una vez integrada la función, hay que deshacer el cambio. En ocasiones, derivaremos con respecto de t y otras veces con respecto de x, dependiendo lo que nos resulte más sencillo. El cambio de variable nos lo suelen dar.
Veamos un ejemplo de lo que significa el cambio de variable en funciones trigonométricas.
Hacemos tsenx , y al derivar, dtxdxcos . Despejando x
dtdx
cos
Cuando una integral presenta radicales en su integrando, el método de cambio de variable es muy eficaz si se propone
un cambio que permita simplificar los radicales. El cambio adecuado es: ntradicando , donde n es el índice de la raíz
que se quiere simplificar. Veamos un ejemplo.
Hacemos 321 tx Despejamos x:
2
13
tx Derivamos en función de x
2
3 2dttdx y sustituimos. A veces es más cómodo derivar al principio:
dttdx 232
El resultado es
Cambios de variables usuales:
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Ejercicio 5: Realiza estas integrales (de manera inmediata) o por medio del cambio de variable.
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6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Para resolver estas integrales se aplica el método de integración racional o descomposición en fracciones simples. Este método permite resolver cualquier integral racional, siempre que en numerador y denominador sólo haya polinomios.
Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, dividimos e integramos el polinomio resultante de manera inmediata. El resto será de grado menor que el denominador. Tenemos varios casos.
Caso 1: Todas las raíces son reales simples.
dxxx
x
2
6142
Las raíces del denominador son -1 y 2
Resolviendo,
Y tenemos una integral inmediata cuyo resultado es
Caso 2: Raíces reales múltiples.
Las raíces del denominador son -1 (simple) y 1 (doble).
Las soluciones son
Ejercicio 9: Calcula las siguientes integrales racionales.
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7. INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes permite resolver integrales cuyo integrando es un producto en el que al menos uno de los factores resulta fácil de integrar. A los factores del integrando se les asignan las expresiones u y dv. La expresión dv le corresponderá a la función que sea fácil de integrar, pues aplicaremos la siguiente fórmula:
duvvudvu
Ejemplo: Csenxxxxdxxxdxsenxx coscoscos
xu dxdu
dvsenxdx vx cos
A veces tendremos que integrar por partes dos veces.
Ejercicio 10: Resuelve las siguientes integrales por partes.
a) b) c)
d)
e) f)
g)
h) i)
9. ÁREA BAJO UNA CURVA.
Dada una función )(xf CONTINUA en ba , y POSITIVA, se puede hacer una aproximación del área comprendida
entre el eje X y la gráfica de la función en el intervalo ba , del siguiente modo:
a) Se divide el intervalo ba , en n partes iguales: bxxxxxa nn 1210 ...
b) La función )(xf es continua en los intervalos 1 , ii xx , ya que lo es en ba , . Se puede garantizar que la función
alcanza un valor máximo, iM , y un valor mínimo, im , en cada intervalo 1 , ii xx .
c) Se dibujan los rectángulos inferiores de base ii xx 1 y de altura im .
d) Se dibujan los rectángulos superiores de base ii xx 1 y de altura iM .
xdxln
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e) Se suma el área de los rectángulos inferiores y se obtiene una aproximación del área por defecto.
Área por defecto= nnn mxxmxxmxxmxx 1323212101 ...
f) Se suma el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por exceso.
Área por exceso= nnn MxxMxxMxxMxx 1323212101 ...
Las sumas inferiores y superiores dependen de n , es decir, del número de intervalos que se tomen en ba , , y se tiene
entonces que:
g) Las sumas inferiores son una sucesión ... ..., , , , 321 nssss , que corresponderán a las distintas divisiones que se
hagan del intervalo ba , .
h) Las sumas superiores son una sucesión ... ..., , , , 321 nSSSS , que corresponderán a las distintas divisiones que se
hagan del intervalo ba , .
Se puede asegurar que el área del recinto está comprendida entre estas dos aproximaciones.
Si se hacen cada vez más intervalos en ba , , es decir, que n , entonces Área = nn
nn
Slímslím
10. INTEGRAL DEFINIDA.
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La integral definida se calcula mediante la Regla de Barrow. Se trata de hallar una primitiva con las técnicas que hemos estudiado, y calcularla y valorarla en los extremos a y b:
En las integrales definidas no aparece la constante de integración.
IMPORTANTE: En las integrales logarítmicas, utilizaremos valores absolutos para evitar logaritmos inexistentes. En la integración por cambio de variable, se resuelve la integral con respecto a la variable cambiada y habrá que deshacer el cambio o bien recalcular los límites de integración.
Ejercicio 11: Calcula las integrales definidas
a)
2
1
2 )523( dxxx b)
1
21
1dx
x c)
5
1
1dxx
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Si )(xf es continua en ba, , entonces la función integral,
t
a
dxxftF )()( es derivable en ba, y cumple que )()(' tftF , bat ,
11. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
12. CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA
Dependerá de dónde esté situada la curva con respecto al eje horizontal. En general, el procedimiento será calcular los puntos de corte y esbozar la gráfica.
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Una integral definida puede resultar positiva, negativa o nula, pero el área nunca puede ser negativa ni nula. Siempre debe ser un número positivo, de ahí que utilicemos con frecuencia valores absolutos.
Ejercicio 12: Calcula el área limitada por la curva 21
1
xy
, las rectas x=2 y x=5 y el eje OX.
13. ÁREA LIMITADA POR DOS CURVAS
Existen varias posibilidades:
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En general, tendremos que resolver el sistema originado por ambas funciones para localizar sus puntos de corte. Una vez dibujemos ambas gráficas, decidiremos en cada caso qué hacer.
Ejercicio 13: Resuelve estos ejercicios
a)
b)
c)
d)
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD
2015
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
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Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
2014
Ejercicio 13
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Ejercicio 14
Ejercicio 15
Ejercicio 16
Ejercicio 17
Ejercicio 18
Ejercicio 19
Ejercicio 20
Ejercicio 21
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Ejercicio 22
Ejercicio 23
Ejercicio 24
2013
Ejercicio 25
Ejercicio 26
Ejercicio 27
Ejercicio 28
Ejercicio 29
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Ejercicio 30
Ejercicio 31
Ejercicio 32
Ejercicio 33
Ejercicio 34
Ejercicio 35
Ejercicio 36
2012
Ejercicio 37
Ejercicio 38
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Ejercicio 39
Ejercicio 40
Ejercicio 41
Ejercicio 42
Ejercicio 43
Ejercicio 44
Ejercicio 45
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Ejercicio 46
Ejercicio 47
Ejercicio 48
2016
Ejercicio 49
Ejercicio 50
Ejercicio 51
Ejercicio 52