Funciones Reales 1

1 CONCEPTOS BASICOS

1.1 FUNCION

Definición 1.1

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, en los cuales se define una relación de A en B.

Decimos que esa relación es una función, si y sólo si , todo elemento de A se relaciona con un

único elemento en B.

En otras palabras, para que una relación entre los conjuntos A y B sea una función, es

necesario que por medio de ella “todo elemento del conjunto A esté asociado con un único

elemento del conjunto B”.

La función f de A en B se denota por f : A→ B

Una relación de A en B puede no ser función, los siguientes gráficos ilustran esta situación.

Si f: A → B es una función y x es un elemento cualquiera de A, entonces existe un

elemento y que pertenece a B, que está relacionado con x mediante la función f , a tal elemento

y se le llama imagen de x mediante f y se denota por y=f(x).

La expresión y=f(x), se lee “ y es la imagen de x mediante f ” o “ y es el valor de la

función f en x” . Ella representa la regla de asociación que permite asignar a cada elemento del

conjunto A, su correspondiente imagen.

Ejemplo ilustrativo 1.1 Consideremos los conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2 } y

B = { 0, 1, 2, 3, 4 }, y la función f : A → B donde f(x) = x2 .

A f B

• • • •

• • • •

• • • •

• • • •

A h B

Esta relación no es función pues existe un elemento de A relacionado con dos elementos de B

En este caso no es función puesto que un elemento de A no está relacionado con ningún elemento de B

Funciones Reales 2

1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función tal que f:A→ B con y=f(x). El conjunto A se llama dominio de la función f y se denota por Domf. Es decir Domf = A. y al conjunto B se le llama codominio de f.

Al subconjunto de B, conformado por todos los elementos relacionados con elementos del dominio mediante la función, lo llamaremos rango de la función f y lo denotaremos por Ragf. Es decir Ragf = {y∈B: y=f(x) para algún x∈A}

En el ejemplo ilustrativo 1.1 el dominio es el conjunto A, el codominio es B y el rango es el conjunto formado por las imágenes Ragf = { 0, 1, 4 }.

A= Conjunto de salida o dominio.

B= Conjunto de llegada o codominio.

C= conjunto imagen o rango (C está contenido en B)

Observaciones.

1) Si la función esta definida de A en B entonces, el dominio de dicha función es el conjunto A

y el codominio es el conjunto B.

2) Todos los elementos del dominio de una función deben estar relacionados con algún

elemento del codominio (conjunto de llegada).

3) Pueden existir elementos en el codominio de una función (conjunto de llegada) que no son

imagen de elemento alguno del dominio.

4) No puede existir ningún elemento del dominio de una función que posea más de una imagen

en el conjunto de llegada (codominio).

Diagrama ilustrativo.

f B

A=Dominio C

Figura 2

La regla y=f(x) nos permite encontrar la imagen de cada

elemento del conjunto A, la función la podemos representar

mediante un gráfico o como un conjunto de pares ordenados

f = { (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) }

A B

0

1

2

3

4

-2

-1

0

1

2

f

Figura 1

Funciones Reales 3

Imagen Recíproca. Sea f una función de A en B. Denominaremos imagen reciproca del elemento Bb∈ , al

conjunto de todos los elementos de A que según f tienen por imagen al elementos b

Correspondencia Recíproca. Sea f una función de A en B. Llamaremos correspondencia recíproca de f a la relación

de B en A tal que b estará relacionado con a si y sólo si b es la imagen de a mediante f.

Observaciones. 1) La correspondencia recíproca no define en todos los casos una función de B en A. 2) Para una función f cualquiera quedará definida su correspondencia recíproca que

denotaremos por 1−f , y en caso de ser función la llamaremos función inversa de f.

Igualdad de funciones. Sean f y g dos funciones cualesquiera, se dice que las funciones f y g son iguales (f=g) sí y sólo sí: i) gDomfDom =

ii) ( ) ( )xgxf = , para toda x perteneciente al dominio de ambas.

iii) Codominio de f es igual a codominio de g

Observación Si se cumplen las dos condiciones (i) y (ii) se tendrá, en consecuencia, un mismo conjunto imagen (rango) para ambas funciones. 1.3 CLASIFICACION DE FUNCIONES SEGÚN SU NATURALEZA.

De acuerdo a la forma como se relacionan los elementos del dominio con los elementos del conjunto de llegada, clasificaremos a las funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, sin embargo una gran mayoría de las funciones no pertenecen a ninguno de estos grupos.

Función inyectiva. Son funciones inyectivas aquellas en que a elementos diferentes del dominio le

corresponden distintas imágenes en el conjunto de llegada. Expresando esto de otra manera tendremos: Sea BAf →: , diremos que f es inyectiva sí y sólo sí para cualesquiera a y b pertenecientes a A se tiene que: ( )bfafba ≠⇒≠ )( (elementos diferentes entonces imágenes diferentes)

Observación. Debe ser obvio que si las imágenes se toman iguales, en una función inyectiva, los elementos que las generan resultarán también iguales. esto es:

( ) ( ) babfaf =⇒=

Función Sobreyectiva. Denominaremos funciones sobreyectivas a aquellas funciones en las que el conjunto de llegada (codominio) coincide con el rango o conjunto imagen. En otras palabras son aquellas funciones en las que todos los elementos del conjunto de llegada poseen imagen recíproca. De otra forma:

Funciones Reales 4

Sea BAf →: , diremos que f es sobreyectiva sí y sólo sí: )(, xfyquetalAxBy =∈∃∈∀

Función Biyectiva. Son biyectivas todas aquellas funciones inyectivas y sobreyectivas simultáneamente.

Ejemplo ilustrativo 1.2 Consideremos las funciones f, g, h e i, las cuales se visualizan

mediante un diagrama conocido como una representación sagital.

-1.0.1.

.0

.1

.2

-1.0.1.

.0

.1-1.0.1.

-1.0.1.

.0

.1

.2

.3

.0

.1

.2

A A

A A

B

B

C

D

f g

h i

Figura 1

De acuerdo a las definiciones anteriores vemos que:

a) f no es inyectiva, ya que dos elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen.

f tampoco es sobreyectiva, ya que el elemento 2 del codominio, no es imagen de ningún

elemento del dominio.

b) g es inyectiva, pues, no existen elementos diferentes del dominio con la misma imagen.

Pero, g no es sobreyectiva, ya que el elemento 3 del codominio, no es imagen de ningún

elemento del dominio.

c) h no es inyectiva, dos elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen. En

cambio, h es sobreyectiva, por ser todos los elementos del codominio imágenes de algún

elemento del dominio.

d) Es inmediato que i es inyectiva y sobreyectiva.

En el ejemplo ilustrativo anterior observamos que, los dos tipos de funciones, a saber, las

inyectivas y las sobreyectivas, pueden aparecer combinadas de diferentes maneras, en una misma

función. Esto es, dada una función, podemos encontrar una de las siguientes condiciones:

Figura 3

Funciones Reales 5

a) No es inyectiva ni sobreyectiva. b) Es inyectiva, pero no sobreyectiva.

c) Es sobreyectiva, pero no inyectiva. d) Es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

De estas cuatros combinaciones, la última es de gran importancia

Según la definición, una función biyectiva queda caracterizada por las propiedades

siguientes:

a) Cada par de elementos diferentes del dominio tiene imágenes diferentes.

b) Todo elemento del codominio es imágen de algún elemento del dominio.

Lo descrito, es lo que comunmente se conoce como función biunívoca, nombre que

también identifica a las funciones biyectivas.

Observaciones. Las únicas funciones cuya correspondencia recíproca es también función son las

biyectivas. Por lo tanto, para que una función ( )f admita inversa( )1−f , debe ser biyectiva. En algunos casos, aun cuando la función dada no es biyectiva, pueden acotarse los conjuntos de salida y de llegada para definir otra función, con imágenes iguales a las de la función dada para los elementos del nuevo dominio. La nueva función definida será ahora biyectiva y por lo tanto admitirá la función inversa.

El acotamiento referido en la observación anterior no es único, y existen diferentes posibilidades para lograr una función similar a la dada con diferentes dominios y conjuntos de llegada que se biyectiva. Mas adelante retomaremos este tema.

En lo sucesivo se trataran funciones en las cuales, tanto el dominio como el codominio están constituidos por números reales (son subconjuntos de R). Tales funciones se llaman funciones reales de variable real.

Ejemplo 1.1 Decida si la función f definida por: f R R f x x: ( )→ ∧ = − 2 3 es biyectiva.

Solución. Para determinar si es biyectiva o no, debemos recurrir a la demostración matemática,

apoyados en las definiciones dadas de función inyectiva y sobreyectiva.

Veamos si f es inyectiva. Dados dos números cualesquiera del dominio, digamos

x x1 2 y , se cumple que:

f x f x x x

x x

x x

( ) ( )1 2 1 2

1 2

1 2

2 3 2 3

2 2

= → − = −→ =→ =

Funciones Reales 6

Esto es, imágenes iguales corresponden a preimágenes iguales, y así queda demostrado que f es

inyectiva. f es sobreyectiva. En efecto, si despejamos x de la ecuación y x= −2 3,

obtenemos xy= + 3

2

Por lo tanto, como y

R+ ∈3

2 para todo número real y, se cumple que Ragf = R. Esto es, el

rango y el codominio de la función f coinciden.

Siendo f una función inyectiva y sobreyectiva a la vez, podemos concluir que f es

biyectiva.

Cuando se trabaja con funciones reales en la mayoría de los casos se considera que el codominio es R , por lo que, es habitual definir funciones indicando solo el dominio.

A veces no se presenta explícitamente el dominio y el codominio de una función, por

ejemplo: “ f es una función tal que f(x) =x−1

1 con x ≠ 1 ” , se entiende que Domf = R-{1}.

También puede abreviarse escribiendo “ f es la función tal que f(x)= x−1

1”.

En estos caso si el dominio no se especifica, se sobreentiende que está formado por todos los

números reales x para los cuales f(x) es un número real. Es decir Domf = { x ∈ R: f(x) ∈ R }

Ejemplo 1.2 Decida si la función 12 +

=x

xxf )( es biyectiva.

Solución. Primero que nada, veamos si f es inyectiva.

Para dos números cualesquiera x x1 2 y del dominio de f se tiene que

0

0

11

121221

222

112

21

22

22

1

121

=−−−→

=−−+→

+=

+→=

)()(

)()(

xxxxxx

xxxxxx

x

x

x

xxfxf

212

2112

2112

1

010

01

xxx

xxxx

xxxx

=∨=→

=−∨=−→

=−−→

x

))((

1

Es decir, si dos números del dominio de la función f tienen la misma imagen, entonces

los dos números son iguales, o uno es el inverso multiplicativo del otro (2 y ½ tienen la misma

imagen). Así, f no es inyectiva. Por lo tanto, tampoco es biyectiva.

Se deja como ejercicio, determinar si la función es o no sobreyectiva.

Funciones Reales 7

Obtención del dominio de una función real de una variable real.

En vista de que el dominio de una función real y=f(x) es el conjunto formado por

números reales x tales que ( )xf resulta un número real, lo importante es obtener el conjunto de

todos estos valores de x, tomando en consideración las restricciones de la existencia en ℜ , que

son básicamente:

1.- Las raíces de índice par resultan valores reales, solamente cuando la cantidad subradical es

no negativa. Es decir: ℜ∈n xg )( con n par, sí y sólo sí ( ) 0≥xg . Si n es impar no hay

restricción.

2.- Los cocientes resultan ser valores reales siempre que el denominador no sea nulo. Esto es:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 0, ≠ℜ∈ℜ∈⇔ℜ∈ xgyxgxfxg

xf.

3.- Los logaritmos resultan ser valores reales solamente cuando la cantidad operada es positiva.

En otras palabras: ( ) ( ) 0log >⇔ℜ∈ xfxfa .

4.- Las expresiones arcseno y arcocoseno resultan ser valores reales solamente cuando la cantidad operada sea mayor o igual a –1 y a la vez menor igual a 1. Es decir: ( )xfarcsen y

( )xfarccos son valores reales sí y sólo sí ( ) 11 ≤≤− xf ó equivalente ( ) 1≤xf .

Ejemplo 1.3 Hallar el dominio y el rango de la función f definida por 1

42 −

=x

xf )( , además

determinar si ella es inyectiva o sobreyectiva

Solución Se tiene que Domf =

∈

−∈ R

xRx

1

42

: .

De allí se obtiene que x∈Domf si y solo si x2-1≠0, pues la división por cero no está definida. Así que Domf = R-{-1, 1 }

Por otra parte, tenemos que: Ragf = { }

−−∈

−=∈ 11

1

42

,: Rxx

yRy algún para

Este conjunto lo determinamos despejando x de la expresión 1

42 −

=x

y :

1

42 −

=x

y ⇒ y(x2-1) = 4 ⇒ yx2-y = 4 ⇒ yx2 = 4+y ⇒ x2 = y

y+4 para y ≠0

tenemos entonces que x = y

y+± 4 . Para que existan los x en R-{-1, 1 }, se debe cumplir

04 ≥+

y

y y

y

y+4 ≠ 1. La segunda condición se cumple para todo y≠0, puesto que 4+y≠y

La primera condición se satisface sólo si ( ] ( )+∞−∞−∈ ,, 04 Uy

Funciones Reales 8

Por lo tanto Ragf = ( ] ( )+∞−∞− ,, 04 U

Puede observarse fácilmente que f(2) = f(-2) por lo que la función no es inyectiva y como el codominio no se ha indicado debemos suponer que es R, el cual no es igual al rango encontrado por tanto no es una función sobreyectiva.

Ejercicio. Hallar el dominio y el rango de la función g definida por 24 xxg −=)( y verificar que no es inyectiva ni sobreyectiva. Respuesta: Domg = [ ]22,− y Ragg = [ ]20,

1.4 REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES REALES

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas, y f una función real de variable

real tal que f A B f x y: ( )→ ∧ =

A cada elemento ( , ( ))x f x de f, le podemos asociar un punto del plano cartesiano

(como se ilustra en la figura 4).

El conjunto de todos los puntos del plano, que se asocian con los elementos de f, se

denomina representación gráfica de la función f.

E n este e je co locam os lose lem entos de l rango

f(x)

E n este e je co locam os lose lem entos de l dom in io

x

(x , f(x))

X

Y

Figura 4

Ejemplo 1.4 Trazar la representación gráfica de la función f tal que f(x) = 2x

2 1

Solución. Si asociamos a cada uno de los pares (x,2x) un punto en el plano cartesiano y sabiendo que todos los pares (x , 2x) están sobre la recta cuya ecuación es y=2x . Se concluye que tal recta es la representación gráfica de la función f. Figura 5

Funciones Reales 9

Ejemplo 1.5 Trazar la representación gráfica de la función g definida por g x x( ) = 2

Solución Si trazamos algunos pares de la forma ),( 2xx obtenemos una imagen como la de la

figura 6.

. .... 1...

. 1..

..

( 1 , 1 )

( 2 , 4 )

( - 1 , 1 )

( - 2 , 4 )

1 1.

F i g u r a 1 0 F i g u r a 1 1

Y Y

X X

Todos los pares ( , )x x2 están sobre una curva como la que se ve en la figura 7, esta curva es

conocida con el nombre de parábola.

Ejemplo 1.6 Trazar la representación gráfica de la función f tal que f x x( ) = 2, − < ≤2 3x

El círculo vacío en uno de los extremos de la curva deja explícito que el punto (-2,4) no

pertenece a la representación gráfica, y el círculo relleno en el otro extremo indica que ese punto

pertenece a la representación gráfica y que dicha representación no se prolonga en ése extremo.

Partiendo de la representación gráfica de una función f, se puede decidir si f es inyectiva: la

condición f x f x x x( ) ( )1 2 1 2≠ ≠ para significa que ninguna recta horizontal corta a la

representación gráfica de f dos veces o más

Figura 6 Figura 7

Solución La regla de correspondencia que permite identificar los elementos de esta función es la misma que se consideró en la función g definida en el ejemplo 1.5, pero, el dominio de la función f es el intervalo ( ]32,− y el de la función g es R. Luego, la representación gráfica de f (Figura 8) es una parte de la de g.

o

.. 9

. 4

.3

.- 2

Y

X

Figura 8

Funciones Reales 10

X

Y

X

Yy = f(x) y = f(x)

Función inyectiva Función que no es inyectiva Figura 2

El procedimiento de obtención de las representaciones gráficas nos conduce a un dibujo

aproximado, lo cual es suficiente por los momentos, hasta que dispongamos de herramientas

como la derivada, que nos permitirá llegar a dibujos más precisos.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

(a) (b)

.

.

(c) (d)

Figura 13

La representación gráfica de una función no puede contener dos puntos situados sobre una misma vertical. Esta conclusión se desprende inmediatamente de la definición de función: dos puntos sobre la misma vertical corresponden a pares de la forma (a , b) y (a , c) y, por definición, una función no puede contener los pares (a , b) y (a , c) si b c≠ . Viceversa, si un conjunto de puntos del plano tiene la propiedad de que no hay dos puntos situados sobre la misma vertical, entonces dicho conjunto corresponde a la representación gráfica de una función. Así, los dos primeros conjuntos de la figura 10 no son representaciones gráficas de funciones y los dos últimos si lo son.

Figura 10

Figura 9

Funciones Reales 11

Estudio y representación gráfica de las funciones más usadas.

Se trata de conocer la forma de las curvas correspondientes a las funciones más comunes,

para que cuando sea necesario graficarlas baste con una pequeña tabla de valores para conseguir

una buena aproximación a la representación exacta.

1) Función constante.

“Todos los elementos del dominio poseen la misma imagen”.

Su expresión matemática tiene la forma ( ) bxf = (b constante).

Dominio=ℜ . Rango= { }b .

Su representación es una recta horizontal que pasa

por el punto ( )b,0 . La función no es inyectiva ni sobreyectiva

2) Función Identidad.

“Todo elemento del dominio es idéntico a su imagen”.

Expresión matemática: ( ) xxf =

Dominio = ℜ .

Rango = ℜ . Su representación es una recta que forma

45° con la dirección positiva del eje x, y pasa por el origen.

Puede deducirse fácilmente que esta función es biyectiva

3) Función Afín.

“Las imágenes se obtienen multiplicando a los elementos del dominio por una constante y

sumando otra”. Expresión matemática: ( ) baxxf +=

Dominio = ℜ .

Rango = ℜ . (sí a = 0, Rango = { }b ).

Su representación gráfica es una recta de

pendiente a y ordenada en el origen b. las funciones constante e identidad, son casos

particulares de la función afín, ya que pueden obtenerse para valores específicos de a y b. Es

biyectiva salvo en el caso a=0

4) Función Potencia.

“Las imágenes se obtienen elevando a una potencia natural los elementos del dominio”.

Expresión matemática: ( ) nxxf = ( )Nn ∈ .

Dominio = ℜ .

Rango = ?.(depende del valor de n).

Y y=f(x)=b b

X

Y a a X

Y f(x)=ax+b b • α tag(α)=a X

Funciones Reales 12

De cualquier forma pueden deducirse fácilmente que para n impar el rango es ℜ y para n par

es [0, +∞) . La representación gráfica también depende de n, y veremos aquí algunos casos.

1. Cuando n = 1. ( ) xxf = , es la función identidad ya estudiada.

2. Cuando n = 2. ( ) 2xxf = , es la función potencial de segundo grado, y su gráfica es una

parábola. No es inyectiva pues f(-2)=f(2)

3. Cuando n = 3. ( ) 3xxf = , es la función cúbica

o función potencial de tercer grado, y su gráfica

se muestra en el gráfico siguiente:

Es biyectiva. Es necesario hacer la

Demostración en clase

5) Función Polinómica. “Toda función cuya regla de correspondencia entre los elementos del dominio (x) y sus

imágenes ( )( )xf sea de la forma ( ) on

nn

n axaxaxaxf ++++= −− 11

11 ... es una función

polinómica”. En la definición anterior se debe tomar en cuenta: i) n es un entero positivo. ii) ai, i = 0,1,2,...,n son constantes reales. iii) ai, i = 0,1,2,...,n se les denomina coeficientes del polinomio y al entero positivo n, se

le llama grado del polinomio (por supuesto 0≠na ).

iv) Dominio = ℜ .

Observaciones: 1) Son funciones polinómicas todas las funciones estudiadas hasta ahora (constante,

identidad, afín y potencial), de donde puede deducirse que la representación gráfica y el rango de una función polinómica dependen de su grado y de sus coeficientes.

2) Entre las funciones polinómicas conviene destacar la de segundo grado (cuadrática) , por ser de particular importancia la estudiaremos aparte.

6) Función Cuadrática o Trinomio de Segundo grado.

“Es una función cuadrática aquella cuya regla de correspondencia entre los elementos del

dominio y las imágenes es de la firma ( ) cxbaxxf ++= .2 , donde a, b y c son constantes reales y 0≠a ”.

Raíces del trinomio de segundo grado.

Las raíces del trinomio ( ) cxbaxxf ++= .2 son los valores de x que hacen que ( ) 0=xf .

Por lo tanto, dichas raíces se obtienen resolviendo la ecuación: 0.2 =++ cxbax

Cuyo resultado son las raíces buscadas:a

cabbx

.2

..42

1−−−= y

a

cabbx

.2

..42

2−+−=

esta fórmula conocida popularmente como “la resolvente cuadrática” puede deducirse usando la técnica de completación de cuadrados, inténtelo.

X

Y

y=x3

Funciones Reales 13

Naturaleza de la raíces. Denominaremos discriminante (∆ ) a la cantidad subradical que interviene en el cálculo de

las raíces ( )cab ..42 −=∆ , entonces las raíces de un trinomio de segundo grado pueden ser:

i) Raíces reales distintas ( ) 0,21 >∆≠ síxx

ii) Raíces reales iguales ( ) 0,21 =∆= síxx .

iii) Raíces complejas conjugadas, 0<∆sí

Signo de f(x) = cxbax ++ .2 cuyas raíces son x1 y x2 .

a) Caso 1. Raíces reales diferentes. El signo de cxbax ++ .2 es el mismo signo de a,

excepto en los valores x1 y x2 ( ) ( )( )021 == xfxf , y en el intervalo ( )21, xx donde tiene

signo contrario. Esto puede ser utilizado para resolver inecuaciones cuadráticas, como

veremos en la página 14

b) Caso 2. Raíces reales e iguales. El signo de cxbax ++ .2 es el mismo signo de a, excepto

en x1 ya que ( ) 01 =xf .

c) Caso 3. Raíces imaginarias. El signo de cxbax ++ .2 siempre es el mismo signo de a, sin

importar cual sea el valor de x.

Valor máximo y mínimo de un polinomio de segundo grado. Mediante la técnica de completación de cuadrados, todo polinomio de segundo grado puede

expresarse de la forma ( ) khxa +− 2. donde a, h y k son constantes reales. Entonces:

i) Sí 0>a , la función ( ) ( ) khxaxf +−= 2. , donde a, h, y k son constantes, tomará su

valor mínimo cuando hx = , y será igual a ( ) khf = . En estas condiciones diremos que k

es el valor mínimo de la función f.

ii) Sí 0<a , la función ( ) ( ) khxaxf +−= 2. , donde a, h, y k son constantes, tomará su

mayor valor (máximo) cuando hx = , y será igual a ( ) khf = . En estas condiciones

diremos que k es el valor máximo de la función f.

Representación Gráfica de una función polinómica de 2° grado.

Sea ( ) cbxaxxf ++= 2 , donde a,b,c son constantes

i) 21 xyx son las raíces del polinomio.

ii) El discriminante cab ..42 −=∆ .

La gráfica de la función dependerá de los signos de a y de ∆ , pero conviene siempre

escribir la ecuación en la forma ( ) ( ) khxaxf +−= 2 para obtener las coordenadas del

punto mínimo o máximo que denominaremos vértice. Las formas del las gráficas,

dependiendo de los signos de a y ∆ es la siguiente:

Funciones Reales 14

En todos los casos la curva es una parábola.

Método práctico para graficar trinomios de 2° grado.

Si se quiere una buena aproximación de la gráfica de un trinomio conviene seguir

el método que se da a continuación:

1. Se expresa la función dada en la forma ( ) ( ) khxaxf +−= 2 , lo que permitirá

determinar el vértice, ya que ( )khV , .

2. Se hace una tabla de cuatro valores adicionales, tomando como valores de x a:

21,2,1 −−++ hyhhh de tal manera que la tabla tomará la siguiente distribución:

x h h+1 h+2 h -1 h - 2

y k k+a k+4a k+a k+4a

Método Gráfico para resolver inecuaciones cuadráticas

Si tenemos que resolver una inecuación cuadrática como ax2+bx+c≥0. Es suficiente con graficar

la correspondiente función f(x) = ax2+bx+c y observar para que valores de x, f(x) ≥0, que

X

Y

∆ >0

a>0

∆ =0

a>0

Y

X

X

Y ∆ <0

a<0

3. Se ubican estos puntos en la recta real y se unen con trazos continuos, recordando que la curva es una parábola con vértice en ( )kh, Observación. La recta y=k representa la tangente a la parábola en el punto ( )kh, su vértice.

X

Y

y=k

h-1 h h+1

k+a

h-2 h+2

k+4a

y=f(x)=a(x-h)2+k

Funciones Reales 15

equivale a observar cuál es la parte del gráfico que está por encima del eje X. Veamos un

ejemplo.

Ejemplo 1.6 Encontrar el conjunto solución de la inecuación 2x2-3x-5≥0

7) Función Valor Absoluto o módulo.

Denominamos función valor absoluto de x, a la función que asigna a cada número real x el

número no negativo x (valor absoluto de x), que se define mediante:

( )

<−≥

==0

0

xsíx

xsíxxxf

Propiedades del valor absoluto:

i) 2xx = . ii) 000 =⇔=ℜ∈∀≥ xxxx ,, .

iii) xx −= . iv) 222 xxx == .

v) yxyx +≤+ (desigualdad triangular)

Función valor absoluto generalizada.

Considérese la función ( ) ( )xfxg = , donde ( )xf es una función cualquiera.

Entonces, de acuerdo a la definición de valor absoluto tendremos:

La figura anexa muestra la gráfica de la

función f(x)=2x2-3x-5. Puede observarse que

2x2-3x-5 ≥ 0, para los x∈(-∞ , -1] ∪ [5/2 , ∞)

También puede verse que la solución de

2x2-3x-5 < 0 es (-1 , 5/2)

Y

X

Su representación gráfica consiste de una línea quebrada formada por las rectas y=x e y=-x. de acuerdo a la definición, la gráfica será: la parte correspondiente a la recta y=x situada en el primer cuadrante y la parte correspondiente a la recta y = -x en el segundo cuadrante.

Dominio: ℜ . Rango: { }0U+ℜ

Funciones Reales 16

( ) ( ) ( )( ) ( )

<−≥

=0

0

xfsíxf

xfsíxfxg

Si de conoce la gráfica de ( )xf la gráfica ( )xg es la misma que la de ( )xf excepto en

los puntos donde ( )xf es negativa, en los cuales se debe cambiar el signo a la ordenada.

Veamos lo antes dicho:

1.5 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales tales que D = Domf ∩ Domg ≠ φ. La suma de f y g es la función f+g tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x) con x ∈ D La diferencia de f y g es la función f-g tal que (f-g)(x) = f(x)-g(x) con x ∈ D El producto de f y g es la función f.g tal que (f.g)(x) = f(x).g(x) con x ∈ D El cociente de f y g es la función f / g tal que (f / g)(x) = f(x) / g(x) con x ∈ D-{ x: g(x) = 0 }

Algunas propiedades de la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones reales, son consecuencias inmediatas de las propiedades de sumas, diferencias, productos y cocientes de números reales. Por ejemplo, si f , g y h son funciones tal que D f g h= ≠ ∅Dom Dom DomI I , entonces ( f + g ) + h = f + ( g + h ), f + g = g + f, f. ( g . h ) = ( f . g ). h, f . g = g . f y f. ( g + h) = f . g + f . h

La gran mayoría de las funciones que trataremos se pueden expresar en términos de

suma, diferencia, producto, cociente o raíces de funciones polinómicas. Tales funciones se

llaman funciones algebraicas. El siguiente ejemplo ilustra como hallar el dominio de una

función algebraica.

Ejemplo 1.7 Hallar el dominio de la función f definida por

f x x xx x

x( )

( )= − − + −

− −2 3 4 1

6

3 4 1

5 35

2

Solución Consideremos las funciones g, h, i y j tales que

y= f(x) y=f(x)

Funciones Reales 17

g x x h x i x x x j x x( ) ( ) , ( ) ( ) ( )= = = − = − −2 3 6 3 4 15 5 2, 4x -1 y 3

Así, se tiene que f x g x h xi x

j x( ) ( ) ( )

( )

( )= − +

Por lo tanto { }0≠∩∩∩∩= )(/DomDomDomDomDom xjxjihgf

Veamos cual es el dominio de las funciones f, g, h, i y j. Como g e i son funciones

polinómicas, entonces Domg = Domi = R.

Sabemos que la raíz cúbica esta definida para todo número real, por lo tanto

{ } RRxRxh =∈−∈= 14/Dom .

Para la función j se tiene que

≥−−∈= 0143 2xRxj /Dom . Esto es

∪

−−=

2

5

2

1

2

1

2

5,,Domj

Además { }

−−=≠2

5

2

50 ,)(/ Rxjx

Por lo tanto, el dominio de f es

−−∩

∪

−−∩∩∩=

2

5

2

5

2

5

2

1

2

1

2

5,,,Dom RRRRf

=

∪

−−

2

5

2

1

2

1

2

5,,

El manejo de expresiones como las efectuadas en el ejemplo ilustrativo siguiente son de

mucha utilidad para formar nuevas funciones

Ejemplo ilustrativo 1.3 Dada la función f definida por f x x x( ) = − +2 3 52

no se debe encontrar dificultad para comprobar que

3241014812

5321532

2

2

22

−+=+−=−

+−=

++=−

hxh

xxxf

x

xx

xfxxxf

f(x)-h)+f(x y )(

)(

1.6 COMPOSICION DE FUNCIONES

Sean A y B subconjuntos de R y consideremos las funciones

yxfRAf =∧→ )( :

y yxgRBg =∧→ )( :

Funciones Reales 18

Supongamos que Ragf B∩ ≠ ∅ , entonces existe x A∈ tal que f x B( ) ∈ (Ver

figura11), así, a este elemento f (x) le podemos aplicar g para obtener g (f (x)).

xf(x) g(f(x))

AB

Ragf Rag(g)

f g

Figura 11

Consideremos una función h dada por h(x) = g(f(x)), la cual se ilustra en la figura 12.

A

x g (f(x ) )

R a g(g )

h

Figura 12

Esta función h manda directamente al elemento x A∈ en el elemento g (f (x)) y recibe

el nombre de función compuesta de f y g.

La función h que acabamos de definir se denota por h = gof. La cual se lee:

“ h es igual a g compuesta con f ”

El símbolo “ o ” corresponde entonces a una nueva operación entre funciones que

llamaremos composición de funciones, cumpliéndose que gof es la función tal que

(gof )(x) = g (f (x)), x D A∈ ⊂

donde { } { }gxffxBxfAxgofD Dom)(/Dom )(/ )(Dom ∈∈=∈∈==

Ejemplo 1.8 Sean f y g dos funciones tales que f x x( ) = −4 2 y g x x( ) =

Hallar: i) Domf y Domg. ii) (gof )(x) y ( fog)(x). iii) Dom(go f ) y Dom( fog).

Solución. i) Es inmediato que Domf = R y Domg = [ )+∞,0 .

ii) ( )( ) ( ( )) ( )gof x g f x g x x= = − = −4 42 2

y ( ) xxxfxgfxfog −=−=== 442

)())(())((

iii) Dom( gof ) { }gxffx Dom)(/Dom ∈∈= { }04 2 ≥−∈= xRx / [ ]22,−=

y Dom(fog) { }fxggx Dom)(/Dom ∈∈= [ ){ }Rxx ∈+∞∈= /,0 [ )+∞= ,0

En el ejemplo anterior se observa que ( )( ) ( )( )gof x fog x≠ . En general se tiene que

gof fog≠ . Esto es, la composición de funciones no es conmutativa. Además se tiene que, aún

Funciones Reales 19

cuando (fog)(x) = 4 - x y el dominio de una función polinómica es R, [ )+∞= ,0)(Dom fog . La

causa de esto es que se están usando dos funciones f y g para obtener una nueva función

denotada por fog.

La mayor parte de las funciones con que trabajaremos en la práctica resultan de la

composición de otras funciones. Por ejemplo, sea h una función tal que h x x( ) = −1 2 y

consideremos las funciones f, g, i y j definidas como siguen:

xxjxxixxgxxf =+=−== )(,)(,)(,)( 12

Vemos que: joiogof = h. En efecto

)()())(())((())))(((())(fgij( ooo xhxxjxijxgijxfgijx =−=−=−=== 2222 11

En la figura 4 se ilustra esta composición

x fx 2 g − x 2 i

1 2− x

1 2− x

jh

Figura 13

1.7 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS

En cálculo, con frecuencia se requiere expresar una situación práctica en términos de una

relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemático de tal situación. En

esta sección se dan ejemplos que muestran el procedimiento explícito en la obtención de algunos

modelos matemáticos.

Ejemplo 1.9 Un cilindro circular recto de radio r y de altura h está inscrito en un cono de

altura 12 y radio de la base 4, como se muestra en la figura 14.

i) Exprese el volumen del cilindro como función del radio r.

ii) ¿Cuál es el dominio de la función resultante?.

A

B

CD

E

1 2

h

r4

Solución

i) Sea v el volumen del cilindro,

entonces v r h= π 2 (4)

Observemos en la figura que los

triángulos ACD y ABE son semejantes, por

lo tanto BE

CD

AB

AC = . Esto es

rh

4

12

12 =−

(5)

Figura 14

Funciones Reales 20

Para expresar v en función de r, despejamos h de (5), obteniendo h = 12 - 3r

luego se sustituye h en (4), dando como resultado ( )rrrv 3122 −= )( π

ii) El menor valor que r puede tomar es 0 y el mayor valor es 4, pues, ese es el radio de

la base del cono. De allí que r debe estar en el intervalo cerrado 0 4, . Luego. Domv = 0 4,

Para ciertas aplicaciones es necesario expresar una variable y como función de una

variable t. Con el siguiente ejemplo se ilustra que a veces es más fácil introducir una tercera

variable x como función de t ; esto es, x = g(t). A continuación se expresa a y como una

función de x; esto es, y = f(x) y finalmente se forma la función y = f(x) = f (g (t)).

Ejemplo 1.10 Un globo de aire caliente sube verticalmente conforme se suelta una cuerda atada

a su base a razón de 2 m/seg. La polea que suelta la cuerda está a 8 metros de la plataforma en

la que los pasajeros abordan el globo. Exprese la altura del globo en función del tiempo.

Inicialmente la cantidad de cuerda suelta es 8 m, pues, esa es la distancia de la polea a la

plataforma donde se encuentra el globo en ese momento. Entonces, después de t seg, la cantidad

de cuerda suelta es: x t f t= + =8 2 ( )

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC se tiene que

h x g x= − =2 64 ( )

Así, La altura h del globo en función de t es 282 tttfgxgh +=== ))(()(

Es decir h t t= +2 8 2 que es lo que queríamos determinar.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.) Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones

1

12)( ) 11)( ) 11)( )

24

1)( )1+x=f(x) ) 1)( )

222

2

2

−

−=−+−=−−=

−−=−−=

x

xxffxxxfexxfd

xxfcxbxxfa

23x

x=f(x) )

9

1)( )

23 +−−+=

xh

xx

xxfg

Solución Sea x la cantidad de cuerda suelta a

los t segundos y h la altura del globo,

cuando la cantidad de cuerda suelta es x. En

la figura 15 se ilustra la posición del globo a

los t segundos.

x

8

h

A B

C

Figura 15

Funciones Reales 21

2) Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones

1

)( )12

1)( ) 4)( )

23

x

xxfc

x

xxfbxxfa

+=−

+=−=

22

222

x-2

4=f(x) )

9

1)( )

14)( )25)( e) )( )d

hx

xfg

xxffxxfxxxf

+=

++=−=−=

3) Hallar el rango de cada una de las siguientes funciones

( ]( ) 162

14322 −=∧→−

−=∧→−

xxfRfb

xxfRfa

)( ,: )

)( ,: ) ( ]

1

1121

−=∧→−−

xxfRfc )( }{,: )

4) Para cada una de las siguientes parejas de funciones:

xx

xxg

xxxfiixxfi

11

1

2−==

+==

g(x) )(

)( ) )( )

)(

)( )

1

2

2 −=

−=

xxg

xxfiii

1

12

−=

−=

xxg

xxfiv

)(

)( )

xxxgxxg

xxxfvixxfv

+==

+=

)( )(

)( ) =)( )2

determinar:

a) La regla de correspondencia de las funciones: f + g, f -g, f .g, f

g , fog y gof.

b) El dominio de cada una de las funciones dadas en (a).

5) Dada la función f definida por

=

≠=

01

0

x

xx

x

xf

si

si )( , hallar:

)f(0 ) )( c) f(-1) ) )1( ) dxfbfa −

6) Si f es una función definida por f xx

( ) =+1

1, hallar:

1

1

−−−+

x

fxfb

h

xfhxfa

)()( )

)()( )

7) Dada la función h definida por x

xxh−

++=4

14)( 2 , hallar: Domh.

8) Dada la función f definida por f xx

( ) =−1

1

a) ¿Cuál es el dominio de f ?.

b) ¿Cuál es el dominio de fof ?.

Funciones Reales 22

9) Sea f una función definida de la forma f x x( ) = 5. ¿Existirá una función g tal que

(fog)(x) = x para todo número real x?. Si así fuera, ¿Cuántas funciones habrán?.

10) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, siendo f, g, y

h funciones reales. Si es verdadera demuéstrela, si es falsa ofrezca un contraejemplo.

ohfoggohfofgoffogehfgfhgfd

hgfhgfcfggfbfggfa

)()( ) )..)( )

)..().( ).. ) )

==+=+==+=+

11) Expresar la longitud L de la diagonal de un cuadrado como función de su área A.

12) Expresar el área A de una circunferencia como función de su longitud L.

13) Un fabricante de envases construye cajas sin tapas utilizando láminas cuadradas de

72 cm. de lado, a las cuales recorta un pequeño cuadrado de cada esquina y dobla las aletas para

formar los lados de la caja. Si x es la longitud del lado del pequeño cuadrado que recorta:

a) Expresar el volumen de la caja en función de x.

b) Hallar el dominio de la función resultante.

14) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 1000 cm3. El material

para la construcción de la caja cuesta 2 $. el centímetro cuadrado. (a) Exprese el costo de la caja

en función de la longitud del lado de la base de la caja. (b) Hallar el dominio de la función

resultante.

15) Esbozar las representaciones gráficas de las siguientes funciones, trazando un número de

puntos suficientes para obtener una buena idea del aspecto general.

a f x x b f x x x R

c f xx

x d f xx

x

) ( ) ) ( ) ,

) ( ) , ) ( ) ,

, x R

= − ∈ = ∈

= ≠ = ≠

2 1

10

10

3

2

16) Indicar cuales de las figuras que se muestran a continuación corresponden a la

representación gráfica de una función

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X X

Y

X

( a ) ( b )( c )

( d ) ( e ) ( f )

o

.

Funciones Reales 23

2 EJEMPLOS DE FUNCIONES

El presente capítulo nos proporcionará criterios adicionales para la construcción de

representaciones gráficas de ciertas funciones algebraicas. Estas funciones adquieren relevancia ,

dada la frecuencia con que aparecen en aplicaciones prácticas.

2.1 FUNCION AFIN

De la geometría analítica sabemos que la ecuación y =ax + b representa una recta de

pendiente a que corta al eje Y en el punto (0 , b). Por esto, la función Afín f(x) = ax + b es

llamada por algunos autores función lineal.

Una recta en el plano queda determinada por dos puntos distintos, por lo cual, para trazar

la representación gráfica de una función afín basta con conocer dos elementos de tal función.

Ejemplo 2.1 Representar gráficamente la función f (x) = 3x-2

Solución La representación gráfica de la función f es una recta de pendiente 3 que corta

al eje Y en el punto (0 , -2). En efecto f (0) = 3.0 - 2 = -2

Necesitamos otro punto. Lo habitual es determinar el punto de intersección de la recta con

el eje X, el cual corresponde a un punto de la forma (c , 0).

Como (c , 0) pertenece a f , entonces f (c) = 0 ⇒ 3.c - 2 = 0 ⇒ c= 2

3.

Así,

0,

3

2 es el punto de corte con el eje X. Luego, la representación gráfica de la función f es

la que se muestra en la figura anexa

Si b = 0, entonces la función afín f (x) = ax tiene como representación gráfica una recta que

pasa por el origen.

Si y es una función lineal de x, entonces y =ax + b para algunas constantes a y b, y se

dice que x e y están relacionadas linealmente. Las relaciones lineales entre variables aparecen

frecuentemente en las aplicaciones. El siguiente ejemplo es una ilustración de ello.

No es difícil demostrar que Ragf = R

La función identidad (caso particular de función afín

con a=1 y b=0) se presenta con frecuencia y algunas

veces se denota con I, más aún, si el dominio de la

función identidad es RA ≠ , esta función se suele

designar por AI en vez de I. Esto es, AI es una

función tal que xxIAAI AA =∧→ )( : Figura 1

Funciones Reales 24

Ejemplo 2.2 La relación entre la temperatura t del aire en ( ºF ) y la altitud h ( en metros sobre

el nivel del mar) es aproximadamente lineal. La temperatura a nivel del mar es de 60ºF. Si la

altitud aumenta 500 metros, la temperatura del aire decrece alrededor de 18 ºF.

a) Exprese t como función de h.

b) ¿Cuál es la temperatura del aire a una altitud de 1500 metros?.

Solución

a) Como t es una función lineal de h, entonces t=ah+b (1)

para algunas constantes reales a y b.

Dado que la temperatura del aire a nivel del mar es de 60ºF, entonces t=60 cuando h=0. Por lo

tanto, sustituyendo estos valores en (1) se obtiene b = 60. Luego t=ah + 60 (2)

Por otra parte, cuando la altitud aumenta 500 metros, la temperatura del aire decrece

alrededor de 18ºF, esto es, t = 60 - 18 = 42 cuando h = 500. Sustituyendo estos valores en (2)

se obtiene 250

9−=a . Por lo tanto t h h( ) = − +9

25060

b) Como t(1500) = 6, entonces la temperatura del aire a una altitud de 1500 m. es de 6ºF.

2.2 FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

Veamos un ejemplo que ilustra el trazado de la representación gráfica de una función que

no está definida mediante una única fórmula algebraica para todo número de su dominio.

Ejemplo 2.3 Trazar la representación gráfica de la función f definida por

>−

≤≤−

−<

=

12

11

12

x

xx

x

xf

si

si

si

)(

Solución Se tiene que Domf = ( ) [ ] ( ) R=+∞∪−∪−∞− ,,, 1111 .

Podemos determinar el valor de la función para cualquier x de su dominio de definición,

por ejemplo

1323

101001525

>−=≤≤=−<−=−

pues )(

,- pues, )(, pues, ,)(

f

ff

Consideremos las funciones g, h y j tales que

g x x

h x x x

j x

( )

( ) ,

( ) ,

= < −= − ≤ ≤= −

2 1

1 1

2

,

x > 1

Funciones Reales 25

Ejemplo 2.4 Trazar la representación gráfica de la función f definida por f x x( ) = −3 1

Solución De acuerdo a la definición de valor absoluto, se tiene que

−−≥−−

=01313

01313

<- si )(

si )(

xx

xxxf

Esto es

<−

≥−=

3

131

3

113

xx

xxxf

si

si )(

Luego, la representación gráfica de la función f es la que se muestra en la figura 3.

Ejemplo 2.5 Trazar la representación gráfica de la función f tal que

xx

xf −−= 122

)(

Solución Se tiene que ( )

( )[ ]

<−−−−

≥−−−=

01122

01122

xxx

xxx

xf

si

si )(

Si trazamos la representación

gráfica de cada una de estas

funciones en un mismo plano

cartesiano obtenemos el

gráfico que se muestra en la

figura 4, el cual corresponde a

la representación gráfica de la

. Y . g (x ) = 2 . . 1 . h (x ) = x. . . . . . . . . . . . . . 1 X . . f ( x ) = -2 . . F ig u ra 4

Figura 2

. Y . . . 1 .. . . . . . . . . . . . . . 1 X . . . . Figura 6

. Y . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . 1 X . . . . Figura 7

f x x( ) = −3 1

f xx

x( ) = − −2

21

Figura 3 Figura 4

Funciones Reales 26

Es decir

>−

≤−=

1 si 2

32

1 si 22

5

)(

xx

xxxf

con lo cual se verifica que la representación gráfica de la función f es la que se muestra en la

figura 4.

2.3 TRASLACIONES VERTICALES Y HORIZONTALES DE LA

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA FUNCION

En esta sección veremos algunos criterios que permiten obtener la representación gráfica

de nuevas funciones a partir de la representación gráfica de otras

Ejemplo 2.6 Sea f una función tal que xxf =)( , trazar la representación gráfica de las

funciones g y h definidas como g(x) = f(x) + 3 y h(x) = f(x) - 2.

. Y . . . 1 .. . . . . . . . . . . . . . 1 X . . . . Figura 9

g x x( ) = + 3

f x x( ) =

h x x( ) = − 2

Para obtener la representación gráfica de la función h disminuimos en 2 unidades la

ordenada de cada uno de lo puntos de la representación gráfica de f. Así, la representación

gráfica de la función h se muestra en la figura 5.

En este ejemplo se ilustran las traslaciones verticales de la representación gráfica de la

función f.

En general, si f es una función cualquiera y c una constante real positiva, entonces

Para trazar la representación gráfica de la

función g definida por:

Traslade la representación gráfica de la

función f

g(x) = f(x) + c c unidades hacia arriba

g(x) = f(x) - c c unidades hacia abajo

Solución Para obtener la

representación gráfica de la función g

hay que aumentar en 3 unidades la

ordenada de cada uno de los puntos de

la representación gráfica de f, como se

muestra en la figura 5. Esto equivale a

trasladar la representación gráfica de f

hacia arriba 3 unidades.

Figura 5

Funciones Reales 27

Podemos obtener reglas similares para las traslaciones horizontales.

Ejemplo 2.7 Sea f una función tal que f x x( ) = , trazar la representación gráfica de las

funciones g y h definidas por g(x) = f(x + 3) y h(x) = f(x - 2).

Solución Se tiene que

−<−−−≥+

=+=33

333

xx

xxxxg

si

si )( y

<−≥−

=−=22

222

xx

xxxxh

si

si )(

Así. en la figura 6 se muestran las representaciones gráficas de las funciones f, g y h.

. Y . . . 1 .. . . . . . . . . . . . . . 1 X . Figura 10

f x x( ) =

h x x( ) = + 3

g x x( ) = − 2

En general, si f es una función cualquiera y c una constante real positiva, entonces

Para trazar la representación gráfica de la

función g definida por:

Se traslada la representación gráfica de la

función f.

g(x) = f(x + c) c unidades a la izquierda

g(x) = f(x - c) c unidades a la derecha

Podemos aplicar traslaciones verticales y horizontales simultáneamente para trazar la

representación gráfica de una función.

Observe que la representación

gráfica de g es una traslación de 2

unidades a la derecha de la

representación gráfica de f y, la de

h, es una traslación de 3 unidades a

la izquierda de la representación de

la misma función f. Figura 6

. Y . . . 1 .. . . . . . . . . . . . . . 1 X . F igura 11

f x x( ) =

g x x( ) = − +3 2

Figura 7

Funciones Reales 28

Ejemplo ilustrativo 2.1 La representación gráfica de la función g definida por

g x x( ) = − +3 2, es una traslación de tres unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba de la

representación gráfica de la función f dada por f x x( ) = . La gráfica de g se muestra en la

figura 7

Ejemplo 2.8 Trazar la representación gráfica de la función f dada por f x x x( ) = − −2 2, y

hallar el: dominio, rango y valor mínimo o máximo que toma dicha función.

Solución Es inmediato que Domf = R y que la representación gráfica de f corresponde a una

parábola.

Completando cuadrado en la ecuación y x x= − −2 2 con respecto a x obtenemos

4

9

2

12

+=

− yx

Así, el vértice de la parábola es

−4

9

2

1, .

Como a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba.

El punto de corte con el eje Y es (0 , -2).

Las raíces de la ecuación x x2 2 0− − = son 12 21 −== xx y , por lo tanto, la

parábola corta al eje X en los puntos (2 , 0) y (-1 , 0).

Con toda la información anterior se concluye que la representación gráfica de la función f es la

parábola que se muestra en la figura 8

Es inmediato que

+∞−= ,Rag4

9f

. Y . . . 1 .. . . . . . . . . . . . . . 1 X . . . . Figura 14

f x x x( ) = − −2 2

Algunos problemas aplicados pueden resolverse encontrando valores mínimos o máximos

de funciones cuadráticas, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

y que f tiene un valor mínimo, el

cual es 4

9− , y se obtiene cuando

2

1=x

Figura 8

Funciones Reales 29

Solución Sea A el área del rectángulo determinado por el punto P(x , y), entonces

A = x.y (3)

Tenemos que expresar A en función de una de las dimensiones, digamos x.

Como el punto P(x , y) pertenece a la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0 ,4),

entonces satisface la ecuación x y

2 41+ = (4)

Despejando y de (4) se tiene y = 4 - 2x, la cual se sustituye en (3) obteniéndose:

A x x= −4 2 2

que corresponde a una función cuadrática. Como a = -2 < 0, entonces A tiene un valor máximo

en x = 1. Esto es, la abscisa del punto P, que permite obtener el rectángulo de área máxima, es

1. Para encontrar la ordenada, sustituimos este valor de x en (4), obteniéndose y = 2. Así,

las coordenadas del punto P son (1 , 2).

Ejemplo 2.10 Se calcula que asistirán 14000 personas a un juego de baloncesto en el cual se

tendrá un precio de admisión de 5000 Bs. Por cada 500 Bs. que se le aumenten a las entradas, la

asistencia disminuirá en 280 personas.

a) Expresar el ingreso en taquilla, en función de la cantidad de veces que se agregan los 500 Bs.

b) ¿Qué precio de las entradas producirá el máximo ingreso en la taquilla?

c) ¿Cuántas personas se calcula que asistirán al juego si el precio de admisión es de 7000 Bs.?.

Solución a) Sea I el ingreso en la taquilla y, x la cantidad de veces que se agregan los 500 Bs. Observe

que

).)(.( " , Si

))(( " , Si

))(( entonces , Si

250050002280140002

5005000280140001

5000140000

+−==+−==

==

Ix

Ix

Ix

En general, tenemos que

))(( xxI 500500028014000 +−=

Ejemplo 2.9 Cada punto P(x , y) del segmento

de recta cuyos extremos son (0 , 4) y (2 , 0),

determina un rectángulo con las dimensiones x e

y, como se ilustra en la figura 9. Encuentre las

coordenadas del punto P que permiten obtener el

rectángulo de área máxima.

. Y 4 . . . P(x , y) .. . . . . . . . . . . . . . 2 X . Figura 15

Figura 9

Funciones Reales 30

Es decir 700000005600000140000 2 ++−= xxI

b) El máximo ingreso en la taquilla se obtiene cuando x = 20. Esto es, cuando se agregan 20

veces 500 Bs. Así, el precio de las entradas que producirá este máximo ingreso es 5000 +

500.20, es decir 15000 Bs.

c) Si el precio de admisión es de 7000 Bs., entonces se agregaron 2000 Bs al precio

original.; esto es, se agregaron 4 veces 500 Bs. Por lo tanto, el número de personas que se calcula

que asistirán es 14000-280.4, es decir 12880 personas.

2.4 FUNCION RACIONAL

Definición

Sean f y g dos funciones polinómicas, llamaremos función racional a toda función h,

definida de la forma h xf x

g x( )

( )

( )= , g x( ) ≠ 0

Esto es, una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas.

Trazaremos las representaciones gráficas de algunas funciones racionales particulares

Ejemplo 2.11 Trazar la representación gráfica de la función f definida por f xx

( ) = 1

De acuerdo a la forma como está definida la función y observando su representación

gráfica podemos sacar las siguientes conclusiones:

i) Como 1

0x

≠ para todo número real x, la curva no corta al eje X.

ii) Como f (0) no existe, la curva no corta al eje Y.

iii) { }.RagDom 0−== Rff

Solución Si asociamos, a cada uno de esos pares

de la forma

xx

1, un punto en el plano

cartesiano nos daremos cuenta que el conjunto

de todos los puntos generan una curva como la

que se muestra en la figura. Dicha curva

corresponde a la representación gráfica de la

función f y recibe el nombre de hipérbola

equilátera.

Funciones Reales 31

iv) Conforme le damos valores a x cada vez más pequeños, a través de valores mayores

que cero, los valores de f crecen sin límite.

v) Conforme le damos valores a x cada vez más grandes, a través de valores mayores

que cero, los valores de f decrecen sin límite.

vi) Si x crece, los valores de f se aproximan a cero.

vii) Los ejes X e Y son asíntotas de la curva.

Ejemplo 2.12 Trazar la representación gráfica de la función f definida por

f xx

( ) =+8

4 9 (5)

Solución Observe que f ( )08

9= , luego la representación gráfica corta al eje Y en el

punto

9

80, . Además,

8

4 90

x +≠ para todo número real x, por lo tanto, la representación

gráfica no corta al eje X.

En general, La representación gráfica de la función f definida por f xa

bx c( ) =

+, siendo a, b y

c constantes reales diferentes de cero, es una traslación vertical c

b unidades de la

representación gráfica de la función g definida por g xa

bx( ) = . En efecto

)()(

)(b

cxg

b

cxb

a

cbx

axf +=

+=

+=

La expresión (5) se puede escribir como

4

92

)(+

=x

xf , por lo tanto, la representación

gráfica de la función f es una traslación

vertical, 9

4 unidades hacia la izquierda, de la

representación gráfica de la función

xxg

2)( = . En la cual se observa que el eje X

y la recta cuya ecuación es x = − 9

4 son

asíntotas de la curva.

Funciones Reales 32

2.5 OTRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS

Mostraremos a continuación que el estudio de las cónicas puede reducirse a menudo al

estudio de funciones reales.

Ejemplo ilustrativo 2.2 Consideremos la circunferencia dada por la ecuación

( ) 94 22 =+− yx (6)

Si despejamos y, de la ecuación (6), obtenemos 2)4(9 −−±= xy (7)

La ecuación (7) no representa a y como función de x, pues, para un sólo valor de x pueden

obtenerse dos valores para y. Sin embargo, las expresiones

2)4(9)( −−== xxfy (8)

2)4(9)( −−−== xxgy (9)

si representan funciones cuyo dominio es { }049 2 ≥−−∈ )(/ xRx

es decir { }71 ≤≤∈ xRx /

Observe que Rag y Rag(g) = -3,0f = 0 3,

Se dice que las expresiones (8) y (9) definen explícitamente a las funciones f y g,

respectivamente, y la ecuación (6) define implícitamente a las mismas funciones f y g.

En general, si de la ecuación ( ) ( ) 222 rkyhx =−+− , se despeja la y se obtiene:

( ) khxry +−−±= 22

Esta ecuación no representa una función ya que para un solo valor de x pueden existir dos

valores de y.

Sin embargo, considerando las ecuaciones:

Las representaciones gráficas de las

funciones f y g son,

respectivamente, las

semicircunferencias superior e

inferior de centro (4 , 0) y radio 3.

En la figura se ilustran dichas curvas.

y f x x= = − −( ) ( )9 4 2

y g x x= = − − −( ) ( )9 4 2

Funciones Reales 33

( ) khxry +−−= 221 e ( ) khxry +−−−= 22

2

Tenemos ecuaciones que representan funciones cuyo dominio es el intervalo [ ]rhrh +− , ,

en cuanto a la representación gráfica se puede comprobar fácilmente que las curvas

correspondientes a y1 e y2 son respectivamente las semicircunferencias superior e inferior de

centro ( )kh, y radio r.

Ejemplo 2.13 La expresión )4(2)2( 2 −=− xy (10)

define implícitamente a una o mas funciones de la forma y = f(x). Hallar tales funciones y trazar

la representación gráfica de cada una.

Solución Despejando y de la expresión (10) se obtiene y x= ± −2 2 8

Así, La expresión (10) define implícitamente a dos funciones f y g de la forma

f x x( ) = + −2 2 8 y g x x( ) = − −2 2 8 (11)

Es inmediato que [ ) ( ]22 ,)(Rag y ,)Rag( ∞−=+∞= gf

En general, sea la parábola de vértice en ( )kh, y ecuación: ( ) hkyax +−= 2.

(parábola de eje horizontal ya que las de eje vertical ya se estudiaron en la función cuadrática). Si

se despeja y, se obtiene: ka

hxy +−±=

que no representa una función, ya que para un solo valor de x pueden existir dos valores de y.

Sin embargo, las ecuaciones:

ka

hxy +−=1 e k

a

hxy +−−=2

X

y=2+ 82 −x

y=2- 82 −x

El dominio de cada función es { }4≥∈ xRx /

La expresión (10) representa una

parábola, la cual se muestra en la figura. La

representación gráfica de las funciones

f y g son, respectivamente, la rama

superior e inferior de esa parábola.

Funciones Reales 34

Representan funciones, cuyo dominio es el intervalo ( )+∞,h , sí 0>a , ó ( )h,∞− sí 0<a .

En cuanto a la representación gráfica puede comprobarse que las curvas correspondientes a y1

e y2 son respectivamente las partes superior e inferior de la parábola de vértice ( )kh, y

ecuación ( ) hkyax +−= 2. .

Ejemplo 2.14 Trazar la representación gráfica de la función f definida por

f x x x( ) = −2 4

Solución El dominio de la función es { }042 ≥−∈= xxRxf /Dom

Es decir ( ] [ )+∞∪∞−= ,,Dom 40f

Aplicando operaciones algebraicas y el método de completación de cuadrado a la

ecuación y x x= −2 4 obtenemos ( )x y− − =2

4 41

2 2

Observe que [ )+∞= ,Rag 0f

2.6 FUNCION PARTE ENTERA

La parte entera de un número real x, denotado por x , es el mayor entero menor o igual

a x, es decir, x n n x n= ↔ ≤ < +1 donde n es un entero.

Así

2 2

3 3 3 52 4

0 25 1

= ≤

= ≤ <

− = − ≤

,

, ,

, ,

pues 2 2 < 3

3,52 "

" - 1 -0,25 < 0

Definición Llamaremos función parte entera a la función f tal que [ ]xxf =)( , x R∈

Observe que [ ][ ] 011

122

<≤−↔−=

−<≤−↔−=

xx

xx

[ ][ ][ ] 322

211

100

<≤↔=

<≤↔=

<≤↔=

xx

xx

xx

que corresponde a la ecuación de una hipérbola

de centro (2 , 0) y eje focal, el eje X. Como la

función f siempre toma valores positivos, su

representación gráfica es la rama de la hipérbola

que está por encima del eje X. En la siguiente

figura se ilustra dicha representación.

Funciones Reales 35

Así, se tiene que

[ ]

≤<≤<≤<≤−−

≤−

==

.

3<x2 si

si

si

si

-1<2- si

.

)(

2

211

100

011

2

x

x

x

x

xxf

Los principios de traslaciones pueden aplicarse para obtener las representaciones gráficas de funciones definidas de la forma [ ]cxbaxg ++=)( .

Podemos usar las operaciones con funciones dadas en el capítulo 1, para obtener las representaciones gráficas de otras funciones a partir de funciones cuyas representaciones gráficas conocemos.

Ejemplo 2.15 Obtener la representación gráfica de la función f definida por f x xx

( ) = + 1

Solución La función f puede entenderse como la función suma de las funciones g y h, tales

que g x x h xx

( ) ( )= = y 1

En efecto ( )( ) ( ) ( ) ( )g h x g x h x xx

f x+ = + = + =1

Observe que: { }0−== RhRg Dom y Dom , por lo que { }0−= RfDom

La representación gráfica de las funciones g y h se muestran en la figura.

Se tiene que { }

−∈

+=+= 0/1

, Rxx

xxhgf

Por lo tanto, para dibujar la representación gráfica de f, basta sumar las distancias dirigidas al eje X desde los puntos (x , g(x)) y (x , h(x)). Así, se obtiene la representación gráfica de la función f.

Veamos dos ejemplos de trazados de representaciones gráficas de funciones que no están definidas mediante una única expresión algebraica para todo número de su dominio, pero, involucran todas las funciones definidas anteriormente.

y=1/x

y=x

y=x+1/x

Luego, la representación gráfica de la función parte entera se muestra en la figura

Se tiene que: Domf = R y Ragf = Z

Funciones Reales 36

Ejemplo 2.16 Trazar la representación gráfica, hallar el dominio y el rango de la función f definida por

>

≤−=

1 si 2

1 si 3

)(

2

xx

xx

xf

Solución La función f se puede expresar como

>

≤≤−−

−<−

=

1 si 2

11 si 3

1 si 2

)( 2

xx

xx

xx

xf

Ya hemos tratados diferentes problemas donde se requiere expresar una situación práctica en términos de una relación funcional pero, en todos ellos, la función obtenida está definida por una única expresión algebraica para todo número de su dominio. El siguiente ejemplo difiere en ese sentido. Ejemplo 2.17 En el proyecto de una cafetería se calcula que si hay de 12 a 20 asientos, la ganancia diaria sería de 2350 Bs. Por cada asiento. Sin embargo, si hay más de 20, la ganancia diaria bruta de cada asiento disminuirá en 75 Bs. por cada asiento excedente. Expresar la ganancia diaria en función del número de asientos. Solución. Sea x la cantidad de asientos y p la ganancia diaria bruta en bolívares. Cuando 2012 ≤≤ x , la ganancia por asiento es de 2350 Bs, por lo tanto p = 2350x

Cuando x > 20, la ganancia por cada puesto es 2350 - 75(x - 20). Por lo tanto

[ ]xxp )( 20752350 −−=

Es decir 2753850 xxp −= Como la ganancia por asiento no puede ser negativa, entonces

020752350 ≥−− )(x Esto es 3331,≤x Además, como x representa número de lugares, entonces x toma valores enteros, por lo que .31≤x

Luego, la representación gráfica de la función f se

muestra en la figura. Observando dicha

representación y la forma como está definida la

función, se concluye en forma inmediata que ( ]30,Rag y Dom == fRf

Funciones Reales 37

Así, se tiene que la función p se define como:

{ }

≤<−

≤≤=∧→≤≤∈

3120753850

20223503112

2 xxx

xxxpRxZxp

si

1 si )( /:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Trazar la representación gráfica y, determine el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones

322

12

12

11

2 +−=+

=+−=

−+=−=−−=

xxxffxx

xfexxxfd

xxxfcxxfbx

xfa

)( ) )( ) )( )

)( ))( ) )( )

x-5

103)( ) 352)( )

22 −−=−+= xx

xfhxxxfg )( i) xxxf =

22 255

3)( ) 1)( ) )( ) xxflxxfk

x

xxfj −=−==

=

≠−

−=

>−≤≤−−

−<+

=−=12

11

1

55

5525

55

24

2

22

x

xx

xxfq

xx

xx

xx

xfpxxxfn

si

si )( )

si

si

si

)( ))( )

2) Bosqueje la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones haciendo uso de las traslaciones 12532 −+=+−= xxfbxxfa )( ) )( )

212

32

31223

2212

12532

3

32

−+=−

−=

+−=−−=

−−=+−=

−+=+−=

xxfjx

xfi

xxffxxfe

xxfdxxfc

xxfbxxfa

)( ) )( )

)( ) )()( )

)()( ) )()( )

)( ) )( )

3) Sea f una función cuya representación gráfica es la siguiente . Y . . . 1 .. . . . . . . . . . . . . 1 X . . . .

Representar gráficamente de las funciones

)( ))( ) )( )

)(2

1= ) )( ))( )

( c) 1-)(= y) )( )

xfyixfyhxfyg

xfyfxfyexfyd

xfyxfbxfya

===

−+=+=

+=−=

23

222

21

Funciones Reales 38

4) Expresar cada función sin barras de valor absoluto y trazar la representación gráfica correspondiente a cada una

a f x x x b f tt t

t) ( ) ) ( ) = − − + =

+ − −2 2

3 3

5) Cada una de las ecuaciones siguientes definen explícitamente a una o más funciones de la forma y = f(x). Hallar tales funciones y trazar la representación gráfica de cada una.

01 ) 3694x )12 )

3694 )06 ) 9 )2222

222222

=−−=−=+−

=+=+−=+

yxyfyeyxyxd

yxcyxxbyxa

6) Bosqueje las representaciones gráficas de las funciones f y g definidas por

f xx

( ) = − 3

2 y g x x( ) = usando los mismos ejes coordenados, después bosqueje la

representación gráfica de f + g mediante adición de ordenadas

7) Sea f una función tal que [ ] { }

≤≤≤

∧→2x<1 si

si 1=f(x) ,,:

2

102120

xf

a) Trazar la representación gráfica de f.

b) Describir el dominio de la función g definida por g(x) = f(2x) y dibujar su

representación gráfica.

c) Describir el dominio de la función h definida por h(x) = f(x-1) y dibujar su

representación gráfica.

d) Describir el dominio de la función k definida por )()()( 12 −+= xfxfxk y dibujar su

representación gráfica.

8) Hace 5 años la población p de una pequeña comunidad era de 150000 personas.

Debido al desarrollo industrial, la población creció a 210000. Suponiendo que la población está

relacionada linealmente con el tiempo t, expresar a p como función de t. ¿Cuándo llegará la

población a 30000 personas?.

9) Cuando un jugador de basket-ball salta verticalmente para encestar, su altura f(t) en

pies, desde el suelo y después de t segundos, está dada por f t g t t( ) = − +1

2162

a) Si g = 32 pies seg/ 2 ¿Cuál es el número de segundos que el jugador está suspendido en el aire? b) Determine el salto vertical del jugador, es decir, calcule la máxima distancia entre sus pies y el piso.

c) En la luna g = 16

3 pies seg/ 2 , calcule nuevamente la parte (a) y (b) para un

jugador en la luna.

10) Se desea construir una pista de carrera de 400 metros de perímetro, la pista debe estar formada por un rectángulo con dos semicírculos localizados en dos lados opuestos del

Funciones Reales 39

rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si se quiere que el área de este sea máxima?

11) Un supermercado vende melones a Bs. 2850 el Kg. Para aligerar las ventas hace la siguiente oferta a cada cliente: con los primeros 5 Kg de compra no hace ningún descuento; por los siguientes 5 Kg hace un descuento de 200 Bs. por cada Kg que exceda a 5, y por los restantes descuenta 300 Bs. por cada Kg que exceda a 10. a) Hallar una función que exprese el ingreso del supermercado, en función de la cantidad de Kg de melón que el cliente compre. b) ¿Cuánto paga el cliente por la compra de 16 Kg de melón?.

3 FUNCIONES INVERSAS

Hemos estudiado distintas formas de obtener nuevas funciones a partir de otras funciones conocidas ( suma, multiplicación, división y composición ). En el presente capítulo empezaremos a construir nuevas funciones mediante procedimientos más elaborados.

3.1 RESTRICCION Y EXTENSION DE UNA FUNCION

Definición Sean f y g dos funciones, si se cumplen las siguientes condiciones: i) Dom Dom con Dom Domf g f g⊂ ≠

ii) f x g x x f( ) ( )= ∀ ∈ Dom

Decimos que f es una restricción de g y que g es una extensión de f.

Ejemplo 3.3 La función f definida de la formaf x x x( ) , ,= ∈ −2 1 1 es una restricción de la

función g dada por g x x x( ) , ,= ∈ −2 2 2

En forma análoga, se dice que la función g es una extensión de la función f.

Las restricciones de funciones serán de mucha utilidad para obtener la inversa de una función, especialmente en aquellos casos donde la función no es inyectiva.

3.2 FUNCION INVERSA

Sea f una función, tal que f A B f x y: ( )→ ∧ = . Supongamos que existe una función h,

donde h B A h y x: ( )→ ∧ = y satisface las siguientes condiciones:

i) h f x x( ( )) = , Ax∈∀ lo cual es equivalente a decir que hof I A= . Esta condición se muestra gráficamente en la siguiente figura

Funciones Reales 40

x f(x)

A B

A B

f

f

h

h

Figura 5 ii) f h y y( ( )) = , B∈∀ lo cual es equivalente a decir que foh I B= . Esta condición se muestra gráficamente en la siguiente figura

y

A B

A B

f

f

h

h

F ig u ra 6

h (y )

Para que tal función h exista, la función f debe ser biyectiva. Como h es tal que hof I A= , entonces f debe ser inyectiva. Supongamos que f no es inyectiva, esto quiere decir que existe un par de elementos en A x x1 2 y diferentes, tal que sus imágenes son iguales, esto es f x f x( ) ( )1 2= . Esta situación se ilustra en el siguiente dibujo:

A Bf

Figura 7

x1

x2y

Como la función h debe ser tal que h f x x h f x x( ( )) ( ( ))1 1 2 2= = y , entonces

h y x h y x( ) ( )= =1 2 y

Pero, sabemos que, una función no puede asignar dos imágenes diferentes a un mismo elemento

del dominio. Naturalmente esto es una contradicción, que proviene de haber supuesto que f no es

inyectiva. Entonces, para que exista una función h tal que hof I A= , la función f debe ser

inyectiva.

Para que la función h sea tal que foh I B= , f debe ser sobreyectiva. Supongamos que f no es

sobreyectiva, esto quiere decir que existe un elemento en el conjunto B, digamos y, que no es

imagen de ningún elemento del dominio.

Como h es una función de B en A, entonces existe un elemento x en A tal que h y x( ) = .

Además, como foh I B= , entonces f h y y( ( )) = , es decir f x y( ) = . Pero esto es una

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Funciones Reales 41

contradicción, pues, y no es imagen, mediante f, de ningún elemento del conjunto A. Esta

contradicción proviene de haber supuesto que f no es sobreyectiva.

En resumen, dada una función f de A en B, para que exista una función h de B en A tal que

hof I foh IA B= = y , es necesario que f sea biyectiva.

Si para una función f existe una función h con las propiedades anteriores, diremos que h es la

función inversa de f .

La función inversa de f la denotaremos con f −1, en lugar de h. Utilizando esta notación,

tenemos que

f of I fof IA B− −= =1 1 y

Definición 3.4

Si f es una función biyectiva, tal que f A B f x y: ( )→ ∧ =

f es invertible, y su inversa f −1 se define como ( ){ }yxfBxAxyf =∈=− )(/,1

De la definición 3.4 se desprende que Dom Rag y Rag Domf f f f= =− −1 1

Si f es una función biyectiva, con inversa f −1, entonces f −1 es biyectiva con inversa f. Esto es

( ) ff =−− 11 . Las funciones f y f −1 son mutuamente inversas.

Ejemplo 3.2 Sea f una función, tal que f R R f x x: ( )→ ∧ = − 2 1

a) Demostrar que f es invertible.

b) Hallar f x−1( ).

c) Verificar que f f x x f f x x− −= =1 1( ( )) ( ( )) y .

Solución a) Para demostrar que f es invertible, tenemos que demostrar que f es biyectiva.

Se tiene que f es inyectiva. En efecto, dados dos elementos x x1 2 y del dominio de f, se

cumple que

f x f x x x

x x

x x

( ) ( ) 1 2 1 2

1 2

1 2

2 1 2 1

2 2

= → − = −

→ =

→ =

En forma análoga que en el ejemplo 1 se demuestra que f es sobreyectiva. Así, f es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto f es biyectiva. Con lo cual se verifica que f es invertible.

Funciones Reales 42

. Y . . . 1 . . . . . . . . . . . . 1 X . . . . Figura 8

y x=

y x= −2 1

yx= +1

2

b) Despejando x de la ecuación y = 2x - 1, obtenemos xy= +1

2. Luego f y

y− = +1 1

2( )

Como el símbolo usado para identificar la variable es irrelevante, usualmente se escribe

f xx− = +1 1

2( )

c f f x fx

x) 2x -1) = − −= = − +1 1 2 1 1

2( ( )) (

( )

y f f x f

x xx( ( )) ( ) ( )− = + = + − =1 1

22

1

21

Existe una interesante relación entre la representación gráfica de una función f y su función

inversa f −1. Dado que a f b= ( ) significa lo mismo que b f a= −1( ), entonces el punto (a , b) está en la representación gráfica de f si y sólo si el punto (b , a) está en la representación gráfica

de f −1.

Las representaciones gráficas de las funciones f y f −1 se han trazado en un mismo plano cartesiano y se muestran en la figura 6.

Observe que las representaciones gráficas de las funciones f y f −1 son simétricas una de otra respecto a la recta cuya ecuación es y = x. En general, dada la representación gráfica de una

función f, para hallar la representación gráfica de f −1 hallamos simplemente la simétrica de la representación gráfica de f respecto a la recta mencionada anteriormente.

Es de hacer notar que, en la expresión f x−1( ), el número -1 no es un exponente negativo. En

consecuencia f xf x

− ≠1 1( )

( ).

El inverso multiplicativo de f x( ) se puede escribir como f x( ) −1 y es igual a )x(f

1

No todas las funciones son invertibles, pero, muchas de ellas se pueden restringir de tal forma que se obtenga una nueva función que si admita inversa.

Figura 4

Funciones Reales 43

Ejemplo 3.3 Sea f una función, tal que

( ) 4)( 2,2: 2 −=∧→−− xxfRRf

La representación gráfica de f se muestra en la siguiente figura

Existe la posibilidad de restringir convenientemente la función f, de manera que la nueva función obtenida sea inyectiva.

La función g, tal que [ ) 42 2−=∧→+∞ xxgRg )( ,:

y cuya representación gráfica se muestra en la figura , es una restricción de la función f y satisface la propiedad de ser inyectiva.

Para hallar h x−1( ) se despeja x de la ecuación y x= −2 4 , obteniéndose x y= ± +4 2

Como [ ) +⊂+∞= Rh ,Dom 0 , entonces x siempre toma valores positivos. Así x y= +4 2

Por lo tanto, la función inversa h−1 es tal que

Observe que existe una recta horizontal

que corta la representación gráfica de f

dos veces, luego, f no es inyectiva, por

lo tanto, f no es biyectiva. Con esto

queda demostrado que la función f no

admite inversa.

<<ghDe la figura anexa y la forma como está definida la

función g, se concluye que [ )+∞= ,)Rag( 0g . Así, como el

codominio de g es todo R, la función restringida no es

sobreyectiva. Para convertirla en sobreyectiva, basta reducir

el codominio al intervalo [ )+∞,0 . Por lo tanto, la función h,

tal que [ ) [ ) 402 2 −=∧+∞→+∞ xxhh )( ,, :

es biyectiva, luego, h es invertible.

y=x

y x= −2 4

21 4 xxh +=− )( [ ) [ ) 211 420 yxhh +=∧+∞→+∞ −− )( ,, :

En la figura adjunta<<gh se muestran

las representaciones gráficas de las

funciones h y h−1.

Observe que:

Funciones Reales 44

0444 22

2211 ≥===

−+=−= −− xxxxxxhxhh pues ,)())((

y

0444 22

221 ≥===−

+=+=− xxxxxxhxhh pues ,)())((

Es importante hacer notar que las restricciones hechas a una función para que ella admita inversa no son únicas. Por ejemplo, la función j , tal que

( ] [ ) 402 2 −=∧+∞→−∞− xxjj )( ,,:

también es una restricción de la función f y satisface la propiedad de ser biyectiva, luego, es invertible.

Le dejamos la tarea de demostrar que la función j efectivamente es invertible y hallar j x−1( ) .

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Decidir si las funciones correspondientes son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas o ninguna de estas

[ ) [ ]

<<≤≤−

−<≤−∧−→−

+=∧→+

=∧→=∧→

64 si 4

42 si

24 si 2-

=)( 4,26,4: )

1)( : )

1

1)( : ))( : )

3

2

x

xx

x

xffd

xxfRRfc

xxfRRfbxxfRRfa

2) ¿En qué intervalo a b, serán inyectivas las siguientes funciones?

( )

1

1

1

2

12

++=

−

x

xxfb

xxfa

)( )

+=)( )

3) Restringir convenientemente el dominio de cada función para que exista la función

inversa. Encuentre después f x−1( )

Funciones Reales 45

a f x x

b f x x x

c f x x

d f x x

e f x x

)

)

)

)

)

( )

( )

( )

( )

( )

= +

= + −

= −

= + −

= −

2

2

2

2

2

1

6

1

2 4

1 2 4

1 1

5) Demostrar que la función f definida por

>

≤≤

<

=

927

91

1

2

xx

xx

xx

xf

si

si

si

)( es invertible y hallar f x−1( ).

6) Demostrar que la función f dada por f x x( ) = −16 2 es su propia inversa.

7) Determine si la función dada tiene inversa. Si la inversa existe, haga lo siguiente: a)

Obténgala y señale su dominio y su rango; b) Trace la representación gráfica de f y de f −1 en el

mismo sistema de coordenadas; c) Demuestre que ( ) xxfof =− )(1 y ( ) xxoff =− )(1 . Si la función carece de inversa, muestre que una recta horizontal corta a la representación gráfica de f en más de un punto.

( )

1 3)( )3x0 ,9)( )

2

1 ,12)( ))( )

32

2

+=≤≤−=

≤−=+=

xxfdxxfc

xxxfbxxxfa

8) Sean f y g funciones biyectivas a) Demostar que fog es biyectiva.

b) ( ) . y de términos en Hallar 111 −−− gffog

c) Hallar en términos de si g f g x f x− − = +1 1 1( ) ( ) .

4 PARIDAD, MONOTONIA, ACOTAMIENTO Y PERIODICIDAD D E

FUNCIONES

En este capítulo estudiaremos algunas propiedades que presentan las funciones reales y

que son de utilidad para el trazado de representaciones gráficas y en problemas aplicados a

ciertos fenómenos físicos.

Funciones Reales 46

4.1 FUNCION PAR E IMPAR

Definición 4.1

Una función f es par si para cada x f∈Dom se cumple que − ∈x fDom y

f x f x( ) ( )= − .

Si f es una función par. Para cada x f∈Dom es inmediato que los pares ( ))(, xfx −−

y ( ))(, xfx− son iguales, por lo tanto, ( ) ( ))(, y )(, xfxBxfxA − pertenecen a la representación

gráfica de f , y son simétricos uno del otro respecto al eje Y. Esta situación se muestra en la

próxima figura. Así, cada punto de la representación gráfica de una función par tiene su

simétrico respecto al eje Y.

Ejemplo ilustrativo La función f definida por f x x( ) = 2, cuyo dominio es R, es par. En

efecto, para cada x f∈Dom , también − ∈x fDom y además f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = =2 2

Ejemplo 4.1 Sea f una función tal que f x x( ) = , cuyo dominio es R. Para cada

x f∈Dom se cumple que − ∈x fDom . Además f x x x f x( ) ( )− = − = =

Así, f es par.

Trace la representación gráfica de f en el primer cuadrante y copia la curva simétrica a esa

representación gráfica respecto al eje Y, para obtener un dibujo completo de la representación gráfica de

la función f.

Definición 4.2 Una función f es impar si para cada x f∈Dom se cumple que − ∈x fDom

y f x f x( ) ( )− = − .

x -x

En la figura se observa que la representación gráfica de esta

función es simétrica respecto al eje Y.

Para trazar la representación gráfica de una función par basta

conocer la representación gráfica de la función en el primer y/o

cuarto cuadrante, pues, la parte correspondiente al segundo y/o

tercer cuadrante se obtiene por la simetría.

Sea f una función impar. Para cada x f∈Dom es

inmediato que los pares ( ))(, xfx −− y ( ))(, xfx −−

son iguales, por lo tanto, ( ) ( ))(, y )(, xfxBxfxA −−

pertenecen ambos a la representación gráfica de f , y

uno es el simétrico del otro respecto al origen del sistema

de coordenadas; como se muestra en la figura anexa

Así, cada punto de la representación gráfica de una

función impar tiene su simétrico respecto al origen del

sistema de coordenadas.

y=x3

x

-x

Funciones Reales 47

Ejemplo 4.2 La función g definida por g x x( ) = 3, cuyo dominio es R, es impar. En efecto,

para cada x g∈Dom se cumple que − ∈x gDom . Además g x x x g x( ) ( ) ( )− = − = − = −3 3

En la figura anterior se muestra la representación gráfica de esta función, la cual es simétrica con

respecto al origen del sistema de coordenadas.

Para trazar la representación gráfica de una función impar basta con conocer la

representación gráfica de la función en el primer y/o cuarto cuadrante, pues, la parte

correspondiente al segundo y/o tercer cuadrante se obtiene por la simetría respecto al origen del

sistema de coordenadas.

La representación gráfica de f se muestra en la figura. Si observamos la curva notaremos la

simetría con respecto al origen

Supongamos que una cierta función f es par e impar a la vez, entonces

f x f x x f( ) ( ),− = ∀ ∈ Dom y f x f x x f( ) ( ),− = − ∀ ∈ Dom

Restando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, obtenemos

fxxfxfxfxf Dom ,)()()()( ∈∀=⇒=⇒+= 0020

Con esto hemos demostrado que la única función que es par e impar a la vez es la función nula.

Una función podría no ser par ni impar. Por ejemplo, la función f tal que f x x x( ) = + −2 3 1

cuyo dominio es R, cumple que para cada x f x f∈ − ∈Dom Dom, ; pero, no es difícil

comprobar la falsedad de la siguientes proposiciones

a) f x f x x f( ) ( ),− = ∀ ∈ Dom b) f x f x x f( ) ( ),− = − ∀ ∈ Dom

Al plantearse el problema de determinar si una función es par o impar, no basta comprobar que

la igualdad correspondiente se satisface para un número finito de valores de x. Por ejemplo, si

una cierta función f satisface que f f f f( ) ( ) ( ) ( )5 5 1 1= − = − y

Ejemplo 4.3 Sea f una función tal que f xx

( ) = − 1. Se

tiene que: i) { }0−= RfDom

ii) Para cada x f x f∈ − ∈Dom Dom, .

iii) )()( xfxx

xf −=

−−=

−−=− 11

.

Luego, se concluye que f es impar.

Funciones Reales 48

X

Y

Figura 9

-5 -1 1 5

y = f(x)

g xf x f x

h xf x f x

( )( ) ( )

( )( ) ( )= + − = − −

2 2 y

Donde f es una función tal que para cada x f x f∈ − ∈Dom Dom, .

Claramente se tiene que Dom Dom Domf g h= = . Además, g es una función par y h es

impar. En efecto,

g xf x f x f x f x

g x( )( ) ( ( )) ( ) ( )

( )− = − + − − = + − =2 2

y

h xf x f x f x f x

h x( )( ) ( ( )) ( ) ( )

( )− = − − − − = − − − = −2 2

Por otra parte, es inmediato que g x h x f x( ) ( ) ( )+ =

Con lo anterior queda demostrado que: toda función f tal que para cada

x f x f∈ − ∈Dom Dom, se puede escribir como la suma de una función par y una impar.

4.2 FUNCION MONOTONA

Definición 4.2

Sea f una función real con dominio A R⊂ y un intervalo I tal que I A⊂ .

f es creciente en I, si para cada x x I1 2, ∈ se cumple que si x x1 2< , entonces

f x f x( ) ( )1 2< .Es decir ( ) ( ))()(:, en creciente es 212121 xfxfxxIxxIf <→<∈∀↔

f es decreciente en I, si para cada x x I1 2, ∈ se cumple que si x x1 2< , entonces

f x f x( ) ( )1 2> . Es decir ( ) ( ))()(:, I en edecrecient es 212121 xfxfxxIxxf >→<∈∀↔

Ejemplo 4.4 Sea f una función tal que f x x( ) = 3. El dominio de esta función es R, y para

cada x x R1 2, ∈ se cumple que ( ) ( ) )()( 213

23

121 xfxfxxxx <⇒<⇒<

Luego, f es una función creciente en todo su dominio. Ver gráfico en la página 47 .

no se puede inferir que f sea par, ya que,

podría estar ocurriendo lo que se muestra

en la figura, y claramente esta función no

es par, pues, su representación gráfica no

es simétrica respecto al eje Y.

Sean g y h funciones definidas por

Funciones Reales 49

. Y . . . . 1 . . . . . . . . . . . X . . . . F i g u r a 1 0

Y . . . f ( x ) = 2 - x 1 . . . . . . . . . . . . X . . . . F i g u r a 1 1

f x x( ) = 3

No siempre ocurre que una función sea crecientes (o decreciente) en todo su dominio. En la

siguiente figura se muestra la representación gráfica de una función, la cual es creciente en los

intervalos a b, y c d, , y decreciente en el intervalo b c, .

X

Y

F ig u r a 1 2 F i g u r a 1 3

a b c d Xa b

Y

y = f ( x )f ( x ) = c

c

Una función no puede ser creciente y decreciente a la vez, en un mismo intervalo.

Es interesante destacar el hecho en que la función sea constante en todo un intervalo, es decir,

que f sea una función tal que f(x) = c, para todos los elementos x del intervalo a b, (ver

figura de la derecha). Esta función no es creciente ni decreciente en el intervalo a b, , pues, para

cada x x a b1 2, ,∈ se cumple que f x f x c( ) ( )1 2= = .

Definición 4.3

Si una función f es creciente (o decreciente) en todo un intervalo en el cual la función esté

definida, se dice que f es monótona en ese intervalo.

Se habla de funciones monótonas crecientes y monótonas decrecientes. Por ejemplo, la función f

definida, por 2

1

xxf =)( , y cuya representación gráfica se debe trazar, es monótona creciente

en el intervalo ( )0,∞− y monótona decreciente en el intervalo ( )+∞,0 .

Los siguientes teoremas son de mucha utilidad en el resto de los capítulos.

Teorema 4.1 Una función que es monótona en un intervalo I, es inyectiva en ese intervalo.

Ejemplo 4.5 La función f definida por f x x( ) = −2 es decreciente en todo su dominio, pues, para cada x x R1 2, ∈ se cumple que

x x x x

x x

f x f x

1 2 1 2

1 2

1 2

2 2

< → − > −→ − > −→ >

( ) ( )

La representación gráfica de esta función se muestra en la figura anexa.

Funciones Reales 50

Demostración Supongamos que f es una función monótona creciente en un intervalo I.

Sean x x I1 2, ∈ , tal que x x1 2≠ . Por demostrar que f x f x( ) ( )1 2≠ .

Como x x1 2≠ , entonces x x x x1 2 1 2< > o .

Si x x1 2< , de la definición de función creciente se deduce que f x f x( ) ( )1 2< , por lo cual

f x f x( ) ( )1 2≠ .

Si x x1 2> , entonces f x f x( ) ( )1 2> , por lo que f x f x( ) ( )1 2≠ . Por lo tanto, se deduce que f

es inyectiva en el intervalo I.

La demostración es similar si f es decreciente en un intervalo.

Y . . . 1 . . . . . . . . . . . . X . . . . F ig u ra 1 5

Teorema 4.2 Supongamos que la función f es creciente en el intervalo cerrado a b, y que

f a b f a f b: , ( ), ( )→ . Si f −1 es su inversa ( la cual está definida en f a f b( ), ( ) ), entonces

f −1 es creciente en f a f b( ), ( ) .

Teorema 4.3 Supongamos que la función f es decreciente en el intervalo cerrado a b,

y que f a b f b f a: , ( ), ( )→ . Si f −1es su inversa ( la cual está definida en f b f a( ), ( ) ),

entonces f −1 es decreciente en f b f a( ), ( ) .

4.3 FUNCION ACOTADA

Definición 4.4

Sea f una función con dominio A R⊂ , y un intervalo I A⊂ . f es acotada

superiormente en I, si existe M R∈ tal que f x M( ) ,≤ ∀ ∈ x I

f es acotada inferiormente en I, si existe N R∈ tal que f x N x I( ) ,≥ ∀ ∈

f es acotada en I, si f es acotada superior e inferiormente en I. Esto es, si existen

M N R, ∈ tal que N f x M x I≤ ≤ ∀ ∈( ) ,

El recíproco del teorema anterior no es

válido, esto es, no es necesariamente

verdad que toda función inyectiva es

creciente (o decreciente). Por ejemplo, la

función f , cuya representación gráfica se

muestra en la figura anexa, es inyectiva,

pero, no es monótona.

Funciones Reales 51

Y

Xa b

N

M y = M

y = N

y = f(x)

Figura 16

Las siguientes figuras nos proporcionan ejemplos de funciones no acotadas

. Y . . . 1 . . . . . . . . . . . . 1 X .

F ig u r a 1 7

Y . . . 1 . . . . . . . . . . . . X . . . . F ig u r a 1 8

f x x( ) = g x x( ) =

La función f está definida en todo R, la cual es acotada inferiormente, pero no lo es

superiormente, por lo tanto no es acotada en todo su dominio.

La función g también está definida en todo R, pero no es acotada ni superior ni

inferiormente. Por lo tanto, tampoco es acotada en su dominio.

Otra definición de función acotada, equivalente a la anterior, es la siguiente

Definición 4.5

Sea f una función con dominio A R⊂ , y un intervalo I A⊂ . f es acotada en I, si existe

m R∈ + tal que f x m x I( ) ,≤ ∀ ∈

Si A I= , la definición anterior se puede aplicar a todo el

dominio de la función considerada.

En la figura se muestra la representación gráfica de una

función f acotada en el intervalo cerrado a b, .

Cuando una función es acotada en cierto intervalo, es

posible encontrar dos números reales M y N de forma que

las rectas cuyas ecuaciones son y = M e y = N (ver

figura ), logren encerrar completamente a la representación

gráfica de dicha función en el intervalo considerado.

Ejemplo 4.6 Sea f una función tal que

f R f x x: , ( )− → ∧ = − + −3 3 2 9 2

y cuya representación gráfica se muestra en la figura anexa En la representación gráfica se observa que

f x( ) ,≤ ∀ ∈2 x -3,3

Luego, f es una función acotada.

Funciones Reales 52

4.4 FUNCION PERIODICA

Definición 4.6

Sea f una función real cuyo dominio es A R⊂ . Se dice que f es una función periódica

si existe un número real p ≠ 0, tal que para todo x en el dominio de f, se cumple que

x + p también está en el dominio de f y f x p f x( ) ( )+ = . El número p se denomina

período de f.

Si p es un período de una función f, entonces 2p es también un período de f. En

efecto.

f x p f x p p

f x p p f

f x p f

( ) (( ) )

( )

( )

+ = + += +=

2

por ser período de

por ser período de

En general, para todo n Z∈ + , se demuestra que si p es un período de una función f,

también lo es np. esto es f x np f x f( ) ( ),+ = ∀ ∈ x Dom

siendo n cualquier entero positivo.

El mínimo período positivo de una función f se denomina período fundamental de f.

En el siguiente ejemplo ilustraremos todas las propiedades estudiadas en este capítulo.

ii) f es creciente en todo intervalo de la forma [ )1+nn, , con n Z∈ .

iii) f no tiene intervalo de decrecimiento.

iv) Para todo número real x se cumple que 0 1≤ <f x( ) . Por lo tanto, f es acotada en

todo su dominio.

v) f es periódica y el período fundamental es 1. Para cada número real x se cumple que

f x n f x( ) ( )+ = , siendo n cualquier entero. Luego, todos los números enteros diferentes de

cero son períodos de la función f.

Ejemplo 4.7 Sea f una función tal que

f R R f x x x: ( )→ ∧ = −

y cuya representación gráfica se muestra en

la siguiente figura

Observe que:

i) La representación gráfica de f no

es simétrica ni con respecto al eje Y ni con

respecto al origen. Así, f no es par ni impar.

Funciones Reales 53

Las funciones periódicas son importantes en la ciencia y en la tecnología porque muchos

fenómenos naturales y artificiales son periódicos en el tiempo; por ejemplo: los movimientos

planetarios, las mareas, las ondas sonoras, la radiación electromagnética, la respiración, la

circulación sanguínea, etc.

Las funciones periódicas más importantes son las trigonométricas, en particular el seno y el

coseno, las cuales estudiaremos en el siguiente capítulo.

En adelante, para referirnos al período fundamental de una función, simplemente diremos,

período de la función.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Para cada una de las funciones dadas a continuación determine si es par, impar o

ninguna de estas.

1

1

1

472523

2

2

2

3

3524

+−=

+−=

+−=+−=

x

xxfd

x

xxxfc

xxxxfbxxxf

)( ) )( )

)( ) )( a)

3 23 222

2

1111

03

03

2

01

01

1

)()()( ) )( )

si

si )( ) )( )

si

si )( ) )( )

−++=+−−++=

<

≥=

=

<−≥

=+

=

−

xxxfjxxxxxfi

x

xxfh

xxfg

x

xxff

x

xxfe

x

x

≥−

<<+

≤

=−−=

21

201

01

2 xx

xx

x

xflaxb

baxxfk

si

si

si

)( ) )( )

2) Si f es una función polinómica y los coeficientes de todas las potencias impares de x

son cero, demuestre que f es una función par.

3) Si f es una función polinómica y los coeficientes de todas las potencias pares de x

son cero, demuestre que f es impar.

4) Determine si la función compuesta fog es par (o impar) en cada uno de los casos

siguientes:

a) f y g son ambas par. b) f y g son ambas impar.

c) f es par y g es impar. d) f es impar y g es par.

Funciones Reales 54

5) Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una

función par. Mientras que el producto de una función impar por otra par es una función impar.

6) Demuestre que cada una de las funciones definidas a continuación son monótonas

32

22

122

3939

−−=≥−=

−≤−=≥−=

xxfdxxxfc

xxxfbxxxfa

)( ) ,)()( )

,)( ) ,)( )

7) Indicar los intervalos donde cada una de las funciones dadas a continuación son

crecientes o decrecientes.

a f x x x

b f xx

)

)

( )

( )

= −

=+

1

12

8) Sea f una función definida por

>−−

≤−=

24

22

2 xx

xxxf

si

si )(

a) Trazar la representación gráfica.

b) Identificar un intervalo donde la función sea monótona creciente y uno donde sea

monótona decreciente.

c) ¿Es una función acotada superiormente?. ¿Acotada inferiormente?. ¿Acotada?.

d) Determine si es par, impar o ninguna de estas.

9) Bosqueje la representación gráfica de una función f que satisfaga todas las

condiciones siguientes:

a) Acotada inferiormente, pero no, superiormente.

b) Periódica, de período 2.

c) Monótona decreciente en todo intervalo de la forma 2 2 1n n , + y monótona

creciente en todo intervalo de la forma 2 1 2 2n n+ + , con n Z∈ .

d) La representación gráfica no corta al eje X

5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

El origen de las funciones trigonométricas data de hace más de 2000 años, cuando los griegos necesitaron métodos precisos para medir ángulos y lados de triángulos. En tiempos modernos estas funciones tienen relación con fenómenos periódicos tales como el movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas oscilantes, péndulos de oscilación, etc. Estas

Funciones Reales 55

aplicaciones de las funciones trigonométricas requieren que sus dominios sean subconjuntos de los números reales. 5.1 INTRODUCCION Iniciemos con un breve repaso de los conceptos básicos: i) Angulo: Es la parte del plano engendrada por una semirrecta que gira en un sentido

determinado, se denominará lado origen a la semirrecta que indica la posición inicial, y lado extremo a la que indica posición final. Denominaremos vértice la intersección del lado origen con el lado extremo.

iii) Medida de un ángulo: Los ángulos pueden medirse en dos sistemas diferentes.

a) Sistema sexagécimal. Los ángulos se expresan en grados sexagecimales, correspondiendo 360° al ángulo central descrito cuando se recorre una circunferencia completa en el sentido positivo, cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y estos también se dividen en 60 partes llamadas segundos. En consecuencia 90° corresponde a un ángulo recto y 180° a uno llano.

b) Sistema circular. Se basa en la relación existente entre los ángulos centrales y la longitud de los arcos correspondientes a ellos en una circunferencia ( )α.rS = , como se puede observar en este formula, S y r se expresan en unidades de longitud y por lo

tanto r

S=α , resultará ser adimensional (sin unidad). Para poder asignar algún tipo

de unidad al ángulo α , medido en este sistema, definiremos el radián que nos servirá como la unidad de medida para el sistema circular.

c) Radián. Es el ángulo central cuya longitud de arco es igual al radio de la

circunferencia con que fue descrito. En el sistema circular, los ángulos vienen expresados en radianes, correspondiendo a π.2 radianes, al ángulo central descrito al recorrer una circunferencia completa en sentido positivo. En consecuencia π radianes corresponde a un ángulo llano y 2π radianes a uno recto.

d) Equivalencia entre los dos sistemas. Se basa en la relación fundamental: °=π 180rad ,

y veremos a continuación la fórmula utilizada:

i) radrad

x4180

4545ππ =

°°=° .

ii) Sentido de un ángulo: Se considerarán

positivos los ángulos descritos en sentido

anti-horario, y negativos los descritos en

sentido horario.

Lado extremo

Lado origen Vértice

Funciones Reales 56

ii) °=°= 30180

*66 rad

radradπ

ππ.

iii) ´´'* 441757180180

11 °≈

=°=°

ππ radradrad

e) Razones trigonométricas de un ángulo:

Sea el triángulo ABC, recto en B y con

un ángulo α en el vértice A. entonces:

i) Los lados AB y BC se denominan catetos.

ii) El lado AC se denomina hipotenusa.

iii) Se verifica el Teorema de Pitágoras: 222BCABAC += .

iv) Se definen las razones trigonométricas del ángulo como:

• Seno de α = ACBC

HIPO.CSen ==α

• Coseno de α = ACAB

HIPA.CCos ==α

• Tangente de α = αα===α

cossen

ABBC

CAO.CTg

• Cosecante de α = BCAC

O.CHIP

seneccos ==

α=α 1

• Secante de α = ABAC

A.CHIP

cossec ==

α=α 1

• Cotangente de α = BCAB

O.CA.C

sencos

tggcot ==

αα=

α=α 1

Observaciones:

1) Las siglas C.O., C.A., HIP., utilizadas en el punto anterior significan cateto

opuesto, cateto adyacente e hipotenusa respectivamente.

2) Las razones trigonométricas son cocientes de longitudes de segmentos y por lo tanto no tienen unidades. Las razones trigonométricas dependen del ángulo y

no de las magnitudes de los segmentos AB , BC , CA.

3) Las definiciones anteriores aplican para 2

0πα << y para generalizarlas es

necesario recurrir al círculo trigonométrico. f) El Círculo Trigonométrico.

Denominaremos círculo trigonométrico a todo círculo de radio 1 cuyo centro se hace coincidir con el origen de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular.

C α B A α

Funciones Reales 57

Este círculo es de gran utilidad ya que en él pueden observarse las razones trigonométricas de cualquier ángulo como veremos a continuación.

El conjunto de puntos (x , y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación 122 =+ yx , la cual representa una circunferencia de centro el origen y radio igual a uno, se llama circunferencia unitaria o círculo trigonométrico y la denotaremos por C. Es decir

{ }1222 =+∈= yxRyxC /),(

A

α

Y

X

Figura 1

P

Observe que una misma posición del punto P determina infinitos ángulos, a saber α cuya

medida es un número real del intervalo [ ] , π20 , que también representamos por α y todos los

de la forma Zk,k ∈+ con 2 πα Por ejemplo, si P tiene coordenadas (0 , 1) él determina los

ángulos: .........,, ππππππ 4

2 3

- , 22

2 3

- 2

++

Cualquier número real puede interpretarse como la medida en radianes de un ángulo α en

posición normal y su valor absoluto corresponde a la longitud del arco, que determina α en C

(ver figura 1).

5.2 FUNCIONES COSENO Y SENO

Definición 5.1

Sea t R∈ la longitud de un arco en C de punto inicial A(1 , 0) y punto terminal P(a,b).

La función coseno, se denota por cos, se define como: att == cos)cos(

y la función seno, se denota por sen, se define como: bsenttsen ==)(

De la definición anterior se ve que cost y sent están definidas para cualquier valor de t. Por lo

tanto, el dominio de las funciones coseno y seno es el conjunto de todos los números reales.

Se tiene que (a , b) es un punto de la circunferencia unitaria C, por lo tanto, se cumple que:

11 ≤≤ ba y

Si consideramos en C los puntos A (1 , 0) y P

de coordenadas (x , y), ellos, junto con el origen

determinan un ángulo de vértice 0 que llamamos

ángulo en posición normal. ( ver figura 1)

Para medir los ángulos usaremos el sistema

circular (ángulos medidos en radianes)

O

Funciones Reales 58

Por lo que cos sen ,t t≤ ≤ ∀ ∈1 1 y t R

Así, el rango de las funciones coseno y seno es el intervalo cerrado −1 1, .

A continuación se muestra una tabla de valores de las funciones coseno y seno

t cost sent

0 1 0 π2 0 1

π -1 0 3 2π 0 -1

2π 1 0

( ) ( ) 122 =+ senttcos (1)

La relación (1) se suele escribir como cos sen2 2 1t t+ =

y se llama identidad trigonométrica porque es válida para cualquier número real t.

Las funciones coseno y seno son periódicas de período 2 π. Esto es, para todo número

real t se cumple que

cos( ) cos sen( ) sent t t t+ = + =2 2 y π π

Más general aún, para todo número real t y todo número entero n se cumple que

cos( sen( ) sent n t n t+ + =2 2 ) = cost y π π

A continuación se muestran algunos de los valores más usuales de las funciones coseno y

seno

Consideremos un número real t arbitrario

Podemos observar con ayuda de la figura anexa

que cos cos( )t t= − Además

)( - (t) tsensen −= .

Como las igualdades son válidas para todo

número real t, entonces son identidades. De esto

se sigue que la función coseno es par y la función

seno es impar

sen(t) t -t sen(-t)

cost=cos(-t)

En la tabla observamos que las funciones coseno y

seno no son inyectivas, pues, 0 2≠ π , pero

cos cos sen sen0 2 1 0 2 0= = = =π π y .

Sabemos que la ecuación de la circunferencia unitaria

C es x y2 2 1+ = . Así, como para todo número real t,

(cost , sent) es un elemento de C, entonces

Funciones Reales 59

t cost sent t cost sent

π6

3

2

1

2

5

6

π -

3

2

1

2

π4

1

2

1

2

7

6

π -

3

2 -

1

2

π3

1

2 3

2

5

4

π -

1

2 -

1

2

2

3

π -

1

2 3

2

7

4

π

1

2 -

1

2

3

4

π -

1

2

1

2

11

6

π 3

2 -

1

2

Con el objeto de trazar la representación gráfica de las funciones coseno y seno, utilizaremos el símbolo x, en vez de t, para referirnos a los elementos del dominio de cada función y el símbolo y, para referirnos a los valores de cada función. Con esta nueva notación se tiene que las funciones coseno y seno, son funciones tales que:

xRR cos y :cos =∧→ y senxRRsen =∧→ y : Como estas funciones son periódicas, de período 2π , basta con determinar la porción de la representación gráfica de cada función para 0 2≤ ≤x π , pues, estas porciones se repiten en intervalos de longitud 2π en el eje X. De modo que es de interés el comportamiento de los valores de estas funciones cuando 0 2≤ ≤x π . Así, las representaciones gráficas de las funciones coseno y seno son como las que se muestran a continuación:

Observe que ambas curvas tienen la misma forma. En realidad, la representación gráfica de la función seno puede obtenerse trasladando la representación gráfica de la función coseno, π2

unidades a la derecha. Esto es sen cos(x x= − π2

)

y=senx y=cosx

Funciones Reales 60

Estas curvas se conocen como curvas u ondas senoidales. La porción de cada curva en un

período se denomina ciclo.

Otras ondas senoidales se obtienen de las funciones definidas por ecuaciones de la forma

y a bx c y a bx c= − = −cos( ) sen( ) y

Donde a, b y c son números reales con a b≠ ≠0 0 y . Para conocer como los valores de las

constantes a, b y c afectan la forma de la onda senoidal definida por una de estas ecuaciones, se

considerarán casos especiales.

En primer lugar consideraremos el caso especial c b= =0 1 y ; es decir

y a x y a x= =cos sen y

Ejemplo 5.1 Trazar la gráfica de la función definida por la ecuación senxy 2=

En general, la representación gráfica de la función dada por la ecuación y a x= sen

siempre tiene la apariencia de una de las curvas que se muestra en la figura. En cualquiera de los

casos se tiene que a es la amplitud de la onda senoidal.

Esta discusión también se aplica a la representación gráfica de la función definida por una

ecuación de la forma y a x= cos .

Consideremos en los dos siguientes ejemplos funciones definidas por una ecuación de la forma

y bx b= ≠sen 0

Ejemplo 5.2 Trazar la representación gráfica de la función f definida por )()( xsenxf 2=

Solución Como la función seno es periódica, de período 2 π, entonces

[ ] ) +(=) +2(x) ()()( πππ xfsenxsenxsenxf =+== 222

para todo número real x. Por lo tanto, f es periódica, de período π . De modo que un ciclo de

esta onda senoidal se encuentra en el intervalo 0,π

Solución Para trazar la representación gráfica

de esta función se multiplica por 2 las

ordenadas de cada uno de los puntos de la

representación gráfica de la función seno. Así,

la representación gráfica de la función

requerida se muestra en la figura anexa

senxy 2=

y=senx

Funciones Reales 61

Observaciones obtenidas de los gráficos:

1.- En las funciones y=sen(2x) , y=sen(x/2) se observa que un ciclo de la onda senoidal se

encuentra en el intervalo cerrado [ ] ,π0 y [ ] , π40 respectivamente. En forma análoga que en el

ejemplo anterior se demuestra que dichas funciones son periódicas, de período π y 4π

respectivamente. Así, Como a = 1, la amplitud de esta onda senoidal es 1.

2.- Las funciones f(x)=2sen3x y g(x)=1+2cos(x/2) tienen períodos 2π/3 y 4π

respectivamente y en ambas la amplitud de la onda es 2, y la curva de g está desplazada una

unidad hacia arriba.

En general, la amplitud de las ondas senoidales que se obtienen de funciones definidas por

ecuaciones de la forma 0≠== bbxaybxaseny ),cos( y )(

siempre es |a|. Pero, conforme b crece, el período de las funciones decrece y los ciclos de las

ondas senoidales se aproximan cada vez más entre sí. Si b < 0, podemos usar el hecho de que sen(-x) = -senx y cos(-x) = cosx, para trazar las ondas senoidales de las funciones definidas por (4). Por último, consideremos una función f tal que f x a bx c( ) sen( )= +

donde a, b y c son números reales con a y b diferentes de cero. La amplitud de esta onda senoidal es a .

Como la función seno es periódica, de período 2 π, un ciclo de la onda senoidal se obtiene en el intervalo cerrado que contiene sólo los números reales x tal que

0 2≤ + ≤bx c π

Gráficos de y=sen(2x) y de y=senx Gráficos de y=sen(x/2) y de y=senx

y=senx y f(x)=2sen(3x) y=cosx y g(x)= 1+2cos(x/2)

y = senx

y = sen(2x)

Funciones Reales 62

Observe que f x a bx c a b x c f xb b

( ) sen( ) sen( ( ) ) ( )= + = + + = +2 2π π

Así, el período de la función f es 2πb

.

Por otra parte, se tiene que

f x a bx c a b x g xcb

cb

( ) sen( ) sen( ( )) ( )= + = + = +

donde g es una función definida de la forma

g x a bx( ) sen( )=

Por lo tanto, la representación gráfica de la función f es una traslación horizontal, b

c unidades,

de la representación gráfica de la función g. El número b

c se llama corrimiento de fase

asociado a la función f. Un análisis similar se obtiene para la función h definida de la forma

h x a bx c( ) cos( )= + donde a, b y c son números reales con a y b diferentes de cero.

Ejemplo 5.3. Trazar la representación gráfica de las funciones f definida por

f x x( ) sen( )= +3 2 2π y g definida por g(x)=3cos(2x+

2

π)

Solución. Se tiene que la representaciones gráficas de f y g son ondas senoidales de amplitud

3 y período 2

2

π π= . Un intervalo en el cual se encuentra un ciclo de la onda senoidal es

0 22

2≤ + ≤xπ π . Es decir: − ≤ ≤π π

4

3

4x

El corrimiento de fase es π π22 4

= .

Así, la representaciones gráficas de f y g son las que se muestran en la figura que sigue.

Factores de escala.

Sea ( )xfy = una función real de variable real definida en el intervalo [ ]ba, .

F(x)=3cos(2x+2

π ) F(x)=3sen(2x+2

π )

Funciones Reales 63

i) Si se multiplica la función ( )xfy = por una constante real “ 0>a ” cualquiera, la

función ( ) ( )xfaxg .= poseerá una gráfica similar a la de ( )xf , pero ampliada

verticalmente (si 1>a ) o contraída verticalmente sí ( 10 << a ). Al valor a se le

denomina factor de escala en el rango.

ii) Si se multiplica la variable de dominio por una constante real “ 0>b ” cualquiera, la

función ( ) ( )bxfxh = poseerá una gráfica similar a ( )xf pero reducida horizontalmente

( 1>b ) o expandida (sí 1<b ).

En matemática se presenta a menudo la necesidad de trazar la representación gráfica de

funciones que se obtienen como la suma o el producto de las funciones: coseno, seno y alguna

función algebraica. En el siguiente ejemplo se muestra una función de esta naturaleza.

Ejemplo 5.4 Trazar la representación gráfica de la función f definida por

senxxxf 2+=)(

Solución. Sean g y h funciones tales que senxxhxxg 2== )( y )(

Si se trazan las representaciones gráficas de g y h en un mismo plano cartesiano, la

representación gráfica de f se obtiene sumando las distancias dirigidas al eje X desde los puntos

(x , g(x)) y (x , h(x)). Observe la figura .

Primero grafique los puntos para los cuales senx = 0. En estos puntos la representación gráfica

de f corta a la representación gráfica de g. Luego, represente los puntos para los cuales

senx =1 o senx=-1. La representación gráfica de f se muestra en la figura

Funciones Reales 64

Ejemplo de aplicación. Un cuerpo vibra verticalmente de acuerdo con la ecuación

f t t t( ) sen ( ),= − ≥4 052π

donde f(t) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo a partir de su posición central (el

origen) en t segundos. La dirección positiva es hacia arriba.

a) Trazar la representación gráfica de la ecuación.

b) Determinar la posición del cuerpo 1

4 de segundos después del inicio del movimiento.

c) Determinar la posición del cuerpo 10

3 de segundos después del inicio del movimiento.

Como el período es 2, una vibración completa del cuerpo tarda 2 segundos.

La frecuencia es n = 1

2, por lo tanto, ocurre

1

2 de vibración por segundo.

b) Se tiene que f ( ) ,14 2 8= − . Por lo tanto,

1

4 de segundos después del inicio del movimiento,

el cuerpo se encuentra a 2,8 cm por debajo de la posición central.

c) Se tiene que f ( )103 2= . Así,

10

3 de segundos después del inicio del movimiento el cuerpo

se encuentra a 2 cm por arriba de la posición central.

Ejercicio. En un circuito eléctrico, en t segundos, la tensión es E(t) voltios, donde

E t t( ) sen= 150 120π y la corriente es I(t) amperes, con I t t( ) sen ( )= −25 120 1360π . Trazar

Solución

a) Para efecto de la representación gráfica, se denotará

el eje horizontal por t y el eje vertical por f (t).

Verifique usted que:

i) La amplitud de la onda senoidal es 4.

ii) El período es 2.

iii) Un ciclo de la onda senoidal se da cuando

5

2

9

2≤ ≤t .

Así, la representación gráfica de f es la que se muestra

a la derecha

Funciones Reales 65

las representaciones gráficas de E e I en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. ¿Se

retrasa o adelanta la tensión?. ¿En cuánto?.

5.3 FUNCION TANGENTE

Definición 5.2

La función tangente se denota por tg y se define como 0≠= xcos,xcos

senxtgx

De la definición se desprende que:

i) { }0≠∈= xcos/Rx)tg(Dom { }ZnnxRx ∈+≠∈= donde ,/ ππ2

ii) Como − ≤ ≤ − ≤ ≤1 1 1 1cos senx x y , entonces tgx puede hacerse tan grande como

se desee tomando valores de x de manera que cosx se aproxime lo suficiente a cero. Por lo

tanto, el rango de la función tangente es el conjunto de los números reales.

iii) Usando los valores de las funciones coseno y seno, podemos hallar el valor de la

función tangente para cualquier número de su dominio. Por ejemplo: 01

0 =−

=ππ=π

cossentg

iv) La función tangente toma valores positivos en el primer y tercer cuadrante , y valores

negativos en el segundo y cuarto cuadrante.

v) La función tangente es impar, en efecto

tgxxcos

senx)xcos(

)x(sen)x(tg −=−=

−−

=− .

y es periódica, de período π . Pues, 0≠=−−=

π+π+

=π+ xcos,tgxxcos

senx)xcos(

)x(sen)x(tg

En general, si x R∈ y n es un número entero, entonces

π+π≠=π+ nx,tagx)nx(tg2

Con todas las observaciones anteriores y el mismo procedimiento utilizado para obtener las representaciones gráficas de las funciones coseno y seno podemos obtener la representación gráfica de la función tangente, la cual se muestra en la figura siguiente.

La familia de rectas dadas por la ecuación x n n Z= + ∈π π2

,

contiene todas las rectas, y sólo aquellas rectas que son asíntotas verticales de la representación gráfica de la función tangente. Las representaciones gráficas de funciones más generales, definidas de la forma

)cbx(tg.a)x(f +=

Funciones Reales 66

donde a, b y c son números reales con a y b diferentes de cero, pueden analizarse en forma

semejante a como se analizaron las representaciones gráficas de las funciones más generales en

donde intervienen el seno y el coseno. Sin embargo, para estas funciones no existe amplitud.

Existen otras funciones trigonométricas llamadas: cotangente, secante y cosecante; las cuales

se denotan respectivamente por: ctg, sec y csc. Estas funciones se definen en término de las

funciones: coseno, seno y tangente como:

=

01

01

01

≠=

≠

≠=

senx,senx

xcsc

xcos,xcos

xsec

tgx,tgx

ctgx

Le dejamos a ustedes la tarea de trazar la representación gráfica de cada una de estas funciones.

5. 4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Las funciones trigonométricas no son inyectivas, de modo que hace falta restringir los dominios

de cada una a intervalos convenientes. Los intervalos que generalmente se eligen son:

[ ] tangente para ,ýseno para ,coseno, para ,

−

−2222

0πππππ

y=tagx y= )(

431 2 π+xtag

Funciones Reales 67

porque son los mayores intervalos que contienen al número 0 y en el cual la función

correspondiente es inyectiva.

Las inversas de las demás funciones trigonométricas son de poco uso.

La inversa de la función f f x x: , , ( ) cos0 1 1π → − ∧ =

se denomina función inversa del coseno y se designa por arccos. Así, se tiene que

y x x y y= ↔ = ≤ ≤arccos cos , 0 π

En la siguiente figura se muestran las representaciones gráficas de f y su inversa

El dominio de la función arccos es −1 1, y el rango 0,π

La notación cos−1 x se evita porque puede ser interpretada erróneamente como 1

cosx.

La inversa de la función g g x x: , , ( ) sen− → − ∧ =π π

2 2 1 1

y=arcsenx

y=senx

se llama función inversa del seno y se designa por arcsen. Luego

y x x y y= ↔ = − ≤ ≤arcsen sen , π π2 2

A continuación se muestran las representaciones gráficas de g y su inversa

y=x

y=arccos x

y=cosx

y=x

Funciones Reales 68

El dominio de la función arcsen es −1 1, y el rango

−2

,2

ππ .

Por último, la inversa de la función ( ) tagxxhRh =∧→− )( ,:22ππ

se llama función tangente inversa y se designa por arctg. Así, se tiene que

22ππ <<−=↔= y,tgyxarctgxy

El dominio de la función arctg es R y el rango es ( )22

, ππ− .

Terminaremos este capítulo con un grupo de ejemplos donde se involucran las definiciones

estudiadas hasta los momentos.

Ejemplo 5.8 Hallar el dominio de la función f definida por ( ) 2cos)(2π−= xxf

Solución Se tiene que ( ){ }0 2cos/Dom

2≥−∈= πxRxf

Sabemos que la función coseno es positiva o cero en el intervalo

−2

,2

ππ , por lo tanto, como

ella es periódica, de período 2π , entonces es positiva o cero en todo intervalo de la forma

Znnn ∈

++− con 22

, 22

ππππ

De lo cual se concluye que ( ) 0 2cos 2 ≥− πx si y sólo si

− + ≤ − ≤ + ∈π π π π π2

2 22 2

2n x n n Z con

Es decir

n xn

n Z

con π π≤ ≤ + ∈( )1 2

2

Así, el dominio de la función f es igual a la unión de todos los intervalos de la forma

Tangente

Arcotangente

Funciones Reales 69

Znn

n ∈

+con

2

)21( ,2

π

Lo cual puede escribirse en símbolos como UZn

nnf

∈

+=2

)21( ,2Dom

π

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Trazar la representación gráfica de cada función. Determine, siempre que sea posible, amplitud, período y desfasamiento. Determine además el dominio y el rango de cada una.

1+cos)( ) 1+cos)( )

+cos=)( ) )( m)

)( )l )( k)

-=)( ) )( )

cos)( ) )cos()( )

)cos()( ) )()( )

)cos()( ) cos)( )

)(=)( ) )( )

xxfpxxfo

xxfnxsenxf

senxxfxsenxxf

xsenxxfjsenxxfi

senxxxfhxxfg

xxffxsenxfe

xxfdxxfc

xsenxfbsenxxfa

==

=

==+=

+=++=

−=−=

=−=

=

1

1

3332

43

44

2

31

31

π

2) Trazar la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones

)arccos(cos)( ) )()( )

)()( ) )( )

)arccos()( ) )()( )

xxffarcsenxsenxfe

xarcsenxfdarctagxxfc

xfbxarcsenxfa x

==+==

==

12

22

3) Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones

senxxfbxxfa =−= )() cos)( ) 6 2

24

25

5)arccos()( )

)arccos()( ) xxfd

x

xxfc −=

−−=

)cos()( ) )(

)( )

arccos)( ) arccos)( )

6

2

22

41

1

1

2

−=−−

−−=

+−=

+=

xxfhx

xarcsenxfg

x

xxff

x

xxfe

4) Restringir convenientemente el dominio de cada una de las siguientes funciones, para que admita inversa, y trazar la representación gráfica de la correspondiente inversa. a) f(x) = ctgx b) f(x) = secx c) f(x) = cscx 5) Un cuerpo suspendido de un resorte se levanta hasta un punto a 2 cm por arriba de su

posición central y luego se libera. El cuerpo tarda 1

2 de segundos en completar una vibración.

(a) Escriba una ecuación que defina f (t), donde f (t) centímetros es la distancia dirigida del

Funciones Reales 70

cuerpo desde su posición central t segundos después del inicio del movimiento y la dirección

positiva es hacia arriba. (b) Determine la posición del cuerpo 1

2 de segundos después del inicio

del movimiento y 1

4 de segundos después del inicio del movimiento.

6) Un cuerpo suspendido de un resorte, vibra verticalmente. El cuerpo pasa por su posición central conforme asciende, Cuando t = 2 seg logra su desplazamiento máximo de 9 cm, y pasa por su posición central cuando t = 3,2 seg. El movimiento es armónico simple y se describe mediante una ecuación de la forma f t a b t c( ) cos ( )= − , donde f (t) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central después de t segundos y la dirección positiva es hacia arriba. Encuentre la ecuación. 7) Una corriente alterna de 60 Hz tiene un máximo de 20 amperes y se describe mediante una ecuación de la forma I t a b t c( ) sen ( )= − , donde I (t) amperes es la corriente en t

segundos, y la corriente es 10 amperes por primera vez cuando t = 1

60. Hallar la ecuación.

6 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

6.1 FUNCION EXPONENCIAL

Definición 6.1

Sea { }1−∈ +Ra , llamaremos función exponencial de base a, a la función real f tal que

f x a x Rx( ) ,= ∈

Observe que:

i) Si a = 1, entonces 1 1x = para todo número real x.

ii) Si a = 0, entonces 0x es cero si x toma cualquier valor real positivo, y no está

definido para valores no positivos de x

iii) Si a < 0, entonces existen infinitos números reales x para los cuales la expresión ax

no representa un número real. Por ejemplo, si a = - 4 y x = 3

2, entonces

( ) ( )− = − = − ∉4 4 6432 3 R

Por todas las razones expuestas anteriormente, en la definición anterior, sólo se considera el caso

en que { }1−∈ +Ra .

Algunas características de las funciones exponenciales son:

Funciones Reales 71

i) Dom y Ragf R f R= = +.

ii) La representación gráfica de f no intersecta al eje X.

iii) La representación gráfica de f intersecta al eje Y en el punto de coordenadas

(0,1)

iv) El eje X es una asíntota horizontal de la representación gráfica de f.

v) La función es creciente si a > 1.

vi) La función es decreciente si 0 < a <1.

vii) La función es inyectiva en todo su dominio.

En los cursos de matemáticas y en la investigación de muchos fenómenos físicos, se presenta

en forma muy frecuente el número irracional e = 2,718281828459.........

Es usual trabajar con la función f definida por f x ex( ) =

Ejemplo 6.1 Un movimiento armónico amortiguado se describe por f t e tt( ) sen= − 2

Trace la representación gráfica de f para t ≥ 0.

El movimiento armónico amortiguado es importante en el diseño de edificaciones, puentes y

vehículos. Por ejemplo, a fin de amortiguar la oscilación cuando un automóvil se encuentra con

un obstáculo en el camino, se utilizan los amortiguadores.

Para el movimiento armónico amortiguado, la amplitud decrece a cero conforme transcurre el

tiempo. Si la amplitud crece sin límites conforme transcurre el tiempo, entonces se presenta la

resonancia. El siguiente ejemplo presenta un modelo matemático que describe la resonancia.

Ejemplo 6.2 La resonancia se describe por f t tt( ) cos= 2 4 . Trace la gráfica de esta función

Frecuentemente en Matemática se presentan ciertas combinaciones de funciones exponenciales

que merecen nombres especiales. Algunas de estas funciones son las denominadas funciones

hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas más usuales son: coseno hiperbólico y seno hiperbólico, las cuales se

denotan por cosh y senh, respectivamente, y se definen como:

cosh ,xe e

x Rx x

= + ∈−

2 senh ,x

e ex R

x x= − ∈

−

2

Para la función cosh se tiene que:

Funciones Reales 72

i) Está definida para todo número real x.

ii) Es par, en efecto

cosh( ) cosh ,( )

− = + = + = ∀ ∈− − − −

xe e e e

xx x x x

2 2 x R

Así, su representación gráfica es simétrica con respecto al eje Y.

iii) Se puede escribir como la suma de las funciones f y g definidas por

f xe

g xex x

( ) ( )= =−

2 2 y

iv) Su representación gráfica no corta al eje X, pues, no existe un número real x para el

cual coshx = 0.

v) Su representación gráfica corta al eje Y en el punto de coordenadas (0 , 1). En efecto

cosh( )02

10 0

= + =−e e

Con las observaciones anteriores y las representaciones gráficas de las funciones f y g se

obtiene fácilmente la representación gráfica de la función cosh. Observe que la representación

gráfica de la función cosh es asintótica con respecto a las gráficas de las funciones f y g.

La curva obtenida se llama catenaria. Un cable flexible homogéneo o una cadena suspendida

entre dos puntos fijos a una misma altura, forman una curva que es parte de una catenaria.

Ejemplo 6.3 La función senh satisface las siguientes condiciones:

i) Está definida para todo número real x.

ii) Es impar, pues

Rxsenhxeeee

xsenhxxxx

∈∀−=−−=−=−−−−−

,22

)()(

Así, su representación gráfica es simétrica con respecto al origen.

iii) Se puede escribir como la suma de las funciones f y g definidas así:

f xe

g xex x

( ) ( )= = −−

2 2 y

iv) La representación gráfica corta a ambos ejes coordenados en el punto (0 , 0).

Elabore la representación gráfica de la función senh

Funciones Reales 73

El siguiente ejemplo muestra porque el calificativo de hiperbólicas para las dos funciones

definidas anteriormente.

Ejemplo 6.4 Para cada número real t, el punto de coordenadas (cosht , senht) pertenece a la

hipérbola cuya ecuación es x y2 2 1− = .

Solución Sustituyendo x e y en la ecuación de la hipérbola por cosht y senht,

respectivamente, obtenemos que

1 2

)2()2(

22senhcosh

2222

2222

=

+−−++=

−−

+=−

−−

−−

tttt

tttt

eeee

eeeett

Lo que se quería demostrar.

Como x te et t

= = + >−

cosh2

0 para todo número real t, el punto (cosht , senht) está en la

rama derecha de la hipérbola

Existen otras funciones hiperbólicas llamadas: tangente hiperbólico, cotangente hiperbólico,

secante hiperbólico y cosecante hiperbólico; las cuales se denotan respectivamente por tagh,

ctgh, sech y csch. Estas funciones se definen en término de las funciones cosh y senh de forma

análoga a las funciones trigonométricas.

6.2 FUNCION LOGARITMICA

Sea f una función tal que { }1 ,)( : −∈=∧→ ++ RaaxfRRf x

Esta función f es biyectiva, en consecuencia, f tiene inversa.

La función inversa de f se define como f R R f x xa− + −→ ∧ =1 1: ( ) log

y se llama función logarítmica de base a. De este modo podemos decir que

y x x aay= ↔ =log

La expresión y xa= log se lee: “ y es el logaritmo de x en la base a”

Siendo las representaciones gráficas de las funciones f y f −1 simétricas con respecto a la recta

cuya ecuación es y = x, podemos obtener la representación gráfica de la función logarítmica

Funciones Reales 74

f x xa− =1( ) log , por reflexión respecto a la mencionada recta, a partir de la representación

gráfica de la función exponencial f x ax( ) = .

La función logarítmica de base a satisface las siguientes propiedades, las cuales se deducen de

la función exponencial:

i) El dominio es el conjunto de los reales positivos y el rango es el conjunto de todos los

números reales.

ii) La representación gráfica no intersecta al eje Y.

iii) La representación gráfica intersecta al eje X en el punto (1 , 0).

iv) El eje Y es una asíntota vertical de la representación gráfica .

v) Si 0 < a < 1, la función es decreciente, esto es

)()(

loglog 10

21

11

2121

xfxf

xxxxa aa

−− >→

>→<∧<<

vi) Si a > 1, la función es creciente, es decir

)()(

loglog 1

21

11

2121

xfxf

xxxxa aa

−− <→

<→<∧>

vii) La función f −1 es inyectiva en todo su dominio.

La función logarítmica satisface también las siguientes propiedades algebraicas, las cuales se

deducen de las propiedades algebraicas de la función exponencial:

i) ( ) yxyx aaa loglog.log += . ii) yxy

xaaa logloglog −=

.

iii) xnx an

a log.log = . iv) xa xa =log . Para x>0

v) xaxa =log . vi)

b

xx

a

ab log

loglog = .

Casos particulares.

Llamaremos logaritmo natural, a aquel donde se toma como base el número trascendente e que

se define mediante la expresión:

∑+∞

===++++=

0

...718281828,2!

1...

!3

1

!2

1

!1

11

nn

e

Para los cálculos poco precisos basta recordar que 72.2≈e .

Funciones Reales 75

Otra base usual para el cálculo de logaritmos es la base 10 . A los logaritmos de base 10 se les

llaman logaritmos decimales o logaritmos comunes. Se utilizan los símbolos logx y lnx

como abreviaturas de x10log y loge x, respectivamente.

Finalizaremos esta sección con un grupo de ejemplos en los cuales se trabajan con

combinaciones de los diferentes tipos de funciones reales estudiadas hasta los momentos.

Ejemplo 6.5 Hallar el dominio y el rango de la función f definida por

f x e ex x( ) = −4 2

Solución { }04/Dom 2 ≥−∈= xx eeRxf

Como 4 02e ex x− ≥ , entonces 4 2e ex x≥ ⇒ xxe −≥ 24 ⇒ 4 ≥ ex

Como la función logaritmo natural es creciente, aplicándola a cada miembro de la desigualdad

anterior se obtiene

ln ln4 ≥ ex ⇒ ln ln4 ≥ x e ⇒ ln4 ≥ x ⇒ ( ]4Dom ln,f ∞−=

Veamos ahora cual es el rango de la función f.

Como xx eey 24 −= (1)

entonces y ≥ 0 (2)

Despejando xe de la expresión (1) obtenemos:

( ) 22222 42044 yeyeeeey xxxxx −±=⇒=+−⇒−=

Como ex es mayor que cero para todo número x del dominio de f, entonces

0y-4-2 042 22 >∨>−+ y

La unión del conjunto solución de cada una de estas desigualdades es

22 ≤≤− y (3)

Así, de (2) y (3) se concluye que

Ragf = 0 2,

Funciones Reales 76

Ejemplo 6.6 Halle el dominio de la función f definida por )1ln(1log)( 2 −−= xxf

Solución ( ) ( )eef +∪−+−= 1,11,1Dom

Ejemplo 6.7 Hallar el dominio de la función f definida por

=10

log)(x

arcsenxf

Solución [ ]100,1Dom =f

6.3 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LO GARITMICA

En muchas aplicaciones se emplean modelos matemáticos que involucran la función

exponencial natural y la función logarítmica. Algunos de estos modelos se conocen como

crecimiento exponencial o bien decrecimiento exponencial.

Una función f definida de la forma f t Be tkt( ) ,= ≥ 0

donde B y k son constantes positivas se dice que tiene crecimiento exponencial. En la figura 1

se muestra la representación gráfica de esta función.

t t

f (t) f(t)

B

B

F igura 1 F igu ra 2

f t B ek t( ) =

f t B e k t( ) = −

Una función definida por una ecuación de la forma f t Be tkt( ) ,= ≥− 0

donde B y k son constantes positivas se dice que tiene decrecimiento exponencial. En la figura

13 se muestra la forma que tiene la representación gráfica de esta función.

Ejemplo 6.8 El valor de una máquina t años después de su compra es tBetv 30,0)( −= , donde B

es una constante. La máquina se compro hace 8 años en 170.000 Bs y se reemplazará cuando

su valor sea 10.000 Bs. (a) ¿Cuál es el valor actual de la máquina?. (b) ¿Cuándo se adquirirá una

nueva máquina?.

Funciones Reales 77

Solución Tenemos que determinar el valor de la constante B. Como la máquina se compro en

170.000 Bs, entonces v(0) = 170.000 Bs, es decir

Be( , ) .− =0 30 0 170000

de donde B = 170.000

Por lo tanto, el valor de la máquina t años después de su compra es

t,e.)t(v 300000170 −=

Como la máquina se compró hace 8 años, su valor actual es

052154220001708 8300 ,e.)(v ),( == −

Supongamos que la nueva máquina se adquirirá t años después de su compra; pero transcurrido

ese tiempo la máquina actual tendrá un valor de 10.000 Bs, por lo tanto

0010000170

00010300 .e.

.)t(vt, =

=

Despejando t de la expresión anterior obtenemos t = 9,4. Así, la nueva máquina se adquirirá

9,4 años después de su compra. Como actualmente han transcurrido 8 años, la nueva máquina se

adquirirá dentro de 1,4 años

Otro modelo matemático en que intervienen potencias de e se da en la función f definida por

0 ),1()( ≥−= − teAtf kt donde A y k son constantes positivas. Esta función define el

crecimiento limitado. Su representación gráfica se muestra en la

t t

f (t) f (t)

F igu ra 3 F igu ra 4

A

A -Bf t A e k t( ) ( )= − −1

A

f t A B e k t( ) = − −

El crecimiento limitado también se describe mediante una función f definida por

Funciones Reales 78

0 ,)( ≥−= − tBeAtf kt

donde A, B y k son constantes positivas. La gráfica se muestra en la figura 4.

A continuación se presentan algunos problemas que se resuelven mediante el uso de funciones exponenciales. 1.- Al principio de 1998, la población mundial era 5900 millones y en enero de 1990 era de 5242,86 millones. Se sabe que el crecimiento poblacional es exponencial, por lo tanto y=Aekt , donde t se mide en años a partir de un cierto momento (primero de enero de 1998), A representa la población inicial (para t=0) en millones de personas, k una constante e y población t años después del primero de enero de 1998.

a) Calcule el valor aproximado de la constante k usando la población de 1990 y la de 1998. b) Calcule la fecha en la que la población mundial llegará a 10 mil millones de habitantes. c) A partir de enero de 1990 cuánto tiempo tardará en duplicarse la población. d) Cuál será el número de habitantes para el año 2010

2.- (Fechado con carbono) Todos los seres vivos contienen carbono 12, que es estable y carbono 14 que es radiactivo. Mientras una planta o animal está vivo la razón de estos dos isótopos de carbono permanece constante, ya que el carbono 14 se renueva constantemente; al morir, el carbono 14 al igual que otras sustancias radiactivas comienza a disminuir su masa con un decaimiento exponencial, su vida media es 5730 años; esto es, tarda 5730 años para que una cantidad dada de carbono 14 decaiga a la mitad. Con la información anterior resuelva el siguiente problema. Un cabello humano de una tumba egipcia se probó que solo tenia 60% del carbono 14 del tejido viviente. ¿Cuándo murió la persona? 3.- Cuando hacemos un certificado de ahorro en un banco, por un capital C, el banco nos ofrece una tasa de interés r por ciento anual, y los intereses se capitalizan mensualmente. Entonces

pasado el primer mes, nuestro capital es, el capital inicial C más el interés, C.))(( 12100

r. Así

tenemos después de un mes C+ C.))(( 12100

r= ( )RC +1 donde

R = ))(( 12100

r.

Pasado el segundo mes, la cantidad total es C(1+R) más el interés que gana esa cantidad, que es C(1+R)R Luego, El total después de dos meses es:

C(1+R)+C(1+R)R = C(1+R)(1+R) = C(1+R)2

El capital total después de tres meses es

C(1+R)2 + C(1+R)2.R =C(1+R)2[1+R] = C(1+R)3

Funciones Reales 79

Pasados t meses el capital total tRCtC )()( += 1 donde R= ))(( 12100

r

También puede expresarse así t)R(C)t(C 121+= donde t es el tiempo en años.

Si se capitalizan los intereses diariamente entonces t

rCtC

365

3651001

+=))((

)( con t en años.

En general si el número de períodos en que se capitalizan los intereses durante un año es n

entonces nt

n

rCtC

+=100

1)( . Si hacemos crecer n indefinidamente (capitalizamos los

intereses cada fracción de segundo entonces 100100

1

rtnt

eaaproximasen

r

+ (esto lo

estudiaremos más adelante con el concepto de límites). Así se obtiene la fórmula del interés

compuesto continuo C(t)=C. )/( 100rte C= capital inicial r= tasa anual t= número de años de la inversión C(t)= capital total después de t años Suponga que disponemos de 2 millones de bolívares y queremos depositarlos en un banco por un año. En el banco A nos ofrecen una tasa de 30% anual donde los intereses se capitalizan mensualmente. El banco B ofrece 31% anual y los intereses se capitalizan trimestralmente. El banco C nos da una tasa de 32% y capitaliza los intereses al finalizar el año. Un banco D tiene una tasa de 29% pero los intereses se capitalizan diariamente. En el banco E nos dicen tenemos una tasa de 28% anual de interés compuesto continuo. Tomando sólo como referencia los intereses a obtener, ¿en que banco se recomienda depositar el dinero?

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Trazar la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones y, hallar el

dominio y el rango.

xx

xxx

xfdxfc

xfbxfa

−+

−

=−=

−==

2)( ) 24)( )

33)( ) 3)( )

1

( ) ( ) xx)x(f)f)x(f)e

−==

51

74

xxfjsenxxfi

xexfhexfgxx

xx

cos2)( ) 2)( )

)( ) )( ) 2

−

−

=+=

==

Funciones Reales 80

xxfnxxfm

xxflsenhxxfk

log=)( ) )2-(log=)( )

)2cosh(1)( ) 2)( ) −−=+=

)4(log2)( ) )ln()( )

ln)( ) ln)( )

3 xxfrxxfq

xxxfpxxfo

−−=−=

−==

2) Sean f y g funciones tales que x

xgyxxfln

11)( 12)( 2 −=−=

Hallar: a) Dominio y rango de cada función b) Dominio de f.g, fog y gf

.

3) Hallar el dominio de cada función

[ ] )1log()( ) )1log(lnlog)( )

ln

1

ln

1)( )

ln5

23)( )

2

4

2

xxxfdxxfc

xxxfb

x

xxfa

++=−=

+=−=

11ln)( ) logln

1)( )

)2ln()( ) 1ln)( ) 2

−+−=−

=

−=

−−=

xxxfhxx

xfg

x

xxffxxxfe

−+=

= 22

1ln)( ) 1

loglog)( ) xxxfjx

xfi

5

1ln)( )

2ln)( )

+−=

−=

x

xxfl

x

xxfk

( )

[ ])ln(sec)( ) arccos)( )

)( ) lnarccos)( )

ln)( ) )ln(arccos)( )

11

2

12

2

1

11

2

2

−=−=

−=

+−=

−=−=

xharcxfrxhxfq

xsenharcsenxfp

xx

xfo

xsenx

xfnxxfm

4) Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones

+−=−=

−=

1ln)( )

ln

9ln)( )

3

1ln)( )

2

x

xxxfc

xxxfb

xxfa

5) Dadas las funciones f y g definidas por: )2log(1)( +−= xxf y g xx

( ) = −1

4

2

Funciones Reales 81

Hallar: a) El dominio y el rango de cada una

b) Dom(fog) c) h

ghg )2()2( −+.

6) Dada la función ( ) ( ) )2ln(1)( ,1,1: ++−=∧+∞−→+∞− xxff

a) Enunciar las propiedades que debe cumplir f para que exista su función inversa

b) Hallar el dominio y el rango de f −1.

c)Hallar 1−f (x)

7) Una cadena suspendida entre dos puntos fijos a la misma altura forma una catenaria. Si

la catenaria la colocamos en un sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura,

X

Y

la ecuación toma la forma yx= 44

cosh , donde el eje X es la superficie.

a) Hallar la mínima altura de la superficie a la cadena.

b) Si los dos puntos fijos en los cuales está atada la cadena están a una separación de 20

unidades. Hallar la altura de la superficie al extremo de la cadena.

8) Para cada una de las siguientes funciones, determinar si es par, impar .

++=

−+=

−== +

2

21

11

1

12

xxxfdxx

xfc

xxfbexfa x

log)( ) log)( )

ln)( ) )( )

9) Si f(t) gramos de una sustancia radiactiva están presentes después de t segundos,

entonces f t Be t( ) ,= −0 3 , donde B es una constante. Si inicialmente hay 100 gramos de

sustancia: (a) ¿Qué cantidad habrá después de 5 segundos?. (b) ¿Después de qué tiempo estarán

presentes 88 gramos de sustancias radiactivas?.

Funciones Reales 82

ANEXO 1

OTROS TEMAS COMPLEMENTARIOS

Funciones definidas en forma implícita.

Sea RRAf →⊆: y la relación F definida de RAxR→ , se dice que la ecuación

( ) 0, =yxF define implícitamente a la función ( )xf sí para todo x del dominio de ( )xf , se

tiene que “ ( )( ) 0, =xfxF ”.

Ejemplos. La ecuación x2 -2y3x + 4 =0 define implícitamente la función

y=f(x)=xx

2

4 2+

en este caso fue posible despejar y en función de la variable x, cosa que no siempre es posible.

Como es el caso arccos(x+y) –y+x2-2 = 0

También puede ocurrir que una ecuación defina más de una función como (x+4)2 + y2=9

En algunos casos podemos tener expresiones como ( ) cyxG =, ó G( ) ( )yxHyx ,, = que

son también funciones implícitas ya que pueden definirse como ( ) ( ) 0,,1 =−= cyxGyxF y

( ) ( ) 0),(,,2 =−= yxHyxGyxF que corresponde exactamente a la definición.

Funciones definidas en forma paramétrica.

Sean f, g y h funciones reales de variables real con intersección no vacía entre los

dominios de g y h.

“Sí las funciones ( ) ( )thyetgx == definen una función de y en x ( ( )xfy = ), que se

obtiene despejando “t” de las ecuaciones dadas, se dice que “y” está definida en forma

paramétrica en función de x”.

Sí se quiere obtener “y” como función explícita de x bastará con expresar ( )tgx = ,

despejando t: ( )xgt 1−= y sustituyendo en ( )thy = , quedará ( ) ( )[ ]xghxfy 1−== donde la

dificultad de este procedimiento se encontrara principalmente en la obtención de ( )xg 1− .

Funciones Reales 83

ANEXO 2

Problemas Resueltos

1. Determinar cuáles de los diagramas siguientes definen una función de A en B. obtenga

además para cada relación el dominio, rango, conjunto de salida, conjunto de llegada y en

caso de ser función clasifíquela (inyectiva, sobreyectiva o biyectiva)

Solución:

a) La relación representada en el diagrama no define una función ya que el elemento “4” del

conjunto de salida no tiene imagen en el conjunto de llegada, además aunque la tuviera no

podría ser función ya que el elemento “6” tiene dos imágenes en el conjunto de llegada.

Conjunto de salida: A Conjunto de llegada: B

Dominio de la relación: { }6,5,3,2,1 Rango={ }edcb ,,,

b) La relación representada en el diagrama si define una función de A en B, ya que todos los

elementos del conjunto de salida tienen imagen y ésta es única.

Conjunto de salida = Dominio de la función = A

Conjunto de llegada: B; Rango= { }vuyx ,,,

Además ésta función definida de A en B no es inyectiva ya que el elemento “x” del rango

es imagen de dos elementos diferentes del dominio, ni tampoco es sobreyectiva ya que

hay un elemento en el conjunto de llegada que no es imagen de ningún elemento del

dominio, en otras palabras el rango de la función no coincide con el codominio o

conjunto de llegada.

a) f

A B

1

2

3

4

5

6

a

b

c

d

e

f A B

a

b

c

e

d

x y z

u

v

Funciones Reales 84

2. Indicar cuáles de las relaciones siguientes representan gráficas de funciones en el plano

cartesiano.

Solución:

a) La relación representada si corresponde a una función ya que todo elemento del dominio

tiene una sola imagen en el rango (nótese que sí cortamos con rectas verticales la gráfica

solo obtenemos un solo punto de intersección).

b) La relación dada no representa una función ya que hay elementos del dominio que tienen

más de una imagen (nótese que sí cortamos con rectas verticales la gráfica, obtenemos en

algunos casos dos puntos de intersección).

3. Sea ( )1

12 ++=

x

xxf , definida de IR en IR. Hallar:

a) ( )3−f b) ( )12 +xf c) ( )[ ]xff d) ( )11−f

Solución:

a) ( )3−f es la imagen de “-3” según la función f.

( )( ) 5

1

19

2

13

133

2−=

+−=

+−+−=−f

b) ( )12 +xf es la imagen del elemento “ 12 +x ” ( (fog)(x) donde g(x)=x2+1)

( ) ( )( ) 22

2

11

111

24

2

22

22

+++=

++

++=+xx

x

x

xxf

a) b)

Funciones Reales 85

c) ( )[ ]( )

+++

+

++

=

+

++++

+++

=

+

+

+

++

+

=22234

12.22

212

2)12(21

12121

12

121

112

1

xxx

xxx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xff

d) ( )11−f es el elemento o elementos del dominio que tienen como imagen a “1”.

1111

1 22

+=+⇒=+

+xx

x

x

( ) 100102 ==⇒=−⇒=− xyxxxxx

( ) { }1,011 =−f . Esto nos indica que 1−f no es función, en otras palabras f no es

invertible

4. Clasificar las siguientes funciones en inyectivas, sobreyectivas y/0 biyectivas

a) ( ) ,1 x

xxf

+= f: IR→ IR b) ( ) 2xxg = . g: IR+

→ IR

Solución:

a) No es inyectiva porque para el elemento “x” y el elemento “-x” se obtiene la misma

imagen ; ya que x

x

+1=

x

x

−+−

1 . No es sobreyectiva ya que todas las imágenes son

positivas y en el codominio existen números negativos.

b) No es sobreyectiva porque los números negativos no son imagen de ningún elemento del

dominio. Sin embargo, si es inyectiva ya que dos números positivos diferentes, tienen

cuadrados diferentes.

5. Indicar cuáles de las funciones dadas son iguales a la función ( )2

2 23 xxxxf

+−= definida

de IR en IR

a) ( )2

2 23 xxxxg

+−= g: IR+→ IR c) ( ) ( )

2

122 +−= xxxxj j: Dj→ IR

b) ( )2

245

2

2

x

xxxxh

+−= h: Dh→ IR d) ( )2

2 23 yyyyk

+−= k: Dk→ IR

Solución:

a) g no es igual a la función f ya que sus dominios no son iguales

Funciones Reales 86

b) h no es igual a la función f ya que sus dominios no son los mismos (nótese que el

dominio de la función h son los reales excluyendo el cero

Dh={ x∈IR: x ≠ 0 } = IR − {0}

c) j sí es igual a f ya que el dominio de ambas funciones es el mismo y la regla de

asociación es igual para ambas. (nótese que la diferencia estriba que en que j hemos

sacado a “x” factor común).

d) k sí es igual a f ya que los dominios y las leyes de correspondencia son las mismas para

ambas (nótese que lo que cambia es el nombre que le hemos dado a la variable

independiente).

6. Hallar el dominio de las siguientes funciones.

a) ( )xxx

xxf

23

923

2

++−= c) ( )

+

−+−+= 1

22

1ln

234

2

xxxx

xxh

b) ( )6555

2234

2

−−++−=

xxxx

xxxg d) ( ) ( )xxi lnarcsen

6−= π

Solución:

a) Por ser una función racional, el denominador debe ser distinto de cero, entonces:

( ) 023023 223 ≠++⇒≠++ xxxxxx

( )( ) 2,1,0021 −≠−≠≠⇒≠++ xxxxxx

Dominio de f ={ x∈IR: x ≠ 0 ∧ x ≠ -1 ∧ x≠ -2 } = IR – { 0, -1, -2 }

b) Por ser una función irracional con radical de índice par, entonces:

06555

2234

2≥

+−−+−

xxxx

xx

Tenemos que factorizar tanto el numerador como el denominador.

( )222 −=− xxxx sacando x factor común.

Para el denominador vamos a factorizar por Ruffini:

Funciones Reales 87

0651

651

0611611

61161

655511

−−−−

−−

Por lo tanto, ( )( )( )65116555 2234 ++−+=−−++ xxxxxxxx , pero factorizando

652 ++ xx , se tiene:

232

24255 −=−=⇒−±−= xyxx

06555

2234

2≥

+−−+−

xxxx

xx ⇒ ( )

( )( )( ) 0)2(311

2 ≥++−+

−xxxx

xx

Esta última expresión es la inecuación que vamos a resolver, para ello vamos a utilizar la

distribución de signos popularmente conocido como “método de la parrilla” (como todos

los factores son de grado impar, todos intervienen en dicha distribución, donde los puntos

20 == xyx anulan el numerador, y 1−=x , 1=x , 2−=x y 3−=x anulan el

denominador). Para efectos práctico denotaré con A el primer miembro

De la desigualdad.

( ) ( ) ( ) [ ) ( ]{ }∞−−−∞−∈= ,21,01,23, UUUxxfdeDomino

(-∞, -3) (-3, -2) (-2, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, 2) (2, + ∞) -∞ -3 -2 -1 0 1 2 +∞

x+3 _ + + + + + + x+2 _ _ + + + + +

x+1 _ _ _ + + + +

x _ _ _ _ + + + x-1 _ _ _ _ _ + +

x-2 _ _ _ _ _ _ +

A + −−−− + −−−− + −−−− +

Cuadro Resumen solución solución solución solución

Funciones Reales 88

c) ( )

+

−+−+= 1

22

1ln

234

2

xxxx

xxh . Para que esté definida la función, tenemos que:

0122

1ln

234

2≥

+

−+−+

xxxx

x, entonces

022

111

22

11

22

1234

2

234

20

234

2≥

−+−+

⇒≥+−+−

+⇒≥+

−+−+

xxxx

x

xxxx

xe

xxxx

x

factorizando, tenemos que:

( )( ) 0

21

12

2≥

+−+xxx

x.

Ahora podemos volver a hacer la distribución de signos, teniendo en cuenta que los

factores ( ) ( )21 22 ++ xyx no intervienen ya que son positivos para todo valor de x.

Pero no es necesario dado que solo tenemos que resolver la inecuación x(x - 1)>0.

Aplicando las propiedades de las desigualdades (ver Introducción a los Números Reales).

Se tiene que x y x-1 deben ser ambos positivos o ambos negativos, es decir

x.(x – 1)>0 ⇒ ( x>0 ∧ x-1 >0 ) ∨ ( x<0 ∧ x-1<0 ) resolviendo obtenemos

( ) ( ) ( ){ }∞∞−∈∈= ,10,/ UxRxxfdeDominio .

d) ( ) ( )xxi lnarcsen6

−= π, para que esté definida la función, tenemos que

( ) ( )6

lnarcsen0lnarcsen6

ππ ≤⇒≥− xx , si observamos la gráfica del xarcsen ,

notamos que para que el 2

11

6≤≤−⇒≤ απαarcsen , pero como xln=α ,

entonces:

211

2

1ln1 exex ≤≤⇒≤≤− −

Por lo tanto, ( )

≤≤∈= ex

eRxxideioDo

1/min .

7. Obtener dominio, rango y representación gráfica de las siguientes funciones:

a) ( ) ( ) 322 2 +−= xxf b) ( ) ( )2332 −−= xxg c) ( ) 224 −−= xxh

2π

6π

21 1

Funciones Reales 89

d) ( ) ( )12

sen3 −−= xxlπ

e) ( ) ( )12

sen3 −−= xxmπ

f) ( ) ( )12

3 −−= xsenxnπ

g) ( ) 1332 +−= xxxp h) ( ) 32 −−= xxq i) ( ) 243 xxxr −−=

j) ( ) xxxs 21 2 −−= k) ( ) 221 xxxt −+=

Solución:

a) ( ) 322 2 +−= xy .

Ecuación de una parábola de vértice ( )3,2 ,

cóncava hacia arriba

x 0 1 2 3 4

y 11 5 3 5 11

Dominio: R ( no hay limitaciones)

Rango: { }3/ ≥∈ yRy (ver gráfica)

8. Dadas las funciones reales f y g definidas, respectivamente, por 29)( xxf −= y

)1log()( −= xxg . Determinar :

a) Dominio f y g b) El producto de f por g c) La recíproca de g

d) La función f/g e) La reciproca de f f) La función g/f

g) Representación gráfica de y= )(xg h) ¿Son f y g funciones pares o impares?

i) ¿ Son f y g inyectivas y/o sobreyectivas? j) Representación gráfica de f

k) ¿ Son f y g funciones acotadas ? l) El rango de f

m) La inversa de f y g haciendo restricciones de ser necesario

Solución.

a) f(x) existe sólo para los x reales tales que 9-x2≥0

9-x2 ≥0 ⇒ -x2

≥-9 ⇒ x2≤ 9 ⇒ 92 ≤x ⇒ 3≤x ⇒ 3 ≤ x ≤3

Por lo tanto, el dominio de f es el intervalo [-3, 3] g(x) existe sólo para aquellos elementos x tales que x-1>0. Es decir x>1

f(x)=2(x-2)2+3

3

Funciones Reales 90

Por lo que el dominio de g es el intervalo (1, ∞)

b) El dominio de f.g está determinado por Df∩Dg = [-3, 3] ∩ (1, ∞) = (1, 3]

Así f.g : (1, 3] → IR ∧ (f.g)(x) = )1log(.9 2 −− xx

c) La reciproca de g es 1/g , por ello debemos encontrar los valores de x para los

cuales g(x) = 0. Es decir log(x-1) = 0

log(x-1) = 0 ⇒ x-1=1 ⇒ x = 2.

Así 1/g : (1, 2) ∪ (2, ∞) → IR ∧ y = )1log(

1

−x

d) El dominio de la función f/g es: [-3, 3] ∩[(1, 2) ∪ (2, ∞) ] = (1, 2) ) ∪ (2, 3] Así, f/g es la función tal que

( ) ( ]→∪ 3,22,1:g

f IR ∧

)1log(

9 2

−−=x

xy

e) La recíproca de de f esta dada por y= 1/f(x). Luego debemos encontrar los

valores de x que anulan a f(x). Esto ocurre cuando 9-x2 = 0, lo que implica que

x = ±3.

Por lo tanto, 1/f : (-3, 3) → IR ∧ 29

1

x

y

−=

f) El dominio de g/f es (1, ∞)∩[-3, 3] - {-3,3} = (1, 3) y la función queda definida

mediante la regla de asociación 29

)1log(

x

xy

−

−=

g) Representación gráfica de y= )(xg

1 2 3

y= 1log()( −= xxg

2 3 1

)1log( −= xy

Funciones Reales 91

h) La función f no es inyectiva, pues podemos encontrar dos elementos distintos del

dominio cuyas imágenes sean iguales, por ejemplo 2 y -2

529)2(5)2(9)2( 22 =−=∧=−−=− ff

f no es una función sobreyectiva, debido a que el codominio es IR pero los números negativos

no son imágenes de ningún elemento del dominio.

Para estudiar la inyectividad de la función g(x)=log(x-1), tomaremos dos elementos

arbitrarios del dominio de g que denotaremos con a y b, con la condición que sus

imágenes sean iguales, es decir g(a) = g(b).

g(a) = g(b) ⇒ log(a-1) = log(b-1)

⇒ )1log()1log( 1010 −− = ba

⇒ a -1 = b-1

⇒ a = b

Por lo tanto la función g es inyectiva.

Veamos ahora si ella es sobreyectiva.

Sea “y” un elemento cualquiera del codominio de g. (codominio de g = IR )

y = log(x-1) ⇒ 10y = x-1 ⇒ 1+10y = x

Como en la última igualdad se observa que y puede tomar cualquier valor real sin ninguna

restricción, se concluye que para todo y∈ IR existe x∈ IR tal que g(x) = y . Así que g es

sobreyectiva y su rango es IR

i) La función f es par puesto que:

1º el dominio de f es el intervalo [-3, 3] que satisface la condición x∈Df ⇒ -x∈Df

2º f(-x) = 22 9)(9 xx −=−− =f(x) para todo x∈Df

La función g no es par ni impar usted amigo lector puede fácilmente conseguir un contraejemplo,

de todas formas analicemos un poco la situación.

g(-x) = log(-x- 1) y g(x) = log( x-1), claramente g(-x) ≠ g(x) y g(-x) ≠ -g(x)

j) Representación grafica de la función f

k) En la gráfica puede observarse que

0 ≤ f(x) ≤ 3 . Resultando que f es

acotada.

La función g no es acotada puesto que

su rango es IR

Funciones Reales 92

l) Vamos a determinar el rango de f, para ello hacemos y = f(x) y despejamos x.

y = f(x) ⇒ y = 29 x−

⇒ y2 = 9 – x2 ∧ y ≥ 0

⇒ y2 - 9 = – x2 ∧ y ≥ 0

⇒ - y2 + 9 = x2 ∧ y ≥ 0

⇒ 22 9 yx −= ∧ y ≥ 0

⇒ 29 yx −= ∧ y ≥ 0

⇒ 29 yx −±= ∧ y ≥ 0

m) Estudio de la inversa de f. La función f no es inyectiva ni sobreyectiva y por lo tanto

no posee inversa. Sin embargo podemos hallar una restricción de ella que sea invertible.

Observe el gráfico de la función y note que si redefinimos la función así:

F : [0, 3] → [0, 3] ∧ F(x) = 29 x− que corresponde en el gráfico al cuarto de

circunferencia que ocupa el primer cuadrante. Esta función F así definida es biyectiva y por tal

razón invertible además su inversa es ella misma F -1(x) = 29 x−

g es inyectiva y sobreyectiva como se demostró en (h), por lo tanto es biyectiva, luego

ella es invertible.

9. Hallar el dominio de la función Lnx

arcsenxLnxf 12 24)( −+−=

Solución

Consideremos las funciones Lnx

arcsenxgyxLnxh 12 2)(4)( −=−=

De este modo f(x) = h(x) + g(x) Procedemos a buscar el dominio de cada una por

separado.

Nos preguntamos ¿ qué valores puede tomar “y” en la expresión final?

El conjunto de todos los posibles valores de “y” es el rango de la función.

Claramente vemos que 9 - y2 ≥0

Que al resolver se obtiene -3 ≤ y ≤ 3 . considerando que y ≥ 0

se obtiene que

El rango de f es [0, 3]]]]

Siguiendo el proceso desarrollado en ( h ) para probar que g es sobreyectiva se tiene que

g-1(x) = 1+10x

La figura anexa muestra la representación gráfica de g-1

Funciones Reales 93

Dominio de h. Se debe considerar 042 >−x . Como sabemos que el valor absoluto de

todo número real es no negativo, entonces 042 >−x siempre que hacemos x2- 4 ≠ 0 . De

allí que Dh = IR – { -2 , 2 }

Dominio de g : Lnx

arcsenxg 12)( −= . Para que g(x) sea un número real, es necesario

que 121 1 ≤−≤−Lnx

Como las raíces cuadradas son no negativas, entonces

120 1 ≤−≤Lnx

120 1 ≤−≤⇒Lnx

212 1 −≤−≤−⇒Lnx

12 1 ≥≥⇒Lnx

12

1 ≤≤⇒ Lnx aplicando la inversa de logaritmo natural

121

eee Lnx ≤≤⇒ por ser la exponencial monótona creciente

exe ≤≤⇒

⇒ Dg =[ ]ee,

Finalmente Df = Dh ∩ Dg = [ IR – { -2 , 2 }]∩ [ ]ee, = ) ([ ]ee ,22, ∪