1. Espacios con Producto Interno

1.1. Definicion

Sea E un C-espacio vectorial y 〈.|.〉 : E × E → C que verifica

1. 〈x|y + z〉 = 〈x|y〉+ (x, z)

2. 〈x|λy〉 = λ 〈x|y〉

3. 〈y|x〉 = 〈x|y〉∗

4. 〈x|x〉 ≥ 0

para todo x, y, z ∈ E, λ ∈ C.

Observacion 1.1 Claramente (x, 0) = (0, x) = 0 y 〈λx|y〉 = λ∗ 〈x|y〉.

Proposicion 1.1 Para todo x, y ∈ E se verifica | 〈x|y〉 |2 ≤ 〈x|x〉 〈y|y〉.

Demostracion. Sea g(t) = 〈x + ty|x + ty〉, es facil ver que g(t) ≥ 0 y vale

g(t) = 〈x|x〉+ 2Re 〈x|y〉 t + 〈y|y〉 t2,

por lo tanto Re 〈x|y〉2 ≤ 〈x|x〉 〈y|y〉. Si 〈x|y〉 = | 〈x|y〉 |eiθ tenemos

| 〈x|y〉 |2 = Re⟨x|e−iθy

⟩2 ≤ 〈x|x〉 〈y|y〉 ,

lo que prueba la afirmacion.

Corolario 1.1 Para x ∈ E vale 〈x|x〉 = 0 si y solo si 〈x|y〉 = 0 para todoy ∈ E.

Sea N = x ∈ E : 〈x|x〉 = 0, es facil ver que N es un subespacio de E. Sidefinimos en E/N el producto 〈[x]|[y]〉 = 〈x|y〉, es facil ver que es un productointerno definido positivo es decir 〈[x]|[x]〉 = 0 si y solo si [x] = 0 (x ∈ N).

1.2. Ejemplos

1. Cn = (x1, . . . , xn) : xj ∈ C con 〈x|y〉 =∑n

j=1 x∗jyj .

2. F (X) = f : X → C, f (x) = 0 salvo finitos x ∈ X con el producto in-terno

〈x|y〉 =∑x∈X

f (x)∗ g (x) .

3. l2 (X) =

f : X → C,∑

x∈X

|f (x) |2 < ∞

con el producto interno

〈x|y〉 =∑x∈X

f (x)∗ g (x) .

1

Como x ∈ X : |f (x) | > 0 =⋃

n≥1 Xn donde Xn es definido por

Xn =x ∈ X : |f (x) |2 ≥ 1/n

y # Xn ≤ n 〈f |f〉 tenemos que x ∈ X : |f (x) | > 0 es numerable.

4. Dado Ω abierto de Rn y ω ∈ C (Ω) con µ > 0, definimos el espacio vectorial

D0µ (Ω) =

f ∈ C (Ω) :

∫Ω

|f (x) |2µ (x) dx < ∞

con el producto interno

〈x|y〉 =∫

Ω

f (x)∗ g (x) µ (x) dx.

5. Si k ∈ N, Dkµ (Ω) =

f ∈ Ck (Ω) :

∫Ω

|Dαf (x) |2µ (x) dx < ∞, |α| ≤ k

con el producto interno

〈x|y〉 =∑|α|≤k

∫Ω

Dαf (x)∗Dαg (x) µ (x) dx.

6. Podemos considerar Cn ≡ Cn×1 y 〈x|y〉 = x∗.y ∈ C1×1, pero tambien vale〈x|y〉 r = tr (y.x∗)

1.3. Espacios de Hilbert

Sea (E, 〈.|.〉) un espacio con producto interno la funcion ‖.‖ : E → R definidapor ‖x‖ = 〈x|x〉1/2 verifica

1. ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

La funcion d definida en E×E por d (x, y) = ‖x− y‖ es una distancia invariantepor traslacion, es decir d (x + z, y + z) = d (x, y).

Proposicion 1.2 La norma ‖.‖ proviene de un producto interno si y solo si

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 ‖x‖2 + 2 ‖y‖2

y vale 4 〈x|y〉 = ‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 − i ‖x + iy‖2 + i ‖x− iy‖2.

Demostracion. Es facil ver de las propiedades de 〈.|.〉, que la norma verificala identidad. Veamos la recıproca, definimos

b (x, y) =14

(‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 − i ‖x + iy‖2 + i ‖x− iy‖2

),

2

Tenemos b (x, y) = b (y, x)∗, b (x, 0) = 0, b (x, x) = ‖x‖2 y b (x, iy) = ib (x, y).Usando la identidad se obtiene

b (x, y) + b (x, z) = 2b

(x,

y + z

2

)Si z = 0, se verifica b (x, y) = 2b (x, y/2) y b (x, y) + b (x, z) = b (x, y + z). Paran ∈ N, vale b (x, ny) = nb (x, y) y por lo tanto b (x, y/n) = b (x, y) /n. Entoncesb (x, λy) = λb (x, y) para todo λ racional. Por continuidad, vale para todo λ ∈ C.

Definicion 1.2 Sea xn : n ∈ N una sucesion de elementos de E, decimos quees acotada sii ‖xn‖ : n ∈ N es una sucesion acotada en R. Decimos que esuna sucesion de Cauchy sii dado ε > 0 existe n0 tal que ‖xn − xm‖ < ε paran, m ≥ n0. Decimos que es una sucesion convergente sii existe x ∈ E tal quelımn ‖x− xn‖ = 0.

Proposicion 1.3 Sea xn : n ∈ N una sucesion de elementos de E, si es unasucesion convergente entonces es una sucesion de Cauchy. Si es una sucesionde Cauchy entonces es acotada.

Demostracion. Existe n0 tal que ‖x− xn‖ < ε/2 si n ≥ n0, entonces de la de-sigualdad triangular ‖xn − xm‖ ≤ ‖x− xn‖+‖x− xm‖ obtenemos el resultado.Si ‖xn − xm‖ ≤ 1 para m,n ≥ n0, entonces ‖xn‖ ≤ max

1≤m≤n0‖xm‖+ 1.

Definicion 1.3 Un espacio metrico es completo sii toda sucesion de Cauchy esconvergente.

Definicion 1.4 Un espacio con producto interno (E, 〈.|.〉) es un espacio de Hil-bert sii es un espacio metrico completo con la norma inducida por el producto.

Proposicion 1.4 El espacio l2 (X) es un espacio de Hilbert.

Proposicion 1.5 Sea H es espacio de Hilbert, si C ⊂ H es un convexo cerradoy y /∈ C, entonces existe unico x∗ ∈ C tal que ‖x∗ − y‖ = ınf

x∈C‖x− y‖.

Demostracion. Sea xn : n ∈ N una sucesion de C tal que

lımn‖xn − y‖ = ınf

x∈C‖x− y‖

Usando la regla del paralelogramo para xn − y y xm − y tenemos

‖xn − xm‖2 =2 ‖xn − y‖2 + 2 ‖xm − y‖2 − ‖xn + xm − 2y‖2

=2 ‖xn − y‖2 + 2 ‖xm − y‖2 − 4∥∥∥∥xn + xm

2− y

∥∥∥∥2

≤2 ‖xn − y‖2 + 2 ‖xm − y‖2 − 4 ınfx∈C

‖x− y‖2 .

3

Entonces xn : n ∈ N una sucesion de Cauchy y por lo tanto convergente. Six∗ su lımite, siendo C cerrado, x∗ ∈ C y ‖x∗ − y‖ = ınfx∈C ‖x− y‖. Para ver launicidad, supongamos que x ∈ C tambien realiza la mınima distancia entonces

4∥∥∥∥y − 1

2(x + x∗)

∥∥∥∥2

+ ‖x− x∗‖2 = 2 ‖x− y‖2 + 2 ‖x∗ − y‖2 ,

por lo tanto ‖x− x∗‖2 ≤ 0 y x = x∗.

Corolario 1.2 El punto x∗ ∈ C realiza la mınima distancia a y si y solo si severifica Re 〈y − x∗|x− x∗〉 ≤ 0 para todo x ∈ C.

Demostracion. Sea g (t) = ‖y − (1− t) x∗ − tx‖2 la funcion definida en [0, 1],siendo

g (t) = ‖y − x∗‖2 − 2Re 〈y − x∗|x− x∗〉 t + ‖x∗ − x‖2 t2

g toma el mınimo valor en 0 si y solo si g′ (0) = −2Re 〈y − x∗|x− x∗〉 ≥ 0.

Corolario 1.3 Si C es un subespacio, x∗ ∈ C realiza la mınima distancia a ysi y solo si 〈y − x∗|x− x∗〉 = 0 para todo x ∈ C.

Demostracion. Para todo x ∈ C se verifica Re 〈y − x∗|x− x∗〉 ≤ 0 y

−Re 〈y − x∗|x− x∗〉 = Re 〈y − x∗|2x∗ − x− x∗〉 ≤ 0,

por lo tanto Re 〈y − x∗|x− x∗〉 = 0. Tomando x′ = (1− i) x∗ + ix se obtieneRe 〈y − x∗|i (x− x∗)〉 = 0 de donde sigue 〈y − x∗|x− x∗〉 = 0.

Proposicion 1.6 Sea (E, 〈.|.〉E) un espacio con producto interno, existe unespacio de Hilbert (H, 〈.|.〉H) y una aplicacion lineal ι : E → H tal que paratodo x, y ∈ E vale 〈ι x| ι y〉H = 〈x|y〉E. Ademas E es denso en H.

Demostracion. Sea S (E) el conjunto de sucesiones de Cauchy en E, es facilver que es un espacio vectorial y k 7→ 〈f (k) |g (k)〉E es una sucesion de Cauchypara f, g ∈ S (E). Definimos en S (E) el producto

〈f |g〉S(E) = lımk〈f (k) |g (k)〉E

y N =

f ∈ S (E) : 〈f |f〉S(E) = 0

, tomando H = S (E) /N y ι la aplicaciondefinida por ι x = [fx], con fx (k) = x para todo k ∈ N, tenemos que H es unespacio con producto interno y la aplicacion ι es una isometrıa lineal.

Falta ver que H es completo. Sea [fn] una sucesion de Cauchy en H paracada n ∈ N definimos kn > kn−1 tal que

1. ‖fn (j)− fn (j′)‖E <1n

si j, j′ ≥ kn,

2. ‖fn (j)− fm (j)‖E < 2 ‖[fn]− [fm]‖H si j ≥ kn para m = 1, . . . , n,

4

si consideramos la sucesion f (n) = fn (kn) tenemos para n ≥ m

‖f (n)− f (m)‖E = ‖fn (kn)− fm (km)‖E

≤‖fn (kn)− fm (kn)‖E + ‖fm (kn)− fm (km)‖E

≤2 ‖[fn]− [fm]‖H +1m

.

por lo tanto f ∈ S (E). En forma similar si n > km,m

‖f (n)− fm (n)‖E ≤‖fn (kn)− fm (kn)‖E + ‖fm (kn)− fm (n)‖E

≤2 ‖[fn]− [fm]‖H +1m

,

de donde se obtiene lımm‖[f ]− [fm]‖H = 0.

Definicion 1.5 Dado Ω un conjunto abierto de Rn, llamamos L2µ (Ω) la com-

pletacion de D0µ (Ω) y Hk

µ (Ω) la completacion de Dkµ (Ω).

Teorema 1.6 (Baire) Sea Fn : n ∈ N una familia de conjuntos cerrados de

H tales que

Fn = ∅, entonces F =⋃n

Fn verificaF = ∅.

Demostracion. Sea x0 ∈ F y r0 > 0, vamos a mostrar que existe un ele-

mento x∗ ∈ Br0 (x0) − F . Siendo

F1 = ∅, existe x1 ∈ Br0 (x0) − F1. Siendoque F1 es cerrado, existe r1 < (r0 − ‖x− x1‖) /2 tal que Br1 (x1)

⋂F1 = ∅.

Observemos que Br1 (x1) ⊂ Br0 (x0) y r1 < r0/2. Inductivamente podemos en-contrar xn+1 ∈ Brn (xn) y rn+1 < rn/2 tales que Brn+1 (xn+1) ⊂ Brn (xn) yBrn+1 (xn+1)

⋂Fn+1 = ∅. La sucesion xn : n ∈ N es de Cauchy, llamemos x∗

a su lımite, por construccion x∗ ∈ Brn (xn) y x∗ /∈ Fn para cada n ∈ N.

1.4. Suma Directa y Producto Tensorial

Dados E1 y E2 dos espacios con producto interno, podemos definir un pro-ducto en E1 × E2 por

〈(x1, x2) | (y1, y2)〉 = 〈x1|y1〉E1+ 〈x2|y2〉E2

Definimos E1 ⊕E2 = (E1 × E2, 〈.|.〉). Podemos generalizar a una familia nume-rable de espacios Ek

⊕k∈N

Ek =

f ∈

∏k∈N

Ek :∑k∈N

〈f (k) |f (k)〉Ek< ∞

con producto interno〈f |g〉 =

∑k∈N

〈f (k) |g (k)〉Ek

5

Proposicion 1.7 Si Ek son espacios de Hilbert, entonces⊕

k∈N Ek tambien.

Demostracion. Sea fn una sucesion de Cauchy en⊕

k∈N Ek, existe C > 0 talque ‖fn‖2 ≤ C. Para todo k ∈ N, fn (k) es una sucesion de Cauchy en Ek y porlo tanto existe f (k) tal que lım

nfn (k) = f (k). Para todo N ∈ N vale

N∑k=1

‖f (k)‖2Ek= lım

n

N∑k=1

‖fn (k)‖2Ek≤ C.

por lo tanto f ∈⊕

k∈N Ek. Ademas, dado ε > 0, existe n0 tal que si n, m ≥ n0

entoncesN∑

k=1

‖fn (k)− fm (k)‖2Ek≤ ε

para todo N , tomando lımite m →∞ tenemos

N∑k=1

‖fn (k)− f (k)‖2Ek≤ ε

Como N es arbitrario, vale lımn

fn = f .

Sean E1 y E2 dos espacios con producto interno, dada b ∈ L (E1, E2) unaforma bilineal y f ∈ F (E1 × E2) definimos

b (f) =∑

(x1,x2)∈E1×E2

f (x1, x2) b (x1, x2) .

Sea N el subespacio dado por

N = f ∈ F (E1 × E2) : b (f) = 0 para toda b ∈ L (E1, E2)

Dado (x1, x2) ∈ E1 × E2 consideramos

δ(x1,x2) (y1, y2) =

1 si (y1, y2) = (x1, x2)0 si (y1, y2) 6= (x1, x2) ,

entonces x1 ⊗ x2 = [δ(x1,x2)] ∈ F (E1 × E2) /N .

Proposicion 1.8 La aplicacion ⊗ verifica

1. (αx1)⊗ x2 = x1 ⊗ (αx2) = α (x1 ⊗ x2).

2. x1 ⊗ (x2 + y2) = x1 ⊗ x2 + x1 ⊗ y2.

3. (x1 + y1)⊗ x2 = x1 ⊗ v + y1 ⊗ x2.

Ademas F (E1 × E2) /N es generado por las combinaciones lineales x1⊗x2 conx1 ∈ E1, x2 ∈ E2 y

〈[f ]|[g]〉F(E1×E2)/N =∑

x,y∈E1×E2

f (x1, x2)∗g (y1, y2) 〈x1|y1〉E1

〈x2|y2〉E2

6

define un producto interno.Demostracion. Como δ(αx1,x2) − αδ(x1,x2) ∈ N , vale que

(αx1)⊗ x2 = α (x1 ⊗ x2) .

De la misma forma se prueban las otras igualdades. Dado f ∈ F (E1 × E2)podemos escribir f =

∑x∈E1×E2

f (x1, x2) δ(x1,x2). Tenemos que

[f ] =∑

x∈E1×E2

f (x1, x2) (x1 ⊗ x2)

Siendo f 7→ [f ] un epimorfismo, tenemos el resultado. Sea b ∈ L (E1, E2) definidapor

b (y1, y2) =∑

x∈E1×E2

f (x1, x2)∗ 〈x1|y1〉E1

〈x2|y2〉E2

si g, g′ ∈ F (E1 × E2) verifican g − g′ ∈ N , entonces b (g) = b (g′)

Definicion 1.7 Dados dos espacios con producto interno E1 y E2, definimosE1 ⊗ E2 como la completacion de F (E1 × E2) /N .

Es posible mostrar que (E1 ⊗ E2)⊗ E3 = E1 ⊗ (E2 ⊗ E3).Como ejemplo tenemos

1. Cm ⊗ Cn ≡ Cm×n

2. l2 (X1)⊗ l2 (X2) ≡ l2 (X1 ×X2)

3. L2µ1

(Ω1)⊗ L2µ2

(Ω2) ≡ L2µ1×µ2

(Ω1 × Ω2)

4. l2 (X)⊗H ≡ l2 (X, H)

1.5. Espacios de Fock

Sea H un espacio de Hilbert, llamamos Hn = H ⊗ · · · ⊗ H y H0 = C. Elespacio de Fock asociado a H es

F (H) =∞⊕

n=0

Hn

Dada una permutacion σ ∈ Pn definimos σ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn) = xσ(1)⊗ · · · ⊗xσ(n)

y los elemento

Sn (x1 ⊗ · · · ⊗ xn) =1n!

∑σ∈P

σ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn)

An (x1 ⊗ · · · ⊗ xn) =1n!

∑σ∈P

sgn (σ) σ (x1 ⊗ · · · ⊗ xn)

7

Consideramos

Fs (H) =∞⊕

n=0

SnHn

Fa (H) =∞⊕

n=0

AnHn

2. Sistemas Ortogonales y Bases

Definicion 2.1 Dado un conjunto C ⊂ H, el conjunto ortogonal de C esta de-finido por C⊥ = y ∈ H : 〈x|y〉 = 0 para todo x ∈ C.

Proposicion 2.1 Para todo conjunto C ⊂ H, el conjunto ortogonal C⊥ es unsubespacio cerrado de H.

Demostracion. De la linealidad de 〈x|.〉 se obtiene que C⊥ es un subespacio.Sea yn : n ∈ N ⊂ C⊥ convergente y sea y su lımite, para cualquier x ∈ S severifica

| 〈x|y〉 | = | 〈x|y − yn〉 | ≤ ‖x‖ ‖y − yn‖

Por lo tanto y ∈ C⊥, lo que prueba que es cerrado.

Definicion 2.2 Un conjunto S ⊂ H es un sistema ortogonal sii 〈x1|x2〉 = 0para x1, x2 ∈ S con x1 6= x2. Si ademas 〈x|x〉 = 1 para todo x ∈ S, decimos queS es un sistema ortonormal.

Definicion 2.3 Un sistema ortonormal S es completo sii S⊥ = 0.

Proposicion 2.2 Sea S = xn : n = 1, . . . , N un sistema ortonormal de H,entonces para x ∈ H y cn : n = 1, . . . , N ⊂ C se verifica∥∥∥∥∥x−

N∑n=1

cnxn

∥∥∥∥∥2

= ‖x‖2 −N∑

n=1

| 〈xn|x〉 |2 +N∑

n=1

| 〈xn|x〉 − cn|2.

En particular,∥∥∥∥∥x−N∑

n=1

〈xn|x〉xn

∥∥∥∥∥2

= ‖x‖2 −N∑

n=1

| 〈xn|x〉 |2 ≤

∥∥∥∥∥x−N∑

n=1

cnxn

∥∥∥∥∥2

.

Observacion 2.4 En notacion “bra-ket“

N∑n=1

〈xn|x〉xn =

(N∑

n=1

|xn〉 〈xn|

)|x〉

Proposicion 2.3 Sea S un sistema ortonormal de H, entonces para y ∈ H severifica

8

1. fy ∈ l2 (S) y ‖fy‖l2(S) ≤ ‖y‖H , donde fy (x) = 〈x|y〉.

2. Esta definido yS =∑

x∈S fy (x) x y verifica

a) ‖yS‖H = ‖fy‖l2(S)

b) 〈yS |y − yS〉 = 0.

Demostracion. Por la proposicion anterior

#x ∈ S : |fy (x) |2 ≥ 1/m

≤ m ‖y‖2 ,

por lo tanto Sy = x ∈ S : |fy (x) | > 0 es numerable. Sea Sy = xn : n ∈ N,vale ∑

x∈S

|fy (x) |2 = lımN

N∑n=1

|fy (xn) |2 ≤ ‖y‖2

Es facil ver que yN =∑N

n=1 fy (xn) xn es una sucesion de Cauchy y por lo tantoconvergente. Si yS = lımN yN , como 〈yN |y − yN 〉 = 0, tambien vale para yS .

Corolario 2.1 Sea S un sistema ortonormal de H, entonces son equivalentes

1. S es un sistema ortonormal completo.

2. Para todo y ∈ H, ‖fy‖l2(S) = ‖y‖H

3. Para todo y ∈ H, y = yS.

Demostracion. Como 〈x|y − yS〉 para todo x ∈ S, si S es un sistema completoentonces y = yS . Por otro lado, si y = yS para todo y ∈ H y 〈x|y〉 = 0 paratodo x ∈ S entonces y = yS = 0, por lo tanto S es completo.

Ejemplos

1. En Cn el conjunto S = ek : k = 1, . . . , n.

2. En F (X) y en l2 (X) el conjunto S = δx : x ∈ X.

3. En L2 (−π, π) el conjunto S =

(2π)−1/2einx : n ∈ N

.

4. En L2µ (R) el conjunto S = Hn : n ∈ N, donde µ (x) = e−x2

y Hn es elpolinomio de Hermite de grado n.

Definicion 2.5 Un espacio de Hilbert (H, 〈.|.〉) es separable sii existe un con-junto D denso y numerable.

Proposicion 2.4 Sea (H, 〈.|.〉) un espacio de Hilbert, entonces son equivalentes

H es separable.

Existe un conjunto S ortonormal completo numerable.

9

Demostracion. Sea D un conjunto denso numerable. Mediante el proceso deortogonalizacion de Gram–Schmidt podemos obtener un conjunto numerable Stal que todo y ∈ D se puede escribir como combinacion lineal finita de elementosde S. Entonces, si z ∈ S⊥ se verifica 〈y|z〉 = 0 para todo y ∈ D. Por lo tantoz = 0 y S es completo. Si K ⊂ C es un conjunto denso numerable y consideramosel conjunto D =

∑Nn=1 cnxn : cn ∈ K, xn ∈ S

es facil ver que D es denso y

numerable.

Proposicion 2.5 Sea H un espacio de Hilbert, B = x ∈ H : ‖x‖ ≤ 1 es unconjunto compacto si y solo si existe S ⊂ H un sistema ortonormal completocon # S < ∞.

Demostracion. Sea # S = ∞, como ‖xn − xm‖ =√

2 si xn, xm ∈ S ⊂ B conn 6= m, no existe ninguna subsucesion convergente de S. Si # S < ∞ tenemosque H ≡ Cn con n = # S.

10

3. Funcionales

Definicion 3.1 Sea (E, 〈.|.〉) un espacio con producto interno, decimos que fes una funcional lineal si f : E → C verifica f (αx + βy) = αf (x)+βf (y) paraα, β ∈ C, x, y ∈ E.

Proposicion 3.1 Sea f una funcional lineal, son equivalentes

1. f es continua.

2. f es continua en 0.

3. Existe C > 0 tal que |f (x) | ≤ C ‖x‖ para x ∈ E.

Demostracion. Siendo f lineal, |f (x)− f (y) | = |f (x− y) | ≤ C ‖x− y‖, porlo tanto f es continua.

Definicion 3.2 Denominamos E∗ al conjunto de funcionales lineales continuasde E y definimos

‖f‖E∗ = sup‖x‖=1

|f (x) |

Observacion 3.3 Para cada x ∈ E la funcion fx (y) = 〈x|y〉 es un elementode E∗ con ‖fx‖E∗ = ‖x‖E. En particular ‖x‖E = sup‖f‖E∗=1 |f (x) |.

Observacion 3.4 Un conjunto M ⊂ E es acotado si y solo si

f (x) : x ∈ M,f ∈ E∗ con ‖f‖E∗ = 1

es un subconjunto acotado de C.

Teorema 3.5 (Riesz) Sea H un espacio de Hilbert, entonces la aplicacion deH en H∗, x 7→ fx es un isomorfismo.

Demostracion. Sea f ∈ H∗ no nula y Ker (f) el subespacio cerrado definidopor Ker (f) = x ∈ H : f (x) = 0, si y ∈ H f (y) 6= 0 tomamos x∗ ∈ Ker (f)tal que ‖x∗ − y‖ = ınfx∈Ker(f) ‖x− y‖

3.1. Convergencia debil

Definicion 3.6 Un conjunto C ⊂ H es debilmente acotado sii para cada x ∈ Hel conjunto 〈x|y〉 : y ∈ C es acotado.

Definicion 3.7 Una sucesion xn : n ∈ N es debilmente convergente a x ∈H sii 〈xn − x|y〉 converge a 0 para todo y ∈ H. Denotamos w–lım

nxn = x o

simplemente xn x.

Observacion 3.8 Si xn → x, entonces xn x.

Proposicion 3.2 Si C ⊂ H es debilmente acotado, entonces es acotado.

11

Demostracion. Sea Fn = x ∈ H : | 〈x|y〉 | ≤ n para todo y ∈ C, de la acota-

cion debil obtenemos que H =⋃n

Fn, y por lo tanto

Fn 6= ∅ para algun n. Sea

Br (x) ⊂ Fn, para y ∈ C consideramos z = x + y/ (2r ‖y‖) ∈ Br (x), entonces‖y‖ ≤ 4rn.

Proposicion 3.3 Sea xn : n ∈ N una sucesion debilmente convergente a x,entonces ‖x‖ ≤ lım inf

n‖xn‖. Si ademas ‖xn‖ → ‖x‖, entonces xn → x.

Demostracion. Usando que

0 ≤ ‖x− xn‖2 = ‖x‖2 − 2Re 〈x|xn〉+ ‖xn‖2

tenemos que lım infn

‖xn‖2 − ‖x‖2 ≥ 0. De la misma desigualdad se obtiene que

si lımn‖xn‖ = ‖x‖, entonces lım

n‖x− xn‖ = 0.

Proposicion 3.4 Sea xn : n ∈ N una sucesion acotada, entonces tiene unasubsucesion debilmente convergente.

Demostracion. Sea D = ξk : k ∈ N un conjunto denso y numerable deH, como la sucesion 〈ξ1|xn〉 es acotada existe una subsucesion

x

(1)n : n ∈ N

tal que

⟨ξ1|x(1)

n

⟩. Inductivamente podemos ver que existe una subsucesion

x(m)n : n ∈ N

tal que existe para k = 1, . . . ,m

lımn

⟨ξk|x(m)

n

⟩Por lo tanto existe lım

n

⟨ξk|x(n)

n

⟩. Siendo D denso y xn

n : n ∈ N una sucesion

acotada vale que existe lımn

⟨y|x(n)

n

⟩para todo y ∈ H.

Observacion 3.9 Si C ⊂ H es un subconjunto w–cerrado (abierto), entonceses cerrado (abierto). Claramente la recıproca no vale en dimension infinita, sixn : n ∈ N es un sistema ortonormal, de la desigualdad de Bessel se obtienexn 0 y xn ∈ Σ = x ∈ H : ‖x‖ = 1 con Σ cerrado.

Proposicion 3.5 Sea C un subconjunto convexo de H, C es cerrado si y solosi es w–cerrado.

Demostracion. Sea y /∈ C, existe x ∈ C tal que Re 〈y − x|x′ − x〉 ≤ 0 paratodo x′ ∈ C y entonces

Re 〈y − x|x′〉 ≤ Re 〈y − x|x〉 < Re 〈y − x|y〉 .

Por lo tanto no existe xn ∈ C y xn y.

12

4. Operadores Acotados y Cerrados

Definicion 4.1 Dados dos espacios con producto interno E1, E2, decimos queT es un operador lineal de E1 en E2 sii

T (αx + βy) = αTx + βTy.

Decinos que T es acotado sii existe C > 0 tal que

‖Tx‖E2≤ C ‖x‖E1

Proposicion 4.1 Sea T un operadorl lineal, son equivalentes

1. T es uniformemente continuo.

2. T es continuo.

3. T es continuo en 0.

4. T es acotado.

Definicion 4.2 Denominamos B (E1, E2) al conjunto de operadores linealesacotados de E1 en E2. Si T ∈ B (E1, E2) definimos

‖T‖B(E1,E2)= sup‖x‖E1

=1

‖Tx‖E2

(= sup‖x‖E1

≤1

‖Tx‖E2

)

Proposicion 4.2 Si H2 es un espacio de Hilbert, entonces el espacio B (E1,H2)con la norma ‖.‖B(E1,E2)

es un espacio de Banach.

Demostracion. Sea Tn : n ∈ N una sucesion de Cauchy en B (E1,H2). Paracada x ∈ E1, Tnx : n ∈ N una sucesion de Cauchy en H2. Definimos

Tx = lımn

Tnx,

es facil ver que T ∈ B (E1,H2). Dado ε > 0 existe n0 tal que si m,n ≥ n0

entonces ‖Tm − Tn‖B(E1,H2)< ε, por lo tanto

‖Tx− Tnx‖H2= lım

m‖Tmx− Tnx‖H2

< ε ‖x‖E1,

lo que implica lımn

Tn = T .

Proposicion 4.3 Sea D ⊂ E1 un subespacio denso y T una aplicacion linealde D en E2 tal que

‖Tx‖E2≤ C ‖x‖E1

para todo x ∈ D, entonces existe T ∈ B (E1, E2) que verifica T x = Tx para todox ∈ D y ∥∥T∥∥B(E1,E2)

= sup‖Tx‖E2

: x ∈ D, ‖x‖E1= 1

.

Demostracion. Es consecuencia de la continuidad uniforme.

13

Ejemplos

1. Sean S1 = x1 (n) : n ∈ N y S2 = x2 (n) : n ∈ N sistemas ortonormalescompletos de E1 y E2 respectivamente, si an ∈ C : n ∈ N es una sucesionacotada, definimos el operador T ∈ B (E1, E2) como

Tx =∞∑

n=1

an 〈x1 (n) |x〉x2 (n) ,

es facil ver que ‖T‖B(E1,E2)= sup |an| : n ∈ N. Si E1 = E2 y S1 = S2,

decimos que T es diagonal.

2. Sea a continua y acotada en Ω, entonces T (f) = af es acotada en D0µ.

Definicion 4.3 Dado un operador T ∈ B (E1, E2) definimos el subespacio ce-rrado Ker (T ) = x ∈ E1 : Tx = 0. El operador T es un monomorfismo siKer (T ) = 0. Si ‖Tx‖E2

= ‖x‖E1decimos que T es una isometrıa.

Definicion 4.4 Dado un operador T ∈ B (E1, E2) definimos el subespacio

Ran (T ) = Tx : x ∈ E1 .

Observacion 4.5 El conjunto B (E) es un algebra con la suma y la composicionde operadores, ademas

‖T1T2‖B(E) ≤ ‖T1‖B(E) ‖T2‖B(E)

Definicion 4.6 Un operador T ∈ B (E1, E2) es inversible sii existe T−1 y ve-rifica T−1 ∈ B (E2, E1). Si existe T ∈ B (E1, E2) inversible, decimos que T esun isomorfismo.

Observacion 4.7 Existen isometrıas no inversibles, consideremos el operadorS ∈ B

(l2 (N)

)definido por

(Sf) (n) =

0 si n = 1,f (n− 1) si n ≥ 2.

Existe el inverso a izquierda S∗ definido por (S∗f) (n) = f (n + 1). Vemos que(S∗S) f = f . Observemos que fn = Snf verifica ‖fn‖l2(N) = 1 y fn convergedebilmente a 0.

Observacion 4.8 Si C ⊂ E1 un conjunto compacto y T ∈ B (E1, E2), entoncesT (C) ⊂ E2 es compacto.

4.1. Teorema del Grafico Cerrado

Teorema 4.9 Sea T ∈ B (H1,H2) tal que Ran (T ) = H2, entonces para todoabierto U de H1 vale que T (U) es un abierto de H2.

Teorema 4.10 Sea T ∈ B (H1,H2) tal que Ran (T ) = H2

14

4.2. Resolvente y Espectro

Definicion 4.11 Dado T ∈ B (H) definimos

ρ (T ) = λ ∈ C : T − λIes inversible

el conjunto resolvente. Definimos el espectro de T por σ (T ) = C − ρ (T ) Paracada λ ∈ ρ (T ), el operador resolvente es RT (λ) = (T − λI)−1.

Proposicion 4.4 Dado T ∈ B (H) el conjunto σ (T ) es no vacıo y compacto.

Demostracion. Si ‖T‖B(H) < |λ|, entonces el operador T − λI es inversible yvale

RT (λ) = −∞∑

k=0

λ−k−1T k,

por lo tanto σ (T ) ⊂

λ ∈ C : |λ| ≤ ‖T‖B(H)

. Si λ0 ∈ ρ (T ) podemos escribir

T − λI = (T − λ0) (I + (λ− λ0) RT (λ0))

Si |λ−λ0| ‖RT (λ0)‖B(H) < 1, entonces λ ∈ ρ (T ). Por lo tanto σ (T ) es cerrado.Tenemos tambien

RT (λ) = RT (λ0)∞∑

k=0

(λ0 − λ)kRT (λ0)

k

lo que muestra que RT (λ) es analıtica en ρ (T ). Ademas lım|λ|→∞

RT (λ) = 0, si

ρ (T ) = C, entonces para todo x, y ∈ H la funcion λ 7→ 〈x|RT (λ) y〉 es entera yacotada. Por le teorema de Liouville es constante y por lo tanto nula. Lo que esabsurdo, tenemos entonces que σ (T ) es no vacıo.

4.3. Formas Bilineales

Definicion 4.12 Sea H un espacio de hilbert, decimos que b : H ×H → C esuna forma bilineal de H sii

b (x, β1y1 + β2y2) = β1b (x, y1) + β2b (x, y2)

b (α1x1 + α2x2, y) = α∗1b (x1, y) + α∗2b (x2, y)

Proposicion 4.5 Si b una forma bilineal de H, entonces son equivalentes

1. |b (x, y) | ≤ C ‖x‖ ‖y‖.

2. b es continua en (0, 0).

3. b es continua en H ×H.

4. b es uniformemente continua en conjuntos acotados de H ×H.

15

Definicion 4.13 Dada b una forma bilineal continua de H, definimos

‖b‖ = sup |b (x, y) | : x, y ∈ H con ‖x‖ = ‖y‖ = 1 .

Observacion 4.14 Si T ∈ B (H), entonces b (x, y) = 〈x|Ty〉 define una formabilineal continua con ‖b‖ = ‖T‖B(H).

Recıprocamente, vale

Proposicion 4.6 Si b es una forma bilineal continua de H, entonces existe ununico T ∈ B (H) con ‖T‖ = ‖b‖ tal que para x, y ∈ H

b (x, y) = 〈x|Ty〉 .

Dada una aplicacion Γ : [0, 1] → B (H) continua, para x, y ∈ H podemos definir

b (x, y) =∫ 1

0

〈x|Γ (t) y〉 dt

es facil ver que b es una forma bilineal continua y

‖b‖ ≤∫ 1

0

‖Γ (t)‖B(H) dt.

Definimos∫ 1

0

Γ (t) dt al operador asociado a b.

Definicion 4.15 Dada una forma bilineal b de H, definimos la forma bilinealadjunta b∗ como

b∗ (x, y) = b (y, x)∗ .

Es facil ver que b es continua si y solo si b∗ es continua y vale ‖b‖ = ‖b∗‖.

Definicion 4.16 Dado T ∈ B (H) definimos T ∗ ∈ B (H) como el operadorasociado a la forma bilineal b∗, es decir 〈x|T ∗y〉 = 〈Tx|y〉, para x, y ∈ H.

Observacion 4.17 Es facil ver que

(T ∗)∗ = T .

(λT )∗ = λ∗T ∗.

(T1T2)∗ = T ∗2 T ∗1 .

Si T es un operador inversible, entonces T ∗ es un operador inversible yvale (T ∗)−1 =

(T−1

)∗.Definicion 4.18 Dado T ∈ B (H) definimos los operadores ReT =

12

(T + T ∗),

ImT =12i

(T − T ∗). Ambos son simetricos y se verifica

T =ReT + iImT,

T ∗ =ReT − iImT.

16

Proposicion 4.7 Si T ∈ B (H), Ran (T )⊥ = Ker (T ∗) y Ran (T ) = Ker (T ∗)⊥.

Proposicion 4.8 Sea q : H → R continua tal que q (λx) = |λ|2q (x) y

q (x + y) + q (x− y) = 2q (x) + 2q (y)

entonces b (x, y) =14

(q (x + y)− q (x− y)− iq (x + iy) + iq (x− iy)) es una

forma bilineal continua con b (x, y) = b (y, x)∗.

Demostracion. Es facil ver que b (x, 0) = 0, b (x, x) = q (x) y es continua.Usando la identidad se obtiene

b (x, y) + b (x, z) = 2b

(x,

y + z

2

)Si z = 0, se verifica b (x, y) = 2b (x, y/2) y b (x, y) + b (x, z) = b (x, y + z).Para n entero, vale b (x, ny) = nb (x, y) y por lo tanto b (x, y/n) = b (x, y) /n.Entonces b (x, λy) = λb (x, y) para todo λ racional. Como b (x, iy) = ib (x, y),por continuidad vale para todo λ ∈ C. Siendo b (x, y) = b (y, x)∗, obtenemosb (λx, y) = λ∗b (x, y).

4.4. Operador Simetricos

Definicion 4.19 Un operador T ∈ B (H) es simetrico sii T ∗ = T .

Observacion 4.20 Sea T ∈ B (H), T es un operador simetrico si solo si laforma bilineal b (x, y) = 〈x|Ty〉 verifica b (y, x) = b (x, y)∗.

Ejemplos

1. Si T es diagonal y an : n ∈ N ⊂ R entonces T es simetrico.

2. Sea a continua, real y acotada en Ω, entonces T (f) = af es acotada enD0

µ.

Proposicion 4.9 Un operador T ∈ B (H) es simetrico si y solo si 〈x|Tx〉 ∈ Rpara todo x ∈ H y vale

‖T‖B(H) = sup‖x‖H=1

| 〈x|Tx〉 |

Demostracion. Para x ∈ H vale

2Im 〈x|Tx〉 = 〈x|Tx〉 − 〈Tx|x〉 = 0,

entonces 〈x|Tx〉 es real. Si λ = sup‖x‖H=1 | 〈x|Tx〉 |, entonces λ ≤ ‖T‖B(H). Parax, y ∈ H con ‖x‖ = 1 y ‖y‖ = 1 tenemos

4|Re 〈x|Ty〉 | =| 〈x + y|T (x + y)〉 − 〈x− y|T (x− y)〉 |

≤λ ‖x + y‖2 + λ ‖x− y‖2 = 2λ(‖x‖2 + ‖y‖2

)= 4λ.

Por lo tanto |Re 〈x|Ty〉 | ≤ λ, lo que muestra que ‖T‖B(H) ≤ λ.

17

Corolario 4.1 Sea T ∈ B (H), entonces T ∗T es simetrico y se verifica

‖T ∗T‖B(H) = ‖T‖2B(H)

Demostracion. Basta observar que 〈x|T ∗Tx〉 = 〈Tx|Tx〉, tomando supremosobre ‖x‖ = 1 obtenemos el resultado.

Proposicion 4.10 Sea T ∈ B (H) un operador simetrico y M ⊂ H un subes-pacio T–invariante, es decir T (M) ⊂ H. Entonces M⊥ es T–invariante.

Demostracion. Sea y ∈ M⊥, para todo x ∈ M se verifica

〈x|Ty〉 = 〈Tx|y〉 = 0

por ser M un subespacio T–invariante, por lo tanto Ty ∈ M⊥.

Proposicion 4.11 Sea T ∈ B (H) un operador simetrico,

Observacion 4.21 Para T ∈ B (H) vale ρ (T ∗) = ρ (T )∗ y RT∗ (λ∗) = RT (λ)∗.

Proposicion 4.12 Sea T ∈ B (H) simetrico, entonces , σ (T ) ⊂ R, y se verifica

‖RT (λ)‖B(H) ≤1

|Im (λ) |

Demostracion. Sea λ ∈ ρ (T ), siendo T simetrico vale

‖(T − λI) (x)‖2 = ‖(T − Re (λ) I) (x)‖2 + Im (λ)2 ‖x‖2 ≥ Im (λ)2 ‖x‖2

por lo tanto ‖RT (λ)‖B(H) ≤ |Im (λ) |−1. Sea ρ+ (T ) = λ ∈ ρ (T ) : Im (λ) > 0,claramente es no vacıo y abierto en el semiplano superior, veamos que es cerrado.Sea λ en el semiplano superior, si λn ∈ ρ+ (T ) y λn → λ, entonces

|λ− λn| ‖RT (λn)‖B(H) ≤|λ− λn|Im (λn)

< 1

por lo tanto, λ ∈ ρ (T ). Por conexidad ρ+ (T ) es todo el semiplano superior. Deforma similar, podemos probar que todo el semiplano inferior esta incluıdo enρ (T ), por lo tanto C− R ⊂ ρ (T ).

4.5. Operadores Unitarios

Definicion 4.22 Un operador U ∈ B (H) es unitario sii U∗ = U−1.

Proposicion 4.13 Si U es unitario, entonces

1. 〈Ux|Uy〉 = 〈U∗x|U∗y〉 = 〈x|y〉 para todo x, y ∈ H.

2. ‖U‖B(H) = 1

3. σ (U) ⊂ ω ∈ C : |ω| = 1

18

4.6. Proyectores Ortogonales

Definicion 4.23 Sea M ⊂ H un subespacio cerrado, para todo x ∈ H definimosPx proyeccion ortogonal sobre M como el elemento de M que realiza la mınimadistancia.

Proposicion 4.14 La proyeccion ortogonal P verifica

1. P ∈ B (H).

2. Ran (P ) = M y Ker (P ) = M⊥.

3. PP = P .

4. P es simetrico.

5. σ (P ) ⊂ 0, 1.

Demostracion. Sabemos que Px realiza la mınima distancia a x si y solo six− Px ∈ M⊥, por lo tanto P es lineal. Siendo que

‖x‖2 = ‖Px‖2 + ‖x− Px‖2 ,

tenemos que ‖Px‖ ≤ ‖x‖. Las afirmaciones (2) y (3) son inmediatas a partir dela definicion de P . Como 〈x|Py〉 = 〈x− Px|Py〉+〈Px|Py〉 = 〈Px|Py〉, tenemosque P es simetrico. Es facil ver que si λ /∈ 0, 1, entonces

RP (λ) = (1− λ)−1P − λ−1 (I − P )

es el operador inverso de P − λI.

4.7. Transformada de Cayley

Definicion 4.24 Sea T ∈ B (H) simetrico, el operador U = (T + iI) RT (i) esla transformada de Cayley de T .

Proposicion 4.15 Sea U la transformada de Cayley de T , entonces

1. El operador U es unitario y 1 ∈ ρ (U).

2. T = i (U + I) RU (1).

3. σ (U) = φ (σ (T )), donde φ : R → ω ∈ C : |ω| = 1 esta definida por

φ (λ) =λ + i

λ− i

Demostracion. Como T − µI conmuta con RT (λ) para µ ∈ C y λ ∈ ρ (T ),tenemos

U =(T + iI) RT (i) = RT (i) (T + iI) ,

U∗ =(T − iI) RT (−i) = RT (−i) (T − iI) ,

19

por lo tanto UU∗ = U∗U = I. Como vale

U − I =(T + iI) RT (i)− I

=(T + iI) RT (i)− (T − iI) RT (i) = 2iRT (i) ,

tenemos que 1 ∈ ρ (U) y RU (1) = − i

2(T − iI). Como i (U + I) = 2iTRT (i) y

por lo tanto vale (2). Sea λ ∈ R, se verifica

U − φ (λ) I = − 2i

λ− i(T − λ) RT (i) ,

por lo tanto φ (λ) ∈ σ (U) si y solo si λ ∈ σ (T ).

4.8. Operadores Compactos

Definicion 4.25 Sea K ∈ B (E1, E2) decimos que K es un operador compac-to sii para toda sucesion acotada xn : n ∈ N, existe una subsucesion de lasucesion Kxn : n ∈ N convergente. Denominamos B0 (E1, E2) al conjunto deoperadores compactos.

Proposicion 4.16 B0 (H) es un subespacio cerrado de B (H).

Proposicion 4.17 Si K ∈ B0 (H), entonces K∗ ∈ B0 (H).

Demostracion. Sea xn : n ∈ N una sucesion acotada, consideremos una sub-sucesion tal que xn x y KK∗xn → y, necesariamente y = KK∗x. Tenemos

‖K∗ (xn − x)‖2 = 〈KK∗ (xn − x) | (xn − x)〉 → 0,

por lo tanto K∗ es compacto.

Corolario 4.2 Si K ∈ B0 (H), entonces ReK, ImK ∈ B0 (H).

Proposicion 4.18 Si K ∈ B0 (H) es simetrico, entonces existe un sistemaortonormal completo S = xn : n ∈ N y una sucesion λn : n ∈ N ⊂ R talesque lım

nλn = 0 y Kxn = λnxn.

Demostracion. Supongamos que λ = sup‖x‖=1

〈x|Kx〉 = ‖K‖B(H), existe una una

sucesion de vectores unitarios zn : n ∈ N que verifican lımn 〈zn|Kzn〉 = λ.Siendo K un operador compacto, existe una subsucesion de Kzn convergente(que llamaremos igual). Sea y = lım

nKzn, como

| 〈zn|Kzn〉 | ≤ ‖Kzn‖

tenemos que ‖y‖ ≥ λ, pero ‖Kzn‖ ≤ ‖K‖B(H) = λ, por lo tanto ‖y‖ = λ. Valeque

‖Kzn − λzn‖2 = ‖Kzn‖2 − 2λRe 〈zn|Kzn〉+ λ2,

20

por lo tanto zn → λ−1y de donde se obtiene Ky = λy. Denominamos λ1 = λ yx1 = ‖y‖−1

y. Sea H1 = x⊥1 y K1 = K|H1 , como H1 es K–invariante tenemosque K1 ∈ B (H1) y es un operador simetrico. Inductivamente obtenemos λn yxn. La sucesion de autovalores verifica |λn| ≥ |λn+1|, si λn+1 = 0 para algun n

entonces Ker (K) = x1, . . . , xn⊥. En otro caso, como

‖Kxn −Kxm‖2 = |λn|2 + |λm|2,

la sucesion Kxn : n ∈ N solo puede tener una subsucesion convergente si severifica lım

nλn = 0. Siendo S⊥ un subespacio K–invariante, se verifica para todo

n ∈ N, ‖K|S⊥‖B(S⊥) < λn. Por lo tanto Ker (K) = S⊥, tomando un sistemaortonormal completo de S⊥ (con λ = 0) obtenemos una sistema ortonormalcompleto de H.

Corolario 4.3 Sea K ∈ B0 (H) y ε > 0, existe un subespacio M ⊂ H dedimension finita tal que ‖Kx‖ < ε ‖x‖.

Demostracion. Si K es simetrico, existe n0 tal que |λn| < ε/2 si n > n0. SiM es el subespacio generado por xn : n = 1, . . . , n0, tenemos que x ∈ M⊥

verifica x =∑

n>n0〈xn|x〉xn

Kx =∑

n>n0

λn 〈xn|x〉xn

de donde obtenemos ‖Kx‖ < ε/2 ‖x‖. En el caso general, sea K = K1 + iK2

donde son la parte real e imaginaria del operador K. Como son compactosexisten subespacios K1,K2 ⊂ H de dimension finita tales que ‖Kjx‖ < ε/2 ‖x‖si x ∈ M⊥

j . Si tomamos M = M1 + M2, para todo x ∈ M⊥ = M⊥1

⋂M⊥

2 severifica ‖Kx‖ ≤ ‖K1x‖+ ‖K2x‖ < ε ‖x‖.

4.9. Operadores Cerrados

Definicion 4.26 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespacioD ⊂ H, decimos que T es cerrado sii para toda sucesion xn : n ∈ N tal que

xn → x,

Txn → y,

se verifica que x ∈ D y Tx = y.

Proposicion 4.19 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespacioD ⊂ H, son equivalentes

1. T es cerrado.

2. GT = (x, Tx) : x ∈ D es un conjunto cerrado de H ⊕H.

3. D con el producto 〈x|y〉D = 〈x|y〉H + 〈Tx|Ty〉H es un espacio de Hilbert.

21

Observacion 4.27 El operador T es acotado de (D, 〈.|.〉D) en (H, 〈.|.〉H).

Observacion 4.28 Un subespacio cerrado M ⊂ H ⊕ H es el grafico de unoperador cerrado si y solo si M

⋂0 ⊕H = (0, 0).

Definicion 4.29 Sean Tk : Dk → H con k = 1, 2 operadores lineales, decimosque T1 ⊂ T2 sii D1 ⊂ D2 y se verifica T1x = T2x para todo x ∈ D1.

Proposicion 4.20 Sean Tk : Dk → H con k = 1, 2 operadores lineales, sonequivalentes

1. T1 ⊂ T2.

2. GT1 ⊂ GT2 .

Definicion 4.30 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespacioD ⊂ H, decimos que T es clausurable sii GT es el grafico de un operador cerrado.El operador T asociado a GT es la clausura de T .

Definicion 4.31 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespaciodenso D ⊂ H, definimos el conjunto D∗ como todos los x ∈ H tales que laaplicacion lineal fx : D → C dada por fx (y) = 〈x|Ty〉 se extiende a unafuncional lineal continua. Para x ∈ D∗, T ∗x verifica 〈T ∗x|y〉 = 〈x|Ty〉.

Proposicion 4.21 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespaciodenso D ⊂ H, T ∗ es un operador lineal cerrado.

Demostracion. Sea xn : n ∈ N ⊂ D∗ que verifica xn → x y T ∗xn → z, como〈xn|Ty〉 = 〈T ∗xn|y〉 tenemos que 〈x|Ty〉 = 〈z|y〉 para todo y ∈ D. Por lo tantox ∈ D∗ y vale Tx = z.

Proposicion 4.22 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespaciodenso D ⊂ H, se verifica Ran (T )⊥ = Ker (T ∗).

Proposicion 4.23 Si V : H ⊕H → H ⊕H el operador unitario definido porV (x, y) = (−y, x), entonces GT∗ = V (GT )⊥.

Proposicion 4.24 Sean Tk : Dk → H con k = 1, 2 operadores lineales densa-mente definidos, si T1 ⊂ T2 entonces T ∗2 ⊂ T ∗1 .

Demostracion. Como GT1 ⊂ GT2 , tenemos que V (GT2)⊥ ⊂ V (GT1)

⊥ y porlo tanto T ∗2 ⊂ T ∗1 .

Definicion 4.32 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespacioD ⊂ H, decimos que T es inversible sii existe R ∈ B (H) con Ran (R) = D talque

TRx = x para todo x ∈ H,

RTx = x para todo x ∈ D.

22

Observacion 4.33 Por ser el operador inverso de un operador acotado, nece-sariamente T es cerrado.

Definicion 4.34 Definimos el conjunto resolvente ρ (T ) como el conjunto devalores λ ∈ C para los cuales T − λI es inversible y denominamos operadorresolvente a su inverso, RT (λ) = (T − λI)−1. Llamaremos espectro de T alconjunto σ (T ) = C− ρ (T ).

Proposicion 4.25 Sea T un operador cerrado, el conjunto resolvente ρ (T ) esabierto

Demostracion. Si λ0 ∈ ρ (T ), escribimos

T − λI = (T − λ0I) (I − (λ0 − λ) RT (λ0)) ,

si |λ0 − λ| ‖RT (λ0)‖B(H) < 1, entonces T − λI = (T − λ0I) es inversible.

5. Operadores Autoadjuntos

Definicion 5.1 Sea T : D → H un operador lineal definido en un subespaciodenso D ⊂ H, T es simetrico sii 〈x|Ty〉 = 〈Tx|y〉 para x, y ∈ D.

Proposicion 5.1 Si T es simetrico, entonces T ⊂ T ∗ y T ⊂ T = T ∗∗ ⊂ T ∗.

Observacion 5.2 Si T es simetrico, entonces para todo x ∈ D,

‖(T − λI) x‖2 = ‖(T − ReλI) x‖2 + (Imλ)2 ‖x‖2 .

En particular ‖Tx‖2 ≤ ‖(T − iλI) x‖2, para todo λ ∈ R.

Proposicion 5.2 Si T es simetrico y cerrado, entonces Ran (T + λI) es cerra-do para todo λ ∈ C con Imλ 6= 0.

Demostracion. Sea xn : n ∈ N ⊂ D tal que (T − λI) xn converge a y, usandola igualdad anterior, tenemos que xn : n ∈ N y Txn : n ∈ N son sucesionesde Cauchy y por lo tanto convergentes. Como T es cerrado, y = (T − λI) x conx = lım

nxn.

Definicion 5.3 Un operador simetrico es autoadjunto sii T = T ∗.

Proposicion 5.3 Si T es simetrico, entonces se verifican las siguientes afir-maciones

Si existe λ ∈ σ (T ) con Imλ > 0, entonces λ ∈ C : Imλ > 0 ⊂ σ (T ).

Si existe λ ∈ σ (T ) con Imλ < 0, entonces λ ∈ C : Imλ < 0 ⊂ σ (T ).

Teorema 5.4 Sea T un operador cerrado simetrico definido en D ⊂ H subes-pacio denso, entonces son equivalentes

23

1. T es autoadjunto.

2. Ran (T ± iI) = H.

3. Ker (T ∗ ± iI) = 0.

4. T ± iI son isomorfismo de D en H.

5. σ (T ) ⊂ R.

Demostracion. Es facil ver que las afirmaciones (2)–(5) son equivalentes. Si Tun operador autodajunto, entonces

Ker (T ∗ ± iI) = Ker (T ± iI) = 0

por lo tanto se verifican las otras afirmaciones. Supongamos que valen (2)–(5),D es un subespacio cerrado de D∗. Si y ∈ D⊥, entonces para x ∈ D

0 = 〈T ∗x|T ∗y〉+ 〈x|y〉 = 〈Tx|T ∗y〉+ 〈x|y〉 = 〈(T − iI) x| (T ∗ − iI) y〉 .

Por lo tanto (T ∗ − iI) y ∈ Ran (T − iI)⊥ = 0, pero

Ker (T ∗ − iI) = Ran (T + iI)⊥ = 0 ,

vale entonces y = 0. Tenemos D = D∗ y T autoadjunto.

Proposicion 5.4 Si T es autoadjunto, entonces U = (T + iI) RT (i) es un ope-rador unitario y verifica Ker (U − I) = 0. Recıporcamente, si U satisface lascondiciones anteriores, existe un operador autoadjunto T definido en el subes-pacio denso Ran (U − I) verificando la relacion anterior. Ademas T es acotadosi y solo si 1 ∈ ρ (U − I).

Demostracion. Es facil ver que U es unitario, se verifica

U − I = (T + iI) RT (i)− (T − iI) RT (i) = i2RT (i) ,

por lo tanto Ker (U − I) = 0. Si Ran (U − I)⊥ = Ker (U − I) = 0, tenemosque D = Ran (U − I) es denso en H y U − I : H → D es un operador linealbiyectivo. Definimos en D el operador T = i (U + I) (U − I)−1. Vamos a verque T es simetrico, si x, y ∈ D existen z, w ∈ H tales que x = (U − I) z yy = (U − I) w, entonces

〈x|Ty〉 = 〈(U − I) z|i (U + I) z〉 = 〈z|i (U∗ − I) (U + I) w〉= 〈z| − i (U∗ + I) (U − I) w〉 = 〈i (U + I) z|i (U − I) z〉 = 〈x|Ty〉 .

Para ver que es autoadjunto estudiamos los operadores T ± iI,

T ± iI =i (U + I) (U − I)−1 ± i (U − I) (U − I)−1

=i ((1± 1) U + (1∓ 1) I) (U − I)−1,

por lo tanto T ± iI son isomorfismos de D en H.

Observacion 5.5 Si consideramos φ : R → T, definida por φ (λ) =λ + i

λ− isi

λ ∈ R y φ (∞) = 1, tenemos que φ (ρ (T )) = ρ (U).

24

Ejemplo

Consideramos H = L2 (0, 1), los subespacios densos

D0 =f ∈ H1 (0, 1) : f (0) = 0, f (1) = 0

,

Dω =f ∈ H1 (0, 1) : f (0) = ωf (1)

con ω ∈ T,

D∗0 = H1 (0, 1).

y el operador T = −iDx es facil ver que T : D0 → H es simetrico en pero noautoadjunto y T ∗ esta definido en D∗

0 . Vemos que T es autoadjunto en Dω.

Proposicion 5.5 Si T es autoadjunto, entonces son equivalentes

1. λ ∈ ρ (T )⋂

R.

2. Existe a > 0 tal que ‖(T − λI) x‖ ≥ a ‖x‖ para x ∈ D.

Demostracion. Sea λ ∈ ρ (T ), si x ∈ D existe y ∈ H tal que x = RT (λ) y,entonces ‖x‖ ≤ ‖RT (λ)‖ ‖y‖ y por lo tanto

‖(T − λI) x‖ = ‖y‖ ≥ ‖RT (λ)‖−1B(H) ‖x‖ .

Por otro lado, si ‖(T − λI) x‖ ≥ a ‖x‖ para x ∈ D entonces

‖(T − (λ + iε) I) x‖ ≥ a ‖x‖ ,

por lo tanto ‖RT (λ + iε)‖ ≤ a−1. Tomando ε → 0, obtenemos λ ∈ ρ (T ).

Corolario 5.1 Si T es autoadjunto y 〈x|Tx〉 ≥ a 〈x|x〉 para x ∈ D, entoncesσ (T ) ⊂ [a,∞).

Demostracion. Si λ < a entonces

‖(T − λI) x‖2 = ‖(T − aI + (a− λ) I) x‖2 ≥ (a− λ)2 ‖x‖2

y por lo tanto λ ∈ ρ (T ).

6. Teorıa Espectral

6.1. Calculo Funcional

Sea T = ω ∈ C : |ω| = 1 y U ∈ B (H) un operador unitario, definimos laaplicacion π : C1 (T) → B (H) como

π (f) =∑k∈Z

fkUk

donde fk = (2π)−1∫ 2π

0

f (x) e−inxdx. Observemos que esta bien definida, siendo

que si f ∈ C1 (T) entonces∑

k∈Z |fk| < ∞ y∥∥Uk

∥∥B(H)

= 1.

25

Observacion 6.1 Vemos que para f (ω) = ωk, π (f) = Uk. Ademas si x ∈ Hverifica Ux = ωx, entonces π (f) x = f (ω) x.

Teorema 6.2 La aplicacion π verifica

1. Es una aplicacion lineal y continua.

2. Si f, g ∈ C1 (T), entonces π (fg) = π (f) π (g).

3. Si f ∈ C1 (T), entonces π (f∗) = π (f)∗. En particular si f toma valoresreales, π (f) es simetrico.

4. Si f > 0, entonces 〈x|π (f) x〉 > 0 para todo x ∈ H con x 6= 0.

5. ‖π (f)‖B(H) ≤ ‖f‖C(T).

Demostracion. La linealidad de π es obvia, la continuidad es consecuencia dela desigualdad

∑k∈Z

|fk| ≤ C

(∫ 2π

0

(f (x)2 + f ′ (x)2

)dx

)1/2

Usando que (fg)k =∑

j∈Z fj gk−j , tenemos

π (fg) =∑k∈Z

(fg)kUk =∑k∈Z

∑j∈Z

fj gk−jUjUk−j = π (f) π (g) .

Como (f∗)k = (f)∗−k y U−k = (U∗)k, obtenemos π (f∗) = π (f)∗. Si f > 0, por

ser T compacto, existe η > 0 tal que f > η. Podemos escribir f =(√

f − η)2+η,

por lo tanto π (f) = π(√

f − η)2 + ηI y 〈x|π (f) x〉 > η 〈x|x〉.

Si |f | < C, entonces C2 − f∗f > 0. Tenemos que C2 ‖x‖2 − ‖π (f) x‖2 ≥ 0,entonces ‖π (f)‖B(H) ≤ C, de donde se obtiene ‖π (f)‖B(H) ≤ ‖f‖C(T).

Corolario 6.1 Existe una unica extension de π a C (T) con las mismas pro-piedades.

Proposicion 6.1 Sea π como en el corolario anterior, si f ∈ C (T) verificaf ≡ 0 en σ (U), entonces π (f) = 0.

Demostracion. Supongamos que ρ (U)⋂

T es no vacıo. Sea ω0 ∈ ρ (U)⋂

T yf ∈ C (T), f ≥ 0 tal que sop f ⊂

ω ∈ T : |ω − ω0| < ‖RU (ω0)‖−1

B(H)

, vamos a

probar que π (f) = 0. Sea η < |ω−ω0|−2−‖RU (ω0)‖2B(H) para todo ω ∈ sop f .Dado t > 0, t 6= 1 definimos

ft (ω) =f (ω)

|ω − tω0|2=

f (ω)(ω − tω0)

∗ (ω − tω0).

26

Existe δ > 0 tal que si 0 < |t− 1| < δ, entonces

ft (ω) ≥(η + ‖RU (ω0)‖2B(H)

)f (ω) ,

por lo tanto ‖π (ft)‖ ≥(η + ‖RU (ω0)‖2B(H)

)‖π (f)‖. Por otro lado

lımt→1

π (ft) = RU (ω0)∗RU (ω0) π (f) ,

tenemos entonces ‖π (f)‖ = 0. Sea f ∈ C (T), f ≥ 0 tal que sop f ⊂ ρ (U),definimos

M = maxω∈sop f

‖RU (ω)‖B(H) .

Si tomamos ϕn : n = 1, . . . , N ⊂ C (T) con sopϕn ⊂ ρ (U), 0 ≤ ϕ ≤ 1 ydiam (sopϕn) < M−1 verificando

N∑n=1

ϕn (ω) ≡ 1 para todo ω ∈ sop f,

entonces f =∑N

n=1 ϕnf y π (f) =∑N

n=1 π (ϕn) π (f) = 0. Si f ≡ 0 en σ (U),entonces fn = max |f | − 1/n, 0 verifica sop fn ⊂ ρ (U) y π (fn) = 0. Siendoque ‖fn − |f |‖C(T) ≤ 1/n, vale que π (f) = 0.

Proposicion 6.2 Sea ω0 ∈ T y δ > 0 tal que π (f) = 0 para f ∈ C (T) consop f ⊂ ω ∈ T : |ω − ω0| < δ, entonces ω0 ∈ ρ (U).

Demostracion. Sea ϕ ∈ C (T) con 0 ≤ ϕ ≤ 1, sopϕ ⊂ ω ∈ T : |ω − ω0| < δ,y ϕ ≡ 1 si |ω − ω0| ≤ δ/2, podemos escribir para t > 0, t 6= 1

(ω − tω0)−1 = (ω − tω0)

−1ϕ (ω) + (ω − tω0)

−1 (1− ϕ (ω))

y por lo tanto ‖RU (tω0)‖B(H) ≤ Cδ−1. Usando que

U − ω0I = (U − tω0I) (I − (1− t) ω0RU (tω0)) ,

de la acotacion uniforme de RU (tω0) obtenemos ω0 ∈ ρ (U).

Teorema 6.3 Sea U ∈ B (H) unitario, existe π : C (σ (U)) → B (H) que veri-fica

1. Es una aplicacion lineal y ‖π (f)‖B(H) ≤ ‖f‖C(σ(U)).

2. Si f, g ∈ C (σ (U)), entonces π (fg) = π (f) π (g).

3. Si f ∈ C (σ (U)), entonces π (f∗) = π (f)∗. En particular si f toma valoresreales, π (f) es simetrico.

4. Si f > 0, entonces 〈x|π (f) x〉 > 0 para todo x ∈ H con x 6= 0.

27

Demostracion. Como σ (U) es compacto de T, si f ∈ C (σ (U)), existe unaextension continua f ∈ C (T). Tomamos π (f) = π

(f), claramente esta bien

definido dado que si f1, f2 ∈ C (T) coinciden en σ (U), entonces π(f1

)= π

(f2

).

Podemos tomar f ∈ C (T) verificando∥∥f∥∥

C(T)= ‖f‖C(σ(U)) y f > 0 si f > 0.

Por lo tanto se verifican las demas propiedades.

Corolario 6.2 Sea T ∈ B (H) simetrico, existe π : C (σ (T )) → B (H) queverifica

1. Es una aplicacion lineal y ‖π (f)‖B(H) ≤ ‖f‖C(σ(T )).

2. Si f, g ∈ C (σ (T )), entonces π (fg) = π (f) π (g).

3. Si f ∈ C (σ (T )), entonces π (f∗) = π (f)∗. En particular si f toma valoresreales, π (f) es simetrico.

4. Si f > 0, entonces 〈x|π (f) x〉 > 0 para todo x ∈ H con x 6= 0.

Demostracion. Sea U = (T + iI) RT (i) el operador unitario dado por la trans-formada de Cayley y sea πU : C (σ (U)) → B (H), definimos

π (f) = πU

(f φ−1

)donde φ−1 (ω) = i (ω + 1) (ω − 1)−1, ω ∈ σ (U) = φ (σ (T )).

Observacion 6.4 Podemos definir π para operador autoadjuntos no acotados,pero debemos considerar funciones continuas en σ (T ) ∪ ∞.

Proposicion 6.3 Sea T ∈ B (H) simetrico, si λ0 es un punto aislado de σ (T )entonces λ0 es un autovalor.

Demostracion. Sea f (λ) = 1 si λ = λ0 y f (λ) = 0 en otro caso. Si π (f) = 0,entonces existe δ > 0 tal que si sopϕ ⊂ (λ0 − δ, λ0 + δ), π (ϕ) = 0 y por lo tantoλ0 ∈ ρ (T ). Sea x ∈ H tal que π (f) x 6= 0, como (λ− λ0) f (λ) ≡ 0 tenemos

(T − λ0I) π (f) x = 0,

por lo tanto π (f) x es un autovector de autovalor λ0.

Corolario 6.3 Sea T un operador autoadjunto, si λ0 es un punto aislado deσ (T ) entonces λ0 es un autovalor.

Demostracion. Sea (λ0 − δ, λ0 + δ)− λ0 ⊂ ρ (T ) y µ ∈ (λ0 − δ, λ0), si defi-nimos el operador S (λ) = RT (µ)− (λ− µ)−1

I tenemos

(λ− µ) (T − µI) S (λ) = T − λI,

observemos que S (D) = D. Se verifica S (λ) es inversible si y solo si λ ∈ ρ (T ).Tenemos entonces que (λ0 − µ)−1 ∈ σ (RT (µ)) y (λ− µ)−1 ∈ ρ (RT (µ)) para

28

todo λ ∈ ρ (T ) con λ 6= µ. Tenemos que (λ0 − µ)−1 es un punto aislado deRT (µ). Por la proposicion anterior, existe x ∈ H con x 6= 0 tal que

RT (µ) x = (λ0 − µ)−1x,

por lo tanto x ∈ D y Tx = λ0x.

Proposicion 6.4 Si T ∈ B (H) es simetrico y verifica σ (T ) ⊂ [a, b], entonces

a 〈x|x〉 ≤ 〈x|Tx〉 ≤ b 〈x|x〉 .

Demostracion. Sea f (λ) = λ−a+ε con ε > 0, como f > 0 en [a, b] se verifica

0 < 〈x|π (f) x〉 = 〈x| (T − (a− ε) I) x〉 ,

entonces 〈x|Tx〉 > (a− ε) 〈x|x〉. Siendo ε > 0 arbitrario, 〈x|Tx〉 ≥ a 〈x|x〉. Deforma similar se obtiene la otra desigualdad.

Proposicion 6.5 Sea T un operador autoadjunto, son equivalentes

1. 〈x|Tx〉 ≥ a 〈x|x〉 para x ∈ D.

2. σ (T ) ⊂ [a,∞).

Demostracion. Sabemos que (1) implica (2), queremos probar la recıproca.Tomando T − aI podemos considerar a = 0. Si λ, µ > 0 tenemos que

RT (−λ) + µ−1I = µ−1 (T + (λ + µ) I) RT (−λ)

es un operador inversible, por lo tanto µ ∈ ρ (RT (−λ)) y σ (RT (−λ)) ⊂ [0,∞),entonces 〈x|RT (−λ) x〉 > 0. Para todo y ∈ D con y 6= 0, existe x ∈ H tal quey = RT (−λ) x y por lo tanto

〈y|Ty〉 = 〈RT (−λ) x|TRT (−λ) x〉

= 〈RT (−λ) x|x〉 − λ ‖RT (−λ) x‖2 > −λ 〈y|y〉 ,

como λ > 0 era arbitrario, tenemos 〈y|Ty〉 ≥ 0.

Corolario 6.4 Sea T un operador autoadjunto, son equivalentes

1. T se extiende a un operador acotado.

2. σ (T ) es un conjunto compacto.

6.2. Medidas Espectrales

Sea T ∈ B (H) simetrico y π el calculo funcional asociado, para cada abiertoΩ ⊂ σ (T ) consideramos el conjunto de funciones continuas

A (Ω) = f ∈ C (σ (T )) : sop f ⊂ Ω, 0 ≤ f ≤ 1

y la funcion µ (Ω) : H → R dada por µ (Ω) (x) = sup 〈x|π (f) x〉 : f ∈ A (Ω).

29

Proposicion 6.6 La funcion µ (Ω) es continua, µ (Ω) (λx) = |λ|2µ (Ω) (x) y

µ (Ω) (x1 + x2) + µ (Ω) (x1 − x2) = 2µ (Ω) (x1) + 2µ (Ω) (x2) . (1)

Demostracion. De la definicion 0 ≤ µ (Ω) (x) ≤ ‖x‖2, dados x1, x2 ∈ H yε > 0 existen f1, f2 ∈ A (Ω) tales que µ (Ω) (xj)−ε ≤ 〈xj |π (fj) xj〉 ≤ µ (Ω) (xj).Tomando f = max f1, f2 ∈ A (Ω) tenemos

µ (Ω) (xj)− ε ≤ 〈xj |π (f) xj〉 ≤ µ (Ω) (xj)

y por lo tanto

| (µ (Ω) (x1)− µ (Ω) (x2))− (〈x1|π (f) x1〉 − 〈x2|π (f) x2〉) | ≤ ε

usando que | 〈x1|π (f) x1〉−〈x2|π (f) x2〉 | ≤ (‖x1‖+ ‖x2‖) ‖x1 − x2‖ obtenemosla continuidad. Un argumento similar muestra que existe f ∈ A (Ω) tal queµ (Ω) (y)− ε ≤ 〈y|π (f) y〉 ≤ µ (Ω) (y) con y = x1, x2, x1 + x2, x1 − x2, y por lotanto

µ (Ω) (x1 + x2) + µ (Ω) (x1 − x2)− 2ε ≤2µ (Ω) (x1) + 2µ (Ω) (x2)≤µ (Ω) (x1 + x2) + µ (Ω) (x1 − x2) + 4ε,

siendo ε > 0 arbitrario tenemos (1). Como 〈λx|π (f) λx〉 = |λ|2 〈x|π (f) x〉,tomando supremo se verifica la misma condicion para µ (Ω).

Para cada abierto Ω ⊂ σ (T ), existe una forma bilineal simetrica b (Ω) y unoperador acotado simetrico E (Ω) que verifican

µ (Ω) (x) = b (Ω) (x, x) = 〈x|E (Ω) x〉 .

Dados x, y ∈ H, ε > 0 y Q ⊂ Ω compacto, existe f ∈ A (Ω) con f ≡ 1 en Q talque

| 〈x|E (Ω) y〉 − 〈x|π (f) y〉 | < ε.

Proposicion 6.7 El operador E (Ω) asociado a µ (Ω) es un proyector ortogonal.Ademas se verifica

1. E (σ (T )) = I y E (∅) = 0.

2. Si Ω1 ⊂ Ω2, entonces E (Ω1) ≤ E (Ω2).

3. E (Ω1 ∩ Ω2) = E (Ω1) E (Ω2).

4. Si Ωn : n ∈ N una coleccion numerables de abiertos disjuntos de a dos,entonces

E

(⋃n

Ωn

)=∑

n

E (Ωn)

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Demostracion. Dados x, y ∈ H y ε > 0, existe f ∈ A (Ω) tal que

| 〈x|E (Ω) y〉 − 〈x|π (f) y〉 | < ε,

| 〈x|E (Ω) E (Ω) y〉 − 〈x|π (f) E (Ω) y〉 | < ε.

Usando el mismo argumento, vemos que existe g ∈ A (Ω) con g ≡ 1 en sop f talque

| 〈π (f) x|E (Ω) y〉 − 〈π (f) x|π (g) y〉 | < ε.

Como π (f) π (g) = π (fg) π (f), tenemos 〈x|E (Ω) E (Ω) y〉 = 〈x|E (Ω) y〉.

7. Teorıa de Esparcimiento (Scattering)

Sea T un operador cerrado definido en D, el operador lineal V : D → H esT–acotado sii existen a, b > 0 tales que

‖V x‖2 ≤ a ‖x‖2 + b ‖Tx‖2

Definimos la T–cota de V al ınfimo de los valores de b > 0 tales que para alguna > 0 se verifica la acotacion anterior .

Teorema 7.1 Sea T operador autoadjunto y V simetrico definidos en el subes-pacio denso D. Si V es T–acotado con T–cota menor que 1, entonces T + V esautoadjunto.

Demostracion. Claramente T + V es simetrico. Para todo λ ∈ R se verifica

‖V RT (±iλ) x‖2 ≤a ‖RT (±iλ) x‖2 + b ‖TRT (±iλ) x‖2

≤(a|λ|−2 + b

)‖x‖2 .

Si b < 1 y |λ| es suficientemente grande ‖V RT (±iλ)‖B(H) < 1. Escribiendo

T + V ± iλI = (T ± iλI) (I + V RT (±iλ)) ,

de la acotacion anterior obtenemos el resultado.

Definicion 7.2 Sea T un operador cerrado definido en D tal que ρ (T ) 6= ∅,el operador lineal V : D → H es T–compacto sii V RT (λ) ∈ B0 (H) para todoλ ∈ ρ (T ).

Observacion 7.3 Siendo (T − λI) RT (µ) un isomorfismo para λ, µ ∈ ρ (T ), siV RT (λ) ∈ B0 (H) para algun λ ∈ ρ (T ) entonces es T–compacto.

Proposicion 7.1 Sea T un operador autoadjunto. Si V es T–compacto, enton-ces es T–acotado con T–cota b = 0.

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Demostracion. Dado ε > 0, existe un subespacio M de dimension finita tal que‖V RT (λ) x‖ < ε ‖x‖ para todo x ∈ M⊥. Siendo RT (λ) (M) ⊂ D un subespaciode dimension finita, existe a > 0 tal que ‖V y‖ ≤ a ‖y‖ para y ∈ RT (λ) (M).Dado y ∈ D, existe x ∈ h tal que y = RT (λ) x, si escribimos x = x1 + x2 conx1 ∈ M y x2 ∈ M⊥ tenemos

‖V y‖ = ‖V RT (λ) x‖ ≤ ‖V RT (λ) x1‖+ ‖V RT (λ) x2‖

Definicion 7.4 Dado T un operador autoadjunto, definimos σd (T ) espectrodiscreto de T como el conjunto formado por los puntos aislados del espectrotales que dim (Ker (T − λI)) < ∞. Al complemento lo denominamos espectroesencial σe (T ).

Proposicion 7.2 Sea T un operador autoadjunto, λ ∈ σe (T ) si y solo si existeun sitema ortonormal xn : n ∈ N tal que Txn → 0.

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