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Fuentes de Campos Magnéticos

Temas de hoy

• Ley Biot-Savart• Alambres Portadores de Corriente y Campos Magnéticos • Fuerza entre alambres portadores de corriente paralelos• Ley de Amperè

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Campo magnético de cargas puntuales en movimiento

La carga puntual q se mueve con vel.v produce un campo magné-tico B en el espacio dado por:

Valores típicos: -- muy pequeño

Para el caso de corriente ,y como el el caso para calcular la fuerza, remplazamos qv con Ids.

Permeabilidad del espacio libre

v

r

r̂

q × Bin

ˆr

rr

P

02

ˆ

4

qv rB

r

7 7 20 4 10 Tm/A 4 10 /N A

-10=10 TB

33

Ley de Biot-Savart – campos magnéticos debido a las corrientes.

La magnitud del campo dB es:

El campo magnético en P es encontrado todos los elementos de corriente en el alambre.

I

ds

r̂

dB •

θ

P

r0

2

ˆ;

4

I d s r rdB r

r r

02

sin

4

IdsdB

r

B d B

44

Ley Biot-Savart – análoga a la ley de Coulomb para el campoEléctrico de una carga puntual

Los cables llevan una corriente I – fuente de un campo magnetico. El campo magnetico dB en un punto P debido a una corta longitud del cable ds ( ds es un vector con unidades de longitud señalando en la dirección de la corriente, I ) tiene las siguientes propiedades:

El vector dB es perpendicular a ds y al vector unitario r direccionado del cable hacia P.La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2 donder es la distancia del cable a P.La magnitud de dB es proporcional a la current y a la longitud del elementoLa magnitud de dB es proporcional a sinθ donde θ es el angulo entre los vectores ds y r

55

Ejemplo 1 – cable delgado de longitud L

Un cable delgado recto de longitud L con corriente constante I. Calcule el campo magnetico total en P.

Así la magnitud de dB esta dada por:xI

y

x

P

r a

• dB

ds

r̂ θ

02

ˆ

4

I d s rdB

r

apunta hacia fuera de la

página y tiene magnitud: sin

d s r

ds

0 02 2

sin sin

4 4

I Ids dxdB

r r

66

Ejemplo 1 continuación

0 02 2

sin sin

4 4

I Ids dxdB

r r

2 2sin ;a

r x ar

02 2 3/24 ( )

I a dxdB

x a

/2/20 0

2 2 3/2 2 2 2/2 /2

4 ( ) 4

LL

L L

Ia Iadx xB

x a a x a

xI

y

x

P

r a

• dB

ds

r̂ θ

77

Ejemplo 1 continuación

xI

y

x

P

r a

• dB

ds

r̂ θ

/2

0

2 2 2/2

4

L

L

Ia xB

a x a

0

22 2

2 2

44

1

2 4

Ia LB

La a

ILB

a L a

0cuando esto se convierte en: 2

IL B

a

88

Alambres Largos Rectos y Campos Magnéticos

Vista lateral

Vista superior

Las líneas de campo magnetico alrededor del cable, recto portador de corriente son círculos concéntricos con el cable y en planos perpendiculares al cable. La magnitud de B es constante en cualquier círculo centrado en el cable.

I

y

x

P• B

ds

r̂ θ

,r̂

r

a

a

× B’P’

B

B

B

B

a• I

99

Ejemplo 2

Calcúle el campo magnetico en el punto O debido al segmento de cable mostrado. El cable tiene una corriente uniforme I, y consiste de dos segmentos y un arco circular de radio R con un ángulo θ. El campo magnético debido a los segmentos A´A y CC´ es cero porque ds es paralelo a lo largo de estas líneas.

Note:el campo B en el centrode la espira, =2

A lo largo de la trayectoria AC ds y r unitario son perpendiculares

Ir̂

θR

C

C’

A

A’

ds

o

02

ˆ

4

I d s rdB

r

0

24

I dsdB

R

0

2

IB

R

ˆd s r ds

1010

Fuerza entre cables paralelos

Un cable con corriente I1 a una distancia a del cable el campo magnético debido al cable es dado por:

Colocando otro cable con corriente I2 paralelo al primer cable a una distancia a de este habra una fuerza en el segundo cable igual a:

I es la longitud del cable con corriente I2, la magnitud de la fuerza por unidad de longitud es:

0 1

2

IB

a

I1 I2F2

a×

B1

2 2 1F I l B

0 02 1 1 22 1 2 2 2

F I I II B I

l a a

1111

• El campo magnetico debido al cable 1 ejerce una fuerza en el cable 2

• Se debe esperar que el campo magnético debido al cable 2 ejerza una fuerza Igual y opuesta en el cable1 1.

Fuerza entre cables paralelos

0 11.2

IB

a

1 1 22. F I l B

0 01 2 1 2 21 2 13.

2 2

F I I I FI B I

l a a l

I1 I2F2

a•

B2

F1

1212

¿Que pasa con corrientes opuestas?

Como antes existe una fuerza igual pero Opuesta en el cable 1

Existe la misma magnitud que antes pero ahora es repulsiva.

I1 I2

F2

a

F1

×B1

0 11 2

IB

a

2 2 1F I l B

0 02 1 1 22 1 2 2 2

F I I II B I

l a a

1313

Fuerza entre cables Paralelos

Conductores paralelos llevando corriente en la misma dirección se atraen entre si.Conductores paralelos que llevan corriente en dirección opuesta se repelen entre si.

I1 I2

F2

a

F1

I1 I2F2

a

F1

1414

Ley de Ampere

• Considere el camino circular de radio a centrado en el cable portador de corriente I.• Evalue el producto escalar B·ds alrededor de este camino.• Note que B y ds son paralelos a lo largo del camino.• Asi también la magnitud de B es constante en el camino. Asi que la suma de todos los términos B·ds alrededor del círculo es:

Recuerda que

B

B

B

B

a

• I

ds

dsds

ds

(2 )B d s B ds B a

00(2 )

2

IB d s a I

a

0 0

2 2

I IB

r a

1515

Ley de Amperè

• El resultado se mantiene para un camino cerrado arbitrario con corriente continua.• I es la corriente total que pasa a través de la superficie rodeada por nuestra trayectoria cerrada.

La ley de Amperè es válida sólo para corrientes constantes y es útil para calcular el campo magnético debido a configuraciones de corriente que son simples o con un alto nivel de simetria.

0B d s I

B

B

B

B

a

• I

ds

dsds

ds

1616

Ley de ampere

La integral de linea de B·ds al rededor de cualquier trayectoria cerrada es mI donde I es la corriente total que pasa a través de la superficie rodeada por nuestra trayectoria.

El signo de la corriente es determinado por la ley de la mano derecha aplicada en la dirección alrededor de la trayectoria.

0B d s I

I>0 I<0

I

1717

Usando la ley de Ampere

Escoja una trayectoria de integración que refleje la simetría del problema. busque una trayectoria donde B tenga una magnitud constante en cada punto de la trayectoria. La trayectoria de integración debe pasar por el punto donde el campo magnético debe obtenerse. Determine la dirección de B a traves de la trayectoria usando la simetría. Evalúe la integral de trayectoria (lado izquierdo de la ley de ampere). Evalúe la corriente encerrada (lado derecho de la ley de ampere)-observe los signos (regla de la mano derecha)! Para conductores sólidos, encuentre la corriente encerrada usando la densidad de corriente multiplicada por el área encerrada por la trayectoria.

1818

Ejemplo 3

Un cable largo de radio R lleva una corriente continua I uniformemente distribuida a través de la sección transversal del cable.

• Considere la región r >=R• Escoja un círculo de radio r centrado en el cable como trayectoria de integración.• A lo largo de esta trayectoria, B es constante en magnitud y paralelo a la trayectoria.

r

R

r

BIB

0B d s I

0(2 )B d s B ds B r I 0 para

2

IB r R

r

1919

Ejemplo 3

En regiones donde r < R escoja un circulo de radio r centrado en el cable Como trayectoria de integración. A lo largo de esta trayectoria, B es constante en magnitud y es siempre paralela a la trayectoria.

• Ahora I tot diferente‚ I.• Sin embargo, la corriente es uniforme a través

de la sección. transversal del cable.• Una fracción de I encerrada en el círculo de

radio r < R igual a la porción de área del círculo de radio r y sección transversal πR2

0(2 ) totB d s B ds B r I

22

2 2tot

I rI r I

R R

0 0

2 para

2 2totI Ir

B r Rr R

r

R

r

BIB

2020

Ejemplo 3

0 para 2

IB r R

r

02

para 2

IrB r R

R

r

R

r

BIB

B

rR

2121

Métodos para la Determinar los Campos

• Campo Eléctrico

General Ley de Coulomb

• Alta simetría:Ley de gauss

• Campo Magnético

General Ley de Biot-Savart

• Alta simetría:Ley de ampere