1 gaia grabitazioa

Alaitz B.H.I. FISIKA Batxilergoa

2.- ELKARREKINTZA GRABITATORIOA

2.1.- Astronomiaren Eboluzio Historikoa Antzinatik "Kepler"-

renganaino.......................................................................2

2.2.- Kepler-en Legeak........................................................3

2.3- Grabitate Unibertsalaren Legea. Ondorioak....................5

2.4.- Eremu Kontzeptua. Eremu Kontserbakorra....................8

2.5.- Partikula batek edo Batzuk Sortutako Grab. Eremua.

Indar-Lerroak..................................................................10

2.6- Grabitate Energi Potentziala. Grabitate Potentziala......12

2.7- Lurreko Grabitate Eremua. Energia Pot. Lurreko

Gainazaletik Gertu...........................................................15

2.8- Planeta Eta Sateliteen Higidura. Ihes Abiadura.............17

Ariketak.............................................................................21

Elkarrekintza grabitatorioa 1


Oharra: Azpimarratuak dauden atalak, garatu beharreko teoria moduan ager daitezke bai institutuko azterketetan bai selektibitate azterketan ere.



2.1.- ASTRONOMIAREN EBOLUZIO HISTORIKOA ANTZINATIK "KEPLER"-RENGANAINO

Eredu mitikoa: honen funtsa, kreazioaren hasierako kaosean, Jainkotasunak ezarritako naturaz gaineko ordena onartu beharrean zezan.

Eredu geozentrikoa: Miletoko Tales.en ikaslea zen Anaximandrok eman zion hasiera teoria honi, K.a V mendean. Eredu honetan, Lurra geldirik dago Unibertsoaren erdian eta beste gorputz zerutar guztiek bere inguruan biratzen dute.Geroago Ptolomeok 150. Urtean teori hau proposatu zuen: Lurra Unibertsoaren erdian geldirik dago; Eguzkiak eta Ilargiak

bere inguruan biratzen dute. Planetek, zirkulu txikiak ( epizikloak) deskribatzen dituzte higidura

uniformez. Epiziklo hauen zentroek, Lurra inguratzen duen beste zirkulu edo orbita handiago bat egiten dute.

Eredu heliozentrikoa: Aristarco, K.a. III. Mendeko Greziako jakintsuak teori heliozentrikoa aipatu zuen lehen aldiz.Teori honek gorputz zerutarrak (izarrak eta planetak) Eguzkiaren inguruan biratu behar zutela zion. Kopernikok XVI. Mendean, teori honetan oinarrituz bere eredua azaldu zuen: Unibertsoa esfera handi bat bezala deskribatzen zuen, izarrak gainazalean finko zeudelarik; planetak, elkarren segidako barne-esferetan, eta Eguzkia zentroan.Teori honek etsai asko izan zituen, batez ere eskolastikoak.XVI. mendearen erdialdean, zenbait matematikari eta astronomo, Galileo, Brahe eta Kepler besteak beste, Galileok behaketa ugari burutu zituen berak asmatutako teleskopioaren laguntzaz, eta Keplerrek Brahek egindako behaketetan oinarrituz, planeten higiduraren legeak ezarrita zituen, Eguzkia zentrotzat hartuta, Eguzkia unibertso osoaren zentro zelarik.XVII. mendean, Newton.ek grabitazio unibertsalaren legea azaldu zuen, lege honen bidez, ezartzen da Lurrak bera inguratzen duten gorputzak erakartzen dituen bezala, zeruko gorputzek ere elkar erakartzen dutela. XIX. mendearen azkenaldian, astronomoek Eguzkia besteak bezalako izarra zela ondorioztatu zuten, eta mundua estatikoa, infinitua eta aldaezina zelako ideia, eztabaidagai geratu zen.

http://www.alaitz.net (irakasleak eta abar>departamentuak>fisika eta kimika>dokumentuak>2 batx>astronomiaren eboluzioa)http://www.juandelacierva.org/depart/fis/simulaciones_fisica/UDs/UDGraviUniversal_2B.htmhttp://www.juandelacierva.org/depart/fis/simulaciones_fisica/UDs/UDCGravitSatelit_2B.htm (begiratu, applet asko daude)


http://www.juandelacierva.org/depart/fis/simulaciones_fisica/UDs/UDCGravitSatelit_2B.htm

http://www.juandelacierva.org/depart/fis/simulaciones_fisica/UDs/UDCGravitSatelit_2B.htm

http://www.juandelacierva.org/depart/fis/simulaciones_fisica/UDs/UDGraviUniversal_2B.htm

http://www.juandelacierva.org/depart/fis/simulaciones_fisica/UDs/UDGraviUniversal_2B.htm

http://www.alaitz.net/


http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/projectileOrbit/projectileOrbit_s.htm2.2.- KEPLER-EN LEGEAKBrahek egindako neurketetan oinarrituta , Keplerrek modu enpirikoan lortu zituen bere izena daramaten eta planeten higidura azaltzen duten legeak.

1.- Planetak orbita eliptikoan mugitzen dira Eguzkiaren inguruan. Eguzkia, ostera, elipsearen fokuetako batean dago.

2.- Planeta bakoitzaren abiadura areolarra konstantea da. Hau da: Eguzkia planeta bakoitzarekin elkartzen duen erradio-bektoreak azalera berdinak betetzen ditu denbora-tarte berdinean.

3.- Periodoen karratuak ( Planetek beren orbita osoa egiteko behar duten denbora) zuzenki proportzionalak dira beren Eguzkirako batezbesteko distantzien kuboekiko edo elipseen ardatzerdi handienen kuboekiko (a).T1 2 / r1

3 = T22 / r2

3 = ktea T2/r3 = Ktea

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htm#Primera%20ley

Nola egiaztatu daitezke lege hauek?. Azter dezagun orain zer gertatzen den Lurra Eguzkiarekiko biratzen duenean. Ikusi dugun bezala biraketan dauden indarrak zentralak dira, beraz , orduan:momentua zero denez, orduan puntu materialaren momentu angeluarra edo zinetikoa ere ktea izango da: edo .Orduan:

1.- bada, bektorea denez, ktea izango da bere norabidea eta norantza, beraz, puntu materialaren ibilbidea beti laua izango da eta biraketaren norantza ere, ez da aldatuko.Eguzkiak, planeta bakoitza bere zentrorantz erakartzen duen indar grabitatorioa, indar zentralen adibide tipikoa da, beraz, Planeta bakoitzak Eguzkiaren inguruan deskribatzen duen orbita laua da. (Kepler.en 1.legea)



http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/projectileOrbit/projectileOrbit_s.htm

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/projectileOrbit/projectileOrbit_s.htm



2.- Orain suposa dezagun indar zentral baten eraginpean dagoen eta m masa duen partikula material batek dt denbora tartean,

abiadura eramanez, distantzia egiten duela. Aldiune bakoitzean partikularen erradio-bektoreek eratzen duten azalera, triangelu batekin aldera daitekeen sektore zirkularra da. Eta kontutan harturik, elkartzen diren bi bektoreen arteko biderketa bektorialaren modulua, bi bektore horiek eratzen duten azaleraren balio berdina duela:

, guzti hau zati dt

egiten

badugu, orduan: . Adierazpen hau

kontutan harturik:

, beraz eta denez

Beraz: . Eta horrela dio Kepler.en 2.legeak.

“ Indar zentral baten eraginpean higitzen den edozein gorputzen abiadura areolarra ktea da”. Abiadura areolarra, erradio-bektoreak zehazten duen azaleraren eta azalera hori betetzeko behar duen denboraren arteko erlazioa da.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htm#segunda





2.3- GRABITATE UNIBERTSALAREN LEGEA. ONDORIOAK

Kepler-en legeek, planeten higidurak deskribatzen dituzte, baina ez dute higidura hauen zergatiaren arrazoia azaltzen. Newton.ek higidura hauen kausa indar grabitatorioa dela frogatzen du. Newton.ek kalkuluak errazteko, orbita planetarioak zirkularrak zirela suposatu zuen, ondorioz, planetaren abiadura lineala eta areolarra konstanteak izango dira.

R

Suposa dezagun Eguzkiaren inguruan R erradiodun orbita zirkularrean biraka ari den m masadun planeta bat. Biraketa badago, orduan beti dago azelerazio zentripetua edo normala, azelerazioa badago, orduan, beti indar zentripetua bat egongo dela onartu behar da.

. (periodoaren definizioa: T= 2 / )

Bestaldetik zenbakitzailea eta izendatzailea R2.rekin biderkatuz:

Indar hau Eguzkiak planetari egiten diona bada, akzio-erreakzio printzipioaren arabera, planetak ere Eguzkiari balio berdina baina aurkako norantza duen indar bat egiten dio.Arrazonamendu berdinarekin jarraituz:

non M eguzkiaren masa da eta K2 masa horrekin aldatzen

ez den kteaBi indarren balioa berdina denez: k1m=k2M edo bestela k1/M=k2/m=K

Orduan K1=M K eta

Edozein bi gorputzen arteko erakarpen-indarra, beren masa biderkadurarekiko zuzenki proportzionala eta grabitate-zentroen distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da.G grabitazio unibertsalaren konstantea da eta bere balioa SI sisteman : G=6,67 10-11 Nm2/kg2

Eta adierazpen berdina bektorialki jarrita: Grabitate

U. Leg.



“-“ ikurrak, bektoreak eta unitate bektoreak aurkako norantza dutela adierazten du M r m

ur F

Azter dezagun ekuazio hau:

Ezaugarriak:

Indarra magnitute bektoriala , bere moduloa

eta indar zentrala denez, bere norantza eta norabidea M.runtz da.

Ikusten den bezala bi gorputzen arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da, zenbat eta urrutiago egon bi gorputzak orduan eta txikiagoak dira indarrak.

Ikusten den bezala masen arteko biderkaketarekiko zuzenki proportzionala da, hau da zenbat eta handiagoak izan masak orduan eta gehiago nabarmentzen dira indar hauek.

Distantzietara agertzen diren akzio-erreakzio indarrak dira. G konstante unibertsala da, eta ez da aldatzen ingurunearekin.

Oso balio txikia du eta bi masetako bat gutxienez oso haundia ez bada, indarra mespretxagarria da.

Unitateak: Newton.etan (N) ematen da

ONDORIOAK:

Grabitazio unibertsalaren konstantea jakinda , Kepler.en hirugarren legea lortu daiteke grabitazio Unibertsalaren legetik abiatuz.Demagun, Eguzkiaren inguruan planetek bira egiten dutenean, higidura guztiz zirkularra dela. Higidura zirkularra dagoenez, azelerazio zentripetua edo normala dago, beraz:

orduan

azkeneko formula honek Kepler.en 3.legea betetzen du. Formula honetan oinarrituta, T ezagutuz Eguzkiaren masa kalkula dezakegu:



Bestaldetik Eguzkiaren masa ezagutuz, planetaren T ezagutu dezakegu:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htm#tercera





2.4.- EREMU KONTZEPTUA. EREMU KONTSERBAKORRAEREMU KONTZEPTUA: Fisikan, zenbait propietate fisiko (presioak, tenperaturak, indarrak) adierazten duen espazioko inguruari (inguruneko puntu bakoitzari, aldiune bakoitzean balio bat dagokiolarik) eremua deitzen zaio.

Eremu baten propietateak: Eremuaren bereizgarria den magnitudea posizioaren eta

denboraren araberakoa da . Adibidez eremu presioa.

Magnitudearen balioa denboraren menpekoa izan beharrean, puntuaren arabera baino ez bada aldatzen,(eremu grabitatorioa) eremua egonkorra dela esaten da: Eremua zehazten duen magnitudea bere puntu guztietan edo espazioko eskualde batean, balio berdina hartzen badu, eremua uniformea dela esaten da (Lurraren eremu grabitatorioa gainazaletik hurbileko eskualdetan) .

Eremua zehazten duen magnitudearen izaera kontutan hartuta, eremua, eremua eskalarra edo bektore eremua izan daiteke. .- Lehenengo kasuan magnitudea eskalarra da (zenbakia eta unitatearekin defini daiteke), adibidez: tenperatura eta presioaren kasuan.Eremu eskalarrak deskribatzeko lerro edo gainazal ekipotentzialak erabiltzen dira. Lerro edo gainazal hauek, magnitudeek balio bera hartzen duteneko eremuaren puntuak adierazten dituzte. Mapa meteorologikoetan azaltzen den bezala, eremua tenperaturarena bada, lerro ekipotentzialei isotermak deitzen zaie, eta presioarena bada, isobarak.. ..- Bigarren kasuan, magnitudea bektoriala da ( zenbakia, norabidea, norantza eta unitatea behar da), adibidez: eremu grabitatorioa, eremu elektrikoa, eremu magnetikoa..Eremu hauek irudikatzeko bektore-lerro edo eremu-lerroak erabiltzen dira. Eremuaren puntu bakoitzean magnitudea adierazten duen bektorearen norabidearekiko ukitzaileak diren lerroak dira.Finean, bektore lerro hauek, puntu bakoitzean, eremuaren norabidea eta norantza adierazten dute.Adibidez, indar-eremu batean, lerro hauek indarraren norabidea adierazten digute puntu bakoitzean. Eremu-lerroak ez dira inoiz elkar ebakitzen, horrela balitz, eremuak bi balio izango lituzke puntu horretan. Eremuaren intentsitatea adierazteko, marraztutako lerro-kopurua erabiltzen da; zenbat eta lerro gehiago, orduan eta handiagoa da intentsitatea.



INDAR EREMUAK .- Bai eremu grabitatorioa, elektrikoa eta magnetikoa, indar eremuak dira. Indar eremu hauek sortzeko magnitude aktiboa (A) den magnitude bat egon behar du (Masa, Karga, ..). Eta sortutako eremu horren existentzia frogatzeko, eremuko puntu guztietan eremua sortzen duen magnitude aktiboaren izaera berdina duen beste magnitude aktiboa (masa, karga..) jarri beharko da. Hori egitean, eremuak, jarritako magnitude aktiboaren gainean ezartzen duen indarra nabarituko dugu. Adibidez: Lurrak (masa duen magnitude aktiboa) espazioa aldatzen du, eremu grabitatorioa sortaraziz. Eremu honen existentzia frogatzeko, eskualde horretan kokatutako beste edozein gorputzen masaren gain (magnitude aktiboa) indar bat nabarituko dugu (pisua)..Indar-eremuko puntu batean dagoen intentsitatea , puntu horretan kokatuta dagoen magnitude aktibo unitateko eremuak eragiten duen indarra bezala definitzen da.

Ondorioak: Eremuko puntu batean dagoen intentsitatea

magnitude bektoriala da. Puntu bakoitzeko indar-lerroak ( ), .ren norabidearekin bat datoz.



EREMU KONTSERBAKORRAK.Indar-eremua kontserbakorra da bertako indarrek A puntutik B.ra desplazatzen den partikula baten gainean egiten duen lana, A.tik B.ra joateko jarraitu den bidearen menpekoa ez denean.

Edo, beste era batera esanda, eremuaren indarrek partikula baten gainean berau ibilbide itxi batean zehar eramateko gauzatu duen lana nulua denean.

Eremu kontserbakorrak, gainazal ekipotentzialen bidez ere adieraz daiteke. Kasu hauetan, gainazal ekipotentzialak eremu-lerroen perpendikularrak dira puntu bakoitzean

2.5.- PARTIKULA BATEK EDO BATZUK SORTUTAKO GRABITATE EREMUA. INDAR-LERROAK.

Edozein masak (M), eremu grabitatorioa ( )sortzen du bere inguruan. Hau nabaritzeko, honen puntuetako batean beste masa bat jartzen da eta honen gainean indar bat agertzen da. Indar honen ondorioak neurtu daitezke. Definizioz: Eremu grabitatorioa eremu bektoriala da, puntu bakoitzean magnitude bektorial bat zehaztu daiteke, puntu horretan kokaturiko masa unitatearen gainean eremuak eragiten duen indarra da.

a) Eremu grabitatorioaren intentsitatea da. Bektoriala da. Unitateak :N/kg

b) esanahi fisikoa: M masak bere inguruan propietate berezi bat sortzen du, (eremu grabitatorioa, ).Propietate honi esker, inguruko edozein puntuetan beste m jarriez gero, honengan, eremuaren

norabide eta norantza berdina duen erakarpen indar bat agertzen da .

Beste modu batera:

non G: grabitazio ktea da; M eta m masak dira, r bi masen arteko distantzia, eremu grabitatorioa eta erakarpen indarra.



c) eremu bektoriala da: modulua

norabidea: -rena, eta hau zentrala denez,beti zentrala norantza: beti zentrorantz.

d) Zenbat eta urrutiago kokatu puntua, orduan eta g txikiagoa.

e) Zenbat eta M handiagoa izan, orduan eta g handiagoa.

f) INDAR LERROAK

Eremua bektoriala denez, bere adierazpen grafikoa indar lerroen bidez egiten da. Indar lerroek, puntu bakoitzean, eremuaren norabidea eta norantza adierazten dute.

Indar lerro hauek, masa unitate batek eremuaren eraginez desplazatzerakoan, jarraituko lukeen bidea adierazten dute. Eremu grabitatorioa ( ),indar lerroaren tangentea da puntu bakoitzean. Lerro hauek, eremuak sortzen duen gorputzaren masan dute jatorria eta beste masa batean edo infinituan bukatzen dira, beraz, ez dira lerro itxiak.Indar lerroen intentsitatea (lerro gehiago ego gutxiago) eremu intentsitatearekin zuzenki proportzionala da. Eremu grabitatorioan, Lurra esfera bat dela suposatuz, lerroak erradialak dira eta erdigunera zuzenduta daude.Indar lerroak ez dira inoiz mozten. Horrek suposatuko luke puntu horretan eremuak bi balore ezberdin dituela eta hori ez da posible.

g) GAINEZARMENAREN PRINTZIPIOA

Eremu grabitatorioak honako propietate hau dauka: bi masen arteko elkarrekintza hirugarren masa baten presentziarekiko menpegabea da. Gainezarmenaren printzipioa da, beraz zenbait masak m1, m2, m3.. m masa baten gainean sortutako indar grabitatorioaren balioa ondokoa da:


http://intercentres.cult.gva.es/iesleonardodavinci/fisica/Animaciones/Animaciones07.htm


Era berean, eremuaren masa sortzaileak asko badira, intentsitate grabitatorioa puntu batean honako da :

h) IZAERA KONTSERBAKORRA

Eremu grabitatorioa indar eremua da, eta izaera kontserbakorra dauka, modu honetan ez dago energia galerarik ezta energi sorrerarik ere lana gauzatzen duen indar grabitatorioaren ibilbidean zehar. Indar grabitatorioak masa-unitatea puntu batetik beste batera desplazatzeko gauzatzen duen lana bera da beti, bide desberdinetatik gauzatzen bada ere.Beste definizioa erabiliz, ibilbide itxi batean indar grabitatorioak egiten duen lana zero da.

2.6- GRABITATE ENERGI POTENTZIALA. GRABITATE POTENTZIALA

Orain arte Dinamikako adibide guztietan Energia potentziala kalkulatzeko, Lurraren gainazala hartu dugu erreferentzi puntu bezala: Ep(gainazalean)=0.Baina ikusi dugun bezala g distantziarekin aldatzen denez, r= erreferentzi puntua hartuko dugu, eta puntu horretan , energi potentziala eta potentziala zero izango dira.


http://intercentres.cult.gva.es/iesleonardodavinci/fisica/Animaciones/Animaciones07.htm


r= denean gorputzak ez du Lurrera erortzeko joerarik, Lurraren erakarpen indarrak ez bai dio eragiten. Ep( )=0

Ikusi dugun bezala, eremu grabitatorioa indar eremua da, eta gainera kontserbakorra: partikula bat bi punturen artean desplazatzen denean egindako lanak ez du zerikusirik ibilbidearekin, bi puntuen posizioarekin bakarrik. Wk= -Definizioz: m masa batek, beste M batetik r distantziara dagoenean duen energi potentzial grabitatorioa m masa infinitutik r distantziara ekartzen, indar grabitatorioak egiten duen lanaren adinakoa da, ikurrez aldatuta.

Indar grabitatorioa, ondokoa da:

r puntuan dagoen Ep kalkulatzeko.

Azter dezagun esanahi fisikoa:a) M masa duen gorputz baten erakarpenean dagoen inguruneko

puntu batean m masa ezartzerakoan, honek Ep bat lortzen du. Ep hau eskalarra da eta SI sisteman Jouletan ematen da. b) Zenbat eta handiagoa den r, orduan eta Ep handiagoa da .

Horregatik (-) ikur negatiboa. Ep( )=0 da. Lurrera hurbildu ahala, bere balioa txikiagotu egiten dela.

c) Energia potentziala galtzen ari denez, indar grabitatorioak egindako lana (+) da.W= - Ep orduan W(+).

POTENTZIALA.Orain suposa genezake M masako gorputzak, bere inguruneko puntu guztietan propietate berezi bat sortzen duela, potentzial grabitatorioa. Propietate honi esker M inguruneko edozein puntuan beste m masa jarriez gero, honek Ep lortzen du.

Honela:

Definizioz: P puntuko potentziala, P puntuan masa unitateak duen Ep. Edo beste modura: P puntuko potentziala, masa unitatea infinitutik P puntura eramateko indar grabitatorioak egiten duen lana, zeinuz aldatuta.Eskalarra da, unitateak SI.ean J/kg. Eremu eskalarra da potentziala.

Ikusten den bezala M-ek bere ingurunean potentzial bat sortzen du. Potentzial hau nulua da infinituan. Gero eta lurretik urrunago egon orduan eta handiagoa, horregatik hemen ere (-) ikurra.



Eremuan gertatzen zen bezala, puntu batean sortzen den V masa batzuen ekintzaz sortua izan daiteke. Orduan hemen ere, puntu

honen

Eremu grabitatorioan bi punturen arteko potentzial diferentzia ezaguturik, eremuak masa puntu batetik bestera eramateko gauzatu duen lana kalkula dezakegu

IKusten den bezala VAVB orduan W(+) beraz gorputzak bere kabuz mugitzen dira eremu grabitatorioan (goitik behera).VBVA orduan W(-) da, beraz, eremu grabitatorioan beste norbaitek egin beharko du indarra eta lana . (behetik gora).VA=VB denean orduan W=0 da,

GAINAZAL EKIPOTENTZIALAK

Potentzial grabitatorioak balio bera duen espazioaldeko puntuen leku geometrikoak eremuaren gainazal bat zehazten du, gainazal ekipotentziala.Gainazal ekipotentzialetan Potentziala ktea da, beraz W=0, honek zera dio: eremuak ez duela lanik egiten gainazal ekipotentzial baten puntu batetik beste batera masa desplazatzerakoan. Gainazal ekipotentzial batean potentziala ktea denez, bere puntu guztien eta eremua sortzen duen masaren arteko r distantziak berdinak dira eta, ondorioz, gainazal ekipotentzialek forma esferikoa eta zentrokidea hartzen dute.



2.7- LURREKO GRABITATE EREMUA. ENERGIA POTENTZIALA LURREKO GAINAZALETIK GERTU.Jakin behar dugun bezala, Lurrak sortzen duen eremu grabitatorioa, masa guztia erdiko puntu baten kontzentratua dagoela suposatuz lortuko litzatekeena bera da.

Lurraren eremu grabitatorioren lerroak erradialak dira, eta gainazalak ekipotentzialak, esferikoak eta zentrokideak. Eremuaren intentsitate bektoreak, , Lurraren zentrorantz bideratuak daude. Hortaz, Lurraren inguruan dauden gorputzak, honen eremu grabitatorioak ezartzen duen erakarpen grabitatorioaren eraginpean aurkitzen dira.

* .ren aldaketa altuerarekin. Demagun printzipioz laua eta esferikoa den Lurraren gainazalerekiko h altuerara kokatu dagoen P puntua. Lurraren erradioa R bada, P puntuaren distantzia Lurraren zentrora ondokoa izango da: r = R+hLurraren gainazaleko puntu bateko intentsitatea:



* .ren aldaketa sakontasunarekin.Lurraren gainazalarekiko h sakontasunean kokatuta dagoen P puntua kontsideratzen badugu, Lurraren zentroraino dagoen distantzia r =R-h

izango da, g.ren balioa puntu horretan ondokoa izango da: non

m , r erradioa duen Lurraren barne “esferaren” masa den. Lurraren batez besteko dentsitatea bada, bere M hauxe izango da M= V=4/3

R3 eta “esferaren” masa m= V=4/3 r3 .Bi adierazpen hauek atalez atal zatituez gero M/m=R3/r3 eta m askatuz: m=Mr3/R3.

Orduan:

ENERGIA POTENTZIALA LURREKO GAINAZALETIK GERTU.

Lurraren eremu grabitatorioaren edozein puntutan, Lurrak eta r distantziara dagoen m masako gorputz batek osatzen duten sistemak energia potentzial bat dauka:

Demagun m masa A puntua lurrazalaren gainean

aurkitzen dela eta B puntua gainazal horretatik h altuera aurkitzen dela. A.tik B.ra masa eramateko indar bat egin beharko da, horregatik energi potentzial aldaketa negatiboa izango da.

Sistemak energi hau hartzen du h altueran, eta lanak balioa negatiboa dauka, A.tik B.ra eramateko egin behar den lana sistematik kanpoko indar batek burutzen duelako. Lana eremu grabitatorioak gauzatzen badu (B.tik A.ra), orduan lana(+) izango zen. Erreferentzi sistema A puntuan (lurrazalean) kokatzen bada, eta honi hitzarmenez energi potentzial nulua egokitzen badiogu, gorputza B puntuan dagoenean ondokoa idatz dezakegu:Gorputz bat h altueran uzte bada, erori egingo da indar grabitatorioaren eraginez, beraz lana positiboa izango da

Kasu honetan h altueran dagoenean (A) da, eta lurrean dagoenean (B) da, beraz hAhB orduan W=(+).



2.8- PLANETA ETA SATELITEEN HIGIDURA. IHES ABIADURA

Higidura hauek elkarrekintza grabitatorioen ondorioak dira. Erakarpen indar hauek indar zentralak dira, hau da, puntu zehatz

batera bideratuak daude beti. Indar zentralak direnez, norabide berdina daukate eta ondorioz planeta bakoitzaren momentu

angeluarra konstantea da( ), eta gogoratzen dugun bezala ondorioak hauek dira: ibilbidea planoa da eta higidura uniformea. Azterketa errazteko masak puntualak kontsideratuko ditugu, dakigun bezala orbitak edo ibilbideak eliptikoak dira, baina orbiten eszentrikotasuna hain txikia denez, guk orbita zirkularrak kontsideratuko ditugu, (eguzkiarekiko batezbesteko distantzia elipsearen ardatzerdi handiena hartuta). Masa handiko gorputza geldirik dagoela eta masa txikiagokoa haren inguruan biraka ibiliko dela jo dezakegu. Kalkuluak egiterako orduan, higidura zirkularra denez, azelerazio normala edo zentripetua dagoela onartu beharra dago, beraz indar zentripetua dagoela. Indar zentripetu hau eta grabitazio indarra berdinak izango dira.

Grabitazio eremua kontserbakorra denez, biraka dabilen gorputzaren energi mekanikoa konstantea izango da (marruskadurak arbuiatzen badira). Beraz:

Ikusten den bezala biraka dabilen edozein m-ren energi mekaniko osoa negatiboa da, energi potentzialaren jatorria infinituan hautatu genuenez.

Abiadura eta periodoa.-



m masa txikiko gorputza M masa handiko puntuaren inguruan orbita zirkularra deskribatzen duenean, erakarpen indar grabitatorioaren eraginez izaten da.

Honi abiadura orbitala deritzogu.

Ondorioak:

a) biraka dabilen gorputzaren abiadura orbitala ez dago honen masaren menpe, baina bai M-ren menpe.

b) erradio orbita bakoitzari abiadura bat dagokio, eta alderantziz, abiadura orbitala bakoitzari erradio orbita bat dagokio.

Bestaldetik biraketa periodoa, m M-ren inguruan bira bat ematen behar duen denbora izango da:

Ondorioak:

a) errotazio periodoa ez dago honen masaren menpe

b) zenbat eta handiagoa izan bi gorputzen arteko distantzia orduan eta handiagoa da errotazio periodoa.

SATELITE ARTIFIZIALAK

Satelite bat orbitan jartzeko energia beharko da, lan bat egin beharko da. Lehenik eta behin, Lurraren zentroarekiko r+h distantziara bultzatu behar da eta gero energia eman behar zaio bere orbita deskriba dezan. Orbita bidali aurretik, sateliteak energi potentziala bakarrik dauka, eta behin orbitan dagoenean energi potentzial handiagoa (energia eman behar zaio) eta energia zinetikoa (biratzeko) dauzka.

Ihes-abiadura.- Grabitazio eremu baten eraginpean dagoen gorputz batek eremu horren eraginetik eraginkortasunez alde egin dezan,



badago hasierako gutxieneko abiadura bat eta horixe da, hain zuzen ihes abiadura.Untzi espaziala Lurraren eraginetik ihes egin dezan, ondokoa izanen da:Lurgainean dagoenean bakarrik energia potentziala du, eta energi zinetikoa eman beharko zaio igotzeko, eremutik at dagoenean, definizioz ez dauka energia potentziala ezta energia zinetikorik ere. Energiaren kontserbazio-printzipioaren arabera

Bideoa:

Jaurtiketa-lekua lurgainean izan beharrean, h altueran bada, orduan r-ren ordez R+h izanen da.

Astro baten masa satelite baten datuekin:

Nahikoa dugu satelite horren T eta bere erradio biraketa ezagutzea

eta M askatuz,

Modellus simulazioa

Satelite geoegonkorrak.

Lurraren erreferentzi sisteman, gure planetaren errotazioaren norantzan, honen abiadura angeluar berean biratzen duten sateliteak geldi daudela ematen du; horregatik, satelite geoegonkorrak deitzen zaie. Orbita zirkularretan higitzen dira plano ekuatorialean, 24 orduko biraketa-periodoaz. Beraz, sateliteak posizio finkoa du lurrarekiko,


http://www.youtube.com/watch?v=f7Z8ZCIMsTg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


hori kalkula dezakegu, dela jakinik, eta r

askatuz:

eta r- RL =h denez, h hau gutxi gora-behera 35800 Km da. Satelite hauek meteorologikoak eta komunikaziokoak (seinale elektronikoen errepikagailuak ) dira.

Bideoa:


http://www.youtube.com/watch?v=R1RNvtQ48DU

http://www.youtube.com/watch?v=R1RNvtQ48DU%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


ARIKETAK

GRABITATE UNIBERTSALAREN LEGEAREN ONDORIOAK:Zeruko gorpuen masaren zehaztapena.- Kepler-en legearen aplikazioa 1.- Grabitatea ilargiaren gainazalean Lurrekoan baino sei aldiz txikiagoa bada eta Ilargiaren bolumena Lurrarena baino berrogeita hamar aldiz txikiagoa bada, kalkulatu Ilargiaren masa. DATUAK: G = 6,67 10-11 U.I; ML=5,98 1024Kg; RL=6,38 106 mEmaitza:7,3 1022 kg

2.- Kalkulatu Lurraren masa, ilargiak 2,36 106 s.ko periodoa daukala eta batez besteko 384000 km.ko distantzian dagoela kontutan hartuta. Emaitza: 6,02 1024 kg

3.- Jakin badakigu Lurra-Ilargia batez besteko distantzia 384000 km.koa dela eta Ilargiak 28,5 egun behar dituela Lurraren inguruan bira osoa emateko. Datu horiekin, kalkulatu Lurraren inguruan biraka dabilen satelite bat zein distantzietan egon behar den egun bateko biraketa periodoa izan dezan. Emaitza: 41200 km

4.- Beheko taulan Eguzki sistemako zenbait planeten orbiten batez besteko erradioa eta biraketa periodoa dituzu.

LURRA MARTITZA JUPITERERRADIO ORBITALA

149 228 778

BIRAKETA PERIODOA

31,6 59,4 374,3

Erradioa megakilometroetan dago eta periodoa megasegundoetan(mega=106)a) justifikatzen al dute balio horiek Kepler.en 3.legea?b) Idatzi lege horri dagokion formula eta honetan oinarrituta,

ondorioztatu grabitazio unibertsalaren legea, orbitak zirkularrak direla jota.

Emaitza:5.- Goiko taula erabiliz, kalkulatu Kohoutek kometatik Eguzkira dagoen batez besteko distantzia, kontuan hartu periodoa gutxi gorabehera 106 urtekoa dela. Emaitza: 149 1010 km

6.- Kalkula ezazu Eguzkia eta Jupiterren arteko distantzia, Jupiterren periodoa 12 urtekoa dela eta Lurretik Eguzkira dagoen distantzia 15 1010 m.koa dela jakinda. Emaitza: 7,86 1011 m



7.- Lurrazalean dagoen 80 kg.ko gorputz batek 800 N pisatzen ditu. Lurra esferikoa baldin bada eta bere erradioa 6370 Km bada, kalkulatu Lurraren masa eta batez besteko dentsitatea.Emaitza: 6,08 1024 5,62 103kg/m3

EREMUAREN INTENTSITATEA PLANETETAN

8.- Jupiter planetaren masa Lurrarena baino 318 aldiz handiagoa da eta diametroa 11 aldiz handiagoa. Kalkulatu Lurrean 750 N.eko pisua daukan astronauta batek Jupiterren izango lukeen pisua. Emaitza: 1971 N

9.- Kalkulatu grabitazio eremuaren intentsitatea lurraren gainazaletik 50 km.ko altueran. Kontuan hartu lurra homogeneoa dela, 5,98 1024Kg.ko masa duela eta 6370 km.ko erradioa duela. Zein bariazio portzentuala jasaten du, Lurraren gainazalekoarekin alderatzen badugu?.Emaitza: 9,68 N/kg % 1,32

10.- Lurraren gainazaletik zein altuerara igo behar dugu, grabitazio eremuaren intentsitatea, go, % 5 txikiagoa izan dadin.Datuak: RL=6,37 106 m, g0=9,81m/s2

Emaitza: 162000 m

11.- Lurreko gainazalean dagoenarekin alderatuz, zein neurritan egiten du behera grabitazio eremuaren intentsitateak 300 km.ko altueran bagaude untzi espazial baten barruan?. Zien da kasu horretan, 70 kg.ko masa duen astronauta baten pisua?.Datuak: RL=6,37 106 m, g0=9,81m/s2

Emaitza:8,95 N/kg 626,5 N

12.- Kalkulatu Lurraren gainazaletik zein altuerara igo behar dugun 1.kg.ko masa daukan pisuaren herena izan dezan.Datuak: RL=6,37 106 m, g0=9,81m/s2

Emaitza: 4,67 10 6 m

13.- 32 kg.ko masa duen neskatila bat Lurraren gainazalean dago.a) zein da bere pisua?b) zein pisua izango luke, erradioa aldatu gabe Lurraren masa erdira

murriztu balitz?c) eta masa aldatu gabe, erradioa erdira murriztuko balitz.d) eta biak erdira murriztuko balira?. Emaitza: 314N; 157N; 1256N; 628N

14.- Planeta baten erradioa hiru aldiz da beste planeta batena. Bien dentsitatea berdina bada, zeinetan izango da handiagoa gorputzaren pisua?Emaitza: PA=3PB



15.- Ilargiaren gainazalean kokatuta dagoen 10 kg.ko gorputzak 19,4 N pisatzen ditu. Ilargiaren masa 6,7 1022 kg bada, zein da ilargiaren erradioa?.Emaitza: 1,52 10 6m

16.- Ilargiaren masa 0,0123 aldiz lurrarena da, eta bere erradioa 0,25 aldiz lurrarena. Zenbateko masa jarri beharko litzateke Ilargian, 0,5 kg.ko masa duen gorputzak Lurrean pisatzen duenaren berdina pisa dezan?.Emaitza: 2,54 kg

17.- Jupiterren masa 2,25 1027 kg.koa da eta erradioa 7,2 107m. Zenbat pisatuko du gorputz batek Jupiterren, baldin eta Lurrean 80 kg.ko masa badu?. Emaitza: 2316 N

PLANETEK AFELIO ETA PERIHELIOAN DUTEN ABIADURA ERLAZIOA. 18.- Lurraren masa 6. 1024 kg da eta Eguzkiaren inguruko bere orbitaren batez besteko erradioa 1,5 1011 m da. Kalkulatu Lurraren momentu angeluarraren balioa eta abiadura areolarra. Datuak: ME= 2 1030 kgEmaitza: 2,68 1050 kgm2/s ; 2,24 1015 m/s

19.- Kalkula ezazu Martitza eta Jupiterren abiadura areolarrak (datuak 4 ariketa)Emaitza: 5080 1012 m/s eta 27,47 1015 m/s 20.- Lurra ez da beti abiadura berdinaz higitzen Eguzkiaren inguruan. Adierazi zein gunetan higitzen den Lurra abiadura handiagoz: afelioan, perihelioan eta tarteko puntu batean. Justifikatu erantzuna ondorengoa erabiliz:a) Keplerren bigarren legea.b) Grabitazio eremuaren teoria

21.- Imajina ezazu bat-batean Eguzkiaren eta Lurraren arteko erkarpen-indarra bikoiztu egiten dela. Zer gertatuko litzaioke Lurraren orbita-abiadurari?. Aldatu egingo litzateke Lurraren momentu angeluarra?. Eta orbitaren planoa?.



MASA BATZUK SORTUTAKO EREMUAREN INTENTSITATEAREN ETA POTENTZIALAREN ZEHAZTAPENA.

22.- Lurra eta Ilargia lotzen dituen lerroko puntu batean 10 kg.ko objektuak ez du grabitazio indarrik jasaten, kalkulatu zein distantzian dagoen puntu hori. Zenbat balio du energia potentzialak puntu horretan?Datuak: RLI=384 106 m; ML=5,98 1024 kg; MI=7,3 1022 kg Emaitza: 345 106m, -1,15 10 7J

23.- Kalkulatu Lurrak 100000km.ra dagoen asteroide batean sortzen duen eremua, asteroidearen masa 109 kg.ko bada, kalkulatu energia potentziala.Datuak: ML=5,98 1024 kgEmaitza: 0,0398 N/kg; -398 1014J

24.- Komunikabiderako satelite artifizial batek 2 Tona.ko masa dauka . Kalkulatu Lurraren gainazaletik 36000 km.ko distantzian sateliteak daukan energia potentziala.Datuak: RL=6,37 106 m; ML=5,98 1024 kgEmaitza: -1,88 1010J

25.- Kalkula ezazu 100 kg.ko eta 2 m.ko diametroa duen masa esferikoak gainazaletik 9 m.ra dagoen puntuan sortzen duen potentzial grabitatorioa. Zein da puntu horretan kokatutako 1 kg.ko masaren energia potentziala. Emaitza: -6,67 10-10 J/kg eta –6,67 10-10 J

26.- Lurra-ilargia bideko zein puntutan da nulua indar grabitatorioaren ordezkaria?. Gorputzak ba al du pisurik puntu horretan. (datuak: Lurraren masa 6 1024 kg ; ilargiaren masa 7,35 1022 kg, Lurra-ilargia distantzia 3,8 105 km).Emaitza: 345 106m

27.- Hiru masa berdin (1 kg) , l aldea (1m) duen triangelu aldekide baten erpinetan daude. Zehaztu masa hauetako bi hirugarrenaren gainean ezartzen duten indar grabitatorioa. Zein da eremu grabitatorioaren eta potentzialaren balioa erpin bakoitzean?.Emaitza: -10-10 i + 5,77 10-11 j N ; -10-10 i + 5,77 10-11 j N/kg ; -13,34 10-

11 J/kg

28.- (0,0) eta (0,2) puntu bakoitzean 2 kg.tako masa kokatzen da. Kalkulatu (2,0) puntuan sortzen duten eremu grabitatorioa eta potentziala. Puntu honetan 1 kg.tako masa jarriez gero, zenbateko indar eta energia potentziala jasango luke?. Emaitza: -4,52 10-11 i + 1,17 10-11 j N eta –11,39 10-11 J



GRABITATE EREMUAREN INTENTSITATEAREN ALDAKETA ALTUERAREKIN

29.- Lurra esfera homogeneoa dela pentsatuz, kalkulatu zelan aldatzen den Lurreko grabitazio eremua Lurraren erdigunerantz higitzen garenean (sakonera handitzen den neurrian). Zein izango da grabitazio eremuaren balioa 2000 km.ko sakoneran?. Eta Lurraren erdian, erradioa 6500 km direla jakinik?.Datua: g0=9,81m/s2

Emaitza: 6,78 N/kg eta 0

30.- Lurraren erradioaren batez besteko balioa 6370 km bada, zein da h=R/3 altueran kokatuta dagoen puntu batean, Lurraren eremu grabitatorioko intentsitatearen balioa?: Datua: g0=9,81m/s2

Emaitza: 5,52 N/kg

BALDINTZA ENERGETIKOEN APLIKAZIOA: IHES ABIADURA; PROIEKTILEK LORTUTAKO ALTUERA, METEORITOEN ERORKETA.

31.- Kalkulatu Lurraren gainazaletik 10000 km.ko distantzian dagoen orbitan dabilen m masadun satelite bat zein abiaduratan mugitzen den eta satelite horrek guztira daukan energia.Datuak: RL=6,37 106 m; g0=9,81 m/sEmaitza: 4932 m/s eta - 1,22 107 m J

32.- Kalkulatu 10 kg.ko masa duen satelite bat orbitan jartzeko egin behar dugun lana, sateliteak Lurraren inguruan duen orbita zirkularra bada eta Lurraren gainazaletik 100 km.ko altuerara badago. Datuak: RL=6,37 106 m, g0=9,81 m/sEmaitza: 3,15 108 J

33.- Kalkulatu Lurraren gainazaletik 200 km.ra eta 400 km.ra dauden satelite bik zein abiadurarekin orbitatzen duten. Kalkulatu zein lana egin beharko den satelitea lehenengo orbitatik bigarrengora eramaten.Datuak: RL=6,37 106 m; g0=9,81 m/sEmaitza: 7780 m/s; 7664 m/s eta 8,97 105 m J

34.- Eguzkiaren masa Lurrarena baino 324440 aldiz handiagoa da eta erradioa 108 aldiz handiagoa. a) Lurraren gainazalean baino zenbat aldiz handiagoa da gorputz baten pisua Eguzkiaren gainazalean?. b)



Eguzkiaren gainazaletik 720 Km/h abiadurarekin gorantz jaurtitzen dugun jaurtigai bat zein altuerara iritsiko da gehienez?. Datuak: RL=6,37 106 m; g0=9,81 m/sEmaitza: 27,8 PL ; 73,42 m

35.- Lurraren erradioaren erdia daukan planeta baten gainazalean grabitatearen azelerazioa 5 m/s2 da. Kalkulatu: a) Planetaren masaren eta Lurraren masaren artean dagoen erlazioa. b) ihes abiadura planeta horren gainazalean( gL=10 m/s2 dela joko dugu).Datuak: RL=6,37 106 m, g0=9,81 m/sEmaitza: 8 MA; 5644 m/s

36.- Jaurtigai batek Lurraren gainazaletik 5000 m/s.ko hasierako abiadurarekin gorantz irten du. Zein altueraraino iritsiko da.?.Datuak: RL=6,37 106 m g0=9,81 m/sEmaitza: 1,48 106m

37.- Lurraren zentrotik Lurraren erradioaren 5/4etara dagoen puntu batetik satelite artifizial bat orbitan jartzea nahi da. Zein da eman behar zaion hasierako abiadura, zein da bere periodoa?. Datuak: RL=6,37 106 m g0=9,81 m/sEmaitza:8661 m/s; 7075 s

38.- Kalkula ezazu Lurraren gainazaletik 500 km.ko altueran , orbita zirkularrean, 500 kg.ko satelitea jartzeko behar den energia.Datuak: RL=6,37 106 m g0=9,81 m/sEmaitza: 16,77 109 J

39.- Astronauta bat 2RLorbita zirkularra deskribatzen duen satelite batean dago, eta momentu batean 60 kg.ko objektu bat Lurrerantz 40 m/s.ko abiaduraz higitzen dela ikusten du. Kalkulatu: a) Objektuaren abiadura Lurraren gainazalera iristen deneana) sateliteak orbitan duen abiadura eta azelerazioa.Datuak: RL=6,37 106 m g0=9,81 m/sEmaitza: 7905 m/s eta 2,45 m/s2

40.- Ilargia gutxi gorabehera esferikoa da, RI=1,74 106 m.ko erradioa eta MI= 7,35 1022 kg.ko masa izanik. Gainazaletik objektu bat jaurti da, h=RI altuera maximoa lortzen duena. Kalkulatu: a) objektua jaurti den hasierako abiadura. b) grabitatearen azelerazioa ilargiaren gainazalean eta h puntuan.Emaitza: 1678 m/s eta 0,40 N/kg

SATELITEEN HIGIDURA. SATELITE GEOEGONKORRAK41.- Zein da satelite batek eraman behar duen abiadura, Lurraren inguruan orbita zirkular bat deskribatuz biratzen ibil dadin?. Kalkula ezazu abiadura hori 600 km.ko altueran kokatuta dagoen satelite baten kasuan.



Datuak: RL=6,37 106 m, g0=9,81m/s2

Emaitza: 7564,79 m/s

42.- Satelite artifizial bat orbita zirkularrean dabil Lurraren gainazaletik 300 Km.etaraKalkulatu: a) abiadura. b) biraketa periodoa. c) higiduraren azelerazio zentripetua.Datuak: RL=6370 km; go=9,81 m/s2

Emaitza: 7721 m/s; 5427 s; 8,94 m/s2

43.- 250 kg.ko masa duen satelite bat orbita zirkularpean dago Lurraren inguruan eta gainazaletik 500 km.ko altueran. Kalkulatu:b) abiadura. b) biraketa periodoa. c) satelitearen energi zinetikoa eta

energia potentziala.datuak: RL=6370 km; go= 9,81 m/s2

Emaitza: 7608 m/s; 5674 s; -723,5 107J

44.- Zein izan behar da satelite artifizial batek Lurraren inguruan birak ematean izan behar duen abiadura angeluarra, orbitaren erradioa Lurraren erradioaren bikoitza izan dadin?Datuak: RL=6370 km; go=9,81 m/s2

Emaitza: 4,39 10-4rad/s

45.- Lurraren inguruan orbita zirkularrean biratzen duen satelite baten abiadura v=7,7 km/s.koa da. Ondoriozta ezazu orbita horren erradioaren balioa.Datuak: RL=6,37 106 m g0=9,81 m/sEmaitza: 6,73 106 m

46.- Meteorologia-satelite artifizial bat Lurraren inguruan orbita zirkularrean biraka ari da, Lurraren gainazalarekiko 10000 km.ko altueran. Zein da Lurraren inguruko errotazio-periodoa?.Datuak: RL=6,37 106 m g0=9,81 m/sEmaitza: 20855 s

47.- Satelite bat, 2 ordutan Lurraren inguruko orbita zirkularra ibiliko duen orbitan kokatu nahi da. Lurraren gainazaletik zer altueratara egon behar da?. (Lurraren erradioa 6400 km).Emaitza: 1,68 106 m

48.- Planeta hipotetiko batek Eguzkiaren inguruan orbita zirkularra deskribatzen du, erradioa Lurraren hirukoitza izanik. Zenbat urte Lurtarretan beteko du planetak bere orbita?.Emaitza:5,19 TL

49.- Neptunoren Eguzkiaren inguruko orbitaren batez besteko abiadura, Lurrak duena baino 30 aldiz handiagoa dela jakinik, zenbat urte lurtar beharko ditu bere orbita betetzeko?.



Emaitza: 27000 TL

50.- Lurraren gainazaletik 500 km.ko altueratik gorputz bat jaurti dute abiadura jakin batekin. Gorputza Lurraren inguruan orbitan (altuera horretan) egon dadin, zein balio izan behar du abiadurak?. Zein abiadura izan behar du Lurraren eraginetik alde egiteko?. Kasu guztietan orbita zirkularra izango da eta Lurraren erradioa 6370 km..koa.Emaitza: 7613 m/s ; 10767 m/s

51.- 2000 kg.ko masa duen satelitea Lurraren inguruan dabil 8000 km.ko erradioa duen orbita ekuatorial zirkularrean. Kalkulatu:a) Satelitearen momentu angeluarra orbitaren zentruarekikob) Satelitearen energia zinetikoa, potentziala eta osoa.Datuak: RL=6,37 106 m Emaitza: 112 1010 kg m2/s; 49 109 J ; -9,97 1010J eta - 5 1010J

52.- Zein da Martitzetik Eguzkirako batez besteko distantzia, Martitzeko urteak Lurreko 687 urte irauten baditu?.Emaitza: 77,86 rL

53.- Satelite bat orbita zirkularrean dabil biraka Lurraren inguruan Lurraren zentrotik 150000 km.ko distantzian. Ilargiaren inguruan, orbita zirkularrean, beste satelite bat balego, abiadura berdinarekin, ilargiaren zentrotik zein distantzian legoke?. Ilargiaren masa 0,0123 aldiz Lurrarena da eta bolumena berrogeita hamar aldiz txikiagoa. Emaitza: 18,45 105m

54.- Kalkulatu Lurraren masa, ilargiak 2,36 106 s.ko periodoa daukala eta bataz besteko 384000 km.ko distantzian dagoela kontutan hartuta.Emaitza: 6,02 1024kg

55.- Kalkulatu: a) satelite egonkorraren orbitaren erradioa. b) zein abiadura lineal eta zein abiadura angeluarrarekin orbitatuko lukeen satelite geoegonkor batek (ekuatorean dagoen eta, beraz, une oro Lurraren gainazaleko puntu beraren gainean dago).Datuak: Lurraren erradioa: 6370 km; Lurraren masa:5,96 1024 kg.Emaitza: 35833 Km; 3069 ms; 72,73 10-6 rad/s



SELEKTIBITATEA

1. Satelite artifizial bat biraka dabil Lurraren inguruan, orbita zirkulara eginez, 1500 km.ko garaieran lur-azalaren gainetik. Kalkulatu: a) eremu grabitatorioak duen intentsitatearen balioa orbitaren puntueta. b) Satelitearen abiadura. c) Bira-periodoa.

datuak: g0= 9, 81 m/s2; Rl= 6370 Km

2. Izan bedi tona bateko masa duen eta lurraren inguruan, orbita zirkularrean biraka dabilen satelite bat. Orbita horretako puntuetan, eremu grabitatorioaren intentsitatearen balioa lurreko azalean denaren laurdena da. Kalkulatu:

a) Orbitaren erradioab) Satelitearen bira periodoa (eman emaitza orduetan)c) Zenbat energia beharko lukeen orbita horretatik lurraren

erakarpenetik ihes egiteko.Datuak: g0= 9, 81 m/s2; Rl= 6370 Km

3. Jakinik Lurrak bere azalean dagoen eta 1 kg.ko masa duen gorputz bat 9,81 N.ko indarrez erakartzen duela, eta suposatuz bere forma 6380 km.ko erradioa duen esfera bat dela, kalkula ezazu bataz besteko dentsitatea.

Datuak: G= 6,67 10-11 Nm2/kg2

4. Apolo VII espaziountzia Ilargiaren inguruko orbita zirkularrean egon zen, ilargiko azaleratik 113 km.ra. Kalkulatu: a) Apoloren biraketa periodoa. b) Ilargaiarekiko zuen abiadura. ilargia ez zela mugitzen kontsideratuz.

datuak: G=6,67 10-11 Nm2/kg2 . Ilargiaren masa: Ml= 7,35 1022 Kg. Ilargiaren erradioa: Rl=1740 km

5. Hispasat 1C satelite artifiziala aurtengo otsailean (1999) jaurtiki zuten Cabo Cañaveraldik. jaurtiketa-gune hau 28º N latitudean dago, eta bertatik satelitea orbita geoestazionarioan jarrri zuten. Honako hauek kalkulatu behar dira: a) Jaurtiketa gunearen abiadura, lurraren errotazioak sorturikoa. b) sateliteak jaurtiketa baino lehen zuen energia mekanikoa. c) beren orbitan duen energia mekanikoa. Orbitaren erradioa.

Datuak: masa= 1300 kg . lurraren erradioa: RL=6370 km

6. Esne-bidea kiribil eitea duen izar-multzoa da, zeinean izarrak hainbat adar kiribiletatik zehar kokatzen baitira, denak plano berean, gutxi gorabehera. Izar horiek galaxiaren zentroaren inguruan biraka ari dira; zentroan zulo beltz bat dagoela uste dugu. Eguzki Sistema 26000 argi urtera dago zentro horretatik, eta errotazio periodoa 200 miloi urtekoa da. Kalkulatu:



a) Higidura horretan Eguzkiak jasaten duen azelerazioa (moduloa, norabiea eta noranzkoa)

b) Zulo beltzaren masa, zuloa puntuala dela suposatuz eta gainerako izarren erakarpen grabitatorioa ale batera uzteko modukoa dela suposatuz. Emaitza eguzkiaren masarekin alderatu.

Datuak: 1 argi-urte= 9,46 1015m. Eguzkiaren masa= 1,98 1030kg. G=6,67 10-11Nm2/kg2; 1 urte=365,3 egun

7. Lurraren orbita eguzkiarekiko zirkularra da gutxigorabera, bere erradioa R=1,49 1011m.ko izanik. G.ren balioa 6,67 10-11Nm2/kg2

.koa dela jakinik, kalkulatu Eguzkiaren masa.

8. Meteosat sateliteak Lurrari buelta ematen dio orbita geoestazionario batean:

Kalkulatu:a) orbitaren erradioab) grabitateak zenbat balio duen orbitako puntuetanDatuak: g0=9,81 m/s2 RL=6370 Km

9. Demagun Ilargiak Lurraren inguruan biratzean egiten duen orbitak lurraren erradioa den halako 60 erradioko zirkunferentzia osatzen duela. Kalkulatu ilargiak Lurraren inguruan egiten duen biraketa periodoa (eman emaitza egunetan)

Datuak: g0=9,81 m/s2 RL=6370 Km

10. Espazioko zarama Lurraren inguruan orbita egiten duten satelite artifizialen hondakinek, piezek eta tresnek osatzen dute, eta arriskutsua da misio espazialentzat, talkak gerta daitezkelako eta euren ondorioz kalteak sor daitezkeelako. Espazioko zaramarik gehien daukan orbiteetako bat Lurraren gainazaletik 2000 km-ra dagoen orbita da. Orbitak zirkularrak direla suposatuz, kalkulatu:

a) espazioko zaramaren zatien abiadura orbita honetanb) orbita bat osatzeko behar duten denboraDatuak: g0=9,81 m/s2 RL=6370 Km

11. Lurrak orbita egiten du Eguzkiaren inguruan. Orbita hori zirkulartzat jo dezakegu, erradioa 150.000 milioi metro delarik. Kalkulatu eguzkiaren masa.

Datuak: G=6,67 10-11 Nm2 /kg2 ; 1 urte=365,26 egun; ez hartu aintzat gainerako planeten eragina.

12. Yuri Gagarin kosmonauta sobietarra izan zen Lurraren inguruan orbita bat egin zuen lehen gizakia, 1961. urtean,



orbita bat egin baitzuen 96 minututan. Demagun orbita hura zirkunferentzia bat izan zela. Kalkulatu: a) Orbitak Lurraren gainazaletik hartu zuen altuera. b) espazio-ontziak orbita hartan harrapatu zuen abiadura.

Datuak: g0 = 9,81 m/s2 RT = 6370 km

13. Merkurio planetatik Eguzkirainoko distantzia 70,5 milioi kilometro da bere afelioian, eta 46,5 milioi kilometro da bere perihelioan. Baldin badakigu 59,7 km/s dela bere abiadura perihelioan, kalkulatu bere abiadura afelioan.

14. Ilargia biraka dabil Lurraren inguruan, orbita ia zirkularra eginez. Kalkulatu Ilargiaren periodoa Lurraren inguruan egiten duen higiduran, jakinik orbitaren erradio dela Lurraren erradioa den halako 60,2 (eman emaitza egunetan)

Datuak: : g0 = 9,81 m/s2 RT = 6370 km

15. 2005eko urtarrilean, Huygens zunda Titanen, Saturnoko ilargian, pausatu zen. Zundak lortutatko datuen artean grabitatearen balioa dago, zeina 1, 405 m/s2 baita. Zundak bidalitako argazkiei esker badakigu Titanek forma esferikoa duela, eta zorrotz zehaztu ahal izan zen, baita ere, 2575 km-ko erradioa duela. Kalkulatu bere dentsitatearen balioa.

Datua: G=6,67 10-11 Nm2/kg2

16. Ilargiaren erradioa Lurrarena halako 0,27 da eta, Ilargiaren azaleko grabitatea lurrazalekoaren seiren da. Baldin badakigu Lurraren eta Ilargiaren arteko distantzia 60 aldiz dela Lurraren erradioa, zehaztu Lurraren eta Ilargiaren arteko zuzenean dagoen puntu baten posizioa, zeinetan grabitatea nulua baita, bi gorputz horien elkarrekiko eraginagatik. Datuak: Lurraren erradioa RL=6370 km

17. Marteren bira-periodoa, Eguzkiaren inguruan, 687 egunukoa da. Jakinda Lurretik Eguzkira dagoen distantzia 150 milioi kilometro dela, kalkulatu Eguzkitik Martera dagoen distantzia.

18. Planeta esferiko baten erradioa 3000km da, eta bere azalean, grabitatearen azelerazioa 6 m/s2 da.

a) Zein da bere batez besteko dentsitatea?b) Zein da planetaren azalean dagoen objektu baten ihes-

abiadura?Datua: G=6,67 10-11 Nm2/kg2.



19. 1 Tm-ko telekomunikazio-satelite batek lurraren inguruko orbita zirkularrak egiten ditu, 90 minutuko periodoarekin. Kalkulatu:

a) Satelitea lurraren azaletik zer garaieratan dagoen. b) Bere energia mekanikoa, guztira (energia zinetikoa gehi

potentziala)Datuak: Lurrraren erradioa, RT =6400 km, Lurraren masa MT = 5,96 1024 Kg, G=6,67 10-11 Nm2/kg2.

20.

21.

EMAITZAK

1.- a) 6,44 m/s2

b) 7100 m/sc) 6964,6 s

2.- a) 1,275 107m b) 4 ordu c) 15,7 109 J

3.- d=5490 kg/m3

4.- a) 1620 m/s b) 7186,8 s

5.- a) 463,24 m/s b) –8,12 1010 J c) –6,14 109 J

6.- a) 2,4 10-10m/s2

b) 2,22 1041 kg



7.- a) 1,96 1030 kg

8.- a) 42250474,3 m b) 0,22 m/s2

9.- 27,18 egun

10.- a) 6903 m/s b) 7618 s

11.- 2,01 1030kg

12.- h=576,6 km v=7577 m/s

13.- vA= 39,38 km/s

14.- 27,3 egun

15.- d=1953 kg/m3

16.- R=3,44 108m 17.- RME= 1,15 1010 km

FORMULEN LABURPENA

FORMULA APLIKAZIOAKepler.en 2.legea: Planeta batek eguzkiarekiko duen

batezbesteko distantzia eta bere higiduraren periodoa erlazionatzen du. Bere satelite baten orbita eta periodoa ezaguna duten planeten masa.

Partikula baten momentu angeluarra:

Momentu angeluarra, aldiune bakoitzean partikularen posizio-bektorea eta momentu linealaren arteko biderkadura bektoriala.

Momentu angeluarraren kontserbazio printzipioa:

Biratzen ari den partikula baten momentu angeluarraren deribatua denborarekiko, partikulan eragiten ari den indarraren momentua da: Eta hau zero bada (indar-zentralak); orduan kontserbatzen da.

Grabitazio unibertsalaren legea: Bi masen arteko erakarpen indarra

Indar batek egiten duen lana: Aldakorra izan daitekeen indar



batek desplazamendu batean egiten duen lana

Indar bizien teorema: Indar erresultante baten lana eta energi zinetikoaren aldaketa erlazionatzen du

Indar kontserbakorrak egiten duten lana:

Indar kontserbakorrek egiten dute lana eta energi potentzialaren aldaketa sinua aldatuta erlazionatzen du.

Energi mekanikoaren kontserbazioa :

eta orduan . Eta denean:

Indar ezkontserbakorrik ez badago, orduan energi mekanikoa kontserbatzen da.

Eremu grabitatorioa: Masa batek bere ingurunean sortzen duen eremu grabitatorioa zehazten du

Energia potentzial grabitatorioa: Bi masen energia potentziala kalkulatzeko balio du.

Potentzial grabitatorioa: Masa batek sortzen duen potentzial grabitatorioa kalkulatzen du.

Indar grabitatorioen lana: Indar grabitatorioek egin duten lana eta potentzial diferentzi grabitatorioa erlazionatzen du.

Indar eta eremu grabitatorioa: Indar eta eremu grabitatorioa erlazionatzen du.

Energia potentziala eta potentzial grabitatorioa:

Energia potentziala eta potentzial grabitatorioaren arteko erlazioa

Lurraren eremu grabitatorioa: Lurra kanpoko puntu baten eremu grabitatorioa ematen du

Gorputz baten pisua: Gorputz baten pisua eta eremu grabitatorioaren intentsitatea erlazionatzen ditu.

Grabitatearen aldaketa altuerarekin:

Lurgainazaletik altuera batetara jarritako gorputz baten pisua nola aldatzen den ikus daiteke

Grabitatearen aldaketa Lurraren gainazalarekiko h



sakontasunarekin: sakontasunean dagoen puntu baten eremu grabitatorioa zehazteko

Energia potentzial grabitatorioa: Eremu grabitatorioan dagoen gorputz baten energia potentzial grabitatorioa zehazteko.

Lurraren potentzial grabitatorioa: Lurra kanpoko puntu baten potentzial grabitatorioa zehazteko.

Energia potentziala aldaketa:

eta h<<RL orduan

Energia potentziala aldaketa lurreko gainazaletik gertu zehazten du

Abiadura orbitala: Orbita zirkularra deskribatzen duen satelite baten abiadura zehazten du

Biraketa periodoa: Orbita zirkularrean bira bat emateko behar den denbora zehazten da.

Ihes abiadura: Eremu grabitatoriotik ihes egiteko gorputz batek lortu behar duen abiadura zehazten du.

Translazio energia mekanikoa: Orbita zirkularra daraman satelite baten energia mekanikoa zehazten du.

1. GAIA. GRABITATE EREMUA

- Astronomia: Antzinatik Kepler.eraino izandako bilakaera historikoa- Kepler.en legeak.- Errotazioaren dinamika: Indarren momentua puntu batekiko- Partikularen momentu angeluarra. Kontserbazio teorema- Grabitate unibertsalaren legea. Ondorioak(Kepler.en 3.legea

ondorioztatu)- Eremu kontzeptua. Eremu kontserbakorra- Partikula batek edo batzuk sortutako grabitate eremua. Indar

lerroak- Grabitate energia potentziala. Grabitate potentziala- Lurreko grabitate eremua. Energia potentziala lurreko gainazaletik

gertu- Planeta eta sateliteen higidura eta ihes abiadura.



ARIKETAK- Grabitate unibertsalaren legearen ondorioak: zeruko gorpuen

masaren zehaztapena, eremuaren intentsitatea planetetan, Kepler.en 3.legearen aplikazioa.

- Planetek afelio eta perihelioan duten abiaduren erlazioa.- Masa batzuk sortutako eremuaren intentsitatearen zehaztapena- Masa multzo batek sortutako potentzialaren zehaztapena- Grabitate eremuaren intentsitatearen aldaketa altuerarekin- Baldintza energetikoen aplikazioa: ihes abiadura, jaurtigaiek

lortutako altuera, meteoritoen erorketa- Sateliteen higidura; satelite geogeldikorrak.


1 gaia grabitazioa

Documents

Transcript of 1 gaia grabitazioa