1 Guía Técnicas de Integración
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Guıa de Ejercicios - Integral indefinida
1. Calcule las siguientes integrales indefinidas mediante el metodo de sustitucion.
1)
∫
x(x2 − 1)99 dx
2)
∫
x2
√4 + x3
dx
3)
∫
dx
(2x+ 1)2dx
4)
∫
(x+ 3)
(x2 + 6x)2dx
5)
∫
x3(1− x2)3/2 dx
6)
∫
cos4(x) sen(x) dx
7)
∫
sec(x) tan(x)√
1 + sec(x) dx
8)
∫
ax+ b√ax2 + 2bx+ c
dx
9)
∫
3
√
(x3 + 1) x5 dx
10)
∫
(ln(x))2
xdx
2. Use integracion por partes para calcular las siguientes integrales.
1)
∫
x sen x cos x dx
2)
∫
x sec2 x dx
3)
∫
t2 ln t dt
4)
∫
t3 et dt
5)
∫
e−x cos(3x) dx
6)
∫
y cosh(ay) dy
7)
∫
x3 ex2
dx
8)
∫
cos(x) ln(sen(x)) dx
9)
∫
x arctan(x) dx
10)
∫
x5x dx
11)
∫
sen(ln(x)) dx
12)
∫
(2x+ 3) ex dx
13)
∫
ln(x) dx
14)
∫
x5 cos(x3) dx
15)
∫
arctan(x) dx
3. Use integracion por partes para demostrar la formula de reduccion∫
(ln x)ndx = x(
ln x)n − n
∫
(
ln x)n−1
dx
y usela para calcular
∫
(ln x)7dx
4. Obtenga una formula de reduccion para
In =
∫
(sen x)nexdx y Jn =
∫
(cos x)nexdx
1
5. Use integracion por partes para demostrar la formula de reduccion
∫
xnexdx = xnex − n
∫
xn−1exdx
y usela para calcular
∫
x5exdx
6. Demuestre la formula de reduccion∫
cosm x senn xdx = −cosm+1 x senn−1 x
m+ n+
n− 1
m+ n
∫
cosm x senn−1 xdx
y usela para calcular
∫
sen4 x cos2 xdx
7. Pruebe que (n− 1)
∫
tann xdx = tann−1 x− (n− 1)
∫
tann−2 xdx
8. Sea I =
∫
ex cos x dx y J =
∫
ex sen x dx. Use integracion por partes para probar
que I + J = ex sen x y que I − J = ex cos x
9. Demuestre que
∫
cosn xdx =cosn−1 x sen x
n+
n− 1
n
∫
cosn−2 xdx
10. Determine los valores de las constantes a y b de modo que
sen x+ cos x = a sen(x+ b)
y use este resultado para calcular
∫
1
sen x+ cosxdx
11. Calcule las siguientes integrales de funciones trigonometricas.
1)
∫
sen3 x cos4 x dx
2)
∫
sen3 x dx
3)
∫
x sen3(x2) dx
4)
∫
sen3 x√cos x dx
5)
∫
cos2 x tan3 x dx
6)
∫
cot5 x sen2 x dx
7)
∫
1
1− sen xdx
8)
∫
1− sen x
cos xdx
9)
∫
cot4 x csc4 x dx
10)
∫
tan4 x dx
11)
∫
sen(5x) sen(2x) dx
12)
∫
tan3 x sec3 x dx
2
12. Calcule las siguientes integrales usando sustitucion trigonometrica.
1)
∫
x√4− x2 dx
2)
∫ √1− 4x2 dx
3)
∫
1
x3√x2 − 16
dx
4)
∫
√x2 − a2
x4dx
5)
∫
√9x2 − 4
xdx
6)
∫
1
x2√16x2 − 9
dx
7)
∫
x2
(a2 − x2)3/2dx
8)
∫
x2
√5− x2
dx
9)
∫
x
(x2 + 4)5/2dx
10)
∫
5x√1 + x2 dx
11)
∫
1
(4x2 − 25)3/2dx
12)
∫ √2x− x2 dx
13)
∫
1√x2 + 4x+ 8
dx
14)
∫
1√9x2 + 6x− 8
dx
15)
∫ √e2t −9 dt
13. Use descomposicion en fracciones parciales para calcular las siguientes integrales.
1)
∫
x
x− 5dx
2)
∫
1
(x+ a)(x+ b)dx
3)
∫
6x− 5
2x+ 3dx
4)
∫
x2 + 1
x2 − xdx
5)
∫
5x2 + 3x− 2
x3 + 2x2dx
6)
∫
1
x(x+ 1)(2x+ 3)dx
7)
∫
1
x4 − x2dx
8)
∫
x2
(x− 3)(x+ 2)2dx
9)
∫
x4
x4 − 1dx
14. Utilice la sustitucion de la tangente del angulo medio para calcular las siguientesintegrales.
1)
∫
cos x
sen2 x+ sen xdx
2)
∫
1
3− 5 sen xdx
3)
∫
1
2 sen x+ sen(2x)dx
4)
∫
1
3 sen x+ 4 cos xdx
15. Calcule las siguientes integrales indefinidas.
1)
∫ √2x+ 3 dx
2)
∫
1
3x+ 5dx
3)
∫
1
(2x− 7)2dx
4)
∫
x+ 1
x2 + 2x+ 3dx
5)
∫
sen x
2 + cos xdx
6)
∫
ex
ex+1dx
7)
∫
x√1− 4x2
dx
8)
∫
x1/3√
x4/3 − 1 dx
9)
∫
x
(3x2 + 4)3dx
10)
∫
x2√x3 + 5 dx
11)
∫
x2
√x3 + 5
dx
12)
∫
x
4x2 + 1dx
3
13)
∫
e2x dx
14)
∫
sen x ecosx dx
15)
∫
1
e3xdx
16)
∫
e√
x+1
√x+ 1
dx
17)
∫
cos2 x sen x dx
18)
∫
cosx
sen3 xdx
19)
∫
cot3 x csc2 x dx
20)
∫
e2x +e−2x
e2x − e−2xdx
21)
∫
sen(2x) cos2(2x) dx
22)
∫
(1 + cos θ)3 sen θ dθ
23)
∫
t e−t2 dx
24)
∫
cos x
1 + sen xdx
25)
∫
tan(3x) sec2(3x) dx
26)
∫
sec3 x tan x dx
27)
∫
cos x
sen xdx
28)
∫
sen θ√1 + cos θ
dθ
29)
∫
sec2(3x) etan(3x) dx
30)
∫
cos(2t)√
4− sen(2t) dt
31)
∫
1 + cos(2x)
sen2(2x)dx
32)
∫
sen2(2x)
1 + cos(2x)dx
33)
∫
csc2(2t)√
1 + cot(2t)dt
34)
∫
e3x dx
35)
∫
earctan(2t)
1 + 4t2dt
36)
∫
x e−x2
dx
37)
∫
3x dx
38)
∫
102x dx
39)
∫
x ln x dx
40)
∫
xn ln(ax) dx (n 6= −1),
41)
∫
x arctan x dx
42)
∫
arcsin(ax) dx
43)
∫
x arcsin(ax) dx
44)
∫
x2 cos(ax) dx
45)
∫
1
x√x+ 1
dx
46)
∫
1
x− 3√xdx
47)
∫ √x+ 1√x− 1
dx
48)
∫
1√
1 +√xdx
49)
∫
√
1− x
xdx
50)
∫
e2x
e2x +3 ex+2dx
51)
∫
1√x+ 4
√xdx
52)
∫
1
sen x+ cos x− 1dx
53)
∫
2x3 + 4x2 + 1
x2(x2 + 1)dx
54)
∫
1
x3√x2 − 25
dx
55)
∫
x2 + 1
x2 − xdx
56)
∫
x3
9x2 + 49dx
57)
∫
1
x2√x2 + 4
dx
58)
∫
1
(16− x2)5/2dx
59)
∫
1√x2 − 4
dx
60)
∫ √9− 4x2 dx
61)
∫
√9− x2
x2dx
62)
∫
1
x4√x2 − 3
dx
63)
∫
cos x
1 + cos xdx
64)
∫
3
(2x− 1)3dx
65)
∫
5x+ 3
x2 + 2x− 3dx
66)
∫
ln(a2 + x2) dx
67)
∫
x2 + 2x+ 3
(x− 1)(x+ 1)2dx
68)
∫
x2 arctan(x) dx
69)
∫
1
(x2 + 1)2dx
70)
∫
eax sen(bx) dx
4
Respuestas a algunos ejercicios:
1. 1)1
200(x2 − 1)100 + C
3) − 1
2(2x+ 1)+ C
5)1
7(1− x2)7/2 − 1
5(1− x2)5/2 + C
7)2
3(1 + sec(x))3/2 + C
9)1
7(x3 + 1)7/3 − 1
4(x3 + 1)4/3 + C
2. 1)1
8(sen(2x)− 2x cos(2x)) + C
3)1
9(t3(3 ln(t)− 1)) + C
5)1
10(e−x(3 sen(3x)− cos(3x))) + C
7)1
2(ex
2
(x2 − 1)) + C
9) x− arctan x+ C
11)1
2x(sen(ln(x))− cos(ln(x))) + C
13) x(ln(x)− 1) + C
15) x arctan x− 1
2ln(1 + x2) + C
11. 1)1
7cos7 x− 1
5cos5 x+ C
3) −1
2cos(x2) +
1
6cos3(x2) + C
5)1
2cos2 x− ln | cos x|+ C
7) tan x+ sec x+ C
9) −1
7cot7(x)− 1
5cot5(x) + C
11)1
6sen(3x)− 1
14sen(7x) + C
13)sen(2x)
2+ C
12. 1) −1
3(4− x2)3/2 + C
3)1
128
(
arc cos
(
4
x
)
+4√x2 − 16
x2
)
+
C
5)√9x2 − 4− 2 arc cos
(
2
3x
)
+ C
7)x
a2 − x2− arcsin
(x
a
)
+ C
9)−1
3√
(x2 + 4)3+ C
11)−x
25√4x2 − 25
+ C
13) ln
(√x2 + 4x+ 8 + (x+ 2)
2
)
+ C
15)√e2t −9− 3 arc cos
(
3
et
)
+ C
13. 1) x+ 5 ln | x− 5|+ C
3) 3x− 7 ln | 2x+ 3|+ C
5) 2 ln |x|+ 1
x+ 3 ln | x+ 2|+ C
7)1
x+
1
2ln
∣
∣
∣
∣
x− 1
x+ 1
∣
∣
∣
∣
+ C
9) x+1
4ln
∣
∣
∣
∣
x− 1
x+ 1
∣
∣
∣
∣
− 1
2arctan x+ C
5
14. 1) ln
∣
∣
∣
∣
sen x
1 + sen x
∣
∣
∣
∣
+ C 3)1
4ln∣
∣
∣tan
x
2
∣
∣
∣+
1
8tan2
(x
2
)
+ C
15. 1)1
3(2x+ 3)3/2 + C
3)−1
4x− 14+ C
5) − ln |2 + cos x|+ C
7) −1
4
√1− 4x2 + C
9)−1
12(3x2 + 4)2+ C
11)2
3(x3 + 5)1/2 + C
13)1
2e2x+C
15) −1
3e−3x+C
17) −1
3cos3(x) + C
19) −1
4cot4 x+ C
21) −1
6cos3(2x) + C
23) −1
2e−t2 +C
25)1
6tan2(3x) + C
27) ln | sen(x)|+ C
29)1
3etan(3x)+C
31) −1
2(csc(2x) + cot(2x)) + C
33) −√
1 + cot(2t) + C
35)1
2earctan(2t) +C
37)3x
ln(3)+ C
39)x2
2ln x− x2
4+ C
41)x2 + 1
2arctan(x)− x
2+ C
43)1
a2sen(ax)− x
acos(ax) + C
45) ln
∣
∣
∣
∣
√x+ 1− 1√x+ 1− 1
∣
∣
∣
∣
+ C
47) x+ 4√x+ 4 ln |
√x− 1|+ C
49)√x− x2 − arctan
√
1− x
x+ C
51) 2√x− 4 4
√x+ 4 ln | 4
√x+ 1|+ C
53) −1
x+ ln(x2 + 1) + 3 arctan(x) + C
55) x− ln |x|+ 2 ln |x+ 1|+ C
57) −√x2 + 4
4x+ C
59) ln
∣
∣
∣
∣
x
2+
√x2 − 4
2
∣
∣
∣
∣
+ C
61) −√9− x2
x− arcsin
(x
3
)
+ C
63) − tan(x
2
)
+ C
65) 3 ln |x+ 3|+ 2 ln |x− 1|+ C
67)3
2ln |x−1|− 1
2ln |x+1|+ 1
x+ 1+C
69)x
2(x2 + 1)+
1
2arctan x+ C
6