1. Integral Indefinida

Temas de Calculo Integral Integral Indefinida

Ing. Victor Yujra Ccuno 1

INTEGRAL INDEFINIDA

1. INTRODUCCIONLa derivacin consiste en hallar la derivada de una funcin. La integral es la operacin inversa,razn por la cual algunos autores lo denominan la antiderivada.En esta seccin de las matemticas, se trata de encontrar funciones a partir de derivadas defunciones. Es decir, dada la derivada de una funcin ( )xf , se buscan las funciones o funcin de lacual es derivada dicha funcin.

Por ejemplo:Si tenemos que la funcin ( ) 221 += xxf es continua en todos los reales, la derivada ser

( ) xxf 21 = .Si tenemos que la funcin ( ) 222 = xxf es continua en todos los reales, la derivada ser

( ) xxf 22 = .Ntese que las derivadas de ambas funciones (diferentes) son iguales. El proceso inverso es que meden la derivada. Si me dan las derivadas de ambas funciones puedo encontrar las funciones origen, aestas se les llama funcin primitiva. Ntese adems que ambas funciones ( ) ( )( )xfxf 21 , formanuna familia de funciones.Aqu se cumple que ( ) ( )=+ dxxfCxF . . Esta es la definicin matemtica de la integral indefinida.Adems: ( ) ( )xf

dxxdF

xF == )( (la derivada de la funcin primitiva es la funcin integrando)

A ( )xf se les conoce como integrando o funcin bajo el signo de integral o funcin subintegral,( )dxxf . es el elemento de integracin o expresin subintegral, ( )xF es la funcin primitiva o parte

funcional de la integral indefinida, C es una constante arbitraria, y es el signo de integral.Para hallar la integral indefinida de cualquier funcin, es suficiente hallar una sola funcin primitivade ella y aadir a esta una constante arbitraria C .Si no se expresa ninguna restriccin a un intervalo, entonces se verifica que la formula deintegracin esta expresada en el dominio de la funcin integrando ( )xf .

2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) = dxxgdxxfdxxgxf ...2. ( ) ( ) = dxxfCdxxfC ...3. REGLAS DE INTEGRACIN1. Si ( ) ( ) += CxFdxxf . entonces se cumple que ( ) ( ) += CaxFadxaxf 1.2. Si ( ) ( ) += CxFdxxf . entonces se cumple que ( ) ( ) CbxFdxbxf ++=+ .3. Si ( ) ( ) += CxFdxxf . entonces se cumple que ( ) ( ) ++=+ CbaxFadxbaxf 1.



4. TABLA DE INTEGRALESAlgunas de las ms importantes son las siguientes:

1. 11

.

1

++

=

+ nparaCnxdxxn

n

2. CxLnx

dx+=

3. Cxdxsenx += cos.4. += Csenxdxx.cos5. + +=++= C

xtgLnCtgxxLndxx

42sec.sec

6. CxcecxLnCxLndxecx +=+= tgcos2tg.cos7. Ctgxdxx += 2sec8. += Cctgxdxxec 2cos9. CxLndxtgx += cos.10. CsenxLndxctgx += .11. Cxsecdxcosecxsecx +=12. Cecxcosdxcotgxcosecx +=13. Cedxe xx += .14. += CaLnadxa

xx.

15. Ca

xarcsen

axa

xdxxa +

+= 22

22222

16. CaxxLnaaxxdxax ++= 2222222 2217. CaxxLnaaxxdxax +++++=+ 2222222 2218. ( ) C

3axdxaxx

23

2222 +

=19. ( ) CaxxnL

8a

8axxa

4axdxaxx 22

222223

22222 ++

=20. ( ) ( ) C

3axa

5axdxaxx

23

22225

22223 +

=



21. 0,sec122

>+=

aCax

arcaaxx

dx

22. Cxa

ax

axx

xd2

22

222+

=

23. C

a

xarcsen

a21

xa2ax

axx

dx322

22

223++

=

24. +=+ Caxaxa dx arctg.12225. +

+=

Cxa

xaLnaxa

dx21

22

26. +=

Ca

x

xa

dxarcsen

22

27. Caxax

xdx 2222

+=

28. CaxxLn

2a

2axx

ax

dxx 2222222

2

+++

=

29. ( ) Caxa

3ax

ax

dxx 2222222

3

++

=

30. ++= CaxxLnax

dx 2222

31. ++= Cax axLnaax dx 212232. CxxxLndxxLn +=33. ( ) ( )( ) Ca1n

baxdxbax1n

n ++

+=+

+34. ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) Ca1n

bxaba1nbxab2

a3nbxa

xdbxax 31n2

3

2n

3

3nn2 +

+

++

+

+

+

+=+

+++35. ( ) ( )( )

( )( ) Ca1n

bxaba2n

bxaxdbxax 2

1n

2

2nn +

+

+

+

+=+

++

36. ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

++

+++

+

+

+++

+++

+

+++

+++

+

=+

+++

+

++

dxbaxxb1n2nm

b1nbxax

dxbaxxa1nm

nba1nm

bxax

xdbxax1nm

nb1nmbxax

dxbaxx

1nm1n1m

n1m1nm

1nmn1m

nm

37. ( ) ( ) ( ) CbaxLna

ba

bxab3a2

bxab3a3

bxabax

dxx4

3

4

2

4

2

4

33

+++

++

+=

+



38. CbaxLna

1bax

dx++=

+39. CbaxLn

a

ba

x

baxxdx

2 ++=+

Ejemplos:1. Resolver + + dxx xx 2 1532

Solucin:

Operamos: === dxdxdxIx

x

x

x

xx

56

253

56

.

253

5.53.3.2

2

Aplicamos la formula 14) += CaLnadxax

x. al problema donde

56

=a ; entonces:

CCLn

dxx

x

x

+

=+

=

5ln6ln 156253

56

56

253

56

253

2. Resolver dxx cosSolucin:Segn la frmula 4) : += Csenxdxx.cosPROBLEMAS:Encontrar las integrales de las siguientes funciones, aplicando directamente la formula que lecorresponde:

1. ( )5

2xxf =

2. ( )x

xf 1=

3. ( ) ( )23 xxf =4. ( ) 3 5xxf =

5. ( ) 211x

xf+

=

6. ( ) senxx

xf += 223

7. ( ) 32 23 += xxxf

Resolver las siguientes integrales usando las formulas de integracin:

1. dxx .2152. ( ) + dxx .3 23. du

u

uu.

3 2 4. dx

x

xx

.

325

5. ( )( ) dxxxx m .32 2226. ( ) dxx .126 23



7. ( ) + dxxx .658 21238. ( ) ( ) +++ dxxxxx .49.446 2121239. ( ) dxx .1510 12

10. dxx .4 211. + dxxx .32 2

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Hallar una funcin cuya tangente tenga la pendiente 5231 2 ++ xx para cada valor de x, y cuya

grfica pasa por el punto ( )91,1Solucin:

La recta tangente a una curva )(xf , tiene pendiente dado por 5231 2 ++ xx y esta es (segn el

clculo diferencial) la derivada de una funcin )(xf , es decir: [ ] 5231)( 2 ++= xx

dxxfd

; despejando

tendremos que [ ] dxxxxfd )5231()( 2 ++= .

Integrando ambos miembros: [ ] ++= dxxxxfd )5231()( 2[ ] Cxxxdxxxxfxfd +++=++== 59)5231()()( 2

32

.

Como la funcin pasa por el punto ( )91,1 , entonces evaluamos la funcin para este punto ydeterminamos el valor de la constante C .

69151

91

91)(

1==+++=

=

CCxfx

Finalmente la funcin ser: 659

)( 23

++= xxx

xf

2. Hallar una funcin cuya tangente tenga la pendiente 2x para cada valor de x, y cuya grficapasa por el punto ( )5,3

3. El coeficiente de la tangente en cada punto de una curva es igual a 2x. Hllese la ecuacin deesa curva sabiendo que pasa por el punto (2,7)

4. Hllese la ecuacin de la curva que pasa por el punto (1,1) si el coeficiente angular de latangente en cualquiera de sus puntos es igual a 13 x

5. La velocidad de un cuerpo despus de t segundos de haber comenzado el movimiento es iguala atVo + . Determnese el espacio recorrido en t segundos.

6. La poblacin de aves de cierta granja crece a razn de ( ) ( )28.0162.3 ttr += aves por ao; dondet es el tiempo en aos desde 1980. Si la poblacin de aves de esta granja en 1984 era de 126aves. Cuantas aves haba en 1,995?

7. Una vaca que parte del reposo se mueve a lo largo de un camino recto de manera que suvelocidad en el instante t segundos es 23sen2 tt + segmt / . Determinar su posicin en elinstante =t seg.



8. En cada punto de una curva cuya ecuacin es ( ) 26; 2 == xyDxFy x y en el punto (1,2) lapendiente de la curva es 8. Hallar la ecuacin de la curva.

Solucin:

Se sabe que dxxdxdydx

dxdy

dxdyDx )26()(26)(2 === . Integrando obtenemos:

12 23)26( Cxxdxx

dxdy

+== . Segn dato: 821

=

=

=

yxdx

dy. Es decir: 7)1(2)1(38 112 =+= CC

723 2 += xxdxdy

. Si despejamos en esta ecuacin, obtenemos: dxxxdy )723( 2 += ,integramos y obtenemos: 2

232 7)723( Cxxxydxxxdy ++=+= . Como estamostrabajando en el punto (1,2): 5)1(7)1()1(2 2223 =++= CC .Finalmente la funcin viene dado por: 5723 += xxxy

9. Hallar la funcin ( )xf cuya grfica pasa por el punto ( )1,0 y tal que la pendiente de su rectatangente en el punto ( )( )xfx, es xex 23 2 + .

10. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 19.6 segmt / . Despusde cuanto tiempo retorna a las manos del lanzador? Considere la aceleracin igual a 9.8

2/ segmt .11. Un objeto se esta moviendo de tal forma que su velocidad dentro de t minutos ser

3623 tt ++ m/min.a) Qu distancia recorre el objeto durante el primer minuto?b) Qu distancia recorre el objeto durante el segundo minuto?

12. Un objeto se mueve de modo que la velocidad despus de t minutos es 2341)( tttv ++= metrospor minuto. Qu distancia recorre durante el tercer minuto?

Solucin:

Se sabe que 2341)( ttdtds

tv ++== siendo s el espacio que recorre el objeto y t el tiempo quedemora el objeto en recorrer el espacio s. Haciendo un simple despeje, encontramos que:

dtttds )341( 2++= . Integramos en ambos miembros:Cttttsdtttds +++=++= 322 2)()341( . Del enunciado podemos asumir que el objeto

estaba en reposo en el momento cuando empez a moverse. Es decir: 0)0(0 == st .Reemplazando en )(ts : 0)0()0(2)0()0( =+++= Cs . Luego 0=CFinalmente la ecuacin del espacio en funcin del tiempo es: 322)( tttts ++=Para mst 48)3()3(23)3(3 32 =++==

13. El valor de reventa de cierta maquina industrial disminuye durante un periodo de 10 aos a unarazn que cambia con el tiempo. Cuando la maquina tiene x aos la razn a la cual estacambiando su valor es de ( )10220 x dlares por ao.a) Cul es el significado del hecho de que la razn ( )10220 x es negativa para 100 xb) Si la maquina vala originalmente 12,000 dlares. Cunto valdr despus de 10 aos?

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