1. INTRODUCCIÓN: LA LUZ

ÓPTICA CRISTALINA Mario Vendrell

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1. INTRODUCCIÓN: LA LUZ

1.1. La Óptica a través de la Historia

Muy probablemente, el nacimiento de la Óptica coincide con el

momento en que el hombre trata de hallar una explicación al fenómeno

de la visión como facultad de relacionarse con el mundo exterior. La

ubicación temporal de este momento, como ocurre con muchos de los

hechos que constituyen la historia de la ciencia, no está claro, y

posiblemente varía de unas civilizaciones a otras. Sea cual sea el

momento histórico, desde los tiempos más antiguos el hombre percibió

que el fenómeno de la visión requería “algo” que enlazara el objeto

observado con los ojos del observador. La naturaleza de este “algo” ha

sido motivo de controversia casi desde el principio de la historia hasta

nuestros días.

En el entorno de la Grecia antigua, cuna de gran parte de nuestro

acerbo cultural, la escuela atomística (s. V aJC) sostenía que los objetos

emitían “imágenes” que llegaban al alma del observador a través de los

ojos. Por el contrario, la escuela pitagórica, prácticamente

contemporánea de la anterior, mantenía que eran los ojos los que

emitían una especie de fuego que, a modo de tentáculos, exploraban el

objeto.

Años más tarde, en el mismo entorno cultural, Euclides da un

nuevo rumbo a las ideas ópticas introduciendo conceptos geométricos.

Así, en los postulados de su “Óptica” aparece por primera vez el

concepto de “rayo” (aunque emitido por el ojo), y con él se establece la

propagación rectilínea del mismo y las leyes que controlan la reflexión.

Desde entonces hasta el siglo XI tan sólo son de destacar los

trabajos de Galeno (130-201 aD) sobre la anatomía del ojo, llegados a


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nuestros días a través de traducciones árabes. Fue precisamente la

cultura islámica la que dio, como a tantos otros, un notable impulso a

los conocimientos ópticos. En el s. XI es Alhacen de Basora, quien

sugiere que la luz procede de los objetos, y que éstos actúan reflejando

la luz que reciben de una fuente externa. Este físico postula nuevamente

la ley de la reflexión y estudia la formación de imágenes en los espejos.

Entre los siglos XVI y XVII se generalizó el empleo de lentes y

espejos, en paralelo a un amplio desarrollo de la Óptica, que a su vez

redundó en el diseño y construcción de instrumentos progresivamente

más complejos, especialmente tras las conquistas de Keppler y Galileo.

En 1621 Snellius postula la ley de la refracción, que permaneció en el

olvido hasta 1638 cuando Descartes publica su “Óptica”, en la que

establece la ley de la reflexión y de la refracción, suponiendo que la luz

se comporta como un proyectil, aunque de naturaleza desconocida.

La naturaleza de la luz fué abordada por primera vez desde un

punto de vista físico por Newton (1642-1726), que sugirió que la luz

estaba formada por partículas materiales que se propagaban en línea

recta. Casi de modo contemporáneo, Huygens (1629-1695) propuso la

teoría de que la luz era un fenómeno ondulatorio de naturaleza

mecánica, como el sonido, que se propagaba en una especie de fluido

(el éter) que lo llena todo, incluso el espacio intersideral. Sin embargo,

la teoría de Huygens pasó desapercibida frente el enorme peso

científico de Newton.

Mientras tanto, el desarrollo de la óptica geométrica continuó,

apoyada en la teoría corpuscular que estuvo vigente durante más de un

siglo, hasta que ya en el siglo XIX, Young explicó la interferencia de la

luz basándose en la teoría ondulatoria, fenómeno difícilmente

explicable con el modelo corpuscular. Fue el siglo XIX el que vio cómo

la teoría óptica se desarrollaba en toda su amplitud. Hay que destacar

nombres como el de Fresnel, que explicó los fenómenos de la difracción


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de la luz y su propagación y polarización en medios anisótropos, aunque

el hito lo marcó Maxwell en 1864 al proponer que la luz es un

fenómeno ondulatorio, pero de naturaleza electromagnética en vez de

mecánica como proponía Huygens. Esta vino a llenar una serie de

lagunas de la teoría ondulatoria de Huygens, como las propiedades

elásticas de un éter cuya naturaleza nunca tuvo una explicación

convincente, y el empujón final lo dio Hertz en 1887 al confirmar

experimentalmente la teoría de Maxwell.

Sin embargo, el estudio de algunos fenómenos ópticos como el

efecto fotoeléctrico, los espectros atómicos o la radiación de un cuerpo

negro, abrieron huecos en la teoría electromagnética. La teoría cuántica

de Plank (1900) dio explicación a la radiación de un cuerpo negro, y

permitió que posteriormente, Einstein (1905) explicara el efecto

fotoeléctrico.

En este momento apareció nuevamente la antigua contradicción

sobre la naturaleza de la luz, y es que ésta se comporta como una onda

electromagnética en fenómenos macroscópicos, y como corpúsculos

(fotones) en los fenómenos microfísicos (atómicos). Esta contradicción

trató de resolverla de Broglie (1925) admitiendo que el movimiento de

una partícula lleva asociada una onda: había nacido la mecánica

cuántica.

1.2. ¿Corpuscular u ondulatoria?

La naturaleza de la luz ha comportado controversias en el mundo

científico y filosófico desde mediados del siglo XVII hasta el XX. Lo

cual representa la nada desdeñable cifra de 250 años!. En 1675 Newton

propuso la teoría corpuscular en base a la propagación rectilínea de la

luz y poco después, en 1678, Huygens sugirió su naturaleza ondulatoria.

La solución final (un siglo más tarde!) favoreció la teoría ondulatoria


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Figura 1

Figura 2

cuando Fresnel y Young interpretaron la difracción y la interferencia de

la luz, imposibles de explicar con la teoría corpuscular, que sin

embargo permitió el desarrollo de la óptica geométrica.

Analicemos brevemente la reflexión

y la refracción de la luz bajo ambas

hipótesis. La teoría de la emisión de

Newton postula que la reflexión de la luz se

produce igual que la de una bola de billar en

la banda (ángulo de incidencia igual al de

reflexión). Sin embargo, para explicar la

refracción hay que introducir una hipótesis

complementaria: en la Figura 1 un rayo

incidente IO pasa del aire a otro medio más

denso, cada partícula del rayo IO posee una

velocidad vA que puede ser desglosada en

una componente tangencial vT y una normal

vN. Cuando este rayo llega a la interfase que

separa ambos medios, cambia la trayectoria formado un ángulo r con la

normal. Como no hay ninguna razón mecánica que justifique un cambio

de la velocidad tangencial vT, la componente normal v’N de la partícula

en el interior del nuevo medio debe ser mayor que vN en el medio

anterior. Como resultado, la velocidad de la partícula en el medio más

denso sería mayor que en el vacío. Mientras

no fué posible la medición de la velocidad

de la luz en un medio determinado, la teoría

permitía avanzar sin problemas en el

desarrollo de la óptica geométrica.

Consideremos el mismo fenómeno

bajo la óptica de la teoría ondulatoria, la

cual sugiere que una onda progresa desde un

punto emisor S, y que cada punto de un

frente de onda se convierte en emisor de

pequeñas ondas elementales, la envolvente


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Figura 3

de las cuales es el nuevo frente de onda (Figura 2). Todos los puntos de

un frente de onda están en el mismo estado luminoso y el rayo es la

recta que une el punto de emisión S con un punto del frente de onda.

Cuando S está lo suficientemente lejos, o se considera una superficie

infinitamente pequeña del frente de onda, se puede hablar de onda

plana, y su perpendicular es la normal de onda. Esta teoría, así

explicada, presenta algunos problemas, entre otros porqué no se

produce una onda “hacia atrás” envolviendo las ondas elementales de

cada punto de un frente, pero permite dar una interpretación a las leyes

de Descartes sobre reflexión y refracción.

La Figura 3 representa la misma

geometría de reflexión y refracción

anteriormente considerada. La onda plana

asociada al rayo IO es AB, la reflejada es

A1B’ y la refractada A’B’. En el momento

que el punto A alcanza la interfase entre

los dos medios, se emiten ondas

elementales, una hacia el aire y otra hacia

el otro medio. Considerando la reflejada,

cuando el punto B llega a B’, la onda ha

recorrido un radio igual a esta distancia,

de modo que AA1=BB’. De la misma

forma, la onda producida hacia delante ha

alcanzado A’. Para que se cumpla la

geometría prevista en las leyes de

Descartes, el segmento AA1 debe ser mayor que el AA’. Es decir, la luz

se propaga en el medio más denso a menor velocidad que en el aire,

contrariamente a lo previsto al analizar el mismo hecho con la teoría

corpuscular.

La teoría ondulatoria se consolidó cuando Maxwell dedujo la

naturaleza electromagnética de la onda luminosa, aunque ésta no


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permite explicar los procesos que implican transferencia de energía (la

impresión de una placa fotográfica, por ejemplo). Einstein explicó la

fotoemisión mediante la teoría cuántica y reabrió la controversia. Y el

problema de complicó cuando al demostrarse que los electrones pueden

ser difractados por una estructura cristalina y, por tanto se comportan

como ondas. La cuestión es cómo explicar que los electrones se

comportan como ondas, y las ondas como partículas.

De Broglie sugirió que la distribución de los electrones en

orbitales implica números enteros, igual que un fenómeno tan

típicamente ondulatorio como la interferencia de la luz, y que el

comportamiento ondulatorio puede asignarse a la distribución de los

orbitales de los átomos.

La radiación asociada a un electrón se puede establecer a partir

de la ecuación

h mvλ =

donde h es la constante de Plank, l la longitud de onda de la radiación,

m la masa del electrón y v su velocidad. Esta ecuación se parece a la de

la energía de un fotón

hcE

λ=

La primera describe la difracción de una partícula, la segunda, la

naturaleza cuántica de la luz. Ante esto, ¿cual es la naturaleza de la

luz?. La respuesta requiere introducir cierto matiz. Algunos hechos

experimentales se explican mejor considerando la luz como paquetes de

energía, mientras que otros son más fácilmente justificables

considerándola una onda. Sin embargo, ningún hecho experimental

puede explicarse con el modelo corpuscular si se supone que las

partículas siguen las leyes de la mecánica clásica. Se requiere una nueva

ley fundamental que explique los hechos.


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Figura 4.

Un modo de imaginarlo podría ser que las ondas luminosas

"transportan" fotones y que las ondas asociadas al movimiento de

electrones u otras partículas "transportan" a éstas en condiciones de

difractar; aunque no son exactamente lo mismo: la luz viaja siempre en

el vacío a unos 300.000Km/seg, y en cambio la materia no puede

hacerlo nunca, de acuerdo con la teoría de la relatividad.

Muchas de las interacciones entre la luz y la materia no implican

transferencia de energía, y pueden ser explicadas sin mayores

problemas con el modelo ondulatorio. Otras, sin embargo, implican que

cierta cantidad de energía sea transferida entre la radiación y los

átomos, en estos casos hay que recurrir al modelo cuántico. El enfoque

de una cámara fotográfica se puede explicar perfectamente con la teoría

ondulatoria, mientras que la impresión de la película requiere el modelo

cuántico.


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1.3. Teoría electromagnética de la luz

La hipótesis de Huygens de que las ondas luminosas son una

sucesión de pulsos muy cortos, que pueden reflejarse, difractarse,

interferir... no permite explicar la polarización de la luz (que es

fenómeno transversal a la propagación) sin introducir hipótesis

adicionales complejas y, a menudo, contradictorias. El carácter

transversal de las ondas, al que hay que recurrir para explicar la

polarización, introduce serios inconvenientes a la teoría ondulatoria de

Huygens. Las ondas transversales no se propagan en los fluidos, y por

tanto, hubo que atribuir al "éter" unas propiedades dinámicas parecidas

a las de la materia ordinaria, lo que nos sitúa frente a un fluido de

propiedades elásticas que aparentemente no ofrece resistencia al

movimiento de los planetas, por poner un ejemplo.

Este momento coincidió con los estudios sobre la electricidad

llevados a cabo por Faraday, y él mismo sugirió la idea de la luz como

un fenómeno electromagnético. Maxwell dedujo, de modo puramente

teórico, que los campos eléctricos de variación rápida generan una

onda, que en realidad consta de un campo eléctrico asociado a otro

magnético perpendicular. La propagación de este tipo de onda no

requiere el "éter" y puede avanzar en el vacío. Posteriormente, Hertz

comprobó experimentalmente que ondas electromagnéticas producidas

en el laboratorio se reflejan, refractan, interfieren y se polarizan como

las luminosas, y aún no teniendo una longitud de onda tan pequeña,

viajan a la velocidad de la luz, lo que permitió suponer que ésta era

realmente una onda de carácter electromagnético. Con esta teoría

quedaba solucionado el problema del "éter" y su naturaleza transversal

permitía explicar la polarización de la luz.

La teoría de Maxwell se basa en que si en un punto del espacio se

produce un campo eléctrico variable (por la vibración de una partícula

cargada –un dipolo-, por ejemplo), se produce un campo magnético

perpendicular a él, que a su vez origina otro campo eléctrico, y así


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Figure 6

Figure 5

sucesivamente. Estos campos eléctrico y magnético variables,

consecuencia uno de otro y que no pueden existir sin estar asociados, se

propagan en el espacio y constituyen las ondas electromagnéticas.

La dirección de propagación de la energía asociada a estas ondas

viene dada por el vector de Poynting Sr r rS H E≡ ×

donde H es el vector que representa el campo magnético, y E el campo

eléctrico. Por tanto, S es perpendicular a E y H, lo que justifica el

carácter transversal de la luz.

1.4. Un poco sobre ondas

A modo de simplificación, suficiente

para el alcance de este texto, se puede

considerar únicamente el vector eléctrico de

las ondas electromagnéticas. El campo

eléctrico varía continuamente en el espacio

y en el tiempo, y se propaga a una velocidad

finita. Por tanto, el estado luminoso en un

punto puede expresarse mediante la

expresión

E E sent

T= +0 2( )π δ

donde t es el tiempo, y Eo, T y d constantes.

Se puede considerar w=2p/T (frecuencia angular), la

anterior expresión es equivalente a

E E sen t= +0 ( )ω δ

Si se representa E en función del tiempo resulta una

sinusoide como la de la Figura 5, donde se ve que la

constante T es el periodo de esta onda, es decir el


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Figure 7

tiempo que hay entre dos puntos del mismo estado luminoso, y que es

independiente del medio en que se propaga la luz. Este valor es del

orden de 10-15 segundos, magnitud muy pequeña y difícil de manejar,

por lo que generalmente se trabaja con la frecuencia

ν = 1/ T

o sea, el número de vibraciones por unidad de tiempo.

La constante Eo es la amplitud de la onda, y está relacionada con

su intensidad, que es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Es posible asimilar el movimiento definido por esta función a un

movimiento vibratorio armónico, tal como se muestra en la Figura 6.

Esta representación se conoce como diagrama de Argand, y en él, el

ángulo D muestra la fase de la luz en cada instante, el tiempo necesario

para un giro completo es el periodo T, y el radio es la amplitud de la

onda.

La luz que viaja a una velocidad v tarda un tiempo t' en recorrer

una distancia r (t'=r/v), por tanto, el estado luminoso de un punto

situado a una distancia r del que uno anterior es

E E sent r

vT

= +

0 2π δ

el argumento de esta función periódica

constituye la fase de la luz.

Teniendo en cuenta que la

distancia recorrida en un periodo T es vT

= l, la expresión anterior queda


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Figure 8

E E sent

T

r= +

+

0 2π

λδ

que es una función doblemente periódica en T y l, es decir es periódica

respecto del tiempo (en T) y del espacio (en l). Si la representamos en

función del espacio, resulta la sinusoide de la Figura 7.

Esta nueva constante (l), la longitud de onda, no es otra cosa que

el espacio recorrido en un tiempo T, dicho de otro modo, la distancia

que separa dos puntos de la onda que tienen la misma fase.

Composición de ondas

Veamos el resultado de combinar dos

ondas luminosas, fenómeno que más adelante

se es tudiará exhaus t ivamente como

interferencia de la luz. Dos ondas pueden

interferir cuando mantienen entre ellas una

diferencia de fase constante, coinciden en el

camino óptico y están polarizadas en el

mismo plano (condiciones de Fresnel y

Aragó). Consideremos dos ondas que

cumplen estas circunstancias, de amplitudes

A1 y A2 (Figura 8), el estado luminoso de cada

una en un punto P será:

S A sent

T

r1 1

12= +

π

λ

S A sent

T

r2 2

22= +

π

λ

la resultante en el punto P es la suma algebraica de ambas

S = S1 + S2

que para simplificar se expresa como


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S Asent

T= −

2π δ

Sumando ambas para un instante dado (t=0)

A Ar

Ar

cos cos cosδ πλ

πλ

=

+

1

12

22 2

Asen A senr

A senr

δ πλ

πλ

=

+

1

12

22 2

se obtienen las dos expresiones de las componentes de la onda

resultante en función de las componentes de A1 y A2, por tanto, la

amplitud resultante es

A A Asen2 2 2= +( cos ) ( )δ δ

de donde A A A A Ar r2

12

22

1 21 22 2= + +

−

cos π

λ

Por tanto, la amplitud resultante es el tercer lado del triángulo

formado por las dos amplitudes de las ondas A1 y A2, y el argumento del

coseno es la diferencia de fase entre ambas.

El resultado se puede ver gráficamente, sea en un diagrama de

Argand como en la figura anterior, sea componiendo (sumando) cada

instante los vectores de cada una de las ondas que se representan en la

Figura 9.


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Figure 9

Para diferencias de camino entre ambas de una longitud de onda

(o nl), la amplitud resultante es máxima (el coseno vale 1), mientras que

para diferencias de camino de media longitud de onda [o (2n-1)l/2], la

onda resultante tiene una amplitud mínima.

En la secuencia de esquemas de la Figura 10 de ha representado en

color naranja la onda resultante de la composición de las otras dos,

cuyas diferencias de fase son crecientes desde a (diferencia de fase

cero, o un número entero de l), hasta g (diferencia de fase de media

longitud de onda). Si las amplitudes de las ondas que se componen

fueran iguales, la resultante en el caso g seria nula.


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Figura 10. Diversos esquemas representando dos ondas que se superponen con diferencias de camino desdel (a) hasta l/2 (g). La onda resultante, que se ha dibujado en naranja, varía en amplitud y estado de fase.Nótese que en el caso g no se anula completamente porque las amplitudes de las ondas que se componen noson iguales.

1.5. Algunas leyes básicas


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Figure 11

Figure 12

Leyes de Descartes

Supongamos un rayo luminoso S que llega

al punto O de la superficie que separa dos medios,

como se muestra en la Figura 11. A partir de aquí

sufre una brusca desviación, una parte se refleja

siguiendo el camino OR en el mismo medio del

que procedía y la otra sigue el camino OT en el

nuevo medio. En este sistema, la normal es la

recta ON, perpendicular a la superficie en el punto

O. El ángulo i entre el rayo S y ON se llama de

incidencia, el r entre la normal y el rayo reflejado,

ángulo de reflexión, y r' entre la normal i el rayo

refractado T, ángulo de refracción.

Las leyes de Descartes prevén que los rayos incidente, reflejado,

refractado y la normal ON están en el mismo plano, llamado de

incidencia. Además los ángulos de incidencia y reflexión son iguales,

mientras que la relación entre los senos de los ángulos de incidencia y

refracción es constante para dos medios determinados.

Ley de Snell. Índice de refracción

Imaginemos una onda plana que incide en la

superficie que separa dos medios. De la construcción

de la Figura 12 se deduce la expresión matemática de

la ley de Snell

sen i

sen r

v

v

n

n= =1

2

2

1

donde ni son los índices de refracción de ambos

medios, que se definen como la relación entre la

velocidad de la luz en el vacío y en el medio


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Figure 13

considerado, es decir

n cv=

En este apartado no se considera la posible variación de la

amplitud, fase y estado de polarización de las ondas refractadas o

reflejadas, que se analizarán en el capítulo 6 de este mismo texto.

En el caso de la Figura 12, si el primer medio es el vacío, la

relación de senos es igual al índice de refracción del segundo medio.

Además, si el segundo medio es más denso, el ángulo r es menor que i,

y considerando que el camino que sigue la

luz es reversible, si pasa de un medio de

mayor índice de refracción a uno de

menor, el ángulo de refracción será mayor

que el de incidencia, como se muestra en

la Figura 13, en la que, obviamente,

también se cumple la ley de Snell

sen i

sen r

n

n= 2

1

C o n s i d e r a n d o á n g u l o s d e

incidencia cada vez mayores, hay uno

(marcado en color naranja en la Figura

13) para el cual el ángulo de refracción vale 90º, en la anterior

expresión sen r =1. Para ángulos de incidencia mayores la luz no se

refracta, sino que es completamente reflejada. Este ángulo (ILON) se

conoce como ángulo límite (denominado normalmente ic), y la reflexión

para ángulos superiores al límite, reflexión total.

1. INTRODUCCIÓN: LA LUZ

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