1

1. Introducción y Vectores: 1 Conceptos básicos Para comenzar podemos preguntarnos: ¿Por qué estudiar Física? Haremos un par de afirmaciones que podrá resultar interesante profundizarlas.

Porque es una ciencia fundamental.

Porque recorre la aventura del conocimiento. Pero, ¿Qué es la Física? Podemos mencionar una simplificación para ponernos en tema: “La Física es una ciencia experimental y el lenguaje matemático hace posible vincular la teoría y la práctica experimental”. Discutamos esto… 1.1 Estándares: de longitud, masa y tiempo: Si medimos una determinada cantidad; es necesario definir una unidad para dicha cantidad. Si una persona tiene una masa de 70 kg; la unidad: el kg, y se mide una cantidad equivalente a 70 veces dicha unidad. En el sistema internacional, las unidades de base son las siguientes: LONGITUD: la unidad de longitud, equivale a la distancia recorrida por la luz en el vacío en un

tiempo igual a 458.792.299

1s , y es 1 m (surge esta definición posteriormente a la determinación

de la velocidad de la luz en el vacío). Inicialmente se definió al metro, como la diezmilésima parte de la distancia entre el ecuador y el polo norte.

Unidad de S.I. m

MASA: la masa representa una medida de la resistencia que ofrece un objeto a variar su movimiento o su estado de reposo. El kilogramo está definido como la masa de un cilindro de aleación platino-iridio guardada en el Centro Internacional de Pesos y Medidas de Sèvres (Francia).

Unidad de S.I. kg

(No confundir masa con peso ó moles!!; pues son diferentes) TIEMPO: primitivamente el segundo se definió como una fracción del día solar; luego como la

60

1parte del minuto, y las

86400

1del día solar medio.

UDB de Física – Ciencias Básicas Física I Apunte de Teoría Capítulos 1 y 2

2

Una vez construido el reloj atómico de Cesio-133; se tomó como referente, arrojando una nueva definición: el segundo representa el tiempo transcurrido en 9.192.631.770 veces el período de oscilación del átomo de Cesio mencionado. En el sistema británico: Longitud se expresa en: pie (ft: equivalente a 30,48 cm) ó pulgada (equivalente a 2,54 cm) Masa se expresa en slug (1 slug = 14,59 kg) Tiempo en s Fuerza en libras: lb (1 lb = 4,4482 N) Prefijos y sufijos, con ejemplos: (los más usados) 10-3 m (milímetro) = 1 mm 103 m (kilómetro) = 1 km 103 g (kilogramo) = 1 kg 106 V (megavoltio) = 1 MV 1.2 Densidad y masa atómica:

Las magnitudes fundamentales son: longitud L ; masa m ; tiempo t .

Las magnitudes derivadas: son combinaciones de las anteriores (ej: la velocidad; la densidad; etc). Nos interesa ahora particularmente, la densidad que llamaremos con la letra griega minúscula δ (delta); y que se define para cualquier sustancia como: “su masa por unidad de volumen”

Ej: el plomo tiene una densidad δPb = 11,3.103 3m

kg

Esta propiedad de los materiales o de las sustancia tiene significación microscópica pensando que los átomos de diferentes elementos difieren en la cantidad de protones y neutrones que alojan en sus núcleos atómicos, y que por esta rezón construyen una estructura característica entre átomos de la misma sustancia diferentes a los de otra sustancia. Esta cantidad de protones y neutrones está relacionada con la masa atómica de un elemento; la cuál se define como la masa de un solo átomo medida en u.m.a. (μ), ó sea: unidad de masa atómica. 1μ = 1,661.10-27 kg MPb = 207 μ MAl = 27 μ

Si 67,7Al

Pb

M

M que no se corresponde con la relación de densidades. Cuidado!!!

En cambio 19,4/10.7,2

/10.3,1133

33

mkg

mkg

Al

Pb

Esta discrepancia se debe a la diferencia en las disposiciones espaciales de los átomos de los elementos. Ej: Un cubo de aluminio sólido, de densidad 2,70 g/cm3; tiene un volumen de 0,200 cm3 y se sabe que 27 g de aluminio contienen 6,02.1023 átomos. ¿Cuántos átomos hay en el cubo de aluminio?

3

Datos: δAl = 2,70 g/cm3 V = 0,200 cm3 M = 27 g N = 6,02.1023 átomos Solución:

gcmcm

gVm

V

m54,0200,0.70,2. 3

3

Con esta masa átomosNgm 2210.204,1´54,0

1.3 Análisis Dimensional: Dimensión: naturaleza física de una magnitud Si una distancia se mide en m, su dimensión es LONGITUD Los símbolos de las dimensiones son L (longitud); m (masa); T(tiempo) , etc.

Ej: dimensión de la velocidad T

Lv

Dimensión del área 2LA

Existe un método llamado análisis dimensional que puede utilizarse para comprobar un resultado final. Las dimensiones pueden tratarse como magnitudes algebraicas. Ambos lados de una ecuación tendrán sentido y serán correctas, si tienen las mismas dimensiones. Para esta finalidad es necesario adoptar unidades compatibles de un mismo sistema de unidades. Ej: análisis en una ecuación Demostrar que la expresión: vf = vi + a.t es dimensionalmente correcta.

T

Lv f

T

Lvi

2T

La Tt

Por lo tanto: TT

L

T

L

T

L2

1.4 Conversión de unidades: Existen tablas de consulta que serán adjuntadas; podemos ejemplificar con: 1 milla = 1.609 m 0 1,609 KM 1M = 39,37 pulgadas = 3,281 pies 1 pie = 0,3048 m = 30,48 cm 1 pulgada = 0,0254 m = 2,54 cm Ej 1: convertir 15,0 pulgadas en centímetros 15,0 pulgadas = 15,0 pulgadas. (2,54 cm / 1 pulgada) = 38,1 cm

4

Ej 2: La masa de un cubo sólido es 856 g y cada lado tiene una longitud de 5,35 cm. Determina la densidad en unidades del S.I.

1.5 Cálculos de órdenes de magnitud: En ocasiones haremos referencia al “orden de magnitud “de una determinada variable, como la potencia de diez correspondiente al valor que describe dicha magnitud (suele utilizarse como primera aproximación de un valor buscado); así los resultados estarán afectados de una incerteza máxima de un factor 10. Ej: Estimar el número de átomos de un sólido. El diámetro de un átomo es d = 10-10 m (considerados esferas) y el volumen es de 1 cm3. V = 4 π r3 1.6 Cifras significativas: Se pueden utilizar para dar idea de la incertidumbre experimental. Por ejemplo, si con una regla de apreciación 1 mm, mido una placa rectangular para calcular su superficie, y su longitud es de 16,3 cm,; sólo puedo afirmar que su longitud se encuentra entre 16,2 cm y 16,4 cm. En este caso, el valor medido tiene tres cifras significativas. El ancho mide (4,5 ± 0,1)cm El área = 16,3 cm . 4,5 cm = 73,35 cm2 NO es correcto porque tiene más cifras significativas que las que arroja la lectura del instrumento; entonces: 16,2 cm.4,4 cm = 71 cm2 16,4 cm.4,6 cm = 75 cm2 Es el rango de variación de la magnitud calculada. Puedo afirmar que la superficie calculada a partir de los valores medidos, se encontrará entre 71 cm2 y 75 cm2. El resultado buscado se expresa con dos cifras significativas, como: A= 73 cm2. Los ceros: 0,002 tiene 1 cifra significativa 0,00021 tiene 2 cifras significativas 1.500 tiene 4 cifras significativas

mcm

mcml 210.35,5

100

135,5 kg

g

kggm 856,0

1000

1856

343 10.53,1 mlV 3

310.59,5m

kg

V

m

5

Notación científica (tiene por finalidad evitar ambigüedades): 1.500 =1,5.103 (2 cifras sig.) 1.500 = 1,50.103 (3 cifras sig.) 0,000250 = 2,50.10-4 (3 cifras sig.) Para sumas y diferencias, por ej. 123 + 5,35 = 128 y no 128,35 (redondeo) ¿Podrías fundamentar el resultado sugerido como correcto en el cálculo anterior? 1.7 Sistemas de coordenadas: Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de:

Punto origen (fijo y de referencia)

Conjunto de direcciones o ejes con escala

Instrucciones de cómo ubicar a un punto en el espacio respecto del origen y de los ejes Es cómodo de utilizar el sistema ortogonal ó cartesiano (coordenadas cartesianas), en el que identificamos a los puntos con pares ordenados (en el plano x-y); por ejemplo: Otro sistema que nos resultará útil es el de Coordenadas Polares, que requiere de un vector con origen en el origen de coordenadas y un ángulo tomado desde una referencia, por ejemplo:

r

ysen

r

xcos

x

ytg en consecuencia:

senry . cos.rx 22 yxr

6

1.8 Vectores y escalares: Escalar: cantidad que queda definida o especificada mediante un número (+) ó (-) y una unidad. Vector: debe especificarse mediante su magnitud y su dirección. Por ejemplo:

Una fuerza; para que quede definida, debe indicarse hacia donde se dirige. Esto es, el vector fuerza.

Un desplazamiento, que representa la variación de la posición de una partícula o de un objeto, se indica con un vector. El vector desplazamiento es el que tiene por origen la posición inicial de la partícula y finaliza en la posición final de la misma; y se diferencia de la trayectoria, que es la línea curva (podría ser recta) que representa el camino recorrido por la partícula para realizar su cambio de posición. La distancia recorrida por una partícula (escalar) es la longitud de la trayectoria y puede diferir significativamente del desplazamiento (vector). Luego profundizaremos un poco más estas ideas. 1.9 Propiedades de los vectores: Vector: - Punto de aplicación - Dirección - Sentido - Módulo o valor del vector ó intensidad Igualdad de vectores

BABA A apunta en la misma dirección que B (pueden desplazarse paralelos a si mismos o colinealmente) Suma Deben tener las mismas unidades. Las reglas de la suma de vectores se definen geométricamente.

RBA Método del triángulo (también puede utilizarse el método del polígono, trazando paralelas a los vectores suma; una vez colocados uno a continuación del otro; y tomando la resultante, desde el origen hasta la intersección de las paralelas). La suma o adición de vectores cumplen con las propiedades: conmutativa y asociativa.

CBBA

7

)()( CBACBA

Vector opuesto Son de igual magnitud y sentido contrario.

0)( AA son vectores complementarios.

Resta de vectores

BA es la suma de B con A Multiplicación de un vector por un escalar

sA. ; siendo s el escalar; el vector resultante tiene una magnitud As. , Si el escalar es un número

negativo, el vector resultante tendrá dirección opuesta a la que tenía A . Multiplicación de dos vectores: Producto escalar entre dos vectores

Se define el producto escalar de dos vectores libres A y B como el producto de los módulos de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forman

Consecuencias de esta definición: 1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo 2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0)

Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de ambos vectores.

)..(. 212.1 yyxxBA

* Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un escalar, es decir, un número entero. No ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica se obtiene un vector.

cos... BABA

8

Propiedades:

Conmutativa: ABBA ..

Distributiva: CABACBA ..)(

Para cualquier número: )..()..( BABA

Producto vectorial entre dos vectores Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector. Propiedades:

CBA . El punto de aplicación es el mismo

Módulo de

senBAC ...

La dirección de c es perpendicular a la de a y b

Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk) Vector unitario

Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad. Se definen tres vectores unitarios para definir representar los ejes: A partir de a: Interpretación geométrica del producto vectorial

El valor absoluto de BA. es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre él. Demostración:

Hipotenusa

opuestoC

B

OH .cos

OHABABOH .).(cos.

Distancia entre dos puntos

Dados los puntos a y b: d(ab) = 2

12

2

12 )()( yyxx

Propiedades:

la distancia entre dos puntos es 0 únicamente en el caso en que a=b

para cualquiera de los puntos su distancia siempre es +

Simétrica aunque estén en sentidos contrarios

Propiedad triangular: la distancia ab es siempre la suma de las distancias entre ac y bc

A

AVu

cos... BABA

cos..).( BABA

9

Un lado es siempre menor que la suma de los otros dos. 2 Cinemática La cinemática se ocupa de describir los movimientos de los cuerpos. Más adelante estudiaremos dinámica, que se ocupará de las causas que originan los movimientos. Ambas, dinámica y cinemática forman parte de la Mecánica Clásica que es una de las áreas o partes que conforman esta Ciencia Básica que comenzamos a estudiar, y que es la Física. 2.1 Movimiento en una dimensión En muchas situaciones, cuando sólo se considera movimiento de traslación en el espacio, un objeto puede ser tratado como una partícula. Definimos: Movimiento: cambio continuo de posición de un objeto; a lo largo del tiempo, con respecto a otro cuerpo tomado como referencia. Sistema de referencia: cuerpo o conjunto de cuerpos considerados fijos respecto de los cuáles se determina el movimiento del cuerpo en estudio. Partícula: cuerpo considerado puntual, cuyas dimensiones son despreciables con respecto a su movimiento. Si el cuerpo sufre cambios internos no afecta al movimiento de todo el cuerpo en conjunto. La partícula constituye un MODELO para poder estudiar los cuerpos (modelo de partícula). Trayectoria: es la línea, curva o recta dibujada por la partícula en movimiento. Posición: dar posición a un cuerpo es ubicarlo en un punto respecto del sistema de coordenadas.

La posición queda representada por el vector posición; con origen 0 y extremo en el punto p.

Si por ejemplo llamamos con r a este vector, podemos expresarlo en función de sus coordenadas:

kzjyixr ...

10

El movimiento de una partícula queda determinado si se conoce su posición en función del tiempo.

Desplazamiento: cuando la partícula se mueve desde una posición 0r hasta r ; su desplazamiento

0rrr

Para un movimiento rectilíneo, podemos representarlo:

0rrr

Para un movimiento curvilíneo, en la figura puede observarse el desplazamiento (que es ba

) y la trayectoria (que es el arco ab) Distancia: la distancia recorrida es la longitud de la trayectoria. 2.2 Velocidad

Rapidez media o promedio: representa la distancia recorrida en un cierto tiempo t

dv

(no es

un vector; es escalar) Velocidad media o promedio: La velocidad media de una partícula se define como la razón entre su desplazamiento r

y el intervalo de tiempo t en que se produce dicho desplazamiento:

t

rvm

Donde:

dirección de mv

coincide con la dirección de r

sentido de mv

coincide con el sentido de r

(pues 0t ); t

rvm

Analizando la expresión inicialfinal

inicialfinal

mtt

rr

t

rv

Si la partícula sigue un movimiento en una sola dimensión inicialfinal

inicialfinal

mtt

xx

t

xv

x

independiente del recorrido que haya realizado la partícula.

Podemos llamar al instante inicial con un cero (0) y entonces: 0

0

tt

xx

t

xv

xm

11

La unidad del S.I. para la velocidad es

s

m

Ejemplo para analizar: Sobre el eje x se marcan posiciones respecto al origen; que han sido tomadas cada 10 s. Se pide representar en un par de ejes cartesianos x = x(t) ; y analizar la gráfica

(Resultará la pendiente del segmento AB ; t

xvm

= velocidad media entre los puntos; y el

área bajo la curva representará el desplazamiento) Velocidad instantánea: es la velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo. Si anotamos las velocidades que indica el velocímetro de un vehículo en cada instante durante todo el recorrido, y luego graficamos las velocidades en función del tiempo, resulta la gráfica siguiente:

12

Cada punto de la gráfica representa la velocidad que en cada instante tiene el móvil. La línea curva representa la velocidad instantánea de la partícula y la línea recta horizontal corresponde a su velocidad media. Si en la gráfica tomamos intervalos de tiempo cada vez más chicos veremos que los valores de velocidad media se acercan a los de velocidad instantánea. Podemos decir que a medida que el intervalo de tiempo tiende (se aproxima) a cero (es lo suficientemente pequeño) la velocidad media tiende a la velocidad instantánea, en cada intervalo considerado.

La definición “rigurosa” de velocidad instantánea utiliza el concepto matemático de límite, todavía no estudiado. Sin embargo, en nuestro caso, lo importante no es usar este concepto sino la comprensión de lo que acabamos de analizar.

dt

rd

t

xlímvlímv tmt

00

La velocidad es una magnitud vectorial. Pensemos en dos automóviles que se mueven por la misma ruta en sentidos opuestos a 60 km/h y 70 km/h respectivamente. Refiriendo estas velocidades al sistema de coordenadas resultarán de signos opuestos.

El signo de la velocidad depende del sistema de coordenadas y nos indica el sentido del movimiento. La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud del vector velocidad instantánea (nunca negativa).

0 x

V= 60km/h V’= -70 km/h

13

Ejemplo para analizar: Una partícula se mueve a lo largo del eje X. Su coordenada x varía con el tiempo de acuerdo a la expresión x = - 4.t + 2.t2 , con x en metros y t en segundos.

a- Determina el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo: t=0 a t=1s y t=1s a t=3s

b- Calcula la velocidad promedio en los mismos intervalos. c- Halla la velocidad instantánea en t=2,5s.

La gráfica:

a- mxxx ABAB 2)0.20.4()1.(2)1.(4 22

mxBD 8

b- s

m

s

m

t

xv

AB

ABxAB

21

2

s

m

s

m

t

xv

BD

BDxBD

42

8

c- tdt

ttd

dt

dxvc 44

)24( 2

por lo tanto, para t =2,5 s vc= 6 m/s (pudiendo

comprobarse midiendo la pendiente de la gráfica si previamente se construyó en escala). 2.3 Partícula con velocidad constante Si consideramos una partícula desplazándose a velocidad constante; su velocidad instantánea en cualquier momento de un determinado intervalo de tiempo , es igual a la velocidad promedio en

dicho intervalo: xx vv

tvxxxt

xvv xxx

.0

tvxx x .0

Si x0 es la posición en t0=0 ; entonces: tvxx x .0

14

Obtención de velocidades en una gráfica

Ejemplo para analizar la gráfica:

A

Pendiente positiva vx > 0

Movimiento en la dirección +x

B

Pendiente positiva y mayor que en A vx > 0

Movimiento en la dirección +x , más rápido que en A

C

Pendiente nula vx = 0

Instantáneamente en reposo

D

Pendiente negativa vx < 0

Movimiento en dirección -x

E

Pendiente negativa y menor que en D vx < 0

Movimiento en dirección –x; más lento que en D

15

Adoptamos el sentido positivo de las x: 2.4 Aceleración Si la velocidad de un cuerpo cambia con el tiempo, decimos que el cuerpo tiene una aceleración. La aceleración es una magnitud Vectorial. Aceleración media o promedio Considerando el movimiento de una partícula sobre el eje X; supongamos que en el tiempo t1 la partícula está en P1 ; con una velocidad instantánea v1x y en un instante t2 está en p2 con una

velocidad instantánea v2x ≠ v1x => xxx vvv 12 en el intervalo 12 ttt

t

va x

mediax

Aceleración media en movimiento rectilíneo

Ejemplo para analizar: Un astronauta sale de un trasbordador espacial en órbita para probar una unidad personal de maniobras; mientras se mueve en línea recta; su compañero a bordo mide su velocidad cada 2,0 s a partir del instante t = 1,0 s.

t(s) 1,0 3,0 5,0 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0

vx(m/s) 0,8 1,2 1,6 1,2 -0,4 -1,0 -1,6 -0,8

Calcula la aceleración media y expresa si la velocidad aumenta o disminuye en cada uno de los intervalos siguientes:

a) t1 = 1,0 s → t2 =3,0 s b) t1 = 5,0 s → t2 =7,0 s c) t1 = 9,0 s → t2 =11,0 s d) t1 = 13,0 s → t2 =15,0 s

16

Solución:

a) 2/2,0

2

/8,02,1sm

s

sma

xmed

(la velocidad instantánea aumenta de 0,8 a 1,2 m/s en 2 s)

b) 2/2,0

2

/6,12,1sm

s

sma

xmed

(la rapidez disminuye de 1,6 a 1,2 m/s)

c) 2/3,0

2

/)4,0(0,1sm

s

sma

xmed

(la rapidez aumenta de 0,4 a 1,0 m/s)

d) 2/4,0

2

/)6,1(8,0sm

s

sma

xmed

(la rapidez disminuye)

Analizando, podemos concluir: Cuando aceleración y velocidad tiene la mismo sentido; el objeto incrementa su velocidad en dicha dirección. Por el contrario, cuando tienen sentidos opuestos, la velocidad disminuye. Tramos (a) y (c): el astronauta se mueve más rápido porque la aceleración tiene la mismo sentido (mismo signo) que la velocidad inicial de cada tramo. Tramos (b) y (d): el astronauta se frena porque la aceleración tiene sentido opuesto (signo contrario) a la velocidad inicial. ¿Qué significa el signo negativo en la velocidad? Que el objeto se dirige en sentido contrario al sentido positivo del referencial elegido arbitrariamente.

17

Aceleración instantánea Para definir la aceleración instantánea en p1 ; debemos tomar al punto p2 lo más cerca posible de p1.

La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero.

dt

dv

t

va xx

tx

0lim

Al hablar de aceleración nos referimos en general, a la instantánea y no a la media.

Ejemplo para analizar: Refiriéndonos al dibujo anterior; en el instante t1 =0 el vehículo tiene una velocidad v1x= 30 m/s y en el instante t2 = 2,0 s adquirió una v2x = 15 m/s. ¿Cuál es la aceleración media?

Será: 2/5,70,2

/)3015(sm

s

smax

; el signo menos indica que la aceleración sigue el sentido

negativo de las x. Gráficas x-t ó vx-t : Obtención de la aceleración sobre las mismas

18

gráfica vx-t:

A: vx < 0 pendiente positiva ax >0 (se mueve en la dirección de –x frenado) B: vx = 0 pendiente positiva ax >0 (instantáneamente en reposo, a punto de moverse hacia +x) C: vx > 0 pendiente = 0 ax= 0 (se mueve en la dirección de +x con rapidez máxima) D: vx = 0 pendiente negativa ax < 0 (instantáneamente en reposo, a punto de moverse hacia -x) E: vx < 0 pendiente negativa ax < 0 (se mueve en la dirección de –x acelerado) gráfica x-t:

19

Nuevamente: A: pendiente (+), (vx>0) ; curvatura hacia arriba (ax>0); (se mueve en +x ; acelerado) B: pendiente (+), (vx>0) ; curvatura cero (ax=0); (se mueve en +x con veloc. Constante) C: pendiente cero, (vx=0) ; curvatura hacia abajo (ax<0) ; (instantáneamente en reposo, porque la velocidad cambiará de (+) a (-) ) D: pendiente negativa (vx <0) ; curvatura cero (ax=0); (se mueve en -x con veloc. Constante) E: pendiente negativa (vx <0) ; curvatura para arriba (ax>0); (se mueve en –x; frenado)

La aceleración: 2

2

dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dva x

x

; es decir, la ax , es la segunda derivada de x respecto

de t. Esto se relaciona directamente con la concavidad o curvatura de la gráfica de la función; siendo: Concavidad hacia abajo → ax (-) y la velocidad disminuye Concavidad hacia arriba → ax (+) y la velocidad aumenta La curvatura nos indica el signo de la aceleración. Partícula con aceleración constante En este caso la velocidad cambia al mismo ritmo durante todo el tiempo considerado.

t

vva

t

vv

t

va xx

x

xx

x

00

0

tavv xxx .0 (1º ecuación)

Podemos encontrar un valor de velocidad media en x (vmed x) si la ax es constante y la velocidad cambia de modo constante; siendo también el promedio entre la velocidad final y la inicial:

2

).(

2

000 tavvvvv xxxx

med x

; deduciéndose que: tavv xxmed x

.2

10

20

También podemos pensar a la velocidad media como: t

xxv

xmed

0 ; deduciéndose que:

2

002

1tatvxx xx

(2º ecuación)

El área del triángulo en la figura de la derecha es: 2

2

1)..(

2

1tatta xx

El área del rectángulo inferior en la figura de la derecha: tv x .0

En los problemas en los que conocemos el tiempo, podemos plantear: x

xx

a

vvt 0 y en la 2º ec.,

2

00

002

1

x

xx

x

x

xx

xa

vva

a

vvvxx multiplicamos ambos miembros por xa2

Y trabajando algebraicamente llegamos a:

)(2 0

2

0

2 xxavv xxx (3º ecuación)

También podemos deducir otra expresión que no incluye a la aceleración:

tvvxxvv

t

xxv xx

xx

med x)(

2

1

200

00

(4º ecuación)

Todas las expresiones con aceleración constante : ecuaciones del MRUA La gráfica correspondiente a la segunda ecuación es siempre una parábola 2

Para resolver problemas:

elegir referencial con origen de coordenadas

el sentido +x determina los signos de vx y ax

interpretar en palabras y luego transcribirlo a símbolos y ecuaciones

alistar cantidades conocidas e incógnitas

animarse a resolver

21

evaluar los resultados aplicando criterios de razonamiento físico, de sentido común y si es posible otro tipo de comprobaciones.

2.5 Caída libre La caída libre es el ejemplo más claro del movimiento con aceleración constante; por causa de la atracción gravitacional. Aristóteles en el siglo IV antes de Cristo pensaba erróneamente que los cuerpos más pesados caen con mayor rapidez que los más livianos. Galileo en el siglo XV afirmó que los cuerpos caen con aceleración constante independientemente de su peso. Y si puede descontarse el efecto del aire, entonces Galileo estaba en los cierto !! (condice con nuestro modelo de partícula y podremos pensarlo de ese modo) Todos los cuerpos cercanos a la superficie terrestre caen con una aceleración llamada gravitatoria, dirigida hacia el centro de la Tierra, que tiene un valor de 9,8 m/s2. g = 9,81 m/s2 = 980 cm/s2 = 32,0 ft/s2 (utilizamos tres cifras significativas)

Estos valores expresados representan el módulo de vector g , o sea, son : g = g

Como valor comparativo, es interesante conocer por ej. El valor de la aceleración gravitacional en la Luna: gLuna = 1,6 m/s2 ; o en el sol: gsol =270 m/s2.

Ejercicio 1 para analizar: Se deja caer una moneda desde una gran altura. Calcula posición y velocidad a los: 1,0 s ; 2,0 s y 3,0 s.

Ejercicio 2 para analizar: Si lanzas un objeto hacia arriba desde la cornisa de la terraza de un edificio; y en ese punto justo se desprende de tu mano a 15 m/s. Obtiene:

a- posición y velocidad 1,0 s y 4,0 s después de lanzado b- velocidad cuando el objeto está a 5m sobre la cornisa c- altura máxima alcanzada y el instante en que la alcanza d- aceleración en la altura máxima