31/03/2015

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Coordenadas normales y tangenciales

Movimiento Relativo

Universidad Nacional de Ingeniera

Facultad de Ingeniera Civil

MCs.: Fredy Miguel Loayza Cordero

Describiremos el movimiento usando coordenadaslocales, las cuales son las componentes medidas alo largo de la tangente t y la normal n a latrayectoria y los vectores unitarios et y en .

Coordenadas normales y tangenciales

tvev

La velocidad v es un vector que siempre estangente a la trayectoria.

dt

dssv

L a velocidad

El modulo de la velocidad es

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Donde la derivada respecto de t de es et es diferente de cero

ttt vvvdt

d ee)e(a

n

ttt eeee

kvds

dv

dt

ds

ds

d

dt

d

La aceleracin

En el tiempo t se encuentra en P con unavelocidad V en direccin tangente y una

aceleracin a dirigida hacia la concavidadde la curva. La aceleracin puededescomponerse en una componente

tangencial at (aceleracin tangencial)paralela a la tangente y otra paralela a la

normal an (aceleracin normal)

La relacin del la curvatura y es radio de curvatura es

1k

Finalmente podemos escribir la aceleracin como

nt

v

dt

dveea

2

El radio de curvatura , es la distancia perpendicular desde la curva hasta elcentro de curvatura en aquel punto.

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Casos particulares1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta

=> an = v2/ = 0 => a = at = dv/dt

2. La partcula se mueve en la curva a velocidad constanteat = dv/dt = 0 => a = an = v

2/3. Si la partcula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x)

entonces el radio de curvatura se calcula mediante

nt aaa

dondenn

vea

2

tt

dt

dvea

Luego la aceleracin podemos expresar como

Es la componente tangencial

representa la razn de cambio de

la magnitud de la velocidad.

Es la componente normal ocentrpeta representa la razn decambio de la direccin de la

velocidad.

y

y su modulo22

nt aaa

2/3

22

2

|/|

])/(1[

dxyd

dxdy

Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se est incrementando a razn de2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parablica indicada en la figura. Determine suvelocidad y aceleracin en el instante que llega al punto A. Desprecie en losclculos el tamao del esquiador.

Tarea 1

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Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tieneun radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1 m/s2

partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar unaaceleracin de 2,4 m/s2. Cul es su velocidad en ese instante.

Tarea 2

Tarea 3

Un auto viaja a 27 m/s cuesta arriba por un camino recto cuyo perfil sepuede aproximar a la ecuacin y=0,0003x2m. Cuando la coordenadahorizontal del auto es x = 400 m. Determine las componentes de suaceleracin.

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En un instante dado, el automvil tiene una velocidad de 25 m/s y unaaceleracin de 3 m/s2 actuando en la direccin mostrada. Determine:(a) el radio de curvatura de la trayectoria en el punto A y (b) la razndel incremento de la rapidez del automvil.

Tarea 4

El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por:

Tarea 5

smjttitv /)56()23(2

Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin ent=2s y el radio de curvatura.

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El automvil se encuentra inicialmente en reposo cuando S = 0. Si el autoinicia su movimiento desde el reposo e incrementa su rapidez a razn dedv/dt=0,05t2 m/s2, donde t esta en segundos. Determine la magnitud ydireccin de la velocidad y la aceleracin cuando S = 165 m.

Tarea 6

Se dispara un can con un ngulo por encima de la horizontal,saliendo la bala con una velocidad vo. Determinar:a) Los mdulos de la aceleracin tangencial y normal en cualquierinstante.b) El radio de curvatura de su trayectoria en cualquier instante.

Tarea 7

vt

at

an

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MOVIMIENTO RELATIVO

Nos limitaremos a describir estemovimiento a sistemas de referenciaen movimiento que se trasladan perono giran.

Consideremos dos partculas A y Bmovindose en las trayectoriascurvilneas en un plano como semuestra en la figura.

Las posiciones absolutas de A y B conrespecto al observador fijo en elmarco de referencia OXYZ sern.

= = El observador B slo experimenta

traslacin y se encuentra unidos alsistema de referencia mvil Oxyz.

La posicin relativa de A con respecto al observador B es

= + /

La velocidad relativa de A con respecto al observador B es

= + /

La aceleracin relativa de A con respecto al observador B es

= + /

Los trminos del movimiento relativo pueden expresarse encualquier sistema mvil de coordenadas que sea conveniente- rectangular - normal y tangencial polar.

Todo sistema de referencia en traslacin que no posea aceleracinse conoce como sistema inercial

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Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera,como se muestra en la figura. Si el automvil A est viajando por la carreteracon una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y direccin de lavelocidad relativa del tren con respecto al auto.

Tarea 1

Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como seindica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y en elinstante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleracin de50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria curva circular de 400 kmde radio con una rapidez de 600 km/h y est decreciendo su rapidez a razn de100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleracin relativa de B medida por elpiloto A

Tarea 2

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El auto A esta acelerndose en la direccin de su movimiento a razn de1,2m/s2. El auto B esta tomando una curva de 150 m de radio con una celeridadconstante de 15m/s.Determine la velocidad y la aceleracin aparentes del auto B respecto a unobservador que viaja en el auto A si este ha alcanzado una celeridad de 20m/sen las posiciones representadas.

Tarea 3

Dos lanchas parten de un amarre al mismo tiempo (t = 0) como se muestraen la figura. La lancha A navega con una celeridad constante de 24 km/h,mientras que la lancha B lo hace a 72 km/h. para t = 30 s, determine:(a) la distancia d entre las lanchas y (b) La velocidad de separacin de laslanchas.

Tarea 4

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