1.- VECTORES

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INTRODUCCIN A LA FSICA 2013 E. Alurralde - FCE - UNSa.

ESTTICA

1.- VECTORES

1.1.- Magnitudes escalares y vectoriales

Si deseamos expresar el tiempo de oscilacin de un pndulo (1,2 s), o el coeficiente de expansin

lineal del cobre (16 x 10 6

1/C), o el volumen de lquido contenido en una probeta (62 cm3) o la

potencia disipada por una lamparilla elctrica (60W), vemos que nos basta indicar un nmero y, en

ciertos casos, la unidad correspondiente, para expresarlos completamente. Estas magnitudes se

conocen como magnitudes escalares, y las representamos simblicamente con una letra: por ejemplo

t, , V o P para los casos citados.

Pero si deseramos informar, por ejemplo, la velocidad del viento en un lugar y momento

determinados, no bastara con decir 20 km/h, pues debiramos informar tambin que sopla, por

ejemplo, de noroeste a sudeste, es decir que la direccin y sentido son parte de la informacin necesaria para expresar completamente esa velocidad. Las magnitudes, que tienen asociados una

direccin y un sentido, se conocen como magnitudes vectoriales, y las representamos, en general, de

dos formas: o bien con una letra en negrita o bien, cuando escribimos la letra le colocamos una pequea flecha encima. En el caso de la velocidad citada sera: v o bien

v .

Son ejemplos tpicos de magnitudes vectoriales los desplazamientos, fuerzas, velocidades,

aceleraciones, intensidad de campo elctrico, etc.

Una magnitud vectorial puede representarse en forma grfica por medio un segmento orientado o

vector.

Analicemos el vector AB mostrado en la figura 2.1. Sus elementos son:

- el origen A y el extremo B.

- la direccin del vector, representada por la recta r que contiene al

vector.

- el sentido del vector, representado por la semirrecta de origen A

que contiene a B y destacado por la flecha.

- la longitud o mdulo del vector.

Si el vector AB representa la velocidad del viento que dimos como ejemplo, la recta r representa la direccin noroeste-sudeste, el sentido de la flecha indica que sopla hacia el sudeste y su mdulo o

longitud (4 unidades) es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad (20 km/h). Aqu es

conveniente resaltar que para representar las magnitudes vectoriales se usa una escala. En este caso, las 4 unidades de longitud representan los 20 km/h, es decir que cada unidad representa 5 km/h. Esto

me permite expresar el factor de escala de la siguiente forma:

1unidad : 5 km/h

A

B r

Figura 2.1

30


1.2.- Ejemplo:

Se desea indicar a una persona como llegar desde el punto A al punto B mediante un dibujo. Si el

punto B est 8 cuadras al sur y 6 cuadras al oeste del punto A, el diagrama podra ser el que se

muestra en la figura 2.2, y el dibujo sera un diagrama vectorial.

En este diagrama vectorial tenemos dos vectores: AC

y CB que representan desplazamientos. El vector

AC representa un desplazamiento de 6 cuadras de este

a oeste y CB un desplazamiento de 8 cuadras de norte a sur. Como vemos el diagrama nos indica mdulo,

direccin y sentido de los desplazamientos

representados.

1.3.- Resultante de vectores perpendiculares

Analicemos la situacin planteada en el ejemplo anterior.

Podramos preguntarnos a qu distancia en lnea recta estn A y

B, o dicho de otro modo: cunto se aleja una persona y en que

direccin cuando parte de A y llega a B?

El vector que representa esta distancia se representa por R en la

figura 2.3, y recibe el nombre de vector de desplazamiento

resultante (o solamente la resultante) de los dos vectores de

desplazamiento AC y CB.

Para encontrarR , debemos encontrar su mdulo, su direccin y sentido. En la figura 2.3 utilizamos el

teorema de Pitgoras, y encontramos inmediatamente el mdulo:

R = 82 62 cuadras = 10 cuadras

La direccin y sentido de R se puede especificar de distintas maneras. Quiz la ms conveniente en

este caso sea dar el valor de mostrado en la figura. Tenemos la expresin

tag = 8/6 = 1,33

a partir de la cual se encuentra 53. Esto suele expresarse en la forma O-53-S, lo que significa desde el oeste, 53 en direccin sur

1.4.- Resultante de vectores que no son perpendiculares

Cuando tenemos dos desplazamientos que no se encuentran a un ngulo de 90, la suma de los dos vectores de desplazamiento es ligeramente ms complicada.

Supongamos, por ejemplo, que deseamos sumar los dos desplazamientos mostrados en la figura 2.4.

En otras palabras, deseamos el vector de desplazamiento de A a B. Esto se encuentra fcilmente si

volvemos a plantearnos el problema para preguntar, al ir de A a B, cunto se aleja una persona?

N

E

Figura 2.2

6c

8c

A

B

C

R

6

8

N

E

Figura 2.3 B

C A

31


Figura 2.4

Nuevamente, el desplazamiento resultante ser R= AB. El problema se simplifica si podemos

transformarlo en la suma de dos vectores perpendiculares para poder aplicar nuevamente el teorema de

Pitgoras.

Es decir que debemos reemplazar la suma de los vectores AC + CB, por la suma de los vectores

AD + DB, que son perpendiculares. Como vemos en la figura 2.5, la resultante R es la misma en

ambos casos.

Figura 2.5

1.5.- Descomposicin de un vector en dos direcciones perpendiculares

Lo que intentamos hacer es descomponer el vector CB en dos direcciones perpendiculares entre si

(x e y), obteniendo el vector CD en la direccin del eje x

y el vector DB en la direccin del eje y. Las magnitudes de estos vectores que tienen las direcciones

de los ejes y que reemplazan al vector CB se llaman

componentes del vector CB en las direcciones x e y (fig. 2.6).

Podemos calcular los mdulos (o longitudes) de los vectores

usando las funciones trigonomtricas del ngulo de 30 en el

tringulo BCD:

sen30 = BD

CB =

BD

10m BD = 10m . sen30 = 5m

cos30 = CD

CB =

CD

10m CD = 10m . cos30 = 8,7m

Ahora estamos en condiciones de calcular el desplazamiento

resultante R (o AB ), ya que tenemos los vectores perpendiculares que necesitbamos (Figura 2.7).

AD = AC CD 13,7m y DB 5m

30 A

B

C

R

A

B

C

R

D

y

x

y

x

30

D

B

C Figura 2.6

30 A

B

C

y

x

10 m

5 m

A

B

C

R

D

8,7 m 5 m

5 m

Figura 2.7

32


Entonces:

200,36513,7m

5m

AD

BD= tang

14,6m5m13,7mBDADR2222

El mtodo que hemos usado se basa en encontrar las componentes de los vectores que deseo sumar y

luego sumar, por una parte, todas las componentes en x, por otra, todas las componentes en y. De este

modo encontramos las componentes x e y de la resultante.

Esto puede escribirse matemticamente como:

R C y R C x x

iy y

i

Es decir:

Rx = (AC)x + (CB)x = 5,0 m + 8,7 m = 13,7 m

Ry = (AC)y + (CB)y = 0 m + 5 m = 5 m

1.6.- Los versores i ,

j y

k

Hemos visto en el punto anterior como encontrar la resultante de dos fuerzas. Sin embargo no resulta

demasiado clara la forma en que hemos venido designando los vectores en forma analtica. Veremos

ahora un mtodo ms cmodo de designarlos. Para ello definiremos tres vectores unitarios o versores

que llamaremos i ,

j y k

(Figura 2.8).

El versor i es un vector que tiene la direccin y el sentido del eje x positivo,

y su longitud o mdulo es igual a la unidad.

El versor j es un vector que tiene la direccin y el sentido del eje y positivo,


El versor kes un vector que tiene la direccin y el sentido del eje z positivo,


Si trabajamos en el espacio, necesitaremos los tres versores, uno para cada dimensin, cuando

trabajemos en el plano, nos bastarn slo dos versores (i y

j ). Por qu son tiles

i y

j ? Porque

cualquier vector que tenga la direccin de alguno de los ejes puede expresarse como mltiplo del

versor correspondiente. Por ejemplo, si tenemos un vector Ade longitud 6 unidades en la direccin del

eje x, podemos expresarlo como el producto de su mdulo (6) por el versor i (cuyo mdulo es 1) y

escribir: A = 6

i , lo cual significa que

Ase obtiene sumando 6 veces el versor

i (figura 2.9 a). Del

mismo modo, si tengo el vector Bque mide 5 unidades y tiene la direccin del eje y, podemos escribir:

B= 5j (figura 2.9 b).

1

1

i

j

y

x k z

1

Figura 2.8

y

x

y

x

A = 6i

a)

i

i

i

i

i

i

y

x

b) y

x

j j j j j

B 5 j

Figura 2.9

33


Si deseamos representar ahora el vector C (figura 2.10 a) que no tiene la direccin de ninguno de los

ejes, pero que tiene componente en x: Cx = 3 y componente y: Cy = 4, podemos escribirlo como la

suma de un vector en la direccin x y otro en la direccin de y C 1 = 3

i

C 2 = 4

j

entonces, como 21 C+C=C

me queda ji ji

yx CC 43C

Otro ejemplo sera el vector D (figura 2.10 b) que tiene componente en x: Dx= -5 y componente en y:

Dy= 3, por lo que D 5 3 i j

Como vemos, este mtodo para representar vectores nos facilita el clculo de la resultante, pues ahora

si deseamos la resultante de C y Dbastar sumar los dos vectores de la siguiente manera:

ji

jijijijiji

72R

345335433543DCR

Lo que nos indica que la resultante de C y Des un vector que tiene componente en x: Rx = -2 y

componente en y: Ry = 7. Observamos en la figura 2.11 que la resultante dibujada por medio del

mtodo grfico de la regla del paralelogramo, efectivamente tiene las componentes calculadas.

Ahora que sabemos lo que se entiende por versores o vectores unitarios, podemos describir cualquier

vector en forma completa escribindolo en forma de componentes y utilizando los versores i ,

j y

k

como lo hicimos para los vectores C y D .

x

j

y

C

i

Figura 2.11

D

R

y

x

x j

y

CA

i

y

i

j

Figura 2.10

a) b)

D

34


1.7.- Producto entre vectores

Producto escalar entre vectores

Sean los vectores:

Se define el producto escalar de dos vectores (y se usa el punto . como smbolo de este producto) de la siguiente manera:

Donde es el ngulo que forman los vectores

Y puede escribirse tambin como:

Como vemos, el producto escalar entre dos vectores es conmutativo y da como resultado un escalar.

Producto vectorial entre vectores

El producto vectorial entre dos vectores da como resultado otro vector: y se usa x o

bien como smbolos de este producto. (Figura 2.12)

El mdulo del vector que resulta es:

Donde es el ngulo que forman los vectores

La direccin de C es perpendicular al plano

determinado por

El sentido de C est dado por la regla del tirabuzn

Como vemos, el producto vectorial no es conmutativo, es decir:

Productos entre versores

Si aplicamos estas definiciones a los productos escalares y vectoriales entre los versores obtenemos:

Productos escalares:

Productos vectoriales:

Los mdulos de todos los versores son iguales a 1 y, adems, sen 0 = 0 y sen 90 = 1, y siguiendo la

regla del tirabuzn, queda:

k z j y i x B k z j y i x A BBBAAA

cos . B . A B . A

By A

0 i . ky 0 k . j modo mismo del 0 0 . 1 . 1 90 cos . j . i j . i

1 k . ky 1 j . j modo mismo del 1 1 . 1 . 1 0 cos . i . i i . i

A B B A

BABABA z z y y x x B . A

sen . B . A B A C

By A

C B A

j- k i i - j k k- i j

j i k i k j k j i

0 k k 0 j j 0 i i

By A

C

B

A B A

A B

Figura 2.12

35


Una reglita para recordar estos resultados es la siguiente: Si escribo los versores en orden:

Cuando realizo el producto en el orden que escribo (izquierda a derecha) el resultado es el vector que

sigue en el orden

i j k i j

k i j

Pero cuando realizo el producto en el orden inverso (de derecha a izquierda), tambin obtengo el

vector que sigue en el orden, pero cambiado de signo.

i j k i j

-i -j -k

1.8.- Ejemplos

Sean los vectores en el plano XY:

El producto escalar de entre ser:

Note que el resultado es un escalar

El producto vectorial de entre ser:

Note que el resultado es un vector perpendicular al plano XY

j 4 i 5 B j 2 i 3 A

By A

7 B A

7 8-15 2.(-4) 3.5 y . y x. x 1 . y . y 0 . x. y 0 . y . x 1 . x. x B A

)j . j( y . y )i . j( x. y j) . i( y . x )i . i( x. x )j y i x).( j y i (x B A

BABABABABABA

BABABABABBAA

.

.

.

k 22- k 2.5-3.(-4) B A k ) x. y y . (x 0 . y . y )k(- . x. y k . y . x 0 . x. x B A

)j j( y . y )i j( x. y )j i( y . x )i i( x. x B A

)j y i x() j y i (x B A

BABABABABABA

BABABABA

BBAA

By A

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