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Objetivo:Representar de manera gráfica la relación existenteentre varios conjuntos y las características de suselementos haciendo uso de la teoría lógica.

Diagramas lógicos: Es la representación gráfica(zonas cerradas) de un enunciado, que puedecontener cuantificadores, en la que se respeta lanaturaleza de éstos.

Ejemplo: Algunos cantantes son colombianos.Todos los colombianos son alegres. Por tanto.

Solución:Tenemos tres conjuntos. Los colombianos, loscantantes y los alegres.Analizando la primera premisa tenemos que unaparte del conjunto de los colombianos perteneceal conjunto de los cantantes así:

En la segunda premisa tenemos que el conjuntode los colombianos está incluido totalmente en elconjunto de los alegres, así:

Ahora, incluyendo ambas partes:

Analizando cada zona numerada tenemos.Zona 1: Alegres que no son colombianos y no soncantantes.Zona 2: Alegres que no son colombianos y soncantantes.Zona 3: Cantantes que no son alegres.Zona 4: Colombianos que no son cantantes.Zona 5: Cantantes que son colombianos.

Ahora veamos cuando el enunciado viene porcategorías, es decir, cuando se separan especies,conjuntos, grupos, por comas o por renglón enforma categórica. Lo primero que se debe haceres resolver el problema de cultura general, esdecir, saber si en realidad estos conjuntos, grupos,especies están relacionados o no y a qué nivel.Cuando se tenga claro esto, se construye eldiagrama lógico respetando estas relaciones silas hay.Es importante tener claro que cuando se hablade "algunos" podría referirse a todos.

Gimnastas, mecánicos, empresarios.

Solución:

En un grupo de gimnastas, mecánicos y empresarioses posible tener individuos gimnastas, mecánicos yempresarios como también personas que sólocumplen dos de estos tres roles y personas que sólocumplen un rol.Veámoslo en un diagrama lógico.

Departamento de Matemáticas

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Análisis de zona

Zona 1: Personas que son gimnastas, mecánicosy empresarios.

Zona 2: Personas que son gimnastas ymecánicos pero no empresarios.

Zona 3: Personas que son mecánicos yempresarios pero no gimnastas.

Zona 4: Personas que son gimnastas yempresarios pero no mecánicos.

Zona 5: Personas que sólo son gimnastas.

Zona 6: Personas que sólo son mecánicos.

Zona 7: Personas que sólo son empresarios.

SilogismoEs un tipo de inferencia mediata.

Silogismo categórico:

Hay tres términos, uno de ellos se repite en laspremisas y no aparece en la conclusión. Sireemplazamos cada uno de los términos por lasletras “M” (para el término que se repite en laspremisas), “S” (para el sujeto de conclusión), y“P” (para el predicado de la conclusión), es posibleobtener la forma lógica del razonamiento.

Forma típica del silogismo categórico

La conclusión contiene dos de los tres términosdel silogismo:

– su P es el término mayor del silogismo

– su S es el término menor del silogismo

El término mayor y el término menor aparecen enpremisas diferentes.

Término medio: es el tercer término, que apareceen ambas premisas, pero no en la conclusión.

Así por ejemplo:

Mediante un diagrama se puede visualizar loafirmado.

A partir de lo cual la conclusión se desprende delas premisas con necesidad lógica, sin tener encuenta el contenido.

En estos ejemplos de interpretación se puedeobservar que ambos razonamientos tienen encomún la estructura lógica, pero difieren en cuantoal valor de verdad de las premisas: en (1) sonverdaderas y en (2) son falsas, en (1) y (2) laconclusión es verdadera, y sin embargo de ambosse puede decir que son válidos. Con esto se quieresignificar que la validez es independiente delcontenido, y la lógica dispone de métodosdeductivos propios a partir de los cuales determinala validez o invalidez de los razonamientos segúnla forma de los silogismos.Patrones del Silogismo:

Todo S es PNingún S es PAlgún S es PAlgún S no es P

De todos los patrones posibles para laconstrucción de los silogismos, Aristótelesencontró válidos sólo 16 de ellos, y al dejar en lalista entre cada dos equivalentes, a sólo uno deellos, dijo que eran:

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Dos de los si logismos considerados porAristóteles en realidad no son válidos.

Estos son:

Todo M es P Ningún M es P

Todo M es S Todo M es S

Algún S es P Algún S no es P

Euler inventó un modo elegante de comprobarla validez de los silogismos mediante ideasgeométricas: se conoce con el nombre demétodo de los círculos de Euler.

La idea consiste en representar el silogismomediante tres círculos que se solapan.

Para ilustrar el método, consideremos elejemplo:

Todos los hombres son mortalesSócrates es un hombreSócrates es mortal

Esto es:

Todos los M son PTodos los S son MTodos los S son P

La premisa mayor, Todos los M son P, dice quelas regiones 3 y 5 están vacías (todos losobjetos de M están en P, lo que equivale a decirque se hallan en las regiones marcadas con 2y 4).

La premisa menor, Todos los S son M, estableceque las reglas 1 y 7 están vacías. Así pues, elefecto combinado de las dos premisas indica quelas regiones 1, 3, 5, y 7 se hallan vacías.

El objetivo ahora es construir una proposiciónque haga intervenir a S y a P y que seaconsistente con esta información referente a lasdiversas regiones. Las regiones 3 y 7 estánvacías, de modo que cualquier cosa en S debehallarse en la región 1 o en la 4, y por lo tantoen P. En otras palabras, todo S es P.

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En los ejercicios del 1 al 10, escoja el diagramaque mejor representa las premisas dadas.

1. Algunos triángulos son triángulos equiláteros

A. B.

C. D.

2. Todo rombo es paralelogramo

A. B.

C. D.

3. Ningún estafador es confiable

A. B.

C. D.

4. Todos los hombres son bípedos y vivíparos

A. B.

C. D.

5. Algunas teorías políticas son fundamentalmentelógicas

A. B.

C. D.

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9. No todos los triángulos isósceles no sonequiláteros

A. B.

C. D.

10. No es cierto que, todo cuadrilátero esrectángulo o rombo

A.

B.

C.

D.

6. Todos los trapecios no son volúmenes

A. B.

C. D.

7. Ningún cuadrado no es rectángulo

A. B.

C. D.

8. No todos los perros son perros agresivos

A. B.

C. D.

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En los ejercicios del 11 al 13, escoja eldiagrama que mejor representa los conjuntosdados.

A.

B.

C.

D.

E.

11. Turpiales, aves, caballos

A. AB. CC. BD. D

12. Suramericanos, humanos, científicos

A. BB. AC. DD. E

13. Artistas, escultores, herreros

A. EB. CC. AD. B

En los ejercicios del 14 al 16, escoja eldiagrama que mejor representa los conjuntosdados.

A.

B.

C.

D.

E.

14. Rombos, pentágonos, rectángulos

A. AB. BC. CD. E

15. Soldados, militares, maestros

A. EB. BC. CD. D

16. Antioqueños, colombianos, europeos

A. EB. BC. CD. D

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En los ejercicios del 17 al 19, escoja eldiagrama que mejor representa los conjuntosdados.

A.

B.

C.

D.

E.

17. Nadadores, colombianos, americanos

A. AB. EC. DD. B

18. Deportistas, coleccionistas, toreros

A. AB. BC. CD. D

19. Pentágonos, cuadrados, poligonos regulares

A. BB. CC. DD. A

En los ejercicios del 20 al 23, escoja eldiagrama que mejor representa los conjuntosdados.

A.

B. C.

D. E.

20. Perros, mamíferos, vertebrados

A. CB. BC. AD. D

21. Felinos, reptiles, animales peligrosos

A. DB. CC. BD. A

22. Ácidos, líquidos, sólidos

A. DB. CC. BD. A

23. Ciclistas, futbolistas, deportistas

A. BB. EC. CD. D

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En los ejercicios del 24 al 30, escoja eldiagrama que mejor representa los conjuntosdados.

A.

B.

C.

D.

E.

24. Cuadrados, rombos, rectángulos

A. AB. BC. CD. D

25. Mitos, relatos escritos, geometrías

A. EB. BC. CD. D

26. Números naturales, números pares, númerosirracionales.

A. AB. BC. ED. D

27. Profesionales, abogados, ingenieros

A. BB. AC. ED. D

28. Elipse, circunferencia, cónicas

A. AB. BC. ED. D

29. Números complejos, números naturales,números primos

A. CB. EC. AD. B

30. Rosales, plantas, peces

A. AB. BC. CD. E

En los ejercicios del 31 al 51, halle con ayudade diagramas la conclusión que puedesacarse de las premisas dadas.

31. Todo número múltiplo de dos es par. Por tanto

A. todo número par es múltiplo de dosB. algunos números que no son múltiplos de dos

son imparesC. si un número es múltiplo de dos entonces

es parD. algunos números pares no son múltiplos

de dos

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32. Ningún país no desarrollado es un país noacuícola. Por tanto

A. todo país no desarrollado es país acuícolaB. todo país no desarrollado es país no acuícolaC. todo país desarrollado es país no acuícolaD. todo país desarrollado es país acuícola

33. Todos los socialistas son pacifistas. Por tanto

A. algunos no pacifistas no son no socialistasB. ningún no socialista es no pacifistaC. todos los no pacifistas son no socialistasD. algún socialista es no pacifista

34. Algunos santos fueron mártires. Por tanto

A. todos los santos fueron mártiresB. todos los no mártires fueron no santosC. no es cierto que ningún mártir es santoD. algunos mártires no fueron santos

35. Algunos comerciantes no son piratas. Portanto

A. todos los no piratas son no comerciantesB. no es cierto que algunos no piratas no son

comerciantesC. algunos no piratas son comerciantesD. ningún no pirata es comerciante

36. Ningún espía es periodista. Usted esperiodista. La deducción es

A. usted es espíaB. usted no es espíaC. los espías son periodistasD. algunos periodistas son espías

37. Todo trapecio es cuadrilátero. Algún polígonono es cuadrilátero. Por tanto

A. algún polígono es cuadriláteroB. algún polígono no es trapecioC. ningún trapecio es polígonoD. todo trapecio no es polígono

38. Alguna relación no es función. Toda relaciónes una correspondencia. Por tanto

A. toda correspondencia no es funciónB. ninguna correspondencia es funciónC. no toda función no es correspondenciaD. alguna correspondencia no es función

39. Algunos hombres son baladistas. Todos losbaladistas son cantantes. Por tanto

A. todos los cantantes son baladistasB. algunos hombres son cantantesC. algunos baladistas son hombresD. todas las mujeres son cantantes

40. Todos los vertebrados con branquias no tienenpulmones. Algunos vertebrados con branquiasson anfibios. Por tanto

A. algunos anfibios no tienen pulmonesB. ningún anfibio tiene pulmonesC. ningún anfibio no tiene pulmonesD. no es cierto que algunos anfibios son

vertebrados o no tienen pulmones

41. Algunas mujeres son cantantes. Todos losbaladistas son cantantes. Ana no es cantante.Por tanto

A. Ana no es mujerB. Ana no es baladistaC. Ana es cantanteD. Ana no es cantante

42. Todo triángulo equiángulo es triánguloequilátero. No todo triángulo es triánguloequilátero. Por tanto

A. no todo triángulo es triángulo equiánguloB. todo triángulo no es triángulo equiánguloC. algún triángulo equiángulo no es triánguloD. es falso que, algún triángulo no es triángulo

equiángulo

43. Todos los amigos de Pedro son chicos quejuegan baloncesto. Todos los chicos quejuegan baloncesto son altos. La deducción es

A. algunos amigos de Pedro son altosB. ningún jugador de baloncesto es altoC. todos los amigos de Pedro son altosD. ningún amigo de Pedro es alto

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44. Según el siguiente diagrama de Venn, elargumento válido que lo representa es

A. todos los estudiantes son inteligentes. Algunosperezosos son mujeres. Por tanto, algunosestudiantes y varones son perezosos

B. algunos varones son perezosos. Algunosestudiantes son varones. Por tanto, todos losestudiantes son perezosos

C. ningún perezoso es estudiante. Algunosestudiantes son varones. Por tanto, todos losvarones son perezosos

D. todos los varones son perezosos. Algunosestudiantes son varones. Por tanto, al menosun estudiante es perezoso

45. Ningún estudiante es perezoso. Juan es unartista. Todos los artistas son perezosos. Ladeducción es

A. algunos estudiantes son perezososB. Juan no es estudianteC. algunos estudiantes no son perezososD. Juan es estudiante

46. Todos los médicos son deportistas. Loscoleccionistas de estampillas son personastímidas. Beatriz es médica. Ninguna personatímida es deportista. La deducción es

A. algunas personas tímidas son deportistasB. todos los coleccionistas de estampillas son

deportistas, como BeatrizC. Beatriz no colecciona estampillasD. algunos médicos coleccionan estampillas

47. Todos los abogados son ricos. Los poetas soncaprichosos. Marcos es abogado. Ningúncaprichoso es rico. La deducción es

A. algunos abogados son poetasB. algunos caprichosos son ricosC. Marcos no es poetaD. todos los ricos son abogados, menos Marcos

48. Los pastores son perros. Los perros sonmamíferos. Ningún mamífero pone huevos.Por tanto

A. algunos pastores son mamíferosB. los pastores son ovíparosC. algunos mamíferos no ponen huevosD. todos los pastores no ponen huevos

49. A partir de la siguiente representación nopodemos afirmar que

A. ningún F es BB. algunos A no son EC. todos los D son FD. algunos A son B

50. Algunos profesores venden ropa. Todos losmatemáticos son personas interesantes. Sólola gente que no es interesante se dedica avender ropa. Por tanto

A. los vendedores de ropa no son matemáticosB. algunos matemáticos son profesoresC. algunos profesores no son matemáticosD. si Pacho no vende ropa, entonces es matemático

51. Todo lo que se aparta de las leyes es un delito.Todas las cosas que ocurren por azar seapartan de las leyes. La deducción es

A. algunas cosas que ocurren por azar son delitoB. ninguna cosa que ocurra por azar es delitoC. ninguna cosa que ocurra por azar se aparta

de la leyD. todas las cosas que ocurren por azar son

delitos