10 lectureROTACIONmodif.ppt [Modo de compatibilidad] · Rotación Hemos tratado el movimiento de...

RotaciónRotaciónRotaciónRotación

� Hemos tratado el movimiento de cuerpos fijándonos en su CM

� Ahora estudiaremos rotación de sólidos rígidos (objetos extensos) sobre un eje fijo en un sistema inercial

� La rotación se da en todas las escalas desde los

03/12/2012 Tema VI. Rotación 1

� La rotación se da en todas las escalas desde los electrones en los átomos hasta galaxias enteras.

� Necesitamos describir el movimiento de un cuerpo en rotación.

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RotaciónRotación de de objetosobjetos extensosextensos no no sólidossólidosRotaciónRotación de de objetosobjetos extensosextensos no no sólidossólidos

Andromeda Galaxy Huracán


RecordatorioRecordatorio de la de la cinemáticacinemática del del

movimientomovimiento circular circular

RecordatorioRecordatorio de la de la cinemáticacinemática del del

movimientomovimiento circular circular

Magnitudes físicas para describir el movimiento circular• Angular displacement θ


• Angular velocity

• Angular acceleration

ω =dθ

dt

α =dω

dt=d2θ

dt 2

MovimientoMovimiento lineal y circularlineal y circularMovimientoMovimiento lineal y circularlineal y circular

Relaciones entre las magnitudes físicas

• Displacement, velocity, and acceleration

s = rθ

v = rω

a = rα

03/12/2012 5

• Kinetic energy for linear motion

• Kinetic energy for circular motion (masa puntual)

a = rα

K = 1

2mv2

K = 1

2mv2 = 1

2m(rω )2 = 1

2mr2ω 2

Tema VI. Rotación

Cálculo de Cálculo de ωω y y ααCálculo de Cálculo de ωω y y αα

� El volante de un motor de automóvil tiene undiámetro de 0.36 m. La posición angular del volanteestá dada por θ=2t3 rad. Calcula la distancia que unapartícula, en el borde, se mueve desde t=2s hastat=5s. Calcula la velocidad angular media en rad/s yen rpm en ese intervalo y calcula ω(t=5s).θ1=16 rad=920º θ2=250 rad=14000ºen rpm en ese intervalo y calcula ω(t=5s).

� θ1=16 rad=920º θ2=250 rad=14000º� s=r∆θ=42 m� ϖ= ∆θ/ ∆t =78 rad/s =740 rpm

� ω =dθ/dt =6 t2 ω(t=5s)=150 rad/s.� Calcula <α> en ese intervalo y α en t=5s. (42s-2;60s-2)


SistemaSistema de de variasvarias partículaspartículasSistemaSistema de de variasvarias partículaspartículas

� The kinetic energy of several point particles

� If we assume that these particles keep their distances fixed with respect to each other (sólido rígido, todas las partículas tienen igual velocidad angular) we can write

K = Kii=1

n

∑ = 1

2mivi

2

i=1

n

∑ = 1

2mi

i=1

n

∑ ri2ω i

2


� Where I is the moment of inertia given byMov. traslación CM y mov. rotación (eje fijo)

K = 1

2mi

i=1

n

∑ ri2ω 2 = 1

2mi

i=1

n

∑ ri2

ω 2 = 1

2Iω 2

I = mii=1

n

∑ ri2

Compare Klinear =1

2mv2 ⇔ Kcircular =

1

2Iω 2

MomentoMomento de de inerciainercia de de objetosobjetos contínuoscontínuosMomentoMomento de de inerciainercia de de objetosobjetos contínuoscontínuos

� We approximate our extended object as a collection of small, identically sized cubes of volume dV of density ρ

2 ( )V

I r r dVρ⊥= ∫r2 ( )

V

I r r dVρ⊥= ∫r


( )V

M r dVρ= ∫r

� Compare to

Some Moments of InertiaSome Moments of InertiaSome Moments of InertiaSome Moments of Inertia


Solid cylinder

Rotating around

symmetry axis

Also describes solid

disk

Hollow cylinder

Rotating around

symmetry axis

Also describes wheel

Solid cylinder rotating

perpendicular to symmetry axis

for R << h : I for thin rod

rotating about center

I =1

12Mh2

Calculation of Calculation of II for Hollow Cylinder (1)for Hollow Cylinder (1)Calculation of Calculation of II for Hollow Cylinder (1)for Hollow Cylinder (1)

� Obtención del momento de inercia de un cilindro hueco, uniforme, girando alrededor de su eje de simetría• Constant density ρ

• Outer radius R1

• Inner radius R2


• Inner radius R2

• Height h

• We will see that h cancels out

• A wheel, a hollow cylinder, or a hollow disk will have the same form for their moment of inertia


� Elegimos coordenadas cilíndricas

� El elemento diferencial de volumen viene dado por

dV = rdrdφdh


� Now let’s calculate the mass of the hollow cylinder


� For the mass we getM = ρ dV

V

∫ = ρ dh−h /2

h /2

∫

dφ

0

2π

∫

r dr

R2

R1

∫

= ρh dφ0

2π

∫

r dr

R2

R1

∫

= ρh2π r drR2

R1

∫


� For the density we then can write:

R2

= ρh2π 12 R1

2 − 12 R2

2( )= π R1

2 − R22( )hρ

M = π R12 − R2

2( )hρ ⇔ ρ =M

π R12 − R2

2( )h


� Now calculate I

� Insert the result for the density

I = ρ r2 dVV

∫ = ρ dh−h /2

h /2

∫

dφ

0

2π

∫

r

3 drR2

R1

∫ = ρh dφ0

2π

∫

r3 dr

R2

R1

∫

I = ρh2π r3 drR2

R1

∫ = ρh2π 14 R1

4 − 14 R2

4( )

( )M

( )


� Insert the result for the density

� And finally we get

(anillo, tubo…)

I = 1

2ρhπ R1

4 − R24( )=

M

π R12 − R2

2( )h1

2hπ R1

4 − R24( )

( )

4 4 2 2 2 2

2 211 22

1 2

2

(since: ( )( ))

Note that for ,

a b a b a b

I M

I

R R

R R R MR

− = + −

= +

≈ = =

Moment of Inertia for Other GeometriesMoment of Inertia for Other GeometriesMoment of Inertia for Other GeometriesMoment of Inertia for Other Geometries


Rectangular block

Rotating around axis

though the center

Solid sphere


through the center

Thin spherical shell


through the center

I = 2

3MR2

Example: Rotational Kinetic Energy of the EarthExample: Rotational Kinetic Energy of the EarthExample: Rotational Kinetic Energy of the EarthExample: Rotational Kinetic Energy of the Earth

Question: ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la Tierra?

Answer:

2

2

24

1

2

Take the Earth as a sphere with constant density

2

5

5.98 10 kg

K I

I MR

M

ω=

=

= ⋅


( )( ) ( )

6

5

2 224 6 5

6.37 10 m

2 2 1hour7.29 10 Hz

24 hours 3600 s

1 25.98 10 kg 6.37 10 m 7.29 10 Hz

2 5

2.6

R

T

K

K

π πω −

−

= ⋅

= = = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ 29 3310 J (compare with 2.6 10 J translational K)⋅

Parallel Axes Theorem [Steiner] (1)Parallel Axes Theorem [Steiner] (1)Parallel Axes Theorem [Steiner] (1)Parallel Axes Theorem [Steiner] (1)

� Ahora que se ha resuelto elproblema del momento deinercia de un cuerpo enrotación alrededor de un ejeque pasa por el CM, vamos aobtener el momento deinercia de cuerpos que giranalrededor de un eje que no


alrededor de un eje que nopasa por el CM

� Elegimos los ejes decoordenadas como en lafigura: origen en el CM y eleje z coincidente con el ejerespecto del cual conocemosI.

Parallel Axes Theorem (2)Parallel Axes Theorem (2)Parallel Axes Theorem (2)Parallel Axes Theorem (2)

� Relationship between old and new coordinates

� Perpendicular distance in the new coordinates

x ' = x − dx; y ' = y − dy; z ' = z

r '⊥2 = x '2+ y '2 = (x − dx )

2 + (y − dy )2 =

= x2 − 2xdx + dx2 + y2 − 2ydy + dy

2

= (x2 + y2 ) + (dx2 + dy

2 )− 2xdx − 2ydy


� Moment of inertia about new axis

= (x + y ) + (dx + dy )− 2xdx − 2ydy

= r⊥2 + d 2 − 2xdx − 2ydy

IP = r '⊥2 ρdV

V

∫

= r⊥2ρdV

V

∫ + d 2 ρdVV

∫ − 2dx xρdVV

∫ − 2dy yρdVV

∫

CM

Parallel Axes Theorem (3)Parallel Axes Theorem (3)Parallel Axes Theorem (3)Parallel Axes Theorem (3)

� Need to evaluate integrals individually

� 1st: I about c.m.

� 2nd: d2M

� 3rd & 4th: location of x and ycoordinate of c.m. => by construction

2 2 2 2x y

V V V V

I r dV d dV d x dV d y dVρ ρ ρ ρ⊥= + − −∫ ∫ ∫ ∫�


3rd & 4th: location of and coordinate of c.m. => by constructionthen these integrals are 0.

� Final result:

2

cmI I Md= +�

2

cmI I Md= +�

CM

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