TRABAJO DE CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO A:

Profesor Wilson Camargo

PRESENTADO POR:

Harold Castilla

UNAD

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Tecnología en Electrónica

10041_224

EJERCICIOS

Ejercicio 1

1 1

1

1

1

lim

lim

1 1 1lim

1lim

0

x x x

bx x

b

bx x

b

b bb

b bb

x e dx e xe dx

e xe dx

e xe

b

e e e e

b

e e

Ejercicio 2

0

2 2 20

0

2 20

0

0

1 1 1

lim lim1 1

lim arctan lim arctan

lim arctan lim arctan4 4

04 2 4

2

x x x

x x x

x xb

x xaa b

b

aa b

a b

e e edx dx dx

e e e

e edx dx

e e

x x

a b

Ejercicio 3

1 1

3 30 0

12

3

0

12

3

0

23

0

lim

3lim

2

3lim

2

3lim 1

2

31 0

2

3

2

aa

aa

a a

a

dx dx

x x

x

x

a

Ejercicio 4

2

0 02

cos coslim

1 sin 1 sin

b

b

x xdx dx

x x

sea 1 sin

cos

u x

du xdx

2

10 0 22

12

02

12

02

02

2

2

coslim

1 sin

lim

lim 2

2 lim 1 sin

2 lim 1 sin 1 sin 0

2 lim 1 sin 1

2 1 sin 12

2 1

2

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

x dudx

x u

u du

u

x

b

b

Ejercicio 5

4

3

3

sea 3

4

4

u x

du x dx

dux dx

23 4 2

3

3

34

13

4

1

4 3

1

12

13

12

x x dx u du

uC

u C

x C

Ejercicio 6

1 1

0 0

33

4 4

dxdx

x x

2

sea 4

4

2 4

u x

x u

dx u du

1 1

20 0

1

0

1 1

0 0

1 1

0 0

1 1

0 0

2 433

4 4 4

46

6 24

6 24ln

6 4 24ln 4

6 4 1 6 4 0 24 ln 4 1 ln 4 0

24 6 24 24 ln 5 ln 4

56 24ln

4

udx du

x u

udu

u

dudu

u

u u

x x

Ejercicio 7

2

2

sea tan

2sec

4 2sec

x

dx d

x

2

22 2

2

2

2

2

2

2sec

2 tan 2sec4

sec

4 tan

1sec cot

4

1 1 cos

4 cos sin

1 cos

4 sin

dx d

x x

d

d

d

d

sea u sin

cosdu d

2 22 2

2

1 cos 1

4 sin 44

1 1

4

1

4

1

4

1csc

4

1 4

4

dx dud

ux x

Cu

Cu

Csen

C

xC

x

Ejercicio 8

2

sea 2sec

2sec tan

4 2 tan

x

dx d

x

22

2

3

2

4sec 2sec tan

2 tan4

4 sec

4 sec sec

dxdx

x

d

d

2

sea sec

sec tan

sec

tan

u

du d

dv d

v

22

2

2

2

2

4 sec sec4

4 sec tan tan sec tan

4sec tan 4 sec tan

4sec tan 4 sec sec 1

4sec tan 4 sec sec 4 sec

xdx d

x

d

d

d

d d

3 2luego 4 sec 4sec tan 4 sec sec 4 secd d d

3

tenemos que

8 sec 4sec tan 4 secd d

De donde

3

2

2

2 2

2 2

4 sec 2sec tan 2 sec

2sec tan 2ln sec tan

2sec tan 2ln sec tan4

4 42 2ln

2 2 2 2

4 42ln

2 2

d d

C

xdx C

x

x x x xC

x x x xC

Ejercicio 9

Aplicando integración por partes

2sea

2

sin

cos

u x

du xdx

dv d

v

2 2

2

sin cos cos 2

cos 2 cos

x xdx x x x xdx

x x x xdx

Aplicando nuevamente integración por partes

sea

cos

sin

w x

dw xdx

dz dx

z x

2 2

2

2

2

sin cos 2 cos

cos 2 sin sin

cos 2 sin 2 cos

2 sin 2cos

x xdx x x x xdx

x x x x xdx

x x x x x C

x x x x C

Ejercicio 10

3 2 3 2

2

2

3 5 3 5

1 1

3 5

1 1

3 5

1 1

x xdx dx

x x x x x x

xdx

x x

xdx

x x

Aplicando fracciones parciales tenemos que

23 2

3 5

1 1 1 1

x A B C

x x x x x x

Luego

2

2 2

2

3 5 1 1 1 1

2 1 1 1

2

x A x B x x C x

A x x B x C x

A B x A C x A B C

De donde

0 1

2 3 2

5 3

A B

A C

A B C

Resolviendo el sistema anterior tenemos

12

12

4

A

B

C

23 2

2

1 13 5 42 2

1 1 1 1

1 14

2 1 2 1 1

xdx dx

x x x x x x

dx dx dx

x x x

Aplicando doble sustitución tenemos

1

1

u x du dx

v x dv dx

3 2 2

3 5 1 14

1 2 2

1 1 1ln ln 4

2 2

1 1 1ln 1 ln 1 4

2 2 1

1 1 4ln

2 1 1

1 4ln

1 1

x du dv dvdx

x x x u v v

u v Cv

x x Cx

xC

x x

xC

x x

Ejercicio 11

3 4 2 4

2 4

4 6

4 6

sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2

sin 2 1 cos 2 cos 2

sin 2 cos 2 cos 2

sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

x xdx x x xdx

x x xdx

x x x dx

x xdx x xdx

Aplicando integración por sustitución tenemos

sea 2

2

u x

du dx

3 4 4 6

4 6

sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

1 1sin cos sin cos

2 2

x xdx x xdx x xdx

u udu u udu

Aplicando nuevamente sustitución nos queda

sea cos

sin

v u

dv udu

3 4 4 6

5 74 6

7 5 7 5

7 5

1 1sin 2 cos 2 sin cos sin cos

2 2

1 1 1 1

2 2 2 5 2 7

cos cos

14 10 14 10

cos 2 cos 2

14 10

x xdx u udu u udu

v vv dv v dv C

v v u uC C

x xC

Ejercicio 12

2

2

cosh ln cosh ln

ln2

1ln

2

1 1ln

2 2

x x

x xx

x

x

e x x dx e xdx xdx

e ee dx xdx

edx xdx

e dx dx xdx

Aplicando integración por sustitución tenemos

sea 2

2

u x

du dx

21 1cosh ln ln

2 2

1 1 1ln

2 2 2

1 1ln

4 2

1 1ln

4 2

x x

u

u

u

e x x dx e dx dx xdx

e du dx xdx

e dx xdx C

e x xdx C

Aplicando integración por partes tenemos

sea lnv x

dw dx

dxdv

x

w x

2

1 1cosh ln ln

4 2

1 1ln

4 2

1 1ln

4 2

1 1ln

4 2

1 1ln

4 2

x u

u

u

u

x

e x x dx e x xdx C

dxe x x x x C

x

e x x x dx C

e x x x x C

e x x x C