100412 90 Trabajo Fase 2 Grupal
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Colores de Aportes
SANDRA GALLO GÓMEZ 1 SANDRA GALLO GÓMEZ 2
MILLER MAURICIO RODRIGUEZ
YON IVAN MARQUEZ
Actividad colaborativa*
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden superior:
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?
REFERENCIA 3
Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer páginas 81 a 100. Texto completo en http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/
Estaríamos en el caso de una vibración simple no amortiguada.
d2 xdt2
+ kmx=0
La solución general seria:
x (t )=c1 cos (√ km t )+c2 sen(√ km t) , c1c2∈ R
Primero debemos encontrar k, la mas de 4lb estira el resorte de 3 pulgadas (1/4 pie).
Se emplea la ley de Hooke:
4=mg=k 14,
K=16 lb / pie, g=32pie
seg2, por lo tantom= 4
32=1
8slug
√ km=√ 161/8
=8√2
Entonces: x (t )=c1 cos ( 8√2 t )+c2 sen (8√2t )
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales x (0 )=3 pulgadas=14pie y x ' (0 )=√2 pies/seg,
entonces:
14=x (0 )=c1
√2=x ' (0 )=8√2c2
Entonces c1=14
y c2=18
La ecuación del movimiento de la masa
x (t )= 14
cos (8√2t )+ 18sen (8√2t )
Quedando al ecuación diferencial como:
x ´ ´+1618
x=0
x ' '+128 x=0
Del enunciado del problema las condiciones iniciales son:
x ´ (0 )=√2 ft / s
x (0 )=0 ft
Solución a la ecuación diferencial:
La solución es de la forma:
x (t )=e∝ t (C1 cos (βt )+C2 sin (βt ) )
Y la ecuación a resolver es:
x ' '+128 x=0
La solución se basa en:
m2+128=0
Factorizando como:
(m−(√128 i ) ) (m+(√128 i ) )=0
m2−(√128 i )2=0
m 1=(√128 i)
∝=0
β=√128
Quedando la solución de la ecuación diferencial como:
x (t )=(C1 cos (√128 t )+C 2sin (√128 t ) )
Usando las condiciones iniciales:
0=(C1cos (√128 (0))+C2 sin (√128(0)))
√2=(−√128 sin (√128(0))+√128 cos (√128 (0)))C1=0
C2=√( 164 )
Finalmente se tiene entonces que la soluciona la ecuación diferencial es:
x (t )=√( 164 )sin (√128 t )
Donde la amplitud es:√( 164 )
El periodo es:( 2π
√128 )Y La frecuencia es:(√128
2π )¿Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?
x (t )=√( 164 )sin (√128 t )
La posición de equilibrio es cuando x=0 para ese resorte y esa masa, en ese orden de ideas:
0=√( 164 )sin (√128 t )
sin−1(√( 164 ))=√128 t
t=[sin−1(√( 1
64 ))]√128
De forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial:
d2 xdt2
+b dxdt
+25 x=0
En donde, x (0 )=1 , x' (0 )=0 encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos
Caso 1: Movimiento subamortiguado: .b=6
Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado b=10
Caso 3: Movimiento sobreamortiguado: b=14
Solución
Caso 1: b=6 la ecuación característica es:
λ2+bλ+25=0 Cuyas raíces son
−6±√62−1002
=−3±4 i
Como son raíces complejas conjugadas se usa:
x (t )=C1 eαt cosβt+C2 e
αt senβt
La ecuación de movimiento tiene la forma:
x (t )=C1 e−4 t sen3 t+C2e
−4 t cos3 t
x ' (t )=−31 e−4 t (C1 sen3 t+C2 cos3 t )+4e−3 t (−C1 cos3 t+C2 sen3 t)
Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0, se tiene el sistema: 1=C1, 0=−3C1+4C2
Por tanto: C1=1 y C2=34
Con las condiciones iniciales se debe reemplazar en la ecuación y se deriva para hallar la solución
Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma
x (t )=e−4 t(sen3 t+ 34
cos3 t)Caso 1 (Alternativo): x(0)= 6 pulgadas= ½ pie y x’(0) = √2 pies/seg
12=x (0 )=c1
√2=x ' (0 )=8√2c2
Lo que implica que c1=12
y c2=18
por consiguiente, la ecuación del movimiento de la
masa es
x (t )=12
cos (8√2t )+sin (8√2t )
Para expresar la solución en forma senoidal se hace lo siguiente:
A=√c12+c2
2=√178
, tan (θ )=c1
c2
=1 /21/8
=4
Entonces
x (t )=√178
sin ( 8√2 t )+θ
Con θ=arctan ( 4 )=1.326
Por tanto, la amplitud es A=√178
,, el periodo es T= 2π
8√2= π
4 √2 y la frecuencia es f
4 √2π
El tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de
equilibrio verifica 8√2 t+θ=π , lo que implica que t=π−θ8√2
=0.16042
Caso 2: b=10
La ecuación característica es:
λ2+bλ+25=0 Cuyas raíces son
−10±√102−1002
=5
Como en el resultado, las raíces son repetidas se usa:
x (t )=C1 eαt cosβt+C2 e
αt senβt
Reemplazando y con las condiciones iniciales tenemos la solución:
La ecuación de movimiento tiene la forma:
x (t )=C1 e5 t+C2 te
5 t=(C1+C2t )e5 t
x ' (t )=C2e5 t−5 (C1+C2 t )e5 t
Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0, se tiene el sistema: 1=C1, 0=C2−5C1
Por tanto: C1=1 y C2=5
Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma
x (t )=e5 t (1+5 t )
Caso 3: b=14
La ecuación característica es:
λ2+bλ+25=0 Cuyas raíces son
−14±√142−1002
=−7±√24
Al ser raíces combinadas, se usara la ecuación:
x (t )=C1 eαt cosβt+C2 e
αt senβt
La ecuación de movimiento tiene la forma:
x (t )=C1 e(−7±√24 )t+C2 e
(−7± √24) t
x ' (t )=C1 (−7±√24 )e (−7± √24)−C2 (−7±√24 ) e(−7±√24 )t
Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0, se tiene el sistema: 1=C1+C2
0=C1 (−7±√24 )+C2 (−7±√24 )
Por tanto: C1=24+7√24
48 y C2=
24−7 √2448
Finalmente la ecuación de movimiento tiene la forma:
x (t )=( 24+7 √2448 )e(−7−√24) t+( 24−7√24
48 )e (−7+√24) t