100412_42_fase_3.docx
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ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCION POR SERIE DE POTENCIAS
TRABAJO COLABORATIVO 3
PRESENTADO POR:
Erwin Yessid Acosta Rey Cod. 9479451
Eliecer Rendon
Juan Carlos Gonzalez
Jos Julin Rueda Martnez Cod 91154491
Curso Ecuaciones Diferenciales
GRUPO: 100412 -42
TUTOR
JADER ESTRADA RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
-
INTRODUCCION
Presentamos a continuacin el desarrollo de la actividad grupal con la solucin de los ejercicios planteados en la
gua de actividades teniendo presente las recomendaciones dadas, se puede ver la solucin de cada ejercicio
teniendo en cuenta los aportes de cada uno de nosotros, se presenta de forma grupal nuestros conocimientos
adquiridos durante la presente actividad y durante el presente curso de ecuaciones diferenciales.
Esperamos poder cumplir con nuestros objetivos del curso, con los objetivos de la actividad y con muchas ganas
de que podamos aplicarlo en nuestra vida cotidiana, adicionalmente nos ser de mucho agrado poder compartir
esta experiencia e interaccin grupal.
-
1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de potencias:
)=3 y )
Debemos hallar la solucin
luego comprobamos que al aplicar el problema del valor inicial, es decir, ) y )
Nos conduce a una nica solucin y 0 a infinitas solucin
Suponemos que
.
)
Luego sustituyo en la ec. Diferencial
)
)
Se enfasan (o empatan) los exponentes y los lmites de las sumas:
)
Todos los exponentes de la x arrancan en n=1; pero el lmite es infinito de todas las sumatorias deben enfasarse o
empatarse.
Para lograrlo el exponente de la de la primera sumatoria, que es
se hace:
si (lmite inferior de la )
Entonces
) ) )
;
)
sustituyo en la ec. Diferencial
)
)
se enfasan los exponentes y los lmites de las sumas
)
Todos los exponentes de la x arrancan en ; pero el limite infinito de todas las sumatorias deben enfarse o
empatarse
para lograrlo el exponente de la x de la primera sumatoria, que es
se hace
si (lmite inferior de la )
-
Entonces ) ) )
;
solo se sustituye a por ;
se sustituye a por ;
Tenemos ) ) )
+8
=0
Ordenando: (8 +6 )+ [ ) ) ]
=0 debemos poner todo en funcin
Luego
)
Todos los exponentes de la x arrancan en n=1; pero el lmite inferior de todas la sumatorias deben enfasarse o
empatarse; para lograrlo el exponente de x de la primera sumatoria, que es se hace
Si lmite inferior de la
Entonces
) )
= [ ) ) ] ;
solo se sustituye a n por k;
se sustituye a n por k
Tenemos 6 ) )
Ordenando: (8 ) [ ) ) ]
Luego
debemos poner todo en funcin de
) ) K debe arrancar de 1
k=1,2,..n
) ) )
)
) ) Relacin de Recurrencia
2. Revisar la convergencia de las siguientes series
{
} {
} {
} {
}
-
3. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial alrededor del punto X=0:
Entonces:
)
)
) )
[ ) ) ]
-
) )
) )
4. Resolver por series la ecuacin diferencial
(X2-1)Y+4XY+2Y=0
Solucin:
x2-1=0 x = 1 son puntos singulares y los x 1 son puntos ordinarios.
Trabajamos con el punto ordinario x = 0, los candidatos a solucin son de la forma
Y(x) = nxn
Debemos hallar las Cn; derivamos dos veces:
y(x)= Cnxn-1
y(x)= (n-1)Cnxn-2
Pasamos a sustituir y(x) Y y(x) en la ecuacin diferencial original:
-
x2y y +4xy +2y = 0
(n-1)Cnxn (n-1)Cnx
n-2 + nCnx
n + Cnx
n =0
Homogenizamos las potencias de x:
(n-1)Cnxn +2) (m+1)Cm+2x
m + nCnx
n + Cnx
n=0
Haciendo
Escribimos todo en trmino de K:
) kxk ) ) Ck+2x
k + Ckx
k + kx
k = 0
Ahora homogenizamos el ndice de las series:
) kxk 2C2 (3) (2)C3 x )
k+2x
k +4C1x
+ kxk + 2C0 +2C1x +
kx
k = 0
Luego
2C0 -2C2+ (6C1 -2.3C3) x+ ) k (k+2) (k+1)Ck+2+4kCk+2Ck} x
k = 0
Comparando coeficientes:
x0 : 2C0 - 2C2 = 0 C2 = C0
x1 : 6C1 6C3 = 0 C1 = C3
xk: {k (k -1) +4k +2} Ck (k+2)(k+1) Ck+2 = 0 k = 2,3,
(k2 +3k +2) Ck - (k+2) (k+1) Ck+2 = 0
(k+2) (k+1) Ck (k+2) (k+1)Ck+2 = 0
CK+2 = Ck
Ck+2 = Ck k = 2, 3
Formula de recurrencia para los coeficientes.
Iteremos la formula de recurrencia:
k = 2: C4 = C2 = C0
k = 3: C5 = C3 = C1
n 2 = m n = m + 2
n =2 m = 0
(K+2)(K+
1)
(K+2)(K+1)
-
k = 4: C6 = C4 = C0
k = 5: C7 = C5 = C1
Volviendo a
Y(x) = nxn = C0+C1 x + C2 x
2+C3x
3 + C4x
4 + C5x
5 + C6x
6 + = C0+ C1x + C0 x
2 + C1 x
3 +C0 x
4 +C1 x
5 +
C0 x6 +.
La solucin general:
= C0
= C0 + C1x (1+ x2 + x
4 +x
6 ++ x2n +)
= C0 + ya que = 1 + x + x2 + x
3 +
Siendo y1(x) y y2(x) dos soluciones linealmente independientes.
5. Encuentre para la ecuacin diferencial dos soluciones en serie de potencias en torno al punto Ordinario
x=0 que sean linealmente independientes.
+xy=0
Y=
)
)
)
)
(1+x2+x4+x6++x2n +..) + C1 (x+x3+x5++ x2n+1 +
y1(x) y2(x)
1
1-x2
1
1-x2
C1x
1-x2
1
1-x
-
2C0+6C3X+ )
2C0+6C3X+ )
( )
(2+x) 6C3X+ )
)
K=n-2 k=n+1
K=2 K=2
n=K+2 n=K-1
K=5 C6 =
(
)
K=6 C6 =
(
)
Y= C0+C1X+C2
Y=
Y= )
-
CONCLUSIONES
Desarrollamos la actividad grupal con la solucin de los ejercicios planteados en la gua de actividades.
Cumplimos con nuestros objetivos del curso, con los objetivos de la actividad y con las recomendaciones
dadas sobre la actividad.
Se realiz un trabajo en equipo y buena interaccin grupal.
Aprendimos temas de inters para el desarrollo de ecuaciones diferenciales.
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REFERENCIAS
Vindel, P, (2009). Fundamentos Matemticos de la Ingeniera. Recuperado de:
Cuartas, R., (2011). Mdulo 4: ecuaciones diferenciales de orden superior. Videos. Disponible en
Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer pginas 81 a 100.
Recuperado de:
Gmez, R. (2012). Mdulo Ecuaciones Diferenciales. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Leer
pginas 83 a 91 Recuperado de: < http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/>
Franquet, J. (2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas. Leer pginas 336 a
343 Recuperado de:
Zill, D. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. Sptima
Edicin, Mxico, Cengage Learning. Leer pginas 219 a 222.