1020_8.- Derivada 3
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7/24/2019 1020_8.- Derivada 3
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DERIVACION IMPLICITA
Prof. Luis Martnez CatalnProf. Luis Martnez Cataln
20082008
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7/24/2019 1020_8.- Derivada 3
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DERIVACION IMPLICITADERIVACION IMPLICITA
En general, la ecuacin , para determinados intervalos de ,
define a como una funcin de ; en tal caso su derivada
se determina por el METODO DE DERIVACIO IM!"ICITA#ue consiste en
derivar directamente, la ecuacin considerada, como un polinomio en e
teniendo presente #ue, para determinar dos intervalos de , la varia$le se
comporta como funcin de % es diferencia$le con respecto a , es decir,
e&iste , #ue por la regla de la cadena, de$e derivarse primero con
respecto a % luego con respecto a
0),( =yxf x
)(xyy = x )(xy
x y
x y
x x
)(xy
y x
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E'( !or el m)todo de derivacin impl*cita, encontrardx
dy
+ 222 ayx =+
02=+
dx
dyy
dx
dy
y
x
dx
dydx
dyyx
=
=+ 022
-
x2
-
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. 053 33 =++ xyxy
23ydx
dyx3+
dx
dy 033 2 =++ xy
dx
dy )33()33( 22 xyxy +=+
xyxy
xyxy
dxdy
++=++= 22
2
2
3333
-
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E'( Determinar , si xxxf 2)( 2 +=)(xf
/olucin(
=
+=
)(
)2()( 2
12
xf
xxxf
2
1)22()2( 2
12 ++
xxx
)(xfxx
x
22
)1(22 ++=
-
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E'( 0allar la derivada de la relaciny 0132 = xyy
/olucin(13013 22 == yxyyxy
!or definicin de valor a$soluto se tiene(
i 132 = yxy ii 132 = yxy
En i % ii, derivando impl*citamente, se o$serva #ue la derivada del .1
miem$ro es nula, por lo tanto, para i % ii, se tiene(
dx
dyy2 y3 0=dx
dyx3-
)32( yy =dx
dy y3xy
y
dx
dy
32
3
=
-
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E'( 0allar la ecuacin de la tangente % normal a la curva
En el punto (1,1)de ella
53 22 =++ yyxx
/olucin( (1,1) es pto2 de la curva2
Derivando impl*citamente con respecto a se tiene(x
xyx 332 ++ +dx
dy y2 0=dx
dy
115
5
23
32
)1,1( ====+
= NT mmdxdy
yx
yx
dx
dy -
T(
02
11
)1(11
=+
+==
yx
xy
xy (
xy
xy
== 11
-
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DERIVADA DE ORDEN SUPERIORDERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
-/* es diferencia$le, entonces se tiene , +3derivada
de con respecto a
)(xfy = )(xfdx
dy =y x
-!uesto #ue es funcin de , se tiene derivando con
respecto a
)(xf x )(xf
x
[ ])(
)(
2
2
xfdx
ydxf
dx
d ==
, .3derivada de con respecto a xy
- es funcin de , entonces()(xf x
[ ])(
)()3(
3
3
xf
dx
ydxf
dx
d==
, 43derivada de con respecto a x
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-/* tiene derivadas, se llega a la e&presin()(xfy =
dx
d
n
n)()(
)(
)1(x
n
n
n
fdx
yd
x
nf ==
, -)sima derivada de con
respecto a x
y
E'( Determinar las derivadas sucesivas de
/olucin(
)(xfy =
3
1 153 23
++ xxx
0)(
2)(
62)(
56)(
)(
2
=
=
+=
++=
xf
xf
xxf
xxxf
IV
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E'( Determinar en la ecuacin , suponiendo
#ue es funcin de
2
2
dx
yd 2=++ yyxx
y x
/olucin(xy ++1
x
y
dx
dy
dx
dy
dx
dy
+
+==+
1
10
Derivando impl*citamente(
02
2
2
2
=+++
dx
yd
dx
yd
dx
dy
dx
dy x
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dx
dy
xdx
yd2
1
12
2
+
=
22
2
2
2
)1(
)1(2
1
1
1
1
x
y
dx
yd
x
y
xdx
yd
++
=
++
+
= 2
-
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APLICACIONES DE LA DERIVACIONAPLICACIONES DE LA DERIVACION
TEOREMATEOREMA 5Teorema de los valores e&tremos
/i es una funcin continua definida en el intervalo cerrado ,
e&iste 5por lo menos un punto tal #ue , en el cual
toma el ma%or valor, % e&iste, 5por lo menos un punto , tal
#ue en el cual toma el menor valor2
f [ ]ba,[ ]bax ,1 bxa
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GrficamenteGrficamente
[ ]bax , se cumple en #ue)()()( 12 xfxfxf
)( 1xf es el m6&imovalor de enf [ ]ba, %
)( 2xf es el m*nimovalor de enf [ ]ba,
x
y
a01x 2x b
)( 2xf
)( 1xf
)(xfy=
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TEOREMA:TEOREMA: /upngase #ue es continua en un intervalo #ue toma su
valor m6&imo 5o m*nimo en alg7n punto #ue est6 en el interior del
Intervalo2 /i e&iste , entonces
f
0x
)( 0xf 0)( 0 = xf
COROLARIO:/* es un m*nimo de , entonces ,
/iempre #ue e&ista la derivada
)( 0xf f 0)( 0 = xf
NOTA:Es importante 8acer notar #ue de$e ser un punto interior al
intervalo, puesto #ue , definida en0
x
2)( xxf = 21 x
Tiene un m6&imo en % un m*nimo en % adem6s
en todo punto del intervalo
2=x 1=x 0)( xf[ ]2,1
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x
y
0
2)( xxfy ==
!
1)1( =f
4)2( =f
es un m*nimo de
es un m6&imo de
[ ]2,1enf
[ ]2,1enf
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APLICACIONES DE LA DERIVADA A LAAPLICACIONES DE LA DERIVADA A LA
REPRESENTACION GRA"ICA DE "UNCIONESREPRESENTACION GRA"ICA DE "UNCIONES
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simult6nea( 9uncin
Creciente, 9uncin Decreciente, M6&imo %:o M*nimo Relativo, Concavidad
8acia arri$a, Concavidad 8acia a$a'o % punto de infle&in en la funcin2
Analiando el comportamiento de la funcin se tiene, s*()(xfy=
),(0)( 111 yxxf = es un m6&imo o un m*nimo
)(xf concavidad
= 0)(xf !unto de infle&in de la funcin, cam$io deconcavidad
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Entonces(
)(0)(0)( 111 xfxfxf = es un m*nimo relativo deen 1x
)(xf
4 )(0)( 1 xfxf = tiene un punto de infle&in en 1x
NOTA :"os puntos donde tiene un m6&imo, un m*nimo % un punto de
infle&in se llaman puntos cr*ticosde la funcin2
)(xf
NOTA !:o siempre cuando la funcin tiene un0=dx
dy)(xfy=
punto e&tremo 5m6&imo o m*nimo2
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E'( Estudie % grafi#ue la funcin 15)( 5
+= xxxf
Dominio de e&istencia( R
Intervalos de crecimiento % decrecimiento(
010)(,55)(
44
=== xxfxxf
0)1()1()1(
0)1()1(
2
22
=++
=+
xxx
xx
Rix
x
x
=
=
=
1
1
!untos e&tremos 11 == xyx-+ +
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/*
)(0)(1 xfxfx >>