Trabajo Integrador llMatemtica y Ciencia II

Janet Rebeca Morn Pineda4 C Turno MatutinoProfesor: Jaime Acosta Vlez

Universidad de GuadalajaraSistema de Educacin Media SuperiorPreparatoria 5

Sobre cambios de moneda extranjeraProblema n 1.- Un empresario estadounidense necesita cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este ao viaj 3 veces. La primera vez necesit un total de $2.550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dlar, 0'6 libras por dlar y 1'6 marcos por dlar. La segunda vez necesit $2.840 en total con tasas de 125 yenes, 0'5 libras y 1'2 marcos por dlar. La tercera vez necesit un total de $2.800 a 100 yenes, 0'6 libras y 1'2 marcos por dlar. Cul es la cantidad fija de yenes, marcos y libras que cambia en los viajes?100x+.6y+1.6z=2550125x+.5y+1.2z=2840100x+.6y+1.2z=2800

El problema se resolvi por medio de determinantes = 1000.61.61000.6

1250.51.21250.5

1000.61.21000.6

x = 25500.61.625500.6

28400.51.228400.5

28000.61.228000.6

y= 10025501.61002550

12528401.21252840

10028001.21002800

z=1000.625501000.6

1250.528401250.5

1000.628001000.6

= 10 x= 151.6y= 33900z= -6250

Resultados: Yenes=15.16Libras=3390Marcos=-625

Circuitos elctricosLa intensidad de las corrientes y las cadas de voltaje en un circuito elctrico se rigen por las Leyes de Kirchhoff. LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: La suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo es cero .LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE: La suma algebraica de todos los cambios de potencial en cualquier bucle es cero. Una aplicacin frecuente de estas leyes es cuando se conoce el voltaje de la fuerza electromotriz E (que por lo general esuna batera o generador) ylos ohmiosR de las resistencias, y se pide calcular la intensidad ij de las corrientes, que circulan por cada segmento del circuito. Obsrvese que para cada elemento en el circuito hay que elegir una direccin positiva para medir la corriente que pasar a travs de dicho elemento. Las elecciones se indican con flechas. Para la fuente de voltaje E se toma como positivo el sentido del polo negativo al positivo. Dicha eleccin condicionar tambin el signo de los cambios de potencial en las resistencias. El cambio de potencial a travs de las resistencias ser negativo cuando dicho cambio semidaen el mismo sentido quela corriente, y positivo en el caso contrario. Ejemplo:En los nodos A y B tenemos: i1-i2-i3 = 0En el bucle L1 tenemos: E-R1i1-R2i2= 0En el bucle L2: R2i2-R3i3 = 0

Problema n 2.- Calcular las corrientes i1, i2, i3 en el circuito elctrico de la figura de abajo si el voltaje de la batera es E = 6 V y las resistencias son R1 = 3 W, R2 = 5 W, R3 = 4 W, R4 = 2 W.

E=6R1=3R2=5R3=4R4=2

I1-I2-I3=0E-R1I1-R2I2=0R2I2-R3I3-R4I3=0

Sustitucin de valores en la matrizI1-I2-I3=06 - 3 I1 5I2=0 5 I2 4 I3- 2 I3 = 0Se acomodan los valores dando la siguiente ecuacin lineal: I1 I2 I3=0-3I1 5 I2 0 =-6 5I2 6I3 = 0

Matriz 1-1-1 = 0

-3-50 = -6

05-6 = 0

Se resuelve por determinantes =1-1-11-1

-3-50-3-5

05-605

x= 0-1-10-1

-6-50-6-5

05-605

y= 10-110

-3-60-3-6

00-600

z= 1-101-1

-3-5-6-3-5

05005

ResultadosI1 = 1.04I2 = 0.57I 3 = 0.47

= 63 x= 66y= 36z= 30

Criptografa: El mundo de las telecomunicaciones y las nuevas tecnologas de la informacin se interesa cada vez ms por la transmisin de mensajes encriptados que sean difciles de desencriptar por otros, en caso de ser interceptados, pero que se decodifiquen con facilidad por quienes los reciben. Hay muchas formas interesantes de cifrar o encriptar mensajes, y en su mayor parte usan la teora de nmeros o el lgebra lineal. Describiremos aqu un mtodo que es eficaz, en especial cuando se usa una matriz de gran tamao. En los ejercicios trabajaremos con matrices pequeas para evitar grandes clculos manuales.Comenzaremos con una matriz M invertible, que slo la conocen quienes trasmiten y quienes reciben. Por ejemplo,

Supongamos que se desea encriptar el mensaje:ATTACK NOWRemplazamos cada letra por el nmero que le corresponde a su posicin en el alfabeto (A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z) y representamos un espacio por 0.El mensaje anterior se ha convertido en la sucesin de nmeros 1, 20, 20,1, 3, 11, 0, 14, 15, 23, que agrupamos en una sucesin de vectores columna.

y multiplicamos por al izquierda a M:

Con lo que el mensaje cifrado que se enviar es 77, 39, -56, -18, 35, 19, 56, 28, 47, 31. Para desencriptar el mensaje quien lo recibe debe calcular M-1

y multiplicar por los nmeros recibidos agrupados en una sucesin de vectores columna igual que antes, obtenemos el mensaje original.

Problema n 3.- Para aquellos alumnos que estn cursando la asignatura de Matemticas I, les voy a dar un breve pero importante consejo para poder aprobar la asignatura:1,9,10,22,24,43,16,37,53,24,36,56,16,28,44,37,17,34,21,18,20,25,18,31,1,20,20Para que este mensaje sea accesible a todos, solamente comentar que el mensaje ha sido encriptado basndose en el mtodo anterior mediante la matriz.

pero utilizando el alfabeto espaol (la misma asignacin anterior, pero incluyendo nuestra querida y eliminando la W). Ayuda a tus compaeros y desencripta el mensaje.Se colocan los nmeros dados en una matriz de 3x9 1221624163721251

92437362817181820

104353564434203120

Se realiza la inversa de la matriz dada. 1M-1 =

1-1

02-1

0-11

Se hace una multiplicacin de matrices. Resultado: 030402019121

85211612016520

119162016172130

Se remplazan los nmeros por la letra correspondiente. 0-8-1-3-5-19-0-21-16-4-16-20-0-12-16-20-0-17-19-16-2-12-5-13-1-20-0

abcdefghijklm

12345678910111213

nopqrstuvxyz

14151617181920212223242526

Mensaje Encriptado: Hacer todos los problemas

Problema n 4.- Un espa intercepta un mensaje enviado desde una base militar. El mensaje es15 81 -9 39 -1 7 2 52 28 56 -12 18 32 100 -2 8 2 4 11 25 12 60 32 64 37 89 -8 26 15 39 32 64 -9 21 4 14El espa sabe que el mensaje ha sido encriptado con una matriz cuadrada 22, utilizando el alfabeto espaol como en el problema anterior. Adems sospecha que al final del mensaje aparecen las siglas de la base: BMCB. Ayuda al espa a desencriptar el mensaje.Primero hay que organizar los datos en una matriz de 2x1815-9-1228-1232-2211123237-81532-94

8139752561810084256064892639642114

Para encontrar la matriz de 2x2, se debe de hacer una multiplicacin de matrices.a b c dSe utilizan los ltimos 4 resultados de la multiplicacin porque el problema nos rebela que el cdigo termina en BMCB, B=2 M=13 C=3 B=2 quedando:9a+21b=2 4a+14b=3

9c+21d=134c+14d=2

Se resuelven estas ecuaciones por mtodo de sustitucin9a+21b=2

4a+14b=3

a= 1/6b= 1/69c+21d=13

4c+14d=2

c= -2/3d= 1/3

As obtenemos nuestra matriz de 2x2: 1/6 1/6

- 2/3 1/3

Ya teniendo la matriz de 2x2 se hace la multiplicacin de matrices y nos da como resultado la siguiente matriz.1651914122116121621391623

17193160141240112051430132

Se sustituyen los trminos de la matriz por su posicin en el abecedario revelando el mensaje:Operacin anulada fallo tcnico bmcb

Flujos de TrficoProblema n 5.- Considerar el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehculos que entran y salen de las intersecciones. La interseccin k se denota [k]. Las flechas a lo largo de las calles indican la direccin del flujo de trfico. Sea xi = nmero de vehculos/h que circulan por la calle i. Suponiendo que el trfico que entra a una interseccin tambin sale, establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del flujo de trfico. Por ejemplo, en la interseccin [1].x1+x5+100 = trfico que entra = trfico que sale = x3+300, lo que da x1-x3+x5=200.

a) Resuelve el sistema. Habr un nmero infinito de soluciones. Escriba las soluciones respecto a las variables que son las naturales para elegirse de manera arbitraria. 100+x5+x1=x3+300X1-x3+x5=300-100x1x3+x5=200 200+x2=200+x1x1+x2=200-200x1+x2=200 200+100+x3=200+x2+x4200+100-200=x2+x4-x3x2+x4-3x=100 100+x4=x5-x4+x5=100Soluciones Parciales: x4= x5-100X2=x1

b) Suponer que la calle de [1] a [3] necesita cerrarse; es decir, x3=0. Puede cerrarse tambin la calle de [1] a [4] (x5=0) sin cambiar los sentidos del trnsito? Si no se puede cerrar, cul es la cantidad ms pequea de vehculos que puede admitir esta calle (de [1] a [4])?

Las calles 1-4 no se pueden cerrar porque faltara una entrada de vehculos, en la interseccin 4 y esos vehculos quedan fuera del problema