1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es ...

DESIGUALDADES página 1

1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáti-cos. Es una afirmación, a través del signo = , de que dos expresiones son iguales.

Las igualdades algebraicas pueden ser:

a) Ecuaciones: cuando se cumple la igualdad solamente para determinado(s) valor(es) de la(s)variable(s).

Ejemplo: 3x - 7 = 5 , se cumple que es igual solamente cuando x = 4.

b) Fórmulas: cuando se cumple la igualdad para todos los valores de la(s) variable(s) indepen-diente(s).

Ejemplo: , se cumple para todos los valores de la velocidad v y del tiempo t.d vt=

c) Identidades: Cuando el miembro izquierdo es exactamente igual al derecho. También se lesllama así a las igualdades que se cumplen independientemente del valor de sus variables.

Ejemplos: a) (Ambos lados son idénticos).8 2 8 2sen x sen x+ = +

b) (para cualquier valor que se le dé a la x siempre la2 2 1sen x cos x+ =suma da 1).

d) Equivalencias: cuando el miembro izquierdo vale lo mismo que el derecho.

Ejemplo: 5 3 2x x x= +

DESIGUALDADESpágina 2

Aunque hay que señalar que no todos los autores ni matemáticos están de acuerdo en esta termino-logía y a veces la utilizan de manera distinta. Lo que sí es un hecho es que solamente hay cuatroclases de igualdades.

En síntesis:

Cuando dos expresiones matemáticas se comparan solamente existen dos posibilidades:

a) que sean iguales entre sí;b) que no sean iguales entre sí, o sea, que sean diferentes.

Una desigualdad es entonces la consecuencia de una comparación que no resulta igual. Si a yb son las cosas comparadas que no resultaron iguales, se escribe . A su vez, cuando dos expre-a b≠siones comparadas son desiguales, solamente existen dos opciones: que la primera de ellas sea mayorque la segunda, o que sea menor.

La simbología correspondiente es a > b , o bien a < b .

En síntesis, al comparar dos objetos matemáticos a y b , solamente existen las siguientes posibili-dades:

De manera semejante a las igualdades, las desigualdades pueden ser:

a) Absolutas: cuando la desigualdad no depende de las variables.

ecuacionesfórmulas

igualdadesidentidadesequivalencias

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Al comparar con a b

a b a ba b

a b

=⎧⎪ <⎧⎨ ≠ ⎨⎪ >⎩⎩


Ejemplos: 7 > 5 a + 1 > a(a + b)2 > 0

b) Condicionales o inecuaciones: cuando se cumple la desigualdad solamente para ciertos valo-res de la(s) variable(s).

Ejemplos: 3x < x2 - 5 3 2 0x y+ <

13 2 16 2

xx

−>

+

Resumiendo:

Si resolver una ecuación es encontrar el (los) valor(es) de la(s) variable(s) con los que la relaciónde igualdad adquiere veracidad, de manera semejante resolver una desigualdad es encontrar el (los)valor(es) de la(s) variable(s) con los que la relación de desigualdad adquiere veracidad. Evidentemen-te debe tratarse de una desigualdad condicional o inecuación.

Entre la resolución de ecuaciones y de desigualdades se presentan algunas diferencias, como elhecho de que las soluciones de las ecuaciones son valores determinados de la(s) variable(s), mientrasque las soluciones de las desigualdades son intervalos de valores. Algunas otras diferencias aparece-rán conforme se adentre en el estudio de las desigualdades.

1.2 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Las principales propiedades de las desigualdades son:

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdadse conserva.

absolutasdesigualdades

condicionales o inecuaciones⎧⎨⎩


Ejemplo: 7 < 157 + 3 < 15 + 3 , o sea que 10 < 18

2) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desi-gualdad se conserva.

Ejemplo: 7 < 157 × 3 < 15 × 3 , o sea que 21 < 45

3) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, la desi-gualdad se invierte.

Ejemplo: 7 < 15 7(-3) > 15(-3) , o sea que - 21 > - 45 " (se invirtió el signo).

Esta tercera propiedad es la responsable de que las desigualdades, cuando tienen variable en eldenominador, se resuelvan de manera diferente a las ecuaciones que tienen también a la variable enel denominador. Y no solamente eso, sino que cuando se despeja la incógnita teniendo coeficientenegativo, como realmente se multiplica en ambos lados por una cantidad negativa el signo de la desi-gualdad se invierte. Los ejemplos que se resolverán más adelante aclararán esto último afirmado.

1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES

Una clasificación puede hacerse de diferentes maneras, dependiendo del criterio clasificador quese emplee. Para las desigualdades, los criterios clasificadores que se toman en cuenta son: la ubica-ción de la variable, el número de variables, el grado y la existencia o no de valor absoluto.

1) Por la ubicación de la variable:

er

er

de 1 gradosin variable en el denominador

de 2º gradodesigualdades

de 1 gradocon variable en el denominador

de 2º grado

⎧ ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩⎨

⎧⎪⎨⎪⎩⎩


Pueden existir de 3º, 4º y mayor grado, pero en este curso solamente se analizarán hasta las desegundo grado.

Ejemplos de desigualdades sin variable en el denominador son los siguientes:

a) 4 1 7 9x x− < +

b) En este ejemplo existen denominadores, pero allí no está ubicada6 1 11

2 5x x− +

>

la variable. El problema no es que haya denominadores, sino queallí esté la variable.

Ejemplos de desigualdades con variable en el denominador son los siguientes:

a) 2

4 71

xx

> +−

b)3 16 22 9 8x

x x+

<− −

2) Por el número de variables:

Igualmente, pueden existir de 3, 4 o más variables, pero en este curso solamente se analizarán lasde una variable.

Ejemplos de desigualdades con una sola variable son los siguientes:

a) 2 7 8 1x x x+ + > −

b) 2

8 02 1

xx−

>+

con una variabledesigualdades

con dos variables⎧⎨⎩


Ejemplos de desigualdades con dos variables son los siguientes:

a) 5 3 9x y− >

b) 2 23 2x xy y+ < −

3) Respecto del valor absoluto:

Ejemplos de desigualdades sin valor absoluto son los siguientes:

a)6 1

2x y x−

> +

b) 29 3 1 0x x+ + >

Ejemplos de desigualdades con valor absoluto son los siguientes:

a) 24 1 1x x− < −

b) 5 1 11 12x x− > +

c)7 8 2

3x x−

> +

1.4 DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO SIN VARIABLE EN EL DENOMINADOR

Se resuelven exactamente igual que las ecuaciones de primer grado, es decir solamente hay quedespejar. Pero debe tenerse mucho cuidado de respetar la propiedad 3 de las desigualdades antes

sin valor absolutodesigualdades

con valor absoluto⎧⎨⎩


citada, para lo cual es necesario recordar que es falso que en una ecuación (en este caso, en una desi-gualdad) lo que está sumando “pasa” restando al otro lado, o que lo que está multiplicando “pasa”dividiendo, sino que en ambos lados se resta la misma cantidad (ley uniforme o de las igualdades)para anular la que se desea, o que ambos lados se dividen por la misma cantidad igualmente paraanular la cantidad deseada.

Ejemplo 1: 3x - 7 < 8 - 2x

Solución: Para anular el término ( - 7 ) del lado izquierdo, se suma + 7 en ambos lados:

3x - 7 + 7 < 8 - 2x + 7

3x < 15 - 2x

Para anular el término ( - 2x ) del lado derecho, se suma + 2x en ambos lados:

3x + 2x < 15 - 2x + 2x

5x < 15

Para eliminar el coeficiente 5 del término 5x , se dividen ambos miembros entre 5. Como setrata de una cantidad positiva, el signo no cambia:

5 155 5x<

3x <

La solución puede escribirse de las siguiente formas:

x < 3 o bien

o también gráficamente( )3,−∞


Ejemplo 2: 8x - 70 < 14 + 20x

Solución: Para anular el término ( - 70 ) del lado izquierdo, se suma + 70 en ambos lados:

8x - 70 + 70 < 14 + 20x + 70

8x < 84 + 20x

Para anular el término 20x del lado derecho, se resta 20x en ambos lados:

8x - 20x < 84 + 20x - 20x

- 12x < 84

Para eliminar el coeficiente ( - 12 ) del término ( - 12x ), se multiplican ambos miembros por

, o lo que es lo mismo se dividen ambos miembros entre (- 12.) Como se está multiplican-1

12−

do por una cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte :

12 8412 12

x−>

− −

12−12

x−

8412

>−

7x > −

La solución puede escribirse de las siguiente formas:


x > - 7 o bien

o también gráficamente( )7,− ∞

Ejemplo 3:5 2 1 7

6 5x x+ −

<−

Solución: Esta desigualdad, aunque tiene denominadores, es sin variable en el denominador porque noaparecen x en ninguno de los dos. Para resolverla exitosamente es indispensable olvidarse de queel denominador ( -6 ) pasa al otro lado multiplicando, lo mismo que el denominador 5. Quienlo resuelva bajo esa forma de “razonar” no llegará al resultado correcto, pues estará pasando poralto la propiedad 3 de las desigualdades.

Lo primero que debe hacerse es quitar los denominadores. Para eliminar el denominador ( )6−

deben multiplicarse por ( ) ambos lados de la desigualdad y como es una cantidad negativa6−SE INVIERTE EL SIGNO. Para eliminar el denominador 5 deben multiplicarse por 5 amboslados de la desigualdad y como es una cantidad positiva no hace cambiar el signo de la desigual-dad. Como resultado final habrá una inversión de signo.

( ) ( ) ( ) ( )5 2 1 76 5 6 56 5

x x+ −− > −

−

( )6− ( ) 5 256

x +−

( ) ( )6 5⎡ ⎤

> −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 75

x−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )[ ] ( )[ ]5 5 2 6 1 7x x+ > − −

25 10 6 42x x+ > − +

Para escribir los términos con x debe restarse ( - 42 x) en ambos lados de la desigualdad; y paraescribir los números sin x debe restarse 10 en ambos lados:


25 10x + 42 10x− − 6 42x> − + 42x− 10−

25 42 6 10x x− > − −

17 16x− > −

Para despejar la x deben dividirse ambos miembros de la desigualdad entre ( - 17), lo cual, comose trata de una cantidad negativa, hace cambiar el signo de la desigualdad:

17 1617 17

x− −<

− −

17−17

x−

1617

−<

−

Finalmente, como en el lado derecho de la desigualdad se tiene una división de menos entremenos que da positivo, el resultado es

1617

x <


EJERCICIO 1

Resolver las siguientes desigualdades:

1) 2)8 46 9 21x x− < + 15 23 13 22x x+ > +

3) 4)12 1 15 2x x+ < + 28 29 41x x− > +

5) 6)9 17 33 11x x− < − 55 2 17 29x x+ < −

7) 8)48 9 23x x− > − 12 7 60 11x x− < −

9) 10)( )10 7 2 5x x> + ( ) ( )8 21 3 5 11x x− > −

11) 12)( ) ( )2 3 25 9 11 3x x− > + ( ) ( )4 3 7 9 2x x− − < − −

13) 14)5 1 9 11

7x x−

< −5 10 9 6

17x x−< +

15) 16)5 12 9 7

11 4x x+ +>

−12 8 13

5 15 10x x−+ >

−

17) 18)7 13 11 812 18 6 15

x x+ > −

21 13 17 18 12 16 4

x x+ < −

19) 20)2 11

5 3x x+

>−

8 3 57

x−<

−


1.5 DESIGUALDADES DE 2º GRADO SIN VARIABLE EN EL DENOMINADOR

Los métodos que se explicarán a continuación pueden extenderse a desigualdades de grado supe-rior a dos.

1.5.1 MÉTODO GRÁFICO

Para poder aplicar con éxito este método en la resolución dedesigualdades de segundo grado sin variable en el denominador esindispensable tener presente cómo es la gráfica de una ecuaciónpolinomial de segundo grado, es decir de la forma

.2y ax bx c= + +

Toda ecuación de segundo grado tiene como gráfica una pará-bola, la cual abre hacia arriba (ver figura 1.1) si el coeficiente aes positivo, por ejemplo (en este caso,25 3 2y x x= − −

), y abre hacia abajo si dicho coeficiente es negativo, por5a = +

ejemplo . Ver figura 1.2.23 9y x x= − + −

Por otra parte, las intersecciones de la parábola con el eje delas x suceden en los puntos que tienen en sus coordenadas unaordenada y = 0. Por lo tanto, se pueden obtener resolviendo laecuación ya que si la ecuación de toda la pará-2 0ax bx c+ + =

bola es y se está diciendo que cuando2y ax bx c= + + 0y =

cruza el eje de las x, entonces en esa intersección la ecuación vale.20 ax bx c= + +

Los pasos a seguir para resolver desigualdades de segundo gra-do sin variable en el denominador por el método gráfico se explicaa continuación en el siguiente cuadro:

figura 1.1

figura 1.2


PASOS

1) Se ordena la desigualdad a la forma

2 0ax bx c+ + ≠

Nota: El símbolo implica < o > que.≠

2) Al trinomio cuadrático se le pone nombre, es decir, se renombra2ax bx c+ +como y. Entonces y se grafica. Para graficar debe conside-2y ax bx c= + +rarse solamente

a) Si la parábola abre hacia arriba o abre hacia abajo;b) Las intersecciones de la parábola con el eje de las x , las cuales se obtienen

cuando y vale cero, es decir, haciendo

, 20 ax bx c= + +

que en forma ordenada se escribe

2 0ax bx c+ + =

Resolviendo esta ecuación de segundo grado se obtienen las coordenadas endonde la parábola corta al eje de las x.

3) Se deduce si y < 0 , o bien y > 0 , a partir de que se hizo y2y ax bx c= + +que:

a) Si el problema original establece que

2 0ax bx cy

+ + <

significa que ;0y <


Ejemplo: 25 26 3x x< −

Solución: Ordenando:

25 3 26 0x x+ − <

Sea 25 3 26y x x= + −

Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficientedel término cuadrático es positivo: .5a = +

Las intersecciones de la parábola con el eje de las x se obtienen haciendo y = 0 y resol-viendo, es decir

25 3 26 0x x+ − =

Resolviendo por la fórmula general:

b) Si el problema original establece que

2 0ax bx cy

+ + >

significa que 0y >

Hecha la deducción, se localiza(n) en la gráfica el (los) intervalos(s) para la varia-ble x para los que se cumple la condición de que y < 0, o bien que y > 0. Esosvalores de x son la solución de la desigualdad.


( ) ( )( )

23 3 4 5 262 5

x− ± − −

=

de donde 1 2x =

2135

x = −

de manera que un esbozo de la gráfica es

Como

25 3 26 0x xy

+ − <

se deduce que y < 0.

Se buscan entonces en la gráficalos valores de la variable y nega-tivos, los cuales se señalan de al-guna manera visible (figura 1.4).

El intervalo solución es, entonces,el correspondiente a todas las

figura 1.3

y positivases

y negativases

figura 1.4


equis que están entre y , lo cual puede escribirse de cualquiera de135

x = − 2x =

las siguientes formas:

13 25

x− < <

o bien13 25

,⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

o también

13 25

x x> − <∩

o en forma gráfica

Ejemplo 2: Resolver la desigualdad 23 7 20x x− >

Solución: Ordenando: 23 20 7 0x x− − >

Sea 23 20 7y x x= − −

que implica que y > 0, porque 23 20 7 0x xy

− − >

Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficiente deltérmino cuadrático es positivo: .3a = +


Las intersecciones de la parábola con el eje de las x se obtienen cuando 0y =

23 20 7 0x xy

− − =

es decir, cuando 23 20 7 0x x− − =


( ) ( ) ( ) ( )( )

220 20 4 3 72 3

x− − ± − − −

=

20 400 846

x ± +=

de donde

1 7x =

213

x = −

de manera que un esbozo de la gráfica es la figura 1.5:

Como 23 20 7 0x x

y− − >

figura 1.5


se deduce que y > 0. Se buscan entonces en la gráfica los valores de la variable y positivos, loscuales se señalan de alguna manera visible (ver figura 1.6):

Los intervalos solución son, entonces, los correspondientes a todas las equis menores que 13

−

y también las mayores que 7, lo cual puede escribirse de cualquiera de las siguientes formas:

13

7

x

x

< −

>

también como1 73

x x< − >∪

o bien

( )1 73

, ,⎛ ⎞−∞ − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

∪

o en forma gráfica

y positivases

y negativases

figura 1.6


Ejemplo 3: Resolver la desigualdad 24 7 9 0x x− + >

Solución: Ya está ordenada. Sea . Entonces como , implica que24 7 9y x x= − + 24 7 9 0x xy

− + >

y > 0. Al final, en la gráfica se buscarán las .0y >

Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficiente deltérmino cuadrático es positivo.

Las intersecciones de la parábola con el eje de las x se obtienen cuando y = 0

24 7 9 0x xy

− + =

Es decir cuando

24 7 9 0x x− + =

y resolviendo por la fórmula general:

( ) ( ) ( ) ( )( )

27 7 4 4 92 4

x− − ± − −

=

7 49 1448

x ± −=

7 958

x ± −=

Como la raíz cuadrada es negativa significa que noexiste ninguna x que satisfaga la ecuación y comoal igualar a cero se buscan las intersecciones de laparábola con el eje de las x , quiere decir que nohay intersecciones, es decir, que la parábola no cor-ta al eje de las x . Entonces la parábola está situada

figura 1.7


totalmente arriba del eje de las x . De manera que un esbozo de la gráfica es algo semejante a lafigura 1.7 de la derecha.

Sabiendo que 24 7 9 0x xy

− + >

se deduce que y > 0. Se buscan entonces en la gráfica los valores de la variable y positivos, loscuales se señalan de alguna manera visible, como en la figura 1.8:

La solución son todas las x , lo cual puede escribirse cualquiera de las siguientes formas:

− ∞ < < ∞x

o bien

( , )− ∞ ∞

o en forma gráfica

y positivases

y negativas(no hay)

es

figura 1.8


o inclusive diciéndolo simplemente con palabras textuales: La solución son todas las x.

Ejemplo 4: Resolver la desigualdad 24 4 1 0x x− + <

Solución: Ya está ordenada. Sea , entonces como , se deduce que24 4 1y x x= − + 24 4 1 0x xy− + <

.0y <

Graficando: Se trata de una parábola que abre hacia arriba en virtud de que el coeficiente deltérmino cuadrático es positivo.

Las intersecciones de la parábola con el eje las x se obtienen cuando y = 0

24 4 1 0x xy− + =

es decir

24 4 1 0x x− + =


( ) ( ) ( ) ( )( )

24 4 4 4 12 4

x− − ± − −

=

4 16 168

x ± −=

4 08

x ±=

de donde

14 0 1

8 2x += =

24 0 1

8 2x −

= =


Cuando la raíz cuadrada es cero, las dos so-luciones resultan iguales. Esto significa queel vértice de la parábola está situado exacta-mente sobre el eje de las x , en este caso en

. De manera que un esbozo de la12

x =

gráfica es la figura 1.9.

Sabiendo que

24 4 1 0x xy− + <

se deduce que . En la gráfica anterior0y <

se puede ver que no existe ninguna y negativa, por lo que no existe ninguna equis que sea solu-ción.

EJERCICIO 2

Resolver las siguientes desigualdades de 2º grado por el método gráfico:

1) 2)26 5 1 0x x+ + > 2 12 0x x− − <

3) 4)25 14 3 0x x− − > 2 10 16 0x x− + <

5) 6)24 25 0x − > 2 100 0x − <

7) 8)29 2 7 0x x+ + < 2 11 0x x− + >

9) 10)22 3 17 0x x+ + > 25 4 3 0x x− + <

11) 12)29 6 1 0x x− + < 24 12 9 0x x− + >

13) 14)225 20 4 0x x+ + > 29 42 49 0x x− + <

figura 1.9


1.5.2 MÉTODO DE INTERVALOS

Ejemplo 1: 25 26 3x x< −

Solución: Ordenando: 25 3 26 0x x+ − <

Sea . Resolviendo por la fórmula general:25 3 26 0x x+ − =

1) Se ordena la desigualdad en la forma

2 0ax bx c+ + ≠

Nota: El símbolo implica < o > que.≠

2) Se hace y se resuelve la ecuación.2 0ax bx c+ + =

Las raíces de esta ecuación definen los extremos del intervalo o los intervalossolución.

3) Se ubican en la recta numérica las raíces obtenidas en el paso anterior.

4) Se selecciona un punto arbitrario de la recta numérica, a condición de que nosea una de las raíces encontradas en el paso 2 y se prueba en la desigualdadoriginal.

Si el valor seleccionado satisface la desigualdad, el intervalo al que pertenecees intervalo solución; si no satisface, el intervalo no es solución.

A partir de allí se toman alternadamente los intervalos como sí-no-sí solucióno bien no-sí-no solución.


( ) ( )( )

23 3 4 5 262 5

x− ± − −

=

3 9 52010

x − ± +=

3 52910

x − ±=

de donde: ;1 2x = 2135

x = −

Se ubican en la recta numérica estos valores:

Se selecciona arbitrariamente un valor para x a condición que no sea ninguno de los dosanteriores. Sea el valor seleccionado. Sustituyendo en la desigualdad original:0x =

25 26 3x x< −

( ) ( )25 0 26 3 0< −

0 < 26 cierto

Significa que el intervalo al que pertenece es intervalo solución. Por lo tanto, la0x =solución es, en forma alternada,

13 25

x− < <

2

2

no sí no


Ejemplo 2: Resolver la desigualdad 23 7 20x x− >

Solución: Ordenando: 23 20 7 0x x− − >

Igualando a cero y resolviendo para localizar los extremos de los intervalos solución:

23 20 7 0x x− − =

( ) ( ) ( ) ( )( )

220 20 4 3 72 3

x− − ± − − −

=

20 400 846

x ± +=

20 226

x ±=

de donde

1

2

713

x

x

=

= −

Localizando en la recta numérica estos puntos:

Seleccionando un punto arbitrario de la recta numérica, a condición que no sea una de las raícesencontradas, y probando en la desigualdad original, por ejemplo, con :0x =

23 20 7 0x x− − >

( ) ( )23 0 20 0 7 0− − >

- 7 > 0 X falso

7


Significa que todo el intervalo al que pertenece no es solución. Tomando alternadamente0x =los intervalos como sí-no-sí solución se llega a

Es decir, la solución es1 73

x x< − >∪

Ejemplo 3: Resolver la desigualdad 22 6 9 0x x+ + >

Solución: Igualando a cero y resolviendo para dividir la recta numérica y localizar los extremos de losintervalos solución:

22 6 9 0x x+ + =

( )( )( )

26 6 4 2 92 2

x− ± −

=

6 36 724

x − ± −=

6 364

x− ± −

=

Como lo que se está buscando son los valores de x con los que se va a dividir la recta numéricapara localizar los intervalos solución, al salir una raíz cuadrada negativa significa que no existeninguna x para dividir la recta numérica. Por lo tanto, la recta numérica no se dividirá y quedará“de una sola pieza”. Cuando esto sucede, la solución son todas las equis o bien ninguna equis.Para saberlo basta probar con un valor arbitrario.

Probando, por ejemplo, con en la desigualdad original:1x =

7

) (sí síno

0


( ) ( )22 1 6 1 9 0+ + >

U cierto2 6 9 0+ + >

Por lo tanto, la solución son todas las equis.

EJERCICIO 3

Resolver las siguientes desigualdades de 2º grado por el método de intervalos:

1) 2)26 5 1 0x x+ + > 2 12 0x x− − <

3) 4)25 14 3 0x x− − > 2 10 16 0x x− + <

5) 6)24 25 0x − > 2 100 0x − <

7) 8)29 2 7 0x x+ + < 2 11 0x x− + >

9) 10)22 3 17 0x x+ + > 25 4 3 0x x− + <

11) 12)29 6 1 0x x− + < 24 12 9 0x x− + >

13) 14)225 20 4 0x x+ + > 29 42 49 0x x− + <

15) 16)2 25 0x − < 2 25 0x − >

17) 18)29 25 0x − > 225 36 0x − <

19) 20)249 25 0x + < 281 1 0x + >


1.6 DESIGUALDADES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR

Para entender bien el porqué de las diferentes técnicas que existen para resolver desigualdadescuando aparece la variable en el denominador, debe el estudiante tener muy claro que en los procesosde despejar incógnitas no se pasa a sumar, ni a restar ni a multiplicar al otro lado ninguna cantidad.

Hay que recordar que existe la equivocada creencia, porque lamentablemente así lo enseñan mu-chos profesores, que una cantidad que está sumando pasa al otro lado del signo igual restando; o siestá restando pasa sumando; o si está multiplicando pasa dividiendo; o si está dividiendo pasamultiplicando. Todo eso es falso, no tiene ninguna razón de ser, no hay lógica en eso. Son mecanis-mos que agilizan los procesos de despejar, pero que llevan a errores a los inexpertos en Matemáticas.

Es indispensable recordar que si se tiene una igualdad, por ejemplo,

2 7 1x − =

para despejar la incógnita x , NO se pasa el ( - 7 ) al otro lado sumando, pues no existe lógica parasuponer que el número ( - 7 ) pasa al lado derecho con la operación contraria. Los números no sonmariposas o golondrinas para suponer que se pasan de un lado a otro como si anduvieran volando.Lo que realmente se hace es aplicar la ley de las igualdades (ley uniforme) que dice que lo que sehaga de un lado de la igualdad debe hacerse del otro lado también para que la igualdad se conserve.¿Qué se necesita para que el ( - 7 ) se elimine?: fácil, sencillamente sumarle ( + 7 ); entonces a laigualdad se le suma en ambos lados ese ( + 7 ) que se necesita, quedando así:

2 7 1x − =+ 7 + 7

Si se hacen las operaciones únicamente en el lado izquierdo de la igualdad (en el lado derecho no),se eliminan el ( - 7 ) con el ( + 7), quedando entonces

2 1 7x = +

y allí es donde da la impresión de que el ( - 7 ) original pasó al otro lado con signo contrario; peroes solamente una apariencia, no una realidad. Analizando el lado derecho, a simple vista se ve quelo anterior es lo mismo que (sumando 1 + 7) . Posteriormente, para despejar la incógnita x2 8x =es necesario quitarle su coeficiente 2 que le multiplica, lo cual se consigue dividiendo entre 2 ; peronuevamente por la ley de las igualdades, debe hacerse en ambos lados, quedando así:


2 82 2x=

Si se efectúan de nuevo las operaciones únicamente en el lado izquierdo de la igualdad (en el ladoderecho no), se simplifican el 2 del numerador con el 2 del denominador, quedando entonces

82

x =

y otra vez da la impresión de que ese 2 pasó al otro lado dividiendo. Pero no pasa de ser unaapariencia.

Esto y la tercera propiedad de las desigualdades son las responsables de que las desigualdades,cuando aparece la variable en el denominador, requieran de un análisis especial para su solución.

Para facilitar la comprensión del tema, la explicación comenzará a partir de la suposición queexista solamente un denominador. Por ejemplo,

7 1 15

xx−

<+

El primer paso consiste en eliminar el denominador , lo cual, por lo afirmado líneas arriba,5x +se consigue multiplicando ambos miembros de la desigualdad por dicho denominador.

( ) ( ) ( )7 15 5 15

xx xx−⎛ ⎞+ < +⎜ ⎟+⎝ ⎠

Hasta allí parece todo "normal", pero el detalle está en que al multiplicar toda la desigualdad por se debe saber si se trata de una cantidad positiva o de una negativa para, de acuerdo con la5x +

propiedad 3, invertir o no el signo de la desigualdad. Y no se sabe si es positivo o negativo el factor ( )5x +

porque puede ser positivo si la x toma ciertos valores, pero también puede ser negativo si toma otrosvalores. Por ejemplo, si el factor es positivo ya que toma el valor de 7; pero si2x = ( )5x +

el factor es negativo ya que toma el valor de . Por lo tanto, no se puede multi11x = − ( )5x + 6−


plicar la desigualdad por en ambos lados sin tomar las precauciones de si es positivo o si( )5x +

es negativo..

Existen varias técnicas para resolver desigualdades con variables en el denominador que eliminanel problema de quitar denominadores sin saber si son positivos o negativos. En este curso se veránúnicamente dos explicadas en las secciones 1.6.1 y 1.6.2.

1.6.1 DESIGUALDADES DEL TIPO: UNA FRACCIÓN COMPARADA CON CERO

Son de la forma , en donde ( )( )

0p xq x

≠

p(x) representa al numerador de la fracción. En este curso será un polinomio.q(x) representa al denominador de la fracción. En este curso será un polinomio.

La expresión diferente de cero (… 0) significa necesariamente “mayor que” o bien “menor que”,dado que al comparar un ente matemático con cero solamente existen dos posibilidades: o son igualeso son desiguales. Si se está afirmando que no son iguales, necesariamente son desiguales. Ahora bien,al ser desiguales, a su vez existen solamente dos posibilidades: o la primera es mayor que la segundao la primera es menor que la segunda.

Afirmar, pues, que implica una de las dos siguientes opciones:( )( )

0p xq x

≠

; o bien( )( )

0p xq x

>( )( )

0p xq x

<

A su vez, si la fracción es mayor que cero (positiva), implica que el numerador y el denominadortienen el mismo signo; si es menor que cero implica que el numerador y el denominador tienen dife-rente signo. En síntesis:


Una solución total se obtiene de la unión de todas las solucionesparciales obtenidas durante el proceso.

SOLUCIONES PARCIALES

Cuando se habla de una solución parcial significa que el intervalo de valores x obtenido comosolución es solamente una parte de dicha solución, pero no toda. Por ejemplo, si la solución de algunadesigualdad son todas las x mayores que 20, o sea , una solución parcial pueden ser las x20x >mayores que 30, esto es , porque ciertamente las x mayores que 30 son parte de las x mayo-30x >res que 20. Se le llama a solución parcial porque ciertamente es una parte de la solución,30x >pero no toda. Cuando se juntan todas las soluciones parciales obtenidas durante un proceso se obtienela solución total. No olvidar que esa idea de juntar todas las soluciones parciales en la teoría deconjuntos se llama unión, representado con el símbolo .∪

CASO 1.- Si significa que la fracción es positiva, lo cual, a su vez, implica que debe( )( )

0p xq x

>

cumplirse una de las dos siguientes opciones: o bien Es decir, para que una++

−−

( )( )

( )( )

( )( )

implica

0

o bien

0

implica

0

o bien

p xq x

p xq x

p xq x

⎧ +⎧⎪ ⎪ +⎪ ⎪

>⎪ ⎨⎪ ⎪ −⎪ ⎪

−⎩⎪⎪≠ ⎨⎪ +⎧⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ < ⎨⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ +⎩⎩


intersección

conjunto A

conjunto BA B

La intersección está al mismo tiempoen el conjunto A y en el conjunto B

figura 1.10

fracción sea positiva se requiere que el numerador y el denominador sean positivos almismo tiempo, o bien, que el numerado y el denominador sean ambos negativos al mismotiempo.

Se ha hecho énfasis en señalar que “al mismo tiem-po”, ya que debe recordarse que el significado de almismo tiempo es una intersección. Ver figura1.10.

El procedimiento para resolver una desigualdadde este tipo consiste en resolver primero el nu-merador haciéndolo mayor que cero (positivo),luego el denominador haciéndolo también ma-yor que cero (positivo) y luego, como son cosasque deben darse al mismo tiempo, hacer la in-tersección de ambas para obtener una primerasolución parcial.

A continuación, considerando la segunda opción (menos entre menos), se debe resolverprimero el numerador haciéndolo menor que cero (negativo), luego el denominador ha-ciéndolo también menor que cero (negativo) y después, como son cosas que deben darseal mismo tiempo, hacer la intersección de ambas para obtener una segunda solución par-cial.

Finalmente, para llegar a la solución total o definitiva, se hace la unión de las dos solucio-nes parciales, o sea juntar ambas soluciones parciales.

Ejemplo 1: Resolver la desigualdad 5 1 03 5

xx+

>+

Solución: Como la fracción es mayor que cero, significa que es positiva. Dicha fracción es positiva sola-mente si se cumple una cualquiera de estas dos condiciones:

a) , porque la división de más entre más da más, esto es, da positivo que es lo mismo que++

mayor que cero que es lo que pide la desigualdad original.


b) , porque la división de menos entre menos da más, esto es, da negativo que es lo mis-−−

mo que menor que cero que es lo que pide la desigualdad original.

Entonces se deben considerar las dos opciones al momento de resolver la desigualdad. Haciéndolose obtiene que:

Opción I: : (mas entre mas), significa que el numerador y el denominador son positivos, o++

sea mayores que cero.

Haciendo el numerador mayor quecero:

5 1 0x + >

5 1 1 0 1x + − > −

5 1x > −

5 15 5x −>

15

x > −

Haciendo el denominador mayor quecero:

3 5 0x + >

3 5 5 0 5x + − > −

3 5x > −

3 53 3x> −

53

x > −

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, debehacerse una intersección.

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son mayores que menosun quinto al mismo tiempo que sean mayores que menos cinco tercios? La siguiente gráfica mues-tra con claridad lo anterior.


La primera solución parcial son todas las x mayores que menos un quinto: 15

x > −

Opción II: (menos entre menos), significa que como el numerador y el denominador son−−

negativos, ambos son menores que cero.

Haciendo el numerador menor quecero:

5 1 0x + < 5 1 1 0 1x + − < −

5 1x < −

5 15 5x −<

15

x < −

Haciendo el denominador menor quecero:

3 5 0x + < 3 5 5 0 5x + − < −

3 5x < −

3 53 3x −<

53

x < −

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo,se trata de una intersección.

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son menores que menosun quinto al mismo tiempo que sean menores que menos cinco tercios? La siguiente gráfica mues-tra con claridad lo anterior.

53

15

intersección


53

15

intersección

53

15

La segunda solución parcial son todas las x menores que menos cinco tercios: .53

x < −

Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, o sea son todas las xmayores que menos un quinto y además todas las x menores que menos cinco tercios, lo cual sepuede expresar de cualquiera de las siguientes formas:

1 55 3

x x> − < −∪

y gráficamente:

CASO 2.- Si significa que la fracción es negativa, lo cual, a su vez, implica que debe( )( )

0p xq x

<

cumplirse una de las dos siguientes opciones: o bien .+−

−+

El procedimiento para resolver una desigualdad de este tipo consiste en resolver primeroel numerador haciéndolo mayor que cero (positivo), luego el denominador haciéndolomenor que cero (negativo) y después, como son cosas que deben darse al mismo tiempo,hacer la intersección de ambas para obtener una primera solución parcial.


Luego, considerando la segunda opción, se debe resolver primero el numerador haciéndo-lo menor que cero (negativo), luego el denominador haciéndolo mayor menor que cero(positivo) y luego, como son cosas que deben darse al mismo tiempo, hacer la intersec-ción de ambas para obtener una segunda solución parcial.

Finalmente, para llegar a la solución definitiva, se hace la unión de las dos solucionesparciales.

Ejemplo 2: Resolver 5 2 06 13

xx+

<−

Solución: Como la fracción es negativa por ser menor que cero, hay dos posibilidades: Una, que sea

; la otra que sea . Hay que analizar opción por opción.+−

−+

Opción I: : Significa que el numerador es mayor que cero (positivo) mientras que el denomi-+−

nador es menor que cero (negativo).

Haciendo el numerador mayor que cero:

5 2 0x + >

5 2x > −

5 25 5x −>

Haciendo el denominador menor que cero:

6 13 0x − <

6 13x <

6 136 6x<

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo , se tratade una intersección.

25

x > − 136

x <


25

136

intersección

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son mayores que menosdos quintos al mismo tiempo que sean menores que trece sextos? La siguiente gráfica muestracon mayor claridad lo anterior.

La primera solución parcial son las x que están entre menos dos quintos y trece sextos, lo cualse escribe de alguna de las siguientes formas:

2 135 6

x x> − <∩

aunque la más usual es la siguiente:

2 135 6

x− < <

En esta última notación debe tomarse en cuenta que:

a) La x siempre debe ir en medio;b) el número menor siempre se escribe a la izquierda (conforme a la recta numérica);c) el número mayor siempre se escribe a la derecha (conforme a la recta numérica);d) los signos de desigualdad siempre son < , nunca > .

Obsérvese que si se lee de la x hacia la izquierda, lo que se está afirmando es que son las equis

mayores que menos dos quintos ; en cambio, si se lee de la x hacia la derecha, lo25

x⎛ ⎞> −⎜ ⎟⎝ ⎠

que se está afirmando es que son las equis menores que trece sextos.

Opción II: : Significa que el numerador es menor que cero (negativo) mientras que el deno-−+

minador es mayor que cero (positivo).


25

136

no hay intersección


5 2 0x + <

5 2 2 0 2x + − < −

5 2x < −

5 25 5x −<

25

x < −


6 13 0x − >

6 13 13 0 13x − + > +

6 13x >

6 136 6x>

136

x >

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, setrata de una intersección.

La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son menores que menosdos quintos al mismo tiempo que sean mayores que trece sextos? La siguiente gráfica muestra conmayor claridad lo anterior.

Significa que no hay una segunda solución parcial. Lo anterior es debido a que nunca con ningúnvalor que se le quiera dar a la x, la fracción original va a ser negativa en su numerador al mismotiempo que positiva en su denominador.

Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, pero como solamenteexiste una solución parcial (la primera), ella es toda la solución total, lo cual se puede expresarde cualquiera de las siguientes formas:


2 135 6

x x> − <∩

Aunque la más usual es la siguiente:

2 135 6

x− < <

CASOS APARENTEMENTE DIFERENTES

A veces se presentan desigualdades aparentemente diferentes a la forma que se está estudiando(una fracción comparada con cero), apareciendo como una fracción comparada con otra fracción ocomparada con un entero. Por ejemplo:

3 7 13 3

x xx

− +<

+

Lo único que debe hacerse en desigualdades como las del ejemplo anterior es escribir todo del ladoizquierdo (por lo tanto, cero del lado derecho), sacar común denominador y efectuar la suma o restade fracciones para convertirla en una sola fracción. De esta manera ya queda como una fracción com-parada con cero.

Ejemplo 3: 5 2

3x

x>

+

Solución: Recordar que no se pueden multiplicar ambos miembros de la desigualdad por porque( )3x +

dependiendo del valor de la variable a veces será positivo el binomio y a veces negativo. En-tonces escribiendo todo del lado izquierdo resulta:

5 2 03

xx

− >+

Sacando común denominador y efectuando la suma:


( )5 2 30

3x x

x− +

>+

5 2 6 03

x xx− −

>+

3 6 03

xx−

>+

En este momento ya se tiene una fracción comparada con cero y se resuelve conforme se vioal principio de este tema. Como la fracción es mayor que cero, o sea positiva, se tienen dosposibilidades:

a) , porque la división de más entre más da más.++

b) , porque la división de menos entre menos da más.−−

Opción I: : Significa que el numerador y el denominador son positivos, o sea mayores que++

cero.

Haciendo el numerador mayor quecero:

3 6 0x − > 3 6 6 0 6x − + > +

3 6x >

3 63 3x>

2x >


3 0x + > 3 3 0 3x + − > −

3x > −



La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son mayores que dosal mismo tiempo que sean mayores que menos tres? La siguiente gráfica muestra con claridadlo anterior.

La primera solución parcial son todas las x mayores que dos: 2x >

Opción II: (menos entre menos), significa que como el numerador y el denominador−−

son negativos, ambos son menores que cero.


3 6 0x − <

3 6 6 0 6x − + < +

3 0x <

3 63 3x<

2x <

Haciendo el denominador menor quecero:

3 0x + <

3 3 0 3x + − < −

3x < −


La intersección tiene el equivalente a formularse la pregunta: ¿Cuáles x son menores que dosal mismo tiempo que sean menores que menos tres? La siguiente gráfica muestra con claridadlo anterior.

3 2

intersección


La segunda solución parcial son todas las x menores que menos tres: .3x < −

Por lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, o sea son todas lasx mayores que dos y además todas las x menores que menos tres, lo cual se puede expresarde cualquiera de las siguientes formas:

3 2x x< − >∪

y gráficamente:

1.6.2 MÉTODO DE LOS INTERVALOS

Para cualquier desigualdad con variable en el denominador se puede utilizar el método de losintervalos, que consiste en dividir la recta numérica en intervalos en la que los valores que la dividenson los siguientes:

a) Los valores que se obtienen de resolver la desigualdad como si fuera ecuación, o sea, cam-biando el signo < o > por el signo =;

b) Los valores que hacen cero el o los denominadores.

A continuación se toma un valor arbitrario para la x a condición de que no sea ninguno de losobtenidos en los incisos anteriores y se prueba en la desigualdad. Si se obtiene algo cierto, el intervaloal que pertenece el valor seleccionado para la x es intervalo sí solución; si se obtiene algo falso, el

3 2

intersección

3 2


intervalo al que pertenece el valor seleccionado para la x es intervalo no solución. Finalmente sealternan los intervalos en sí-no-sí-no- ... solución, o bien en no-sí-no-sí- ... solución.

Ejemplo 1:3 1 1

3x

x+

<+

Solución:

a) Resolviendo como si fuera ecuación:

3 1 13

xx+

=+

( )3 1 1 3x x+ = +

2 2x =

1 1x =

b) Obteniendo los valores que hacencero el denominador:

3 0x + =

2 3x = −

Con estos dos valores se parte la recta numérica en intervaloscomo se muestra en la siguiente gráfica:

Tomando un valor arbitrario para la x, por ejemplo, , y sustituyéndolo en la desigualdad0x =original se obtiene que

( )3 0 11

0 1+

<+

U cierto1 13<

Por lo tanto, el intervalo al que pertenece es sí solución. Al hacer la alternancia de los0x =intervalos a partir de lo obtenido, se tiene la solución gráfica como


0x =

la cual es 3 1x− < <

Ejemplo 2:5 4 1

3 1 3x xx x+ −

>− +

Solución:

a) Resolviendo como si fuera ecuación:

5 4 1

3 1 3x xx x+ −

=− +

( ) ( ) ( ) ( )5 3 4 1 3 1x x x x+ + = − −

2 28 15 12 7 1x x x x+ + = − +

211 15 14 0x x− + + =

1

2

27

11

x

x

=

= −

b) valores que hacen cero los deno-minadores:

3 1 0x − =

313

x =

3 0x + =

4 3x = −

Con estos cuatro valores se parte la recta numérica en inter-valos como se muestra en la siguiente gráfica:


Probando con cualquier valor para x que esté adentro de cualquiera de los cinco intervalos, porejemplo con :0x =

5 4 1

3 1 3x xx x+ −

>− +

( )( )4 0 10 5

3 0 1 0 3−+

>− +

X falso5 11 3

−>

−

Por lo tanto, el intervalo al que pertenece es no solución. Al hacer la alternancia de los0x =intervalos a partir de lo obtenido, se tiene la solución gráfica como

0x =

que corresponde a la solución definitiva

7 13 211 3

x x− < < − < <∪

Nota importante: En estos dos últimos ejemplos se probó con porque éste es el valor para0x =la x que resulta más sencillo, pero no significa que siempre deba probarse con cero.


EJERCICIO 4


1) 2)7 4 0

1xx−

<+

11 12 03 17

xx+

>−

3) 4)5 0

12x

x<

−9 13 0

11 33xx+

<−

5) 6)7 03

xx−

>+

2 14 03 18

xx−

<+

7) 8)11 32 1

195

xx

−+

>7 1

14

xx

++

<

9) 10)15 4

53

−+

<x

xx

x+−

>14

21

11) 12)2 55 4

2x

x+

−>

51

521−

<+x x

13) 14)7

2 23

−>

−x x

2613 2

25 1−

<+x x

15) 16)2 9

22 3

xx

x++

> −x

xx

+−

< +24

8 35

17) 18)2 33 7

45 4

xx x

+−

<+

7 21 9

125 6

xx

xx

+−

>−−

19) 20)2 8

29

11x

xx

x−+

>−−

xx x

+−

<+

173

411


1.7 DESIGUALDADES DE INTERSECCIÓN

Una desigualdad de la forma significa todos los valores que puede tomar la variablea x b< <x que estén entre a y b, es decir, en el intervalo (a, b).

También significa la intersección de las desigualdades , es decir, todas las x quex a x b> <∩al mismo tiempo sean mayores que a y menores que b. Hay que recordar que la intersección tieneel significado de al mismo tiempo, o a la inversa, todo lo que es al mismo tiempo es una intersección.

Por lo tanto, la manera más sencilla de resolver este tipo de desigualdades, aunque no la únicaforma, es resolver por separado cada una de las dos desigualdades que la integran y luego intersecarambas soluciones. Dicha intersección es la solución buscada.

Ejemplo 1: 1 < 2x - 3 < 11

Solución: Esto significa que la operación debe estar entre los valores de 1 y 11. Para encontrar2 3x −los valores que puede tomar x para que se cumpla lo anterior, se separa en las dos desigualda-des originales que la componen y se resuelven por separado cada una de ellas, es decir:

1 2 3x< −

2 1 3x > +

2 4x >

2x >

2 3 11x − <

2 11 3x < +

2 7x <

7x <


Entonces la intersección de ambas soluciones es la solución de la desigualdad original, es decir

2 7x x> <∩

que corresponde a


2 7x< <

Cuando no se intuye a primera vista el intervalo que corresponde a dicha intersección, una repre-sentación gráfica resulta muy útil, como la mostrada en la figura 1.11.

Otro método: El método más conocido es el de sumar o restar, o multiplicar o dividir toda ladesigualdad por la misma cantidad hasta dejar despejada la x en el centro de la desigualdad.Solamente que no en todas las desigualdades de este tipo resulta fácil hacerlo, por lo que es reco-mendable conocer el método anterior.

Así, en el ejemplo anterior:

1 2 3 11x< − <

Primero se suma en toda la desigualdad para eliminar el ( ) que acompaña a 2x:3+ 3−

1 3 2 3 3 11 3x+ < − + < +4 2 14x< <

Ahora dividiendo todo entre 2 para despejar la x, tomando en cuenta que por ser una cantidadpositiva no se invierte el signo, se obtiene que

4 2 142 2 2

x< <

2 7x< <

figura 1.11


Que es el mismo resultado obtenido por el método de las intersecciones.

Esta solución significa que cualquier x menor que 2 pertenece al intervalo no solución; todas lasx que estén entre 2 y 7 pertenecen al intervalo sí solución; y todas las x mayores que 7 están enel intervalo no solución.

Efectivamente, probando con que pertenece al intervalo no solución, sustituyendo este1x =valor en la desigualdad original se obtiene

1 2 3 11x< − <

( )1 2 1 3 11< − <

X Es falso porque esta expresión significa que el (-1)1 1 11< − <está entre 1 y 11 y no es así.

Ahora probando con que pertenece al intervalo sí solución, sustituyendo este valor en la4x =desigualdad original se obtiene

1 2 3 11x< − <

( )1 2 4 3 11< − <

U Es cierto porque esta expresión significa que el 51 5 11< <está entre 1 y 11.

Ahora probando con que pertenece al intervalo no solución, sustituyendo este valor en8x =la desigualdad original se obtiene

1 2 3 11x< − <

( )1 2 8 3 11< − <

X Es falso porque lo anterior significa que el 13 está1 13 11< <entre 1 y 11 y no es así.

Ejemplo 2: 13 < 4 - 9x < 76

Solución: Esto significa que la operación debe estar entre los valores de 13 y 76. Para encontrar4 9x−los valores que puede tomar x para que se cumpla lo anterior, se separa en las dos desigualda-des originales que la componen y se resuelven por separado cada una de ellas, es decir:


13 4 9x< −

13 4 9x− < −

9 9x< −

9 99 9

x−>

− −

1x < −

Nótese que el signo de la desigual-dad se invirtió cuando se dividiótoda ella entre (-9).

4 9 76x− <

9 76 4x− < −

9 72x− <

9 729 9x−>

− −

8x > −

Nótese que el signo de la desigualdad seinvirtió cuando se dividió toda ella entre(-9).

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, se trata deuna intersección.


que corresponde a1 8x x< − > −∩ 8 1x− < < −

Cuando no se intuye a primera vista el intervalo que corresponde a dicha intersección, una repre-sentación gráfica resulta muy útil, como la mostrada en la figura 1.12.

figura 1.12


Otro método: El método más conocido, como se dijo en el ejemplo anterior, es el de sumar orestar, o multiplicar o dividir toda la desigualdad por la misma cantidad hasta dejar despejada lax en el centro de la desigualdad.

Así, en el ejemplo anterior:

13 4 9 76x< − <

Primero se resta ( ) en toda la desigualdad para eliminar el 4 que acompaña al término central4−

:4 9x−

13 4 4 4 9 76 4x− < − − < − 9 9 72x< − <

Ahora dividiendo todo entre ( ) para despejar la x ; tomando en cuenta que por ser una canti-9−

dad negativa se invierte el signo, se obtiene que

9 9 729 9 9

x−> >

− − −

1 8x− > > −

Y como en esta simbología debe escribirse siempre de menor a mayor leído de izquierda a dere-cha para coincidir con la recta numérica, entonces invirtiendo:

8 1x− < < −

Que es el mismo resultado obtenido por el método de las intersecciones.

Ejemplo 3: 3 5 1x x− < + <

Solución: Esto significa que la operación debe estar entre (-3) y el valor que tenga la misma x.5 1x +Para encontrar los valores que puede tomar x para que se cumpla lo anterior, se separa en lasdos desigualdades originales que la componen y se resuelven por separado cada una de ellas,es decir:


1 3 5 1x− < + 4 5x− <

5 4x > −45

x > −

5 1x x+ <

4 1x < −

14

x < −



son todas las x mayores que ( ) que al mismo tiempo sean menores que ( ). Si mental-45

−14

−

mente no puede el estudiante obtener esos valores, con una gráfica es muy simple:

La solución es

4 15 4

x− < < −

figura 1.11


Otro método: El segundo método visto en los ejemplos anteriores si se aplica a este ejemplopodría complicársele al estudiante su comprensión, al menos, quizá, más que el primer método.En este caso habría que hacer lo siguiente:

3 5 1x x− < + <

Primer paso: Restar x en toda la desigualdad para que desaparezca del extremo derecho:

3 5 1x x x x x− − < + − < −

3 4 1 0x x− − < + <

Segundo paso: Restar 1 en toda la desigualdad para que la expresión central quede sola-4 1x +mente con el término x:

3 1 4 1 1 0 1x x− − − < + − < −

4 4 1x x− − < < −

Tercer paso: Se divide toda la desigualdad entre 4 para despejar la x central. Como se divideentre una cantidad positiva no se invierten los signos de la desigualdad:

4 4 14 4 4

x x− −< < −

4 14 4

x x− −< < −

Hasta aquí ya se sabe que la x tiene que ser menor que menos un cuarto (leído del centro haciala derecha), pero no se sabe aún lo del otro extremo (extremo izquierdo). Entonces debe resolver-se esa desigualdad:

44

x x− −<

4 4x x− − < 4 4x x− − <


- 1 6

5 4x− <

45

x > −

Tiene que hacerse entonces la intersección de con . Es decir, la x tiene que14

x < −45

x > −

estar entre y como se había obtenido antes.45

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

14

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 4: x < 5x + 6 < x2

Solución: Se separa en las dos desigualdades originales que la componen y se resuelven por separado cadauna de ellas, es decir

5 6x x< +

5 6x x− <

4 6x− <

32

x > −

25 6x x+ <2 5 6 0x x− + + <

Como es una desigualdad de 2º grado se puede re-solver por el método gráfico: Las interseccionescon el eje x de la parábola se encuentran en

y ; como ,1 6x = 2 1x = − 0y <

1 6x x< − >∪


[ ]x 32

x 1 x 6 > − < − >∩ ∪


lo cual se muestra en la figura 1.14:

que corresponde a

3 1 62

x x− < < − >∪

Ejemplo 5: 21 4 6 15x x− < − − <

Solución: Se separa en las dos desigualdades originales que la componen y se resuelven por separadocada una de ellas, es decir

21 4 6x x− < − −

20 4 5x x< − −2 4 5 0x x− − >

Haciéndola por el método de las interseccio-nes, al resolverla como ecuación se obtienen

1

2

51

xx=

= −

Probando con en la desigualdad:0x =

( )20 4 0 5 0− − >

2 4 6 15x x− − <2 4 21 0x x− − <

Haciéndola por el método de las intersec-ciones, al resolverla como ecuación se ob-tienen

1

2

73

xx=

= −

Probando con en la desigualdad:0x =

figura 1.14


X falso5 0− >

Significa que

0x =

1 5x x< − >∪

( ) ( )20 4 0 6 15− − <

U cierto6 15− <

Significa que

0x =

3 7x− < <

Como ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, se tratade una intersección.

Entonces la intersección de ambas soluciones es la solución de la desigualdad original:

3 1 5 7x x− < < − < <∪

Probando con un valor de cada intervalo para verificar la solución obtenida:

a) Probando con que pertenece a un intervalo no solución:4x = −

( ) ( )21 4 4 4 6 15− < − − − − <


X falso (26 no es menor que 15)1 26 15− < <

b) Probando con que pertenece a un intervalo sí solución:2x = −

( ) ( )21 2 4 2 6 15− < − − − − <

U cierto1 6 15− < <

c) Probando con que pertenece a un intervalo no solución:0x =

( ) ( )21 0 4 0 6 15− < − − <

X falso (-1 no es menor que -6)1 6 15− < − <

d) Probando con que pertenece a un intervalo sí solución:6x =

( ) ( )21 6 4 6 6 15− < − − <

U cierto1 6 15− < <

e) Probando con que pertenece a un intervalo no solución:10x =

( ) ( )21 10 4 10 6 15− < − − <

X falso (54 no es menor que 15)1 54 15− < <

Nótese que el método de los intervalos puede aplicarse a esta desigualdad.


EJERCICIO 5

resolver las siguientes desigualdades:

1) 2)4 8 20x< < 5 15 60x< <3) 4)2 2 19x< − < 0 2 1 23x< − <5) 6)5 2 3 21x< + < 2 1 3 34x− < − <7) 8)11 4 5 29x− < − < 6 1 7 36x< − <

9) 10)25 6 2 14x x< − − < 28 2 24x x< + <

11) 12)212 15 44 0x x− < + + < 22 8 10 19x x− < − + <

13) 14)2 1 26x x< + < 1 5 1 14x x− < − <

B.1 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

a) Si , donde c es cualquier constante, entonces :cx > c cx x< − >∪

Por ejemplo, si , equis puede ser cualquier cantidad mayor que 5 o bien menor que ,5x > 5−

porque el valor absoluto de cualquier cantidad menor que , como - 6, - 11, , etc. es,5− 221−respectivamente, 6, 11, 221, etc., mayores que cinco.

b) Si , donde c es cualquier constante, entonces , o sea la intersección decx < c cx− < <

:c cx x> − <∩

figura B1

figura B2


3 Vista desde el valor absoluto significa “leyendo desde el valor absoluto hacia el otro lado.

Por ejemplo, si , equis puede ser cualquier cantidad que esté entre + 5 y - 5, como ,5x < 2−porque su valor absoluto es 2 y es menor que cinco. Se resuelven como las desigualdades vistasen la sección 1.7, página 47.

Un truco para recordar cuándo es unión y cuándo es intersección consiste en compararlas y pregun-tarse: ¿Qué es más grande: una unión o una intersección? La respuesta es que la unión es más grandeporque es como juntar un pedazo más otro, mientras que la intersección es apenas aquel pedacito endonde coinciden. Entonces, como la unión es más grande, cuando en una desigualdad con valor abso-luto se tiene > (mayor que, vista desde el valor absoluto3

), la solución es una unión.

Otro razonamiento para resolver las desigualdades con valor absoluto es el siguiente: Partiendode una igualdad, supóngase que ; esto implica dos posibilidades: que o bien que2x = 2x =

porque en ambos casos su valor absoluto es 2. En otras palabras, la solución de la ecuación 2x = − 2x =

se obtiene tomando la parte positiva y luego la parte negativa de x e igualándola a 2, de la siguienteforma:

2x =

2x =2x− =

2x = −

Para una desigualdad basta con cambiar el signo igual ( = ) por el de mayor que o menor que ( )> ( )<y resolver las dos desigualdades que resultan al tomar la parte positiva y la parte negativa, sin olvidarque cuando el valor absoluto es “menor que” se tiene una intersección, y cuando el valor absoluto es“mayor que” se tiene una unión. Este razonamiento es muy útil cuando se tienen dos valores absolu-tos, uno comparado con el otro, como se verá en ejemplos más adelante.


4 Recordar que si visto desde el valor absoluto la desigualdad es “mayor que”, como la unión es mayor que laintersección, debe emplearse la unión.

Ejemplo 1: Resolver .3 1 11x − >

Solución: Como el valor absoluto es “mayor que”, la solución es la unión4 de las soluciones que se obtienenal tomar la parte positiva y la parte negativa:

PARTE POSITIVA:

3 1 11x − > 3 12x >

4x >

PARTE NEGATIVA:

( )3 1 11x− − >

3 1 11x − < −Cambia de signo porque semultiplicó todo por unacantidad negativa: .1−

3 10x < −

103

x < −

La unión de ambas soluciones parciales es la solución de la desi-gualdad

10 43

x x< − >∪

Ejemplo 2: Resolver 5 2 11x− <


5 Recordar que si visto desde el valor absoluto la desigualdad es “menor que”, como la intersección es menorque la unión, debe emplearse la intersección.

Solución: Como el valor absoluto es “menor que”, la solución es la intersección5 de las soluciones que seobtienen al tomar la parte positiva y la parte negativa:

PARTE POSITIVA:

5 2 11x− <

2 6x− <

2 6x > −

3x > −

PARTE NEGATIVA:

( )5 2 11x− − <

5 2 11x− + <

2 16x < 8x <

La intersección de ambas soluciones parciales es la solución de ladesigualdad

3 8x− < <

Ejemplo 3: Resolver 4 1 2 11x x+ > −

Solución: Cuando existen dos valores absolutos el problema puede resolverse de dos formas: quitando pri-mero el valor absoluto de la izquierda y luego el de la derecha, o quitando primero el valor absolu-to de la derecha y luego el de la izquierda.

En este caso, si se quita primero el de la izquierda, visto desde ese valor absoluto se tendrá queel valor absoluto es “mayor que”, por lo tanto dará origen a una unión de sus soluciones parciales;y como al final se quitará el valor absoluto de la derecha, visto desde allí se tendrá que es “esmenor que” y dará origen a una intersección.


Si, por el contrario, se quita primero el de la derecha, visto desde ese valor absoluto se tendrá queel valor absoluto es “menor que”, por lo tanto dará origen a una intersección de sus solucionesparciales; y como al final se quitará el valor absoluto de la izquierda, visto desde allí se tendrá quees “es mayor que” y dará origen a una unión.

En forma simbólica se puede explicar así:

a b>

quitando primero el quitando primero el valor absoluto valor absoluto b a

y luego y luego a b

parte parte parte parte positiva negativa positiva negativa de b de b de a de a

a b> a b> − a b> a b− >

a b> a b− > a b> − a b− > − a b> a b> − a b− > a b− > −

unión unión intersección intersecciónviene de quitar el viene de quitar el viene de quitar el viene de quitar elvalor absoluto de a valor absoluto de a valor absoluto de b valor absoluto de bque es “mayor que” que es “mayor que” que es “menor que” que es “menor que”

intersección unión viene de quitar el valor viene de quitar el valor

absoluto inicial de b absoluto inicial de a que es“menor que” que es“mayor que”

MÉTODO 1: Quitando primero el valor absoluto de la izquierda . Como este valor abso-4 1x +luto es “mayor que” lo que está del otro lado, se tendrá que hacer una unión de sus dos solucionesque se obtienen al tomar la parte positiva y la parte negativa de .4 1x +


4 1 2 11x x+ > −

parte positiva de 4 1x +

4 1 2 11x x+ > −

parte negativa de 4 1x +

( )4 1 2 11x x− + > −

parte positiva de:2 11x −

4 1 2 11x x+ > −2 12x > −

6x > −

parte negativa de:2 11x −

( )4 1 2 11x x+ > − −6 10x >

53

x >

parte positiva de:2 11x −

4 1 2 11x x− − > −6 10x− > −

53

x <

parte negativa de:2 11x −

4 1 2 11x x− − > − −2 12x− >

2 12x < −6x < −

intersecciónviene de quitar el valor absoluto 2 11x −

que es “menor que” .4 1x +

intersecciónviene de quitar el valor absoluto 2 11x −

que es “menor que” .4 1x +

53

x >6x < −

uniónviene de quitar el valor absoluto inicial que es “mayor que” .4 1x + 2 11x −

563

x x< − >∪


OPCIÓN 2: Quitando primero el valor absoluto de la derecha . Como este valor absolu-2 11x −to es “menor que” lo que está del otro lado, se tendrá que hacer una intersección de sus dos solu-ciones que se obtienen al final al tomar la parte positiva y la parte negativa de .2 11x −

4 1 2 11x x+ > −

parte positiva de 2 11x −

4 1 2 11x x+ > −

parte negativa de 2 11x −

( )4 1 2 11x x+ > − −

parte positiva de :4 1x +

4 1 2 11x x+ > −2 12x > −

6x > −

parte negativa de :4 1x +

4 1 2 11x x− − > −6 10x− > −

53

x <

parte positiva de : 4 1x +

4 1 2 11x x+ > − +6 10x >

53

x >

parte negativa de : 4 1x +

4 1 2 11x x− − > − −

2 12x− >2 12x < −

6x < −

unión: viene de quitar el valor absoluto 4 1x +

que es “mayor que” .2 11x −

unión: viene de quitar el valor absoluto 4 1x +

que es “mayor que” .2 11x −

todas las x

563

x x< − >∪

intersección

viene de quitar el valor absoluto inicial que es “menor que” .2 11x − 4 1x +


Solución: 563

x x< − >∪

1.9 DESIGUALDADES CON RAÍZ CUADRADA

Algunas desigualdades con raíz cuadrada se resuelven a partir de la propiedad que dice que si

y , entonces . De aquí que si , siempre y cuando ,0a b> > 0c d> > ac bd> a b< 0a ≥

implica que , ya que toda raíz cuadrada en los reales es positiva o cero, por lo tanto se le puede0b >aplica la propiedad anterior multiplicando toda la inecuación por sí misma.

Ejemplo 4: Resolver .3 10x x+ <

Solución: Como la raíz cuadrada debe ser positiva y es menor que x, obvio que x es también positivo. Sepuede aplicar la propiedad anterior multiplicando toda la desigualdad por sí misma:

3 10x x+ <

( ) ( )3 10 3 10x x x x+ + <

23 10x x+ <

2 3 10 0x x− + + <

que resolviéndola por alguno de los métodos vistos en las páginas 12-25 se obtiene que

(1)2 5x x< − >∪

siempre y cuando el subradical sea cero o positivo para que la raíz cuadrada no sea negativa, o sea

3 10 0x + ≥


(2)103

x ≥ −

Por lo tanto, la solución es (1) siempre y cuando las equis sean mayores o iguales a menos dieztercios. En otras palabras, es la intersección de (1) con (2):

[ ] 102 53

x x x< − > ≥ −∪ ∩

que gráficamente, para visualizar mejor la solución, es

1.10 DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

Las desigualdades de primer grado con dos variables son de la forma

ax by c+ ≠

que implica dos posibilidades: que o bien que ax by c+ > ax by c+ <

El razonamiento es muy simple: si se compara la suma de ax + by con la constante c , solamenteexisten dos posibilidades: o son iguales o son desiguales. A su vez, si son desiguales solamente exis-ten dos posibilidades: que sea mayor que c o que sea menor.

Si se tiene la igualdad , gráficamente se trata de una línea recta, que significa que todoax by c+ =el conjunto de pares de valores (x, y) que pertenecen a la recta satisfacen la igualdad. Se deduce quecualquier otro par de valores que no pertenezca a la recta no satisface la igualdad y, por lo tanto, la


1) Se gráfica la recta .ax by c+ =2) Se selecciona arbitrariamente un punto del plano que no pertenezca a la

recta y se prueba en la desigualdad original:

* si satisface la desigualdad, la región del plano al que pertenece el pun-to elegido es la región solución;

* si no satisface la desigualdad, la región del plano al que pertenece elpunto elegido no es la región solución y, por lo tanto, la solución es laotra región.

convierte en desigualdad. Al ser desigualdad solamente existen dos posibilidades, que sea mayor quec o que sea menor que c.

La idea del método de solución, por lo dicho anteriormente, consiste en ubicarse primero en loigual, o sea para luego, al salirse de allí, tener la seguridad de estar en lo desigual, paraax by c+ =concluir investigando simplemente si ese desigual corresponde a un "mayor que" o a un "menor que".

Los pasos a seguir son:

Ejemplo 1: 5 2 10x y− <

Solución: Graficando la recta :5 2 10x y− =


Se selecciona un punto que no pertenezca a la recta, por ejemplo P(0, 0) y se prueba en ladesigualdad original:

5x - 2y < 105(0) - 2(0) < 10

0 < 10 cierto

Significa que la región a la que pertenece el punto P(0, 0) es la región solución, lo cual seseñala en la gráfica de alguna manera visible y notable:

Ejemplo 2: x + 6y > 12

solución: graficando la recta x + 6y = 12:


Se selecciona un punto que no pertenezca a la recta, por ejemplo P(0, 0) y se prueba en la desi-gualdad original:

x + 6y > 12(0) + 6(0) > 12

0 > 12 falso

Significa que la región a la que pertenece el punto P(0, 0) no es la región solución, por lo tantola región solución es la otra, lo cual se señala en la gráfica de alguna manera notable:

EJERCICIO 6


1) 3x + 9y < 15 2) 7x - y > 1

3) x - 11y > 33 4) 2x + 13y < 0

5) 9x + 10y < 33 6) x + y > 0

7) x - y > 0 8) x - y < 11

9) x + 4y > 0 10) 3x - 7y < 0


1.11 DESIGUALDADES SIMULTANEAS

De la misma manera que existen ecuaciones simultáneas, existen también desigualdades simul-táneas de primer grado con dos variables. Son de la forma

â ax + by … cÏ dx + ey … f ( … implica < o bien > )

Los intervalos o regiones solución deben satisfacer al mismo tiempo a las dos desigualdades.Por eso se llaman simultáneas.

Se resuelven una por una exactamente como lo explicado en la página 67, haciendo ambasgráficas en el mismo plano. Como se trata de desigualdades simultáneas, la intersección de laregión solución de cada una de ellas es la solución del sistema.

Ejemplo 1: â 5x - 2y < 10Ï x + 6y > 12

Solución: Graficando ambas en el mismo plano y localizando sus respectivas regiones solución:


CASOS ESPECIALES

Los casos especiales se dan cuando las rectas que se obtienen son paralelas. Las posibilidadesse muestran en las siguientes gráficas:

EJERCICIO 7

Resolver los siguientes sistemas de desigualdades:

1) 3x + 9y < 15 2) 7x - y > 15x - 2y < 1 7x + 4y < 12

3) x - 11y > 33 4) 2x + 13y < 03x - 10y < - 5 x - y > 11

5) 9x + 10y < 33 6) x + y > 04x + 9y > 11 x + y > 13

7) x - y > 0 8) x - y < 11x - y < - 12 x - y > 2

9) x + 4y > 0 10) 3x - 7y < 02x + 8y < 3 6x - 14y < 8

1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es ...

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