11 emeta de esaci. eas 11 GEOMETRÍA DEL ESPACIO… · Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO...

11 Geometría del espacio. Áreas

354Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Con esta unidad comienza el estudio de la geometría en el espacio. En particular, esta unidad se centra en el cálculo de las áreas de diferentes cuerpos geométricos.

Se empieza trabajando el concepto de cuerpo geométrico en el espacio así como las diferentes posiciones relativas de rectas y planos.

La unidad continúa con el estudio de las áreas de poliedros y cuerpos de revolución. Por un lado se estudia el área de prismas y pirámides, y por otro, el estudio del área de cilindros, conos y esferas. La unidad termina explicando el cálculo del área de los troncos de cono y los troncos de pirámide.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es una de las protagonistas de toda la unidad, teniendo especial importancia en la sección Matemáticas vivas.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con la geometría del espacio y el cálculo de áreas de cuerpos geométricos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el mantenimiento de edificios, los alumnos profundizarán en las aplicaciones del cálculo de áreas de cuerpos geométricos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Identificar las tres dimensiones del espacio y los elementos básicos de la geometría del espacio.

❚❚ Reconocer las posiciones relativas de rectas y planos.

❚❚ Reconocer los poliedros como cuerpos geométricos, sus elementos principales e identificar los poliedros regulares.

❚❚ Identificar y clasificar prismas y pirámides. Calcular su área lateral y total.

❚❚ Identificar los cuerpos de revolución, y los elementos principales de cilindros, conos y esferas, y calcular sus áreas.

❚❚ Identificar figuras esféricas y calcular sus áreas.

❚❚ Identificar los troncos de conos y pirámides como una sección de un cono o pirámide mayor, y calcular sus áreas.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO. ÁREAS11

355

11Geometría del espacio. Áreas

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos, y se proponen actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos, pueden acceder a las lecciones 1078, 1106, 1107 y 1122 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Geometría del espacioPosiciones relativas de rectas y planos

1. Identificar los elementos básicos de la geometría del espacio.2. Determinar la posición relativa entre rectas y planos.

1.1. Reconoce objetos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.2.1. Identifica la posición relativa entre dos rectas, dos planos, y una recta y un plano.

1, 4

2, 364

CMCTCLCSCCAACSIEE

PoliedrosPoliedros regulares

3. Describir, clasificar y desarrollar poliedros. 3.1. Reconoce elementos básicos de poliedros, los relaciona y clasifica.

3.2. Identifica y clasifica los poliedros regulares.

5-765, 67G1, G28-1066

CMCTCLCSCCAACSIEE

Prismas. Áreas 4. Identificar y distinguir prismas y pirámides.

5. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del área de prismas y pirámides.

4.1. Reconoce, determina y dibuja elementos básicos de prismas y pirámides, y su desarrollo.

5.1. Calcula áreas de prismas y pirámides.

5.2. Relaciona elementos y áreas de prismas y pirámides, para resolver problemas.

11, 1268-71

13, 14, 22-2872-7615-212984-86Matemáticas vivas

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Pirámides. Áreas

Cuerpos de revolución

6. Describir, clasificar y desarrollar cuerpos de revolución.

6.1. Reconoce elementos básicos de cuerpos de revolución, los relaciona y clasifica.

30-3477

CMCTCLCSCCAACSIEE

Cilindros. Áreas 7. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del área de cilindros, conos y esferas.

7.1. Calcula áreas de cilindros, conos y esferas.

7.2. Relaciona elementos y áreas de cilindros, conos y esferas para resolver problemas.

7.3. Calcula áreas de semiesferas, casquetes, zonas y husos esféricos.7.4. Relaciona elementos y áreas de semiesferas, casquetes, zonas y husos esféricos para resolver problemas.

35-37, 43-45, 51, 52, 5478-8038-4246-5053, 5787-90Matemáticas vivas 555815691, 93

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Conos. Áreas

Esferas. ÁreasFiguras esféricas

Troncos de pirámides y conos. Áreas

8. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del área de troncos de pirámides y de troncos de conos.

8.1. Calcula áreas de troncos de pirámides y de troncos de conos.8.2. Relaciona elementos y áreas de troncos de pirámides y de troncos de conos para resolver problemas.

58, 60, 6182, 8359, 62, 6392Matemáticas vivas 5

CMCTCLCSCCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

1. Geometría del espacio • Posiciones relativas de rectas y

planos

2. Poliedros • Poliedros regulares

3. Prismas. Áreas

4. Pirámides. Áreas

5. Cuerpos de revolución

6. Cilindros. Áreas

7. Conos. Áreas

8. Esferas. Áreas • Figuras esféricas

9. Troncos de pirámides y conos. Áreas

AvanzaÁrea de cuerpos geométricos compuestos

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Euclides de Alejandría

Vídeo. Área de prisma

Vídeo. Área de pirámide

GeoGebra. Área lateral de un cilindro

Vídeo. Área de un cono

MisMates.esLecciones 1078, 1106, 1107 y 1122 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

356


¿Qué tienes que saber? • Área de un prisma • Área de una pirámide • Área de un cilindro • Área de un cono

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasMantenimiento de edificios • Estudio de presupuestos de

mantenimiento de edificios de superficies distintas

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Preparar la tarea, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de David y Roger Johnson

Geometría en el arteM. C. Escher y sus poliedros

357



Sugerencias didácticas

La unidad comienza relacionando cuerpos bidimensionales con cuerpos tridimensionales.

En la entrada de unidad se hace referencia a cómo se cons-truyen las cajas que se utilizan en los servicios de mensaje-ría.

Como complemento a la lectura, podemos llevar al aula una de estas cajas e investigar cómo se ha podido construir. Es muy probable que los alumnos propongan diferentes so-luciones y, a partir de ellas, se puede establecer un debate sobre cuál es la más conveniente y por qué.

Contenido WEB. EUCLIDES DE ALEJANDRÍA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad.

En este caso se introduce la figura de Euclides y su obra Los Ele-mentos, el libro de matemáticas más conocido de la historia.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, situando históricamente el estudio de la geo-metría desde la Grecia clásica, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Dado un triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa si los

catetos miden 5 cm y 12 cm.

2. Halla la apotema de los siguientes polígonos regulares.

a) Un pentágono regular de 4 cm de lado y 3,4 cm de radio.

b) Un hexágono regular de 8 cm de lado.

3. Determina la longitud de una circunferencia de 4 cm de radio y el área de un círculo de 6 cm de radio.

223

11Hoy en día, los servicios de paquetería han aumentado notablemente, de tal manera que podemos comprar lo que sea en la otra punta del mundo, y un mensajero nos traerá una caja con todas nuestras adquisiciones a la misma puerta de casa.

Pero ¿cuál es el proceso de elaboración de estos embalajes? Primero hay que cortar las planchas de cartón de modo que formen una figura plana para, posteriormente, plegarla y crear la caja.

En el proceso de elaboración, una figura plana se convierte en una figura de tres dimensiones. Es decir, se pasa del plano al espacio.

La estructura de estas cajas es, básicamente, la misma siempre: 6 rectángulos que forman las caras, iguales dos a dos. En matemáticas, esta figura recibe el nombre de prisma.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO. ÁREAS

Hoy en día, los servicios de paquetería han aumentado notablemente, de tal manera que podemos comprar lo que sea en la otra punta del mundo, y un mensajero nos traerá una caja con todas nuestras adquisiciones a la misma puerta de casa.

Pero ¿cuál es el proceso de elaboración de estos embalajes? Primero hay que cortar las planchas de cartón de modo que formen una figura plana para, posteriormente, plegarla y crear la caja.

En el proceso de elaboración, una figura plana se convierte en una figura de tres dimensiones. Es decir, se pasa del plano al espacio.

IDEAS PREVIAS

❚ Teorema de Pitágoras.

❚ Perímetro y área de

polígonos.

❚ Longitud de una

circunferencia y área

de un círculo.

Euclides de Alejandría (ca. 325-270 a.C.), matemático griego, escribió una colección de trece libros llamados Los Elementos en los que se explican los conceptos fundamentales de la geometría en dos y en tres dimensiones.

Matemáticas en el día a día ][ma2e42

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Dado un triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa si los catetos miden 5 cm y 12 cm.

h2 = 52 + 122 → h2 = 25 + 144 = 169 → h = 169 = 13 cm

2. Halla la apotema de los siguientes polígonos regulares.

a) Un pentágono regular de 4 cm de lado y 3,4 cm de radio.

b) Un hexágono regular de 8 cm de lado.

a) ap2 + 22 = 3,42 → ap

2 = 11,56 − 4 = 7,56 = 2,75 cm

b) ap2 + 42 = 82 → ap

2 = 64 − 16 = 48 = 6,93 cm

3. Determina la longitud de una circunferencia de 4 cm de radio y el área de un círculo de 6 cm de radio.

l = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 = 25,12 cm

A = 3,14 ⋅ 62 = 113,04 cm2



1. Geometría del espacio

225

11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas

224

1. GEOMETRÍA DEL ESPACIO

El espacio en el que nos movemos consta de tres dimensiones: ancho, largo y alto. Este balón, por ejemplo, es un objeto tridimensional.

Sin embargo, existen objetos que solo tienen dos dimensiones: ancho y largo. Un folio o un trozo de tela

fina, por ejemplo, son bidimensionales.

También existen cuerpos con una sola dimensión. Así, solo medimos el largo de una cuerda o de un hilo.

Observa cómo podemos generar las tres dimensiones a partir de un punto.

1 Señalamos un punto.

2 Movemos el punto y se genera una recta.

3 Movemos la recta y se genera un plano.

4 Movemos el plano y se genera el espacio.

Posiciones relativas de rectas y planos

❚ Dos rectas en el espacio pueden ser:

Paralelas: no se cortan y tienen la misma dirección.

Secantes: se cortan en un punto.

Se cruzan: no se cortan y tienen direcciones distintas.

❚ Una recta y un plano en el espacio pueden ser:

Paralelos: la recta y el plano no se cortan.

Secantes: la recta y el plano tienen un punto de corte.

Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta están contenidos en el plano.

❚ Dos planos en el espacio pueden ser:

Paralelos: no se cortan. Secantes: se cortan en una recta.

•

•

• •

• • •

•

•

• •

•

• •

•

Aprenderás a… ● Identificar las tres dimensiones del espacio.

● Identificar los elementos básicos de la geometría del espacio.

● Reconocer las posiciones relativas de rectas y planos.

Cuando estudiamos la posición relativa de dos elementos del espacio, ya sean rectas o planos, lo que queremos saber es cómo se encuentra un elemento en relación con el otro.

Lenguaje matemático

Clasifica estos objetos en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales.

¿Qué posición relativa tienen las dos rectas en cada caso?a) a) c) c) e) e)

b) b) d) d) f) f)

Observa este cuerpo geométrico y averigua la posición relativa de los elementos que se indican.

A

C

D

E

F

B

a) El plano ABC y el BEFC. d) El plano ABED y el plano ADFC.b) La recta AB y el plano BEFC. e) La recta BF y la recta EC.c) La recta AC y la recta DF. f) La recta CF y el plano BEFC.

1

2

3

Investiga

Un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional. Como no conocemos esa cuarta dimensión, existen diferentes formas de realizar este hipercubo en las tres dimensiones en las que nos movemos.Investiga la presencia de este hipercubo en la arquitectura y el arte.

4

Soluciones de las actividades1 Clasifica estos objetos en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales.

❚❚ Unidimensionales: cable

❚❚ Bidimensionales: marcapáginas, partituras

❚❚ Tridimensionales: taza, globo terráqueo


El salto de trabajar en el plano a trabajar en el espacio no es tan sencillo para los alumnos como parece.

Es importante ir introduciendo poco a poco los conceptos y confirmar que todos consiguen dominar la percepción espacial que van necesitando para comprender el objeto de estudio.

Por este motivo es bueno llevar al aula diferentes modelos de cuerpos geométricos para que los alumnos los manipu-len y conozcan.

Sería interesante trabajar con cuerpos geométricos de plás-tico donde se pueda observar el desarrollo plano de dichas figuras. De esta manera es fácil comprender cómo están formados estos cuerpos.

Puede ser muy útil trabajar con cubos construidos solo por sus aristas. Con ayuda de varillas y cartulinas, se puede comprobar cómo se forman las diferentes posiciones relati-vas de planos y rectas en el espacio.

359



2 ¿Qué posición relativa tienen las dos rectas en cada caso?

a) a) c) c) e) e)

b) b) d) d) f) f)

a) Se cruzan. c) Son secantes. e) Son secantes.

b) Se cruzan. d) Se cruzan. f) Son paralelas.3 Observa este cuerpo geométrico y averigua la posición relativa de los elementos que se indican.

A

C

D

E

F

B

a) El plano ABC y el BEFC.

b) La recta AB y el plano BEFC.

c) La recta AC y la recta DF.

d) El plano ABED y el plano ADFC.

e) La recta BF y la recta EC.

f) La recta CF y el plano BEFC.

a) Se cortan en una recta.

b) Se cortan en un punto.

c) Son paralelas.

d) Se cortan en una recta.

e) Se cortan en un punto.

f) La recta está contenida en el plano.

Investiga4 Un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales

desplazados en un cuarto eje dimensional. Como no conocemos esa cuarta dimensión, existen diferentes formas de realizar este hipercubo en las tres dimensiones en las que nos movemos.

Investiga la presencia de este hipercubo en la arquitectura y el arte.

Respuesta abierta.



2. Poliedros

227


226

2. POLIEDROS

La lata de atún y la caja de cartón donde viene la lata tienen forma de distintos cuerpos geométricos.

Ambos envases son muy diferentes: la caja está formada por polígonos, lo que no ocurre con la lata, que tiene caras circulares y superficies curvas.

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos.

Los elementos principales de un poliedro son:

❚ Caras: son cada uno de los polígonos que limitan el poliedro.

❚ Aristas: son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

❚ Vértices: son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

❚ Diagonales: son segmentos que unen dos vértices que no están en la misma cara.

❚ Ángulos diedros: formados por dos caras que tienen una arista en común.

❚ Ángulos poliedros: formados por tres o más caras con un vértice común.

Poliedros regulares

Raquel utiliza polígonos para construir los poliedros regulares.

Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares e iguales, y en cuyos vértices concurre el mismo número de caras.

Tetraedro

En cada vértice se unen 3 triángulos equiláteros.

Octaedro


Icosaedro


Hexaedro

En cada vértice se unen 3 cuadrados.

Dodecaedro

En cada vértice se unen 3 pentágonos regulares.

No existen más poliedros regulares porque, si fuera posible utilizar otros polígonos, sus ángulos poliedros sumarían 360º o más, y sería imposible construir el poliedro.

Aprenderás a… ● Reconocer los poliedros como cuerpos geométricos.

● Identificar los elementos principales de los poliedros.

● Identificar los poliedros regulares.

Presta atención

En un poliedro, los ángulos poliedros miden menos de 360°.

Indica cuáles de estos objetos tienen forma de poliedro y cuáles no.

Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe el nombre de los elementos señalados en este poliedro.

3

5 6

1 2

4

Dibuja los siguientes poliedros. a) Tiene una cara que es un triángulo rectángulo.b) Todas sus caras son rectángulos.c) Una de sus caras es un pentágono y las demás caras son triángulos.d) Tiene dos caras que son hexágonos.

Copia y relaciona cada poliedro regular con la característica que cumple.

Poliedro regular Característica

Tetraedro Tiene 30 aristas.

Hexaedro Tiene 6 vértices.

Octaedro No tiene diagonales.

Dodecaedro Tiene 12 caras.

Icosaedro Todos sus ángulos diedros son de 90º.

¿Es esta figura un poliedro regular? Explica por qué.

5

26

7

8

9

POLIEDRONO POLIEDRO

Cara

Diagonal

Ángulodiedro

Ángulopoliedro

VérticeArista

Investiga

Copia y completa la tabla con el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro.

Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro

N.º de caras O O O O O

N.º de vértices O O O O O

N.º de aristas O O O O O

El matemático Leonhard Euler descubrió que hay una relación entre el número de caras, vértices y aristas de algunos poliedros. Busca cuál es esa relación y comprueba que los poliedros regulares sí la cumplen.

10

Soluciones de las actividades5 Indica cuáles de estos objetos tienen forma de poliedro y cuáles no.

❚❚ Tienen forma de poliedro: rompecabezas de colores y caja

❚❚ No tienen forma de poliedro: catalejo y gorro de fiesta

6 Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe el nombre de los elementos señalados en este poliedro.

3

5 6

1 2

4

1. Vértice 4. Ángulo poliedro

2. Arista 5. Diagonal

3. Cara 6. Ángulo diedro


Una vez conocido el concepto de poliedro, se puede pedir a los alumnos que traigan de casa un objeto con forma de poliedro y otro que no tenga forma de poliedro.

Jugar con todos los objetos: clasificarlos, describirlos, ave-riguar cómo son a través del tacto y con los ojos cerrados, etcétera.

Con un material similar al que aparece en el epígrafe, los polígonos regulares encajables, se puede pedir a los alum-nos que intenten construir diferentes poliedros con las ca-racterísticas de los poliedros regulares. Cuando terminen las diferentes construcciones, realizar una puesta en común de los resultados obtenidos: tipo de poliedro y repaso de características.

361



7 Dibuja los siguientes poliedros.

a) Tiene una cara que es un triángulo rectángulo.

b) Todas sus caras son rectángulos.

c) Una de sus caras es un pentágono y las demás caras son triángulos.

d) Tiene dos caras que son hexágonos.

Respuesta abierta. Comprobar que los dibujos de los alumnos respetan las condiciones que se piden en cada caso.8 Copia y relaciona cada poliedro regular con la característica que cumple.

Poliedro regular Característica

Tetraedro Tiene 30 aristas.

Hexaedro Tiene 6 vértices.

Octaedro No tiene diagonales.

Dodecaedro Tiene 12 caras.

Icosaedro Todos sus ángulos diedros son de 90º.

Tetraedro: No tiene diagonales.

Hexaedro: Todos sus ángulos diedros son de 90º.

Octaedro: Tiene 6 vértices.

Dodecaedro: Tiene 12 caras.

Icosaedro: Tiene 30 aristas.9 ¿Es esta figura un poliedro regular? Explica por qué.

No, porque hay vértices en los que concurren 3 caras y otros en los que concurren 4 caras.

Investiga10 Copia y completa la tabla con el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro.


N.º de caras O O O O O

N.º de vértices O O O O O

N.º de aristas O O O O O

El matemático Leonhard Euler descubrió que hay una relación entre el número de caras, vértices y aristas de algunos poliedros. Busca cuál es esa relación y comprueba que los poliedros regulares sí la cumplen.

La relación es: Caras + Vértices = Aristas + 2


N.º de caras 4 8 6 12 20

N.º de vértices 4 6 8 20 12

N.º de aristas 6 12 12 30 30

4 + 4 = 6 + 2 8 + 6 = 12 + 2 6 + 8 = 12 + 2 12 + 20 = 30 + 2 20 + 12 = 30 + 2



3. Prismas. Áreas

229


228

3. PRISMAS. ÁREAS

Samuel ha comprado una caja de bombones. La tapa y la base de la caja tienen la misma forma de pentágono regular. Además, todas las caras laterales son rectángulos.

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases que son polígonos iguales, mientras que el resto de caras son paralelogramos y reciben el nombre de caras laterales.

Los prismas se nombran según el número de lados de las bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal…

Atendiendo a la forma de sus caras laterales, los prismas se clasifican en:

❚ Prismas rectos: sus caras laterales son rectángulos o cuadrados.

❚ Prismas oblicuos: sus caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados.

Además, los prismas rectos se clasifican en:

❚ Prismas regulares: sus bases son polígonos regulares.

❚ Prismas irregulares: sus bases son polígonos irregulares.

Samuel toma las medidas necesarias en la caja para construirla con cartulina. Tiene que dibujar el desarrollo plano del prisma pentagonal regular.

Así pues, Samuel necesita 333,90 cm2 de cartulina para construir la caja.

El área lateral de un prisma es el perímetro de la base por la altura del prisma.

AL = P ⋅ h

El área total de un prisma es la suma del área lateral más el área de las dos bases.

AT = AL + 2AB

Aprenderás a… ● Identificar y clasificar prismas.

● Calcular el área lateral y el área total de un prisma.

Los paralelepípedos son prismas de 6 caras que son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos.

❚ Cubo: sus caras son cuadrados.

❚ Ortoedro: sus caras son rectángulos.

❚ Romboedro: sus caras son rombos.

❚ Romboidedro: sus caras son romboides.


Identifica qué cuerpos geométricos son prismas y clasifícalos.a) d)

b) e)

c) f)

Dibuja el desarrollo plano de estos prismas.a) b)

Calcula el área total de estas figuras.a)

7 cm

3 cm

1 cm

c)

6 cm

3 cm

6 cm

b)

4 cm

7 cm

2 cm

d)

5 cm

4 cm

6 cm

11

12

13

¿Cuál es el área total de estos prismas rectos regulares?a) Base pentagonal de 3 cm de lado y 2,06 cm de

apotema, y 10 cm de altura.b) Base octogonal de 4 cm de lado y 4,83 cm de

apotema, y 2 cm de altura.

Con los datos del plano, unos pintores tienen que reparar la fachada de un torreón de planta pentagonal que tiene una altura de 8,5 m. Si cobran 30 €/m2, ¿a cuánto dinero ascenderá la obra?

María quiere comprar un acuario con las siguientes medidas: 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto. Por cada metro cuadrado de cristal le cobran 37 €. ¿Cuánto le costará el acuario?

Un prisma de base cuadrada y 7 dm de altura tiene un área total de 252 dm2. ¿Cuánto mide el lado de la base del prisma?

Calcula cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 294 dm2.

¿Cuál es el área total de un prisma de base hexagonal regular de 6 cm de lado y 4 cm de altura?

6 cm4 cm

Una empresa de instrumentos musicales va a diseñar cajas en forma de prisma triangular para guardar sus flautas. Si la base es un triángulo equilátero de 5 cm de lado y la caja mide 35 cm de largo, ¿cuánto material se necesita para fabricar una?

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ma2e43

DESAFÍOSimón tiene un cubo formado por 27 cubitos más pequeños, como muestra la figura.Recolocando los cubitos pequeños, ¿cuántos prismas diferentes podrías construir?

21

Soluciones de las actividades11 Identifica qué cuerpos geométricos son prismas y clasifícalos.

a) c) e)

b) d) f)

a) No es un prisma

b) Prisma. Cubo

c) Prisma cuadrangular irregular recto

d) Prisma cuadrangular irregular recto

e) No es un prisma

f) Prisma hexagonal regular oblícuo


Para el trabajo con áreas de cuerpos geométricos, resulta muy útil fabricar estos cuerpos con cartulina. De esta for-ma, los alumnos pueden estudiar su desarrollo y calcular sobre él las áreas de los polígonos que los forman.

También es conveniente recordar las unidades de medida de superficie y cómo se transforma una unidad en otra.

Vídeo. ÁREA DE PRISMA

En el vídeo se muestra el cálculo del área total de un prisma recto pentagonal regular, indicando el procedimiento completo.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen más tarde el cálculo de áreas de prismas.

363



12 Dibuja el desarrollo plano de estos prismas.

a) b)

Comprobar que los alumnos dibujan correctamente cada uno de los desarrollos.13 Calcula el área total de estas figuras.

a)

7 cm

3 cm

1 cm

b)

4 cm7

cm2 cm

c)

6 cm

3 cm

6 cm

d)

5 cm

4 cm

6 cm

a) AB = 7 ⋅ 1 = 7 cm2 AL = (2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 1) ⋅ 3 = 48 cm2 AT = 48 + 2 ⋅ 7 = 62 cm2

b) AB = 4 ⋅ 2 = 8 cm2 AL = (2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2) ⋅ 7 = 84 cm2 AT = 84 + 2 ⋅ 8 = 100 cm2

c) AB = 6 ⋅ 6 = 36 cm2 AL = (4 ⋅ 6) ⋅ 3 = 72 cm2 AT = 72 + 2 ⋅ 36 = 144 cm2

d) AB = 5 ⋅ 6 = 30 cm2 AL = (2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6) ⋅ 4 = 88 cm2 AT = 88 + 2 ⋅ 30 = 148 cm2

14 ¿Cuál es el área total de estos prismas rectos regulares?

a) Base pentagonal de 3 cm de lado y 2,06 cm de apotema, y 10 cm de altura.

b) Base octogonal de 4 cm de lado y 4,83 cm de apotema, y 2 cm de altura.

a) AB = (5 ⋅3) ⋅2,06

2 = 15,45 cm2 AL = (5 ⋅ 3) ⋅ 10 = 150 cm2 AT = 150 + 2 ⋅ 15,45 = 180,9 cm2

b) AB = (8 ⋅ 4) ⋅ 4,83

2 = 77,28 cm2 AL = (8 ⋅ 4) ⋅ 2 = 64 cm2 AT = 64 + 2 ⋅ 77,28 = 218,56 cm2

15 Con los datos del plano, unos pintores tienen que reparar la fachada de un torreón de planta pentagonal que tiene una altura de 8,5 m. Si cobran 30 €/m2, ¿a cuánto dinero ascenderá la obra?

Calculamos el área lateral:

AL = (2 + 2 + 1,5 + 3 + 3) ⋅ 8,5 = 11,5 ⋅ 8,5 = 97,75 m2

Por tanto, el precio de la obra será: 97,75 ⋅ 30 = 2 932,50 €16 María quiere comprar un acuario con las siguientes medidas: 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto. Por cada

metro cuadrado de cristal le cobran 37 €. ¿Cuánto le costará el acuario?

Calculamos el área lateral más el área de una base:

AL + AB = (2 ⋅ 50 + 2 ⋅ 30) ⋅ 40 + 50 ⋅ 30 = 6 400 + 1 500 = 7 900 cm2 = 0,79 m2

Por tanto, el acuario le costará: 0,79 ⋅ 37 = 29,23 €



17 Un prisma de base cuadrada y 7 dm de altura tiene un área total de 252 dm2. ¿Cuánto mide el lado de la base del prisma?

AT = AL + 2 ⋅ AB = PB ⋅ h + 2 ⋅ AB = 4l ⋅ 7 + 2 ⋅ l2 = 2l2 + 28l

2l2 + 28l = 252 → l2 + 14l = 126 → l2 + 14l − 126 = 0

→ l =−14 ± 142 − 4(−126)

2=−14 ± 196 + 504

2=−14 ± 700

2=−14 ± 26,46

2= +6,23

−20,23

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

La solución negativa no es válida porque se refiere a la medida del lado de la base.

Por tanto: l = 6,23 dm18 Calcula cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 294 dm2.

Como todas las caras de un cubo son iguales e iguales a su base, entonces: AT = 6 ⋅ AB

294 = 6 ⋅ l2 → l2 = 294 : 6 = 49 → l = 7

La arista del cubo mide 7 dm.19 ¿Cuál es el área total de un prisma de base hexagonal regular de 6 cm de lado y 4 cm de altura?

Primero, calculamos la apotema de la base.

ap2 + 32 = 62 → ap

2 = 36 − 9 = 27 → ap = 27 = 5,2 cm

Después, calculamos el área de la base.

AB = (6 ⋅6) ⋅5,2

2 = 93,6 cm2

Por último, hallamos el área total:

AT = AL + 2 ⋅ AB = (6 ⋅ 6) ⋅ 4 + 2 ⋅ 93,6 = 331,2 cm2

20 Una empresa de instrumentos musicales va a diseñar cajas en forma de prisma triangular para guardar sus flautas. Si la base es un triángulo equilátero de 5 cm de lado y la caja mide 35 cm de largo, ¿cuánto material se necesita para fabricar una?

Para calcular el material que se necesita para fabricar una caja, calculamos su área total: AT = AL + 2 ⋅ AB

AL = (3 ⋅ 5) ⋅ 35 = 525 cm2

AB = 5 ⋅h

2

Para hallar el área de la base, necesitamos calcular la altura de la misma.

Calculamos la altura del triángulo equilátero de lado 5 cm:

h2 + 2,52 = 52 → h2 = 25 − 6,25 = 18,75 → h = 18,75 = 4,3 cm

Por tanto: AB = 5 ⋅ 4,3

2 = 10,75 cm2

Finalmente:

AT = AL + 2 ⋅ AB = 525 + 2 ⋅ 10,75 = 546,5 cm2

Se necesitan 546,5 cm2 de material para fabricar una de las cajas.

Desafío21 Simón tiene un cubo formado por 27 cubitos más pequeños, como muestra la figura.

Recolocando los cubitos pequeños, ¿cuántos prismas diferentes podrías construir?

Dos más, uno formado por 1 × 1 × 27 cubitos, y las diferentes formas de colocar los 27 cubitos con dos caras unidas, y otro formado por 3 × 9 × 1 y las diferentes formas de colocar los 3 o los 9 cubitos con dos caras unidas.

6 cm4 cm

365



4. Pirámides. Áreas


De manera análoga al epígrafe anterior, la construcción de una pirámide en cartulina a partir de su desarrollo puede ayudar a la comprensión de la fórmula del área de dicha figura. Es importante recordar a los alumnos la diferencia que existe entre la apotema de la pirámide y la apotema de la base, así como mostrarles que la apotema de la pirámide es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la apotema de la base, el cateto de otro triángulo rectángulo.

Video. ÁREA DE PIRÁMIDE

En el vídeo puede verse cómo hallar el área total de una pirámide recta hexagonal regular, indicando el cálculo del área lateral, el de la base y el área total.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen más tarde el cálculo de áreas de pirámides.

Soluciones de las actividades22 Calcula el área lateral de estas pirámides.

a)

6 cm

9 cm

b)

4 cm

11 cm

c)

10 cm

5 cm

d)

12 c

m

8 cm

a) AL = (5 ⋅6) ⋅9

2 = 135 cm2 c) AL =

(3 ⋅5) ⋅10

2 = 75 cm2

b) AL = (6 ⋅ 4) ⋅11

2 = 132 cm2 d) AL =

(4 ⋅8) ⋅12

2 = 192 cm2

231


230

4. PIRÁMIDES. ÁREAS

Estos cuerpos están apoyados sobre un cuadrilátero y tienen un vértice en el que concurren el resto de caras, que son triángulos.

Una pirámide es un poliedro una de cuyas caras, llamada base, es un polígono, mientras que el resto de caras son triángulos que concurren en un vértice común llamado cúspide o vértice de la pirámide.

Las pirámides se nombran según el número de lados de la base: triangular, cuadrangular, pentagonal…

Según la forma de sus caras laterales, las pirámides se clasifican en:

❚ Pirámides rectas: sus caras laterales son triángulos isósceles.

❚ Pirámides oblicuas: sus caras laterales son triángulos escálenos.

La altura, h, de una pirámide es la distancia de la cúspide a su base.

Además, las pirámides rectas se clasifican en:

❚ Pirámides regulares: sus bases son polígonos regulares.

❚ Pirámides irregulares: sus bases son polígonos irregulares.

La apotema, ap, de una pirámide regular recta es la altura de los triángulos que conforman las caras laterales.

Samuel calcula el área de la base y el área lateral de esta pirámide.

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de los triángulos que forman sus caras laterales.

AL =P ⋅ ap

2

El área total de una pirámide es la suma del área lateral más el área de la base.AT = AL + AB

Aprenderás a… ● Identificar y clasificar pirámides.

● Calcular el área lateral y el área total de una pirámide.

Pirámide pentagonal oblicua

Pirámide pentagonal regular

Pirámide pentagonal irregular


Calcula el área lateral de estas pirámides.

a)

6 cm

9 cm

c)

10 cm

5 cm

b)

4 cm

11 cm

d)

12 c

m

8 cm

Halla el área lateral y el área total de las siguientes pirámides, cuya base es un cuadrilátero.

a)

8 cm

3 cm 2 cm

b)

12 c

m

3 cm7 cm

¿Cuál es él área de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3,2 cm de lado y que tiene una apotema de 8 cm?

Halla el área total de estas pirámides regulares.

a)

6 cm

11 cm4,1 cm

b)

3 cm

11,5 cm

2,6 cm

22

23

24

25

Calcula el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal de 10 cm de lado, y de 15 cm de altura.

Halla el área total de estas figuras.a) Pirámide triangular de lado 3 cm y apotema de

la pirámide 9 cm.b) Pirámide pentagonal de lado 5 cm, apotema de

la base 3,44 cm y altura 10 cm.

Halla el área de las siguientes pirámides.a)

8 cm

15 cm

b)

4 cm

20 cm

26

27

28

ma2e44

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula el área total de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 6 cm de lado y 7 cm de altura.

SoluciónPrimero calculamos la apotema de la base.

aB2 + 32 = 62

aB2 = 36 − 9 = 27

aB = 27 = 5,2 cm

El área de la base es: AB =6 ⋅6 ⋅5,2

2= 93,6 cm2

A continuación, calculamos la apotema de la pirámide.ap

2 = 5,22 + 72

ap2 = 27 + 49 = 76

ap = 76 = 8,7 cm

El área lateral es:

AL = 6 ⋅6 ⋅8,7

2= 156,6 cm2

El área total es: AT = AL + AB = 156,6 + 93,6 = 250,2 cm2

6

3

7

5,2

DESAFÍOLa pirámide del museo del Louvre de París es una de las más famosas del mundo. Se trata de una estructura piramidal de vidrio que tiene una base cuadrada de 35 m de lado y una altura de 20,6 m. ¿Cuánto mide la superficie de esta estructura?

29



23 Halla el área lateral y el área total de las siguientes pirámides, cuya base es un cuadrilátero.

a)

8 cm

3 cm 2 cm

b)

12 c

m

3 cm7 cm

a) AL = (2 ⋅3 + 2 ⋅2) ⋅8

2 = 40 cm2 AB = 3 ⋅ 2 = 6 cm2 AT = 40 + 6 = 46 cm2

b) AL = (2 ⋅7 + 2 ⋅3) ⋅12

2 = 120 cm2 AB = 7 ⋅ 3 = 21 cm2 AT = 120 + 21 = 141 cm2

24 ¿Cuál es él área de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3,2 cm de lado y que tiene una apotema de 8 cm?

AL = (4 ⋅3,2) ⋅8

2= 51,2 cm2 AB = 3,22 = 10,24 cm2 AT = 51,2 + 10,24 = 61,44 cm2

25 Halla el área total de estas pirámides regulares.

a)

6 cm

11 cm4,1 cm

b)

3 cm

11,5 cm

2,6 cm

a) AL = (6 ⋅6) ⋅11

2 = 198 cm2 AB =

(6 ⋅6) ⋅ 4,1

2 = 73,8 cm2 AT = 198 + 73,8 = 271,8 cm2

b) AL = (6 ⋅3) ⋅11,5

2 = 103,5 cm2 AB =

(6 ⋅3) ⋅2,6

2 = 23,4 cm2 AT = 103,5 + 23,4 = 126,9 cm2

26 Calcula el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal de 10 cm de lado, y de 15 cm de altura.

El área lateral de la pirámide se calcula mediante esta fórmula: AL = P ⋅ ap

2

Tenemos que hallar la apotema de la pirámide y, para ello, previamente calculamos la apotema de la base.

ab2 + 52 = 102 → ab = 8,7

ap2 = 152 + 8,72 → ap

2 = 225 + 75 = 300 → ap = 300 = 17,3 cm

Por tanto: AL = (6 ⋅10) ⋅17,3

2= 519 cm2

27 Halla el área total de estas figuras.

a) Pirámide triangular de lado 3 cm y una apotema de la pirámide 9 cm.

b) Pirámide pentagonal de lado 5 cm, apotema de la base 3,44 cm y altura 10 cm.

a) Calculamos el área de la base y el área lateral.

Para hallar el área de la base, calculamos la altura del triángulo de la base:

h2 + 1,52 = 32 → h2 = 9 − 2,25 = 6,75 → h = 6,75 = 2,6 cm

AB = 3 ⋅2,6

2 = 3,9 cm2 AL =

(3 ⋅3) ⋅9

2 = 40,5 cm2 AT = AL + AB = 40,5 + 3,9 = 44,4 cm2

367



b) AB = (5 ⋅5) ⋅3,44

2 = 43 cm2

Para hallar el área lateral, calculamos la apotema de la pirámide:

ap2 = 102 + 3,442 → ap

2 = 100 + 11,83 = 111,83 → ap = 111,83 = 10,57 cm

AL = (5 ⋅5) ⋅10,57

2 = 132,13 cm2

AT = AL + AB = 132,13 + 43 = 175,13 cm2

28 Halla el área de las siguientes pirámides.

a)

8 cm

15 cm

b)

4 cm

20 cm

a) Calculamos la apotema de la base:

ab2 + 42 = 82 → ab

2 = 64 − 16 = 48 → ab = 48 = 6,9 cm

AB = (6 ⋅8) ⋅6,9

2 = 165,6 cm2

Calculamos la apotema de la pirámide:

ap2 = 152 + 6,92 → ap

2 = 225 + 47,61 = 272,61 → ap = 272,61 = 16,5 cm

AL = (6 ⋅8) ⋅16,5

2 = 396 cm2

Por tanto, el área total es:

AT = AL + AB = 396 + 165,6 = 561,6 cm2

b) Calculamos la apotema de la base:

ab2 + 22 = 42 → ab

2 = 16 − 4 = 12 → ab = 12 = 3,5 cm

AB = (6 ⋅ 4) ⋅3,5

2 = 42 cm2


ap2 = 202 + 3,52 → ap

2 = 400 + 12,25 = 412,25 → ap = 412,25 = 20,3 cm

AL = (6 ⋅ 4) ⋅20,3

2 = 243,60 cm2

Por tanto, el área total es:

AT = AL + AB = 243,6 + 42 = 285,6 cm2

Desafío29 La pirámide del museo del Louvre de París es una de las más famosas del mundo. Se trata de una estructura piramidal

de vidrio que tiene una base cuadrada de 35 m de lado y una altura de 20,6 m. ¿Cuánto mide la superficie de esta estructura?

Para calcular cuánto mide la superficie de la estructura, tenemos que hallar el área lateral de la pirámide.


ap2 = 20,62 + 17,52 → ap

2 = 424,36 + 306,25 = 730,61 → ap = 730,61 = 27,03 m

Por tanto, el área lateral es: AL = (4 ⋅35) ⋅27,03

2 = 1 892,1 m2



5. Cuerpos de revolución

Soluciones de las actividades30 Indica cuáles de estos cuerpos son de revolución. Explica por qué.

Son cuerpos de revolución: el cilindro (azul), el cono (rosa) y la esfera (verde claro); porque se generan al hacer girar una figura geométrica plana sobre uno de sus lados.


Para que los alumnos vean cómo se forman los cuerpos de revolución, se pueden recortar figuras planas, pegarlas sobre una varilla y hacerlas girar. De esta forma los alumnos visualizan y reconocen el cuerpo geométrico que se genera.

Para los cuerpos que se estudian en el epígrafe (cilindro, cono y esfera) es conveniente marcar, en la figura plana que los genera, los elementos que luego aparecen en el cuerpo geométrico.

233


232

5. CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Mónica hace girar una moneda en el suelo. Raúl, que está a su lado, observa sorprendido cómo la forma plana de la moneda se pierde con ese movimiento y se genera un cuerpo geométrico.

La moneda, al girar sobre un diámetro, genera un cuerpo geométrico nuevo cuyas caras no son polígonos. En este caso, se ve una esfera.

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.

Mónica experimenta con los cuerpos de revolución. Corta distintas formas de cartulina y las pega en un palillo. Al hacerlas girar sobre el palillo, se forman distintos cuerpos geométricos.

❚ Un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados genera un cilindro.

hg

r

El cilindro es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre uno de sus lados. El segmento que genera el cilindro se denomina generatriz, y la distancia entre sus bases, altura.

❚ Un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto genera un cono.

g h

r

El cono es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. El segmento que genera el cono se llama generatriz, y la distancia entre el vértice y su base, altura.

❚ Una semicircunferencia que gira sobre su diámetro genera una esfera.

d

La esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un semicírculo sobre su diámetro.

Aprenderás a… ● Identificar los cuerpos de revolución.

● Identificar los elementos principales de cilindros, conos y esferas.

Indica cuáles de estos cuerpos son de revolución. Explica por qué.

Señala la figura que se genera al hacer girar estos polígonos en torno al eje. Calcula la medida del radio y la de su generatriz.a) c) e)

4 cm

5 cm3 cm

11 cm2 cm

13 cm12 cm

5 cm

b)

7 cm 1,5

cm

d) f)

3 cm

3 cm

6 cm

10 cm8 cm

Indica el radio y el área del círculo máximo de las esferas que se forman al hacer rotar estos semicírculos.a)

3 cm

b)

3 cm

c)

2 cm

¿Cuáles son las dimensiones de las figuras planas con las que han sido generados los siguientes cuerpos de revolución?a) b) c)

17 cm

8 cm

8 cm•

5 cm

13 cm h

30

31

32

33

DESAFÍOLos alfareros utilizan un torno para hacer girar un plato sobre el que se pone una pieza de arcilla. El alfarero, con sus manos, le va dando forma a la arcilla según va girando. ¿Cuáles de las siguientes piezas de alfarero no se han hecho con un torno?a) b) c) d)

34

Presta atención

En un cilindro, la longitud de la generatriz y la de la altura es la misma.

Al cortar una esfera con un plano que pasa por el centro se obtiene un círculo que se denomina círculo máximo.


369



31 Señala la figura que se genera al hacer girar estos polígonos en torno al eje. Calcula la medida del radio y la de su generatriz.

a)

4 cm

5 cm3 cm

c)

11 cm2 cm

e)

13 cm12 cm

5 cm

b)

7 cm 1,5

cm d) 6 cm

10 cm8 cm

f)

3 cm

3 cm

a) Cono de radio 4 cm, altura 3 cm y generatriz 5 cm d) Cono de radio 8 cm, altura 6 cm y generatriz 10 cm

b) Cilindro de radio 1,5 cm y altura 7 cm e) Cono de radio 5 cm, altura 12 cm y generatriz 13 cm

c) Cilindro de radio 11 cm y altura 2 cm f) Cilindro de radio 3 cm y altura 3 cm32 Indica el radio y el área del círculo máximo de las esferas que se forman al hacer rotar estos semicírculos.

a)

3 cm

b)

3 cm

c)

2 cm

a) Radio 1,5 cm. Área del círculo máximo: 3,14 ⋅ 1,52 = 7,065 cm²

b) Radio 3 cm. Área del círculo máximo: 3,14 ⋅ 32 = 28,26 cm²

c) Radio 1 cm. Área del círculo máximo: 3,14 ⋅ 12 = 3,14 cm2

33 ¿Cuáles son las dimensiones de las figuras planas con las que han sido generados los siguientes cuerpos de revolución?

a)

17 cm

8 cm b)

8 cm•

c)

5 cm

13 cm h

a) Rectángulo de lados 8 cm y 17 cm

b) Semicírculo de radio 8 cm

c) Triángulo rectángulo de catetos 5 cm y h cm, e hipotenusa 13 cm.

Calculamos la altura del triángulo: h2 + 52 = 132 → h2 = 169 − 25 = 144 → h = 144 = 12 cm

Por tanto, la figura plana es un triángulo rectángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.

Desafío34 Los alfareros utilizan un torno para hacer girar un plato sobre el que se pone una pieza de arcilla.

El alfarero, con sus manos, le va dando forma a la arcilla según va girando. ¿Cuáles de las siguientes piezas de alfarero no se han hecho con un torno?

a) b) c) d)

Con un torno de alfarero no se pueden hacer las figuras de los apartados b) y d).



6. Cilindros. Áreas

Soluciones de las actividades35 Estos son los desarrollos de dos cilindros. Calcula el área de sus bases, las áreas laterales y el área total de cada cilindro.

a)

4 cm

5 cm b)

8 cm

3 cmTenemos en cuenta que:

AB = π ⋅ r2

AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h

AT = AL + 2 ⋅ AB

a) AB = 78,5 cm2 AL = 125,6 cm2 AT = 282,6 cm2

b) AB = 28,26 cm2 AL = 150,72 cm2 AT = 207,24 cm2

Sugerencias didácticasEs muy importante que los alumnos manipulen el desarrollo plano de cilindros para comprender bien cómo calcular el área de este cuerpo geométrico.

Especial relevancia tiene la relación entre la longitud de la circunferencia de las bases con uno de los lados del rectán-gulo que forma la cara lateral del cilindro.

Se puede reforzar esta relación comprobando que dicho lado del rectángulo equivale a algo más de 3 veces el diá-metro de la base del cilindro.

GeoGebra. ÁREA LATERAL DE UN CILINDRO

En este recurso se muestra el desarrollo del área lateral de un cilin-dro que aparece al mover el deslizador verde de la parte izquierda de la pantalla. Este deslizador controla un punto de la circunferen-cia de una de las bases del cilindro.

Puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del área del cilindro o para que los alumnos investiguen y reflexionen sobre la relación entre la longitud de la circunferencia de una de las bases del cilindro y las dimensiones del rectángulo que resulta al realizar el desarrollo plano del mismo.

235


234

6. CILINDROS. ÁREAS

El departamento de marketing de una empresa cosmética ha diseñado el envase para su nuevo perfume.

El envase es muy simple: se trata de un cilindro de 12 cm de alto y bases de 4 cm de radio.

El departamento de producción necesita saber cuánto material tienen que encargar para la construcción de cada envase. A fin de calcularlo, dibujan el desarrollo del cilindro y calculan el área de su superficie.

12 cm

4 cm4 cm

❚ Área de una de las bases del cilindro: es el área de un círculo de 4 cm de radio.

AB = r2 = 3,14 ⋅ 42 = 50,24 cm2

❚ Área lateral del cilindro: es el área de un rectángulo. El largo del rectángulo coincide con la longitud de la circunferencia de la base, y el alto, con la altura del cilindro.

AL = (2r) ⋅ h = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ⋅ 12 = 301,44 cm2

❚ Área total del cilindro: es la suma del área lateral más el área de las dos bases.

AT = AL + 2AB = 301,44 + 2 ⋅ 50,24 = 401,92 cm2

Para construir el envase, necesitan 401,92 cm2 de material.

El área lateral de un cilindro recto es el área de un rectángulo cuyo largo es la longitud de la circunferencia de la base y cuyo alto es la altura del cilindro.

AL = 2rh

El área total es la suma del área lateral más las áreas de las dos bases.

AT = AL + 2AB = 2rh + 2r2 = 2r (h + r)

Aprenderás a… ● Calcular el área lateral y el área total de un cilindro.

Estos son los desarrollos de dos cilindros. Calcula el área de sus bases, las áreas laterales y el área total de cada cilindro.a) b)

4 cm

5 cm

8 cm

3 cm

¿Cuál es el área total de los siguientes cilindros?a) b) c)

8 cm

17 cm

16 cm

6 cm

5 cm

2 cm

Halla el área total de los cilindros con los siguientes datos.a) Altura de 4,5 cm y radio de 12 cm.b) Diámetro de 15 cm y altura de 8,5 cm.c) Altura de 8,3 cm y radio de 5,2 cm.

Calcula la altura de un cilindro sabiendo que la superficie de la base mide 314 cm2 y que el área lateral es 1 256 cm2.

La altura de un cilindro mide 8 m y su área lateral es 10 048 cm2. ¿Cuánto mide el radio de la base?

Calcula la cantidad de metal necesaria para fabricar las siguientes latas de conserva.

9 cm

4 cm

10 c

m

5 cm

7,5

cm

7 cm

Paolo tiene que pintar con aislante un depósito cilíndrico de 75 cm de radio y 2,5 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pintar?

35

36

37

38

39

40

41

ma2e45

DESAFÍO¿Cuánto mide la varilla de mayor longitud que se puede introducir en este cilindro sin que sobresalga? Explica tu respuesta.

42

8 cm

30 cm

371



36 ¿Cuál es el área total de los siguientes cilindros?

a)

16 cm

6 cm b)

5 cm

2 cm c)

8 cm

17 cm

a) AB = 113,04 cm2 b) AB = 78,50 cm2 c) AB = 226,865 cm2

AL = 602,88 cm2 AL = 62,80 cm2 AL = 427,04 cm2

AT = 828,96 cm2 AT = 219,80 cm2 AT = 880,77 cm2

37 Halla el área total de los cilindros con los siguientes datos.

a) Altura de 4,5 cm y radio de 12 cm.

b) Diámetro de 15 cm y altura de 8,5 cm.

c) Altura de 8,3 cm y radio de 5,2 cm.

a) AB = 3,14 ⋅ 122 = 452,16 cm2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 12) ⋅ 4,5 = 339,12 cm2 AT = 1 243,44 cm2

b) AB = 3,14 ⋅ 7,52 = 176,625 cm2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 7,5) ⋅ 8,5 = 400,35 cm2 AT = 753,6 cm2

c) AB = 3,14 ⋅ 5,22 = 84,9056 cm2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 5,2) ⋅ 8,3 = 271,0448 cm2 AT = 440,856 cm2

38 Calcula la altura de un cilindro sabiendo que la superficie de la base mide 314 cm2 y que el área lateral es 1 256 cm2.

Para calcular la altura del cilindro, necesitamos el radio y el área lateral, porque: AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ r) ⋅ h

Como conocemos el área de la base, podemos calcular el radio: AB = 3,14 ⋅ r2 → 314 = 3,14 ⋅ r2 → r = 10 cm

Como ahora conocemos el radio y el área lateral, podemos calcular la altura:

AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ r) ⋅ h → 1 256 = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 10) ⋅ h → 1 256 = 62,8 ⋅ h → h = 20 cm

39 La altura de un cilindro mide 8 m y su área lateral es 10 048 cm2. ¿Cuánto mide el radio de la base?

La altura del cilindro, mide: 8 m = 800 cm

Conocida el área lateral y la altura, podemos calcular el radio de la base:

AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h → 10 048 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ 800 → r = 10 048 : (2 ⋅ 3,14 ⋅ 800) = 2 cm40 Calcula la cantidad de metal necesaria para fabricar las siguientes latas de conserva.

9 cm

4 cm

10 c

m

5 cm

7,5

cm

7 cm

41 Paolo tiene que pintar con aislante un depósito cilíndrico de 75 cm de radio y 2,5 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pintar?

Expresamos el radio del cilindro en metros: 75 cm = 0,75 m

AB = 3,14 ⋅ 0,752 = 1,77 m2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,75) ⋅ 2,5 = 11,78 m2 AT = 15,32 m2

Desafío42 ¿Cuánto mide la varilla de mayor longitud que se puede introducir en este cilindro sin que

sobresalga? Explica tu respuesta.

La mayor varilla que se puede introducir es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 30 cm y 8 cm → a2 = 302 + 82 → a = 31,05 cm

Tenemos en cuenta que:

AB = π ⋅ r2

AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h

AT = AL + 2 ⋅ AB

AB = 50,24 cm2 AB = 78,5 cm2 AB = 153,86 cm2

AL = 226,08 cm2 AL = 314 cm2 AL = 329,7 cm2

AT = 326,56 cm2 AT = 471 cm2 AT = 637,42 cm2

8 cm

30 cm



7. Conos. Áreas

Soluciones de las actividades43 Calcula el área de los siguientes conos.

a)

7 cm

2 cm

b)

9 cm

6 cm

c)

6 dm

3 dm

a) AL = π ⋅ r ⋅ g = 43,96 cm2 b) AL = π ⋅ r ⋅ g = 169,56 cm2 c) AL = π ⋅ r ⋅ g = 56,52 dm2

AB = π ⋅ r2 = 12,56 cm2 AB = π ⋅ r2 = 113,04 cm2 AB = π ⋅ r2 = 28,26 dm2

AT = AL + AB = 56,52 cm2 AT = AL + AB = 282,6 cm2 AT = AL + AB = 84,78 dm2

Sugerencias didácticasEs muy importante que los alumnos manipulen el desarrollo plano de conos para comprender bien cómo calcular el área de este cuerpo geométrico.

Especial relevancia tiene la relación entre la longitud de la circunferencia de la base con el arco del sector circular que forma la cara lateral del cono.

Se puede reforzar esta relación comprobando que dicho arco equivale a algo más de 3 veces el diámetro de la base del cono.

Vídeo. ÁREA DE UN CONO

En el vídeo se muestra el cálculo del área total de un cono recto del que se conocen la altura y el diámetro, por lo que en primer lugar se aplica el teorema de Pitágoras, para determinar su gene-ratriz, y después se hallan el área lateral, el de la base y la total.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen el cálculo de áreas de conos más tarde.

237


236

7. CONOS. ÁREAS

Un artesano ha creado unos pisapapeles con forma de cono que tienen una capa de pintura que brilla en la oscuridad. El diámetro del cono mide 16 cm, y su generatriz, 10 cm.

En el almacén, el artesano tiene un bote de pintura con el que puede pintar 50 dm2 de superficie; dispone, además, de 10 conos fabricados, listos para el proceso de pintura.

Con objeto de saber si tendrá suficiente con un bote de pintura, dibuja el desarrollo del cono y calcula el área de la superficie de cada parte.

❚ Área de la base del cono: es el área de un círculo cuyo radio mide 8 cm.

AB = r2 = 3,14 ⋅ 82 = 200,96 cm2

❚ Área lateral del cono: es la de un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono y cuyo arco tiene la longitud de la circunferencia que forma la base.

El área de un sector circular se escribe de forma similar al de un triángulo.

A =

b ⋅h

2=

(2 ⋅ π ⋅ r ) ⋅ g

2= πrg

Por tanto, el área lateral del cono es:

AL = rg = 3,14 ⋅ 8 ⋅ 10 = 251,2 cm2

❚ Área total del cono: es la suma del área lateral más el área de la base.

AT = AL + AB = 251,2 + 200,96 = 452,16 cm2

Cada cono tiene una superficie de 452,16 cm2, que equivalen a 4,5216 dm2. Por tanto, para los 10 conos necesitará 45,22 dm2.

El área lateral de un cono recto es el área de un sector circular de radio g y cuya amplitud es la longitud de la circunferencia de la base.

AL = rg

El área total es la suma del área lateral más el área de la base.

AT = AL + AB = rg + r2 = r (g + r)

Aprenderás a… ● Calcular el área lateral y el área total de un cono.

Calcula el área de los siguientes conos.a) b) c)

7 cm

2 cm

9 cm

6 cm

6 dm

3 dm

Halla el área de la base, el área lateral y el área total de estos conos. a) b) c)

15 cm

17 cm

5 cm

13 cm

37 cm

35 cm

Calcula el área de los conos que tienen las siguientes dimensiones.a) Generatriz de 26 m y altura de 24 m.b) Radio de la base de 11 cm y altura de 61 cm.c) Generatriz de 21 dm y radio de la base de 19 dm.

¿Cuánto mide el radio de un cono cuya área lateral es 339,2 cm2 si su generatriz es tres veces su radio? Explica cómo lo has calculado.

Dos conos de 12 cm de radio se han unido por sus bases. Uno de los conos mide 5 cm de altura, y el otro, 35 cm. Si queremos pintar la superficie de la figura así formada, ¿cuántos centímetros cuadrados tendremos que pintar?

Calcula el área de un cono generado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm.

Una empresa comercializa conos de galleta para helados. Cada cono tiene una base con un diámetro de 3 cm, así como una altura de 10 cm. Para envolver los conos, se utiliza papel de color dorado que cuesta 12 € el metro cuadrado. ¿Cuánto dinero cuesta el papel que se necesita para envolver los 1 200 conos que se fabrican en un día?

43

44

45

46

47

48

49

8 cm

10 cm

10 cm

8 cm

} Calcula el área de un cono de 12 cm de altura y 10 cm de diámetro.

SoluciónPara calcular el área del cono hallamos el área lateral y el área de la base.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e46

DESAFÍODibuja en tu cuaderno el desarrollo de esta figura. ¿Cuál es su área total? Explica tu respuesta.

50

18 cm

24 c

m

373



44 Halla el área de la base, el área lateral y el área total de estos conos.

a)

15 cm

17 cm

b)

5 cm

13 cm

c)

37 cm

35 cm

a) Primero calculamos el radio:

r2 + 152 = 172 → r2 = 289 − 225 = 64 → r = 8 cm

AL = π ⋅ r ⋅ g = 427,04 cm2

AB = π ⋅ r2 = 200,96 cm2

AT = AL + AB = 628 cm2

b) AL = π ⋅ r ⋅ g = 204,1 cm2

AB = π ⋅ r2 = 78,5 cm2

AT = AL + AB = 282,6 cm2

c) Primero calculamos la generatriz:

g2 = 372 + 352 → g = 372 + 352 = 50,93 cm

AL = π ⋅ r ⋅ g = 5 917,05 cm2

AB = π ⋅ r2 = 4 298,66 cm2

AT = AL + AB = 10 215,71 cm2

45 Calcula el área de los conos que tienen las siguientes dimensiones.

a) Generatriz de 26 m y altura de 24 m.

b) Radio de la base de 11 cm y altura de 61 cm.

c) Generatriz de 21 dm y radio de la base de 19 dm.

a) Calculamos el radio:

r2 + 242 = 262 → r2 = 676 − 576 = 100 → r = 10 m

AL = 3,14 ⋅ 10 ⋅ 26 = 816,4 m2

AB = 3,14 ⋅ 102 = 314 m2

AT = AL + AB = 816,4 + 314 = 1 130,4 m2

b) Calculamos la generatriz:

g2 = 612 + 112 → g = 612 + 112 = 61,98 cm

AB = 3,14 ⋅ 112 = 379,94 cm2

AL = 3,14 ⋅ 11 ⋅ 61,98 = 2 140,79 cm2

AT = 2 140,79 + 379,94 = 2 520,73 cm2

c) AB = 3,14 ⋅ 192 = 1 133,54 dm2

AL = 3,14 ⋅ 19 ⋅ 21 = 1 252,86 dm2

AT = 1 252,86 + 1 133,54 = 2 386,40 dm2

46 ¿Cuánto mide el radio de un cono cuya área lateral es 339,2 cm2 si su generatriz es tres veces su radio? Explica cómo lo has calculado.

Si llamamos r al radio y 3r a la generatriz, se tiene que:

AL = 3,14 ⋅ r ⋅ g → AL = 3,14 ⋅ r ⋅ 3r → 339,2 = 3,14 ⋅ 3 ⋅ r2 → r2 = 36 → r = 6 cm



47 Dos conos de 12 cm de radio se han unido por sus bases. Uno de los conos mide 5 cm de altura, y el otro, 35 cm. Si queremos pintar la superficie de la figura así formada, ¿cuántos centímetros cuadrados tendremos que pintar?

Calculamos el área lateral de los dos conos. Para ello, se necesita la generatriz de ambos conos.

g12 = 122 + 52 → g1

2 = 144 + 25 = 169 → g1 = 13 cm

g22 = 122 + 352 → g2

2 = 144 + 1 225 = 1 369 → g2 = 37 cm

AL1 = 3,14 ⋅ 12 ⋅ 13 = 489,84 cm2

AL2 = 3,14 ⋅ 12 ⋅ 37 = 1 394,16 cm2

Tienen que pintar: AL1 + AL2 = 489,84 + 1 394,16 = 1 884 cm2

48 Calcula el área de un cono generado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm.

Calculamos la generatriz del cono: g2 = 82 + 82 → g2 = 64 + 64 = 128 → g = 11,31

AL = 3,14 ⋅ 8 ⋅ 11,31 = 284,11 cm2

AB = 3,14 ⋅ 82 = 200,96 cm2

AT = 284,11 + 200,96 = 485,07 cm2

49 Una empresa comercializa conos de galleta para helados. Cada cono tiene una base con un diámetro de 3 cm, así como una altura de 10 cm. Para envolver los conos, se utiliza papel de color dorado que cuesta 12 € el metro cuadrado. ¿Cuánto dinero cuesta el papel que se necesita para envolver los 1 200 conos que se fabrican en un día?

Primero calculamos la generatriz de estos conos:

g2 = 1,52 + 102 → g2 = 2,25 + 100 = 102,25 → g = 10,1 cm

Calculamos el área lateral de uno de estos conos, expresada en metros cuadrados:

AL = 3,14 ⋅ 1,5 ⋅ 10,1 = 47,571 cm2 = 0,0047571 m2

Multiplicamos el área lateral por el número de conos y por el precio del metro cuadrado de papel:

0,0047571 ⋅ 12 ⋅ 1 200 = 68,50224

El papel cuesta 68,50 €.

Desafío50 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo de esta figura. ¿Cuál es su área total?

Explica tu respuesta.

Comprobar que el dibujo de los alumnos es correcto:

está formado por dos sectores circulares y dos triángulos rectángulos.

AB = 3

4(3,14 ⋅182 ) = 763,02 cm2

AL = 3

4(3,14 ⋅18 ⋅ 30) + 2 ⋅

18 ⋅ 24

2= 1271,7 + 432 = 1703,7 cm2

AT = AB + AL = 763,02 cm2 + 1 703,7 cm2 = 2 466,72 cm2

18 cm

24 c

m

375



8. Esferas. Áreas

Soluciones de las actividades51 Calcula el área de una superficie esférica que tiene estos radios.

a) 3 cm b) 10 dm c) 2,8 dam d) 0,25 km e) 3,2 m f) 0,125 hm

a) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 32 = 113,04 cm2 c) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 2,82 = 98,4704 dam2 e) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 3,22 = 128,6144 m2

b) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 102 = 1256 dm2 d) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,252 = 0,785 km2 f) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,1252 = 0,19625 hm2

52 Halla el área de estas superficies esféricas.

a)

•

18 cm

b)

• 7 dm

c)

•

12 m

a) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 92 = 1 017,36 cm2 b) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 3,52 = 153,86 dm2 c) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 122 = 1 808,64 m2


Para calcular el área de una superficie esférica, llevar unas pelotas de tenis al aula, por ejemplo, y pedir a los alum-nos que recorten en un papel una forma con la que pue-dan cubrir toda la esfera, sin que sobre ni falte papel. De esta manera, los alumnos comprobarán la imposibilidad de construir el desarrollo plano de la esfera.

Puede ser muy útil realizar en clase la experiencia descrita en el epígrafe. Existen medias esferas de corcho o poliespán con las que se puede realizar ese ejemplo fácilmente.

Para estudiar las partes de una esfera, se puede construir una esfera de plastilina y realizar los cortes necesarios para comprobar cómo es el cuerpo del que se va a calcular el área.

239


238

8. ESFERAS. ÁREAS

Teo quiere envolver un balón para regalárselo a Juana, pero, por más que lo intenta, no logra que quede bien. El problema es que la esfera no tiene desarrollo plano y no puede cortar un trozo de papel que la cubra de forma exacta.

Para calcular el área de una esfera, podemos realizar este experimento.

1 Cortamos una esfera en dos partes iguales.

2 Enrollamos una cuerda sobre el círculo de una base.

3 Recubrimos la otra zona con otra cuerda.

Al estirar las cuerdas, observamos que la que cubre la semiesfera mide el doble que la que cubre el círculo de la base.

Por tanto, el área de la superficie esférica es cuatro veces la del círculo máximo.

A = 4 ⋅ πr2( ) = 4πr2

El área de una superficie esférica de radio r es: 4r2

Figuras esféricas

Teo toma otra esfera y realiza los siguientes cortes.

❚ Corte por un solo plano: la esfera queda dividida en dos partes llamadas casquetes esféricos.

El área de un casquete esférico es:

Acasquete esférico = 2rh

❚ Corte por dos planos paralelos: la parte de la superficie esférica situada entre estos dos planos paralelos se llama zona esférica.

El área de una zona esférica es:

Azona esférica = 2rh

❚ Corte por dos planos secantes que pasan por el centro: la parte de la superficie esférica localizada entre estos dos planos paralelos se llama huso esférico.

El área de un huso esférico es:

Ahuso esférico =

4πr2 nº

360°

r

h

rh

rnº

Aprenderás a… ● Calcular el área de la superficie esférica.

● Identificar las intersecciones que se obtienen al cortar la esfera por uno o más planos.

● Calcular el área de figuras esféricas.

Presta atención

El área de un casquete esférico y de una zona esférica coinciden con el área lateral de un cilindro de la misma altura y el mismo diámetro.

•h r

hr•

Presta atención

El área de una esfera es igual al área lateral del cilindro que se ajusta por completo a ella.

• r2r

AL cilindro = 2πr ⋅ 2r = 4πr2

Calcula el área de una superficie esférica que tiene estos radios.a) 3 cm c) 2,8 dam e) 3,2 mb) 10 dm d) 0,25 km f) 0,125 hm

Halla el área de estas superficies esféricas.a) b) c)

•

18 cm

• 7 dm

•

12 m

Una cuadrilla de pintores tiene que pintar un depósito esférico de 12 m de diámetro. ¿Cuánto mide la superficie del depósito en metros cuadrados?

La superficie de una esfera mide 803,84 cm2. ¿Cuánto mide su radio?

Calcula las siguientes áreas.a) Un casquete esférico de 2 cm de altura en una esfera de 6 cm de radio.b) Una zona esférica de 1 cm de altura en una esfera de 8 cm de radio.c) Un huso esférico de 15º en una esfera de 10 cm de radio.

51

52

53

54

55

Calcula el área de las siguientes figuras esféricas. a) Casquete esférico b) Zona esférica c) Huso esférico de 45º

13 cm

12 cm

8 cm

6 cm 8 cm

56

} Calcula el área de media esfera de 16 cm de radio.

SoluciónEl área de una semiesfera equivale al área de media superficie esférica más el área de su círculo máximo.

= +16 cm 16 cm16 cm

A = 4πr2

2 + πr2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 162 + 3,14 ⋅ 162 = 2 411,52 cm2

EJERCICIO RESUELTO

Investiga

La Tierra es una especie de esfera achatada en los polos que no tiene un desarrollo en el plano. Las proyecciones cartográficas son el método con el que se representa la superficie de la Tierra sobre un plano y resultan esenciales para la confección de mapas. Investiga sobre las distintas proyecciones existentes.

57



53 Una cuadrilla de pintores tiene que pintar un depósito esférico de 12 m de diámetro. ¿Cuánto mide la superficie del depósito en metros cuadrados?

A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 62 = 452,16 m2

La superficie del depósito mide 452,16 m2.54 La superficie de una esfera mide 803,84 cm2. ¿Cuánto mide su radio?

803,84 = 4 ⋅ 3,14 ⋅ r2 → r2 = 64 → r = 8 cm55 Calcula las siguientes áreas.

a) Un casquete esférico de 2 cm de altura en una esfera de 6 cm de radio.

b) Una zona esférica de 1 cm de altura en una esfera de 8 cm de radio.

c) Un huso esférico de 15º en una esfera de 10 cm de radio.

a) A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 ⋅ 2 = 75,36 cm2

b) A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8 ⋅ 1 = 50,24 cm2

c) A = 4 ⋅3,14 ⋅102 ⋅15

360 = 52,3 cm2

56 Calcula el área de las siguientes figuras esféricas.

a) Casquete esférico b) Zona esférica c) Huso esférico de 45º

13 cm

12 cm

8 cm

6 cm

8 cm

a) Acasquete esférico = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ h

13 cm

12 cm

13 cmx

h

Calculamos la altura del casquete esférico: h + x = 13 cm

x2 + 122 = 132 → x = 5; h + 5 = 13 → h = 8 cm

Acasquete esférico = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 13 ⋅ 8 = 653,12 cm2

b) Azona esférica = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ h

8 cm

6 cm r

Calculamos el radio de la esfera:

r2 = 82 + 62 → r2 = 64 + 36 = 100 → r = 10 cm

Azona esférica = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 ⋅ 6 = 376,80 cm2

c) Ahuso esférico = 4πr2nº

360º=

4 ⋅3,14 ⋅82 ⋅ 45

360 = 100,48 cm2

Investiga57 La Tierra es una especie de esfera achatada en los polos que no tiene un desarrollo en el plano. Las proyecciones

cartográficas son el método con el que se representa la superficie de la Tierra sobre un plano y resultan esenciales para la confección de mapas. Investiga sobre las distintas proyecciones existentes.

Respuesta abierta.

Existen diversos tipos de proyeccciones, como la cónica, cilíndrica, etcétera.

377



9. Troncos de pirámides y conos. Áreas

Soluciones de las actividades58 ¿Cuál es el área de estos troncos de cono? Calcula.

a) R = 7 cm, r = 4 cm, g = 5 cm b) R = 10 cm, r = 6 cm, g = 10 cm c) R = 4 cm, r = 3 cm, g = 9 cm

a) Abases = 204,1 cm2 b) Abases

= 427,04 cm2 c) Abases = 78,5 cm2

AL = 172,7 cm2 AL = 502,4 cm2 AL = 197,82 cm2

AT = 376,8 cm2 AT = 929,44 cm2 AT = 276,32 cm2

59 Halla el área lateral de los siguientes troncos de cono.

a) 2 cm

5 cm4 cm

b) 10 cm5 cm

22 cm

c)

24 cm

5 cm

12 cm


Los troncos de pirámide y los troncos de cono suelen crear bastantes dificultades a los alumnos. A la hora de construir-los, su desarrollo suele ser bastante más complejo que el de otros cuerpos geométricos. Se pueden crear pirámides o conos de plastilina, pues se pueden cortar fácilmente y los alumnos observan cómo se forman dos cuerpos: uno simi-lar al original pero más pequeño, y otro nuevo, el tronco de pirámide o tronco de cono.

Con esta construcción, los alumnos intuyen cómo deben proceder para calcular el área de un tronco de pirámide o el área de un tronco de cono: restar del área lateral de la pirá-mide o del cono originales, el área lateral de la pirámide o del cono pequeños, y añadir el área de la base de estas últi-mas figuras. También sería interesante construir los troncos de pirámides y conos en cartulina para comprender cómo son sus desarrollos planos.

241


240

9. TRONCOS DE PIRÁMIDES Y CONOS. ÁREAS

Roberto está construyendo pirámides y conos de arcilla.

Corta cada pirámide y cada cono por un plano paralelo a sus bases y obtiene dos cuerpos en cada caso: una pirámide y un cono más pequeños, por un lado, y, por otro, dos nuevos cuerpos llamados tronco de pirámide y tronco de cono, respectivamente.

Al cortar una pirámide o un cono por un plano paralelo a sus bases, el cuerpo comprendido entre los dos planos se llama tronco de pirámide o tronco de cono, respectivamente.

Para hallar el área del tronco de cono y la del tronco de pirámide, dibujamos sus desarrollos y calculamos el área de cada figura.

❚ Área del tronco de cono

2 cm

5 cm

8 cm

g

r R

◗ Área de las bases: es el área de dos círculos.

ABASES = πR2 + πr2 = 78,5 + 12,56 = 91,06 cm2

◗ Área lateral: es el área de un trapecio circular.

AL =(2 ⋅ π ⋅ R + 2 ⋅ π ⋅ r ) ⋅ g

2= π (R + r )g = 3,14 ⋅ (5 + 2) ⋅ 8 = 175,84 cm2

◗ Área total: es el área de las bases más el área lateral.

AT = ABASES + AL = 91,06 + 175,84 = 266,9 cm2

❚ Área del tronco de pirámide

5 cm

8 cm

7 cm

h

B

b

◗ Área de las bases (en este tronco): es el área de dos cuadrados.

ABASES = L2 + l2 = 64 + 25 = 89 cm2

◗ Área lateral: es la suma del área de los trapecios de las caras laterales.

AL = 4 ⋅(B + b ) ⋅h

2= 4 ⋅

(8 + 5) ⋅7

2= 4 ⋅91 = 182 cm2

◗ Área total: es el área de las bases más el área lateral.

AT = ABASES + AL = 89 + 182 = 271 cm2

Aprenderás a… ● Identificar los troncos de conos y pirámides como una sección de un cono o pirámide mayor.

● Calcular el área lateral y el área total de un tronco de cono y un tronco de pirámide.

Presta atención

El área de un trapecio circular se calcula de la misma forma que el área de un trapecio rectilíneo con las mismas bases y altura.

B

b

h

A =(B + b ) ⋅h

2

Presta atención

Para calcular el área lateral de un tronco de cono, del que se conocen los radios y la altura, se calcula la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras.

gh

r

R

Presta atención

Para calcular el área lateral de un tronco de pirámide, del que se conocen las bases y la altura, se calcula la apotema del tronco aplicando el teorema de Pitágoras.

h ap

Presta atención

El área lateral de un tronco de cono o de pirámide se puede calcular restando del área del cono o de la pirámide mayor el área del cono o de la pirámide menor.

¿Cuál es el área de estos troncos de cono? Calcula.a) R = 7 cm, r = 4 cm, g = 5 cmb) R = 10 cm, r = 6 cm, g = 10 cm c) R = 4 cm, r = 3 cm, g = 9 cm

Halla el área lateral de los siguientes troncos de cono. a) b) c)

2 cm

5 cm4 cm

10 cm5 cm

22 cm

24 cm

5 cm

12 cm

Calcula el área de la figura que se genera al hacer girar los siguientes trapecios rectángulos sobre el eje que se indica en cada caso.a) b)

3 cm

8 cm

5 cm

2 cm

8 cm

4 cm

Calcula el área de los siguientes troncos de pirámide. a) b)

15 cm

9 cm

7 cm

3 cm

7 cm

8 cm

¿Cuánto mide la superficie de estos troncos de pirámide?a) b)

6 cm

4 cm

12 cm

5 cm

12 cm

15 cm

58

59

60

61

62

DESAFÍOCalcula el área total de un tronco de pirámide de base rectangular como el de la figura.

63 5 cm4 cm

12 cm

14 cm23 cm



a) g2 = 42 + (5 − 2)2 → g = 5 cm AL = 3,14 ⋅ (2 + 5) ⋅ 5 = 109,9 cm2

b) g2 = 52 + (22 − 10)2 → g = 13 cm AL = 3,14 ⋅ (22 + 10) ⋅ 13 = 1 306,24 cm2

c) g2 = 242 + (12 − 5)2 → g = 25 cm AL = 3,14 ⋅ (12 + 5) ⋅ 25 = 1 334,5 cm2

60 Calcula el área de la figura que se genera al hacer girar los siguientes trapecios rectángulos sobre el eje que se indica en cada caso.

a) 3 cm

8 cm

5 cm

b) 2 cm

8 cm

4 cm

a) Calculamos la generatriz: g2 = 52 + (8 − 3)2 → g2 = 50 → g = 7,07 cm

Abases = 229,22 cm2 AL = 244,20 cm2 AT = 473,42 cm2

b) Calculamos la generatriz: g2 = 42 + (8 − 2)2 → g2 = 52 → g = 7,21 cm

Abases = 213,52 cm2 AL = 226,40 cm2 AT = 439,92 cm2

61 Calcula el área de los siguientes troncos de pirámide.

a)

15 cm

9 cm

7 cm

b) 3 cm

7 cm

8 cm

a) Abases = 306 cm2 AL = 336 cm2 AT = 642 cm2

b) Abases = 58 cm2 AL = 160 cm2 AT = 218 cm2

62 ¿Cuánto mide la superficie de estos troncos de pirámide?

a) 6 cm

4 cm

12 cm

b) 5 cm

12 cm

15 cm

a) Calculamos la altura del trapecio: h2 = 42 + (6 − 3)2 → h = 5 cm

Abases = 180 cm2 AL = 180 cm2 AT = 360 cm2

b) Calculamos la altura del trapecio: h2 = 122 + (7,5 − 2,5)2 → h = 13 cm

Abases = 250 cm2 AL = 520 cm2 AT = 770 cm2

Desafío63 Calcula el área total de un tronco de pirámide de base rectangular como el de la figura.

Calculamos las alturas de los trapecios que forman las caras.

h12 = 122 + (11,5 − 2,5)2 → h1

2 = 144 + 81 = 225 → h1 = 15 cm

h22 = 122 + (7 − 2)2 → h2

2 = 144 + 25 = 169 → h2 = 13 cm

Abases = 5 · 4 + 23 ⋅ 13 = 342 cm2

AL = 2 ⋅(5 + 23) ⋅13

2+ 2 ⋅

(4 + 14) ⋅15

2 = 634 cm2

AT = Abases + AL = 342 + 634 = 976 cm2

5 cm4 cm

12 cm

14 cm23 cm

379




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Calcular el área lateral y total de prismas y de pirámides.

❚❚ Calcular el área lateral y total de cilindros y de conos.

Actividades finalesSoluciones de las actividades64 Imagina que varios folios y varillas se encuentran sobre las caras de un dado de 6 caras. Indica sus posiciones relativas

teniendo en cuenta que, en un dado, la suma de los puntos de las caras opuestas siempre suman 7.

a) Dos varillas que están sobre sendas caras que suman 7.

b) Un folio y una varilla sobre dos caras que no suman 7.

c) Dos folios sobre dos caras que suman 7.

a) Paralelas b) Secantes en un punto c) Paralelos65 Señala cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros. Explica tu respuesta.

a)

•

b) c) •

d)

Son poliedros las figuras de los apartados b) y d), ya que son cuerpos geométricos limitados por polígonos.

¿Qué tienes que saber?

242 243

¿QUÉ11 tienes que saber? Actividades Finales 11

Halla el área total de un prisma de 9 cm de altura, con una base rectangular cuyos lados miden 12 cm y 5 cm, respectivamente.

AL = 2 ⋅ (12 + 5) ⋅ 9 = 306 cm2

AB = 12 ⋅ 5 = 60 cm2

AT = AL + 2AB = 306 + 2 ⋅ 60 = 426 cm2

Área de un prismaTen en cuenta

Prisma: poliedro con dos bases paralelas que son polígonos iguales y cuyas caras laterales son paralelogramos.

❚ Área lateral

AL = P ⋅ h

❚ Área total

AT = AL + 2AB

Determina el área total de un cilindro de 5 cm de radio y 18 cm de altura.

AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 18 = 565,2 cm2

AB = π ⋅ 5² = 78,5 cm2

AT = AL + 2AB = 565,2 + 2 ⋅ 78,5 = 722,2 cm2

Área de un cilindroTen en cuenta

Cilindro recto: cuerpo geométrico que se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre un eje que contiene a uno de sus lados.

❚ Área lateral

AL = 2πrh

❚ Área total

AT = AL + 2AB = AL + 2πr2

Calcula el área total de un cono recto de 6 cm de radio y 12 cm de generatriz.

AL = π ⋅ 6 ⋅ 12 = 226,08 cm2

AB = π ⋅ 62 = 113,04 cm2

AT = AL + AB = 226,08 + 113,04 = 339,12 cm2

Área de un conoTen en cuenta

Cono recto: cuerpo geométrico que se genera al hacer girar un triángulo rectángulo sobre un eje que contiene a uno de sus catetos.

❚ Área lateral

AL = πrg

❚ Área total

AT = AL + AB = AL + πr2

Calcula el área total de una pirámide hexagonal regular sabiendo que el lado de la base mide 12 cm, la apotema de la base, 10,4 cm, y la apotema de la pirámide, 20 cm.

AL =(6 ⋅12) ⋅20

2= 720 cm2

AB =(6 ⋅12) ⋅10,4

2= 374,4 cm2

AT = AL + AB = 720 + 374,4 = 1 094,4 cm2

Área de una pirámideTen en cuenta

Pirámide: poliedro cuyas caras laterales son triángulos que comparten un único vértice llamado cúspide o vértice de la pirámide, y cuya base es un polígono.

❚ Área lateral

AL =Pbase ⋅ ap

2

❚ Área total

AT = AL + AB

Cuerpos en el espacio

Imagina que varios folios y varillas se encuentran sobre las caras de un dado de 6 caras. Indica sus posiciones relativas teniendo en cuenta que, en un dado, la suma de los puntos de las caras opuestas siempre suman 7.a) Dos varillas que están sobre sendas caras que

suman 7.b) Un folio y una varilla sobre dos caras que no

suman 7.c) Dos folios sobre dos caras que suman 7.

Señala cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros. Explica tu respuesta.a) c)

•

•

b) d)

Clasifica estos poliedros según sean regulares o no. Indica el nombre de los que sí lo son.a) c)

b) d)

Dibuja un poliedro en tu cuaderno y señala los siguientes elementos.a) Carab) Aristac) Vérticed) Diagonale) Ángulo diedrof) Ángulo poliedro

64

65

66

67

Prismas y pirámides. Áreas

Clasifica estos poliedros según sean prismas o pirámides. Indica su nombre en cada caso.a) c)

b) d)

¿Son ciertas o falsas estas afirmaciones?a) En un prisma recto, todas las caras laterales son

cuadrados.b) Una pirámide tiene dos caras iguales.c) Una pirámide pentagonal recta tiene cinco

triángulos isósceles por caras laterales.d) Un prisma hexagonal regular tiene 8 caras.

Estos son los desarrollos planos de dos cuerpos geométricos. Dibújalos e indica sus nombres.a) b)

¿Cómo se llaman los elementos señalados en esta pirámide?

a

b

c

d

e

68

69

70

71



66 Clasifica estos poliedros según sean regulares o no. Indica el nombre de los que sí lo son.

a) b) c) d)

Poliedros regulares: apartados a) (octaedro) y c) (dodecaedro) Poliedros no regulares: apartados b) y d)67 Dibuja un poliedro en tu cuaderno y señala los siguientes elementos.

a) Cara b) Arista c) Vértice d) Diagonal e) Ángulo diedro f) Ángulo poliedro

Comprobar que los alumnos dibujan un poliedro y sus elementos correctamente.68 Clasifica estos poliedros según sean prismas o pirámides. Indica su nombre en cada caso.

a) b) c) d)

a) Pirámide oblicua de base rectangular c) Prisma irregular recto de base un cuadrilátero

b) Pirámide regular recta de base hexagonal d) Prisma regular recto de base pentagonal69 ¿Son ciertas o falsas estas afirmaciones?

a) En un prisma recto, todas las caras laterales son cuadrados.

b) Una pirámide tiene dos caras iguales.

c) Una pirámide pentagonal recta tiene cinco triángulos isósceles por caras laterales.

d) Un prisma hexagonal regular tiene 8 caras.

a) Falso. Las caras laterales pueden ser rectángulos. c) Falso. Solo si es regular.

b) Verdadero d) Verdadero70 Estos son los desarrollos planos de dos cuerpos geométricos. Dibújalos e indica sus nombres.

a) b) a) Prisma recto de base rectangular

b) Pirámide regular recta de base hexagonal

71 ¿Cómo se llaman los elementos señalados en esta pirámide?

a

b

c

d

e

a) Vértice

b) Altura

c) Apotema de la base

d) Base

e) Apotema de la pirámide

381



72 Identifica el poliedro del siguiente desarrollo. Calcula su área total.

20 cm

8 cm

Es un prisma recto de base hexagonal.

Calculamos la apotema y el área de la base:

ab2 + 42 = 82 → ab

2 = 64 − 16 = 48 → ab = 48 = 6,9 cm

AB = (6 ⋅8) ⋅6,9

2 = 165,6 cm2

Calculamos el área lateral y el total:

AL = (20 ⋅ 8) ⋅ 6 = 960 cm2

AT = 960 + 2 ⋅ 165,6 = 1 291,2 cm2

73 Observa el siguiente desarrollo plano.

a) ¿De qué figura se trata?

b) Utiliza instrumentos de medida para calcular su área total.

a) Pirámide regular recta hexagonal

b) Apotema de la pirámide 2,5 cm y lado de la base 1,3 cm.

AL = 9,75 cm2

aB = 1,13 cm

AB = 4,41 cm2

AT = 14,16 cm2

245

Actividades Finales 11

244


Identifica el poliedro del siguiente desarrollo. Calcula su área total.

20 cm

8 cm

Observa el siguiente desarrollo plano.

a) ¿De qué figura se trata?b) Utiliza instrumentos de medida para calcular su

área total.

Halla el área total de estos cuerpos.a) c)

5 cm

20 cm12 cm

18 cm

12 cm12 cm

b) d)

3 cm

5,2

cm

6 cm

14 c

m

4,13 cm

6 cm

Calcula el área total de una pirámide recta con base hexagonal de lado 7 cm y apotema de la pirámide 20 cm.

Halla el área total de una pirámide hexagonal de 5 cm de lado y 15 cm de altura.

72

73

74

75

76

Troncos de cono y de pirámide

Halla el área lateral de estos troncos de cono y de pirámide.a)

7 cm8 cm

12 cm

b) 5 cm

7 cm

12 cm

¿Cuál es el área total de este cuerpo? Calcula.

8 cm

7 cm

13 cm

Problemas de áreas de cuerpos geométricos

Unos albañiles están construyendo una piscina de 20 m de largo por 13 m de ancho con una profundidad de 1,90 m. Si quieren cubrir las paredes y el suelo con azulejos especiales para piscina, ¿cuántos metros cuadrados de azulejo deben comprar como mínimo?

Lisa ha comprado un chocolate que viene guardado en una caja con forma de prisma, cuyas bases son triángulos equiláteros de base 5 cm y altura 4,3 cm. La altura de la caja es de 20 cm. ¿Cuánto papel, como mínimo, necesita para envolver la caja de chocolate?

En la terraza de una cafetería tienen 6 sombrillas con forma de pirámide de 50 cm de altura y una base cuadrada de 2,40 m de lado. Si tienen que renovar la tela de todas las sombrillas, ¿cuántos metros cuadrados de tela tendrán que reponer?

82

83

84

85

86

Cuerpos de revolución. Áreas

Empareja cada figura con el cuerpo de revolución que genera.a)

b)

c) d)

I)

II)

III) IV)

Calcula el área total de los siguientes cuerpos de revolución.a) c)

8 cm

3,5 cm

2,8 cm

b) d)

9,4 cm

3 cm

4,8 cm

Calcula el área total de los siguientes conos.a) Altura de 1,4 cm y generatriz de 2 cm.b) Radio de 7 cm y altura de 24 cm.c) Altura de 8 cm y radio de 15 cm.d) Generatriz de 5,3 cm y radio de 2,8 cm.

Halla el radio de estos cuerpos de revolución.a) Un cilindro de 207,24 cm2 de área lateral

y 11 cm de altura.b) Un cono de 113,04 cm2 de área lateral

y 9 cm de generatriz.c) Un esfera de 452,16 cm2 de área.

Calcula el área de estas figuras esféricas. a) b)

7 cm2 cm

25º5 cm

77

78

79

80

81

Hugo tiene un papel que mide 37,38 cm de largo y 25,12 cm de ancho. a) ¿Cuántos cilindros diferentes puede construir

utilizando todo ese papel?b) Calcula la longitud del radio de la base de cada

uno de esos posibles cilindros.

Se quiere pintar un depósito cilíndrico de 3,2 m de diámetro y 3 m de altura. Un litro de pintura da para una superficie de 4,5 m2. ¿Cuántos litros se necesitan para pintar el depósito completo?

El tejado de una torre cilíndrica que tiene forma de cono está en muy mal estado y necesita una reparación urgente. La empresa encargada del arreglo elabora un presupuesto para una superficie de 75 m2. Si la altura del cono es 2,8 m y el radio mide 4,5 m, ¿está bien elaborado el presupuesto?

Esta esfera está cortada en ocho partes iguales. Si el radio de la esfera mide 1 dm, ¿cuál es el área de cada pieza?

Si cortas una esfera de 8 cm de radio por un plano que dista 1 cm del centro, ¿cuál es el área de los dos casquetes esféricos resultantes?

Una empresa fabrica dos tipos de envase para las palomitas. ¿Cuál de estos dos envases tiene menor superficie?

Pablo pinta una esfera cuyo diámetro mide 28 cm. Calcula:a) El área de la superficie que pinta Pablo.b) El área de un huso esférico de 45° de amplitud.

87

88

89

90

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92

93



74 Halla el área total de estos cuerpos.

a)

5 cm

20 cm12 cm

b)

3 cm

5,2

cm

6 cm

c)

18 cm

12 cm12 cm

d)

14 c

m

4,13 cm

6 cm

a) AT = AL + 2 ⋅ AB = 600 + 2 ⋅ 30 = 660 cm2

b) AT = AL + 2 ⋅ AB = 108 + 2 ⋅ 93,6 = 295,2 cm2

c) AT = AL + AB = 432 + 144 = 576 cm2

d) AT = AL + AB = 210 + 61,95 = 271,95 cm2

75 Calcula el área total de una pirámide recta con base hexagonal de lado 7 cm y apotema de la pirámide 20 cm.

aB = 6,06 cm AB = 127,26 cm2 AL = 420 cm2 AT = 547,26 cm2

76 Halla el área total de una pirámide hexagonal de 5 cm de lado y 15 cm de altura.

aB = 4,3 cm AB = 64,5 cm2 ap = 15,6 cm AL = 234 cm2 AT = 298,5 cm2

77 Empareja cada figura con el cuerpo de revolución que genera.

a)

b)

c) d)

I)

II)

III) IV)

a → II

b → III

c → IV

d → I

78 Calcula el área total de los siguientes cuerpos de revolución.

a)

8 cm

3,5 cm b)

9,4 cm

3 cm

c)

2,8 cm

d)

4,8 cm

a) AB = 38,465 cm2

AL = 175,84 cm2

AT = AL + 2 ⋅ AB = 252,77 cm2

b) AB = 7,07 cm2

AL = 44,274 cm2

AT = AL + AB = 51,344 cm2

c) AT = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 2,82 = 98,4704 cm2

d) AT = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 2,42 = 72,3456 cm2

383



79 Calcula el área total de los siguientes conos.

a) Altura de 1,4 cm y generatriz de 2 cm. c) Altura de 8 cm y radio de 15 cm.

b) Radio de 7 cm y altura de 24 cm. d) Generatriz de 5,3 cm y radio de 2,8 cm.

a) r2 + 1,42 = 22 → r2 = 4 − 1,96 = 2,04 → r = 1,42

AB = 3,14 ⋅ 1,422 = 6,33 cm2

AL = 3,14 ⋅ 2 ⋅ 1,42 = 8,9176 cm2

AT = AL + AB = 15,2476 cm2

b) g2 = 242 + 72 = 625 → g = 25 cm

AB = 3,14 ⋅ 72 = 153,86 cm2

AL = 3,14 ⋅ 7 ⋅ 25 = 549,5 cm2

AT = AL + AB = 703,36 cm2

c) g2 = 82 + 152 = 289 → g = 17 cm

AB = 3,14 ⋅ 152 = 706,5 cm2

AL = 3,14 ⋅ 15 ⋅ 17 = 800,7 cm2

AT = AL + AB = 1 507,2 cm2

d) AB = 3,14 ⋅ 2,82 = 24,6176 cm2

AL = 3,14 ⋅ 2,8 ⋅ 5,3 = 46,5976 cm2

AT = AL + AB = 71,2152 cm2

80 Halla el radio de estos cuerpos de revolución.

a) Un cilindro de 207,24 cm2 de área lateral y 11 cm de altura.

b) Un cono de 113,04 cm2 de área lateral y 9 cm de generatriz.

c) Una esfera de 452,16 cm2 de área.

a) (2 ⋅ 3,14 ⋅ r) ⋅ 11 = 207,24 → 69,08r = 207,24 → r = 3 cm

b) 3,14 ⋅ r ⋅ 9 = 113,04 → 28,26r = 113,04 → r = 4 cm

c) 4 ⋅ 3,14 ⋅ r2 = 452,16 → 12,56r2 = 452,16 → r2 = 36 → r = 6 cm81 Calcula el área de estas figuras esféricas.

a)

7 cm2 cm

b)

25º5 cm

a) A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 7 ⋅ 2 = 87,92 cm2

b) A = 4 ⋅3,14 ⋅52 ⋅25

360 = 21,81 cm2

82 Halla el área lateral de estos troncos de cono y de pirámide.

a) 7 cm

8 cm

12 cm

b) 5 cm

7 cm

12 cm

a) AL = 3,14 ⋅ (8 + 12) ⋅ 7 = 439,6 cm2

b) AL = 5 ⋅ (7 + 5) ⋅12

2 = 360 cm2



83 ¿Cuál es el área total de este cuerpo? Calcula.

8 cm

7 cm

13 cm

g2 = 82 + 62 → g2 = 64 + 36 = 100 → g = 10 cm

Abases = 3,14 ⋅ (72 + 132) = 684,52

AL = 3,14 ⋅ (7 + 13) ⋅ 10 = 628 cm2

AT = AL + Abases = 628 + 684,52 = 1 312,52 cm2

84 Unos albañiles están construyendo una piscina de 20 m de largo por 13 m de ancho con una profundidad de 1,90 m. Si quieren cubrir las paredes y el suelo con azulejos especiales para piscina, ¿cuántos metros cuadrados de azulejo deben comprar como mínimo?

Calculamos el área lateral y le sumamos el área de una base.

AT = 2 ⋅ (20 + 13) ⋅ 1,9 + 20 ⋅ 13 = 385,4 m2

Deben comprar 385,4 m2 de azulejo como mínimo.85 Lisa ha comprado un chocolate que viene guardado en una caja con forma de prisma, cuyas bases son triángulos

equiláteros de base 5 cm y altura 4,3 cm. La altura de la caja es de 20 cm. ¿Cuánto papel, como mínimo, necesita para envolver la caja de chocolate?

Calculamos el área total de un prisma de base triangular.

AT = AL + 2 ⋅ AB = (3 ⋅ 5) ⋅ 20 + 2 ⋅ 5 ⋅ 4,3

2 = 300 + 21,5 = 321,5 cm2

Necesita 321,5 cm2 de papel como mínimo.86 En la terraza de una cafetería tienen 6 sombrillas con forma de pirámide de 50 cm de altura y una base cuadrada de 2,40 m

de lado. Si tienen que renovar la tela de todas las sombrillas, ¿cuántos metros cuadrados de tela tendrán que reponer?

Calculamos el área lateral de una pirámide de base cuadrada.

ap2 = 0,52 + 1,22 → ap

2 = 0,25 + 1,44 = 1,69 → ap = 1,3 m

Luego el área lateral es: AL = 4 ⋅2,4 ⋅1,3

2 = 6,24 m2

Se necesitan 6,24 m² de tela para cada sombrilla.

Como son 6 sombrillas, se necesitan: 6 ⋅ 6,24 = 37,44 m²87 Hugo tiene un papel que mide 37,38 cm de largo y 25,12 cm de ancho.

a) ¿Cuántos cilindros diferentes puede construir utilizando todo ese papel?

b) Calcula la longitud del radio de la base de cada uno de esos posibles cilindros.

a) Dos cilindros, uno con altura 37,38 cm y otro con altura 25,12 cm.

b) El de altura 37,38 cm tiene como perímetro de la base 25,12, por tanto:

2 ⋅ 3,14 ⋅ r = 25,12 → r = 25,12

2 ⋅3,14 = 4 cm

El de altura 25,12 cm tiene como perímetro de la base 37,38 cm, luego se tiene que:

2 ⋅ 3,14 ⋅ r = 37,38 → r = 37,38

2 ⋅3,14 = 5,95 cm

385



88 Se quiere pintar un depósito cilíndrico de 3,2 m de diámetro y 3 m de altura. Un litro de pintura da para una superficie de 4,5 m2. ¿Cuántos litros se necesitan para pintar el depósito completo?

Calculamos el área total del cilindro.

AT = AL + 2 ⋅ AB = (3,14 ⋅ 3,2) ⋅ 3 + 2 ⋅ 3,14 ⋅1,62( ) = 30,14 + 16,08 = 46,22 cm2

46,22 : 4,5 = 10,27 L

Se necesitan 10,27 L para pintar el depósito completo.89 El tejado de una torre cilíndrica que tiene forma de cono está en muy mal estado y necesita una reparación urgente.

La empresa encargada del arreglo elabora un presupuesto para una superficie de 75 m2. Si la altura del cono es 2,8 m y el radio mide 4,5 m, ¿está bien elaborado el presupuesto?

Calculamos el área lateral del cono que forma el tejado. Para ello, necesitamos su generatriz.

g2 = 2,82 + 4,52 → g2 = 7,84 + 20,25 = 28,09 → g = 5,3 m

Luego el área lateral es: AL = 3,14 ⋅ 4,5 ⋅ 5,3 = 74,89 m2

El presupuesto está bien elaborado porque han redondeando el resultado.90 Esta esfera está cortada en ocho partes iguales. Si el radio de la esfera mide 1 dm, ¿cuál es el área de cada pieza?

La superficie de la pieza es equivalente a la superficie de una octava parte de la esfera (parte exterior), más tres sectores circulares con ángulo de 90º y radio 1 dm (dos sectores laterales y el otro como base de la figura).

El área de estos tres sectores equivale a tres cuartos del cículo de radio 1 dm.

Afigura = 1

84πr2 +

3

4πr2 =

5

4πr2 =

5 ⋅3,14 ⋅12

4= 3,925 dm2

91 Si cortas una esfera de 8 cm de radio por un plano que dista 1 cm del centro, ¿cuál es el área de los dos casquetes esféricos resultantes?

A1 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 ⋅ 8 = 452,16 cm2

A2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 7 ⋅ 8 = 351,68 cm2

92 Una empresa fabrica dos tipos de envase para las palomitas. ¿Cuál de estos dos envases tiene menor superficie?

Generatriz tronco de cono: g2 = 152 + 22 → g2 = 229 → g = 15,13 cm

ATC = Abase pequeña + Alateral = 3,14 ⋅ 42 + 3,14 ⋅ (6 + 4) ⋅ 15,13 = 525,32 cm2

Apotema tronco de pirámide: a2 = 152 + 22 → a2 = 229 → a = 15,13 cm

ATP = Abase pequeña + Alateral = 72 + 4 ⋅(11+ 7) ⋅15,13

2 = 593,68 cm2

Tiene menos superficie el envase con forma de tronco de cono.93 Pablo pinta una esfera cuyo diámetro mide 28 cm. Calcula:

a) El área de la superficie que pinta Pablo.

b) El área del un huso esférico de 45º de amplitud.

a) Aesfera = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 142 = 2 461,76 cm2

b) Ahuso =4 ⋅3,14 ⋅142 ⋅ 45

360 = 307,72 cm2



Matemáticas vivas. Mantenimiento de edificios


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el mantenimiento de edificios, en la que intervienen áreas de cuerpos geométricos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Argumenta o Piensa y razona.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Preparar la tarea, Adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de David y Roger Johnson.

Los alumnos construyen una maqueta de una zona de oficinas con cartulina. Además, elegirán una gran ciudad e investigarán sobre la forma geométrica de los edificios de su zona financiera. Compararán finalmente los resultados de la investigación con los de la maqueta que han realizado.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos se organizan en grupos. Un alumno de cada grupo explica el trabajo y el resto de compañeros puntualiza los detalles. Deciden cómo desarrollar el trabajo asegurándose de que todos entienden lo que hay que hacer. Si la tarea consta de varios pasos, varios alumnos van explicando las distintas fases.

Soluciones de las actividades

Cada cierto tiempo, las fachadas de los edificios necesitan una mano de pintura. Existen empresas especializadas en este tipo de trabajos de alto riesgo, ya que se tienen que realizar a gran altura.

11 MATEMÁTICAS VIVAS 11Mantenimiento de edificios

246 247

Cada cierto tiempo, las fachadas de los edificios necesitan una mano de pintura. Existen empresas especializadas en este tipo de trabajos de alto riesgo, ya que se tienen que realizar a gran altura.

RELACIONA

La empresa tiene tres métodos para realizar los trabajos de pintura en la fachada del edificio.

❚ Brocha para superficies pequeñas.

❚ Rodillo para superficies medias.

❚ Pistola con compresor para superficies grandes.

Una de las fachadas grandes no dispone de ventanas ni terrazas, las dos pequeñas tienen un 30 % de superficie ocupada por ventanas y la otra grande tiene ventanas y terrazas en un 60 % de su superficie.

La siguiente tabla muestra los tiempos estimados que se necesitan para pintar superficies con los diferentes métodos:

Brocha Rodillo Pistola

1 h/m2 30 min/m2 10 min/m2

La empresa va a utilizar pistola para la pared sin ventanas, rodillo para las dos que tienen ventanas y brocha para la ocupada con terrazas y ventanas. ¿Cuánto tiempo va a necesitar para pintar el edificio?

PIENSA Y RAZONA

4

COMPRENDE

Un edificio tiene una planta rectangular de 40 m de largo por 35 m de ancho y una altura de 12 m.

a. ¿Qué forma tiene el edificio?

b. ¿Cuál es el área de la base?

c. Calcula el área lateral de la figura.

d. ¿Cuánto mide su superficie total?¿Cuánto mide su superficie total?

RESUELVE

Una empresa tiene que realizar un presupuesto para pintar la fachada del edificio. La empresa presupuesta a 32 € el metro cuadrado. ¿A cuánto dinero asciende el presupuesto?

ARGUMENTA

La misma empresa de la actividad anterior recibe el encargo de dar una capa de una pintura especial para filtraciones. Cada bote de pintura cuesta 55 € y con él se pueden pintar 12 m2. ¿Cuántos botes de pintura se necesitan para terminar toda la azotea?

1

2

3

Si paseas por las zonas empresariales de las grandes ciudades, la mayoría de sus edificios no tienen fachadas hechas de ladrillo o cemento. En su lugar, están formadas por grandes paneles de vidrio que necesitan una limpieza periódica.

Además, estos edificios tienen forma de cuerpos geométricos diferentes de los que aparecen en las zonas residenciales.

RESUELVE

Calcula cuánto mide la superficie que hay que limpiar en los siguientes edificios.

5

REFLEXIONA

TAREA ❚ Construid con cartulina una maqueta de una zona de oficinas de una gran ciudad.

❚ Elegid una gran ciudad e investigad la forma geométrica de los edificios de sus zonas de oficinas.

❚ Comparad los resultados de vuestra investigación con los de vuestra maqueta. ¿Qué diferencias encontráis? ¿Qué semejanzas?

TRABAJO

COOPERATIVO

387



Comprende1 Un edificio tiene una planta rectangular de 40 m de largo por 35 m de ancho y una altura de 12 m.

a) ¿Qué forma tiene el edificio?

b) ¿Cuál es el área de la base?

c) Calcula el área lateral de la figura.

d) ¿Cuánto mide su superficie total?

a) Prisma recto de base rectangular.

b) AB = 40 ⋅ 35 = 1 400 m2

c) AL = 2 ⋅ (40 + 35) ⋅ 12 = 1 800 m2

d) AT = 2 800 + 1 800 = 4 600 m2

2 Una empresa tiene que realizar un presupuesto para pintar la fachada del edificio. La empresa presupuesta a 32 € el metro cuadrado. ¿A cuánto dinero asciende el presupuesto?

El área de la fachada coincide con el área lateral → AL = 1 800 ⋅ 32 = 57 600 €

El presupuesto asciende a 57 600 €.3 La misma empresa de la actividad anterior recibe el encargo de dar una capa de una pintura especial para filtraciones.

Cada bote de pintura cuesta 55 € y con él se pueden pintar 12 m2. ¿Cuántos botes de pintura se necesitan para terminar toda la azotea?

El área de la azotea coincide con el área de la base → AB = 1 400 : 12 = 116,6

botes

Por tanto, se necesitan 117 botes, que suponen: 117 ⋅ 55 = 6 435 €

Relaciona4 La empresa tiene tres métodos para realizar los trabajos de pintura en la fachada del edificio:

❚❚ Brocha para superficies pequeñas

❚❚ Rodillo para superficies medias

❚❚ Pistola con compresor para superficies grandes.

Una de las fachadas grandes no dispone de ventanas ni terrazas, las dos pequeñas tienen un 30 % de superficie ocupada por ventanas y la otra grande tiene ventanas y terrazas en un 60 % de su superficie.

La siguiente tabla muestra los tiempos estimados que se necesitan para pintar superficies con los diferentes métodos:

Brocha Rodillo Pistola

1 h/m2 30 min/m2 10 min/m2

La empresa va a utilizar pistola para la pared sin ventanas, rodillo para las dos que tienen ventanas y brocha para la ocupada con terrazas y ventanas. ¿Cuánto tiempo va a necesitar para pintar el edificio?

Fachada grande 1 con pistola:

40 ⋅ 12 = 480 m2 → 480 ⋅ 10 = 4 800 min = 80 h

Fachadas pequeñas con rodillo:

0,7 ⋅ 35 ⋅ 12 = 294 m2 → 294 ⋅ 30 = 8 820 min = 147 h

Fachada grande 2 con brocha:

0,4 ⋅ 40 ⋅ 12 = 192 m2 → 192 h

En total, tardan en pintar el edificio:

80 + 147 + 192 = 419 h



Reflexiona5 Si paseas por las zonas empresariales de las grandes ciudades, la mayoría de sus edificios no tienen fachadas hechas de

ladrillo o cemento. En su lugar, están formadas por grandes paneles de vidrio que necesitan una limpieza periódica.

Además, estos edificios tienen forma de cuerpos geométricos diferentes de los que aparecen en las zonas residenciales.

Calcula cuánto mide la superficie que hay que limpiar en los siguientes edificios.

Edificio cilíndrico

AL = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 30 ⋅ 50 = 9 420 m2

Edificio con forma de prisma de base hexagonal

AL = 6 ⋅ 15 ⋅ 45 = 4 050 m2

Edificio con forma de tronco de cono

Primero calculamos la generatriz del tronco de cono.

g2 = 252 + 52 = 650→ g = 25,50 m

AL = 3,14 ⋅ (20 + 15) ⋅ 25,50 = 2 802,45 m2

Edificio piramidal

Primero calculamos la apotema de la pirámide.

ap2 = 402 + 12,52 = 1 756,25 → ap = 41,91 m

AL = 4 ⋅25 ⋅ 41,91

2 = 2 095,50 m2

Trabajo cooperativo

TAREA❚❚ Construid con cartulina una maqueta de una zona de oficinas de una gran ciudad.

❚❚ Elegid una gran ciudad e investigad la forma geométrica de los edificios de sus zonas de oficinas.

❚❚ Comparad los resultados de vuestra investigación con los de vuestra maqueta. ¿Qué diferencias encontráis? ¿Qué semejanzas?

Respuesta abierta.

389



248


A la hora de hallar el área un cuerpo geométrico compuesto, calculamos la suma de las áreas laterales de los cuerpos geométricos que lo componen. Ahora bien, debemos tener cuidado con las bases.

Por ejemplo, para calcular el área del siguiente cuerpo compuesto, procedemos de la siguiente forma:

❚ Calculamos el área lateral del cono de 5 cm de radio y 13 cm de generatriz.

AL cono = 3,14 ⋅ 5 ⋅ 13 = 204,1 cm2

❚ Calculamos el área lateral del prisma.

AL prisma = 4 ⋅ 10 ⋅ 3 = 120 cm2

❚ Calculamos el área de una base del prisma.

AB prisma = 10 ⋅ 10 = 100 cm2

❚ Al área de la otra base del prisma hay que restarle el área de la base del cono.

AB prisma − AB cono = 100 − 3,14 ⋅ 52 = 100 − 78,5 = 21,5 cm2

❚ Por último, sumamos todas las áreas calculadas.

Afi gura = 204,1 + 120 + 100 + 21,5 = 445,6 cm2

AVANZA

A1. Halla el área de estos cuerpos geométricos.

a) 7 cm

13 cm

5 cm

6 cm

5 cm

b)

7 cm

8 cm

8 cm8 cm

A2. ¿Cuál es el área de los siguientes cuerpos geométricos?

a) 3 cm

2 cm

9 cm

b) 3 cm

15 cm

Área de cuerpos geométricos compuestos

GEOMETRÍA EN EL ARTE M. C. Escher y sus poliedros

Son muchos los artistas que han incluido figuras poliédricas en sus obras. Pero seguramente sea el holandés Maurits Cornelis Escher uno de los que más fascinación ha demostrado por estos cuerpos geométricos.

En la foto podemos ver un dodecaedro en cuyas caras Escher ha dibujado la misma figura, que encaja con las otras caras del dodecaedro.

G1. Investiga sobre la obra de M. C. Escher y su relación con las matemáticas.

G2. Construye un poliedro regular y decóralo con un estilo similar al de Escher.

13 cm

3 cm

10 cm 10 cm


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el cálculo del área de cuerpos geométricos compuestos.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Halla el área de estos cuerpos geométricos.

a) 7 cm

13 cm

5 cm

6 cm

5 cm

b)

7 cm

8 cm

8 cm8 cm

a) A = AL pirámide + AT prisma + AB pirámide = 391 cm2

b) A = AL cubo + AB cubo + AL pirámide = 432 cm2

A2. ¿Cuál es el área de los siguientes cuerpos geométricos?

a) 3 cm

2 cm

9 cm

b) 3 cm

15 cm

a) A = AL cilindro + Asemiesfera + Asemicírculo = 137,375 cm2

b) A = AL cono + Asemiesfera = 197,82 cm2

Geometría en el arte. M. C. Escher y sus poliedrosSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja la aparición de los cuerpos geométricos en el arte, en particular cómo trabaja los cuerpos geométricos el artista M. C. Escher, cuya obra está muy relacionada con las matemáticas.


G1. Investiga sobre la obra de M. C. Escher y su relación con las matemáticas.

Respuesta abierta.

G2. Construye un poliedro regular y decóralo con un estilo similar al de Escher.

Respuesta abierta.

Avanza. Área de cuerpos geométricos compuestos



1. Dibuja un poliedro regular con 6 caras. Indica cómo se llama y señala en él una cara, una arista y un vértice.

Se llama hexaedro o cubo.

Comprobar que los alumnos dibujan correctamente el cubo, y señalan una de sus caras, aristas y vértices.

2. Calcula el área total de un prisma de base rectangular de 6 cm de largo y 4 cm de ancho, y 12 cm de altura.

Abase = 6 ⋅ 4 = 24 cm2

Alateral = (2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4) ⋅ 12 = 240 cm2

Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 240 + 2 ⋅ 24 = 288 cm2

El área total del prisma es 288 cm2.

3. Halla el área total de un cilindro cuyo diámetro y altura miden 10 cm.

Abase = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

Alateral = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 5) ⋅ 10 = 314 cm2

Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 314 + 2 ⋅ 78,5 = 471 cm2

El área total del cilindro es 471 cm2.

4. La generatriz de un cono mide 18 cm y el radio de su base, 6 cm. ¿Cuánto mide su área total?

Abase = 3,14 ⋅ 62 = 113,04 cm2

Alateral = 3,14 ⋅ 6 ⋅ 18 = 339,12 cm2

Atotal = Alateral + Abase = 339,12 + 113,04 = 452,16 cm2

El área total del cono mide 452,16 cm2.

5. Si una esfera tiene una superficie de 200,96 cm2, ¿cuál es su diámetro?

Como la esfera tiene una superficie de 200,96 cm2, se tiene que:

4 ⋅ 3,14 ⋅ r2 = 200,96 → r2 =200,96

4 ⋅3,14= 16 → r = 16 = 4 cm

Como el radio de la esfera mide 4 cm, el diámetro mide el doble, es decir, 8 cm.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

391



1. Calcula el área total de un prisma de base heptagonal de lado 3 cm y apotema de la base 3,11 cm, y una altura de 5 cm.

Abase = (7 ⋅3) ⋅3,11

2 = 32,66 cm2

Alateral = (7 ⋅ 3) ⋅ 5 = 105 cm2

Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 105 + 2 ⋅ 32,66 = 170,32 cm2

El área total es 170,32 cm2.

2. El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura es 376,8 cm2. ¿Cuál es el área de la base?

Como el área lateral es 376,8 cm2 se tiene que:

2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ 12 = 376,8 → r =376,8

2 ⋅3,14 ⋅12→ r = 5 cm

Luego el área de la base es:

Abase = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

El área de la base es 78,5 cm2.

3. Calcula el área lateral de una pirámide de base cuadrada de lado 10 cm y altura 12 cm.

Para calcular el área lateral necesitamos conocer la apotema de la pirámide. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el trián-gulo rectángulo formado por la mitad del lado, la altura y la apotema de la pirámide.

ap2 = 52 + 122 → ap

2 = 25 + 144 → ap2 = 169 → ap = 169 = 13 cm

A = 4 ⋅10 ⋅13

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 260 cm2

El área lateral es 260 cm2.

4. Calcula el área total de un cono de diámetro 2 cm y altura 2,4 cm.

Aplicamos Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por el radio, la altura y la generatriz del cono.

g2 = 2,42 + 12 → g2 = 5,76 + 1 → g2 = 6,76 → g = 6,76 = 2,6 cm

Luego tenemos que:

Abase = 3,14 ⋅ 12 = 3,14 cm2

Alateral = 3,14 ⋅ 1 ⋅ 2,6 = 8,164 cm2

Atotal = Alateral + Abase = 8,164 + 3,14 = 11,304 cm2


5. Halla el área total de un tronco de cono cuya generatriz mide 3,5 cm y cuyos radios de las bases miden 4 cm y 6 cm, respectivamente.

Abases = 3,14 ⋅ 42 + 3,14 ⋅ 62 = 163,28 cm2

Alateral = 3,14 ⋅ (4 + 6) ⋅ 3,5 = 109,9 cm2

Atotal = Alateral + Abases = 109,9 + 163,28 = 273,18 cm2


PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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