Potenciacin y radicacin con racionales Antesdetrabajarcon losnmerosracionales,vamosaestudiarla potenciacinylaradicacin en el conjunto de los nmeros enteros. POTENCIACIN en Z La potenciacin es una forma abreviada de escribir una multiplicacinde factores iguales. 9 3 3 32= = 8 2 2 2 23= =

16 2 2 2 2 24= = 625 5 5 5 5 54= = La potenciacin es una operacin entre dos nmeros a y n,llamados base y exponente, respectivamente. Todo nmero, distinto de 0, elevado al exponente 0, es igual a 1. 10= a .0 = a Si la base de una potencia es un nmero entero, este puede ser positivo o negativo. 1. Si es positivo, es un nmero natural, y el resultado es siempre un nmero positivo. 49 72= 27 33=64 26= 2. Si es negativo, debemos analizar las posibles soluciones ( ) ( ) ( ) 4 2 2 22+ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 2 2 2 24+ = = 2 factores 4 factores ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 2 2 23 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2 2 2 2 25 = = 3 factores 5 factores Se analizan los siguientes casos: a) ( )( ) ( ) ( )25 255 5 5 55 52 2 = + = = b) ( )( ) ( ) ( ) ( )64 644 4 4 4 4 44 43 3 = = =

c) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )81 813 3 3 3 3 3 3 33 34 4 = + = = d) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 322 2 2 2 2 2 2 2 2 22 25 5 = = = a a a a a an.... = n veces exponente base naComo la cantidad de factores depende del exponente, entonces: * Si el exponente es un nmero par, el resultado de la potencia es un nmero positivo. * Si el exponente es un nmero impar, el resultado de la potencia es un nmero negativo. Propiedad distributiva- La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin: *( )n n nb a b a = Ejemplo:( ) 36 9 4 3 2 3 22 2 2= = = *( )n n nb a b a : : =Ejemplo:( ) 64 : 27 4 : 3 4 : 33 3 3= = Propiedades que no cumple la potenciacinNo es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin: *( )n n nb a b a + = + Ejemplo:( )2 2 22 1 2 1 + = +*( )n n nb a b a = Ejemplo:( )3 3 33 5 3 5 = Actividad 1: Resuelve las siguientes potencias: a)( ) = 62b)( ) = 71 c)( ) = +33 d)=24e)( ) = 0130 POTENCIACIN en Q Elevarunafraccinaunexponenteesigualaelevarelnumeradoryeldenominadorporese exponente. La potenciacin de fracciones cumple con las mismas propiedades que con los nmeros enteros. a) 162545454545222= = = |.|

\| b) 161212121212121444= = |.|

\| |.|

\| |.|

\| |.|

\| = |.|

\|c) 2433232323232323232555 = = |.|

\| |.|

\| |.|

\| |.|

\| |.|

\| = |.|

\| Elevar un nmero decimal es multiplicar el nmero tantas veces como indica la potencia. a)( ) 008 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 03= =

b)( ) ( ) ( ) 69 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , 12= = c)( ) ( ) ( ) ( ) 261 , 9 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 23= = EXPONENTE NEGATIVO Elevarunafraccinaunexponentenegativoesigualalinversomultiplicativodelabasey, como exponente, el opuesto del que haba. a) 3131311= |.|

\|=b)( )4121222= |.|

\| = c)( )27131333 = |.|

\| = e) 7878871 1= |.|

\|= |.|

\|

f) 4923322 2= |.|

\| = |.|

\|g) 6412545543 3 = |.|

\| = |.|

\|

h)( ) 16 22144= = |.|

\| n nnnna a aa1 1 1= = |.|

\|= nnnbaba= |.|

\| nnnbaba= |.|

\| Para tener en cuenta: En caso de que un decimal tenga potencia negativa, primero se lo transforma en fraccin. ( )6410004104104104101044 , 03 33= =|.|

\|=|.|

\|= RADICACIN en Z La radicacin es una operacin entre dos nmeros a y n llamados base e ndice respectivamente. ndice

na base y se define como b an=a bn= radical 5 25 =porque25 52= 4 643=porque64 43= 3 814=porque81 34= 2 325=porque32 25= Cuando el ndice de la raz es 2, no se escribe, a significa raz cuadrada de a. Las races de ndice par tienen dos soluciones posibles. 6 36 =porque36 62=

y 6 36 =porque( ) 36 62= 2 164=porque16 24= y 2 164 =porque( ) 16 24= Para las races de ndice par, slo se considera el resultado positivo. Si la base de una raz es un nmero entero, este puede ser positivo o negativo. 1.Silabaseesunnmeropositivo,esunnmeronatural,yelresultadoserelnmeroque verifique la definicin de la operacin. 8 64 = 5 1253=

2 164= 2.Si es negativo, debemos analizar la posibilidad o imposibilidad de hallar el resultado. 2 83 = porque( ) 8 23 = 3 273 = porque( ) 27 33 = 4 y 416 sonracesdebasenegativaendiceparynotienensolucin,yaqueningn nmero entero elevado a un exponente par da por resultado un nmero negativo. Propiedad distributiva- La raz es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin: * n n nb a b a = Ejemplo:6 3 2 9 4 9 4 = = = * nnnbaba=Ejemplo:3232278278333 === Propiedades que no cumple la radicacin No es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin: * n n nb a b a + = + Ejemplo:9 16 9 16 + = + * n n nb a b a = Ejemplo: 36 100 36 100 = Actividad 2: Resuelve las siguientes races: a)= 81b)=410000 c)= 327d)=3125 e)= 364 f)= 25 RADICACIN en Q La raz de una fraccin es igual a la raz del numerador y a la del denominador de la misma. a) 8564256425= =b) 23827827333 = = c) 3281168116444= = Clculo de races de nmeros decimales: Se divide la cantidad de decimales del radicando con el ndice. El resultado llevar la cantidad de decimales que indique el cociente de la divisin. Ejemplos: a)5 , 0 25 , 0 =

pues25 , 0 5 , 0 5 , 0 =

2 dec : 2 = 1 decimal en la respuesta b)2 , 0 008 , 03 = pues( ) ( ) ( ) 008 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 = 3 dec : 3 = 1 decimal en la respuesta c)1 , 1 21 , 1 = 2 dec : 2 = 1 decimal en la respuesta d)02 , 0 000008 , 03= 6 dec : 3 = 2 decimales en la respuesta Actividad 3: 1) Resuelve las siguientes potencias y races: a)= |.|

\|2132b)= 3871 c)= 4121 d)= |.|

\|229:43 e)( ) = 55 , 1 1 f)= + 12516 g)= |.|

\|354: 2 h)= +416492i)= 14 , 0 5 , 0 j)( ) = + 36 , 0 8 , 1 k)( ) = 33 009 , 0 2) Resuelve los siguientes clculos combinados: a)( ) ( ) = + + 2 45 3 3 4 25 4 : 2 b)( ) ( ) | | = + + + 43 2 32 2 : 8 2 5 2 : 2c)( ) ( ) ( ) = + 7 1 5 8 2 32d)( ) = + +3312 9 8 : 6 23e)( ) ( ) = + + 36 1 2 113f)( ) = + 2 25 4 36 12 4g)( ) = + 81 2 8 : 4 1253 3h)( ) = + + 4 2 2 29 7 2 : 12 10 6i)( ) ( ) = + 2 2 3 12 7 2 : 82j)( ) ( ) = + 5 2 : 8 3 5 27 332 nnnbaba=3) Resuelve los siguientes clculos combinados expresando como fraccin: a)= + |.|

\| 2512433511 b)= |.|

\|+ +|.|

\|31031214 :1033212 c)=|.|

\| +|.|

\|+ 1 2522 :533412131 d)=|.|

\|+|.|

\| + 4 :835241321 233 e)= |.|

\| + |.|

\| 251235112113762f)=|.|

\| +|.|

\|+ 2 1721672145:5121 g)= |.|

\| +2524729h)( ) ( ) = |.|

\|+312116 :21323 , 0 i)= |.|

\|22 5 2 , 0 5 , 151 j)( ) ( ) = + 3 2 1 28 3 , 0 : 2 , 0k)( ) = 6711 3 8 , 0 : 25 , 0100169