Ingeniería Geomática 2012/13

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1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LA PROSPECCIÓN

GRAVIMÉTRICA

1.1. -Concepto y definición de la Gravedad

Es conocido que todo cuerpo sobre la superficie terrestre ó en el espacio adyacente y

que posea un determinado peso, es atraído por la fuerza de la gravedad. Supongamos un

cuerpo con una masa mo, localizado en un punto arbitrario Po, sobre la superficie de la

Tierra. La fuerza efectiva que se ejerce sobre dicho cuerpo es F(M, mo) siendo la

resultante del efecto de atracción de la Tierra M, más un componente C(mo) que actúa

en una dirección diferente.

G (M, mo ) = F ( M, mo ) + C ( mo )

El componente C (mo) es la llamada fuerza centrífuga generada por el movimiento de

rotación de la Tierra. El radio de rotación en un punto Po es la distancia perpendicular

desde ese punto Po al eje de rotación de la Tierra. Es evidente que la dirección de la

gravedad será diferente según el lugar donde se encuentre el cuerpo.

oo mCmMF ,

G (M, mo ) tiene su sentido hacia el centro de la Tierra. Como es sabido un punto

material Po no es atraído solamente por la masa de la Tierra, sino que también lo es por

los cuerpos celestes como el sol y la luna. Por lo tanto, la gravedad variará ligeramente

en función del tiempo bajo la acción del sol y la luna así como del movimiento terrestre.

La región en que actúan fuerzas de la gravedad se llama Campo Gravitatorio. La

magnitud de esas fuerzas dependen de la masa de la partícula Po, y la gravedad para la

masa unidad en el campo gravitacional se define como la intensidad del campo a Po-

f(Po). Del mismo modo, la intensidad del campo centrífugo de la Tierra el punto Po es

C(Po), siendo

o

o

o Pfm

mMF

,

o

o

o PCm

mC

la intensidad del campo gravitatorio en Po es la resultante de los dos.

ooo PCPfPg (1.1)

2

Si una partícula de masa m, cae libremente y sobre ella no actúa otra fuerza más que la

gravedad, la aceleración que se produce se conoce como aceleración de la gravedad, se

establece la relación,

gmG (1.2)

donde g es la aceleración, m la masa de la partícula y G la fuerza gravitatoria, por

ejemplo el peso. Si m es igual a la unidad, G’ = g tanto escalar como vectorialmente, la

magnitud vectorial para la masa unidad se conoce como la Intensidad de la Gravedad.

gm

G (1.3)

Las unidades en que se mide la gravedad son 2s

mKg en el sistema internacional SI,

Newtons en el sistema MKS y Dinas en el sistema CGS. La nomenclatura ``Gal`` (de

Galileo) se a tomado como unidad de la aceleración de la gravedad siendo.

También dada en el SI, y 10-6

2s

m es la unidad general de gravedad internacional,

teniendo.

2

82

2

5

2

24

6

2

10..101

10..101

10..101

..101

s

mugGal

s

mugmGal

s

mugGal

ugs

m

Hay que tener en cuenta que la gravedad observada es la resultante de la atracción de los

cuerpos en el espacio y de la intensidad de la fuerza centrífuga, lo cual nos da la

intensidad del campo gravitacional. Varía en función del lugar y el momento. La

variación de la gravedad es ocasionada por:

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3

1) La Tierra no es homogénea, estacionaria ni esférica. En realidad tiene una

forma asimétrica de esfera achatada, ligeramente convexa en el polo Norte y

cóncavo en el polo Austral. Su topografía es complicada, con valles, colinas y

montañas.

2) La Tierra gira sobre si misma y entorno al sol. Además, dispone de un satélite,

la luna, que gira entorno a ella.

3) Tiene una distribución similar de masa y densidad interna, ocasionada por las

complicadas actividades geológicas que se han dado y se dan en ella.

La gravedad en un punto varía a causa de la revolución solar y lunar, también existe una

variación menor en función del tiempo debida a las actividades estructurales geológicas.

Por lo tanto, nosotros no sólo podemos estudiar las distintas estructuras geológicas por

las diferencias de gravedad en los distintos lugares, sino también las actividades y

movimientos geológicos por las variaciones en función del tiempo. En gravimetría

estudiamos variaciones en lugares y épocas distintas.

Se debe poner especial atención en el trabajo para mejorar la precisión y aumentar el

nivel de confianza en la interpretación de los datos.

1.2. - La gravedad de la Tierra y su expresión matemática

1.2.1. -Fuerza de atracción de la Tierra

Tenemos como origen de coordenadas Cartesianas el centro de la Tierra, Z es el eje de

rotación, y X e Y se colocan sobre el plano del ecuador. La fuerza de gravedad F para

una partícula arbitraria de masa unidad P(x, y, z) que se encuentra fuera de la Tierra,

(sin tener en cuenta el momento efectivo de rotación terrestre) es una caso de la ley

general de atracción gravitatoria de Newton.

P

dmGF

M

2

(1.4)

4

donde G es la constante de gravitación, cuyo valor numérico aproximado es de

6.672*10-8

2

3

sg

cm

;

dm es el diferencial de masa de un elemento de la Tierra,

,,;,,,, ddddm es la densidad del medio, P es la distancia de dm a

P.

P

es el vector unidad a lo largo de la dirección desde dm a P e integrando en la

fórmula anterior, integramos sobre todo el globo.

1.2.2. - Fuerza centrífuga inercial de la Tierra

La Tierra es un cuerpo celeste que gira libremente. La fuerza centrífuga por unidad de

masa, viene dada por la velocidad angular de rotación de la Tierra al cuadrado ()

multiplicada por el radio de rotación, 2

1

22 )( yxr (distancia perpendicular desde el

punto P al eje de rotación de la Tierra), y tiene una dirección hacia fuera desde el eje.

rC 2 (1.5)

1.2.3. Expresión matemática de la gravedad

Las expresiones anteriores de la fuerza de atracción y de la centrífuga son meramente la

expresión matemática de la rotación, en realidad, el vector integral debería expresarse

en las componentes de x, y, z. Así pues los cosenos de los ángulos en función de F y

cada uno de los tres semiejes son:

zZF

yYF

xXF

,cos

,cos

,cos

(1.6)

los cosenos en función de la fuerza centrífuga son:

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5

0,cos

,cos

,cos

ZC

r

yYC

r

xXC

(1.7)

las componentes de la fuerza de atracción y la fuerza centrífuga para los tres ejes serán:

dmz

GZFFzF

dmy

GYFFyF

dmx

GXFFxF

M

M

M

3

3

3

,cos

,cos

,cos

(1.8)

0,cos

,cos

,cos

2

2

ZCCzC

yYCCyC

xXCCxC

(1.9)

Las componentes de la gravedad g en x, y, z se ven en las fórmulas siguientes, así como

el valor total de g. La dirección de la gravedad es normal al plano tangente que pasa por

el punto.

21

222

2

3

2

3

2

3

zgygxgg

zdmz

Gzg

ydmy

Gyg

xdmx

Gxg

M

M

M

(1.10)

El valor de g es distinto según el lugar debido a la forma de esferoide achatado y a la

rotación. La gravedad varía con la latitud siendo mínima en el ecuador (sobre 9.780

m/s2) y máxima en los polos (sobre 9.832 m/s

2), la diferencia entre el máximo y el

mínimo es de 52000 g.u. (unidades generales) o lo que es lo mismo 5200 mGal. La

fuerza centrífuga en un punto arbitrario actúa como:

cos22 eRrC (1.12)

donde Re es el radio promedio terrestre y el la latitud.

6

De esta última fórmula deducimos que cuando =+-90º; C=0º; y cuando =0º; Cmax=

3.39*104 g.u.

La fuerza centrífuga es una 1/289 parte de la gravedad, cantidad que hay que tener en

cuenta para las medidas de alta precisión en la determinación de la gravedad. La fuerza

de atracción de la masa de la Tierra predomina. Teniendo en cuenta la fuerza centrífuga,

la atracción en el ecuador resulta (=0º)

Feq = 9.780 + 0.8379 = 9.8139 m/s2

y en ambos polos Fp = 9.832 m/s2. La fuerza de atracción aumenta hacia ambos polos,

hay que tener en cuenta la forma de esferoide achatado de la Tierra y no como si fuera

una esfera.

1.3- La gravedad Normal y su expresión

Los valores de gravedad son distintos según el lugar donde nos encontramos. El

principal propósito de la gravimetría es investigar las características de las estructuras

geológicas subterráneas, recursos minerales, ruinas enterradas, así como restos

arquitectónicos hechos por el hombre, a partir de los datos de la gravedad tomados

sobre el terreno. Para conocer las causas de la variación de la gravedad debemos

conocer primero:

1) La Tierra es un esferoide achatado con una determinada topografía.

2) Gira sobre un eje.

3) Tiene una distribución heterogénea de materiales con distintas densidades en

la litosfera y en las proximidades de la corteza terrestre, formados por las

sucesivas actividades geológicas complejas que se han producido durante la

evolución de la Tierra. La heterogeneidad de la estructura geológica está

estrechamente relacionada con la distribución de los recursos minerales.

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7

4) Las ruinas y elemento arquitectónicos hechos por el hombre pueden ocasionar

una pequeña heterogeneidad en la distribución local de densidades, la

variación que en gravimetría provoca esta heterogeneidad debería aislarse para

que no afectara en el estudio geológico y la exploración mineral. Lógicamente,

se debe conocer de antemano la distribución de la gravedad en un terreno

cuando se trata de una distribución de densidades homogéneas en el subsuelo.

Si suponemos que el globo es una esfera achatada homogénea, con su superficie lisa o

superficie elipsoidal confocal, donde la densidad de cada capa es homogénea, entonces

el potencial y la gravedad pueden calcularse, con el parámetro de atracción, el radio

principal, el achatamiento y la velocidad angular de rotación de la Tierra. El potencial y

la gravedad así calculada, son conocidos como el valor y el potencial normal de la

gravedad. El campo de gravedad con tal condición es el llamado campo normal

gravitatorio. La expresión matemática de ello es conocida como la ecuación de la

gravedad normal.

La ecuación de la gravedad normal se deriva teóricamente de los cuatro parámetros

enumerados arriba, y ellos pueden obtenerse mediante observación de varias formas.

Una aproximación secundaria fundamental es:

2

1

21 sinsingg ep (1.13)

donde ge es la gravedad en el ecuador, es la latitud geográfica del punto, y 1 son

constantes, con relación a la forma de la Tierra y gravedades ambos referidos al ecuador

y a los polos, por ejemplo,

4

1

8

1, 2

1

e

ep

g

gg (1.14)

donde ge es la gravedad en el ecuador, gp es la gravedad en los polos y = (a-c)/a es el

achatamiento de la Tierra (a, c son los radios en el ecuador y los polos respectivamente).

8

La gravedad normal con respecto a la latitud se puede obtener por el cálculo cuando gp,

ge y son conocidos. No obstante, el problema de determinar el valor real de estos tres

parámetros se deja a los eruditos ya que precisa de fórmulas muy complicadas. Entre

ellas, las fórmulas usadas generalmente son las ecuaciones de gravitación normal cuyos

coeficientes mínimos son:

1) Fórmula de Helmert publicada en 1901.1909. g es la gravedad normal a la

latitud desde el nivel del mar.

2000007.0005302.019780300 22 sinsing (1.15)

Los parámetros usados son a = 6378200 m, c = 6356818 m, = 1/298.2, ge =

9780300 g.u. comenzando en Postdam (g = 981.274 Gal).

2) Fórmula internacional de la gravedad normal de Cassinis publicada en 1930.

Se acordó ser adoptada como la fórmula internacional de la gravedad normal por

la asociación de Geodesia, Estocolmo, 1930 con los parámetros a = 6378388 m,

c = 6356909 m, = 1/297.0,

20000059.00052884.019780490 22 sinsing (1.16)

3) Fórmula internacional de la gravedad normal publicada en 1971.

20000059.00053024.019780318 22 sinsing (1.17)

Los parámetros aceptados son, a = 6378160 m, c = 6356755 m, = 1/298.25, ge =

9780318 g.u.

4) Fórmula de la gravedad normal definida por IUGG en 1979.

2000005.00053024.019780327 22 sinsing (1.18)

1.4. - Anomalía de la gravedad y su expresión

El valor de la gravedad calculado a partir de las fórmulas de la gravedad normal da la

gravedad normal sobre una superficie equipotencial (la totalidad de la superficie

elipsoidal de la Tierra) al nivel del mar. Si se requiere la variación en la gravedad ideal

ocasionada únicamente por una heterogeneidad en la superficie, es necesario

transformar la gravedad observada (la gravedad absoluta) en el valor correspondiente al

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nivel del mar, y eliminar los efectos ocasionados por los materiales que se encuentran

entre el nivel del mar y el punto de observación, comparándolos tras la corrección de

marea sólida.

En primer lugar se debería reducir la gravedad absoluta al nivel del mar. Esta reducción

o corrección se constituye en dos partes. Una primera parte es la corrección de la

disminución de la gravedad debido a la elevación del punto de estación sobre el mar, se

conoce como la corrección de elevación, o corrección del aire libre.

La segunda parte es un aumento en el valor de la gravedad por las capas de masas de

rocas que producen una atracción.

La suma de las dos correcciones es la llamada corrección de Bouguer. La corrección

para el efecto de las masas de materiales entre la estación y la superficie de referencia se

puede obtener suponiendo una figura aproximada. La figura matemática más

conveniente es un cilindro con caras planas. La estación se supone en el centro de la

cara plana superior del cilindro. El radio puede suponerse tan grande como sea

necesario para que la corrección abarque todos los cuerpos desde la elevación hasta la

superficie de referencia. Del mismo modo, se necesita también la corrección por

variación en terreno abrupto próximo al punto de estación (corrección del terreno).

La diferencia entre la gravedad normal y la observada después de estas tres correcciones

se define como la anomalía de gravedad, denotada por g. En ocasiones g se utiliza

para denotar la diferencia de gravedad entre dos estaciones y se llama valor relativo de

la gravedad. Consideramos una anomalía de gravedad corregida de elevación a la que

llamaremos anomalía del aire libre y corregida del factor de Bouguer, se llama anomalía

de Bouguer. Si, además, está corregida del factor topográfico, se conocerá como

anomalía completa de gravedad de Bouguer, que será ocasionada por la heterogeneidad

de una única corteza.

No es necesario determinar el valor absoluto de la gravedad o realizar el cálculo de la

gravedad a gran escala para un área pequeña (especialmente en la exploración de

minerales metálicos) o hacer un prospección microgravimétrica a gran escala dentro de

10

un área todavía menor. En lugar de ello se emplea la gravedad relativa. Esta gravedad

resulta de la diferencia entre la observación en la estación y sobre la superficie de

referencia. Las correcciones del aire libre, Bouguer y del terreno tomadas con tal

condición, no son llevadas al nivel del mar, en su lugar son llevadas al nivel de la

superficie de referencia o nivel datum. La gravedad absoluta que se observa en la

estación de datos es la gravedad normal. Para una inspección práctica de la gravedad o

para gravimetría, la estación dato debería colocarse en el exterior del área del

levantamiento. Lo suficientemente alejada para que el efecto producido por el objeto

observado no influya sobre la estación datum.

Los recursos minerales, estructuras geológicas, cavidades ruinas y elementos

arquitectónicos tienen diferentes densidades según la roca madre o los estratos. La

diferencia de densidad con respecto a la roca madre se conoce como la densidad

residual, considerando la diferencia de masa por unidad de volumen entre la

heterogeneidad y la roca madre se conoce como masa residual.

Por tanto, la anomalía de gravedad es ocasionada por una masa residual debido a una

densidad residual. La magnitud y el signo de la anomalía de la gravedad dependen de la

masa residual. Si la densidad de la zona es mayor que la de la roca madre, la densidad

de la masa residual de ambos es positiva, y negativa al contrario.

1.5. - Función potencial de gravedad, necesidades y derivadas parciales de orden

superior

1.5.1. - Función potencial de gravedad

El cálculo de la gravedad a partir del análisis de los resultados directos es erróneo en su

aplicación práctica, por lo que se introduce el concepto de potencial de la gravedad, por

ejemplo, en la función vector (1.1) o (1.10) es expresado como un escalar.

A través de la experiencias en campo, se sabe que si una fuerza satisface las siguientes

condiciones: (1) Tanto la magnitud como la dirección sean funciones continuas. (2) El

trabajo realizado por la fuerza en campo sea independiente del camino seguido, por lo

que otra función continua puede hallarse con su dirección y derivada del mismo modo

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que el componente de la intensidad de la gravedad a lo largo de la dirección deseada.

Esta función es conocida como la función potencial de ese campo de gravedad. El

campo de gravedad y la gravedad satisfacen suficientemente las dos condiciones, por lo

que existe su función potencial correspondiente.

La función primitiva (1.10), puede obtenerse a partir de derivadas parciales,

222

2

1yx

dmGW

(1.19)

W es la llamada función potencial de la gravedad (podemos prescindir de la palabra

función). El significado de cada símbolo es el mismo que el definido con anterioridad.

W = V + U (1.20)

dmGV (1.21)

222

2

1yxU (1.22)

Por definición V y U son el potencial de atracción y el centrífugo respectivamente.

1.5.2. - Derivada de primer orden del potencial gravitatorio

Las derivadas parciales con respecto a los ejes de coordenadas son iguales al valor de la

gravedad en la proyección sobre el eje correspondiente, como g(x), g(y) y g(z).

zdmz

Gzgz

W

ydmy

Gygy

W

xdmx

Gxgx

W

2

3

2

3

2

3

(1.23)

A partir de 1.21 y 1.22 obtenemos,

12

zCz

UzF

z

V

yCy

UyF

y

V

xCx

UxF

x

V

,

,

,

(1.24)

La derivada parcial del potencial, a lo largo de cualquier dirección S, es la proyección

de la gravedad g la lo largo de esa dirección.

sgsggs

W ,cos

(1.25)

donde el cos(g, s) es la dirección del coseno del ángulo formado por los vectores g y s,

gs es la proyección de la gravedad a lo largo de S. Si la dirección de S es igual a la de g

entonces,

gs

W

(1.26)

Por tanto, la gravedad g es la derivada del potencial de la gravedad a lo largo de la

dirección de la gravedad, o lo que es lo mismo, a lo largo de la línea de plomada.

1.5.3. - Superficie equipotencial y superficie del geoide

Si la dirección de s se toma perpendicular a g, tendremos:

0

s

W

cteW

(1.27)

W es una función de coordenadas espaciales x, y, z, (1.27) es la fórmula para las tres

dimensiones de igual potencial gravitatorio. La dirección de la gravedad para cualquier

punto sobre esta superficie está a lo largo de una línea normal que pase por dicho punto.

Esta superficie se llama de nivel. Las distintas superficies de nivel se pueden obtener

por sustitución con diferentes constantes en 1.27. Cuando una superficie de nivel

coincide con el nivel del mar, tenemos la constante definitiva en 1.27, tal superficie se

define como superficie del geoide, y se toma como superficie general de la Tierra, o

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forma general de la Tierra. En la medición ordinaria de la gravedad, la gravedad normal

calculada con la fórmula, se trata como la gravedad normal del geoide, debido a la

similitud de su forma con la de un esferoide de rotación. Por la teoría fundamental de la

gravedad, la gravedad normal derivaría de una superficie esferoidal asumiendo que la

Tierra se encuentra con la condición de ser un esferoide con rotación uniforme, la

corrección geoidal debe tomarse en consideración, cuando el proceso de datos de la

medición de la gravedad se realice en un área grande, y con aparatos modernos con

precisión suficiente para determinar la superficie del geoide, con una diferencia de

decenas de metros entre la superficie del geoide y la esferoidal. Tal corrección es

innecesaria para gravimetría realizada en un área pequeña, donde es suficiente la

diferencia de gravedad.

1.5.4. - Derivadas parciales, de orden superior, del potencial gravitatorio.

El potencial gravitatorio es una función que posee derivadas parciales continuas de

orden diferente. Cada una de ellas posee un significado físico propio. Por ejemplo, la

derivada de primer orden es el valor de la componente de la gravedad a lo largo de una

dirección

Para la medición ordinaria de la gravedad, especialmente en gravimetría, el segundo,

tercer e incluso órdenes superiores, son derivadas parciales de aplicación común,

además de la gravedad en sí misma.

Seis de las derivadas parciales de segundo orden del potencial de la gravedad son:

14

yz

xz

xy

zz

yy

xx

Wzgyz

W

yzy

W

Wxgzx

W

zz

W

xzx

W

Wxgyx

W

yy

W

xyx

W

Wzgzz

W

zz

W

Wygyy

W

yy

W

Wxgxx

W

xx

W

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1.28)

Se puede comprobar mediante estas fórmulas que las derivadas parciales de segundo

orden del potencial gravitatorio se corresponden con el valor cambiante de la gravedad a

lo largo de la misma u otra dirección del eje semejante.

Wxy, Wxz, Wyz y Wyy - Wxx pueden ser determinados por la balanza de torsión. Wyy y

Wxx no se pueden determinar por separado, únicamente como la diferencia entre ellos,

denotándose el resultado como W.

W = Wyy - Wxx

Wzz es el gradiente vertical de la gravedad, que hasta ahora no se ha podido determinar

con precisión directamente de la práctica.

El segundo orden de derivación del potencial gravitatorio no debe ser determinado por

una balanza de torsión, debido a su baja eficiencia y a las dificultades para eliminar el

efecto que produce un terreno abrupto. A partir de los sesenta, fue reemplazado por el

gravímetro, que daba mayor precisión a la hora de medir la gravedad relativa.

Mientras tanto, las derivadas de segundo orden eran empleadas para la interpretación de

la gravedad en los materiales, especialmente en el análisis microgravimétrico, ya que

oferta mayor sensibilidad a la hora de investigar sombras y cuerpos geológicos menores.

En algunos casos, las soluciones obtenidas por medio de las derivadas de segundo orden

son más factibles y convenientes que las del g. Actualmente, las derivadas se calculan

regularmente mediante conversiones de g.

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Las derivadas de segundo orden más usadas incluyen el gradiente horizontal Wxz, Wyz y

el vertical Wzz. Los cuales se miden en Eötvös (llamados así en memoria del físico

Húngaro, Roland Von Eötvös), y denotados con el símbolo E.

cmGalsE /10/101 929 (1.29)

y que es equivalente al cambio de la gravedad en 10-3

g.u. para una distancia de 1 m. No

existe ningún aparato para determinar el valor de las derivadas de tercer orden de forma

directa. Se deben calcular también a partir de g. Para cuerpos geológicos menores y

sombras son más eficaces las de segundo orden. En la derivada de tercer orden para

cuerpos de distintos tamaños, la anomalía será mayor en cuerpos grandes que en otros

menor, a una misma profundidad y con la misma densidad residual. La mayor anomalía

será la diferencia en las derivadas de tercer orden. Estas derivadas son muy útiles en

gravimetría ya que deprimen las anomalías regionales.

Existen diez derivadas de tercer orden que se denotan por los siguientes símbolos Wxxx,

Wyyy, Wzzz, Wxxy, Wxyy, Wxzz, Wyyz, Wyzz, Wxyz, Wxxz. Entre ellos el usado con más

frecuencia es Wxxx. A veces se llama a la segunda derivada, Wzz, gradiente vertical (ó

sólo gradiente) Wzzz es el valor cambiante del gradiente vertical de gravedad Wzz a lo

largo de la dirección vertical.

zzWzz

W

z

2

2

zzzW (1.30)

la dimensión de Wzz es 1/s2. La unidad de distancia es el metro. La unidad de la

derivada de tercer orden será 1/ms2, denotado por MKS,

1MKS=1/ms2 (1.31)

la derivada de tercer orden tiene como unidades,

10-9

*1/ms2 = 1nMKS (1.32)

10-12

*1/ms2 = 1nMKS (1.33)

16

1.5.5. - Derivadas de la anomalía del potencial con orden distinto

La anomalía del potencial es la diferencia entre los potenciales de la gravedad real y la

normal. Es ocasionada por un cuerpo geológico. Por la definición de anomalía relativa

de gravedad y la naturaleza atractiva del potencial, la anomalía de la gravedad de un

punto exterior al cuerpo geológico es la proyección vertical de la fuerza atractiva de m

masa residual, p.e., la derivada del potencial atractivo de la masa residual a lo largo de

la dirección vertical. El eje z se adopta siempre en la dirección de la plomada y con

sentido descendente, siendo pequeña la diferencia entre el geoide y el esferoide normal

en cuanto a la gravedad se refiere, objeto también estudiado por la gravimetría. Se

denota V a la anomalía del potencial, el potencial atractivo de la masa residual de un

cuerpo geológico con respecto a un punto exterior al cuerpo. De ahora en adelante,

z

Vg

(1.34)

Se sabe que Vz es V/z, de ahora en adelante Vz es también el símbolo de la anomalía

de la gravedad. Del mismo modo escribimos, Vx para V/x y Vy para V/y. Por

consiguiente, las anomalías producidas a causa de los cuerpos geológicos se obtienen

por las derivadas de segundo y tercer orden del potencial gravitatorio. Sus símbolos

correspondientes son, Vxz, Vxy, V, Vyz, Vzz, Vxxx, Vyyy, Vzzz, Vxxy, Vxxz, Vxyy, Vyzz, Vyyz,

Vxyz. El potencial gravitatorio de la masa residual y la anomalía de la gravedad de un

punto exterior a un cuerpo geológico, satisfacen la ecuación de Laplace. La coordenada

usada es la misma, con z como eje vertical descendente y x perpendicular al ataque del

cuerpo geológico.

La mayoría de las derivadas de alto orden serán utilizadas en raras ocasiones,

exceptuando Vzz, Vxz, Vzzz.

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1.6. - Marea terrestre

Los científicos llevan mucho tiempo observando una deformación elástica periódica de

la Tierra sólida, parecida a las mareas y que es debida a la acción de cuerpos celestes,

como son el sol y la luna. Tal fenómeno se conoce como marea sólida o marea terrestre.

La variación de la gravedad en una estación puede estar ocasionada por dicha marea

sólida, la amplitud de la ondulación puede alcanzar e 200 a 300 Gal. Por tanto la

marea sólida debe tenerse en cuenta y la presencia de un gradiente elevado de marea

debería evitase durante un levantamiento gravimétrico.

El valor teórico de la marea sólida g (A, t) en una estación A y durante un tiempo t, es

generalmente la suma de los valores teóricos de marea sólida desde el sol y la luna, es

decir,

tAgtAgtAg sM ,,, (1.35)

donde gs (A, t) y gM (A, t) son el valor teórico de la marea sólida para una estación A

y un tiempo t, producida por el sol y la luna respectivamente. gM (A, t) puede

expresarse como,

cos3cos52

1cos33

4, 3

4

2

3

mm

m

m

m

MC

R

R

C

R

D

R

C

R

DtAg (1.36)

donde, Rm es la distancia entre los centros masivos de la Tierra y la luna, Cm es el radio

mayor de la órbita lunar, R = 6371.02 km es el radio de la Tierra. R/Cm = 0.016953; =

ángulo cenital; D = 26277 cm2/s

2 (constante Doodson), la fórmula anterior puede

reducirse a,

(1.37)

del mismo modo gs (A, t) se formula como,

s

s

ss

sR

C

R

DtAg 2

3

cos313

4,

(1.38)

3

4

2

3

cos5cos3369.1cos31993.54,

m

m

m

m

MR

C

R

CtAg

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donde, Rs es la distancia entre los centros masivos de la Tierra y el sol, Cs es el radio de

la órbita terrestre, R es el radio de la Tierra, Ds es la constante de Doodson, la cual es

igual a 120976; s es el ángulo cenital del sol.

Se puede simplificar como,

(1.39)

Si sustituimos la longitud y la latitud de la estación y el tiempo de observación en las

fórmulas anteriores, se puede obtener el valor teórico de la marea terrestre.

El efecto de esta marea se elimina después de restado al valor real observado de la

gravedad.

A continuación analizaremos por separado cada una de las correcciones para el cálculo

de la anomalía de la gravedad. Usualmente utilizamos, para interpretar, la anomalía de

Bouguer, aunque es necesario realizar algunas correcciones que incluyen el campo

normal, la elevación (aire libre) y la capa intermedia (Bouguer).

1.7.- Corrección de la gravedad normal, elevación (aire libre) y de la capa

intermedia

1.7.1.- Corrección normal de la gravedad

Supongamos que el globo terrestre es un elipsoide normal del que son conocidos cuatro

de sus parámetros, como son; la fuerza de atracción de la Tierra GM, la velocidad

angular de rotación w, el eje mayor del elipsoide a y el achatamiento . Por tanto,

podemos determinar la fórmula de la gravedad normal. Por ejemplo, el datum de 1979,

con una latitud geocéntrica y es:

2sen0000058.0sen0053024.010327.978 22 (1.40)

s

s

st

CtAg 2cos3125318,

Ingeniería Geomática 2012/13

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En esta fórmula consideramos el globo terrestre como un esferoide achatado. Para la

gravimetría, la corrección de la latitud para cualquier estación, puede ser calculada

mediante la fórmula 1.41, con una latitud de referencia asignada para la estación base.

LgZL 2sen81.0 (1.41)

donde L es la distancia hacia el Norte o hacia el Sur de la estación base en metros,

considerando como la latitud de referencia. gzl será positivo si la estación está

situada al sur de la estación base y negativo en caso contrario.

1.7.2.- Corrección por la altura (aire libre)

En gravimetría se trabaja con respecto a un nivel arbitrario de referencia, la altura de la

estación se refiere a dicho nivel, la fórmula de la corrección por la altura es,

Galhg zFA 55.308 (1.42)

donde h es la diferencia entre la cota de la estación a ser corregida y la cota de la

referencia, en metros; será positiva para estaciones más altas que la referencia y

negativa en caso contrario.

1.7.3.- Corrección de la capa intermedia. (Corrección de Bouguer)

La corrección de Bouguer se da al considerar que la capa entre el nivel de observación y

el de referencia es una placa horizontal infinita con una densidad de materiales

constante. La fórmula para la corrección se muestra a continuación,

GalhgZb 91.41 (1.43)

en la que es la densidad de la placa en g/cm3; h es la diferencia entre la altura de la

estación y la de la referencia, en metros. Es negativa si la estación está más alta que la

referencia y positiva en caso contrario.