3.1 Aplicación de las Leyes de Newton, movimiento de traslación.3.1.1 Aplicación de la 2ª ley de newton en la solución de problemas que implican movimiento de traslación y movimiento de rotación pura.

La causa del movimiento de los cuerpos es una fuerza.

Fuerza. Es todo aquello capaz de deformar un cuerpo o de variar su estado de reposo o de movimiento. Es la medida de la interacción entre los cuerpos. El efecto que una fuerza produce sobre un cuerpo depende de su magnitud, así como de su dirección y sentido, una fuerza es una magnitud vectorial.

Leyes de la Dinámica.

Primera Ley de Newton: Todo cuerpo se mantiene es su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. (A menos que exista una fuerza no balanceada que actúe sobre él y cambie dicho estado)

Segunda Ley de Newton: Toda fuerza no equilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce a este una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

Masa: Es la cantidad de materia de un cuerpo. La masa de un cuerpo es una medida de su inercia.Peso:

Es la fuerza gravitacional con la que la tierra atrae a los cuerpos hacia su centro.

EJERCICIOS:1.- Se aplica una fuerza de 40 N durante 5 segundos sobre un bloque de 98 N para desplazarlo sobre una superficie horizontal, con un coeficiente de fricción dinámico de 0.3Calcule:a) La aceleración del bloque.b) La velocidad que llevará a los 5 segundosc) La distancia que recorre el bloque al cabo de ese tiempo.

2.- Un motociclista cuyo peso es de 1800 N se mueve a una velocidad de 60 km/hr. A aplicar los frenos se detienen a una distancia de 265 m . Calcular la fuerza de fricción promedio que la detiene.

Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento de rotación pura (MCU).

La fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el movimiento circular uniforme se conoce como fuerza centrípeta. De acuerdo con la segunda Ley de Newton del movimiento, la magnitud de ésta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta:

La aceleración centrípeta se puede expresar en términos de la velocidad lineal

La velocidad lineal a su vez se puede expresar en términos de la velocidad angular y ésta en términos de la frecuencia o del periodo.

Peralte de curvas

Cuando un automóvil tomauna curva cerrada en una carretera perfectamente horizontal, la fricción entre las llantas y el pavimento genera una fuerza centrípeta. Si la fuerza centrípeta no es la adecuada, el auto puede derrapar y salirse de la carretera. El máximo valor de la fuerza de fricción determina la velocidad máxima con la que un automóvil puede tomar una curva de un radio determinado.

Es posible peraltar una curva, con un ángulo ( tal, que los autos que transiten con cierta rapidez no requieran fuerza de fricción que los mantenga en su trayectoria.

Para determinar el ángulo del peralte adecuado para una curva en donde la fuerza normal tenga componentes vertical y horizontal, de tal manera que la componente horizontal proporciona la fuerza centrípeta necesaria, tenemos:

Movimiento circular vertical.

En un circulo vertical para determinar la fuerza centrípeta, es necesario tomar en cuenta las fuerzas que intervienen como es el peso del objeto (dirigido siempre hacia abajo) y la tensión de la cuerda dirigida siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo tanto cuando el objeto pasa por el punto mas alto, la

resultante de esas fuerzas es la fuerza centrípeta y se determina como:

Cuando el objeto pasa por el punto mas bajo, tenemos:

Ejercicios:

1. Una pelota de 4 kg se hace girar en un círculo horizontal por medio de una cuerda de 2m de longitud ¿Cuál es la tensión en la cuerda si el periodo es de 0.5 s? 1260N

2. ¿Cuál es la velocidad máxima a la que un automóvil puede tomar una curva cuyo radio es de 100 m, sin derrapar, si el coeficiente de fricción estática es de 0.7? 94.3 km/hr

3.2 Energía cinética de rotación.

3.2.1 Trabajo de un peso.3.2.2 Ley de la conservación de la energía.

3.3 Ímpetu e impulso angular.3.3.1 Momento de inercia de figuras regulares.

Energía cinética rotacional y momento de inercia.

Para un movimiento trasnacional, la Energía cinética está definida como:

en un movimiento de rotación sabemos que: por lo tanto

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo:

Puesto que la velocidad angular es constante para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación de la siguiente manera:

La cantidad se define como momento de inercia y se representa por la letra I:

I = momento de inercia (kg-m2)

m = masa (kg)r= distancia de cada partícula al eje de giro (m)

Utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular.

Ejemplo:Calcule el momento de inercia de la siguiente figura. El peso de las barra que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/s ¿cuál es la energía cinética rotacional? 1.32 kg m2 23.8 J

Para cuerpos que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad distribuciones continuas de materia, los cálculos del momento de inercia son más difíciles y generalmente se realizan utilizando herramientas como el cálculo integral. Para algunas figuras regulares se han determinado sus expresiones matemáticas que se presentan en la siguiente figura:

La segunda Ley del movimiento en la rotación.

Cuando en un movimiento de rotación tenemos además de la ac o radial una aL o tangencial, está presente una fuerza también tangencial que la genera.

Multiplicando ambos lados y reordenando los términos tenemos:

La cantidad Fr se conoce como el momento de torsión producido por la fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m tenemos:

Se puede deducir una expresión similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. De donde:

(= momento de torsión (N(m)I = momento de inercia (kg(m2)(= aceleración angular (rad/s2)

Momento de torsión= momento de inercia x aceleración angular.

La segunda ley de Newton para el movimiento rotacional se enuncia de la siguiente manera:

“Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torción aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo”

Ejemplo:

Un disco de esmeril de radio 60 cm y 90 kg de masas gira a 460 rpm ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde hará que el disco se detenga en 20 s? -65 N

Trabajo y potencia rotacionales.

El trabajo en un movimiento trasnacional se define como el producto del desplazamiento por la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento:

T = F( d, en un movimiento rotacional, el desplazamiento lineal, se encuentra al multiplicar el desplazamiento angular por el radio (análogo a la velocidad lineal y aceleración lineal ¿recuerdas?)

d = ( r, por lo tanto para el trabajo rotacional tenemos:

T = F ( r reordenando término tenemos:

T = F r ( recordemos que Fr es el momento de torsión (, por lo tanto:

T = ( ( T = trabajo rotacional (N(m= J)( = momento de torsión (N(m)( = desplazamiento angular (rad)

La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo

para el trabajo rotacional sabemos que por lo tanto

P = potencia rotacional (J/s = w)( = momento de torsión (N(m)( =velocidad angular (rad/s)

Ejemplo:

Una rueda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5 kg m2. Se aplica una fuerza constante de 60 N al borde de ella. a) Suponiendo que parte del reposo ¿Qué trabajo se realiza en 4 s? b)¿Qué potencia se desarrolla? 2070 J 518 W

Cantidad de movimiento angular.

La cantidad de movimiento lineal se define como : C= m v

En un movimiento rotacional la cantidad de movimiento angular se designa con la letra L y será:L =m v r (análogo a las otras magnitudes)

Donde: de tal manera que

L = m ( r r

L = mr2 (

Para un cuerpo rígido compuesto por muchas partículas, tenemos:L = ((m r2( ( L = Cantidad de movimiento angular (kg(m2/s)

L = I ( I = momento de inercia (kg(m2)( =velocidad angular (rad/s)Ejemplo:

Una barra uniforme delgada de 1 m de largo tiene una masa de 6 kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira con una velocidad de 16 rad/s, calcule su cantidad de movimiento angular. 8kg m2/s

Conservación de la cantidad de movimiento angular.

De la ecuación sustituimos el valor de ( obtenemos lo siguiente:

Pasamos t multiplicando y obtenemos:

Esto es:

Impulso angular = cambio en la cantidad de movimiento angular.

Si no se aplica ningún momento de torsión al cuerpo que gira, podemos establecer que (=0, quedando:

Cantidad de movimiento angular final = Cantidad de movimiento angular inicial

Podemos en expresar el enunciado para la conservación de la cantidad de de movimiento angular:

Si la suma de los momentos de torsión externos que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es igual a cero, la cantidad de movimiento angular permanece inalterado.

Ejemplo:

Suponga que una mujer sostiene las pesas con los brazos extendidos y en esa posición tiene un momento de inercia de 6 kg m2, al colocar las pesas sobre su cuerpo, su momento de inercia disminuye a 2 kg m2. Con las pesas en posición extendida ella gira a 1.4 rev/s ¿Cuál será su rapidezde rotación con las pesas junto a su cuerpo? 4.2 rev/s

PROBLEMAS CUARTA UNIDAD.

Problemas para recordar el MCU y MCUV1. Un cable está enrollado en torno de un carrete de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de éste carrete se requieren para que un objeto atado al cable recorra una distancia rectilínea de 2m? ¿Cuál es el desplazamiento angular? 0.796 rev 5 rad2. Un punto localizado en el borde de una gran rueda cuyo radio es de 3m se mueve en un arco de 37°. Halle la longitud del arco descrito por ese punto. 1.94m3. Un motor eléctrico gira a 600 rpm ¿cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es su desplazamiento angular después de 6 s? 62.8 rad 377 rad4. Un cubo cuelga de una cuerda enrollada con varias vueltas en un carrete circular cuyo radio es de 60 cm. El cubo parte del reposo y asciende hasta una altura de 20 m en 5 s. a) ¿Cuántas revoluciones giró el carrete? b) ¿cuál fue la velocidad angular promedio del carrete al girar? 5.3 rev 6.67 rad/s5. Un trozo cilíndrico de material de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rev/min. ¿Cuál es la velocidad lineal de la superficie del cilindro? 20.9 ft/s6. Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo diámetro es de 40 cm. La polega gira con una aceleración angular constante de 3.50 rad/s2. A t=0, la rapidez rotacional es de 2 rad/s ¿Cuáles son el desplazamiento angular y la velocidad angular de la polea 2 s mas tarde? 11 rad 9 rad/s7. Una polea de 320 mm de diámetro gira inicialmente a 4 rev/s y luego redibe una aceleración angular constante de 2 rad/s2 ¿cuál es la velocidad lineal de una correa montada en dicha polea al cabo de 8s? ¿Cuál es la aceleración tangencial de la correa? 6.58 m/s 0.32 m/s28. Una persona que inicialmente se encontraba en reposo, colocada a 4 m del centro de una plataforma giratoria, recorre una distancia de 100 m en 20 s ¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular al cabo de 4 s?

Energía cinética rotacional y momento de inercia.9. Una masa de 2 kg y una masa de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. Se hace girar el sistema horizontalmente a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg ¿cuál es el momento de inercia en torno al ese eje? ¿Cuál es la energia cinética rotacional? 0.140 kg m2, 69.1 J10. La rueda de una bicicleta es de 1.2 kg y tiene 70 cm de radio; además tiene rayos cuyo masa de desprecia. Si parte del reposo y recibe una aceleración angular de 3 rad/s2 ¿cuál es su energía cinética rotacional después de 4 s?11. Un disco de esmeril de 16 lb gira a 400 rpm ¿Cuál es el radio del disco si su energía cinética es de 54.8 ft por libra? ¿Cuál es el momento de inercia? 6 in 0.0625 slug ft 212. ¿cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg si se requiere que su momento de inercia sea igual al de una varilla de 1 kg y 1 m de longitud que oscila apoyada en su punto medio?13. la rueda de una carreta mide 60 cm de diámetro y está montada en un eje central sobre el cual gira a 200 rpm. Se puede considerar que la rueda es un aro circular de 2 kg de masa y cada uno de sus 12 rayos de madera de 500 g puede

considerarse como una varilla delgada que gira sobre sus extremos. Calcule el momento de inercia de toda la rueda y su energía cinética rotacional. 0.360 kg m2 y 78.9 J

Segunda Ley de Newton y rotación14. Una cuerda que está enrollada en una carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central ¿Cuál es la aceleración angular? 800 rad/s215. El volante de un motor tiene un momento de inercia de 24 slug ft2 ¿Qué momento angular se requiere para acelerar el volante desde el reposo hasta una velocidad angular de 400 rpm en 10 s?16. Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio ¿qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rpm? 0.558 Nm17. Una rueda grande de turbina de 120 kg tiene un radio de giro de 1 m. Un momento de torsión friccional de 80 Nm se opone a la rotación del eje. ¿qué momento de torsión se deberá aplicar para acelerar la rueda desde el reposo hasta 300 rpm en 10 s?18. Una masa de 2kg se balancea en el extremo de una varilla ligera, describiendo un círculo de 50 cm de radio ¿Qué momento de torsión resultante se requiere par impartir a esa masa una aceleración angular de 2.5 rad/s2? 1.25 N.m19. Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un cilindro de 0.2 m de radio y 30 kg de masa ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene una tensión de 40 N y gira sin fricción alguna?20. Un disco rectificador e 8 kg tiene 60 cm de diámetro y gira a 600 rpm ¿qué fuerza de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 5 s? 15.1 N21. Un momento de torsión no balanceado de 150 Nm le imparte una aceleración angular de 12 rad/s2 al rotor de un generador. ¿Cuál es el momento de inercia?

Trabajo rotacional22. Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 N que la desplaza una distancia lineal de 5 m ¿cuál es el trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el trabajo rotacional realizado sobre el disco? 200 J 200 J23. Use el teorema Trabajo-Energia para determinar la velocidad angular del disco si este parte del reposo en el problema anterior.24. Un motor de 1.2 kw impulsa durante 8 s una rueda cuyo momento de inercia es 2 kg m2, suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo ¿Qué rapidez angular promedio llego a adquirir? 98 rad/s25. Un cordón está enrolladoen el borde de un cilindro que tiene 10 kg de masa y 30 cm de radio. Si se tira del cordón con una fuerza de 60 N ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro? ¿Cuál es la aceleración lineal del cordón?26. Un motor de 600 w impulsa una polea con una velocidad angular promedio de 20 rad/s ¿Cuál es el momento de torsión así obtenido? 30 Nm

27. El radio de giro de una rueda de 8 kg es de 50 cm. Halle su momento de inercia y su energía cinética cuando está girando a 400 rpm. ¿cu{anto trabajo se requiere para reducir la rotación de la rueda a 100 rpm? -1644J28. Una fuerza constante de 200 N actúa sobre el borde de una rueda de 36 cm de diámetro y la impulsa a 20 revoluciones en 5 s ¿qué potencia se ha desarrollado? 905 w

Momento angular29. Una varilla de acero de 500 g y 30 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 300 rpm ¿Cuál es su momento angular? 0.118 kg m/s230. En el problema anterior ¿Qué momento de torsión promedio deberá aplicarse para detener totalmente la rotación en 2 s?31. Un momento de torsión de 400 Nm se aplica repentinamente en el borde de un disco inicialmente en reposo. Si la inercia rotacional del disco es de 4 kg m2 y el momento de torsión actúa durante 0.02 s ¿Cuál será el cambio en el momento angular? ¿Cuál será la velocidad angular final? 8kg(m2/s, 2 rad/s32. Una varilla que conecta dos masas de 2 kg cada uno tiene una masa insignificante, los pesos están separados 10 cm al momento en que la rapidez angular es de 600 rpm y su eje de giro se encuentra a la mitad de la varilla. ¿Cuál será la rapidez rotacional cuando las masas estén a 34 cms de distancia entre una y otra? 51.9 rpm33. Una rueda de 3 kg con rayos de masa insignificante gira libremente sobre su centro sin fricción alguna. El borde de la rueda, de 40 cm de radio, es golpeado repentinamente con una fuerza tangencial promedio de 600 N durante 0.002 s a) ¿qué impulso angular se le imparte a la rueda? B) si la rueda estaba inicialmente en reposo ¿Cuál fue su rapidez angular al final del intervalo de 0.002 s? 0.48 Nm, 1 rad/s34. Un aro circular con 2 kg de masa y 60 cm de radio gira libremente sobre su centro, al cual está conectado por medio de rayos centrales ligeros. Una fuerza de 50 N actúa tangencialmente sobre el borde de la rueda durante un lapso de 0.02 s a) ¿Cuál es el impulso angular? B) ¿qué cambio se registra en la cantidad de movimiento angular? C) si el aro estaba inicialmente en reposo ¿Cuál fue la rapidez angular final? D) utilice el teorema del trabajo y la energía para calcular el desplazamiento angular.a) 0.60 N(m(s b) 0.60 kgm2/s c)0.833 rad/s d) 0.00833 rad35. Un estudiante está de pie sobre una plataforma, con los brazos extendidos, sosteniendo una pesa en cada mano, de manera que su inercia rotacional es de 6 kg m2. La plataforma inicia un movimiento constante de rotación a 90rpm sin fricción alguna. Ahora el estudiante puede reducir la inercia rotacional a 2 kg m2 si retrae las pesas acercándolas a su cuerpo a) ¿cuál será el nuevo régimen de rotación en ausencia de un momento de torsión externo? B) cual es la razón entre la energía cinética final y la energía cinética inicial? A)270 rpm b) 3[pic][pic]-----------------------

V= 30 m/s F= 80 N(=20°

(=40°(=80°F= 65 N(=50°a = 55 m/s2(=75°F= 94 N(=30°F=105 N

Se trazan los vectores a escala y midiendo sus direcciones correspondientes con el uso de transportador. Se trazan las paralelas a los vectores del tal forma que se obtenga un paralelogramo. La resultante será la diagonal del paralelogramo que se encuentra entre los dos vectores originales, ésta se mide y se considera la escala usada, también se mide su dirección con el uso del transportador.

Se trazan los vectores a escala uno a continuación de otro midiendo sus direcciones correspondientes con el uso de transportador. La resultante del sistema vectorial, será el vector que resulte de unir el origen del primer vector trazado con la punta del último, éste se mide y se considera la escala usada, también se mide su dirección con el uso del transportador.

Métodos para la solución de sistemas vectoriales concurrentes.

Construyendo un triángulo con los vectores conocidos y usando las direcciones de los mismos, se determina el ángulo entre ellos para poder utilizar la Ley de cosenos (c2= a2 + b2 – 2ab Cos C) para calcular el lado faltante y la ley de Senos (

para conocer el ángulo con el que se pude calcular la dirección del vector faltante.

Se descompone cada vector en sus componentes “x” y “y”. Se suman todas las componente “x” y todas las componentes “y”, con estos resultados se calcula la resultante mediante el uso del Teorema de Pitágoras y la dirección de la misma se calcula utilizando alguna función trigonométrica (seno, coseno o tangente)