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FÍSICA ATÓMICA

EIDELMAN GONZÁLEZ LÓPEZ UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

TUNJA

FÍSICA ATÓMICA

EIDELMAN GONZÁLEZ LÓPEZ ESCUELA DE FÍSICA

FACULTAD DE CIENCIAS UPTC

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

TUNJA

2006

INDICE

FÍSICA ATÓMICA PRESENTACIÓN INTRODUCCIÓN

1. LIMITACIONES DE LA DESCRIPCION CLASICA 1

1.1 FÍSICA CLASICA 1 1.2 NATURALEZADE LA LUZ 2 1.3 TEORÍA ESPECIAL DE LA REALTIVIDAD 3 1.4 NUEVA FORMA DE PENSAR 6

2. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA 7 2.1 ONDAS ELECTROMAGNETICAS 7 2.2 ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO 11

3. RADIACION DEL CUERPO NEGRO 12

3.1 RESULTADOS EMPÍRICOS 13 3.1.1 LEY DE STEFAN – BOLTZMANN 13 3.1.2 LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN 14 3.2 MODELOS TEÓRICOS 15 3.2.1 MODELO TEÓRICO DE WIEN 15 3.2.2 MODELO TEÓRICO DE RAYLEIGH – JEANS 16 3.2.3 MODELO TEÓRICO DE PLANCK. 17 3.3 PROBLEMAS 20

4. PROPIEDADES CORPUSCULARES DE LA RADIACIÓN 21 4.1 EFECTO FOTOELECTRICO 21 4.2 EFECTO COMPTON 25 4.3 RAYOS X 28 4.4 DIFRACCIÓN DE RAYOS X 31 4.5 PROBLEMAS 32

5. MODELOS ATOMICOS 34

5.1 ESPECTROS ATÓMICOS 35 5.2 MODELO ATÓMICO DE THOMSON 36 5.3 MODELO NUCLEAR DE RUTHERFORD 36 5.4 MODELO ATOMICO DE BÖHR 43 5.5 PROBLEMAS 49

6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA MATERIA 50 6.1 POSTULADO DE DE BROGLIE 50 6.2 PAQUETES DE ONDAS 53 6.2.1 VELOCIDAD DE FASE 54 6.2.2 VELOCIDAD DE GRUPO 55 6.3 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 57 6.4 DIFRACCION DE ELECTRONES 59 6.4.1 DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UNA REJILLA 62 6.5 NECESIDAD Y CARACTERÍSTICAS DE UNA NUEVA

TEORIA 63 6.6 PROBLEMAS 64

7. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA 65

7.1 LA FUNCIÓN DE ONDA ( , )r tψ 66 7.2 PROIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ONDA 67 7.3 LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 68 7.3.1 ARGUMENTOS DE PLAUSIBILIDAD QUE CONDUCEN A LA ECUACIÓN

DE SCHRÖDINGER. 68 7.3.2 ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO 70 7.3.3 ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO 71 7.4 POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 72

7.4.1 PRIMER POSTULADO DELA MECANICA CUANTICA 72 A. ESPACIO DE HILBERT H 73 B. ESPACIO DUAL O ESPACIO DE LOS BRA 76

7.4.2 SEGUNDO POSTULADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 76 A. OPERADORES EN EL ESPACIO DE HILBERT 76

7.4.3 TERCER POSTULDO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 76 A. VALORES PROPIOS DE UN OPERADOR 76

7.4.4 CUARTO POSTULADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 77 A. VALOR ESPERADO: <Â> 77 B. DISPERSIÓN O VARIANZA: D(Â) 78 C. INCERTIDUMBRE: ∆A 78

7.4.5 QUINTO POSTULADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 78

8. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 79

8.1 PARTÍCULA LIBRE 79 8.1.1 CLÁSICAMENTE 79 8.1.2 CUÁNTICAMENTE 80 8.2 POTENCIAL ESCALÓN 83 8.2.1 POTENCIAL ESCALÓN CON ENERGÍA DE LA PARTÍCULA MENOR QUE

EL POTENCIAL: E < V0. 84 8.2.2 POTENCIAL ESCALÓN CON ENERGÍA DE LA PARTÍCULA MAYOR QUE

EL POTENCIAL: E > V0. 87 8.3 CAJA DE POTENCIAL UNIDIMENSIONAL 91 8.4 OSCILADOR ARMÓNICO 95 8.4.1 OSCILADOR ARMÓNICO CLASICO 95 8.4.2 OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO 97 8.5 ÁTOMO DE HIDRÓGENO 103 8.5.1 ECUACIÓN AZIMUTAL 106 8.5.2 ECUACIÓN POLAR 107 8.5.3 ECUACIÓN RADIAL 108

PRESENTACIÓN El presente texto es el resultado de mi desempeño como docente de tiempo completo, de la Escuela de Física, Facultad de Ciencias, de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, donde he dictado, entre otras, las asignaturas: Física Moderna y Física Atómica. Con ocasión del año sabático, que me concediera la U.PTC. mediante acuerdo N° 069 del 10 de noviembre del año 2004 y acuerdo N° 093 del 16 de diciembre de 2004; entrego a la comunidad académica, el presente trabajo: Física Atómica. El ejercicio de la cátedra me permitió adquirir alguna experiencia en dichos temas, que deseo plasmar en un texto que le ayude a los alumnos de los programas de Física, Licenciatura en Matemáticas y de algunas ingenierías, a ampliar su visión del comportamiento de la naturaleza y a complementar sus lecturas sobre estos tópicos. Una mención especial a los alumnos que han utilizado borradores de este trabajo y cuyas sugerencias permitieron realizar algunas mejoras. Es mí deber reconocer a la UPTC, institución que me ha brindado oportunidades académicas y laborales durante más de 28 años. Mis agradecimientos a Nun, Mabir, Eidelman Jr., Gina y Daniel, quienes siempre estuvieron pendientes de la elaboración de este libro. Aspiro a que el texto sea fuente de consulta a disposición de la comunidad universitaria, que le permitirá a sus lectores, un rápido conocimiento de la forma como se consolida la composición del mundo microscópico del cosmos, desde el punto de vista atómico. Tunja, Agosto de 2006

INTRODUCCIÓN La FISICA CLASICA constituye la primera abstracción matemática de una teoría basada en la observación empírica, lo que permitió por más de tres siglos la evolución científica y el adelanto tecnológico. Hasta mediados del siglo XIX parecía haber alcanzado su máximo esplendor, al darle explicaciones a todos los fenómenos de la física conocidos hasta entonces. El propósito de toda teoría física es explicar un determinado grupo de fenómenos y hacer predicciones sobre posibles resultados a ser verificados experimentalmente, pero la física newtoniana no pudo finalmente cumplir con este compromiso. Se necesitó de un cambio de paradigma, que se llevó a cabo a finales del siglo XIX y las primas décadas del siglo XX, que permitió a los físicos un cambio de la concepción de como se comportaba la naturaleza y una nueva forma de describirla. Por razones que verá el lector, el año 1900 fue histórico para la física, tanto que, a la física antes de esa fecha se le llama Física Clásica y la desarrollada en adelante, de le conoce como Física Moderna. Entre los nuevos paradigmas que contempla, la llamada FÍSICA MODERNA, están los conceptos de espacio y tiempo, la teoría onda corpúsculo de la radiación y la materia, la cuantización de la energía y de otras cantidades dinámicas de la física. El principio de incertidumbre y la mecánica cuántica cambian el carácter determinista de la física clásica, por uno probabilístico de la física moderna, donde la medida de cantidades con toda la exactitud no es posible y por tanto no se puede predecir su evolución futura. Estos principios y su transformación histórica, son los temas que aborda el presente texto. Muchos de los temas tratados a lo largo del desarrollo del libro, se pueden comprender sin poseer conocimientos de física básica; pero para sacar mejor

provecho, sugiero consultar temas de física clásica y matemáticas especiales, como las ecuaciones diferenciales. El texto es indicado para ser adelantado con intensidad de cuatro horas semanales, durante un semestre académico de dieciséis semanas, para estudiantes que adelantan programas de: física, matemáticas e ingenierías. Lecturas complementarias, como las contempladas en las notas de pie de página y la bibliografía, ayudarán al lector a profundizar los contenidos del libro.

1. LIMITACIONES DE LA DESCRIPCIÓN CLÁSICA Eidelman González L

1

Equation Chapter 1 Section 1

1. LIMITACIONES DE LA DESCRIPCION CLÁSICA 1.1 FÍSICA CLASICA El propósito de toda teoría física es explicar un determinado grupo de fenómenos y hacer predicciones sobre posibles resultados a ser verificados experimentalmente. La FISICA CLASICA constituye la primera abstracción matemática de una teoría basada en la observación empírica, lo que permitió por más de tres siglos la evolución científica y el adelanto tecnológico. La mecánica clásica tiene sus orígenes en los griegos, perfeccionada por varios pensadores, entre ellos Galileo1 (sobre todo en el campo de la cinemática) y consolidada por Newton2. El pensamiento newtoniano permitió, aparentemente, interpretar y darle explicación a todos los fenómenos de la física conocidos hasta entonces. Con el desarrollo que hiciera del cálculo diferencial, Newton dio explicaciones a fenómenos como: el movimiento de los cuerpos, la naturaleza mecanicista de la luz, lo continuo e infinito del espacio y el tiempo, la gravitación universal y la constitución de la materia por corpúsculos infinitamente pequeños sin dimensiones; entre muchos otros. Fue tal la influencia de Newton, que intervino en otros campos diferentes a las ciencias naturales. Las teorías formuladas por Newton no solo permitían reproducir y predecir fenómenos de la materia y la luz, si no que permitió el uso de aplicaciones tecnológicas impresionantes que el auge de la revolución industrial

1 Galileo Galilei (1564-1642) Nació en Pisa, Italia. Construyó una física matemática para la tierra en movimiento. Por defender la tería heliocéntrica de Copérnico, fue sentenciado a la hoguera, castigo que se le permutó por el arresto permanente en 1633 al retractarse públicamente. 2 Isaac Newton (1642-1727) Nació en Lincolnhire, Inglaterra. Publicó sus Principio Matemáticos de la Filosofía Natural. Desarrolló el cálculo diferencial e integral, las leyes de la mecánica clásica, la gravitación, la óptica y la astronomía. Dominó el pensamiento científico por muchos siglos.

1. LIMITACIONES DE LA DESCRIPCIÓN CLÁSICA Eidelman González L.

2

esta basada en las ideas de la mecánica clásica newtoniana. Para mediados del siglo XIX parecía haber alcanzado su máximo esplendor; fueron tan extraordinarias las predicciones de la mecánica clásica que convirtió a la física en una ciencia determinista y si había algún problema, se presumía que era superable al efectuar mediciones experimentales que proporcionen resultados más precisos. En la cúspide de la mecánica clásica y de la revolución industrial, se comienza a dar palos de ciego al tratar de explicar fenómenos como la difracción de la luz, y la constitución material del universo. 1.2 NATURALEZADE LA LUZ Para Newton la luz, era un flujo o sucesión de partículas que emanaban de los cuerpos incandescentes, se propagaban en línea recta y los fenómenos de reflexión y refracción se explicaban por la mecánica de los choques. La tesis de Newton predominó hasta comienzos del siglo XIX, a pesar de que Huygens y Hooke defendían una teoría ondulatoria. En 1801 Young realizó las primeras experiencias de interferencia de dos haces luminosos e interpretó la experiencia en términos de la teoría ondulatoria. La polémica se reviva, hasta que en 1817 Fresnel presenta un trabajo sobre difracción y a partir de ese momento la teoría ondulatoria se impone de manera incuestionable. Sin embargo, la adopción de la teoría ondulatoria para explicara la naturaleza de la luz, no estaba exenta de problemas, pues para el pensamiento mecanicista imperante, una onda se entendía como una deformación de un medio, que se propaga en el, por razón de sus propiedades elásticas. Por tanto, si la luz era una onda mecánica, debería existir un medio que le sirviera de sustento. Es así como Young introduce en 1804 el éter lumínico3 para explicar exitosamente el fenómeno de la aberración de las estrellas según la teoría ondulatoria. El éter se concibe como una sustancia muy sutil que permanece inmóvil con respecto al espacio absoluto de Newton, mientras la tierra se mueva atravesándolo sin resistencia. El éter es pues una réplica material del espacio absoluto. Otra dificultad que se presentó fue, que se suponía que la luz debía ser una onda longitudinal, análoga al sonido, pero, hacia 1820 fue necesario darle a la luz el carácter de onda transversal, para poder explicar experimentos de polarización. La idea trajo nuevos escollos, pues e 1828 Poisson demostró que los líquidos y gases no podían transmitir ondas transversales. El éter no podía ser un fluido, entonces debería ser un sólido, que si nos atenemos al valor de la velocidad de la luz debería ser bastante rígido. ¿Pero cómo podrían los cuerpos celestes atravesarlo sin resistencia alguna? Por no abandonar a Newton, surgieron algunos modelos

3 E. WHITTAKER. “A history of the theories of Aeter and Electricity”, Humanities Press (1973), Vol.I, Pág. 108.


3

mecánicos del éter, que condujeron a que el éter es una sustancia diferente a la materia hasta entonces conocida. Maxwell basado en los trabajos de Faraday desarrolla su teoría electromagnética, que en sus orígenes se trataba de una teoría de los “efectos mecánicos del electromagnetismo” por lo que las ondas electromagnéticas como ondas elásticas propagándose en el éter, aún mas las cuatro ecuaciones que sintetizan la teoría y que permiten calcular la velocidad de la luz, son únicamente válidas en el marco de referencia del éter. Surgen mas tarde posibilidades experimentales para detectar al, tantas veces enmendado éter Fue así como en 1887 A. A. Michelson, E. R: Morley idearon y ejecutaron un experimento para probar las propiedades del éter lumínico, basados en que el éter debería llenar todo el espacio y debía ser el sistema de referencia primario. Los resultados negativos o aparente fracaso originaron un pensamiento revolucionario por cuanto la velocidad de la luz es la misma sin importar que sea mediada por un observador estacionario o por un observador que se mueve con velocidad constante o marco de regencia inercial. La experiencia fue un golpe decisivo contra el éter y lleno de incertidumbre el panorama de la física a finales del siglo XIX. La discusión sobre estos temas lleva a dos planteamientos novedosos, por un lado la teoría especial de la relatividad y por otro a indagar más acerca de la interacción de la radiación con la materia, que condujeron a una mejor comprensión de la radiación electromagnética y la constitución de la materia por átomos. Las primeras apreciaciones de estos temas constituyen el cuerpo del presente trabajo. 1.3 TEORÍA ESPECIAL DE LA REALTIVIDAD La relatividad del movimiento se conocía desde los tiempos de Galileo, expresada como la apariencia que presenta la naturaleza a un observador, respecto a la apariencia que le toma a otro observador que está en movimiento respecto del primero. Lo que trae como secuela que para cada observador debiera existir una ley, por tanto existe un conjunto infinito de leyes o no existe ninguna. Pero basados en la estabilidad de la naturaleza se expresa el principio clásico de la relatividad, como que, todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores que se muevan con respecto a los otros con velocidad constante o sea observadores que se encuentren en marcos de referencia inercial. La situación anterior se expresa en términos de las conocidas transformaciones clásicas de Galileo, cuando dos observadores se mueven uno respecto del otro en dirección x , con velocidad constante u :


4

2 1 1x x ut= −

2 1y y= (1.1)

2 1z z=

1 2t t= Maxwell sintetizó la teoría electromagnética de la luz en cuatro ecuaciones, con el inconveniente, como se dijo antes, que solo se cumplen para observadores privilegiados en reposo con respecto del éter. Se hacen esfuerzos para acomodar la covarianza de las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de onda a sistemas inerciales. La primera idea surge de H. A: Lorentz4, quien introduce unas nuevas ecuaciones de transformación, diferentes a las de Galileo; estas son

12 2

1

1

x utx

uc

−=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1y y= (1.2)

2 1z z=

2

1 12 2

( / )

1

t u c xt

uc

−=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Las cuales dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell. Para conciliar la teoría del éter con el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, Lorentz propone la hipótesis de que todo cuerpo que se mueve a través del éter, sufre en la dirección del movimiento, una contracción de su longitud y de otro lado el tiempo se dilata. La expresión para la contracción de la longitud es

2

0 1u

L Lc

= − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.3)

4 Hendrik Antón Lorente (1853-1928). Nació en Arnheim, Holanda. EN 1903 desarrollo sus transformaciones que ayudaron a Einstein a formular la teoría de la relatividad. Compartío el premio Nóbel de física con Zeeman en 1902.


5

La expresión para la dilatación del tiempo es

0

2

1

TT

uc

=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4)

En su empeño por justificar su hipótesis, Lorentz llega a las expresiones matemáticas, ecuaciones que mas tarde encontrara Einstein, pero con una interpretación diferente. Einstein en 1905 reencuentra las ecuaciones de Lorentz (1.2) y las de contracción de la longitud (1.3) y dilatación del tiempo (1.4), pero con un cambio radical de concepción, sobre todo en lo que se refiere a los conceptos de espacio y tiempo. A las mentes de los físicos formados dentro de la concepción clásica, les pareció extraño el artículo de 1905, que algunos se opusieron y guardaron silencio. Muchos tardaron varios años para asimilar las nuevas concepciones. Einstein en su trabajo “Sobre la electrodinámica de los Cuerpos en Movimiento” (1905) comienza con una discusión sobre la simultaneidad y el tiempo. Lo primero que se lee, es que el “tiempo”, escrito entre comillas, es algo que debe definirse, no es pues como pensaba Newton una realidad independiente del hombre, si no un concepto que debe construirse. Para Einstein el tiempo es una abstracción a la cual llegamos a través de los cambios de las cosas “y por tanto hay que partir de los procesos materiales y de allí construir el tiempo” De la constancia de la velocidad de la luz y como se dijo antes, todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas, para todos los observadores que se encuentren en marcos de referencia inercial, se deducen resultados no concebibles desde el punto de vista clásico. Primero, la simultaneidad de dos eventos separados espacialmente adquiere un carácter relativo. Dos eventos A y B que ocurren en sitios separados pero al mismo tiempo cuando se observan en marcos de referencia distintos ya no son simultáneos, esto ocurrirá par eventos sin conexión causal entre sí. Segundo, las barras rígidas no tiene carácter absoluto, la ecuación(1.3) es la misma introducida por Lorentz, pero claro está la interpretación de Lorentz es distinta, se trata de una contracción que sufren los cuerpos en la dirección del éter, por su interacción con ese medio. Por el contrario, la contracción es un efecto cinemático, que resulta de la sincronización de relojes, de la definición de los cuerpos en movimiento y de del postulado de la constancia de la velocidad de la luz. Es además, un efecto perfectamente reciproco, dos observadores en marcos de referencia inerciales distintos miden cada uno barras contraídas, detal manera que no hay sistemas de referencia privilegiados.


6

1.4 NUEVA FORMA DE PENSAR La crisis se ahondada por el descubrimiento de Max Planck en 1990, de los cuantos de acción. No se puede aceptar, entonces, la medida de cantidades con toda la exactitud posible y por tanto no se puede predecir su evolución futura y el hecho de que ciertas variables solo pueden tomar valores discretos o cuantizados, inician el carácter probabilístico de las magnitudes. Esta situación no solo es un problema de la física, sino que se constituyen en un problema de la teoría del conocimiento, puesto que, la sola observación de los fenómenos, va precedida de una carga de concepciones o maneras de pensar acerca de los mismos, que vuelven impermeable o desdibujan lo observado y la comprensión del fenómeno es un hecho aún más complicado. Max Börn (1882-1970) es considerado como el padre de la mecánica cuántica, por los trabajos dirigidos entre 1926 y 1927 en la escuela de Göttingen; que ayudaron a resolver la crisis intelectual por la que atravesaba nuestra ciencia. En palabras por Max Börn5, pronunciadas en una conferencia con motivo de la entrega del premio Nóbel en 1954 ".... los trabajos por los cuales he sido honrado con el premio Nóbel, no contienen el descubrimiento de ningún fenómeno natural, sino los fundamentos de una nueva forma de pensar, acerca de los fenómenos naturales" presenta a la Mecánica Cuántica como una "nueva forma de pensar", que contrasta con el pensamiento clásico determinista.

5 Hayke Born: Ciencia y Conciencia de la era atómica, pag. 100 - 115.

2. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA Eidelman González L.

7

2. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA 2.1 ONDAS ELECTROMAGNETICAS La física trata de obtener un conjunto mínimo y compacto de leyes que permitan describir el comportamiento de los sistemas físicos. Así por ejemplo, en la mecánica clásica las tres leyes de Newton permiten sintetizar el comportamiento mecánico de la naturaleza. Para el caso del electromagnetismo, Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampere y Faraday, describieron el comportamiento eléctrico y magnético de la naturaleza, en forma separada. Fue James Clerk Maxwell quien sintetizó dicho comportamiento en un conjunto de ecuaciones que hacen parte de una teoría simétrica y amplia del electromagnetismo. Por la interpretación hecha por Maxwell las ecuaciones básicas del electromagnetismo se conocen como ecuaciones de Maxwell, las cuales se pueden escribir en forma integral y diferencial. Tabla N° 2.1 Ecuaciones de Maxwell.

Ley Forma Integral Forma Diferencial Ley de Gauss de la electricidad

0

.q

E dAε

=∫rr

0

.Eρ

ε=∇

r

Ley de Gauss de magnetismo . 0B dA =∫

rr . 0B =∇

r

Ley de inducción de Faraday . BE dl

ddtΦ

−=∫rr

x BE

t

∂= −

∂∇

r

Ley de Ampere 0 0 0. EB dl

di

dtµ µ ε

Φ+=∫

rr

2

4x

EB j

tcπ ∂

= +∂

∇r


8

Las ecuaciones de Maxwell no solo resumen las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos, de una manera compacta, si no que conducen a fenómenos nuevos: las ondas electromagnéticas. La predicción de la existencia de ondas electromagnéticas, sin lugar a dudas, fue uno de los éxitos de la teoría de Maxwell y más aún al darse cuenta que la luz podía ser una clase de onda electromagnética. Las ondas electromagnéticas son oscilaciones de los campos eléctrico y magnético, que se propagan con la velocidad de la luz. La propagación del campo electromagnético, fue como se dijo antes, una circunstancia predicha a mediados del siglo XIX por Maxwell, como resultado del análisis cuidadoso de las ecuaciones del campo electromagnético. A finales del siglo XIX Heinrich Hertz (1857 - 1894) probó experimentalmente esta afirmación. El campo eléctrico E y magnético B cumplen con la ecuación de onda

2 2

2

2 2

E Ec

t x

∂ ∂=

∂ ∂

Equation Chapter (Next) Section 2(2.1)

2 22

2 2

B Bc

t x

∂ ∂=

∂ ∂ (2.2)

Donde c es la velocidad de la luz (c = 3x108 m/s). Además, se cumple

8

0 0

3 101

/x m scε µ

≈= (2.3)

Donde εo y µo son la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del vacío. Las leyes de Faraday conducen a que las magnitudes de los campos cumplen E = cB (2.4) Las ondas electromagnéticas, como toda clase de onda, se pueden caracterizar por una longitud de onda λ = 2π/k y una frecuencia ν = 2π/w. Las variaciones de los campos se pueden expresar, por ejemplo, senosoidalmente


9

0 ( )yE E Sen kx wt= − (2.5)

0 ( )zB B Sen kx wt= − (2.6)

y

c ExB=r ur ur

E

ur

x

Bur

z

Figura Nº 2.1 Ondas electromagnéticas planas

Al igual que cualquier otra forma de onda, las ondas electromagnéticas propagan o transportan energía y momentum de un lugar a otro. El flujo de energía de una onda electromagnética se mide en términos de la rapidez con que fluye la energía por unidad de área o lo que es lo mismo que la potencia electromagnética por unidad de área. La energía que atraviesa la unidad de área en la unidad de tiempo se da por el vector de Poynting

0

1P xE B

µ=

r r r (2.7)

Los vectores E

r y B

r se refieren a los campos eléctrico y magnético de una onda

en un punto del espacio en particular y Pr

indica el vector de Poynting en ese punto. Dadas las reglas del producto cruz P

r debe se perpendicular al plano

formado por Er

y Br

. Aún cuando las direcciones de Er

y Br

pueden cambiar permanentemente, su producto cruz o sea P

r, siempre indica la dirección de

propagación de la onda.


10

Como las dimensiones de B son iguales a las de (E/c), usando las dimensiones de µo, se demuestra que las dimensiones de P

r son de potencia por unidad de

área (el sistema SI watts/m2). En término de las magnitudes, los valores instantáneos para un punto de observación, se cumple

0 0 0

2 21 1P

cEB E B

cµ µ µ= = = (2.8)

Problema Obtener el vector de Poynting a partir de la energía que transporta una onda electromagnética. Desarrollo Se puede probar también, que el vector de Poynting es la energía por unidad de área a partir de la energía por unidad de área y unidad de tiempo que transporta una onda electromagnética. La energía transportada por una onda electromagnética consta de energía eléctrica y energía magnética. La densidad de energía por unidad de volumen que lleva el campo eléctrico es ½εoE² y la energía por unidad de volumen que lleva el campo magnético es B²/2µo, por tanto la densidad de energía total es la suma de los dos

2

2

0

0

1 1

2 2

BEε

µ= +E (2.9)

Con las ecuaciones(2.3) y (2.4), la densidad de energía total, se puede escribir como:

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

0 0

2 221 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

( )cE cE E E E E Eε ε ε ε ε

µ µ= + = + = + =E

2

0

0 0

2 21P

cE E B

cε

µ µ= = = =E (2.10)

Se obtiene la densidad de energía total, como el vector de Poynting.


11

2.2 ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO Las ondas electromagnéticas, como se dijo antes, caracterizadas por longitud de onda λ y frecuencia ν , cubren una amplia gama de valores de frecuencias y longitudes de onda, relacionadas por la velocidad de la luz c λν= . La clasificación ordenada de los valores que toman tanto la longitud de onda, como de la frecuencia, constituye el espectro electromagnético. Para representar un rango tan enorme de longitudes de onda y frecuencias se debe utilizar una escala logarítmica.

ν (Hz) λ (m) 102 106 104 Ondas de Radio 104 106 102

108 100 1010 Micro Ondas 10-2 1012 Infrarroja 10-4 1014 Visible 10-6 1016 Ultra Violeta 10-8

1018 Rayos X 10-10

1020 Rayos Gamma 10-12 1022 10-14 1024 Rayos Cósmicos 10-16 1026 10-18

Figura Nº 2.2 Espectro electromagnético Del espectro solo podemos ver una región muy pequeña, denominada visible, que corresponde a las frecuencias (longitudes de onda) sensibles al ojo humano y que en orden va desde el rojo, naranja, amarillo, verde azul y violeta. Partiendo del visible, al aumentar la longitud e onda, encontramos el infra rojo, las microondas y las ondas de radio; disminuyendo la longitud de onda esta el ultravioleta, los rayos X, los rayos gamma y los rayos cósmicos.

3. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO Eidelman González L.

12

. 3 RADIACION DEL CUERPO NEGRO La visión del mundo se percibe gracias a la interacción de la radiación con la materia. Todo cuerpo a temperatura elevada emite luz que puede ser observada mediante la visión. La luz también puede ser absorbida o reflejada al incidir sobre los objetos, pudiendo esta última llegar a los ojos y ser percibida por la retina; de esta forma podemos ver los objetos gracias a la luz reflejada. Se puede sintetizar que, la radiación puede emitida, reflejada o absorbida por los cuerpos. Así, los cuerpos claros o brillantes reflejan mas la luz que los oscuros u opacos. Todos los objetos emiten radiación electromagnética, llamada también radiación térmica, como consecuencia de su temperatura. Para que un cuerpo mantenga constante su temperatura, se requiere que la rapidez de emisión y de absorción sea igual. Los CUERPOS NEGROS son cuerpos que pueden absorber toda la radiación que incide sobre ellos. Es un absorbedor perfecto. Los cuerpos negros tienen la propiedad de emitir la misma radiación térmica cuando se encuentran a la misma temperatura, independientemente del material del que están formados. Un modelo teórico de cuerpo negro puede ser una cavidad con un pequeño orificio por donde


13

puede entrar la radiación pero difícilmente salir, por tanto se levaría su temperatura. Pero en equilibrio térmico la luz absorbida debe ser igual a la radiación emitida. 3.1 RESULTADOS EMPÍRICOS Se diseña un experimento para medir la de radiación electromagnética que emite un cuerpo negro a diferentes temperaturas absolutas y posteriormente graficar las funciones de distribución ρ(ν ) de la radiación, contra la frecuencia ν , donde ρ(ν ) es la densidad de energía por unidad de superficie, se logran gráficas como las observadas en la Fig. Nº 3.1. De la gráfica se puede destacar tres hechos relevantes. Primero, el área bajo la curva aumenta con la temperatura. Segundo, a medida que aumenta la temperatura, aumenta el máximo de la densidad de energía con la temperatura y por último, los máximos de energía se presentan a mayores frecuencias. ρ(ν ) T3 T2 T1

1 m xν

2 mxν

3mxν ν

Figura Nº 3.1 Funciones de distribución del cuerpo negro para las

temperaturas T1<T2<T33 A continuación se presentan las explicaciones a dichos resultados experimentales. 3.1.1 LEY DE STEFAN – BOLTZMANN En 1878 J. Stefan y L. E. Boltzmann a partir de las curvas experimentales del espectro de radiación del cuerpo negro, establecieron la siguiente fórmula para calcular teóricamente la energía total radiada por un cuerpo negro es


14

4( )R d Tρ ν ν σ= =∫

Equation Chapter (Next) Section 1Equation Chapter (Next) Section 3 (3.1) donde R se denomina la radiancia, que es la energía total emitida por el cuerpo negro por unidad de área, por unidad de tiempo y σ es la constante de Stefan-Boltzmann, cuyo valor es

8

2 45.67 10

Wtx

m Kσ −= (3.2)

3.1.2 LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN Al observar la figura N° 3.1 a medida que aumenta la temperatura absoluta T, el máximo de la de la densidad de energía ρ(ν ) se desplaza hacia frecuencias mas grandes. Wien encuentra que la frecuencia a la cual se presenta la máxima radiación maxν es proporcional a la temperatura absoluta

maxν

3mxν

2 mxν

1 m x

ν T1 T2 T3 T Figura Nº 3.2 Ley de desplazamiento de Wien luego

maxν = (cte. ) x T y por tanto, c /

maxλ = cte x T, entonces

max constanteTλ = 3

max 0.2898 10 . ox m KTλ −= (3.3)


15

donde la constante 0.2898x10-3 m°K se conoce como constante de Wien. 3.2 MODELOS TEÓRICOS 3.2.1 MODELO TEÓRICO DE WIEN En el año 1893 W. Wien encuentra que las funciones de distribución ρ(ν ) de la radiación del cuerpo negro, se le parecen a las funciones de distribución de velocidades de Maxwell para los gases ideales, que tienen la forma N(v²) ≈ v²Exp[-E/KT], lo cual lo lleva a asumir que los cuerpos están constituidos por partículas cargadas que se mueven como las moléculas de un gas y propone para calcular la densidad de energía radiada por el cuerpo negro, en función de la frecuencia a una temperatura dada, la fórmula

3

( )Teβν

ανρ ν = (3.4)

donde α y β se conocen como primera y segunda constantes de la radiación, que se pueden obtener a partir del ajuste con los resultados empíricos, esto es, al hacer coincidir la curva teórica con la experimental. Con la ecuación(3.4) se puede reproducir la ecuación(3.1) de Stefan – Boltzmann. Tomando la definición de ( )ρ ν dada por Wien, se tiene

3

TedR

βν

ανν= ∫ (3.5)

Haciendo ( β ν /T) = u, por tanto ν = uT/ β , además dν = T du/ β , al reemplazar en la ecuación(3.5), se tiene

3

4 4

4

3( / )u

Wu

T u edu T T

uTe

R duβ

ασ

β

α β−

== =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ (3.6)


16

Así, la ecuación(3.5), toma la forma de la ecuación(3.1), de Stefan – Boltzmann, pero al cotejarla con el experimento se tiene que σteórica < σempírica (o sea σW < σ)y la ecuación(3.4) solo es válida para valores de la frecuencia grandes ν > ν mx , como se observa en figura Nº 3.3, donde se puede observar que la curva teórica coincide con la experimental para frecuencias grandes; pero para frecuencias pequeñas la curva teórica se aleja de la experimental ρ(ν ) mx

ν ν

Figura Nº 3.3 En la gráfica se comparan las funciones de distribución experimental (___) y la teórica encontrada por Wien(----).

3.2.2 MODELO TEÓRICO DE RAYLEIGH – JEANS Para 1899 J. W. Rayleigh y J. H. Jeans trataron de deducir las leyes que rigen el comportamiento de la radiación del cuerpo negro, utilizando las leyes de la física clásica y considerando los cuerpos como compuestos de partículas cargadas que vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio, como osciladores armónicos. Además, combinaron las leyes de la termodinámica, con el número de modos de vibración o frecuencias presentes en la radiación del cuerpo negro en equilibrio térmico a una temperatura dada. Consideraron que los osciladores tenían la posibilidad de vibrar en un número infinito de modos. Encontraron que le número de modos por unidad de volumen es

2

3

8( )N

cπν

ν = (3.7)

Además, para la época era aceptado plenamente el principio de equipartición de la energía 2( )KTε = ½ (3.8)


17

donde K = 1.38x10-23J/°K es la constante de Boltzmann. Luego la energía total radiada, será igual al número de modos multiplicado por la energía de cada modo. Se tiene

2

3x

8( ) ( ) ( )N KT

cπν

ρ ν ν ε= = (3.9)

La expresión anterior solo ajusta para valores pequeños de ν . Para valores cercanos al ultravioleta la ecuación(3.9) diverge, a causa de la dependencia del cuadrado de la frecuencia que a valores grandes de frecuencia da valores también grandes de energía, en contradicción con los resultados experimentales que muestran que a una temperatura dada ρ(ν ) debe tender a cero cuando ν es muy grande. Debido a la rigurosidad y la validez de los principios usados en la deducción, dicha situación se conoce con "catástrofe del ultravioleta". La anterior situación se puede ver en la figura N° 3.4 ρ(ν ) mxν ν

Figura N° 3.4 En la gráfica se comparan las funciones de distribución experimental (___) y la teórica dada por Rayleigh – Jeans (----). Se observa la divergencia de la curva teórica llamada catástrofe del ultravioleta

3.2.3 MODELO TEÓRICO DE PLANCK. En el año 1990 Max Palnck estudiando las curvas teóricas de Wien y de Rayleigh-Jeans para la radiación del cuerpo negro, observó intuitivamente, que la ecuación (3.4) de Wien se podría ajustar a la curva experimental, con tan solo agregar al denominador el término "(-1)" y además realizar algunos ajustes a las constantes. Pero, de otro lado para Planck, también era inobjetable la deducción de Rayleigh-Jeans para el número de modos de vibración N(ν ) de la ecuación(3.7).


18

Planck retoma el modelo de Rayleigh-Jeans, pero propone cambiar en la deducción dos aspectos fundamentales, implícitos en la deducción. Primero, el número de modos de vibración no puede ser infinito. Segundo, el principio de equipartición de al energía no se cumple a nivel de cada modo, sino en el promedio. Por las anteriores consideraciones Max Planck, presentó los siguientes postulados: Primer Postulado: La energía de un oscilador individual de orden n, es un

número entero de veces la energía mínima E = nεo donde n = 0,1,2,3,4,..... (3.10) Segundo Postulado: Para osciladores de diferentes frecuencias, la energía

mínima debe ser proporcional a la frecuencia εo = h v (3.11) Donde h = 6.6253x10-34J.S. es la denominada constante de Planck. Se puede reproducir la ecuación experimental(3.1) de Stefan-Boltzmann, a partir de las consideraciones de Planck, así: De acuerdo a la estadística de Maxwell el número de osciladores con energía nεo es o -n /e KT

n oN N ε= (3.12) y la energía total de los osciladores

0( )( )

n nE N nε= , por tanto

o -n /n e KTn o oE N εε= (3.13)

Estadísticamente la energía media de un oscilador no será KT sino

o

o

n o-n /

-n /

E N n e en o

KTo

KTN N

ε

ε

εε = =∑ ∑

∑ ∑ (3.14)


19

o

o

-n /

-n /

ee

o

o

KTo

KT

NN

n ε

ε

εε = ∑

∑ (3.15)

Ahora, se hace el cambio de variable θ = εo/KT y después x = e-θ, por tanto x<1, se tiene para la ecuación(3.15)6 lo siguiente:

2/(1 )1/(1 ) (1 )

no

o on

nx x x xx x x

εε ε ε−= = =

− −∑∑

(3.16)

Ahora bien, regresando a las variables iniciales, se tiene

/

/ /1 1

o

o o

KTo

o KT KT

ee e

ε

ε ε

εε ε−

−= =− −

(3.17)

A partir de lo anterior y acepada la validez de N(ν ), de la ecuación(3.7), para la densidad de energía ( )ρ ν se obtiene la expresión

2 3/( ) ( )( ) [8 / ][ ]

1o

oKTN c

eεερ ν ν ε πν= =

− (3.18)

Usando el segundo postulado, se llega a la función de distribución de Planck:

3

3 /

8( )1h KT

hc e ν

π νρ ν =⎡ ⎤−⎣ ⎦

(3.19)

ρ(ν ) mxν ν

Figura N° 3.5 En la gráfica se comparan la curva de las funciones de distribución experimental (____) con la curva teórica (----)

6 Ver: Apostol Tom, Pag. 472-474.


20

dada por Max Planck. Se observa el ajuste de la curva teórica con la experimental.

Para examinar la apreciación intuitiva de Max Planck, se compara la última expresión(3.19) con la ecuación (3.4)de Wien y se tiene que hν /KT = ßν /T, por tanto la constante de Planck es: h = ßK = 6.6253x10-34J.S. En la figura N° 3.5 se observa la coincidencia entre los resultados experimentales y el modelo teórico propuesto por Max Planck. En conclusión la radiación electromagnética es discreta, en forma de paquetes, cada uno con energía hν , si la radiación tiene una frecuencia ν . Sin embargo, para la época de Planck era tal la influencia de la mecánica newtoniana, que para evadir controversias, insinuó que la anterior afirmación debería contener algún error conceptual y era solo válida en la vecindad del radiador, pues la energía debería mantener su carácter continuo. 3.3 PROBLEMAS 1. Hallar el valor de β a partir de la ecuación (3.4) Hint: Derivar e igualar a cero (Respuesta: β =3T/vmax). 2. a. Hallar el valor de β si σw = σ. (Respuesta: 2.898x10-11 S°K) b. Hallar el valor de vmax para 2500°K 3. Sí 1.4x103 W/m² es la radiación que llega a la tierra proveniente del Sol. Cuál es la temperatura del sol, sí: a. ¿Las ondas son planas? b. ¿Las ondas son esféricas? c. ¿Cuál es la energía emitida por un centímetro cuadrado del sol? 4. 6800 °A es la longitud de onda a la que irradia más energía un cuerpo negro. a. ¿Cuál será su temperatura? b. Si se duplica la temperatura. c. ¿Cuál será la frecuencia a la que emitirá más energía? 5. Demuestre que la ley de Rayleigh-Jeans (3.9) no es consistente con la ley de desplazamiento de Wien (3.3) 6. Demuestre la ley de Stefan-Boltzmann (3.1) a partir del resultado de Planck (3.19)


21

7. Derive la ley de desplazamiento de Wien (3.3) a partir del resultado de Planck (3.19)

4. PROPIEDADES CORPUSCULARES DE LA RADIACIÓN Eidelman González L.

22

4 PROPIEDADES CORPUSCULARES DE LA RADIACIÓN 4.1 EFECTO FOTOELECTRICO El efecto fotoeléctrico, fue descubierto por G. L. Hertz7 en el año 1887, experimentando descargas, con esferas cargadas estáticamente, observó que al iluminarlas con luz ultravioleta se producía más fácilmente la descarga en forma de chispa; no era necesario acercar tanto las esferas para producir la descarga eléctrica. Posteriormente demostró que la luz facilitaba la descarga de las esferas, dado que la superficie iluminada producía electrones. Hertz encargó a su alumno Philipp Lenard el estudio de las características de la descarga. Durante cerca de 20 años se recogieron los resultados producto de cuidadosos experimentos, encontrando que la descarga se debía al desprendimiento de electrones producidos por la incidencia de la luz sobre los metales, fenómeno que al ser observado en tubos altamente evacuados se hace mas evidente.

7 Gustav Ludwing Hertz, físico alemán nacido en Hamburgo, doctorado en la Universidad de Berlín. Recibió el premio Nóbel de Física en 1925.


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Luz A V

Figura Nº 4.1 Esquema del equipo utilizado para realizar el efecto fotoeléctrico.

En la figura Nº 4.1 se muestra el esquema del equipo utilizado para realizar la práctica. Con el experimento se pueden examinar las siguientes dependencias:

1. Variación de la corriente fotoeléctrica I(Am) en términos de la intensidad de la radiación in para distintos materiales A, B, C, etc. Los resultados se recogen cualitativamente en la figura Nº 4.2 (a)

I(Am) I(Am) A B A C B C in ν (a) (b) Figura N° 4.2 (a) Variación de la corriente I(Am) vs la intensidad i(W/m²) de la

radiación incidente, para materiales A, B y C. (b) Variación de la corriente I(Am) vs la frecuencia ν de la

radiación incidente para los materiales A, B y C.


24

2. Variación de la corriente fotoeléctrica I(Am) en función de la frecuencia ν de la radiación incidente, para distintos materiales. Ver figura Nº 4.2 (b) I(Am) I(Am) i3 i2 i1 3ν 2ν

1ν i3 > i2 >i1 V v o3 v o2 v o1 V (a) (b)

Figura N° 4.3 (a) Variación de la corriente I(Am) vs. el voltaje V(vol), para diferentes intensidades in y frecuencia ν constante. (b) Variación de la corriente I(Am) vs. el voltaje V(vol), para diferentes frecuencias nν e intensidad i constante. Se aprecian los voltajes v0n para los cuales se anula la foto corriente.

3. Variación de I(Am) respecto al voltaje que acelera los electrones despedidos, para diferentes valores de intensidad in, lo mismo que el voltaje de frenado hasta que se anula la corriente fotoeléctrica; se mantiene constante la frecuencia y el tipo de material. Ver figura Nº 4.3 (a). 4. Variación de I(Am) respecto al voltaje que acelera y frena los electrones, emitidos por luz de diferentes frecuencias, manteniendo constante la intensidad de iluminación y el tipo de material. Ver figura Nº 4.3 (b). Clásicamente se trataba de interpretar los resultados experimentales, a partir de la interacción de la radiación electromagnética con los electrones del material. Esta los hace oscilar alrededor de sus posiciones de equilibrio con amplitud A proporcional al campo E y por tanto a la intensidad (A→E→√i). Como la energía cinética de la oscilación es proporcional al cuadrado de la amplitud (Ek→A²→i), entonces a mayor intensidad mayor energía de salida de los electrones. Pero esto no! sucede. A mayor intensidad (ver figura Nº 4.2) mayor número de electrones (más corriente) pero no más energéticos.


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En 1905 Albert Einstein8 presenta una explicación, que es un tanto ingeniosa. Según él, se debe tener encuentra lo siguiente: 1. El cuanto de energía mantiene plenamente su identidad y puede ser tratado como una "partícula relativista" con masa en reposo cero, la cual se desplaza a la velocidad de la luz. A esta cuasi-partícula se la daría posteriormente el nombre de fotón. 2. Al llegar los fotones a la placa estos interactúan individualmente con los electrones del metal. 3. La interacción es de tipo elástico conservativo, por ello es que se cumple la conservación de la energía. hν = φ + Ek Equation Chapter (Next) Section 4(4.1) Vo 3ν 2ν

1ν ν v o3 v o2 v o1

Figura Nº 4.4 Relación entre el voltaje de frenado V0n y la frecuencia nν , para diferentes materiales.

Se puede deducir el principio de conservación de la energía, al graficar los voltajes de frenado V0, para los cuales I(Am) toma el valor cero, contra las frecuencias nν , para diferentes materiales, como en la figura Nº 4.4; allí todas las líneas tienen la misma pendiente. La dependencia es V0 = kν - b (4.2) Multiplicando por la carga del electrón e, se tiene ekν = eb + eV0 (4.3)

8 Albert Einstein (1879-1955). Físico alemán nacido en Ulm. Premio Nóbel de física en 1921.


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Como V0 es la energía potencial de frenado de los electrones de más energía cinética Ek max = eV0, se puede escribir hν = φo + Ek max (4.4) Aquí se hizo h = ek y eb = φo. La expresión (4.4) comprobó experimental mente que la pendiente es h/e. La cantidad φo se conoce como "Función Trabajo" y es una característica del material, cuyo significado es, la energía necesaria para arrancar un electrón de la placa. 4.2 EFECTO COMPTON A pesar del éxito de la explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein, la consideración corpuscular de la radiación no es inicialmente aceptada a cabalidad; entre ellos estaba Max Planck. Por el año 1923 se complico aún más el fenómeno de la interacción de la radiación con la materia, pues Arthur H. Compton9 encontró que ondas electromagnéticas - Rayos X - al ser dispersados por electrones, no obedecían las leyes de la dispersión de ondas mecánicas. El experimento consiste en lanzar Rayos X monocromáticos de longitud de onda λo contra un blanco de grafito. Allí, la radiación es dispersada a diferentes ángulos, con respecto a la dirección incidente. En la figura Nº 4.5 se esquematiza la interacción de la radiación, con un electrón. Al medir la radiación dispersada, esta, tiene una longitud de onda λ mayor y un ángulo de dispersión φ. λ

oν oλ ν

φ θ P = mv Figura Nº 4.5 Esquema experimental del Efecto Compton.

9 Artur Holly Compton (1892-1962). Nació en Wooster, Ohio, USA. Recibió en 1927 el premio Nóbel de física por el descubrimiento del efecto Compton.


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I I I φ=45° φ =90° φ=135°

oλ λ oλ λ

oλ λ

λ∆ λ λ∆ λ λ∆ λ

Figura Nº 4.6 Corrimiento Compton para diferentes ángulos de dispersión. λ∆ Cambia con el ángulo de dispersión.

A el cambio que experimenta la longitud de onda λ∆ = (λ -

oλ ) se le llama corrimiento Compton. Los resultados se muestran en la figura Nº 4.6. A medida que el ángulo de dispersión aumenta, el corrimiento Compton λ∆ crece hasta un valor máximo y luego empieza a disminuir, es decir, la longitud de onda λ dispersada depende del ángulo de dispersión. Posteriormente se comprobó que el fenómeno no depende del tipo de material. El hecho que, la longitud de onda dispersada sea mayor que la incidente no es explicable por la física clásica. Se supondría que al chocar la radiación con la materia, los electrones oscilarían con una frecuencia igual a la frecuencia de la onda incidente. Las partículas cargadas oscilando emiten radiación electromagnética de igual frecuencia de su oscilación, el haz dispersado tendría una longitud de onda (o frecuencia) igual que el incidente. Compton al explicar el experimento como choques entre bolas de billar, entre el electrón y el fotón, no hizo otra cosa que confirmar el carácter corpuscular del fotón, fenómeno que, a pesar del éxito de la teoría corpuscular para explicar el efecto fotoeléctrico, aún se dudaba de su veracidad, entre ellos se encontraba su iniciador Max Planck. Utilizando la nueva física para determinar una expresión teórica que recoja los resultados experimentales, Compton supuso que la colisión ocurría entre un fotón y un solo electrón libre y en reposo. Con muchísima aproximación la suposición es válida, dado que la energía de un fotón de rayos X es bastante grande con respecto a la energía que mantiene unido al electrón al material. El cambio de frecuencia de la radiación se asocia a la pérdida de energía cinética del fotón durante la interacción; energía que es ganada por el electrón, el cual es dispersado.


28

A continuación procedemos a realizar la deducción con base en las anteriores suposiciones y haciendo uso de la figura Nº 4.5. Para el fotón inicial su energía es

oo

hchνλ

= (4.5)

La cantidad de movimiento lineal inicial del fotón, es

oo

hpcν

= (4.6)

La conservación de la energía durante la colisión, permite escribir o kh h Eν ν= + (4.7) Utilizando la expresión relativista para las partículas Ek = (mc² - moc²) en la conservación de energía (ecuación (4.7) 2 2

o oh m c h mcν ν+ = + (4.8) La cantidad de movimiento lineal o momentum debe conservarse en todo momento. En la dirección x se tiene

oh h cos mvcosc c

θν ν ϕ= + (4.9)

En la dirección y se tiene

0 h sen mv senc

θν ϕ= + (4.10)

Teniendo en cuenta que la masa relativista del electrón es

2

21

ommvc

=

−

(4.11)

Finalmente se obtiene


29

(1 )oo

h cosm c

λ λ λ ϕ∆ = − = − (4.12)

La ecuación (4.12) llamada ecuación de Compton, la cual permite calcular teóricamente el corrimiento Compton λ∆ , muestra la dependencia del ángulo ϕ y reproduce los máximos de λ∆ de la figura Nº 4.6. En la ecuación(4.12), la cantidad que acompaña al paréntesis se conoce como (λ ) lambda Compton y es

0.0242 oc

o

Ah

m cλ = = (4.13)

El experimento de Compton reafirmó, que la interacción entre la radiación y la materia se efectúa individualmente entre fotones y partículas, y que los fotones poseen energía y momentum (cantidad de movimiento lineal). 4.3 RAYOS X En 1895 W. Rontgen10, estudiando descargas de gases en tubos de rayos catódicos, encontró que una muestra de sal de bario sobre la mesa de trabajo, se iluminaba; tal resplandor, continuaba aún tapando el tubo con cartulina negra. Observó que no se debía a la presencia de partículas cargadas, ya que no se desviaban bajo campos eléctricos ni magnéticos. Los rayos provenían del cátodo o del blanco donde chocaran los rayos catódicos. A estos rayos inicialmente por su naturaleza desconocida, se les llamó X. Un rayos X, es pues una radiación altamente penetrante, que se produce cuando electrones rápidos inciden contra la materia. Se caracterizan por que se propagan en línea recta y no son desviados por campos eléctricos ni magnéticos; hacen relucir sustancias fosforescentes y pueden impresionar placas fotográficas. Cuanto más rápido es el electrón del impacto mas penetrante es el rayo y a mayor número de electrones, mayor es la intensidad de la radiación. ´

10 Wilhelm Roentgen. Físico Alemán descubridor de los rayos X.


30

Con un dispositivo como el de la figura. Nº 4.7 se pueden producir Rayos X, por choque de electrones contra una placa metálica. Los electrones producidos en el cátodo son acelerados a altas velocidades por la diferencia de potencial entre cátodo y ánodo. Posteriormente los electrones son detenidos o desacelerados al chocar con el blanco metálico produciendo una radiación llamada radiación bremsstrahlung (por frenado de electrones) que al ser analizada, presenta una serie continua de radiación, conjuntamente con unos picos, que constituyen el espectro característico del material del que está elaborado el blanco (ver figura Nº 4.8). La pérdida de energía cinética soportada por el electrón se convierte en energía del fotón T2 - T1 = hν. No toda la energía del electrón se convierte en fotones, si no que este choca varias veces, transformándose la pérdida de energía, en calor. ∼ R-X

V

Figura Nº 4.7 Dispositivo para la producción de Rayos X. Clásicamente se explica la presencia del espectro continuo, por la desaceleración o frenado que sufren los electrones al colisionar con la placa. No todos los electrones llegan a la placa con la misma velocidad, por lo que, al chocar contra el blanco se producen diferentes grados de desaceleración. Por otro lado, el frenado no es instantáneo, sino que hay un proceso de penetración en la placa, produciéndose energía electromagnética, proporcional a la pérdida de energía cinética. Según la figura N° 4.8 los rayos X son diferentes para diferentes voltajes de aceleración, pero ninguna radiación tiene longitud de onda menor que la de una longitud de onda mínima (para cada voltaje). Esto es, para cualquier caso las longitudes de onda de estas radiaciones variarán en forma continua, pero siempre para valores de longitudes de onda superiores a una mínima λ > λmin (también ν < maxν ).


31

I 60 kv 50kv 30kv 20kv 4λ 3λ 2λ 1λ λ Figura Nº 4.8 Espectro de Rayos X para diferentes voltajes entre cátodo y ánodo. El espectro continuo presenta un punto de corte, esto es para aquellos valores donde la intensidad de la radiación se anula, en λmin (también maxν ), que varía linealmente con el voltaje aplicado, como se ve en la figura Nº 4.9.

maxν

4mxν

3mxν

2 mxν

1 m x

ν V(vol.) 20kV 30kV 50kV 60kV

Figura Nº 4.9 Relación directa entre la frecuencia máxima maxν de emisión de Rayos X y el voltaje aplicado V.

La presencia de estas frecuencias de corte solo es explicable sobre la base de la hipótesis de Planck. La energía con que el electrón llega a la placa será eV = ½ mv² (4.14)


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El caso óptimo será aquel en el cual el electrón es frenado de "inmediato" y por tanto su energía será radiada con frecuencia maxν maxh eVν = (4.15)

maxmin

c eVh

νλ

= = (4.16)

minhceV

λ = (4.17)

min 12.43oA

kVλ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.18)

Algunos valores típicos de λmin están entre 0.4 A° y 1 A°. 4.4 DIFRACCIÓN DE RAYOS X La naturaleza desconocida de la radiación proveniente del cátodo, cuando los electrones se desaceleran al chocar con un blanco, hizo que se le llamaran rayos X. Roentgen realizó experimentos de difracción para verificar el carácter ondulatorio con poco éxito, por la longitud de onda tan pequeña que posee dicha radiación, del orden ~10-10m. Von Laue en 1914 recibió el premio Nóbel por establecer el carácter ondulatorio de los rayos X, al sugerir que, el arreglo regular de átomos de una red cristalina de un sólido podría servir de rejilla de difracción, dado que las distancias interatómicas (~10-9m y ~10-10m) de la red son del tamaño de la longitud de onda de los rayos X. W. H. Bragg y su hijo Lawrence Bragg, recibieron en 1915 el premio Nóbel por perfeccionar los conceptos de Von Laue sobre la difracción de rayos X por cristales. La idea es que radiación X con la red tridimensional, el haz difractado tendrá interferencia constructiva, solo cuando la longitud de onda λ encuentre planos de átomos separados una distancia d y a un ángulo θ.


33

(1) (1) (2) (2) ( θ θ )

° ° ° ° ° ° ° d θ θ ° ° ° ° ° ° ° 2d senθ ° ° ° ° ° ° °

Figura Nº 4.10 Reflexiones de Bragg por varios planos de un cristal. Usando este concepto, como se ve en la figura N° 4.10, donde se muestra un haz que incide con un ángulo θ respecto a un plano con átomos de un cristal. El rayo (1) y el rayo (2) son reflejados en dos planos de átomos consecutivos separados una distancia d y el rayo (2) recorre un camino diferente que el (1), con una diferencia de camino igual a [2d senθ] y al analizar los patrones de difracción de los rayos X, para que se forme interferencia constructiva, llegó a la llamada ley de Bragg:

• El ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexión. • 2d sen nθ λ= , donde n es el orden de la reflexión

4.5 PROBLEMAS 1. Cuál es la longitud de onda umbral para un metal cuya función trabajo es a. 2eV b. 2.8 eV c. ¿En qué región del espectro caen? 2. Rayos X de 0.71°A y 2°A extraen fotoelectrones de una hoja de oro. Los electrones describen órbitas circulares en una región de inducción magnética B. Sí rB = 1.88x10-4T m. Hallar: a. ¿La energía cinética máxima de los fotoelectrones? b. ¿La función trabajo para el oro? 3. Deducir la ecuación del efecto Compton. Ecuación (4.12)


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4. Graficar ∆λ vs φ para varios valores de λ en el rango de los Rayos X. 5. Demostrar que la energía cinética de retroceso del electrón, está dada por Ek = hvo δ(1 - cosφ)/[1 + δ(1 - cosφ)] donde δ = hvo/moc² 6. Mostrar que Ek = hvo(2δ cos²φ)/[(1 + δ)² - δ² cos²φ] es la energía cinética del electrón que se dispersa con un ángulo θ respecto al fotón incidente, donde δ = hvo/mooc² 14. Mostrar que la relación entre los ángulos φ del fotón difundido y θ del electrón dispersado es cotanθ = (1+δ) tan½φ donde δ = hvo/moc² 15. Demostrar que la fracción de energías del fotón E y la del electrón Ek es: Ek/E = ∆λ/(λ - ∆λ)

5. MODELOS ATÓMICOS Eidelman González L.

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5 MODELOS ATOMICOS Los griegos introdujeron el concepto de átomo. Demócrito de Ab-dera (300 A.C.) postuló la cuantización de la materia en partes últimas e indivisibles: los átomos. Sobre la evidencia de la constitución atómica Avogadro encuentra que una mol de cualquier sustancia contiene siempre el mismo número de constituyentes primarios No = 6.023x1023 "átomos". Boyle en el siglo XVIII introduce la noción de elemento químico, luego, Berzelius con la ley de las proporciones definidas dio una evidencia de la existencia de átomos y Dalton propone en 1803 la teoría atómica con la igualdad de propiedades para átomos del mismo elemento. En 1833 Faraday asocia la carga eléctrica con los átomos. La clasificación de distintos átomos fue realizada por Mendeleev en 1869. Goldstein en 1886 estableció la carga de los protones y postuló que los átomos son eléctricamente neutros. En 1897 J. J. Thomson calcula para el electrón la relación carga masa (e/m). Hacia 1909 Millikan comprueba la existencia de electrones con carga q = 1.6x10-19C y establece la ley de la cuantización de la carga.


36

5.1 ESPECTROS ATÓMICOS Un espectro es la representación de la distribución de la radiación electromagnética emitida o absorbida por una muestra, en función de la longitud de onda, la energía o la frecuencia. Los espectros, están determinados por las características que posee la muestra (átomos o moléculas), para nuestro caso los átomos. Por lo tanto uno de los métodos mas poderosos de identificación de elementos y compuestos es la espectroscopia. La aplicación más común es el análisis (cualitativo o cuantitativo) de muestras. Cuando una sustancia es perturbada, por ejemplo incide una radiación electromagnética, parte de la radiación es selectivamente absorbida, dependiendo de su estructura atómica o molecular, la energía del sistema se incrementa y luego de un tiempo que cese la perturbación, el sistema regresa a su condición inicial, emitiendo el exceso de energía, en forma de una radiación característica de cada muestra. El primer espectro observado por el hombre, fue el arco iris; fenómeno que se repetía al hacer pasar rayos de luz a través de cristales. De esta forma, estamos observando la parte visible el espectro solar. En 1802 W. Wollaston, construyó el primer espectrógrafo y al mirar el espectro del sol, observó unas rayas oscuras, que las atribuyó a imperfecciones del equipo. Posteriormente J. Fraunhofer llegó a decir que tales líneas hacían parte de la naturaleza del solar, las ubicó y les dio nombres a cada una de las ocho líneas llamadas de Fraunhofer: A, B, C, D, …, H. Estudiando el espectro que producía una llama de alcohol con sal común, halló que allí se encontraba presente la línea amarilla D, del sol, pero no logró ninguna relación. Con esta misma técnica se observan espectros de muchos elementos y se advierte que cada uno posee una identidad diferente: Cada elemento tiene su propio espectro. Así, siempre que una sustancia tenía sodio aparecía la línea amarilla D. Observaciones que hiciera Kirchhoff de estos fenómenos los sintetizó en dos leyes: Primera, una sustancia que emite radiación de una longitud de onda, debe a la misma temperatura absorber la misma longitud de onda. Segunda, todo elemento tiene su propio espectro que permite identificarlo. Lo anterior permitió hallar nuevos elementos e identificar la composición de cualquier sustancia al compar los espectros, con patrones conocidos; así pues, la línea D amarilla, indica la presencia de sodio en el sol. La técnica de la espectroscopia se utilizó un siglo antes de conocer las características de los átomos y es la evidencia experimental más cercana para cotejar los modelos teóricos del átomo. Como se verá mas adelante, Balmer y Rydberg encontraron fórmulas experimentales, para el espectro del átomo de hidrógeno, uno de los elementos mas estudiados.


37

5.2 MODELO ATÓMICO DE THOMSON Primero, en 1897 J. J. Thomson calculó la relación (e/m) carga masa para el electrón, después en 1898, propuso un modelo físico para el átomo, suponiéndolo como un "pudín con pasas" (para nosotros un ponqué con uvas pasas), constituido de una masa positiva regularmente distribuida, por lo que podría ser de forma esférica, sobre la cual a manera de "pasas" se hallan insertos los electrones con carga negativa y simétricamente distribuidos de tal forma que el átomo sería eléctricamente neutro y con un diámetro del orden de 10-8 m. El modelo permite justifica la existencia de espectros atómicos, aunque no el carácter discreto ni la presencia de una frecuencia límite. El modelo explica algunos fenómenos eléctricos como la conductividad y la polarización dieléctrica. También, la periodicidad de las propiedades químicas de los elementos. 5.3 MODELO NUCLEAR DE RUTHERFORD11 El modelo nuclear es el resultado de los experimentos de dispersión de partículas alfa α , realizados por Rutherford y sus colaboradores Hans Geiger y Ernest Marsden, al hacer colisiones de estas con los átomos de una lámina de oro (Z=79). R

E E o R r o R r Modelo de Thomson Modelo de Rutherford

Figura Nº 5.1 Variación del campo eléctrico con la distancia según

los modelos atómicos de Thomson y Rutherford

11 Ernest Rutherford (1871-1937). Nació en Nueva Zelanda, director del laboratorio Cavendish. Premio Nóbel de química en 1908.


38

Una partícula α consiste en dos protones y dos neutrones. Hoy día, puede decirse que es un átomo de helio doblemente ionizado. Para ese entonces aún cuando no se conocía la existencia de los neutrones, para las partículas alfa α si se sabía su carga (+2e) y su masa. Rutherford comparó los campos eléctricos asociados a los modelos de Thomson y el nuclear (figura N° 5.1). En el modelo de Thomson se tiene una distribución esférica positiva de masa, el campo eléctrico en el centro es cero y va aumentando linealmente hasta la superficie de la esfera (r=R) donde adquiere el máximo valor y a partir de allí disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia (∼1/r2). En el modelo nuclear de Rutherford el campo eléctrico disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia (∼1/r2), para r=R tienen el mismo valor que en el modelo de Thomson, pero para distancias r < R el campo eléctrico es mayor. Al relacionar la forma del campo eléctrico con el proceso de colisión de partículas alfa y el ángulo de dispersión, para el caso del modelo de Thomson, partículas alfa α con suficiente energía atravesarían al átomo y solo sufrirían pequeñas deflexiones. En el modelo de Rutherford la carga positiva está concentrada en un volumen más pequeño y por lo tanto el ángulo de dispersión será mucho mayor que para el modelo de Thomson. Esta última situación mostró la coincidencia con los resultados experimentales. Rutherford estableció una técnica para la dispersión de partículas que hoy en día aún es válida, permitió determinar tamaños de núcleos atómicos y dio un gran paso al formular el modelo nuclear del átomo. Pantalla Lámina de oro

α Colimadores Figura Nº 5.2 Arreglo experimental para la dispersión de partículas

α por una lámina de oro.


39

En la figura Nº 5.2 se observa el arreglo experimental utilizado por Rutherford y sus colaboradores para dispersar las partículas alfa α emitidas por una fuente radioactiva de polonio Po-214 con energías de 7.68 MeV. La partículas son colimadas por medio de unas láminas de plomo con u orificio, luego chocan contra la lámina de oro, se dirigen a una pantalla para produciendo centelleo y de esta manera observar su dispersión a varios ángulos. En la figura Nº 5.3 se puede ver una partícula α de masa M, con parámetro de impacto b, acercándose al núcleo N y posteriormente se dispersa con un ángulo θ. Todo el proceso anterior se realiza describiendo una trayectoria hiperbólica. α α θ b r

r rû φ θ

N

Figura Nº 5.3 Trayectoria seguida por una partícula α , dispersada

por un núcleo atómico N. Utilizando coordenadas polares, la velocidad es

r rv v û v û û ûrdr drdt dtϕ ϕ ϕ

ϕ= + = +

r

Equation Chapter (Next) Section 5(5.1) y la aceleración es

22 2

r2 2û û

d r d dr d dr

dt dt dt dt dta ϕ

ϕ ϕ ϕ= − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

r (5.2)

Como la fuerza entre la partícula α y el núcleo N es central, se conserva el

momento angular Lur


40

2zxv û

dL M r Mr

dtϕ

= =r r r

(5.3)

Cuando la partícula α está muy lejos del núcleo N, en el infinito L = Mvob (5.4) La magnitud de la fuerza eléctrica entre la partícula α y el núcleo N, es de repulsión

2

2 2 2

(2 )( ) 24 4 4

N

o o o

q q e ze zeF

r r rα

πε πε πε= = = (5.5)

Ahora bien, la segunda ley de Newton en coordenadas polares

22

r r2û û

d r dF Ma M r

dt dtϕ

= = −⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (5.6)

Haciendo el cambio de variable u=1/r, con r=1/u y (du/dr)=-1/u². Reemplazando en la magnitud de la ecuación (5.3) y despejando

2d Ludt Mϕ= (5.7)

También

dr dr d dr du ddt d dt du d dt

ϕ ϕ

ϕ ϕ= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.8)

2 2

2

1dr du L u L dudt u d M M dϕ ϕ

= − = −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.9)

derivando la ecuación(5.8), se tiene

2

2

d r d dr d dr ddt dt dt d dt dt

ϕ

ϕ= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Utilizando la ecuación (5.9), se obtiene


41

2 2 2

2 2

d r L d u Ludt M d Mϕ

= −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2 2

2 2 2

d r L u d udt M dϕ

= −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.10)

Uniendo las ecuaciones (5.5), (5.6) y teniendo en cuenta las ecuaciones (5.7) y (5.10) se logra tener

22 2

2

22 o

ze d r dr r

M dt dtϕ

πε= −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

22 2 2 2 2

2 2 2

1 12 o

ze L u d u u LM u M d u Mπε ϕ

−= −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2 2 2

2 2 22 o

ze L d u L uM M d Mπε ϕ

= − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

2 22 o

ze L d uu

M M dπε ϕ= − +

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(5.11)

Reorganizando términos en (5.11) , teniendo en cuenta la ecuación (5.4) se tiene

( )22 2

2 2

v

2o

o

M bze d uu

M M dπε ϕ= − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.12)

( )

2 2

2 2

o2 vo

ze d uu

dM b ϕπε− = +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.13)


42

Ahora, hacemos el siguiente cambio de variable D = ze²/πεoMvo2 la ecuación (5.13)

nos queda como la ecuación diferencial

2

2 20

2d u D

ud bϕ

+ + = (5.14)

La anterior ecuación diferencial (5.14) tiene por solución

2

1cos

2D

u A Bsenr b

ϕ ϕ= = + − (5.15)

Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno del problema (ver por ejemplo la figura N° 5.3), así: i) Una constante se halla al aplicar a la ecuación (5.15), al inicio de la trayectoria bien lejos del núcleo cuando r→∞ y por consiguiente el ángulo φ toma el valor de φ = π. Con el uso de esta condición, se tiene

2

1lim 0 cos

2r

DA Bsen

r bπ π

→∞= = + −

Así, obtenemos el valor de la constante A que es:

22

DA

b= − (5.16)

ii) Otra constante se halla determinando la velocidad (v = dr/dt), lo cual se logra derivando la ecuación (5.15) y aplicando para el inicio de la trayectoria bien lejos del núcleo cuando r→∞ y el ángulo es φ = π, donde se supone que la partícula α de tiene una velocidad inicial Vo. Aplicando esta condición límite, a la velocidad y teniendo en cuenta las ecuaciones (5.4) y (5.9), se tiene

lim vo

r

dr L du

dt M d ϕ πϕ→∞=

= = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) [ ]o

o

vcosv

M bAsen B

Mπ π− − +=

Se obtiene el valor de la constante B que es


43

1

Bb

= (5.17)

Reemplazando el valor de las constantes en la ecuación (5.15), se tiene

2 2

1 1cos

2 2

D Dsen

r b b bϕ ϕ= − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ]2

1 11 cos

2

Dsen

r b bϕ ϕ= − − +⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.18)

La expresión (5.18) corresponde a una hipérbola, que satisface la trayectoria de la partícula α . También se puede hallar el ángulo de dispersión

2

tan2Db

θ= (5.19)

Puede demostrarse que el máximo acercamiento es

2

( ) 1 cos2

DR

θθ = −⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.20)

Combinando las ecuaciones (5.19) y (5.20) para un choque frontal con parámetro de impacto cero (b=0) se encuentra un valor aproximado del tamaño del radio del núcleo, el cual es

2

2( )vo o

zeR D

Mθ π

πε= = = (5.21)

Como se puede ver, la expresión anterior (5.21) depende de la velocidad inicial de aproximación. Para valores térmicos de Vo el radio es R≈10-14≈10-4A°. Cálculos posteriores, que parten de la densidad de un metal, permiten obtener un valor para el radio de R ≈ 10-10 m ≈ 1A°. Con los anteriores valores y deduciendo adicionalmente la densidad del núcleo, el cual es del orden de 1016Kg/m3 que es 1013 veces más pesado que la densidad del agua y como se conoce que microscópicamente la densidad de los materiales no


44

es tan grande, entonces, permite inferir que el átomo ocupa bastante volumen frente al núcleo; lo que llevó a Rutherford a postular su modelo nuclear de átomo, similar al sistema planetario de Newton, donde el núcleo se encuentra en una pequeña región del átomo con carga positiva; a su alrededor giran los electrones en órbitas elípticas y de acuerdo a la interacción de Coulomb.12 Con los resultados experimentales y el nuevo modelo propuesto por Rutherford, se mejoró la información acerca de los átomos, como que la carga nuclear es un múltiplo entero del valor de la carga del electrón pero positiva, que todos los núcleos de los átomos de un elemento dado, tienen la misma carga eléctrica positiva, que la carga nuclear de un átomo es igual al número atómico Z veces la carga del electrón Ze y este número Z determina la posición del átomo en la tabla periódica, indicando también el número de electrones que tiene el átomo en estado neutral. 5.4 MODELO ATÓMICO DE BÖHR Aún cuando el modelo nuclear de átomo propuesto por Rutherford explica con precisión los resultados experimentales de la dispersión, su validez fue aceptada con recelo, por cuanto no podía dar explicación a la estabilidad del átomo; pues a la luz de la mecánica clásica, el sistema núcleo - electrón solo será estable si el electrón gira alrededor del núcleo, describiendo órbitas circulares o elípticas como lo hacen los planetas alrededor del sol. Pero desde el punto de vista de la teoría electromagnética de Maxwell, por ser cargas en movimiento acelerado, necesariamente debería radiar energía, entonces los electrones van perdiendo continuamente su energía y por tanto "caer" sobre el núcleo. n=3 n=4 n=5 Hα Hβ Hγ 6564,6 4842,7 4341,7 3647

Figura N° 5.4 Espectro visible del átomo de hidrógeno. Serie de Balmer.

12 E.RUTHERFORD: "The Scattering of α and ß particles by matter and the structure of the atom". The London, Edimburg and Dublin Philosophical

Magatine and Journal of Science, 6th Series 21, 668/669 (1911)

El trabajo se muestra en una recopilación de Robert T. Beyer "Foundations of Nuclear Phisics. Dover, N.Y.,1949 Pg 111/130.


45

También la emisión de radiación sería continua y no discreta como para esa época lo mostraba la espectroscopia, por ejemplo ya eran conocidas las series espectrales de BALMER en el campo visible, figura N° 5.4. En 1885 Balmer dedujo una ley empírica para el átomo de hidrógeno, la cual se sintetiza como

2

2

3647( )

( 4)on

An

λ =−

(5.22)

En 1890 J. Rydberg modifica la ecuación de Balmer (5.22) a:

2 2

3, 4,5,6,...1 1 1

2HRn

nλ= −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.23)

Donde RH es la constante experimental llamada constante de Rydberg, cuyo valor es: RH = 1.09677581x107 m-1. Niels Böhr13 revisó el modelo nuclear propuesto por Rutherford y los resultados experimentales conseguidos por Balmer y Rydberg. Se dio cuenta que al modelo nuclear se le debían agregar consideraciones que la física clásica no contemplaba. Textualmente comentó Böhr al conocer las ecuaciones(5.22) y (5.23): "Enseguida comprendí todo. Después de reiterados intentos de aprovechar las ideas cuánticas en una forma más rigurosa, en primavera temprana de 1913 se me ocurrió que la clave para resolver el problema de la estabilidad atómica eran leyes extremadamente sencillas que determinaban el espectro ótico de los elementos." Fue así como llegó a formular los siguientes postulados:

1. Estados estacionarios: En el átomo los electrones giran en órbitas estacionarias sin emitir energía electromagnética.

2. Procesos Cuánticos: La emisión o absorción de radiación tiene lugar durante el

paso de un electrón de un estado estacionario a otro. La energía de radiación será de acuerdo a los cuantos de Luz14

E hν∆ = (5.24) donde ∆E es la diferencia de energía de los niveles estacionarios entre los cuales se realiza el salto.

13 Niels H. David Böhr (1885-1962). Nació en Copenhague, recibió el premio Nóbel de física en 1992, por sus aportes sobre la estructura de los átomos 14 Aquí se aplica el postulado de M. Planck


46

3. Cuatización del Momento angular: En una órbita estacionaria el momento

angular del electrón está cuantizado

( )( )2hL n nπ

= = h (5.25)

Posteriormente, Wilson y Sommerfeld15 ampliaron la cuantización del momento angular para el caso general del par de variables canónicamente conjugadas (q,p) y para órbitas elípticas del átomo de Hidrógeno como

pdq n=∫ h

A continuación aplicaremos los postulados de Böhr al modelo planetario. El momento angular para una trayectoria circular es vL m r= (5.26) vr Ze Fc r

Figura Nº 5.5 Esquema del modelo de átomo de Hidrógeno. La fuerza centrípeta Fc es debida a la fuerza eléctrica de Coulomb Fel y son iguales Fc = Fel, por tanto

2 2

2

v4 o

m er rπε

= (5.27)

15 Ver por ejemplo: Física Cuántica; Eisberg, R. y Resnick, R., Ed. Limusa, Pg.142/148.


47

Despejando la velocidad

2

o

ev=4 mrπε

(5.28)

La energía cinética será

2

2v8k

o

eE m

rπε= =½ (5.29)

La energía potencial es

2

4p

o

eE

rπε= − (5.30)

donde el signo (-) indica que la energía potencial es de atracción y es garantía para la estabilidad del átomo. La energía total E=Ek+Ep es

2

( )8 k

o

eE E

rπε= − = −½ (5.31)

Teniendo en cuenta las ecuaciones(5.25) y (5.26) se obtiene

vn

nrm

=h

(5.32)

Aquí, el subíndice se le agrega, debido a que el radio está cuantizado. Despejando la velocidad v de la ecuación (5.32) y reemplazando en (5.29) el radio toma la siguiente forma

2

2

2

4 onr n

meπε

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h (5.33)

2

n or r n= (5.34) Aquí ro es el radio de Böhr, dado por


48

2

20, 529( )

4 Ooo o Ar a

meπε

= = =h

(5.35)

Reemplazando la ecuación(5.33) en la expresión de la energía total (5.31), se tiene que la energía total está cuantizada.

2

2 2 2 20

1, 2, 3, 4, 5, ...1( )

32nmeE n

nπ ε−

= =h

(5.36)

Cuando n = 1, se tiene el estado fundamental o estado base con energía E1. Entonces la energía para los demás estados se puede escribir a partir de (5.36) como

1 2 2

13, 61( )n

eVE E

n n= = = − (5.37)

Cuando el átomo pasa de un estado de mayor energía Ei a uno de menor energía Ef emite una radiación que en el espectro se ve como una línea de frecuencia

4

3 3 2 22

1 164

i f

f io

E EE meh h n n

νπ ε

−∆= = = −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦h

(5.38)

donde ni² > nf². En términos de la longitud de onda

4

3 2 22

1 1 164 f io

mec n nλ ε

= −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦h

(5.39)

La (5.39) reproduce la ecuación experimental (5.23) con constante de Rydberg igual a

4

7 -1H 33 2 1,09677581x10R m

64 o

mecπ ε

= =h

(5.40)

la cual queda hallada en términos de constantes fundamentales. La ecuación(5.39) supone la existencia de otras series espectrales, además de la de Balmer, las que posteriormente se hallaron. Para el átomo de hidrógeno se tiene las siguientes series espectrales:


49

TABLA Nº 5.1 Series espectrales del hidrogeno

AÑO SERIE nf ni LONGITUD LIMITE

REGION DEL ESPECTRO

1916 Lymannn 1 ≥ 2 911.27 Ultravioleta

1884 Balmer 2 ≥ 3 3465.1 Visible

1908 Paschen 3 ≥ 4 8201.4 Infra Rojo

1922 Brackett 4 ≥ 5 14585 Infra Rojo

1924 Pfund 5 ≥ 6 22782 Infra Rojo A pesar de la sencillez de la teoría y la evidencia con los resultados experimentales para el caso del hidrógeno; no puede ser utilizada para átomos más complejos. Se puede expandir tan solo a átomos hidrogenoides, como por ejemplo el helio ionizado He+(z=2), el litio doblemente ionizado Li++ (z=3), etc. Para estos casos, las ecuaciones se corrigen con el valor del número atómico z (se logra al cambiar e²→ze²). La teoría de Böhr tiene el mérito de hacer uso de la nueva teoría de los "cuántos" de energía hallada por Max Planck y extender el principio de la cuantización a otras variables dinámicas del sistema (por ejemplo el momento angular L). Contrariamente a la teoría de Rutherford, la de teoría de Böhr fue rápidamente aceptada a pesar de lo insólito de sus postulados. En 1914 J. Franck y G. Hertz16 mostraron una evidencia experimental de la existencia de estados estacionarios en otros átomos, esta vez por medio de choques inelásticos de electrones con átomos de mercurio gaseoso17.

16 James Franck (1882-1964). Gustav Ludwig Hertz (1887-) Nacieron en Hamburgo Alemania, J. Franck y G. Hertz recibieron el premio Nóbel de física en 1925. 17Ver por ejemplo: García, Mauricio y Ewert De-Geuus, Jeannine. INTRODUCCION A LA FÍSICA MODERNA, pag. 135/136.


50

5.5 PROBLEMAS 1. Para el primer estado estacionario del átomo de Hidrógeno considerando el modelo clásico; cuál sería la energía radiada por el electrón en una revolución? 2. Cual sería la energía radiada por un electrón de 50KeV, en una orbita circular de 1 m? 3. Encontrar la energía de un fotón que posee el mismo momentum de: a. Un protón de 40MeV b. un electrón de 40MeV

6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA MATERIA Eidelman González L.

51

6 PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA MATERIA 6.1 POSTULADO DE DE BROGLIE Los filósofos antiguos, Newton y otros creyeron que la luz consistía de corpúsculos de rápido movimiento, siendo capaces de explicar la propagación en línea recta y hasta describir el fenómeno de reflexión. Young en 1801 estableció la teoría ondulatoria para la luz, con base en la interpretación de experimentos de difracción e interferencia. Por otro lado, a finales del siglo XX quedó sentada la teoría corpuscular de la electricidad (movimiento de electrones). Planck en el año 1900 postuló la teoría cuántica de la luz, según la cual una fuente de luz no emite en forma continua, si no en cantidades finitas llamados cuantos: los fotones. Compton en 1923 mostró que los fotones tenían cantidad de movimiento lineal o momentum y energía; profundizando el dilema onda-corpúsculo. La teoría atómica de Böhr no describe que pasa con el electrón durante el cambio de estado y por qué los electrones no radian en orbitas estacionarias.


52

Todo lo anterior fueron las preocupaciones que acompañaban a Luís Víctor De Broglie18, quien logró la solución entre 1924 y 1927 cuando se desarrolló la Mecánica Cuántica a la cual contribuyó. Convencido como estaba, de la unidad de la naturaleza, le preocupaba admitir que un rayo de luz con las propiedades corpusculares observadas en los efectos fotoeléctrico y Compton no tuvieran nada semejante en la naturaleza, por lo que llegó a la convicción de que si una onda electromagnética podía poseer propiedades corpusculares, todos los cuerpos de la naturaleza, también poseen simultáneamente propiedades ondulatorias. De Broglie encontró situaciones contundentes que reafirmaban la anterior consideración. De un lado, en la física aparecen números enteros para describir ondas, de otra parte en los fotones, en la definición de la energía de un fotón aparece una variable propia de las ondas: la frecuencia. También, ahora para definir los estados de los átomos según la configuración de sus electrones, se requieren números enteros, por tanto, deben existir ondas de alguna clase llamadas "ONDAS DE MATERIA", que sirvan par describir corpúsculos (o partículas). De Broglie encuentra viable esta afirmación de dos maneras. Primero, para las órbitas estacionarias cuantizadas según la ecuación(5.25), la longitud de la órbita corresponde a un número entero de longitudes de onda del electrón. Para una trayectoria circular, se tiene Equation Chapter (Next) Section 6

22

n r ó r nλ

λ ππ

= = (6.1)

Combinando (6.1) con las ecuaciones (5.25) y (5.26) se tiene

v v ( )2 2

hL m r m n n n

λπ π

= = = =h (6.2)

Despejando lambda (λ ) se tiene la longitud de onda de De Broglie

v

h hm p

λ = = (6.3)

Segundo, a partir de los fotones se obtiene una ecuación similar

h hpcν

λ= = (6.4)

18 Louis Víctor de Broglie (1892-). Nació en Dieppe, Francia. Obtuvo el premio Nóbel de física en 1929, por sus aportes sobre el carácter ondulatorio de los electrones.


53

Por lo que De Broglie llegó a afirmar públicamente en 1924, que el postulado de Böhr ecuación(5.25) es en consecuencia derivable de su postulado dado por la ecuación (6.3). Problema Hallar la longitud de onda de una masa de 200 g. y de un electrón moviéndose a una velocidad de 144 Km/h. Desarrollo

La velocidad Km

144=vh

(h

) 403600

m

s s=

i) Para la masa m = 200g = 0.2 Kg.

34356, 63 10

8, 28 100, 2

. .v 40 /

xx

h J sm

m Kgx m sλ

−−= = =

258, 28 10xλ −= Å Longitud de onda es tan pequeña que no es detectable.

ii) Para el electrón m = 9,1x10-31 Kg.

345

31

6, 63 101,82 10

9,1 10 40

./

xx

x

J sm

Kgx Km sλ

−−

−= =

51,82 10xλ = Å Longitud de onda detectable en el laboratorio.


54

6.2 PAQUETES DE ONDAS Así como una carga eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico que se propaga en el espacio mediante ondas, de igual manera se puede imaginar que una partícula crea a su alrededor un campo de materia que se propaga por ondas, pero que tendrá una interpretación diferente. Sí a la partícula le “asociamos” una onda que tiene la misma dirección de propagación de la partícula

[ ]( . . )( , ) cos( . . ) ( . . )i k x w tx t A A k x w t i sen k x w teψ −= = − + − (6.5) Pero este tipo de onda corresponde a un movimiento en todo el espacio, que no precisa la posición de la partícula. Una manera de reducir la extensión espacial del movimiento ondulatorio, es superpones varias ondas planas para formar “paquetes de de ondas”. Se obtiene un paquete, sumando dos ondas que difieren en dk y dw, así ( , ) cos( )x t A kx wt= −1Ψ

[ ]( , ) cos ( ) ( )x t A k dk x w dw t= + − +2Ψ

( , ) ( , ) ( , )x t x t x tψ = +1 2Ψ Ψ

[ ]{ }( , ) cos( ) cos ( ) ( )x t A kx wt k dk x w dw tψ = − + + − +

2 22

2 2 2 2

. .( , ) cos cos( )

k dk w dw dk x dw tx t A x tψ

+ += − −⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

Con la aproximación 2 2k dk k+ ≈ ∧ 2 2w dw w+ ≈

22 2

( , ) cos( ) cos( )dk dw

x t A x t kx wtψ = − − (6.6)

Corresponde a una onda modulada. La modulación está determinada por el primer término de la ecuación (6.6).


55

1Ψ ( , )x tψ

w

kv=

2Ψ

gdw

dkv =

Figura 6.1 Superposición de dos ondas 1Ψ + 2Ψ → ( , )x tψ . La onda envolvente corresponde al grupo.

6.2.1 VELOCIDAD DE FASE La onda que corresponde al término cos( . . )k x w t− de la ecuación (6.6) tiene una velocidad, que se llamará velocidad de fase

2

2

( / )

( / )v f

Twk

π

π λνλ= = = (6.7)

Se puede probar que no corresponde a la velocidad de la partícula, así:

Usando la ecuación de la energía E hν= o también Eh

ν = .

La longitud de onda de De Broglie v

hm

λ = Reemplazando en la velocidad de

fase (6.7) se tiene

2 2

( )( )v v v

v fE h mc ch m m

νλ = = == (6.8)

La velocidad de fase obtenida (6.8) no puede ser la velocidad de la partícula por que se tendrían velocidades de partículas mayores que la de la luz.


56

6.2.2 VELOCIDAD DE GRUPO Se puede demostrar que la velocidad de grupo si puede ser la velocidad de la partícula, así:

La onda que corresponde al término 2 2

cos( )dk dw

x t− de la ecuación (6.6) tiene

una velocidad que se llamará velocidad de grupo

2

2( )v

( / ) (1/ )gdw d ddk d d

πν νπ λ λ

= = = (6.9)

2

2

v 1gd d

dd

ν νλλλ

λ

= = −−

(6.10)

A partir de la ecuación de la longitud de onda de De Broglie h

pλ = derivándola

se tiene

2 2

1 hdpd h dpp p

λ⎛ ⎞− −

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.11)

A partir de la energía relativista 2 2 2 2

oE E p c= + Derivando 22 2EdE pdpc=

2pc dpdEE

= (6.12)

A partir de la ecuación de la energía E hν= donde Eh

ν = se tiene por

derivación


57

2dE pc dpd

h hEν = = (6.13)

Reemplazando (6.11) y (6.13) en la ecuación de la velocidad de grupo (6.10)

2 2

2

2

v( )

gd pc dp

hdpd hEp

ν λλλ

−= − =

2 2 2 2

2 2

( )vgp pc dp h c ph Edp h E

λ= =

2 2

2

vv vmcg

c p c mE

= = = (6.14)

Por la ecuación (6.14) se tiene gv v= (6.15)

Luego la velocidad de grupo del paquete de onda se mueve con la velocidad de la partícula. Para el caso de una partícula como un fotón, también es válida la deducción. Se tiene para el fotón

2 2

gcv =

( )p c p c

E pc= =

Por supuesto la velocidad de grupo del fotón es igual a la velocidad de la luz

gv =c


58

6.3 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE El comportamiento ondulatorio de la materia postulado por De Broglie, trae como consecuencia el principio de incertidumbre propuesto en 1927 por W. Heisemberg19, aún cuando este principio resulta espontáneamente con la descripción matemática de la teoría cuántica. Este principio lo abordaremos en términos sencillos a partir de las ondas de materia, anteriormente vistas. Supongamos que una partícula material se mueve con velocidad v, clásicamente posee una cantidad de movimiento p = mv y el postulado de De Broglie le asigna al campo material ondulatorio una longitud de onda λ , por tanto si su velocidad esta perfectamente determinada (igualmente su cantidad de movimiento p), entonces también λ = h/p. La precisión de λ implica que se trata de una onda plana con un valor único. La onda plana tiene la propiedad de ocupar todo el espacio; esto es, su extensión espacial no es acotada. Si la onda representa a la partícula no se va a tener certeza de su posición. Esto es, si su cantidad de movimiento se conoce con certeza, la posibilidad de determinar la posición de la partícula es nula o la incertidumbre de su posición es total. La anterior explicación permite entender el principio de incertidumbre de Heisemberg:

“Es imposible medir exactamente en forma simultanea la posición y la cantidad de movimiento lineal de una partícula”

La expresión matemática es

2

x p∆ ∆ ≥h

(6.16)

El principio de incertidumbre indica la imposibilidad de conocer con absoluta precisión la naturaleza de la materia, por cuanto se requiere de la interacción con un instrumento de medida que la perturba, modificando su estado y por tanto solo se tendrá información del estado de la materia por la interacción durante la perturbación. Si la posición de una partícula puede conocerse con un margen de precisión ∆x (imprecisión) para un instante dado, entonces se puede representar el movimiento de una partícula por medio de un paquete de ondas, con velocidad de grupo igual a la velocidad de la partícula. Ahora bien, un paquete de ondas se forma por la superposición de ondas planas con longitudes de onda de valor cercano a λo y de dispersión ∆λ ó ∆k. Una primera forma como se calculó el principio de incertidumbre fue considerando un paquete formado de dos ondas como la representada por la ecuación (6.6) cambiando d ∆→ 19 Werner Karl Heisemberg (1901-). Nació en Würzburg Alemania. Se considera fundador de la mecánica cuántica. Recibió el premio Nóbel de física en 1932.


59

vg

x∆ v de la partícula

Figura 6.2 Representación de una partícula por un grupo de ondas de ancho x∆ .

22 2

( , ) cos( ) cos( )k w

x t A x t kx wtψ∆ ∆

≈ − − (6.17)

La incertidumbre de la posición de la partícula está dada por el ancho del paquete

2

ox nλ

λ∆ ≈ ≥ (6.18)

como 2 2 2

( / )

p pk

h p h

π π π

λ= = = =

h entonces se puede utilizar este resultado

para el incremento

p

k∆

∆ =h

(6.19)

En el paquete de ondas, ecuación (6.17) ½∆k = k' = 2π/λ entonces

2

2 kλ π=∆

(6.20)

Comparando las ecuaciones (6.18) y (6.20) se tiene2

xk

π∆ ≥

∆ y por tanto

2x k π∆ ∆ ≥ .


60

Usando la ecuación (6.19) se tiene 2x p

π∆ ∆

≥h

y simplificando

2hx pπ

∆ ∆ ≥ =h (6.21)

La ecuación anterior20 (6.21) fija el límite de precisión con que finalmente podemos medir simultáneamente las variables canónicamente conjugadas: x y Px. Extendiendo el principio de incertidumbre, se puede escribir para coordenadas y momentos generalizados como 1k kp q nh n∆ ∆ ≥ ≥ (6.22) 6.4 DIFRACCION DE ELECTRONES En 1925, era plenamente conocida la difracción de Rayos X en materiales cristalinos y conocidas las distancias reticulares de los sólidos. C. J. Davison y L. H. Germer en 1925 se encontraban midiendo los efectos producidos cuando un haz de electrones chocaba contra una lámina de níquel, por accidente la lámina se oxidó, entonces fue calentada con el fin de removerle el óxido. Al calentarla se convirtió en lámina mono cristalina y al pasar de nuevo los electrones a través de la lámina de níquel (mono cristalina), estos la atravesaban formando un patrón de difracción. Posteriormente G. P. Thomson al pasar un haz de electrones a través de una lámina metálica muy delgada, observó también patrones de difracción. Dando por sentado que los electrones se comportaban como ondas pues exhibían propiedades ondulatorias al difractarse.

20 Un cálculo más real es ∆X∆px ≥ ħ/2. Ver Análisis de Fourier, Hsu, Hwei P., Fond. Educ. Inter. S.A. Pg. 228. Además, ver García, Mauricio y Ewert De-Geuus, Jeannine. INTRODUCCION A LA FÍSICA MODERNA, pag. 177/178.


61

El equipo utilizado es parecido al esquema presentado en la figura Nº 6.3. Un electrón adquiere su velocidad proveniente de la aceleración producida por el campo eléctrico; entonces ½mv² = p2/2m = eV y se tiene Lámina de

∼ Níquel

θ D G

Detector

Figura Nº 6.3 Esquema experimental de un difractor de

electrones. I 10 20 30 40 50 (Vol)½

Figura Nº 6.4 Resultado experimental de la difracción de electrones.

2

2V

pe

m= (6.23)

Despejando p y reemplazando en la ecuación (6.3).

2

2 2

1( V) V

h hme me

λ ==⎡ ⎤ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

½

½ ½ (6.24)


62

El resultado experimental de electrones difractados para un ángulo fijo se muestra en la figura Nº 6.4, donde el espaciamiento uniforme de los picos es una evidencia experimental de la ecuación (6.24). El fenómeno de la difracción (figura Nº 6.5) se formula mediante la llamada ley de Bragg 2d sen nθ λ= (6.25) ( θ θ )

d θ θ

2d senθ

Figura Nº 6.5 Diferencia de camino de dos ondas reflejadas en planos consecutivos de un cristal.

La familia de picos de la figura 6.4 es una representación del cumplimiento de la ley de Bragg (6.25) donde para un mismo ángulo los diferentes valores de V, cumplen con la ecuación (6.24). El experimento de Davison y Germer prueba la validez del postulado de De Broglie. El experimento sirvió para diseñar instrumentos que permiten medir propiedades de la materia. En 1928 G. P. Thompson usando patrones de difracción de electrones, calculó el tamaño de las redes atómicas de los átomos de Al, Au, Pt y Pb, redes que coinciden con las obtenidas por difracción de rayos X. En particular hoy en día este principio es usado en el microscopio electrónico de barrido (SEM). También se pueden utilizar neutrones, que presentan menos distorsión por no tener interacción columbiana y en principio pueden tener más penetración. A 300°K la longitud de onda de los neutrones a es λ ≈ 1.8 A°, tamaño que es del orden de los R-X.


63

6.4.1 DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UNA REJILLA Un ejemplo típico donde se puede observar la validez del principio de incertidumbre, las ecuaciones (6.21) y (6.22), es en la difracción de electrones a través de una rejilla, fenómeno que se presenta en la medición de procesos atómicos. λ θ) ∆y Px ∆y

Figura Nº 6.6 Difracción de electrones por una rendija. En la figura Nº 6.6 se observa el experimento de difracción de electrones al pasar por una rendija. Antes de llegar a la rejilla el haz se puede representar por una onda monocromática. La posición x e y están completamente indeterminadas, no así su cantidad de movimiento px. La altura de la rendija ∆y limita las posibles posiciones de las partículas en la dirección “y”, a la derecha de la abertura, pero en la pantalla aparece un patrón de difracción que obedece a la ley de Bragg (6.25)

x

hy sen n np

θ λ∆ = = (6.26)

donde n = 1,2,3,4,... son los lugares para los diferentes máximos. Lo anterior quiere decir que la partícula al pasar por la rendija adquiere un componente de cantidad de movimiento en dirección y: ∆py = p senθ. Como p ≥ px se tiene que ∆py ≥ px senθ, o sea que

y

x

pp

senθ∆

≤ (6.27)

Reemplazando en la ecuación de Bragg (6.26) se tiene


64

y

x

pnhpy sen senθ θ

∆= ≤∆

Simplificando y ordenando términos queda yy p nh∆ ∆ ≥ (6.28)

La ecuación (6.28) reproduce el principio de incertidumbre. En conclusión se tiene que, indistintamente se pueden describir ondas y/o partículas por medio de cantidades de ondas, pero la naturaleza le impone un límite a dicha descripción; en la medida que se perfeccione la manera de situar la partícula en el espacio, por medio de un paquete de ondas, se pierde la posibilidad de conocer con exactitud su cantidad de movimiento, dado que λ no es única y P tampoco. 6.5 NECESIDAD Y CARACTERÍSTICAS DE UNA NUEVA

TEORIA Los fenómenos descritos anteriormente y muchos otros pudieron ser explicados gracias a la hipótesis de Max Planck, explicación que no encaja con la concepción clásica de las teorías de Newton y Maxwell, por lo que exigen una nueva teoría que permita dar una explicación coherente a los fenómenos nuevos. El problema a explicar es ¿por qué para algunos fenómenos una partícula pierde sus propiedades mecánicas y se manifiesta como onda y en otros no? Por otro lado una onda electromagnética pierde su carácter ondulatorio y se manifiesta como partícula, como en el caso de los efectos fotoeléctrico y Compton. Una primera aproximación sería indicar que tanto partículas como ondas mantienen a lo largo de su propagación una característica predominantemente ondulatoria, mientras que durante los procesos de interacción, manifiestan su carácter corpuscular. Pero ¡esta explicación no es completa!, sería mejor pensar que el fallo está en la imagen mental que nos han dejado los experimentos sobre el comportamiento de ondas y partículas y que esta imagen es incompleta. Otro


65

inconveniente de la experimentación es que desde el punto de vista clásico o aparentemente en el mundo macroscópico existe la posibilidad de realizar mediciones con el grado de precisión que se desee; mientras que a nivel atómico no siempre es posible (sería mejor decir, que el inconveniente salta más a la vista). W. Heisemberg reconoce la dificultad para medir simultáneamente con precisión infinita dos variables de una partícula. Sobre este tema comenta W. Heisemberg21 "Aun cuando la teoría de la relatividad exige la mayor habilidad para el pensamiento abstracto, llena los requerimientos tradicionales de la ciencia en cuanto que permite una división entre sujeto y objeto (observador y observado) y por tanto una clara formulación de la ley de la causalidad. Este es físicamente el punto donde comienzan las dificultades de la teoría cuántica. En física atómica, los conceptos de "reloj" o "varilla de medida" no requieren consideración inmediata por cuanto existe un gran campo de fenómenos en los cuales 1/c es despreciable. Los conceptos "coincidencia espacio temporal" y "observación" requieren sin embargo una revisión. Característica de la discusión a seguir es la interacción entre observador y objeto; en la física clásica se ha siempre asumido bien que tal interacción es pequeña y despreciable o bien que dicho efecto puede ser eliminado del resultado mediante cálculos basados en experimentos de "control". Esta afirmación no es válida en física atómica; la interacción entre observador y objeto causa cambios grandes e incontrolables en el sistema que se observa, debido a los cambios discontinuos que caracterizan a los procesos atómicos. La consecuencia inmediata de tal circunstancia es que por lo general todo experimento que se realice para determinar alguna cantidad numérica, deja como ilusorio el conocimiento de otras, por cuanto la perturbación incontrolable del sistema observado altera los valores de cantidades previamente determinadas. Si esta perturbación se sigue en sus detalles cuantitativos, aparece que en muchos casos es imposible obtener una determinación exacta y simultanea de dos variables, pero que existe un límite inferior a la precisión con la cual ellas pueden medirse". 22 "El punto de partida de la teoría de la relatividad fue el postulado que no hay velocidad mayor a la de la luz. De igual manera, este límite inferior a la precisión con la cual ciertas variables pueden conocerse simultáneamente, puede postularse como una ley de la naturaleza ( en forma de las llamadas relaciones de incertidumbre) y convertirse en el punto de partida de la crítica que constituye el contenido de las páginas que siguen. Las relaciones de incertidumbre nos dan la medida de libertad de las limitaciones de los conceptos clásicos, necesaria para un descripción consistente de procesos atómicos....." 6.6 PROBLEMAS 1. Davison y Germer encontraron que para electrones acelerados a 65 eV, los picos de difracción ocurrían a π/4. Determinar la separación de los planos cristalinos responsables de dichos picos.

21 W. Heisemberg; "The Physical Principles of the Quantum Theory" Dover Publications, Inc. N.Y. 1949, pag. 2/4. 22 W. Heisemberg: Zeitschrift für Physik, 43, 172 (1927)

7. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA Eidelman González L.

66

7 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA Ante fenómenos y resultados experimentales inexplicables por la física clásica, surge la necesidad de una reinterpretación teórica y reestructurada del comportamiento de la naturaleza. La teoría que logra conciliar los resultados experimentales con las suposiciones teóricas es la Mecánica Cuántica. La mecánica cuántica surge en 1926. En sus inicios se desarrolló de dos maneras aparentemente diferentes: La mecánica cuántica matricial, conocida como la de "Heisemberg" con representantes como Max Börn23, W. Heisemberg y Jordan. La desarrollada en términos de funciones y de operadores, la mecánica Cuántica ondulatoria, conocida como de "Schrödinger". Si bien inicialmente parecieran dos formas totalmente distintas de abordar la nueva física, es claro que las dos representaciones son equivalentes. Finalmente Paul Dirac inicia la formulación 23 Max Born (1882-1970). Nació en Breslau, Prusia. Contribuyó al nacimiento y desarrollo de la mecánica cuántica. Recibió el premio Nóbel de física el año de 1954.


67

abstracta de la mecánica cuántica (a partir de 1930) llamada a mecánica cuántica relativista. 7.1 LA FUNCIÓN DE ONDA

( , )r tψ Equation Chapter (Next) Section 7 La teoría ondulatoria de las partículas, permite su descripción por medio de un "paquete de ondas" formado por superposición de ondas planas. La función de onda ( , )r tψ es una expresión matemática generalmente compleja que describe la amplitud del campo material asociado a la partícula que se encuentra en la posición rr , en el tiempo t. La función pertenece a un cuerpo o espacio de funciones que tiene su propia algebra llamado espacio de Hilbert. La función de onda tiene la siguiente interpretación probabilística:

2 *( , ) ( , ) ( , )x t x t x tψ ψ ψ= Probabilidad de encontrar la partícula en la posición x en el tiempo t.

2 *( , ) ( , ) ( , )x t dx x t x t dxψ ψ ψ= Probabilidad de hallar la partícula dentro

del elemento dx.

( )rψ : Estado Estacionario, cuando la situación física es independiente del tiempo.

2 *( ) ( ) ( )r r rψ ψ ψ= : Densidad de probabilidad. Probabilidad por unidad de

volumen o densidad de probabilidad.


68

7.2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ONDA Como la función onda ( , )r tψ debe corresponder a situaciones físicas concretas estas deben tener las siguientes propiedades:

a. La función de onda ( , )r tψ es generalmente una función compleja, que contiene toda la información acerca de la partícula asociada; no se le debe dar una existencia física real en forma directa.

b. Tanto ( )rψ como

rψ∂∂

deben ser finitas, esto es: cuando r →∞

entonces 0ψ → y 0rψ∂

→∂

Significa que la partícula descrita por la

función debe estar dentro de cierto volumen. La probabilidad de encontrarla fuera debe ser cero.

c. Tanto ( )rψ como

rψ∂∂

deben ser continuas y uní valuadas. De no ser así,

existirían dos o mas valores para la probabilidad y la probabilidad debe estar entre cero (0) y uno (1).

d. La función de onda debe ser normalizable. Se refiere que al recorrer todo el

espacio finito considerado, la probabilidad será la máxima.

2 3 * 3( , ) ( , ) ( , ) 1r t dr r t r t drψ ψ ψ= =∫ ∫ (7.1)

Adicionalmente y debido a las propiedades de las ecuaciones diferenciales, si dos funciones ψ1 y ψ2 son soluciones de la ecuación de Schrödinger, entonces la suma ψ = ψ1 + ψ2 es también una solución de la ecuación de Schrödinger. Lo anterior constituye el principio de superposición, el cual tiene también una connotación importante en mecánica cuántica.


69

7.3 LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER24 La hipótesis fundamental de Schrödinger es suponer que " a una partícula siempre se le puede asociar una función de onda que es solución de dicha ecuación" Existen evidencias experimentales contundentes que demuestran que las partículas de sistemas microscópicos se comportan obedeciendo a las leyes del movimiento ondulatorio. Por tanto actúan como una onda de materia de De Broglie

y es válido hp

λ = . La teoría de Schrödinger proporciona un método adecuado

para el tratamiento de problemas con estos puntos de vista. Debido a que las ondas electromagnéticas se comportan de una manera completamente análoga, como lo hacen las funciones de onda de la teoría de Schrödinger, es posible hacer una comparación entre esta teoría y la de Maxwell. 7.3.1 ARGUMENTOS DE PLAUSIBILIDAD QUE CONDUCEN A LA ECUACIÓN

DE SCHRÖDINGER. A manera de “deducción” se pueden plantear cuatro argumentos que permiten finalmente hallar la ecuación de Schrödinger.

a. La ecuación debe ser compatible con los postulados de: Planck E hν=

De Broglie hp

λ =

b. Debe ser consistente con la ecuación de energía kE E V= + (7.2)

2

2pE Vm

= + (7.2)

c. Se acepta la descripción ondulatoria; que una partícula se puede describir

por un paquete de ondas, que es a su vez una superposición de ondas planas.

24 Erwin Schrödinger (1887-1961). Nació en Viena y estudió en la Universidad de Viena. A principios de 1920 demostró que la mecánica ondulatoria y la mecánica matricial son equivalentes. Recibió el premio Nóbel de física en 1933.


70

El caso mas general de onda plana se describe por

( . . )( , ) i k r w tor t eψ ψ −=

r r

(7.3) Equivalentemente a

( . . )( , )

i p r E t

or t eψ ψ−

=r r

h Veamos por que son equivalentes. Tomándola unidimensionalmente se tiene

2( 2 )( . )( , ) x

i x ti k x wto ox t e e

π πνλψ ψ ψ

−−= = (7.4)

v 22 ( ) ( vt)

( , )x ii t x

o ox t e eππ

λ λ λψ ψ ψ− −

= =

2 ( vt) ( . vt)/( , )

i ix p x ph po ox t e e

π

ψ ψ ψ− −

= = h

( . . )

( , )i p x E t

ox t eψ ψ−

= h (7.5) En general

( . . )

( , )i p r E t

or t eψ ψ−

=r r

h (7.6)

d. La ecuación debe ser consistente con la ecuación de onda

2

2 22 v

tψ ψ∂

= ∇∂

(7.7)

La consistencia se puede examinar derivando (7.5).

Respecto a x:

i p

xψ ψ∂

=∂ h

2 2

22 2( )i pp

xψ ψ ψ∂

= = −∂ h h

(7.8)


71

Respecto a t:

iE

tψ ψ∂ −

=∂ h

(7.9)

2 2 2 2

22 2 2

v( )iE E ptψ ψ ψ ψ∂ − −

= = =∂ h h h

2 2

2 2 2

1v

ptψ ψ∂

= −∂ h

(7.10)

Comparando (7.8) con (7.10) se puede ver que (7.5) cumple con la ecuación de onda (7.7). 7.3.2 ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO La “deducción” o plausibilidad sería, a partir de (7.8)

2 2

2 2

pxψ ψ∂

= −∂ h

2

2 22p

xψψ ∂

= −∂

h (7.11)

Transformando (7.2) se tiene 2 2 ( )E Vp m −= multiplicando por ψ 2 2 ( )E Vp mψ ψ−= Utilizando (7.11)

2

22 2 ( )E Vm

xψ ψ−

∂− =

∂h

Reorganizando términos

2 2

22V E

m xψ ψ ψ∂

− + =∂

h (7.12)


72

Reescribiendo (7.9) como

Ei t

ψ ψ∂− =

∂h

(7.13)

Reemplazando (7.13) en (7.12) se tiene finalmente la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

2 2

22V

m x i tψ ψψ∂ ∂

− + = −∂ ∂

h h (7.14)

Generalizando la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

2

2 ( , )( , ) ( , )2

r tr t V r tm i t

ψψ ψ ∂− ∇ + = −

∂h h

(7.14)

7.3.3 ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO En muchos problemas de la física, en particular en el caso de los estados estacionarios, es posible separar las variables espaciales de las temporales, en la función de onda ( , )r tψ . Retomando la función de onda (7.6) y separándola

( . . ) . .

( , ) ( ) ( )i i ip r E t p r E t

o or t e e e r tψ ψ ψ ψ−

−= = =

r r r r

h h h Ψ ( , ) ( ) ( )r t r tψ ψ= Ψ (7.15) Reemplazando (7.15) en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo(7.14), se tiene

[ ] [ ] [ ]22

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

r tr t V r t

m i t

ψψ ψ

∂− ∇ + = −

∂

h h ΨΨ Ψ

2

2

2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tt r t V r r

m i tψ ψ ψ

∂− ∇ + = −

∂

h h ΨΨ Ψ


73

.2

2

2( ) ( ) ( ) ( )

iE t

et r V r r

m i tψ ψ ψ

−

∂− ∇ + = −

∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

hh hΨ

2

.2

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

iE ti

t r V r r Eem i

ψ ψ ψ−−

− ∇ + = −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

hh h

hΨ

2

2

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )t r V r E r t

mψ ψ ψ− ∇ + =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

hΨ Ψ

Simplificando ( )tΨ , se tiene la ecuación de Schrödinger estacionaria:

2

2 ( ) ( ) ( )2

r V r E rm

ψ ψ ψ− ∇ + =h

(7.16)

La anterior ecuación (7.16) es válida para estados "estacionarios". Los estados "estacionarios", no significa que no dependan del tiempo, se refieren a que la configuración del sistema con el tiempo no cambia, o para promedios grandes de tiempo el sistema es similar. 7.4 POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA A continuación se presentan en forma resumida los postulados de la mecánica cuántica que ayudan a comprender algunas de las aplicaciones de la ecuación de Schrödinger que se presentarán mas adelante. 7.4.1 PRIMER POSTULADO DELA MECANICA CUANTICA "Todo sistema mecano cuántico tiene asociado un espacio de Hilbert H separable, cuyos elementos representan los estados físicos del sistema. Cada


74

estado posible está representado por una función (vector o ket)25. Dos funciones o vectores │ψ1> y │ψ2> representan el mismo estado físico sí │ψ1> = c │ψ2> donde c es un complejo no nulo". A │ψ> se le denomina función de estado (vector de estado). El estado lo describe por completo la función (vector o ket) ψ; esto es, todo lo que sea conocible del sistema se puede obtener a partir de │ψ>. Como H es lineal, los estados mecano cuánticos se pueden superponer para generar nuevos estados físicos, por ejemplo │ψ> = c1│f1> +c2│f2>

A. ESPACIO DE HILBERT H El espacio de Hilbert H, es un espacio cuyos elementos son las funciones o vectores o kets que se escriben ψ igual que│ψ>, φ igual que│φ>, ø igual que│ø>, Φ igual que│Φ>, f igual que│f>, g igual que│g>,... etc. los cuales satisfacen las siguientes propiedades: a. Las funciones o vectores de H forman un espacio vectorial lineal sobre los

números complejos C . b. En H existe un producto escalar. c. El espacio H es completo. a. Espacio Vectorial Lineal Los elementos del espacio de Hilbert H, que son ψ, φ, ø, Φ, f, g, etc. forman un espacio vectorial lineal si cumplen las siguientes propiedades respecto a la suma y el producto por un escalar: 1. f + g = g + f Conmutativa 2. (f + g) + h = f + (g + h) Asociativa 3. Existe el elemento │0>, tal que │0> + │f> = │f> Para α, ß complejos (escalares del espacio) 4. (α + ß)ψ = αψ + ßψ Distributiva 5. α(f + g) = αf + αg Distributiva 25 En la formulación de Schrodinger se dice función y en el planteamiento de Dirac se dice vector o ket, con la notación │Ψ>. En este curso se usarán indistintamente con el mismo significado.


75

6. (αß)f = α (ßf) Distributiva 7. Para 0 єC entonces 0│f> = │0> 8. Si ψ1, ψ2 є H y c1, c2 є C entonces Ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 y por tanto Ψ también

pertenece a H. Notación: En la notación de Dirac: │f + g> = │f> + │g> │αf + ßg⟩ = α│f⟩ + ß│g⟩ b. Producto escalar A cada par de elementos ψ1, ψ2 є H se le puede asociar un escalar. A esta operación se le llama producto escalar

(ψ1,ψ2) = <ψ1│ψ2> = +∞

−∞∫ ψ1

*ψ2 dx (7.17)

El producto escalar26 se interpreta como el solapamiento de las dos funciones. El producto escalar satisface las siguientes propiedades: 1. <f│αg> + <h│ßø> = α<f│g> + ß<h│ø> 2. (ψ1,ψ2) = (ψ2,ψ1)* También <ψ1│ψ2> = <ψ2│ψ1>* 3. (ψ1 + ψ2,ψ3 + ψ4) = (ψ1,ψ3) + (ψ1,ψ4) + (ψ2,ψ3) + (ψ2,ψ4) 4. (ψ,ψ) ≥ 0 También <ψ│ψ> ≥ 0 solo es igual a cero si │ψ> = │0> esto es

<ψ│ψ> = 0 => │ψ> = │0> 5. Norma de un vector en H: La norma de ψ se define ║│ψ>║ = [<ψ│ψ>]½ Donde

26 El símbolo <│ se llama bra y el símbolo │> se llama ket. Su combinación se escribe < │ >. Los nombres se derivan de la palabra inglesa Braket, que significa paréntesis.


76

<ψ│ψ> = +∞

−∞∫ ψ*ψ dx =

+∞

−∞∫ │ψ│²dx

Por la propiedad cuatro (4) la norma de un vector es siempre mayor o igual a cero. Solo es igual a cero sí │ψ> = │0>. Físicamente se aceptan vectores que tengan norma finita ║│ψ>║ < ∞ esto es

║│ψ>║ = +∞

−∞∫ │ψ│²dx < ∞

Se desprenden dos propiedades:

- Sí <ψ1│ψ1> < ∞ y <ψ2│ψ2> < ∞ son finitas, entonces <ψ1│ψ2> < ∞ también es finita.

- <ψ│ψ> es real

6. Distancia entre dos vectores: La distancia entre dos vectores│f> y │g> se define como

d(f,g) = d(│f>,│g>) = ║│f> - │g>║ 7. Normalidad: Una función es normal si su norma es uno. <ψ│ψ> = 1 puede verse que ║│ψ>║ = [<ψ│ψ>]½ = 1 entonces <ψ│ψ> = 1 8. Funciones ortogonales: Dos funciones │ψ1> y │ψ2> son ortogonales si: <ψ1│ψ2> = 0 9. Conjuntos ortogonales: Un conjunto de vectores {ψi(x)} es ortogonal, si cada vector tiene norma uno y cada par de vectores es ortogonal: 1 si i=j <ψi│ψj> = δij = 0 si i≠j donde δij es el delta de Kronecker.


77

B. ESPACIO DUAL O ESPACIO DE LOS BRA Está formado por todas las funciones o bras <f│, <g│, <Ψ│, etc. que se obtienen a partir de los kets │f>, │g>, │Ψ>, etc. 7.4.2 SEGUNDO POSTULADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA A cada observable físico le corresponde un operador hermítico lineal que actúa sobre el espacio de Hilbert H, con un conjunto completo ortonormal de funciones propias y sus correspondientes valores propios. Los operadores se notan por medio de letras con "capó": Â, Ĥ, Ê, Ô, etc.

A. OPERADORES EN EL ESPACIO DE HILBERT Definición: Un operador Â en el espacio H pone en correspondencia a dos

funciones o asocia a dos funciones que pertenecen a H. Â │φ> = │ψ> ó también Â φ = ψ Se dice que Â opera sobre φ transformándola en ψ. Definición: Operador lineal. Un operador Â es lineal si Â(c1│f1> + c2│f2>) = c1Â│f1> + c2Â│f2> 7.4.3 TERCER POSTULDO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Al hacer una medición de un observable, el único resultado posible de la medición es un valor propio que representa al observable. Como consecuencia de la medición inmediatamente después de esta, el sistema queda preparado en el estado representado por la función propia (Ket) correspondiente al valor propio que se obtuvo en la medición.

A. VALORES PROPIOS DE UN OPERADOR Definición 1: Para todo operador lineal Â del espacio H talque, para toda función

de H se cumpla que Â│Ø> = a│Ø>


78

Aquí │Ø> es la función propia y a es el valor propio de la función y corresponde a un escalar del espacio. Definición 2: Si el efecto de un operador Â sobre una función │Ø> es multiplicar la

función por el escalar a entonces Â│Ø> = a│Ø> A la fórmula anterior se le llama ecuación de valores propios. Como pueden existir diferentes funciones propias de un operador con sus respectivos valores propios, la ecuación de valores propios se puede escribir en forma general Â│Øn> = an│Ø> Propiedad: Sí los operadores son hermíticos, entonces, sus valores propio son

reales y los vectores propios forman un conjunto ortonormal esto es <Øi│Øi> = δij entonces todo vector │Ψ> se puede expandir

7.4.4 CUARTO POSTULADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Si un sistema se encuentra representado por la función de onda │Ψ> (normalizada <Ψ│Ψ> = 1) y se mide un observable A representado por el operador Â con funciones propias │φi>, entonces la probabilidad de obtener como resultado de la medición el valor propio ai en el espectro discreto es Pi = │<Øi│Ψ>│² = │ci│² En el espectro continuo es P(a)da = │<Ø(a)│Ψ>│² da Que es la probabilidad de encontrar como resultado de la medición un valor comprendido entre a y a+da del espectro continuo.

A. VALOR ESPERADO <Â>:

<Â> = <ψ│Â│ψ> = ∫ψ* Â ψ d3r

<Â> = <ψ│Â│ψ> = ΣPiai = Σ│ci│²


79

B. DISPERSIÓN O VARIANZA, D(Â):

Si la desviación (distancia) de un dato respecto a la media es yi = (ai - <Â>), entonces la dispersión D(A) mide el valor promedio del cuadrado de las desviaciones.

D(Â) = ΣPi(ai - <Â>)²

C. INCERTIDUMBRE, ∆A:

∆A = [D(A)]½ = i iP (a - <Â>)² En las anteriores expresiones la suma es sobre todos los valores discretos o continuos (integral) del espectro de Â. 7.4.5 QUINTO POSTULADO DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Si en t = 0 se conoce el estado del sistema y este no es perturbado posteriormente, el desenvolvimiento del sistema en el tiempo está dado por la ecuación de Schrödinger

H ii t t∂ ∂

= − =∂ ∂

hh

Ψ ΨΨ

Donde Ĥ es el operador de Hamilton Ĥ = -ħ²/2m (∇² + V). Ĥ se obtiene a partir de la función clásica de Hamilton del sistema, reemplazando los observables por sus respectivos operadores. La dependencia temporal de un operador Q que representa al observable Q será el operador asociado con el observable

ˆ& dQQ =dt

8. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER Eidelman González L.

80

8 APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE

SCHRÖDINGER Equation Chapter (Next) Section 8 8.1 PARTÍCULA LIBRE Se trata de estudiar una partícula que no está sometida a ninguna fuerza, por tanto F=0. 8.1.1 CLÁSICAMENTE Desde el punto de vista de la mecánica clásica se puede afirmar:

• La fuerza que es la derivada del potencial, es cero

( )

0V x

Fx

∂= − =

∂ (8.1)


81

Por tanto el potencial es constante (V= constante). Por la forma como se define el potencial se puede agregar o quitar una constante, de suerte que se puede hacer V(x) = 0.

• Si V(x) = 0 la partícula puede estar en reposo o moviéndose con velocidad

constante.

• La energía y el momentum se relacionan

2

22;

pE p mE

m= = (8.2)

8.1.2 CUÁNTICAMENTE Aplicando la ecuación de Schrödinger, con V(x) = 0

2 2

22

( )( )

xV x

m xψ∂

− +∂

h 0( )E xψ ψ

== (8.3)

2

2 2

2( )( )

x mE x

xψ

ψ∂

= −∂ h

Ecuación de valores propios

Reorganizando términos, se tiene

2

2 2

2( )( ) 0

d x mEx

dxψ

ψ+ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠h

(8.4)

Haciendo 2

2

2mEk =

h se tiene

2

22 0d k

dxψ ψ+ = (8.5)

La expresión (8.5) que es una ecuación de segundo orden cuya solución es del tipo:

( ) ikx ikxx Ae Beψ −= + con 2

2

2mEk =

h (8.6)


82

La solución es general y describe cualquier función propia asociada con el valor propio E .

Se interpreta la solución, así: • SÍ B=0 entonces ( ) ikxx Aeψ = ecuación que representa una onda

propagándose a la derecha (+x), que a su vez representa una partícula libre moviéndose en la dirección en que crece x (x > 0)

• Sí A=0 entonces ( ) ikxx Beψ −= ecuación que representa una onda propagándose a la izquierda (-x), que a su vez representa una partícula libre moviéndose en la dirección en que decrece x (x < 0).

Problema: Determinar el valor esperado de la cantidad de movimiento lineal (momentum) para una partícula libre que se mueve en la dirección +X. Desarrollo

* *ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )d

p p x p x dx x i x dxdx

ψ ψ ψ ψ= = = −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ h< >

0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )ikxdp i x Ae dx i ik x x dx

dxψ ψ ψ

∞ ∞

= − = −∫ ∫h h* *

2

2mE

p k mE= = =h hh

El valor esperado del momentum es el mismo obtenido clásicamente (8.2). Problema: Para una partícula libre moviéndose en dirección +X entre las posiciones 0 ≤ x ≤ a. Hallar el valor de la constante A de la ecuación(8.6) y determinar el valor esperado de la posición. Desarrollo (a) El valor de la constante A se halla por la normalización(7.1):


83

1dxψ ψ =∫ *

Para nuestro caso ( ) ikxx Aeψ =

2 1ikx ikxAe Ae dx A dx+∞ +∞

−∞ −∞

= =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫*

02A dx

−∞

∫0

a

dx dx

=+∞

+ + ∫0

2 2

0 0

1a a

A dx A a

=

= = =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

Despejando A, se tiene:1Aa

=

(b) Valor esperado de la posición

ˆ ikx ikxx x x dx Ae x Ae dxψ ψ+∞ +∞

−∞ −∞

= = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫< > * *

ikx ikxx A A xe e dx+∞

−

−∞

= ∫*

0

2x A x dx−∞

= ∫0

a

xdx x dx

=+∞

+ + ∫0

0

a=⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

2 2 2

2 2 2

0 0

12 2 2

aa x a ax A xdx A A

a= = = =

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫

2ax =

Por lo tanto es más probable hallar la partícula en la mitad del camino o en el centro del intervalo.


84

8.2 POTENCIAL ESCALÓN Se trata de un problema en el cual una partícula libre viaja en sentido positivo y se encuentra con un potencial finito que tiene la forma de un escalón. Puede corresponder en la realidad a una partícula cargada, como un electrón, que se propaga entre dos conductores a diferente potencial.

Figura N° 8.1 Electrón moviéndose entre dos conductores V(x)=V0 0 si x ≤ 0 V(x) = V(x)=0 V0 si x ≥ 0 x=0 potencial real

Figura N° 8.2 Forma del potencial escalón Pueden ocurrir dos casos:

• Caso (a) E < V0: La energía de la partícula es menor que el potencial. • Caso (b) E > V0: La energía de la partícula es mayor que el potencial.

A continuación desarrollaremos cada uno de las dos situaciones presentadas.


85

8.2.1 POTENCIAL ESCALÓN CON ENERGÍA DE LA PARTÍCULA MENOR QUE

EL POTENCIAL: E < V0.

V(x)=V0 E < V0 V(x)=0 I II x=0

Figura N° 8.3 Potencial escalón con energía de la partícula menor que el potencial (E > V0 ) .

Se tienen dos regiones: 0 x ≤ 0 Región I

V(x) = Vo x ≥ 0 Región II

Región I : La ecuación de Schrödinger es

2 2

22d V

m dxψ ψ−

+h Eψ= luego

2

2 2

2 0d mEdxψ ψ+ =

h (8.7)

Cuya solución es 1 1

I ( ) ik x ik xx Ae Beψ −= + (8.8)

Donde 1

2m Ek =h

Región I I: La ecuación de Schrödinger es


86

2 2

022d V E

m dxψ ψ ψ−

+ =h

2 2

02 ( ) 02

d V Em dx

ψ ψ−+ − =

h

2

02 2

2 ( ) 0d m V Edxψ ψ− − =

h (8.9)


II ( ) k x k xx Ce Deψ −= + (8.10)

Donde 02

2 ( )m V Ek

−=

h

Las constantes A,B,C,D de (8.8) y (8.10) deben ser calculadas usando las propiedades de las funciones y las condiciones de contorno del problema.

• En la ecuación (8.10) para que se cumpla que la función se finita, esto es

II( ) 0xψ = ∞ → , se debe hacer C = 0, de lo contrario se tendría

II( )xψ = ∞ → ∞ .

Nota: Con la ecuación (8.8) no ocurre la situación anterior, por ejemplo el término

positivo (cos )ikxAe A kx i senkx= + no es infinito para x = ∞, dado que los valores de seno y coseno están acotados.

• Aplicando la continuidad de la función para el punto x = 0, esto es

I II( 0) ( 0)x xψ ψ= = = se tiene que A+B=D.

• Aplicando la continuidad de la derivada para el punto x = 0, esto es

I II´ ( 0) ´ ( 0)x xψ ψ= = = o también I II

0 0x x

d d

dx dx

ψ ψ

= =

= se obtiene

1 1 2( )ik A ik B k D+ − = − o también

1 2)(ik A B k D− = − .


87

Se tienen las ecuaciones A B D+ = y 2

1

)( kA B i D

k− = de donde logra

2

1

(1 )2

kDA i

k= + 2

1

(1 )2

kDB i

k= −

Finalmente se reemplazan en las funciones:

2 2

1 1

1 1I 1 1

2 2( ) ik x ik xk kD D

i ik k

x e eψ −+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ para x ≤ 0 (8.11)

2

II ( ) k xDx eψ −= para x ≥ 0 (8.12)

• Para x ≤ 0 (región I) la ecuación (8.11) representa dos ondas viajando en sentidos contrarios, explicable por que la partícula viaja en sentido positivo y la posibilidad de choque contra la barrera y se devuelva.

• Para x ≥ 0 (región II) representa la posibilidad de que la partícula al chocar

contra la barrera penetre, claro está, la probabilidad decrece exponencialmente. Este resultado está prohibido por la física clásica.

V(x)=V0 E < V0 I II V(x)=0 x=0

Figura N° 8.4 En la región I una onda choca contra la barrera de potencial y se regresa, pero existe la posibilidad de penetrar la región II.

( )xψ x x=0


88

Figura N° 8.5 Onda que representa una partícula que choca en x=0 y penetra después de la barrera.

8.2.2 POTENCIAL ESCALÓN CON ENERGÍA DE LA PARTÍCULA MAYOR QUE

EL POTENCIAL: E > V0. E > V0 V(x)=V0 V(x)=0 I II x=0

Figura N° 8.6 Potencial escalón con energía de la partícula mayor que el potencial (E > V0).

Se tienen dos regiones: 0 x < 0 Región I

V(x) = Vo x > 0 Región II

Región I : La ecuación de Schrödinger es

2 2

22d V

m dxψ ψ−

+h Eψ=

2

2 2

2 0d mEdxψ ψ+ =

h (8.13)


I ( ) ik x ik xx Ae Beψ −= + (8.14)

Donde 1

2m Ek =h

Región I I: La ecuación de Schrödinger es


89

2 2

022d V E

m dxψ ψ ψ−

+ =h

2 2

022( ) 0d V E

m dxψ ψ−

+ − =h

2

02 2

2 ( ) 0d m E Vdxψ ψ+ − =

h (8.15)


II ( ) ik x ik xx Ce Deψ −= + (8.16)

Donde 02

2 ( )m E Vk

−=

h

Las constantes A,B,C,D de las ecuaciones (8.14) y (8.16) deben ser calculadas usando las propiedades de las funciones y las condiciones de contorno del problema.

• Tanto en la región I como en la región II las soluciones dadas por las ecuaciones (8.14) y (8.16) representan ondas viajeras en direcciones +x y -x. Pero en la ecuación (8.16) la onda que viaja en la región II en dirección -x, no es una solución físicamente aceptable por que implica para la partícula un choque contra un obstáculo en x=∞ y se devuelva. Por tanto D = 0.

• La continuidad de la función para el punto x=0, esto es

I II( 0) ( 0)x xψ ψ= = = nos lleva a A+B=D.

• Aplicando la continuidad de la derivada para el punto x=0, esto es

I II´ ( 0) ´ ( 0)x xψ ψ= = = o también I II

0 0x x

d d

dx dx

ψ ψ

= =

= se obtiene

1 1 2( )ik A ik B ik C+ − = o también 2

1

)( kA B C

k− = .


90

Se tienen las ecuaciones A B D+ = y 2

1

)( kA B C

k− = de donde logra

2

1

(1 )2

kCA

k= + 2

1

(1 )2

kCB

k= −

Finalmente se reemplazan en las funciones y queda:

2 2

1 1

1 11 12 2

ik x ik xk kC C

k ke e−

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

para x ≤ 0 (8.17)

( )xψ =

2k xCe− para x ≥ 0 (8.18)

• En la región I (para x ≤ 0) la ecuación (8.17) representa dos ondas viajando en sentidos contrarios, explicable por que la partícula viaja en sentido positivo y la posibilidad de choque contra la barrera y se devuelva. Este resultado no es predecible clásicamente.

• Al llegar la partícula a la barrera pasa a la región II (para x ≥ 0) con menor

energía cinética.

E > V0 V(x)=V0 I II V(x)=0 x=0

Figura N° 8.7 En la región I la onda choca contra la barrera y existe la posibilidad de rebotar o continuar a la región II con menor energía.

Problema: Para el potencial escalón. Hallar la cantidad de movimiento lineal (momentum) en cada una de las regiones. Desarrollo


91

Región I. Para esta región tanto para E < Vo como con E > Vo se

tiene1

2m Ek =h

y la energía es solo cinética E=½mv2, por tanto

2

12 ( v ) vm m m pk = = =

h h h

½

El momentum es 11 1

22h hp k ππ λ λ

= = =h

1

hpλ

= Compatible con de De Broglie.

Región II.

• Cuando E < Vo .

Se tiene que 02

2 ( )m V Ek

−=

h, aquí la energía es cinética y potencial

E=½mv2 + Vo, por tanto 2 2 2

0 02

2 ( v ) vm V m V mk− − −

= =h h

½

2ipk =h

• Cuando E > Vo.

Se tiene que 0 22 0 0

2 ( ) 1 2 ( v )m E V

k m m V V−

= = + −h h

½

2 2

21 v pk m= =h h

El momentum es 22 2

22h hp k ππ λ λ

= = =h


92

2

hpλ

= Concuerda con el postulado de De Broglie.

En la región I el momentum está plenamente determinado, por tanto a la partícula se le asocian ondas planas bien determinadas. En el segundo caso (E > Vo) de la región II el momentum está también plenamente determinado, por lo cual se tienen ondas planas bien determinadas. Esto no ocurre para el primer caso (E < Vo) de la región II. 8.3 CAJA DE POTENCIAL UNIDIMENSIONAL Se trata de imaginar una partícula que se encuentra con movimiento restringido dentro de una caja unidimensional de ancho definido y paredes con potenciales infinitos. Este problema es también llamado pozo de potencial. Explícitamente el potencial está dado por: V(x) ∞ x<0 ∞ ∞ V(x)= 0 0≤x≤a I II III ∞ x>0 0 a Figura N° 8.8 Pozo de potencial de ancho “a”. Como el movimiento de la partícula esta restringido dentro de la caja, la partícula no estará en las regiones I y III, por tanto I III( ) ( ) 0x xψ ψ= = y solo aplicaremos

la ecuación de Schrödinger para la región II

22

IIII22

d Vm dx

ψ ψ−+

hIIEψ=


93

2

IIII2 2

2 0d mEdxψ ψ+ =

h (8.19)

Cuya solución es II ( ) cosx A kx Bsenkxψ = + (8.20)

Donde 2m Ek =h

Las constantes A y B de la ecuación (8.20) se calculan con las propiedades de las funciones y las condiciones propias del problema.

• La continuidad de la función para el punto x=0 y x=a es:

I II( 0) ( 0)x xψ ψ= = =

II III( ) ( )x a x aψ ψ= = =

0 cos 0 0A Bsen= + 0Bsen ka =

0A = 0sen ka =

II( )x Bsen kxψ = 1, 2, 3, ..ka n nπ= =

n

ak

π=

A sí la función es:

II( )

nx Bsen x

k

πψ = (8.21)

No se tomó a n=0 por que

II0ψ = , e indicaría que la partícula no está dentro de la

caja. Problema: Hallar explícitamente la constante B, por medio de la normalización de la función. Desarrollo


94

II0

* 1a

dxψ ψ =∫

2 2 2 2

0 0

1a an nB sen xdx B sen xdx

a aπ π

= =∫ ∫ con ;n n

u x du dxa a

π π= =

2 2

0

22

cos( ) 1na a usen udu B du

n n

π

π π= − =∫ ∫ ½

2

20 1a nB

nπ

π⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

también 2

21a B =

2Ba

=

Finalmente la función solución para el pozo de potencial es:

II2( ) nx sen xa a

πψ = 1, 2, 3, ..n = (8.22)

n( )xψ ( )

nxψ

x=0 x=a a

1ψ

1ψ

2ψ

2ψ

3ψ

3ψ


95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura N° 8.9 Gráfica de las primeras funciones de onda y sus respectivas densidades de probabilidad del pozo de potencial.

• Energía:

2

2n mEk

a

π= =

h por tanto

2 2

2 2

2mE n

a

π=

h

2 2

2 2

2 22 8n

hE n n

ma ma

π= =

h con 1, 2,3,..n = (8.23)

La energía está cuantizada. n=5 E5 = 25E1 n=4 E4 = 16E1 n=3 E3 = 9E1 n=2 E2 = 4E1 n=1

2

18

hE

m a=

Figura N° 8.10 Gráfica de las energías del pozo de potencial.

• El momentum:

p

k =h

o también p k= h

n

np n

a a

π π= =

hh con 1, 2,3,..n =

El momentum está cuantizado.


96

8.4 OSCILADOR ARMÓNICO Primero examinaremos como se aborda clásicamente el oscilador armónico simple, posteriormente se estudia desde la mecánica cuántica y se observará sus diferencias e implicaciones. 8.4.1 OSCILADOR ARMÓNICO CLASICO La situación mas ejemplarizante de un oscilador armónico, consiste de una partícula de masa m que se mueve en una dimensión bajo la acción de una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento, fuerza que obedece a la ley de Hooke F = - kx como la que realiza un resorte con constante k. La partícula se mueve en concordancia con la segunda ley de Newton, por tanto k m x x=-A x=0 x=A Figura N° 8.11 Oscilador armónico clásico.

2

2

d xF ma m kxdt

= = = − (8.24)

Ecuación que se puede escribir como

2 2

2 22 2( ) 0 donde

d x k d x kx xdt m dt m

ω ω+ = + = = (8.25)

La solución de anterior ecuación (8.25) es


97

1 2 1 2cos( ) ( )i t i tx B e B e C t C sen tω ω ω ω−= + = + (8.26) Las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema.

• ω es la frecuencia angular

2km

ω πυ= =

• υ es la frecuencia del movimiento.

• Si en el instante t=0 la partícula se encuentra en la posición de extrema A

(figura N° 8.11), donde la velocidad es cero, entonces C1=A y C2=0. Por tanto la ecuación (8.26) se transforma en

cos( )x A tω= (8.27)

• A, es la amplitud del movimiento.

• La velocidad está dada por v ( )A sen tω ω= −

• La aceleración será 2 cos( )a A tω ω= −

• La energía cinética Ek 2 2 2 2 2v ( )kE m mA sen t kAω ω= = =½ ½ ½

• La energía potencial V 2 2 2V cos ( )kx kA tω= =½ ½

• La energía total 2 2 2 2V ( ) cos ( )kE E kA sen t kA tω ω= + = +½ ½


98

2 2 2E kA m Aω= =½ ½ En la figura N° 8.12 se observa la energía total como suma de las energías cinética y potencial que varían en forma continua desde cero hasta un valor máximo. La energía total fija un máximo desplazamiento de la partícula a ambos lados de la posición de equilibrio. V(x) E Ek V - A 0 X A Figura N° 8.12 Energía de un oscilador clásico. 8.4.2 OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO Desde el punto de vista de la mecánica cuántica el tratamiento para el oscilador armónico, consiste en aplicar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, con un potencial V(x) = ½ kx2.

2 2

222

d kx Em dx

ψ ψ−+ =

h ½ (8.28)

2

22 2

2 ( ) 0d m E kxdxψ ψ+ − =

h½

2

22 2 2

2 0d mE mk xdxψ ψ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠h h (8.29)

La forma particular que toma la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico, debido a la definición del potencial como V(x) = ½ kx2, para las


99

situaciones extremas de x= ± ∞ no sirve tener una función de onda que se mantenga finita en el infinito, por que no podría ser normalizada para dar probabilidades de encontrar la partícula en regiones finitas del espacio. Por tanto se debe imponer que la función tienda a cero o se desvanezca, para distancias infinitas del origen; esta situación es llamada comportamiento asintótico. Encontrar la solución de la ecuación (8.29), no es simple. Para facilitar los cálculos se deben seguir los siguientes pasos:

• Expresar en forma adimensional la ecuación (8.29). • Hallar el comportamiento asintótico de la función de onda ( )xψ . • La solución será el producto de la función asintótica por otra función que

determine el comportamiento para x= ± ∞. • La ecuación diferencial se resuelve por el método de serie de potencias. • Finalmente se determinan las condiciones para que la función de onda sea

una solución adecuada del problema. Hacemos los siguientes cambios de variables:

2

22 2

2 yE mk mωβ αω

= = =h h h

(8.30)

2

2 2m E mEωαβω

= =h h h

(8.31)

xξ α= (8.32) Aplicando la regla de la cadena se tiene

d d d ddx d dx dψ ψ ξ ψα

ξ ξ= =

2 2

2 2

d d d d ddx d dx dx dψ ψ ξ ψα

ξ ξ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.33)

Sustituyendo en la ecuación (8.29) obtenemos

2 2

22 0d

dψ ξα αβ α ψξ α

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠


100

Simplificando

( )2

22 0d

dψ β ξ ψξ

+ − = (8.34)

La ecuación (8.34) se solucionaría por serie de potencias, pero la función de onda que debe ser finita, entre < <ξ−∞ ∞ , diverge para ξ → ±∞ ; lo anterior obliga al empleo del método de expansión asintótica de la función, que consiste en buscar una función ψ para grandes valores que se llamará ψ

∞. Dado que en la ecuación

(8.34) β es despreciable comparada con ξ , se reduce a la ecuación asintótica

2

22 0d

dψ ξ ψξ

∞∞− = (8.35)

Cuya solución es de la forma

2

eσξψ∞ = (8.36) Para determinarσ se sustituye (8.36) en la ecuación (8.35), se tiene

2

2 2

2

2

(4 2 )d

deσξψ

σ ξ σξ

∞ = + sustiyendo 2 2 22 2

(4 2 ) 0e eσξ σξσ ξ σ ξ+ − =

Simplificando, se tiene 2 2 2(4 2 ) 0σ ξ ξ σ+− = , aquí el término 2σ se desprecia

respecto al valor grande de ξ . Por tanto 24 0σ = finalmente σ ±= ½ por lo que la solución de la ecuación asintótica (8.35) es

2 2

e eξ ξψ + −∞ = +½ ½

Aplicando el requisito de finitud, el primer término debe ser cero, por tanto

2

e ξψ −∞ =

½ (8.37) La ecuación (8.37) es solo válida para valores grandes de ξ . A continuación se debe hallar una solución que sea válida para valores grandes y pequeños de ξ . Para esto asociamos la función asintótica (8.37) con otra función

( )H ξ la cual debe tener un buen comportamiento en la región de valores pequeños de ξ y que necesitamos hallar.


101

2

( ) ( )H e Hξψ ψ ξ ξ−∞= = ½ (8.38)

Derivando (8.38) y reemplazando en la ecuación (8.34), como sigue

2d dH H e

d dξψ ξ

ξ ξ−⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

½

2

2 22

2 2 2d d H dH H H ed d d

ξψ ξ ξξ ξ ξ

−⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

½

Sustituyendo en la ecuación (8.34) se tiene la ecuación de Hermite

2

2 2 ( 1) 0d H dH Hd d

ξ βξ ξ

− + − = (8.39)

Esta ecuación (8.39) es llamada Ecuación de Hermite. La solución de la ecuación de Hermite es por serie de potencias, que consiste en suponer que

0 0

( ) q sq s

q s

H c cξ ξ ξ∞ ∞

= =

= =∑ ∑ (8.40)

( 1)

1( ) q

qq

dHH qcd

ξ ξξ

∞−

=

= =∑ el segundo término de (8.39) queda

( 1)

1 0 02 2 2 2q q s

q q sq q s

dH qc qc scd

ξ ξ ξ ξ ξξ

∞ ∞ ∞−

= = =

− = − = − = −∑ ∑ ∑

2

( 2)22

2 0

´ ( ) ( 1) ( 1)( 2)q sq s

q s

d HH q q c s s cd

ξ ξ ξξ

∞ ∞−

+= =

= = − = + +∑ ∑

La ecuación de Hermite (8.39) será ahora

20 0 0

( 1)( 2) 2 ( 1) 0s s ss s s

s s s

s s c sc cξ ξ β ξ∞ ∞ ∞

+= = =

+ + − + − =∑ ∑ ∑


102

Es decir:

[ ]20

( 1)( 2) (2 1) 0ss s

s

s s c s cβ ξ∞

+=

+ + − − + =∑ (8.41)

La expresión (8.41) se satisface si el contenido en paréntesis cuadrado es cero, o lo que es lo mismo, se debe cumplir

2(2 1)( 1)( 2)s s

sc cs s

β+

− +=

+ + (8.42)

La expresión (8.42) es llamada fórmula de recurrencia para los coeficientes y a partir de ella se pueden inferir las siguientes situaciones:

• El numerador de la ecuación de recurrencia se vuelve cero, esto es (2 1)s β= − , cuando s llega a tener un valor n.

• A partir de allí los coeficientes son cero 2 0sc + =

Esto se puede escribir como:

(2 1)n β= − o bien 22 1 Enβω

= + =h

por tanto: 2 1

2nE ω +

= h

Además, como ( )(2 )2

hω πν

π=h , los valores permitidos para la energía total del

oscilador armónico cuántico, es:

0,1, 2,3,...

( ) ( )nE n h nnω ν= + = +

=

h ½ ½ (8.43)

La energía del oscilador armónico está cuantizada y por tanto su espectro es discreto; en contraste con los valores continuos que establece la mecánica clásica.

• La función de Hermite H, se transforma de serie en polinomio. • ( )H ξ es un polinomio de grado n, llamados Polinomios de Hermite ( )nH ξ .


103

• Los polinomios de Hermite27 están dados por la relación:

22

( ) ( 1)( )n

nn nH

con x

d eed

ξξξ

ξ α

ξ

−

= −

=

(8.44)

La función de onda normalizada que describe el comportamiento de una partícula con movimiento armónico simple, es

2 2

( ) ( ) ( )2 !n n nn

Ne H e Hn

ξ ξαψ ξ ξ ξπ

− −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

½

½ ½ (8.45)

En la tabla 8.1 se presentan los polinomios de Hermite, las funciones de onda del oscilador armónico cuántico normalizadas y los respectivos valores de la energía.

Tabla 8.1 Polinomios de Hermite, funciones y energías del oscilador armónico cuántico.

n Polinomio ( )n

H ξ Función Normalizada ( )n

ψ ξ Energía n

E 0

01H =

2

0 ( ) eα

π

ξξψ −=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

½

½

0E hν= ½

1

12H ξ=

2

21 ( ) 2 e ξα

π

ξψ ξ −=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

½

½

1

3

2E hv=

2

2

24 2H ξ= − 2

8

22 ( ) (4 2)e

α

π

ξξψ ξ −=

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

½

½ 2

5

2E hv=

3

3

38 12H ξ ξ= − 2

48

33 ( ) (8 12 )e ξα

π

ξψ ξ ξ −= −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

½

½3

7

2E hv=

… ……. ………. ….. n

2

2

( ) ( 1)( )

n

n

n nH

d ee

d

ξ

ξξ

ξ

−

= − 2

2 !( ) ( )

nnnn

e Hξα

π

ξ ξψ −=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

½

½

( )

nE n hv= + ½

27 M.R. Spiegel, Manual de fórmulas y tablas matemáticas, Mc Graw-Hill, Nueva Cork, 1968, pag. 151.


104

nE

n=3 2

3ψ

3

7

2E h v=

n=2 2

2ψ

2

5

2E h v=

n=1 2

1ψ

1

3

2E h v=

n=0 2

0ψ

0E hν= ½ 0

Figura N° 8.13 Densidad de probabilidad de las funciones y energía clásica continua y cuántica discreta, del oscilador armónico.

8.5 ÁTOMO DE HIDRÓGENO Un átomo de hidrógeno, se considera conformado por un protón como núcleo y un electrón ligado a este, debido a una interacción electrostática de Coulomb. La interacción se describe por medio de una función de energía potencial que solo depende de la distancia entre el electrón y el protón. Al considerar el protón como núcleo en reposo y en el origen de un sistema de coordenadas, la interacción (de atracción) sentida por el electrón será la misma en cualquier punto del espacio mientras la distancia protón – electrón no cambie. Es decir, el problema posee simetría esférica. Por lo tanto, para la solución cuántica del átomo de hidrógeno, se utilizará la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas.


105

2

2 ( ) ( ) ( ) ( )2

r V r r E rm

ψ ψ ψ− ∇ + =h r r r r

(8.46)

En coordenadas esféricas ( , , )r r r θ ϕ=

r r, con rangos r−∞ ≤ ≤ ∞ ; 0 θ π≤ ≤ y

0 2ϕ π≤ ≤ . El potencial es

2

( )4 o

eV rrπε

= − (8.47)

El laplaciano en coordenadas esféricas es

2

2 2

2 2 2 2

1 1 1( , , ) ( ) ( )r r sen

r r r r sen r senθ ϕ θ

θ θ θ θ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (8.48)

Por tanto la ecuación de Schrödinger se escribe como

2

2 2 2 2

221 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

r sen r V r r E rm r r r r sen r sen

θ ψ ψ ψθ θ θ θ ϕ

− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

h r r r (8.49)

La ecuación (8.49) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, que puede resolverse por una metodología llamada separación de variables. Lo cual es posible por la independencia de las coordenadas, que permite que la función de tres (3) variables ( , , )rψ θ ϕ , se reemplace el producto de tres (3) funciones de una sola variable θ( , , ) ( ) ( ) ( )r rRϕ ϕψ θ= ΦΘ (8.50) Por consiguiente la ecuación de Schrödinger se escribe de la siguiente manera

[ ]2

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0

R R R mr sen E V r R

r r r r sen r sen ϕ

∂ ∂ ΘΦ ∂ ∂ ΘΦ ∂ ΘΦ+ θ + + − ΘΦ =

∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ h

(8.51)

[ ]2

2

2 2 2 2 2 2

2( ) ( ) ( ) 0

R R R mr sen E V r R

r r r r sen r sen ϕ

ΘΦ ∂ ∂ Φ ∂ ∂Θ Θ ∂ Φ+ θ + + − ΘΦ =

∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ h

Dividiendo por RΘΦ y multiplicando por 2 2r sen θ se tiene


106

[ ]2 2 2 2

2

2 2

1 2( ) ( ) ( ) 0

sen R sen mr senr sen E V r

R r r ϕ

θ ∂ ∂ θ ∂ ∂Θ ∂ Φ θ+ θ + + − =

∂ ∂ Θ ∂θ ∂θ Φ ∂ h (8.52)

La ecuación anterior (8.52) puede separarse en dos ecuaciones, una solamente en función de ϕ y la otra en función de r y θ .

[ ]2 2 2 2

2

2 2

22 1( ) ( ) ( ) l

sen R sen mr senr sen E V r m

R r r ϕ

θ ∂ ∂ θ ∂ ∂Θ θ ∂ Φ+ θ + − = − =

∂ ∂ Θ ∂θ ∂θ Φ ∂h(8.53)

Como las dos ecuaciones dependen de variables distintas, deben ser iguales a una constante, que se elige como 2

lm . Por tanto los dos últimos términos de la ecuación (8.53) se pueden escribir

2

2

21lm

ϕ

∂ Φ= −

Φ ∂ (8.54)

La ecuación (8.54) es llamada azimutal. De otro lado

[ ]2 2 2

2

2

22( ) ( ) ( ) l

sen R sen mr senr sen E V r m

R r r

θ ∂ ∂ θ ∂ ∂Θ θ+ θ + − =

∂ ∂ Θ ∂θ ∂θ h (8.55)

La ecuación (8.55) nuevamente se puede separar en dos ecuaciones que dependan cada una de r y θ .

[ ]22

2

2 2

1 2 1( ) ( ) ( ) ( 1)l

mR mrr E V r sen l l

R r r sen sen

∂ ∂ ∂ ∂Θ+ − = θ = +

∂ ∂ θ Θ θ ∂θ ∂θ−

h

(8.56) Como los dos términos de la ecuación (8.56), dependen de variables distintas, deben ser iguales a una constante, que en este caso se elige ( 1)l l + . Es decir,

[ ]2

2

2

1 2( ) ( ) ( 1)

R mrr E V r l l

R r r

∂ ∂+ + − = +

∂ ∂ h (8.57)

La ecuación (8.57) es llamada radial.


107

2

21

( ) ( 1)lmsen l l

sen sen

∂ ∂Θθ − = − +

Θ θ ∂θ ∂θ θ (8.58)

La ecuación (8.58) es llamada polar. Se observa que las ecuaciones (8.54), (8.57) y (8.58) tienen derivadas de una sola variable, por tanto se pueden expresar como Ecuación azimutal:

2

2

20l

dm

dϕ

Φ+ Φ = (8.59)

Ecuación polar:

2

21

( ) ( 1) 0lmd dsen l l

sen d d sen

Θθ + + − Θ =

θ θ θ θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.60)

Ecuación radial:

( )2

2 2 2

1 2 ( 1)( ) ( ) 0

d dR m l lr E V r R

r dr dr r

++ − − =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦h

(8.61)

Las ecuaciones (8.59), (8.60) y (8.61) son tres (3) ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden; cada una, en una de las variables originales del problema, es decir, se transformó un problema de tres variables, en tres (3) problemas de una sola variable, gracias al método de separación de variables. 8.5.1 ECUACIÓN AZIMUTAL Comencemos solucionando la ecuación (8.59) llamada azimutal

2

2

20l

dm

dϕ

Φ+ Φ = que tiene por solución ( ) lim

Aeϕ

ϕ±

Φ =

Como la función de onda debe ser univaluada, se debe cumplir


108

( ) ( 2 )ϕ ϕ πΦ = Φ + Por tanto: ( 2 ) 2 )l l l lim im im i m

Ae Ae Ae eϕ ϕ π ϕ π± ± + ± ±= =

De donde 2

1li me

π±= lo cual implica que lm sea un entero para que se cumpla

dicha igualdad. Se tiene entonces que la solución de la ecuación azimutal es: ( ) limAe ϕϕΦ = con 0, 1, 2, 3,...lm ± ± ±= (8.62) Problema. Por normalización de la función ( )ϕΦ , hallar la constante A de la ecuación(8.62) Desarrollo 2 2 2

2

0 0 0

* * 1l l

l l

im im

m md Ae A e d A d

π π π

ϕ ϕϕ ϕ ϕ−Φ Φ = = =∫ ∫ ∫

2 2 1A π = por tanto 1

2A

π= o tambien

1

2A

π=

Finalmente la función azimutal es

1

2( ) lime ϕ

πϕΦ = con 0, 1, 2, 3,...lm ± ± ±= (8.62)

8.5.2 ECUACIÓN POLAR Para solucionar la ecuación polar (8.60) se procede así:

• Se hace el cambio de variable cosx = θ . • Se transforma ( ) ( )xΘ θ → Θ • Se efectúan las derivadas


109

En la ecuación (8.60) se realizan los siguientes cambios: cosx = θ derivando

dx sen d= − θ θ , luego d d

send dx

= − θθ

, también se tiene 2 2 2cos 1x sen= θ = − θ ,

por tanto 2 2(1 )sen xθ = − . Reemplazando estos cambios en (8.60), se tiene

2

2( )

( ( ) ) ( 1) 01

lmsen d dsen sen l l

sen dx dx x

− θ Θθ − θ + + − Θ =

θ −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

2 22 2

( ) ( 1) (1 ) ( 1) 01 1

l lm md d d dsen l l x l l

dx dx x dx dx x

Θ Θθ + + − Θ = − + + − Θ =

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

222

2(1 ) ( 2 ) ( 1) 01

lmd dx x l l

dx dx x

Θ Θ− + − + + − Θ =

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.63)

La ecuación diferencial (8.63) es la ecuación asociada de Legendre que satisface los polinomios asociados de Legendre. Finalmente la función polar queda , , , cos( ) ( )l l

l l l

m ml m l m l l m lN P x N P θΘ = = (8.64)

Donde los polinomios asociados de Legendre ( )lm

lP x se definen como

2( ) (1 ) ( )l

l

l

mm

l lm

dP x x P xdx

= − (8.65)

Aquí ( )lP x son los polinomios ordinarios de Legendre; estos polinomios

ordinarios son de orden l , por lo que la derivada de la ecuación (8.65) está

limitada por cuanto ( ) 0lmlP x = para ll m> y se impone la restricción lm l≤ ,

que limita los posibles valores de lm a: 0, 1, 2, 3,...lm ± ± ±= Los polinomios ordinarios de Legendre ( )lP x se definen por la ecuación de recurrencia


110

21( ) ( 1)2 !

ll

l l l

dP x xl dx

= − (8.66)

El término , ll mN en (8.64) es un factor de normalización cuyo valor es

( )

,(2 1)( )!

2( )!( 1) l

l

l l

l

m ml m

l l m

l mN + + −

+−

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

½½

(8.67)

Finalmente la función polar

(2 1)( )!

2( )!( ) (cos )l

l

l lm ml l

l l m

l mP+ −

θ θ+

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦Θ

½

(8.68)

0, 1, 2, 3,...lm ± ± ±= 8.5.3 ECUACIÓN RADIAL La ecuación radial que especifica el comportamiento del electrón con respecto a la distancia del protón esta dada por (8.61) que recordando que la energía potencial

2

( )4 o

eV rrπ ε

= − volvemos a reescribir como

2 2

2

2 2 2

1 2 ( 1)( ) 0

4 2o

d dR m e l lr E R

r dr dr r m rπε

++ + − =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

h

h (8.69)

Examinando los primeros términos dentro del paréntesis cuadrado se concluye la existencia de una función potencial efectivo ( )efV r dada por

2 2

2

0

( 1)( )

4 2ef

e l lV r

r mrπε

+= − +

h (8.70)

El potencial efectivo obtenido por la suma de las dos contribuciones, tiene forma de pozo de potencial (figura N° 8.14), por consiguiente existen estados ligados.


111

( )efV r 2r ( )efV r 1( )r −− Figura N° 8.14 Potencial efectivo con forma de pozo de potencial Luego de realizar las derivadas indicadas en la ecuación (8.69) se llega a

2 2 2

0

22

2

2 2 2 ( 1)0

4

d R dR m m e l lE R

dr r dr r rπε

++ + + − =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦h h

(8.71)

Para resolver la ecuación (8.71), se hacen las siguientes sustituciones con el fin de obtener una ecuación sin dimensiones, se procede así:

• Se hace el cambio de variable rρ β= • Se transforma ( ) ( )R r R ρ→ • Se efectúan las derivadas

En la ecuación (8.71) se realizan los siguientes cambios: rρ β= por tanto

d drρ β= , luego d d

dr dβ

ρ= , también

2 2

2 2

d d

dr dβ

ρ= obtenemos

2 2 2

0

2

2

2

2

2 2 2 ( 1)0

4

d R dR m m e l lE R

d d β βρρ ρ ρ πε ρ

++ + + − =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦h h

(8.72)


112

Renombramos: 2

2

0

2

4

m en

πε β=

h también 2

2

8mEβ = −

h; obsérvese que 2 0β > ya

que las energías para estados ligados, es negativa, luego se realizan las sustituciones y se obtiene la ecuación adimensional

2

2

2

2 1 ( 1)0

4

d R dR n l lR

d dρ ρ ρ ρ ρ

++ + − − =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.73)

El comportamiento asintótico cuando ρ → ∞ entonces aR R= y la ecuación (8.73) se transforma en la ecuación asintótica

2

2

10

4

aa

d RR

dρ+ = (8.74)

Cuya solución es aR Ae Beρ ρ−

= +½ ½ (8.75)

El exponencial positivo no es aceptable por que cuando ρ → ∞ diverge aR → ∞ y se impone 0A = . Por tanto aR Be ρ−

=½ (8.76)

La solución será el producto de la función asintótica por otra función ( )F ρ que se debe determinar, esto es ( ) ( ) ( )a eR R F Fρρ ρ ρ−= = ½ (8.77) Reemplazando (8.77) en la ecuación (8.73) se obtiene:

2

2

2

2 1 ( 1)( 1) 0

d F dF n l lF

d dρ ρ ρ ρ ρ

− ++ − + − =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación que al multiplicarla por ρ se puede reescribir como


113

2

2

( 1)(2 ) ( 1) 0

d F dF l ln F

d dρ ρ ρρ ρ

++ − + − − =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.78)

La ecuación (8.78) es parecida a la ecuación diferencial asociada de Laguerre

,, ,( 1 ) ( ) 0xy m x y s m y+ + − + − = que posee como solución ( ) ( )m

sy x L x= con

s entero, donde m

sL son los polinomios asociados de Laguerre. Como se presenta una singularidad en 0ρ = entonces sebe adoptar para ( )F ρ la forma 2( ) ( )l l l l

n n lF Lρ ρ ρ++= (8.79)

La función radial solución de la ecuación radial (8.69) queda 2

,( ) ( )l l l ln n l n leR B Lρρ ρρ − +

+= ½ (8.80) Donde los polinomios asociados de Laguerre 2 ( )l l

n lL ρ++ se definen como

( ) ( 1) ( )l

l ln nl

dL L

dρ ρ

ρ= − (8.81)

Aquí ( )nL ρ son los polinomios ordinarios de Laguerre; estos polinomios ordinarios son de orden n . Por la forma de obtener los polinomios asociados y con el fin de que no se anulen, que implicaría una función de onda nula, es necesario que (2 1) ( )l n l+ ≤ + o lo que es lo mismo que 1l n≤ − , que en forma explicita es

0,1, 2,3,...,( 1)l n= − . Los polinomios ordinarios de Laguerre ( )nL ρ se definen por la ecuación de recurrencia

( ) ( )n

nn n

dL e ed

ρ ρρ ρρ

−= (8.82)

El término ,n lB en (8.80) es un factor de normalización cuyo valor es28

28 La deducción se puede ver en el siguiente problema.


114

[ ]

3

, 30

( 1)!

2 ( )!

2n l

n l

n n lB

na− −

+

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

½

(8.83)

Finalmente la función radial

[ ]

32

30

( 1)!

2 ( )!( )

2( )l l l ln n le

n l

n n lR L

naρ ρρ ρ− +

+

− −

+

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

½

½ (8.84)

Donde

nrρ β= ; 2

2

0

2

4nm e

nβ

πε=

h;

2

2 8 nn

mEβ = −

h (8.85)

Problema. Por normalización de la función ( )l

nR ρ , hallar la constante ,n lB de la ecuación (8.83). Desarrollo Para la normalización se debe recordar que estamos en coordenadas esféricas

2 2

0

( ) 1l

nR r r dr

∞

=∫ como rρ β= entonces 2

2rρ

β= y también 2 d

drρ

β=

reemplazando se tiene

2 2

0

3 ( ) 11 l

nR drρ ρ

β

∞

=∫ teniendo en cuenta el denominado como radio de Böhr

(5.35) 2

2

4o

o or a

me

πε= =

h de la ecuación (8.85)

2

2

0 0

2 2

4

m e

n naβ

πε= =

h la ecuación de

normalización toma la forma explicita

( )23 2 2 20

,

0

( )1 ( )2

l l l

n l n l

naA e L dρ

ρρ ρ∞

− +

+= ∫ también ( )23 2 20

0

2

,1 ( ) ( )

2

l l l

n ln l

nae L dA ρρ ρ ρ

∞

− +

+= ∫


115

Utilizando la integral29 del pié de página y haciendo allí las homologaciones n n l→ + y 2 1m l→ + de la integral se tiene

[ ][ ][ ]

[ ]3 32

2 2

0

2 2( ) (2 1) 1 ( )! 2 ( )!

( ) (2 1) ! ( 1)!( )l l l

n ln l l n l n n l

e dn l l n l

Lρ ρ ρρ∞

− + ++

+ − + + + += =

+ − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Aplicando a la solución

[ ]3

30 2

,

2 ( )!1 ( )

2 ( 1)!n l

na n n l

n lA

+=

− − es decir que la constante de normalización es

[ ]

3

3

0

,2 ( 1)!

2 ( )!n l

n l

na n n lA

− −

+

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

½

(8.86)

De esta manera obtuvimos el factor de normalización de la ecuación radial. Recapitulando los últimos resultados para la función azimutal ( )

lm ϕΦ ecuación

(8.62), la función polar ( )lml θΘ ecuación (8.68) y la función radial ( )l

nR ρ ecuación (8.84); finalmente se obtienen las funciones propias del átomo de hidrógeno definidas en la ecuación (8.50) con sus respectivos números cuánticos como θ( , , ) ( ) ( ) ( )l

l l

mlnlm n l mr rRϕ ϕψ θ= ΦΘ (8.87)

Los valores propios de la energía, se deducen de la ecuación (8.85)2

2 8 nn

mEβ = −

h

despejando se tiene la energía 2

2

8n nmE β= −

h utilizando el valor de beta

2

2

0

2

4nm e

nβ

πε=

h los valores propios de la energía para el átomo de hidrógeno es

29 Integral: [ ]3

21 2

0

(2 1)( !)

( )!( )m x l l

n l

n m n

n mx e L dxρ

∞

+ − +

+

− +

−=∫


116

4

2 2 2 20

132n

meEnπ ε

= −h

(8.88)

Para el estado fundamental 1n = y la energía es

113,6E eV= − por tanto en

términos energéticos la energía del átomo de hidrógeno se puede escribir como 13,6nE eV= − (8.89) Los números cuánticos , , ln l m que se introducen en la solución de las tres ecuaciones diferenciales y que aparecen en la función de onda (8.87) que caracteriza al átomo de hidrógeno, en resumen toman los nombres y poseen las siguientes restricciones: Tabla N° 8.2 Números cuánticos , , ln l m

NOMBRE DEL NÚMERO CUÁNTICO

VALORES DEL NÚMERO CUÁNTICO

Número cuántico principal 1, 2,3, 4,5, 6,...n = Número cuántico orbital 0,1, 2,3, 4,5,6,..., ( 1)nl −= Número cuántico magnético 0, 1, 2, 3, 4,...,l lm ± ± ± ± ±=

Abordado el problema del átomo de hidrógeno desde el punto de vista de la mecánica cuántica se puede afirmar lo siguiente:

• Se comprueba y se supera la teoría del átomo de hidrógeno enunciada por Böhr

• El postulado de Böhr de la cuantización de la energía, sale como una consecuencia al resolver la ecuación radial.

• Los números cuánticos , , ln l m y sus restricciones son una consecuencia de la solución de las ecuaciones diferenciales, en contraste de la teoría de Böhr en la que solo aparece el número cuántico n y es postulado.

• Los otros números cuántico se pueden explicar y determinan la cuantización tanto de la magnitud como de la orientación momento angular.

BIBLIOGRAFÍA Eidelman González L.

117

BIBLIOGRAFIA

8.6 Textos de Física Moderna

1.1. GARCIA, Mauricio y EWERT DE GEUS, Jeannnine 1.2 ACOSTA, Virgilio; COWAN, Clyde y GRAHAM, B. J. 1.3 BEISER, Artur 1.4 GAUTREAU, RONALD 8.7 Textos de Mecánica Cuántica 2.1 BERKELEY 2.2 EISBERG, Robert y RESNICK, Robert 2.3 GALINDO, A y PASCUAL, A. 2.4 LEVICH, B. G. 2.5 SPOSITO, Garrison 2.6 ALONSO, Marcelo y VALK, Henry 2.7 CAMPOS, Diogenes 2.8 CASTILLO, Guillermo 2.9 CAMPOS, Diogenes; GARCIA, Mauricio y G. DE MESA, Alicia Grupo de Física Teórica U.N. 2.10 LOPEZ T., Carlos 2.11 GUILLESPI 2.12 LONSO, Mrcelo y FINN, Edward (Vol.#3) 2.13 MESSIAH, Albert 2.14 COHEN, Clauden 2.15 LANDAU and LIFSHITZ 2.16 SCHIFF 2.17 CERDEIRA, H.A. y RAMASWAMY

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