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115

Artículo Revista de Tecnología e Innovación Marzo 2015 Vol.2 No.2 115-131

Concentración de esfuerzos en una placa con dos barrenos centrados sometida a

carga axial

ORTEGA-Francisco†, PALACIOS-Francisco, GARCIA-Diego & GARCIA-José

Instituto Tecnológico Superior de Irapuato. Carretera Irapuato Silao km 12.5 C. P. 36821 Irapuato, Gto.

Recibido 14 de Enero, 2015; Aceptado12 de Marzo, 2015 ___________________________________________________________________________________________________

Resumen

En el presente trabajo se analiza la concentración de

esfuerzos en una placa plana sometida a carga axial.

Para realizar dicho análisis se determina el factor de

concentración de esfuerzos mediante la ayuda del

software Ansys, el cual utiliza la teoría del elemento

finito para realizar sus análisis. Se realizan un total

de 125 simulaciones obteniendo los esfuerzos

máximos que soportan la pieza, los cuales son

utilizados para determinar el factor de concentración

de esfuerzos. Los factores de concentración de

esfuerzos son graficados en función de S/D

(distancia entre el centro de los barrenos/diámetro

de los barrenos) para las relaciones W/D (espesor de

la pieza/diámetro del barreno) de 1.2, 1.5, 2, 2.5, 3.

A los resultados graficados se les realiza una

regresión mediante el método de mínimos

cuadrados para obtener ecuaciones que se puedan

utilizar en predecir el factor de concentración de

esfuerzos de este tipo de piezas mecánicas. Las

ecuaciones que se obtienen son conjuntos de

ecuaciones lineales, exponenciales y polinómicas

con valores del coeficiente de correlación que varía

de 0.8835 a 0.9997.

Concentración, esfuerzos, factor

Abstract

In this paper the stress concentration on a flat plate

subjected to axial load is analyzed. To perform this

analysis the stress concentration factor are calculate

by wing of Ansys software, this software uses the

theory of finite element to carry out their analysis.

125 simulations are performed to obtain the

maximum stress in the piece, these stresses are used

to determine the stress concentration factor. The

stress concentration factor are plotted as a function

of s/D (distance between the center of the holes /

diameter of holes) to the relationship W/D (blank

thickness / hole diameter) of 1.2, 1.5, 2, 2.5, 3. The

ploted results are used to apply a regression by the

method of least squares to obtain equations that can

be used predicting the stress concentration factor of

this type of mechanical parts. The equations

obtained are sets of linear, exponential and

polynomial equations with correlation coefficient

values ranging from 0.8835 to 0.9997. The

polynomial equations obtained are strongly

consistent with the compute data, these equations

can be used in a reliable way therefore to predict the

stress concentration factor.

Concentration, stress, factor

___________________________________________________________________________________________________

Citación: ORTEGA-Francisco, PALACIOS-Francisco, GARCIA-Diego & GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en

una placa con dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de Tecnología e Innovación 2015, 2-2:115-131

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† Investigadorcontribuyendo como primer autor.

© ECORFAN-Bolivia www.ecorfan.org/bolivia

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ISSN-2410-3993

ECORFAN® Todos los derechos reservados.

ORTEGA-Francisco, PALACIOS-Francisco, GARCIA-Diego

& GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en una placa con

dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de

Tecnología e Innovación 2015

Nomenclatura

La nomenclatura utilizada durante el desarrollo

del presente trabajo se muestra a continuación.

A Área transversal de la placa

B Matriz de deformación

D Diámetro del barreno

F Fuerza aplicada a la pieza

H1,2 Coeficientes de peso de la cuadratura

gaussiana

J Jacobiano

Ke

Matriz de rigidez

Kt Factor de concentración de esfuerzos

L Longitud de la placa

N Matriz de las funciones de forma

Ni…p Función de forma del nodo i, j, k, l,

m, n, o, p perteneciente al elemento

cuadrado

R2

Coeficiente de correlación

s Separación entre los centros de los

barrenos

W Ancho de la placa

x Coordenada global del elemento

y Coordenada global del elemento

η Coordenada local del elemento

ξ Coordenada local del elemento

σmax Esfuerzo máximo

σteórico Esfuerzo teórico

Introducción

La concentración de esfuerzos es uno de

principales problemas por los cuales tienen que

preocuparse los diseñadores al momento de

diseñar cualquier tipo de maquinaria o equipo,

debido a que los concentradores de esfuerzos

pueden ocasionar que las distintas piezas

mecánicas se fracturen y la máquina o equipo

pierda sus condiciones de funcionamiento. Por

tal motivo, los diseñadores deben de tratar de

eliminar en la medida de lo posible los

concentradores de esfuerzos en las piezas

mecánicas.

Se debe prestar especial atención para

analizar de la mejor forma posible los

concentradores de esfuerzo para que los diseños

que se realicen funcionen de forma adecuada y

sean lo más confiables que se pueda.

Muchos investigadores han realizado

estudios de diferentes tipos de concentradores

de esfuerzo y el efecto que estos tienen en

distintos materiales. Zheng & Niemi (1997)

investiga la relación entre el esfuerzo y la

deformación local, así como el esfuerzo

nominal propuesto por Moski y Glinka los

autores comentan que dicho esfuerzo es bueno

para amplitudes de esfuerzo bajos, sin embargo

tanto la regla de Neuber y los métodos de

Moski y Glinka no producen buenos resultados

para amplitudes de esfuerzos grandes. Por su

parte Roldan & Bastidas (2002) presentan un

estudio el cual analiza la concentración de

esfuerzos sobre una placa plana de espesor

constante sometida a esfuerzo en sus extremos,

realizando una comparación de los resultados

obtenidos mediante la teoría de la elasticidad,

experimentalmente y por el método de

elementos finitos.

Maíz, Rossi, Laura & Bambill (2004)

comentan que los esfuerzos normales aumentan

en valor absoluto con el tamaño del orificio

para todos los materiales ortótropos. Por su

parte Bambill, Susca, Laura & Maíz (2005)

mencionan que las tensiones que se generan en

el entorno de un barreno circular de una placa

ortotrópica cuando está sometida a tensiones

hidrostáticas en un plano, son fuertemente

afectadas por las características elásticas del

material de la placa en consideración.

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En una placa plana con dos agujeros

cargada en sus extremos, la interacción de la

concentración de esfuerzos depende de la

distancia y de la relación de tamaño entre ellos

(Monroy & Godoy, 2006). Martínez, Carrera &

Ferrer (2006) presenta el estudio de una placa

plana con un barreno en el centro, bajo los

efectos de un gradiente de carga lineal,

establecen un modelo computacional

aproximado que reduce el tipo de carga

requerida y sustentan los resultados obtenidos

experimentalmente mediante fotoelasticidad y

numéricamente mediante el uso del software

ANSYS®.

Noda & Takase (2006) analizan la

concentración de esfuerzos en una barra

redonda con un arco circular o muesca en forma

de V que soporta carga a torsión, tensión y

flexión, obteniendo ecuaciones que permiten

determinar la concentración de esfuerzos en

estas piezas con un error de menos del 1%.

Susca, Bambill, Laura & Rossi (2006) analizan

la concentración de esfuerzos que genera un

pequeño orificio rectangular de bordes

redondeados en una placa ortótropa observando

que los mayores factores de concentración de

esfuerzos se encuentran en el eje principal 1 el

cual se encuentra a un ángulo de 67.5º respecto

al eje x.

El factor teórico de concentración de

esfuerzos para piezas de materiales ortotrópicos

se ve influenciado significativamente por el tipo

de carga aplicada, al igual que por parámetros

ya conocidos como el tamaño relativo del

barreno; además la carga que produce los

mayores efectos sobre los factores teóricos de

concentración de esfuerzos es la carga biaxial

tensión-tensión cuyos efectos son poco notorios

(Méndez & Torres, 2006). Por su parte Sánchez

(2006) analiza la concentración de esfuerzos en

una placa ortotrópica con una abertura elíptica

sujeta a una carga axial para un material de

hueso tomado de la diáfisis de la tibia humana.

La razón de analizar la abertura elíptica y

no la circular es porque la abertura elíptica

conduce a un análisis generalizado y en el

límite, cuando la razón del semieje menor al

semieje mayor de la elipse es muy grande, el

orificio tiende a ser una ranura muy delgada

(grieta) y por tanto su concentrador de esfuerzo

aumenta.

El factor de concentración de esfuerzos en

materiales compuestos depende estrechamente

de la geometría de la pieza, además que el

factor de concentración de esfuerzos no es un

valor suficiente, por sí solo, para la predicción

de falla en materiales laminados (Domínguez,

Santos, Robles & Ortega, 2006).

Es difícil establecer parámetros de

comportamiento en los materiales ortotrópicos,

pero existe una marcada influencia entre las

relaciones de las constantes elásticas y los

factores de concentración de esfuerzos (Susca,

Bambill & Rossit, 2007). Peñaranda, Pedroza &

Méndez (2007) analizan la concentración de

esfuerzos en una placa de longitud infinita con

dos barrenos de radios iguales, utilizando un

software de elemento finito, variando la

distancia entre los centros de los dos barrenos y

el diámetro de estos. Por su parte Gómez,

Elices, Berto & Lazzarin (2008) estudian el

factor de concentración de esfuerzos para

muescas en U los cuales soportan cargas mixtas

utilizan el concepto basado en el criterio de la

deformación promedio de la densidad de

energía.

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Sonmez (2009) realiza un estudio para

optimizar la forma de los filetes y disminuir la

concentración de esfuerzos en barras planas y

redondas sujetas a cargas axial, flexión, torsión

o cargas combinadas. Mientras que Osorio,

Rodríguez, Gámez & Ojeda (2010) estudia la

distribución de esfuerzos producidas por el

efecto de diversas condiciones de carga, en

dicho estudio se realiza una evaluación

numérica para analizar una placa para fijación

interna de fracturas ocurridas en radio distal, los

resultados muestran una concentración de

esfuerzos en las regiones adyacentes a los

orificios de la placa y en los tornillos ubicados

a los extremos de la placa de fijación.

Balankin, Susarrey, Mora Santos, Patiño,

Yoguez, & García (2011) estudian teórica y

experimentalmente el efecto de correlaciones de

largo alcance en la microestructura del material

en la concentración de tensión en las

proximidades de la punta de muesca. Según los

resultados obtenidos en pruebas experimentales

que realizan obtienen buena aproximación del

efecto del tamaño de la muesca en la resistencia

a la fractura de hojas de diferentes tipos de

papel.

Louhghalam, Igusa, Park, Choi & Kim

(2011) presentan un modelo que se acopla

numéricamente al método del elemento finito

para determinar los esfuerzos en las esquinas de

aberturas rectangulares en placas sometidas a

flexión. Por otro lado Sharma, Panchal & Patel

(2011) analizan una placa ortotrópica infinita

con un orificio circular sometido a una presión

interna utilizando el método de Mushkhelisvili,

encontrando que la orientación de las fibras y la

secuencia de apilado tienen un efecto

significativo sobre la distribución de esfuerzos

alrededor del orificio.

Mientras que Sharma (2011) determina la

concentración de esfuerzos utilizando el método

de Mushkhelisvili alrededor de recortes

circulares, elípticos y triangulares en placas

infinitas de materiales compuestos laminados

que soportan cargas biaxiales arbitrarias.

La concentración de esfuerzos es uno de

los factores que contribuyen a reducir la vida de

un componente mecánico sometido a fatiga

(Khalil Abada, Pasinia & Cecereb, 2012).

Dharmin, Khushbu & Chetan (2012) presentan

una revisión de las investigaciones que se han

realizado sobre el tema de análisis de esfuerzos

en placas infinitas con recortes. Un gran

número de técnicas analíticas, numéricas y

experimentales están disponibles para reducir el

factor de concentración de esfuerzos alrededor

de distintas discontinuidades. Se han reportado

diferentes formas para determinar el factor de

concentración de esfuerzos en placas planas

compuestas de diferentes materiales bajo

distintas condiciones de carga (Nagpal, Jain &

Sanyal, 2012).

En general, la concentración máxima de

esfuerzos para placas de anchura finita con

barreno central bajo carga axial estática siempre

se produce en la periferia del barreno, además,

el factor de concentración de esfuerzos es

máximo en la punta del barreno es decir,

perpendicular a la carga (Nagpal, Sanyal &

Jain, 2013). Mohan Kumar, Rajest, Yogesh &

Yeshaswini (2013) analizan la concentración de

esfuerzos en placas planas con agujeros

circulares, triangulares y rectangulares,

estudiando la variación de la concentración de

esfuerzos debido al cambio de geometría del

agujero. Por su parte, Henrique, Tácito &

Moreno (2013) realizan un análisis por

elementos finitos para predecir el factor de

concentración de esfuerzos elasto-plastico para

una aleación de acero 1020.

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Se sugiere el uso de muescas de forma

elíptica modificada debido a que ocasiona una

menor concentración de esfuerzos en

comparación con muescas semicirculares y

ranuras, la relación de los ejes menor y mayor

de la elipse debe estar entre 0,3 y 0,4 (Ahsan,

Prachurja, Ali & Mamun, 2013). Por otro lado,

Momcilovic, Motok & Maneski (2013) realizan

un análisis del factor de concentración de

esfuerzos en la esquina de una abertura en una

placa rectangular con pequeños radios de

curvatura, utilizando métodos analíticos,

experimentales y de elementos finitos,

realizando una comparación entre los tres

métodos.

Ortega, Garcia, Rocha & Guzmán (2013)

muestran la forma de obtener las curvas de

concentración de esfuerzos con la ayuda del

software ANSYS®. Los factores de

concentración de esfuerzos determinados son

graficados en forma adimensional, obteniendo

curvas de concentradores de esfuerzos. El

método de mínimos cuadrados es utilizado para

ajustar los datos de éstas curvas a ecuaciones

polinómicas de sexto grado con un valor de R2

entre 0.9987 y 1.

Darwisha, Tashtoushb & Gharaibehb

(2013) estudian el factor de concentración de

esfuerzos en el plano (SCF) en agujeros de los

remaches avellanados en placas laminadas

ortotrópicos bajo carga de tensión uniaxial. El

análisis de elementos finitos se realiza

utilizando el software ANSYS®. El efecto de

varios parámetros geométricos y materiales

como el espesor de la placa, el radio de vástago

recto, ángulo de avellanado, profundidad

avellanado, ancho de placa, y los ángulos de

capas de laminado de SCF son investigados.

Basándose en los resultados, se encontró que

los valores de la SCF obtenidos por medio de la

ecuación formulada son dentro de 7% de la de

los elementos finitos (FE) resultados para 96%

de las carreras y que el error global máximo es

menos de 14%.

Ou, Lu, Cui & Lin (2013) muestran un

enfoque de optimización de forma para

minimizar la concentración de esfuerzos y los

picos ocasionados por la presión de contacto. El

enfoque que realizan se centra en modificar

directamente la forma de las capas cercanas a la

región donde la concentración de esfuerzos es

medida mediante los esfuerzos de Von Mises y

la superficie de contacto mide la presión de

contacto. Para evaluar el enfoque propuesto, se

presentan tres casos de estudio, los resultados

obtenidos muestran que la optimización de

forma desarrollada es especialmente aplicable

al diseño y análisis de sistemas multi-cuerpo

donde la concentración de esfuerzos límite y

distribución de la presión de contacto son una

consideración importante.

Liu & Tang (2015) presentan un análisis

detallado sobre la concentración de esfuerzos

en materiales compuestos reforzados con fibras

unidireccionales con muescas. Debido a la

formación de la división longitudinal en las

puntas de muesca a lo largo de la dirección de

la fibra, las concentraciones extremadamente

altas de estrés por delante de la punta de

muesca podrían reducirse drásticamente para

materiales compuestos bajo tensión remota. Se

examina la incapacidad del método de

degradación propiedad del material

ampliamente utilizado para redistribuir con

precisión las tensiones locales en las puntas de

muesca.

El objetivo del presente trabajo es

analizar la concentración de esfuerzos en una

placa plana con dos barrenos centrados y

sometida a una carga de tensión axial.

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Se realizan un total de 125 simulaciones

en un software de elemento finito con el

objetivo de encontrar el esfuerzo máximo que

soporta la placa y posteriormente determinar el

factor de concentración de esfuerzos, los

resultados obtenidos son graficados para las

relaciones de W/D de 1.2, 1.5, 2, 2.5 y 3 en

función de la relación s/D, finalmente a los

valores obtenidos se les aplica el método de

mínimos cuadrados para obtener ecuaciones

que permitan predecir el factor de

concentración de esfuerzos para el caso de

estudio analizado.

Método del elemento finito

Son muchas las facetas de la ingeniería en las

que se precisa determinar la distribución de

esfuerzos y deformaciones en un continuo

elástico (Zienkiewicz, 1982). En general, se

acepta que los métodos de análisis numérico en

ingeniería y ciencias aplicadas se clasifican en

tres grandes categorías: diferencias finitas,

elementos finitos y elementos de contorno

(Cerrolaza, 2006).

El análisis mediante Elementos Finitos

(Finite Element Analysis, FEA) ha tenido un

gran impulso desde el advenimiento de la era de

las computadoras. Esto ha permitido la creación

de múltiples plataformas para implementar la

teoría de los elementos finitos, de los cuales

Ansys es un ejemplo particular (Roa Garzón &

Garzón Alvarado, 2002)

El elemento finito es un método numérico

que se utiliza para la modelación y simulación

de problemas en muchos campos de la

ingeniería, tales como: análisis estructural,

transferencia de calor, mecánica de fluidos,

electricidad y magnetismo o la combinación de

los mismos.

El término "elemento finito", expresa la

idea de que el objeto de estudio puede dividirse

en un determinado número de elementos, con

un modelo matemático definido que puede

representarse en un arreglo matricial cuya

solución se obtiene aplicando las reglas básicas

del álgebra lineal a través de un programa de

computación (Córdova Aquino & De Dios

Domínguez, 2007)

Existen dos acercamientos generales

asociados al entendimiento y aplicación del

método de elemento finito. El primer

acercamiento, es llamado el método de fuerza o

flexibilidad, el cual se basa en el uso de fuerzas

internas como las incógnitas del problema. Para

la obtención de las ecuaciones gobernantes,

tienen que emplearse primero las ecuaciones de

equilibrio. Después es necesario introducir

ecuaciones adicionales generadas por las

ecuaciones de compatibilidad. El resultado es el

arreglo de ecuaciones algebraicas redundantes

que determinan las fuerzas internas

desconocidas. El segundo acercamiento del

método, es el método de desplazamiento, o

método de rigidez, el cual asume el

desplazamiento de nodos como las incógnitas

del problema (Pérez Mitre, 2004).

Fonseca Lopes (2011) menciona que

independientemente de la naturaleza física del

problema, el análisis del mismo mediante el

Método del Elemento Finito sigue los

siguientes pasos:

Definición del problema y su dominio.

Discretización del dominio.

Identificación de la(s) variable(s) de

estado.

Formulación del problema.

Establecimiento de los sistemas de

referencia.

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Construcción de las funciones de

aproximación de los elementos.

Determinación de las ecuaciones a

nivel de cada elemento.

Transformación de coordenadas.

Ensamblaje de las ecuaciones de los

elementos.

Introducción de las condiciones de

contorno.

Solución del conjunto de ecuaciones

simultáneas resultante.

Interpretación de los resultados.

En el presente trabajo para realizar los

análisis en ANSYS® se utiliza un elemento

cuadrilátero de ocho nodos. La Figura 1

muestra un esquema del elemento cuadrilátero

de ocho nodos.

Figura 1 Esquema del elemento cuadrilátero de 8 modos

Las Ecuaciones (1) a (8) son las funciones

de forma de los nodos del elemento de la Figura

1 en término de las coordenadas locales.

1

1 1 14

iN (1)

1

1 1 14

jN (2)

1

1 1 14

kN (3)

1

1 1 14

lN (4)

211 1

2mN (5)

211 1

2nN (6)

211 1

2oN (7)

211 1

2pN (8)

Las derivadas parciales de las

coordenadas globales en términos de las

coordenadas locales se presentan en las

Ecuaciones (9) a (12).

ji k li j k l

pm n om n o p

NN N Nxx x x x

NN N Nx x x x

(9)

ji k li j k l

pm n om n o p

NN N Nxx x x x

NN N Nx x x x

(10)

ji k li j k l

pm n om n o p

NN N Nyy y y y

NN N Ny y y y

(11)

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ji k li j k l

pm n om n o p

NN N Nyy y y y

NN N Ny y y y

(12)

Las derivadas parciales de las funciones

de forma (Ecuaciones 1 a 8) con respecto a las

coordenadas locales se presentan en las

Ecuaciones (13) a (28).

1

1 24

iN

(13)

1

1 24

iN

(14)

1

1 24

jN

(15)

1

1 24

jN

(16)

1

1 24

kN

(17)

1

1 24

kN

(18)

1

1 24

lN

(19)

1

1 24

lN

(20)

1mN

(21)

211

4

mN

(22)

211

2

nN

(23)

1nN

(24)

1oN

(25)

211

2

oN

(26)

211

2

pN

(27)

1pN

(28)

Las Ecuaciones (29) y (30) son las

derivadas parciales de las funciones de forma

con respecto a las coordenadas globales.

... ...... 1 i p i pi pN NN y y

x J

(29)

... ... ...1i p i p i pN N Nx x

y J

(30)

El jacobiano J está definido por la

Ecuación (31).

x y x yJ

(31)

La matriz de deformación es definida por

la Ecuación (32), mientras que la matriz de

función de forma se define por la Ecuación

(33).

0 0 ... 0

0 0 ... 0

...

j pi

j pi

j j p pi i

N NN

x x x

N NNB

x x x

N N N NN N

x x x x x x

(32)

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0 0 ... 0

0 0 ... 0

i j p

i j p

N N NN

N N N

(33)

Para determinar la matriz de rigidez se

utiliza la cuadratura de Gauss-Legendre. La

matriz de rigidez de cada elemento está definida

por la Ecuación (34).

11 12 21 22

e e e e eK K K K K (34)

Donde

2

11 1 1 1 1 1 1 1, , ,e TK tH J B DB

(35)

12 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,e TK tH H J B DB (36)

21 2 1 2 1 2 1 2 1, , ,e TK tH H J B DB (37)

2

22 2 2 2 2 2 2 2, , ,e TK tH J B DB (38)

Las Ecuaciones (1) a (38) definen a un

elemento cuadrado con ocho nodos.

Concentración de esfuerzos

La mayor parte de las piezas de maquinaria

reales tendrán secciones transversales variables.

Por ejemplo, las flechas a menudo se escalonan

en diámetros distintos, a fin de aceptar

cojinetes, engranes, poleas, etc. Una flecha

puede tener ranuras para chavetas circulares, o

para anillos, o tener cuñeros u orificios para la

sujeción de otras piezas. Los pernos están

roscados con cabezas mayores que su vástago.

Cualquier de estos cambios en la geometría de

la sección transversal puede causar

concentraciones de esfuerzos localizados

(Norton, 1999).

El análisis de las formas geométricas para

determinar los factores de concentración de

esfuerzos se convierte en un problema difícil y

no se encuentran muchas soluciones.

La mayoría de los concentradores de

esfuerzos se determina por medio de técnicas

experimentales. Aunque se ha manejado el

método del elemento finito, el hecho de que los

elementos son, en efecto, finitos, impide

encontrar el esfuerzo máximo real. Por lo

general, en las aproximaciones experimentales

se incluye la fotoelasticidad, métodos de malla,

métodos de recubrimiento frágil y métodos

eléctricos con medidores de deformación

(Budynas & Keith Nisbett, 2008).

Mott (2006) menciona que hay que usar

siempre factores de concentracion de esfuerzos

al analizar elementos bajo carga de fatiga,

porque las grietas de fatiga suelen iniciarse

cerca de los puntos de gran esfuerzo local de

tensión.

Metodología

El caso de estudio planteado consistente en

estudiar la concentración de esfuerzos en una

placa plana con dos barrenos alineados y

centrados la cual soporta carga axial, se utiliza

el software de elemento finito ANSYS®, para

realizar el modelado en dicho software se

utiliza un elemento de cuadrado de ocho nodos,

de los cuales cuatro nodos corresponden a cada

una de las esquinas del cuadrilátero y los otros

cuatro nodos son nodos intermedios. El

elemento más adecuado para realizar dicho

análisis es por tanto el elemento Solid 8 node

183. Se utiliza este elemento debido a que es un

cuadrilátero con nodos intermedios en las

aristas, por lo que tiende a deformarse y

acoplarse fácilmente durante el mallado en una

sección curva. Éste elemento es configurado

para trabajar como un elemento en esfuerzo

plano con espesor. En la elaboración de las

simulaciones se utiliza un material isotrópico,

al cual se le asignan las propiedades del acero al

bajo carbón, modulo elástico de 210 GPa, razón

de Poisson de 0.28.

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Los modelos desarrollados soportan una

carga a tensión en uno de sus extremos,

mientras en el otro extremo son restringidos en

la dirección de x.

La Figura 2 presenta la placa plana

rectangular con dos barrenos centrados a

analizar, dicha placa tiene las siguientes

características:

Longitud de la placa (L) de 0.3 m

Fuerza aplicada (F) de 100 kN

Espesor de la placa de 0.01 m

El ancho de la placa (W), la distancia

entre centros de los barrenos (s) y el diámetro

de los barrenos (D) son variables y cambian en

cada análisis.

Figura 2 Placa plana con dos barrenos a analizar

La Figura 3 presenta el modelo realizado

en el software para el caso de estudio planteado.

Figura 3 Modelo realizado para analizar el caso de

estudio planteado

Se realizan un total de 125 simulaciones

para obtener σmax y posteriormente obtener el

valor de Kt, las simulaciones son distribuidas de

la siguiente forma:

25 simulaciones para el caso W/D = 3

25 simulaciones para el caso W/D = 2.5

25 simulaciones para el caso W/D = 2



Las simulaciones se realizan modificando

el valor de W en rangos de 0.004 m, iniciando

en 0.096 m y finalizando en 0.002 m. El valor

de s se determina sumando el valor de D a 0.02,

es decir para todos los casos se supone que la

separación entre las superficies más cercanas de

los barrenos es de 0.02 m. El valor de D se

determina utilizando la Ecuación (39), en dicha

ecuación h toma el valor de 1.2, 1.5, 2, 2.5 y 3

dependiendo del caso analizado.

Wh

D (39)

Para obtener el valor de Kt se divide σmax

entre σteórico (Ecuación 40).

maxt

teórico

K

(40)

El esfuerzo σteórico se obtiene mediante la

Ecuación (41), en dicha ecuación el valor del

área se determina en el lugar donde la sección

transversal de la pieza es mínima.

teorico

F

A (41)

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Resultados

Los valores de Kt obtenidos para las cinco

relaciones de W/D planteadas se grafican en

función de la relación adimensional S/D, la

gráfica obtenida se presenta en la Figura 4.

Figura 4 Gráfica del factor de concentración de

esfuerzos para una placa plana con dos barrenos sometida

a carga axial

A los valores de Kt obtenidos para las

relaciones W/D de 1.2, 1.5, 2, 2.5 y 3 los cuales

se muestran gráficamente en la Figura 4 se les

aplica el método me mínimos cuadrados para

obtener un conjunto de ecuaciones lineales

(Ecuaciones 42 a 46), un conjunto de

ecuaciones exponenciales (Ecuaciones 47 a 51),

un conjunto de ecuaciones polinomiales de

segundo grado (Ecuaciones 52 a 56) y

finalmente un conjunto ecuaciones

polinomiales de sexto grado (Ecuaciones 57 a

58).

La Figura 5 muestra gráficamente las

líneas obtenidas para la regresión lineal

mediante el método de mínimos cuadrados y las

Ecuaciones (42) a (46) representan las

ecuaciones lineales obtenidas para el caso de

estudio analizado.

Figura 5 Gráfica de regresión lineal obtenida mediante el

método de mínimos cuadrados

La Ecuación (42) es la ecuación lineal

para W/D=1.2 y tiene un valor de R² = 0.9354.

0.5136 2.3942t

sK

D

(42)



0.4846 2.3325t

sK

D

(43)


para W/D=2 y tiene un valor de R² = 0.9183.

0.3691 2.2392t

sK

D

(44)



0.2241 2.1555t

sK

D

(45)


para W/D=3 y tiene un valor de R² = 0.8884.

126


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0.0859 2.0813t

sK

D

(46)


líneas obtenidas para la regresión exponencial

mediante el método de mínimos cuadrados, las

Ecuaciones (47) a (51) son las ecuaciones

exponenciales obtenidas para el caso de estudio

analizado.

Figura 6 Gráfica de regresión exponencial obtenida

mediante el método de mínimos cuadrados

La Ecuación (47) es la ecuación

exponencial para W/D = 1.2 y tiene un valor de

R² = 0.9332.

0.233

2.3997

s

D

tK e

(47)



R² = 0.9217.

0.227

2.3388

s

D

tK e

(48)


exponencial para W/D = 2 y tiene un valor de

R² = 0.9152.

0.178

2.2439

s

D

tK e

(49)



R² = 0.881.

0.11

2.1578

s

D

tK e

(50)


exponencial para W/D = 3 y tiene un valor de

R² = 0.8874.

0.042

2.0817

s

D

tK e

(51)


líneas obtenidas para la regresión polinómica de

segundo grado mediante el método de mínimos

cuadrados, las Ecuaciones (52) a (56) son las

ecuaciones polinómicas de segundo grado

obtenidas para el caso de estudio analizado.

Figura 7 Gráfica de regresión polinómica de segundo

grado obtenida mediante el método de mínimos

cuadrados


polinómica de segundo grado para W/D = 1.2 y

tiene un valor de R² = 0.9761.

127


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2

0.7972 0.0207 2.3357t

s sK

D D

(52)




2

0.8855 0.1596 2.2542t

s sK

D D

(53)


polinómica de segundo grado para W/D = 2 y


2

0.6943 0.1847 2.1633t

s sK

D D

(54)




2

0.4954 0.2151 2.0858t

s sK

D D

(55)


polinómica de segundo grado para W/D = 3 y


2

0.1679 0.0742 2.0531t

s sK

D D

(56)


líneas obtenidas por la regresión polinómica de

sexto grado mediante el método de mínimos

cuadrados, las Ecuaciones (57) a (61) son las

ecuaciones polinómicas de sexto grado

obtenidas para el caso de estudio analizado.

Figura 8 Gráfica de regresión polinómica de sexto grado

obtenida mediante el método de mínimos cuadrados


polinómica de sexto grado para W/D = 1.2 y


6 5 4

3 2

152.39 257.58 146.04

29.371 1.5742 0.0281 2.3236

t

s s sK

D D D

s s s

D D D

(57)

La Ecuación (58) es la ecuación polinómica de

sexto grado para W/D = 1.5 y tiene un valor de

R² = 0.9992.

6 5 4

3 2

36.163 72.68 46.463

9.0564 0.4102 0.0417 2.249

t

s s sK

D D D

s s s

D D D

(58)


polinómica de sexto grado para W/D = 2 y tiene

un valor de R² = 0.9988.

6 5 4

3 2

58.154 124.53 95.65

31.014 4.3635 0.2469 2.1656

t

s s sK

D D D

s s s

D D D

(59)

128


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polinómica de sexto grado para W/D = 2.5 y


6 5 4

3 2

22.527 59.696 58.529

25.902 5.4764 0.537 2.0842

t

s s sK

D D D

s s s

D D D

(60)


polinómica de sexto grado para W/D = 3 y tiene

un valor de R² = 0.9984.

6 5 4

3 2

0.0486 4.7388 9.1404

5.9017 1.5939 0.1628 2.0557

t

s s sK

D D D

s s s

D D D

(61)

Conclusiones

Los resultados obtenidos muestran que el

factor de concentración de esfuerzos disminuye

mientras aumenta la relación s/D, al mismo

tiempo el factor de concentración de esfuerzos

disminuye cuando la relación W/D también

disminuye.

Las ecuaciones lineales obtenidas

mediante el método de mínimos cuadrados no

proporcionan una buena aproximación debido a

que los valores de R2 varian entre 0.9354 y

0.8835 por tanto no se ajustan adecuadamente a

los valores obtenidos, no se recomienda utilizar

estas ecuaciones, solamente si se desea obtener

una rápida aproximación de los valores de

esfuerzos que soporta la pieza.

Por su parte las ecuaciones exponenciales

obtenidas tampoco tienen una buena

aproximación a los valores del factor de

concentración de esfuerzos obtenidos. Los

valores de R2 varian entre 0.9332 y 0.8810, por

tanto tampoco es recomendable la utilización de

estas ecuaciones para predecir el factor de

concentración de esfuerzos.

Las ecuaciones polinómicas de segundo

grado obtenidas se ajuntan bien a los valores

del factor de concentración de esfuerzos

calculados. Los valores de R2 para estas

ecuaciones varian entre 0.9761 y 0.9949, por

tanto, estas ecuaciones proporcionan valores

confiables del factor de concentración de

esfuerzos para la pieza mecánica bajo estudio.

Por su parte las ecuaciones polinómicas

de sexto grado determinadas se ajustan

fuertemente a los valores del factor de

concentración de esfuerzos obtenidos. Dichas

ecuaciones tienen un valor de R2 que varia entre

0.9964 y 0.9997 por tanto los valores del factor

de concentración de esfuerzos para el caso de

estudio analizado pueden ser determinados por

dichas ecuaciones ya que los valores obtenidos

se ajustan fuertemente a los datos calculados

con la ayuda del software de elemento finito.

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